Izv. univerziteti "PND", v. 15, br. 1, 2007 UDK 517.9
LORENTZ ATRAKTOR U SMIČNIM PROTOKOVIMA
A.M. Mukhamedov
U okviru prethodno predloženog modela haotične dinamike kontinuiranog medija, dobijena je realizacija trodimenzionalnog režima fluktuacija brzine protoka koji odgovara atraktoru Lorentzovog tipa. Rješenje je skup struktura koje određuju geometriju slojevitog razvodnika svedenog na trodimenzionalni slučaj, formiran pulsiranjem brzina protoka medija. Sama dinamika Lorentzovog atraktora manifestuje se u obliku vremenske zavisnosti fluktuacija brzine duž strujnih linija srednjeg toka.
Kao što je poznato, jedan od klasičnih primjera determinističkog haosa, Lorentzov atraktor, otkriven kao rezultat primijenjenih hidrodinamičkih istraživanja, još uvijek nije adekvatno reproduciran u formalizmu postojeće turbulentne mehanike. U radovima autora izražena je hipoteza da se klasično hidrodinamičko rješenje ovog problema u načelu ne može dobiti, te je predloženo opravdanje za takav zaključak. Zasnovan je na shvatanju da atraktorski modeli haotične dinamike utiču na mezoskopski nivo kretanja kontinuiranog medija i da taj nivo nije zastupljen u klasičnim Navier-Stokesovim jednačinama. To je dovelo do prijedloga da se prošire mogućnosti rješavanja problema Lorentzovog atraktora eksplicitnim uključivanjem dodatnih mezostruktura u matematički formalizam hidrodinamike, koje aparat ove teorije izvlače izvan okvira klasičnih operacija s Navier-Stokesovim jednačinama.
Trenutno se atraktorski režimi dinamike kontinuiranih medija konstruiraju u okviru modela koji su dalekosežne apstrakcije kretanja kontinuiranog medija, gotovo bez korištenja koncepta mehaničkih interakcija čestica medija jedna s drugom. . U nekim slučajevima, ove apstrakcije odražavaju svojstva operatora evolucijskog tipa koji djeluju u hijerarhiji ugniježđenih Hilbertovih prostora. U drugim slučajevima, oni odražavaju dinamiku konačno-dimenzionalnih sistema koji reproduciraju promjene stanja okoline, ali u ovom slučaju svako od stanja je zapravo predstavljeno samo jednom tačkom odgovarajuće fazne mnogostrukosti. Takvo modeliranje ne zadovoljava primijenjenu svrhu hidromehanike, koja zahtijeva reprodukciju svih bitnih struktura direktno, odnosno u prostoru koji zauzima neprekidni medij. Ako uzmemo u obzir argumente teorijskih i eksperimentalnih podataka u prilog
postojanje takve reprezentacije, onda se reprodukcija atraktora u kontekstu dinamike prostorno-vremenskih karakteristika sredine čini kao hitna potreba.
U ovom radu Lorentzov atraktor je konstruisan u okviru turbulentne dinamike predložene u modelu. Prema ovom modelu, fazni prostori turbulentnih režima su stratifikacije mlazova fluktuacija hidrodinamičkih veličina. Pretpostavlja se da je geometrija fluktuirajućih snopova a priori proizvoljna, određena modeliranim karakteristikama odgovarajućih haotičnih režima. Glavni predmet modeliranja je haotična struktura, koja je kompleks nestabilnih putanja kretanja tačaka u mediju. Pretpostavlja se da svaki uspostavljeni turbulentni režim odgovara dobro definisanoj haotičnoj strukturi. U putanji haotične strukture oni su identificirani sa skupom integralnih krivulja neintegrabilne (neholonomske) Pfaffove distribucije definirane na snopu fluktuacija dinamičkih varijabli.
karakteristična karakteristika Predloženi model je Lagrangeov način opisivanja kretanja medija, koji se u opštem slučaju ne svodi na opis kretanja u Eulerovim varijablama. U isto vrijeme, pokazalo se da je Lagrangeov opis izvrsno prilagođen da odražava dinamiku sistema sa čudnim atraktorima. Umjesto strogih ograničenja Eulerove paradigme, Lagrangeov opis nameće mnogo mekše uslove koji služe za određivanje geometrijskih objekata odgovarajućih neholonomskih distribucija. Takva promjena naglaska modeliranja omogućava reprodukciju različitih atraktora u dinamici snopa čestica u kontinualnim medijima.
1. Postavimo jednačine za dinamiku pulsiranja tromodnog režima
(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)
gdje xk i yz formiraju skupove prostornih i dinamičkih koordinata stratifikacije pulsacija, a objekti mkk(x, yt)(xk i Ar(x, yt)M određuju prirodu intermodnih interakcija režima. Ovi objekti a sama jednadžba (1) se može smatrati pravilima za formiranje izvoda dinamičkih koordinata s obzirom na prostorne koordinate i vrijeme, koje je određeno realnom turbulentnom evolucijom. geometrijskom smislu od ovih objekata je da u snopu pulsacija definišu objekat unutrašnje veze i vertikalno vektorsko polje, respektivno.
Pretpostavimo da gore uvedene dinamičke koordinate imaju značenje fluktuacija u brzini protoka medija, odnosno da se stvarna brzina medija može proširiti u polje brzine srednjeg protoka i fluktuacije prema formuli
u (x, y) = u0 (x) + y. (2)
Uzet ćemo jednadžbe ravnoteže mase i zamaha u obliku standardne jednačine kontinuiteta i Navier-Stokesove jednačine
Chr + udi. (četiri)
Ovaj sistem jednačina još nije potpuna, budući da jednačina (4) uključuje pritisak, koji je termodinamička varijabla, čija dinamika, u opštem slučaju, izlazi iz okvira kinematike. Za opisivanje fluktuacija tlaka potrebne su nove dinamičke koordinate, što povećava broj potrebnih stupnjeva slobode za opisivanje odgovarajućeg režima turbulentnog kretanja. Uvodimo novu dinamičku varijablu koja ima značenje fluktuacija pritiska, odnosno uzimamo
p(x,y)= po(x) + y4. (5)
Dakle, početni skup potrebnih dinamičkih koordinata za prikaz kretanja kontinuiranog medija je četverodimenzionalan.
Mogućnost redukcije na trodimenzionalni sistem sa dinamikom sličnom dinamici Lorentzovog sistema leži u činjenici da pritisak ulazi u jednačinu (4) u obliku gradijenta. Otuda slijedi da se redukcija na trodimenzionalnu dinamiku fluktuacija brzine može izvesti ako gradijent tlaka koji ulazi u jednačinu (4) sadrži samo prve tri dinamičke koordinate. Da biste to učinili, dovoljno je zahtijevati da u jednadžbi dinamike za četvrtu koordinatu
dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)
koeficijenti oblika veze w4(x,yj)dxk zavisili su samo od prve tri dinamičke koordinate. Imajte na umu da se trodimenzionalni režim može pokazati nestabilnim sa stanovišta potpunijeg opisa, koji uključuje razmatranje svih pobuđenih stupnjeva slobode. Međutim, mi ćemo se ograničiti na modeliranje upravo ove a priori moguće dinamike.
Razmotrimo uslove koje postavljaju jednadžbe ravnoteže (3), (4) na izraze za nepoznate veličine wk(x,yj)dxk i Ai(x,yj)dt uključene u dinamičku jednačinu (1). Da bismo to učinili, zamjenjujemo (2) i (5) u (3) i (4) i koristimo jednačine (1) i (6). Da bismo pojednostavili rezultirajuće izraze, pretpostavljamo da su prostorne koordinate xk kartezijanske. U ovom slučaju, ne možete razlikovati superskripte i indekse, podižući ih i spuštajući ih po potrebi za pisanje kovarijantnih izraza. Tada dobijamo sljedeće jednačine za koeficijente jednačine (1)
dkuk - wj = 0, (7)
Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (osam)
gdje je uvedena oznaka Dj = dj - wk^y.
Za ono što slijedi, konkretiziramo formulaciju problema. Razmotrićemo režim čije prosječno polje brzine opisuje tok jednostavnog smicanja
uk = Ax3à\. (9)
Osim toga, pravimo pretpostavke o geometriji vlaknastog pulsacionog prostora. Pretpostavljamo da je snop povezan linearna funkcija u dinamičkim koordinatama, tj. w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). U ovom slučaju, iz jednačine (8) odmah slijedi da drugi objekt dobija strukturu koja je polinomna u dinamičkim koordinatama. Naime, vertikalno vektorsko polje postaje polinom drugog reda u dinamičkim koordinatama, tj.
Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.
Dakle, nepoznate funkcije koje određuju jednačinu za dinamiku pulsiranja razmatranog tromodnog režima su koeficijenti waak(x), Ar0(x), Ark(x) i A3k(x), za koje imamo jednačine (3) i (4). Napominjemo da se jednačina (4) u suštini svodi na određivanje koeficijenata vertikale vektorsko polje, dok je izbor koeficijenata veze ograničen samo jednadžbom kontinuiteta (3). Ova jednadžba ostavlja značajnu proizvoljnost u određivanju koeficijenata povezanosti, ostavljajući tako širinu modeliranja prostorne strukture dinamike fluktuacije u skladu sa odabranim prosječnim protokom.
2. Razmotriti mogućnost dobijanja atraktora Lorentzovog tipa u ovom zadatku. U tu svrhu, prije svega, raspravljat ćemo o proširenju stvarnih vrijednosti brzine u prosječna brzina a valovitost je otprilike prosječna.
Prema značenju pulsacija, njihov vremenski prosjek treba da bude jednak nuli, tj.
(y)t - 0. (10)
Istovremeno, pulsacije se definiraju kao odstupanja stvarnih vrijednosti brzine od prosječne vrijednosti. Ako se pretpostavi da je prosječni protok dat, tada nam navedena okolnost ne dozvoljava da kao model izaberemo jednačinu haosa proizvoljan sistem jednadžbe sa haotičnom dinamikom. Da bi se varijable modelskog sistema jednadžbi posmatrale kao pulsacije realnih hidromehaničkih veličina, moraju biti zadovoljeni uslovi (10). Ako (10) nije zadovoljeno, onda to znači postojanje neobračunatog pomaka u dinamici pulsiranja. Shodno tome, usvojeni modelski sistem se ispostavlja da nije u skladu ni sa faktorima koji su uzeti u obzir, ni sa strukturom dozvoljenog srednjeg protoka.
Dalje, jednačina (1) je, u opštem slučaju, nepotpuno integrabilan sistem Pfaffovog tipa. Svojstvo neintegrabilnosti ove jednačine je fundamentalno važno, što odgovara osobini karakterističnoj za turbulentno kretanje. Naime, u procesu kretanja sve makroskopski male turbulentne formacije, čestice, moljci, globule gube svoju individualnost. Ova karakteristika je uzeta u obzir zbog neintegrabilnosti jednačine (1). U suštini, (1) opisuje ansambl mogućih trajektorija kretanja tačaka kontinuuma formiranog od kontinuiranog medija. Ove putanje su definisane u snopu fluktuacija. Njihove projekcije na prostor koji zauzima kontinualni medij određuju dinamiku razvoja fluktuacija duž odgovarajućih prostornih krivulja. Imajte na umu da se potonji može izabrati proizvoljno, određujući mogućnost razmatranja dinamike fluktuacija duž bilo koje prostorne krive.
Razmotrimo, radi određenosti, dinamiku fluktuacija duž strujnih linija srednjeg protoka. Tada imamo sljedeće dinamičke jednačine:
xr = u0, (11)
y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)
Prije razmatranja ovog sistema, transformiramo ga u bezdimenzionalne varijable. Da bismo to učinili, u originalnu jednačinu (4) umjesto koeficijenta viskoznosti uvodimo
Reynoldsov broj. Zatim uklonite eksplicitnu ovisnost o ovom broju zamjenom
<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)
Izostavljajući donju crtu iznad varijabli, iz (12) dobijamo
y \u003d DiO - i! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)
Analizirajmo (13). Imajte na umu da korišteni model pretpostavlja razvijenu turbulenciju, odnosno Reynoldsov broj treba smatrati dovoljno velikim. Zatim, ako bezdimenzionalne veličine imaju vrijednosti reda jedinice, onda će stvarne dimenzionalne veličine u skladu sa (13) ukazivati na skalu manifestacije dinamike. Konkretno, iz (13) proizilazi da su prostorne skale male. Dakle, korišteni model treba prije svega posmatrati kao model turbulentnih procesa miješanja na mezoskopskom nivou rezolucije kontinualnog medija.
Pređimo sada na analizu (11) i (12). Lako je vidjeti da za odabrani srednji tok jednačina (11) ima jednostavne integrale. Odgovarajuće jednačine srednje strujne linije su prave linije paralelne sa x1 koordinatnom osom. Eliminišući prostorne koordinate, iz (12) dobijamo u opštem slučaju sistem neautonomnih diferencijalnih jednačina. U ovom slučaju, ako koeficijenti povezanosti i gradijent pritiska ne zavise od koordinate x1, tada sistem (14) postaje autonoman, sadržavajući preostale prostorne koordinate x2 i x3 kao parametre. U ovom slučaju otvara se pravi put za direktno modeliranje prostorno nehomogene kvazistacionarne dinamike pulsiranja. Primjer takve simulacije bit će dat u nastavku.
U zaključku ovog paragrafa napominjemo da je pojava neholonomske distribucije koju daje Pfaffov sistem (1), (6) posljedica pretpostavke da je u stanju stabilne jake turbulencije klasa mogućih trajektorija kretanja čestice medija su stabilna formacija. Neophodan uslov za ovu novu stabilnost je zahtjev nestabilnosti trajektorija kretanja tačaka, što zauzvrat podrazumijeva velike vrijednosti Reynoldsovog broja. Pokušaj proširenja pristupa na male vrijednosti broja Re je neosnovan.
3. Okrenimo se konstrukciji primjera u kojem su fluktuacije brzine duž trajektorija srednjeg toka opisane kanonskim sistemom Lorencovog tipa. Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da su svi koeficijenti veze konstantni. U ovom slučaju dobijamo dinamiku koja je prostorno homogena duž strujnih linija srednjeg toka, ali, ipak, duž proizvoljnih linija nije prostorno homogena. Ovu pretpostavku ćemo nazvati kvazihomogenom aproksimacijom.
Naš zadatak je da jednačini (14) damo oblik kanonskog Lorencovog sistema. Prva vidljiva prepreka tome je nesigurnost identifikacije dinamičkih koordinata i odgovarajućih varijabli
iz kanonskog sistema. Pod pretpostavkom da će različite vrste mehanizama međumodnih interakcija omogućiti simulaciju bilo koje od ovih identifikacija, izabraćemo sljedeću opciju. Neka struktura jednadžbe (14) ima sljedeći oblik:
y1 = a(-y1 + y2), (15)
y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)
y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)
pri čemu je eksplicitno izdvojen regularni pojam, koji se, u skladu sa onim što je rečeno u odjeljku 2, mora isključiti iz izraza za pulsacije.
x \u003d o (-x + y), y = rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (osamnaest)
Za ovo pretpostavljamo da postoje vremenski proseci za varijable sistema (18). Zasnovano na invarijantnosti ovog sistema u odnosu na transformacije
x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)
prirodno je očekivati da bi srednja vrijednost za prve dvije varijable trebala biti nula. Zatim zamjena
x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)
u (18) daje sistem jednačina (15) - (17).
S tim u vezi, napominjemo da su za različite vrijednosti parametara Lorentzovog sistema moguća rješenja i sa nultim i nenultim srednjim vrijednostima prve dvije varijable. Imajući to na umu, ograničavamo naše daljnje razmatranje na prvu od ovih mogućnosti. Osim toga, napominjemo da se zamjena (20) može izvršiti iu slučaju kada pojam u trećem izrazu (20) nema značenje vremenskog prosjeka. U ovom slučaju može biti potrebna nova definicija postupka usrednjavanja za naknadnu interpretaciju. U opštem slučaju, odgovarajuća definicija će zahtevati preciziranje vremenskih skala fenomena koji se razmatra. Jasno je da će takve redefinicije zahtijevati detaljnije razmatranje i početnih podataka i varijacija u sistemskim parametrima. Dobro poznati efekat interakcije haotičnih atraktora pokazuje kako se mogu pojaviti nejasnoće u određivanju prosjeka za male varijacije u parametrima kretanja.
Vratimo se na naše razmatranje. Upoređujući koeficijente sistema (15)-(17) i (14), dobijamo
(DiO - u£dki0 - c/ro) =
(-3]u0 + - dkyu] + u^) =
V -U (r)) (-o
g - (g) -1 0 V 0 0 -y
Osim toga, iz (7) imamo
dk u0 = 0, 0.
Razmotrimo (21) i (24). Zamjenom izraza (9), lako je vidjeti da je (24) ispunjeno identično, a (21) se svodi samo na određivanje srednjeg gradijenta pritiska. U ovom slučaju se ispostavlja da je gradijent okomit na prosječnu brzinu strujanja, što je posljedica odabrane identifikacije varijabli Lorencovog kanonskog sistema i komponenti fluktuacije brzine.
Okrenimo se jednadžbi (23) i (25). Iz (23) dobijamo izraze jedne vrijednosti za subscript-simetrizovane komponente objekta veze. Antisimetrični dio je određen iz (25) uz određenu proizvoljnost. Opšte rješenje ovih jednačina je dato sljedećim izrazom:
/ ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \
eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)
Okrenimo se preostaloj jednadžbi (22). Ova matrična jednačina je sistem od 9 kvadratnih algebarskih jednačina
b2 - c(p + /) +
ae - bp + Yur \u003d r - (r),
eb - a/ + o43 = 0,
ae - bp + b + 1021 = o,
C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,
Ec + ab + u43 = 0,
A/ + eb + a - A + u31 = 0,
Ec + ab + u42 = 0,
Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.
Nepoznate u njemu su 6 koeficijenata povezanosti (26), 9 komponenti tenzora pritiska, 1 koeficijent koji određuje vrijednost prosječne brzine i 3 parametra Lorencovog sistema. Otuda slijedi da je rješenje ovog sistema određeno sa značajnom parametarskom proizvoljnošću. U trodimenzionalnom režimu koji se razmatra, tenzor gradijenta pritiska ω > 4r je proizvoljan, te je zbog njegove konkretizacije moguće simulirati željenu dinamiku za bilo koji, unaprijed fiksiran, izbor koeficijenata povezanosti. Za višedimenzionalne režime, komponente tenzora pritiska su uključene u potpuniji sistem jednačina koje uzimaju u obzir dinamiku svih pobuđenih stepeni slobode. U ovom slučaju tenzor pritiska više ne može biti proizvoljan. S tim u vezi, zanimljivo je razmotriti različite posebne opcije za određivanje tenzora pritiska, uz pretpostavku da fizički razumne pretpostavke treba da nađu svoj prikaz u potpunijim jednadžbama koje uzimaju u obzir višedimenzionalnu dinamiku. Pretpostavićemo da je tenzor gradijenta pritiska dijagonalni sa nultom komponentom koja odgovara koordinati y2. U ovom slučaju, (22) ima sljedeće tačno analitičko rješenje:
o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)
K - a t Ka, K - a AK
a \u003d A, b \u003d a - K, c \u003d - -.1, p \u003d -, f \u003d - K, e \u003d - - -. (28)
Razmotrimo dobijeno rješenje (27), (28). U njemu su ostale proizvoljne veličine A, r, a, y koje određuju veličinu srednjeg gradijenta brzine struje i tri parametra sistema Lorentzovog modela. Sve ostale karakteristike kretanja izražene su kao funkcije gornjeg skupa veličina. Zbog izbora određenih vrijednosti ovih veličina, moguće je varirati dinamiku fluktuacija, te pomoću formula (26), (27) pronaći odgovarajuće vrijednosti komponenti objekta povezivanja. Ako uzmemo u obzir da svaki objekt određuje prirodu interakcija pulsiranja, tada postaje moguće varirati različite vrste interakcija samih. Konkretno, za variranje veličine komponenti tenzora pritiska. Treba napomenuti da se u nekim slučajevima ove komponente mogu identično okrenuti na nulu. Karakteristika rješenja (27), (28) je da se ispostavlja da je nemoguće pretvoriti komponente tenzora tlaka na nulu, a da pritom ostane u rasponu onih vrijednosti parametara sistema za koje nastaje Lorentzova dinamika. (Međutim, to je sasvim moguće u području onih vrijednosti parametara za koje je dinamika pulsiranja pravilna.)
Hajde da napravimo neke procjene. Neka parametri modela sistema odgovaraju Lorentzovom atraktoru sa parametrima a = 10, r = 28, y = 8/3. U ovom slučaju proračuni pokazuju da pulsacije imaju karakteristično vrijeme t ~ 0,7. Unutar izračunatog vremenskog intervala b = 0 + 50, vrijednosti pulsiranja pripadaju intervalima y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 i y3 = -23,2 + 23,7.
Uporedimo apsolutne vrijednosti fluktuacija brzine i prosječnog gradijenta brzine. Iz (13) proizilazi da se pulsacije dobijaju dijeljenjem relativnih vrijednosti brojem l/d, dok srednji gradijent brzine ostaje nepromijenjen. Uzmimo onda za gradijent brzine vrijednost jednaku jedinici po redu veličine
je A ~ 1. Tada, na vrijednosti Re = 2000, odnosno na donjoj kritičnoj vrijednosti od , za pulsacije dobijamo red veličine jednak 50% vrijednosti gradijenta. Za slučaj Re=40000, fluktuacije brzine dostižu samo 10%% prihvaćene vrijednosti srednjeg gradijenta brzine. Ovo pokazuje da se razumne proporcije između prosječne brzine i pulsiranja mogu osigurati samo u određenom rasponu Re brojeva.
4. Pri razmatranju kretanja tačaka u mediju otkrivaju se novi podaci. Za Lorentzovu dinamiku u kvazihomogenoj aproksimaciji, jednadžbe kretanja tačaka imaju oblik
r -(z) -l 0 0 0 -Y
Aox3 -A(r - (z))x3
Ovaj sistem se ispostavi da je linearan sa konstantnim koeficijentima. Njegovo opće rješenje može se lako dobiti elementarnom integracijom. Stoga bilježimo samo kvalitativne karakteristike putanja kretanja tačaka. Iz karakteristične jednadžbe za brzine kretanja nalazimo da postoje dva negativna i jedan pozitivan korijen. Tako se u svakoj tački prostora razlikuju dva smjera pritiska i jedan vlačni smjer. Ove karakteristike dinamike su invarijantne karakteristike koje se mogu koristiti za klasifikaciju atraktora koji odgovaraju tokovima sa istom prosječnom brzinom.
Kako proizilazi iz opšteg rješenja sistema (29) i (30), mogući pomaci tačaka medija u smjerovima transverzalnim na srednje strujne linije nisu ograničeni. Naime, u projekciji na osu x3 dolazi do pravilnog pomaka. U ovom slučaju, tačke, koje se kreću okomito na strujne linije srednje struje, padaju u područje velikih brzina. U ovom slučaju, broj Re raste, što dovodi do smanjenja relativne veličine fluktuacija. U okviru napravljene kvazihomogene aproksimacije, ovaj efekat dovodi do relativnog smanjenja fluktuacija i, na kraju, do njihove degeneracije u fluktuacije.
Bibliografska lista
1. Mukhamedov A.M. Turbulentni modeli: problemi i rješenja //17 IMACS kongres, Rad T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.
2. Mukhamedov A.M. Ka mjernoj teoriji turbulencije // Haos, solitoni i fraktali. 2006 Vol. 29. str. 253.
3. Ruelle D., Takens F. O prirodi turbulencije // Commun. Math. Phys. 1971 Vol. 20. str. 167.
4. Babin A.V., Vishik M.I. Atraktori evolucijskih jednačina. M.: Nauka, 1989. 296 str.
5. Mandelbrot B. Fraktalna geometrija prirode. freeman. San Francisko, 1982.
6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. O multifraktalnoj prirodi potpuno razvijenih turbulencija i haotičnih sistema // J. Phys. A. 1984. Vol.17. P.3521.
7 Elnaschie M.S. Integrali Feynmanovog puta i teorija E-beskonačnosti iz Gedanken eksperimenta s dva proreza // Međunarodni časopis za nelinearne znanosti i numeričke simulacije. 2005 Vol. 6(4). P. 335.
8. Mukhamedov A.M. Ansambl režima turbulencije u posmičnim strujanjima // Bilten KSTU im. A.N. Tupoljev. 2003, br. 3. S. 36.
9. Yudovich V.I. Asimptotika graničnih ciklusa Lorentzovog sistema za velike Rayleighove brojeve // VINITI. 31.07.78. br. 2611-78.
10. Anishchenko V.S. Složene oscilacije u jednostavnim sistemima. M.: Nauka, 1990. 312 str.
11. Loitsyansky L.G. Mehanika tečnosti i gasa. M.: Nauka, 1987. 840 str.
Kazanski državni univerzitet Primljeno 23. januara 2006
Tehnički univerzitet Revidirano 15.08.2006
LORENZ ATRAKTOR U TOKOVIMA JEDNOSTAVNOG SMJENA
U okviru prethodno datog modela za simulaciju haotične dinamike kontinualne sredine predstavljen je Lorencov atraktor. Simulacija je data uz pomoć struktura koje definiraju geometriju snopa vlakana povezanog s 3-dimenzionalnim režimom pulsiranja brzine. Lorenzova dinamika se javlja kao vremenska zavisnost pulsacija duž linija srednjeg protoka.
Muhamedov Alfarid Mavievich - rođen je u Kazanju (1953). Diplomirao na Fakultetu fizike Kazanskog državnog univerziteta na odseku za gravitaciju i teoriju relativnosti (1976). Doktorand Odsjeka za teorijsku i primijenjenu mehaniku Kazanskog državnog tehničkog univerziteta po imenu V.I. A.N. Tupoljev. Autor 12 radova na ovu temu, kao i monografije "Naučna pretraga i metodologija matematike" (Kazanj: Izdavačka kuća KSTU, 2005, u koautorstvu sa G.D. Tarzimanovom). Oblast naučnog interesovanja - matematički modeli haotične dinamike, geometrija vlaknastih mnogostrukosti, metodologija savremene matematike.
fraktalni skup julija atraktor
Do sada smo proučavali fraktale, koji su statični oblici. Naš pristup je sasvim prihvatljiv sve dok nema potrebe da se razmatraju takvi prirodni fenomeni kao što su padajući tokovi vode, turbulentni kovitlaci dima, vremenski sistemi i izlazni tokovi mlaznog motora. U ovim slučajevima, jedan fraktal odgovara snimku datog fenomena. Strukture koje se mijenjaju tokom vremena definiramo kao dinamičke sisteme. Intuitivno je jasno da je dinamička suprotnost fraktalu haos. To znači da haos opisuje stanje ekstremne nepredvidljivosti koje se javlja u dinamičkom sistemu, dok fraktalnost opisuje ekstremnu nepravilnost ili neravninu svojstvenu geometrijskoj konfiguraciji.
Ubrzo je postalo jasno da su mnogi haotični dinamički sistemi koji opisuju fenomene svijeta oko nas vrlo složeni i da se ne mogu predstaviti tradicionalnim metodama matematičke analize. Očigledno, ne postoji način da se dobiju matematički izrazi za rješenja u zatvorenom obliku, čak i ako koristite beskonačne serije ili specijalne funkcije.
Razmotrimo poznati primjer, koji vrlo jasno pokazuje šta se krije iza pojma "haotična dinamika". Edward Lorenz sa Massachusetts Institute of Technology 1961. godine bavio se numeričkim proučavanjem vremenskih sistema, posebno modeliranjem konvekcijskih struja u atmosferi.Proučavanje Lorentzovog atraktora sada je uključeno u bilo koje
matematički paket, npr. Mathematica, Maple.. Napisao je program za rješavanje sljedećeg sistema diferencijalnih jednačina:
dx/dt = (-x + y),
dy/dt = rx - y - xz,
dz/dt = -bz + xy.
U daljnjim proračunima, parametri r i b su konstantni i uzimaju vrijednosti = -10, r = 28 i b = 8/3.
Prema opisu eksperimenta, koji pripada samom Lorenzu, on je dugo računao vrijednosti rješenja, a zatim prekinuo proračun. Zanimala ga je neka posebnost rješenja koja se pojavila negdje na sredini intervala brojanja, pa je od tog trenutka ponavljao proračune. Rezultati ponovnog brojanja očito bi se poklopili s rezultatima početnog brojanja kada bi početne vrijednosti za ponovno brojanje bile točno jednake vrijednostima dobivenim ranije za ovaj trenutak. Lorentz je malo promijenio ove vrijednosti, smanjivši broj važećih decimalnih mjesta. Greške unesene na ovaj način bile su izuzetno male. Ali najneočekivanije je bilo pred nama. Novoproračunato rješenje se neko vrijeme dobro slagalo sa starim. Međutim, kako smo računali, neslaganje se povećavalo i postepeno je postajalo jasno da novo rješenje nimalo ne liči na staro.
Lorentz je ponovio i ponovo provjerio proračune (vjerovatno ne vjerujući kompjuteru) prije nego što je shvatio važnost eksperimenta. Ono što je primetio sada se naziva suštinskom zavisnošću od početnih uslova, osnovnom osobinom svojstvenom haotičnoj dinamici. Značajna zavisnost se ponekad naziva efektom leptira. Ovaj naziv se odnosi na nemogućnost izrade dugoročnih vremenskih prognoza. Sam Lorenz je razjasnio ovaj koncept u članku "Predvidljivost: Može li mahanje krila leptira u Brazilu dovesti do tornada u Teksasu?", objavljenom 1979. godine.
Uprkos velikom značaju Lorentz eksperimenta, ovaj rad neće razmatrati modele povezane sa dinamičkim sistemima opisanim diferencijalnim jednačinama. Naprotiv, razmotrićemo najjednostavnije modele haotične dinamike - diskretne, koji uključuju poznati i sveprisutni Mandelbrotov skup i njegove prateće Julijine skupove.
Rice. 4.1.1. Lorenz atraktor.
Najčešća nedosljednost je da ljudi pretpostavljaju da je teorija haosa teorija o neredu. Ništa ne može biti tako daleko od istine! Ovo nije pobijanje determinizma, niti izjava da su uređeni sistemi nemogući; ovo nije poricanje eksperimentalnih dokaza ili izjava o beskorisnosti složenih sistema. Haos u teoriji haosa je red - pa čak i ne samo red, već suština reda.
Istina je da teorija haosa tvrdi da male promjene mogu proizvesti ogromne posljedice. Ali jedan od centralnih koncepata u teoriji je nemogućnost tačnog predviđanja stanja sistema. Generalno, zadatak modeliranja opšteg ponašanja sistema je prilično izvodljiv, čak i jednostavan. Prema tome, teorija haosa se ne fokusira na poremećaj sistema – inherentnu nepredvidivost sistema – već na njegov naslijeđeni poredak – uobičajeno ponašanje sličnih sistema.
Stoga bi bilo netačno reći da je teorija haosa o neredu. Da bismo to ilustrirali na primjeru, uzmimo Lorentzov atraktor (slika 1). Zasnovan je na tri diferencijalne jednadžbe, tri konstante i tri početna uslova.
Atraktor predstavlja ponašanje gasa u bilo kom trenutku, a njegovo stanje u određenom trenutku zavisi od njegovog stanja u trenucima koji prethode datom. Ako se početni podaci promijene čak i za vrlo male vrijednosti, recimo, ove vrijednosti su toliko male da su srazmjerne fluktuacijama Avogadrovog broja (vrlo mali broj reda 1024), provjera stanja atraktora će pokazuju potpuno različite brojeve. To je zato što su male razlike uvećane rekurzijom.
Međutim, uprkos tome, graf atraktora će izgledati prilično slično. Oba sistema će u svakom trenutku imati potpuno različite vrijednosti, ali će graf atraktora ostati isti, jer izražava opšte ponašanje sistema.
Teorija haosa kaže da su složeni nelinearni sistemi nasledno nepredvidivi, ali istovremeno teorija haosa kaže da se način izražavanja takvih nepredvidivih sistema ispostavlja tačnim ne u tačnim jednakostima, već u reprezentacijama ponašanja sistema - u grafovima čudnih atraktora ili u fraktalima. Tako se teorija haosa, koju mnogi smatraju nepredvidljivošću, istovremeno pokazuje kao nauka o predvidljivosti čak iu najnestabilnijim sistemima.
apstraktno
Po disciplini: matematika
„ Lorencov atraktor“
Lorencov atraktor
rješenje sistema nar =0,3
rješenje sistema nar =1,8
rješenje sistema nar =3,7
rješenje sistema nar =10
rješenje sistema nar =16
rješenje sistema nar =24,06
rješenje sistema nar =28 — u stvari, ovo je Lorentzov atraktor
rješenje sistema nar =100 - vidljiv je režim autooscilacija u sistemu
Lorencov atraktor (sa engleskog.da privuku - privuku) je invarijantan skup u trodimenzionalnom glatkom , koji ima određenu složenu topološku strukturu i asimptotski je stabilan, on i sve putanje iz nekog susjedstva težiti at (otuda i naziv).
Lorentzov atraktor je pronađen u numeričkim eksperimentima koji istražuju ponašanje putanja nelinearnog sistema:
sa sljedećim vrijednostima parametara: σ=10,r =28, b =8/3. Ovaj sistem je prvi put uveden kao prvi netrivijalni za problem morske vode u ravnom sloju, što je motivisalo izbor vrednosti σ,r ib , ali se javlja i u drugim fizičkim pitanjima i modelima:
konvekcija u zatvorenoj petlji;
rotacija vodenog točka;
single-mode model;
disipativno sa inercijskom nelinearnošću.
Početni hidrodinamički sistem jednačina:
gdje - brzina protoka, -temperatura tečnosti, - temperatura gornje granice (na donjoj, ), - gustina, - pritisak, - gravitacija, - odnosno kinematičke.
U problemu konvekcije, model nastaje kada se brzina strujanja i temperatura dekomponuju na dvodimenzionalne i njihovo naknadno „sjecanje“ do prvog-drugog harmonika. Osim toga, dati kompletan sistem jednačina je napisan u . Podrezivanje redova je u određenoj mjeri opravdano, budući da je Soltsman u svom radu pokazao odsustvo bilo kakvih zanimljivih osobina u ponašanju većine harmonika.
Primjenjivost i usklađenost sa realnošću
Označimo fizičko značenje varijabli i parametara u sistemu jednačina u odnosu na navedene probleme.
Konvekcija u ravnom sloju. Evox odgovoran za brzinu rotacije vodenih osovina,y iz - za horizontalnu i vertikalnu distribuciju temperature,r - normalizirano , σ - (odnos kinematičkog koeficijenta prema koeficijentu ),b sadrži informacije o geometriji konvektivne ćelije.
Konvekcija u zatvorenoj petlji. Evox - brzina protoka,y - temperaturno odstupanje od prosjeka u tački 90° udaljenoj od donje tačke petlje,z - isto, ali na dnu. Toplina se isporučuje na najnižoj tački.
Rotacija vodenog točka. Razmatran je problem točka na čijem su obodu pričvršćene korpe sa rupama na dnu. Vrh kotačasimetrično kontinuirani mlaz vode teče oko ose rotacije. Zadatak je ekvivalentan prethodnom, okrenut „naopačke“, pri čemu je temperatura zamijenjena gustinom raspodjele mase vode u korpama po obodu.
single mode laser. Evox - amplituda talasa u laseru,y - , z - populaciona inverzija,b i σ su omjeri koeficijenata inverzije i polja prema koeficijentu relaksacije polarizacije,r - intenzitet.
Vrijedi istaći da je, u primjeni na problem konvekcije, Lorentzov model vrlo gruba aproksimacija, veoma daleko od stvarnosti. Manje ili više adekvatna korespondencija postoji u oblasti regularnih režima, gde stabilna rešenja kvalitativno odražavaju eksperimentalno posmatranu sliku ravnomerno rotirajućih konvektivnih valjaka (). Haotični režim svojstven modelu ne opisuje turbulentnu konvekciju zbog značajnog skraćivanja originalnog trigonometrijskog niza.
Zanimljiva je znatno veća tačnost modela sa nekim njegovim modifikacijama, koji se posebno koristi za opisivanje konvekcije u sloju koji je podvrgnut vibracijama u vertikalnom pravcu ili promenljivim toplotnim efektima. Takve promjene vanjskih uvjeta dovode do modulacije koeficijenata u jednačinama. U ovom slučaju, visokofrekventne Fourierove komponente temperature i brzine su značajno potisnute, poboljšavajući slaganje između Lorentz modela i realnog sistema.
Zanimljiva je Lorenzova sreća u odabiru vrijednosti parametra , pošto sistem dolazi samo za vrijednosti veće od 24,74, za manje vrijednosti ponašanje je potpuno drugačije.
Ponašanje sistemskog rješenja
Razmotrimo promjene u ponašanju rješenja Lorentzovog sistema za različite vrijednosti parametra r. Ilustracije za članak prikazuju rezultate numeričke simulacije za tačke sa početnim koordinatama (10,10,10) i (-10,-10,10). Modeliranje je obavljeno pomoću programa u nastavku, napisanog na jeziku, crtanje prema rezultujućim tabelama - zbog slabih grafičkih mogućnosti Fortrana koristeći Compaq Array Viewer.
r <1 - ishodište koordinata je atraktor, nema drugih stabilnih tačaka.
1< r <13,927 - trajektorije se spiralno približavaju (ovo odgovara prisutnosti prigušenih oscilacija) do dvije tačke, čiji je položaj određen formulama:
Ove tačke određuju stanja stacionarnog režima konvekcije, kada se u sloju formira struktura rotirajućeg fluida.
r ≈13,927 - ako trajektorija napusti ishodište, tada će se, nakon potpunog okretanja oko jedne od stabilnih tačaka, vratiti natrag na početnu tačku - nastaju dvije homokliničke petlje. koncepthomoklinička putanja znači da izlazi i dolazi u isti ravnotežni položaj.
r >13,927 - U zavisnosti od smera, putanja dolazi do jedne od dve stabilne tačke. Homokliničke petlje se regenerišu u nestabilne granične cikluse, a nastaje i porodica složeno uređenih putanja, koja nije atraktor, već naprotiv, odbija putanje od sebe. Ponekad se, po analogiji, ova struktura naziva "čudni repeller" (eng.odbiti - odbiti).
r ≈24,06 - trajektorije više ne vode do stabilnih tačaka, već se asimptotski približavaju nestabilnim graničnim ciklusima - pojavljuje se stvarni Lorentzov atraktor. Međutim, obje stabilne točke su očuvane do vrijednostir ≈24,74.
Za velike vrijednosti parametra, putanja prolazi kroz ozbiljne promjene. Šiljnikov i Kaplan su to pokazali za veoma veliker sistem prelazi u režim samooscilovanja, a ako se parametar smanji, prelazak u haos će se posmatrati kroz niz udvostručavanja perioda oscilovanja.
Značaj modela
Lorentzov model je pravi fizički primjer haotičnog ponašanja, za razliku od raznih umjetno konstruiranih preslikavanja ( , itd.).
Programi koji simuliraju ponašanje Lorenz sistema
Borland C
#include
#include
void main()
duplo x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
duplo dt = 0,0001;
int a = 5, b = 15, c = 1;
int gd=DETEKTI, gm;
initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
uraditi(
X1 = x + a*(-x+y)*dt;
Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
X=x1; y=y1; z = z1;
Putpixel((int)(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
(int)(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
) while (!kbhit());
closegraph();
Mathematica
podaci = tabela[
Sa [(N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1),
NestList &,
(3.051522, 1.582542, 15.62388), N
(j, 0, 5)];
[email protected][(Nijansa], Tačka[#1]) &, podaci]
Borland Pascal
Program Lorenz;
Koristi CRT, Graph;
Konst
dt = 0,0001;
a = 5;
b = 15;
c = 1;
Var
gd, gm: Integer;
x1, y1, z1, x, y, z: Real;
Počni
gd:=Otkrij;
InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");
x:= 3,051522;
y:= 1,582542;
z:= 15,62388;
Dok nije pritisnuta tipka Počni
x1:= x + a*(-x+y)*dt;
y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;
x:= x1;
y:= y1;
z:= z1;
PutPixel(Okruglo(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
Okrugli(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
kraj;
Close Graph;
ReadKey;
kraj.
FORTRAN
program LorenzSystem
real,parametar::sigma=10
real,parametar::r=28
real,parametar::b=2.666666
real,parametar::dt=.01
cijeli broj,parametar::n=1000
realni x,y,z
open(1,file="result.txt",form="formatted",status="replace",action="write")
x=10.;y=10.;z=10.
doi=1,n,1
x1=x+sigma*(y-x)*dt
y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
z1=z+(x*y-b*z)*dt
x=x1
y=y1
z=z1
napisati(1,*)x,y,z
kraj do
print *,"Gotovo"
zatvori(1)
završiti program LorenzSystem
QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")
DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 KAO JEDAN
DIM a, b, c KAO INTEGER
x = 3,051522: y = 1,582542: z = 15,62388: dt = 0,0001
a=5: b=15: c=1
EKRAN 12
ŠTAMPAJ "Pritisnite Esc da izađete"
WHILE INKEY$<>CHR$(27)
x1 = x + a * (-x + y) * dt
y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
x=x1
y = y1
z = z1
PSET ((19,3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
WEND
KRAJ
JavaScript i HTML5
var cnv = document.getElementById("cnv");
var cx = cnv.getContext("2d");
var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
vardt = 0,0001;
var a = 5, b = 15, c = 1;
var h = parseInt(cnv.getAttribute("height"));
var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));
var id = cx.createImageData(w, h);
varrd = Math.round;
var idx = 0;
i=1000000; dok (i--) (
x1 = x + a*(-x+y)*dt;
y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
x = x1; y=y1; z = z1;
idx=4*(rd(19,3*(y - x*0,292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0,292893) + 392)*w);
id.data = 255;
cx.putImageData(id, 0, 0);
IDL
PRO Lorenz
n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.
ZA i=0.,n-2. DO r=r + [ a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0,0001
plot,19.3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.
KRAJ
Književnost
Kuznjecov S.P. , Predavanje 3. Lorentz sistem; Predavanje 4. Dinamika Lorentzovog sistema. // - M.: Fizmatlit, 2001.
Saltzman B . Konvekcija bez konačne amplitude kao problem početne vrijednosti. // Časopis za nauku o atmosferi, br. 7, 1962 - str. 329-341.
Lorenz E . Determinističko neperiodično gibanje // Čudni atraktori. - M., 1981. - S. 88-116.
Haotični, čudni atraktori odgovaraju nepredvidivom ponašanju sistema koji nemaju striktno periodičnu dinamiku; ovo je matematička slika determinističkih neperiodičnih procesa. Čudni atraktori su strukturirani i mogu imati vrlo složene i neobične konfiguracije u trodimenzionalnom prostoru.
Rice. jedan.
i fazni portreti (donji red) za tri različita sistema
(Gleick, 2001.)
Iako je u radovima nekih matematičara ranije utvrđena mogućnost postojanja čudnih atraktora, prvi put je konstrukcija čudnog atraktora (slika 2) kao rješenja sistema diferencijalnih jednadžbi izvedena u radu na kompjutersko modeliranje termokonvekcije i turbulencije u atmosferi američkog meteorologa E. Lorentza (E. Lorentz, 1963) . Konačno stanje Lorentzovog sistema je izuzetno osjetljivo na početno stanje. Sam izraz "čudni atraktor" pojavio se kasnije, u radu D. Ruellea i F. Takensa (D. Ruelle, F. Takens, 1971: vidi Ruelle, 2001) o prirodi turbulencije u fluidu; autori su primetili da se dimenzija čudnog atraktora razlikuje od uobičajene, odnosno topološke.Kasnije je B. Mandelbrot identifikovao čudne atraktore čije su putanje, tokom sekvencijalnih kompjuterskih proračuna, beskonačno stratifikovane, podeljene, sa fraktalima.
Rice. 2. (Haotične putanje u Lorentzovom sistemu). Lorenz Atraktor (Kronover, 2000.)
Lorenz (1963) je otkrio da čak i jednostavan sistem od tri nelinearne diferencijalne jednadžbe može dovesti do haotičnih putanja.-drugi harmonici:
gdje su s, r i b neki pozitivni brojevi, parametri sistema. Obično se istraživanja Lorencovog sistema izvode pri s =10, r =28 i b =8/3 (vrijednosti parametara).
Dakle, sistemi čije je ponašanje određeno pravilima koja ne uključuju slučajnost pokazuju nepredvidivost tokom vremena zbog rasta, pojačanja, pojačanja malih neizvjesnosti, fluktuacija. Vizuelna slika sistema sa sve većom nesigurnošću je takozvani bilijar Ya.G. Sinaj: dovoljno veliki niz sudara loptica neminovno dovodi do povećanja malih odstupanja od izračunatih putanja (zbog neidealno sferične površine pravih loptica, neidealno uniformne površine tkanine) i nepredvidivosti sistema ponašanje.
U takvim sistemima, „slučajnost se stvara na isti način na koji se miješa tijesto ili miješa špil karata“ (Crutchfield et al., 1987). Takozvana „pekarska transformacija“ sa uzastopnim rastezanjem i savijanjem, beskonačnim savijanjem jedan je od modela za nastanak tranzicije iz reda u haos; u ovom slučaju, broj transformacija može poslužiti kao mjera haosa. Postoji Aizawa atraktor, koji je poseban slučaj Lorenzovog atraktora.
gdje je a = 0,95, B = 0,7, c = 0,6, d = 3,5, e = 0,25, F = 0,1. Svaka prethodna koordinata se unosi u jednadžbe, a rezultirajuća vrijednost pomnožena s vrijednostima vremena.
Primjeri drugih čudnih atraktora
Attractor WangSun
Ovdje su a, b, d, e?R, c> 0 i f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.
Rösslerov atraktor
Gdje je a,b,c= pozitivne konstante. Sa vrijednostima parametara a=b=0,2 i
Obično tako kažu haos je viši oblik poretka, ali je ispravnije haos smatrati drugim oblikom poretka - neizbježno, u svakom dinamičkom sistemu, poredak u njegovom uobičajenom smislu prati haos, a poredak slijedi haos. Ako haos definiramo kao nered, onda ćemo u takvom neredu sigurno moći vidjeti svoj, poseban oblik poretka. Na primjer, dim od cigareta u početku se podiže u obliku uređene kolone pod uticajem spoljašnje sredine, poprima sve bizarnije obrise, a njeno kretanje postaje haotično. Još jedan primjer slučajnosti u prirodi je list sa bilo kog drveta. Može se tvrditi da ćete naći mnogo sličnih listova, kao što je hrast, ali ni jedan par identičnih slova. Razlika je određena temperaturom, vjetrom, vlažnošću i mnogim drugim vanjskim faktorima osim čisto unutrašnjih uzroka (npr. genetska razlika).
Teorija haosa
Kretanje od reda do haosa i obrnuto, očigledno je suština Univerzuma, nismo proučavali njegove manifestacije. Čak su i u ljudskom mozgu istovremeno prisutni uredni i haotični principi. Prvi odgovara lijevoj hemisferi mozga, a drugi desnoj. Lijeva hemisfera je odgovorna za svjesno ponašanje osobe, za razvoj linearnih pravila i strategija u ljudskom ponašanju, gdje je jasno definirano "ako ... onda ...". U desnoj hemisferi vladaju nelinearnost i haos. Intuicija je jedna od manifestacija desne hemisfere mozga. Teorija haosa proučava poredak haotičnog sistema koji izgleda nasumično, neuredno. Istovremeno, teorija haosa pomaže da se izgradi model takvog sistema bez postavljanja zadatka tačnog predviđanja ponašanja haotičnog sistema u budućnosti.Istorija teorije haosa
Prvi elementi teorije haosa pojavili su se u 19. veku, ali je ova teorija dobila pravi naučni razvoj u drugoj polovini 20. veka, zajedno sa radovima. Edward Lorenz(Edward Lorenz) sa Massachusetts Institute of Technology i francusko-američki matematičar Benoit B. Mandelbrot (Benoit B. Mandelbrot). Edward Lorenz je svojevremeno (početke 60-ih godina XX vijeka, rad objavljen 1963.) razmatrao u čemu je poteškoća u prognozi vremena. Prema Lorenzovom radu, svijetom nauke dominirala su dva mišljenja o mogućnosti tačne vremenske prognoze za beskonačno dug period. Prvi pristup koji je 1776. godine formulisao francuski matematičar Pierre Simon Laplace. Laplas je rekao da "...ako zamislimo um koji je u datom trenutku shvatio sve veze između objekata u svemiru, tada bi bio u stanju da utvrdi odgovarajuće položaje, kretanja i opšte efekte svih ovih objekata u bilo kom trenutku u ili prošlosti u budućnosti." Ovaj njegov pristup bio je veoma sličan čuvenim Arhimedovim rečima: „Daj mi uporište i preokrenuću ceo svet naglavačke“. Tako su Laplace i njegove pristalice rekli da je za precizno predviđanje vremena potrebno samo prikupiti više informacija o svim česticama u svemiru, njihovoj lokaciji, brzini, masi, smjeru kretanja, ubrzanju itd. Laplas je verovao da što više osoba zna, to će tačnija biti njegova prognoza o budućnosti. Drugi pristup da je mogućnost vremenske prognoze najjasnije formulisao drugi francuski matematičar, Jules Henri Poincare. Godine 1903. rekao je: „Kada bismo tačno znali zakone prirode i položaj svemira u početnom trenutku, mogli bismo tačno predvidjeti položaj istog univerzuma u narednom trenutku. Ali čak i kada bi nam zakoni prirode otkrili sve svoje tajne, i tada bismo mogli samo približno znati početni položaj. Ako bi nam to omogućilo da predvidimo kasniji položaj sa istom aproksimacijom, to bi bilo sve što nam je trebalo, a mogli bismo reći da je pojava bila predviđena, da je vođena zakonima. Ali nije uvijek slučaj da male razlike u početnim uvjetima uzrokuju vrlo velike razlike u konačnom fenomenu. Mala greška u prvom će proizvesti ogromnu grešku u drugom. Predviđanje postaje nemoguće, a mi imamo posla s fenomenom koji se razvija slučajno.” U ovim Poincaréovim riječima nalazimo postulat teorije haosa o zavisnosti od početnih uslova. Kasniji razvoj nauke, posebno kvantne mehanike, opovrgnuo je Laplasov determinizam. 1927. njemački fizičar Werner Heisenberg otkrio i formulisao princip nesigurnosti. Ovaj princip objašnjava zašto se neki slučajni fenomeni ne pokoravaju Laplasovom determinizmu. Heisenberg je demonstrirao princip nesigurnosti koristeći radioaktivni raspad jezgra kao primjer. Dakle, za vrlo malu veličinu jezgra, nemoguće je znati sve procese koji se odvijaju unutar njega. Stoga, koliko god informacija prikupili o jezgru, nemoguće je tačno predvidjeti kada će se ovo jezgro raspasti.Alati teorije haosa
Koje alate ima teorija haosa? Prije svega, to su atraktori i fraktali. Atraktor (od engleskog. Privlačiti - privlačiti) - geometrijska struktura koja karakterizira ponašanje u faznom prostoru na kraju dugog vremena. To je atraktor- to je ono što sistem teži da postigne, što ga privlači. Najjednostavniji tip atraktora je tačka. Takav atraktor je tipičan za klatno u prisustvu trenja. Bez obzira na početnu brzinu i položaj, takvo klatno će se uvijek zaustaviti, tj. upravo. Sljedeći tip atraktora je granični ciklus, koji ima oblik zatvorene krive linije. Primjer takvog atraktora je klatno na koje ne djeluje sila trenja. Još jedan primjer graničnog ciklusa je otkucaj srca. Frekvencija otkucaja može se smanjivati i povećavati, ali uvijek teži svom atraktoru, svojoj zatvorenoj krivulji. Treći tip atraktora je torus. Na slici 1, torus je prikazan u gornjem desnom uglu.
Slika 1 – Glavni tipovi atraktora Prikazani na vrhu su tri predvidljiva, jednostavna atraktora. Ispod su tri haotična atraktora. Uprkos složenosti ponašanja haotičnih atraktora, koji se ponekad nazivaju čudnim atraktorima, poznavanje faznog prostora omogućava da se ponašanje sistema predstavi u geometrijskom obliku i, shodno tome, predvidi. I iako je boravak sistema u određenom trenutku u određenoj tački faznog prostora gotovo nemoguć, područje u kojem se objekat nalazi i njegova sklonost atraktoru su predvidljivi. Lorenz atraktor
Prvi haotični atraktor bio je Lorenzov atraktor.
Slika 2 - Haotični Lorenz atraktor Lorencov atraktor izračunato na osnovu samo tri stepena slobode - tri obične diferencijalne jednadžbe, tri konstante i tri početna uslova. Međutim, uprkos svojoj jednostavnosti, Lorencov sistem se ponaša na pseudo-slučajan (haotičan) način. Modelirajući svoj sistem na kompjuteru, Lorenz je identifikovao razlog njegovog haotičnog ponašanja - razliku u početnim uslovima. Čak i mikroskopsko odstupanje dva sistema na samom početku u procesu evolucije dovelo je do eksponencijalnog gomilanja grešaka i, shodno tome, njihovog stohastičkog neslaganja. Istovremeno, svaki atraktor ima granične dimenzije, tako da se eksponencijalna divergencija dvije putanje različitih sistema ne može nastaviti beskonačno. Prije ili kasnije, orbite će se ponovo konvergirati i proći jedna pored druge ili se čak poklopiti, iako je ovo drugo vrlo malo vjerovatno. Inače, koincidencija trajektorija je pravilo za ponašanje jednostavnih predvidljivih atraktora. konvergencija-divergencija(takođe se kaže da se spaja i rasteže, respektivno) haotičnog atraktora sistematski eliminiše početne informacije i zamjenjuje ih novim informacijama. Prilikom uspona, putanje se približavaju jedna drugoj i počinje se pojavljivati efekt miopije - povećava se nesigurnost informacija velikih razmjera. Kada se putanje razilaze, naprotiv, one se razilaze i efekat dalekovidosti se pojavljuje kada se poveća nesigurnost informacija malih razmjera. Kao rezultat stalne konvergencije-divergencije haotičnog atraktora, neizvjesnost brzo raste, što nas onemogućava da napravimo tačna predviđanja u svakom trenutku vremena. Ono čime se nauka toliko ponosi - sposobnošću uspostavljanja veza između uzroka i posljedica - nemoguće je u haotičnim sistemima. Ne postoji kauzalna veza između prošlosti i budućnosti u haosu. Ovdje također treba napomenuti da je stopa konvergencije-divergencije mjera haosa, tj. numerički izraz koliko je sistem haotičan. Još jedna statistička mjera haosa je dimenzija atraktora. Dakle, može se primijetiti da je glavno svojstvo haotičnih atraktora konvergencija-divergencija putanja različitih sistema, koji se nasumično postepeno i beskonačno miješaju.