/

Definirea unui model matematic al nivelului de tehnologie. Tipuri de modele matematice

Definirea unui model matematic

Un factor important care determină rolul matematicii în diverse aplicații este capacitatea de a descrie cele mai esențiale trăsături și proprietăți ale obiectului studiat în limbajul simbolurilor și relațiilor matematice. O astfel de descriere este de obicei numită modelare sau formalizare matematică.

Definiția 1.Model matematic a unui obiect real (fenomen) se numește diagrama lui simplificată, idealizată, compilată folosind simboluri și operații (relații) matematice.

Pentru a construi un model matematic al unei sarcini economice specifice (problemă), se recomandă efectuarea următoarei secvențe de lucru:

1. Determinarea cantităților cunoscute și necunoscute, precum și a condițiilor și premiselor existente (ce este dat și ce trebuie găsit?);

2. Identificare cei mai importanți factori Probleme;

3. Identificarea parametrilor controlabili și necontrolabili;

4. Descriere matematică prin ecuații, inegalități, funcții și alte relații între elementele modelului (parametri, variabile), pe baza conținutului problemei luate în considerare.

Sunt luați în considerare parametrii cunoscuți ai problemei în raport cu modelul ei matematic extern(dat a priori, adică înainte de construirea modelului). În literatura economică se numesc variabile exogene. Valorile variabilelor inițial necunoscute sunt calculate ca urmare a studierii modelului, astfel încât în ​​raport cu modelul sunt considerate intern. În literatura economică se numesc variabile endogene.

Din punct de vedere al scopului, putem distinge modele descriptiveȘi modele de luare a deciziilor. Modele descriptive reflectă conținutul și proprietățile de bază ale obiectelor economice ca atare. Cu ajutorul lor, se calculează valori numerice ale factorilor și indicatorilor economici.

Modelele de luare a deciziilor ajută la găsirea celor mai bune opțiuni pentru indicatorii planificați sau deciziile de management. Dintre acestea, cele mai puțin complexe sunt modelele de optimizare, prin care sunt descrise (modelate) sarcini precum planificarea, iar cele mai complexe sunt modelele de joc care descriu probleme de natură conflictuală, ținând cont de intersecția diferitelor interese. Aceste modele diferă de modelele descriptive prin faptul că au capacitatea de a selecta valorile parametrilor de control (ceea ce nu este cazul în modelele descriptive).

Schema generală de luare a deciziilor

În economia matematică, este dificil de supraestimat rolul modelelor decizionale. Cele mai frecvent utilizate sunt cele care reduc problemele inițiale de planificare optimă a producției, distribuirea rațională a resurselor limitate și activitățile eficiente ale entităților economice la probleme extreme, la probleme de control optim și la probleme de joc. Ce este structura generala astfel de modele?

Orice sarcină de luare a deciziilor se caracterizează prin prezența unei persoane sau a unor persoane care urmăresc anumite scopuri și care au anumite capacități pentru aceasta. Prin urmare, pentru a identifica elementele principale ale unui model decizional, este necesar să răspundem la următoarele întrebări:

џ cine ia decizia?

џ care sunt obiectivele luării deciziilor?

џ în ce constă luarea deciziilor?

џ care este setul opțiuni posibile atingerea scopului?

џ în ce condiții are loc o decizie?

Deci ne confruntăm cu o anumită sarcină generală de luare a deciziilor. Pentru a-și construi schema formală (modelul), introducem notația generală.

Scrisoare N Să notăm ansamblul tuturor partidelor decizionale. Lăsa N=(1,2,..., n), acestea. există doar n participanți identificați doar prin numere. Fiecare element este numit factor de decizie (DM). (de exemplu, o persoană, o companie, un organism de planificare de o mare preocupare, guvern etc.).

Să presupunem că setul tuturor soluțiilor fezabile (alternative, strategii) ale fiecărui decident a fost anterior studiat și descris matematic (de exemplu, sub forma unui sistem de inegalități). Să le notăm prin X 1 , X 2 ,..., X n . După aceasta, procesul decizional al tuturor factorilor de decizie se reduce la următorul act formal: fiecare decident selectează un anumit element din setul său admisibil de decizii,..., . Rezultatul este o mulțime x =(x1,...,xn) de soluții selectate, pe care le numim o situație.

Pentru a evalua situația x din punctul de vedere al scopurilor urmărite de decident, se construiesc funcții f 1 ,...,f n (numite funcții obiective sau criterii de calitate) care atribuie x scoruri numerice fiecărei situații f 1 (x),..., f n (X)(de exemplu, veniturile firmelor în situația x, sau costurile acestora etc.). Apoi obiectivul i-al-lea decident se formalizează astfel: alege o soluție astfel încât în ​​situație x =(x 1 ,...,X n ) număr f i (X) a fost cât se poate de mare (sau mic). Cu toate acestea, atingerea acestui obiectiv depinde parțial de el datorită prezenței altor părți care influențează situatie generala x pentru a-și atinge propriile obiective. Acest fapt de intersectare a intereselor (conflict) se reflectă în faptul că funcția f i in afara de asta X i depinde de alte variabile X j (j i). Prin urmare, în modelele de luare a deciziilor cu mulți participanți, obiectivele lor trebuie formalizate diferit decât maximizarea sau minimizarea valorilor funcției f i (X).În sfârșit, să putem descrie matematic toate condițiile în care se ia o decizie. (descrierea conexiunilor dintre variabilele controlabile și necontrolabile, descrierea influenței factorilor aleatori, luând în considerare caracteristici dinamice etc.). Pentru simplitate, totalitatea tuturor acestor condiții va fi notată cu un simbol.

Astfel, schița generală a unei probleme de luare a deciziilor ar putea arăta astfel:

Prin precizarea elementelor modelului (1.6.1.), clarificând caracteristicile și proprietățile acestora, se poate obține una sau alta clasă specifică de modele decizionale. Deci, dacă în (1.6.1.) N constă dintr-un singur element (n=1), iar toate condițiile și premisele problemei reale originale pot fi descrise sub forma unui set de soluții admisibile acestui singur decident, apoi din (1.6.1.) obținem structura problemei (extreme) de optimizare:< Х, f >. În această schemă, decidentul poate fi considerat un organism de planificare. Folosind această schemă, puteți scrie probleme extreme de două tipuri:

Dacă o problemă extremă ia în considerare în mod explicit factorul timp, atunci se numește o problemă de control optim. Dacă n 2, atunci (1.6.1.) este schema generala sarcini de luare a deciziilor în condiții de conflict, adică în situații în care există o intersecție a intereselor a două sau mai multe părți.

Adesea, un decident are nu unul, ci mai multe obiective. În acest caz, din (1) obținem o diagramă în care toate funcțiile f 1 (x),..., f n (X) sunt definite pe aceeași mulțime X. Astfel de probleme se numesc probleme de optimizare multicriterială.

Există clase de probleme de luare a deciziilor care și-au primit numele în funcție de scopul lor: sisteme de așteptare, probleme de gestionare a stocurilor, probleme de rețea și de programare, teoria fiabilității etc.

Dacă elementele modelului (1) nu depind în mod explicit de timp, adică procesul decizional se reduce la actul instantaneu de a alege un punct dintr-o mulțime dată, atunci problema se numește static.În caz contrar, adică atunci când luarea deciziilor este un proces discret sau continuu în mai multe etape, sarcina se numește dinamic. Dacă elementele modelului (1) nu conţin variabile aleatoareși fenomene probabilistice, atunci problema se numește deterministă, altfel se numește stocastică.

Calculatorul a intrat ferm în viața noastră și practic nu există nicio zonă de activitate umană în care să nu fie folosit un computer. Calculatoarele sunt acum utilizate pe scară largă în procesul de creare și cercetare de noi mașini, de noi procese tehnologice și de căutare a opțiunilor optime ale acestora; la rezolvarea problemelor economice, la rezolvarea problemelor de planificare si management al productiei la diferite niveluri. Crearea de obiecte mari în rachete, fabricarea de aeronave, construcții navale, precum și proiectarea de baraje, poduri etc. este în general imposibilă fără utilizarea computerelor.

Pentru a utiliza un calculator în rezolvarea problemelor aplicate, în primul rând, problema aplicată trebuie „tradusă” într-un limbaj matematic formal, adică. pentru un obiect, proces sau sistem real trebuie construit model matematic.

Cuvântul „Model” provine din latinescul modus (copie, imagine, contur). Modelarea este înlocuirea unui obiect A cu un alt obiect B. Obiectul înlocuit A se numește obiect original sau de modelare, iar înlocuitorul B se numește model. Cu alte cuvinte, un model este un obiect care este un substitut pentru obiectul original, oferind studiul unor proprietăți ale originalului.

Scopul simulării sunt primirea, prelucrarea, prezentarea și utilizarea informațiilor despre obiecte care interacționează între ele și mediul extern; iar modelul acționează aici ca un mijloc de înțelegere a proprietăților și modelelor de comportament ale unui obiect.

Modelarea este utilizată pe scară largă în diverse domenii ale activității umane, în special în domeniile proiectării și managementului, unde procesele de luare a deciziilor eficiente pe baza informațiilor primite sunt deosebite.

Un model este întotdeauna construit cu un scop specific, care influențează care proprietăți ale unui fenomen obiectiv sunt semnificative și care nu. Modelul este ca o proiecție a realității obiective dintr-un anumit unghi. Uneori, în funcție de obiective, este posibil să se obțină o serie de proiecții ale realității obiective care intră în conflict. Acest lucru este de obicei tipic pentru sisteme complexe, în care fiecare proiecție selectează ceea ce este esențial pentru un anumit scop dintr-un set de cele neesențiale.

Teoria modelării este o ramură a științei care studiază modalități de a studia proprietățile obiectelor originale pe baza înlocuirii lor cu alte obiecte model. Teoria modelării se bazează pe teoria similitudinii. La modelare, asemănarea absolută nu are loc și se străduiește doar să se asigure că modelul reflectă suficient de bine aspectul funcționării obiectului studiat. Asemănarea absolută poate apărea numai atunci când un obiect este înlocuit cu altul exact la fel.

Toate modelele pot fi împărțite în două clase:

  1. real,
  2. perfect.

La rândul lor, modelele reale pot fi împărțite în:

  1. la scară largă,
  2. fizic,
  3. matematic.

Modele ideale poate fi împărțit în:

  1. vizual,
  2. simbolic,
  3. matematic.

Modelele reale la scară reală sunt obiecte reale, procese și sisteme pe care se desfășoară experimente științifice, tehnice și industriale.

Modele fizice reale- acestea sunt modele, manechine, reproduceri proprietăți fizice originale (modele cinematice, dinamice, hidraulice, termice, electrice, de iluminat).

Cele matematice reale sunt modelele analogice, structurale, geometrice, grafice, digitale și cibernetice.

Modelele vizuale ideale sunt diagramele, hărțile, desenele, graficele, graficele, analogii, structurale și modele geometrice.

Modelele semnate ideale sunt simbolurile, alfabetul, limbaje de programare, notația ordonată, notația topologică, reprezentarea în rețea.

Ideal modele matematice- acestea sunt modele analitice, funcționale, de simulare, combinate.

În clasificarea de mai sus, unele modele au o dublă interpretare (de exemplu, analogică). Toate modelele, cu excepția celor la scară largă, pot fi combinate într-o singură clasă de modele mentale, deoarece sunt un produs al gândirii abstracte umane.

Să ne oprim asupra unuia dintre cele mai universale tipuri de modelare - matematică, care pune în corespondență cu modelarea proces fizic un sistem de relații matematice, a cărui soluție permite obținerea unui răspuns la o întrebare despre comportamentul unui obiect fără a crea un model fizic, care de multe ori se dovedește a fi costisitor și ineficient.

Modelare matematică - este un mijloc de studiere a unui obiect, proces sau sistem real prin înlocuirea acestora model matematic, mai convenabil pentru cercetare experimentală folosind un calculator.

Model matematic este o reprezentare aproximativă a obiectelor, proceselor sau sistemelor reale, exprimată în termeni matematiciși păstrând caracteristicile esențiale ale originalului. Modele matematiceîn formă cantitativă, folosind constructe logice și matematice, ele descriu proprietățile de bază ale unui obiect, proces sau sistem, parametrii acestuia, conexiunile interne și externe.

Nu există încă o terminologie standardizată și este puțin probabil să apară, deoarece de-a lungul istoriei modelării matematice foarte un numar mare de oamenii de știință au studiat acest subiect.

Modelarea matematică este utilizată în diferite domenii ale vieții umane. Cum ar fi, de exemplu: matematică, biochimie, medicină și așa mai departe.

Definiția unui model matematic dat de A.D. Mishkis.

Să examinăm valoarea totală S a proprietăților unui anumit obiect A (obiect: sistem, situație, fenomen, proces și așa mai departe). De ce construim un obiect matematic A" - o relație aritmetică, o figură geometrică, un sistem de ecuații și așa mai departe, al cărui studiu prin intermediul matematicii ar trebui să dea răspunsuri la întrebările puse despre proprietățile lui S. În acest caz, obiectul matematic A" se numește model matematic al obiectului A în raport cu mulțimea de proprietăți S. Definiția face clar nu numai că obiectele A și A" au naturi diferite, ci și că A" este determinat nu numai de originalul A însuși, dar și de totalitatea proprietăților sale studiate S. Atunci, dacă efectuăm două studii ale unuia și aceluiași obiect A în raport cu două mulțimi diferite S1 și S2 ale proprietăților sale, atunci modelele matematice corespunzătoare " și „A1 A2 poate fi complet diferit. Prima proprietate rezultă din acest studiu modele matematice- multiplicitatea lor. Să subliniem că aici ne referim nu numai la multiplicitatea modelelor asociate ierarhiei lor, ci la rezultatul generat de necesitatea studierii diverselor sisteme, ... S1 S2 proprietățile sale.

De exemplu, același nor masiv de cumulus poate fi considerat atât din punctul de vedere al generării sale de curenți de aer descendenți, care sunt distribuite mai departe pe suprafața pământului și sunt percepuți de noi ca o rafală de vânt înainte de apariția precipitațiilor abundente. , și ca zonă de mare activitate electrică a atmosferei. Toată această manifestare a obiectului prezintă un pericol mare pentru zborul aeronavei. Curenții descendenți sunt periculoase în timpul etapelor de decolare și de aterizare, din cauza unei schimbări semnificative a amplitudinii forței subterane a aripii aeronavei (o schimbare bruscă a direcției vitezei vântului de la vântul din față la cel din spate). Apărând într-un astfel de nor sunt puternice câmpuri electrice poate crea o scurgere electricitate atmosferică(fulger), al cărui impact asupra unei aeronave poate duce la defectarea completă sau parțială a echipamentelor radioelectronice de la bordul aeronavei. Este clar că în primul caz, pentru model se folosesc ecuațiile aerohidrodinamicii și se studiază domeniul vitezelor de curgere a aerului (model matematic raportat la setul de caracteristici S1). În al doilea caz, se studiază structura electrică a norului și se construiește un model electrodinamic (relativ la setul de caracteristici S2).

A doua, cea mai importantă proprietate este unitatea modelelor matematice. Faptul distinctiv este că diverse sisteme reale sau modelele lor semnificative pot avea același model matematic.

Importantă în teoria modelării matematice este coordonarea constantă a tuturor aspectelor construcției modelului cu sarcinile și scopurile studiului. Prin urmare, evidențiem câteva caracteristici ale sistemelor și proceselor mecanice care sunt esențiale pentru cercetare.

În primul rând, factorii care determină astfel de obiecte sunt caracterizați ca cantități măsurabile - parametri.

În al doilea rând, astfel de modele se bazează pe ecuații care descriu legile fundamentale ale naturii (mecanica), care nu trebuie revizuite sau clarificate. Chiar și modelele parțiale gata făcute ale fenomenelor individuale utilizate în compilarea celor mai generale sunt bine formulate și descrise în termeni de condiții și domenii de aplicare.

În al treilea rând, un obstacol imens în dezvoltarea modelelor de sisteme și procese mecanice este descrierea de nesigur caracteristici cunoscute obiecte, atât funcționale, cât și numerice.

În al patrulea rând, cerințele actuale pentru astfel de modele duc la necesitatea de a lua în considerare mulți factori care influențează comportamentul unui obiect, nu doar cei care țin de legile naturii cunoscute. Toate aceste caracteristici conduc la faptul că modelele de sisteme și procese mecanice aparțin în principal clasei matematice.

Modelele matematice se bazează pe o descriere matematică a unui obiect. ÎN descriere matematică Desigur, în primul rând, sunt incluse interrelațiile dintre parametrii obiectului, ceea ce caracterizează caracteristicile sale de funcționare. Astfel de conexiuni pot fi reprezentate ca:

Figura 2.1.1 - Relații dintre parametrii obiectului

Primele patru dintre aceste tipuri sunt denumite colectiv: dependențe analitice.

Descrierea matematică conține nu numai relațiile dintre elementele și parametrii obiectului (modele și legi), ci și un set complet de date funcționale și numerice ale obiectului (caracteristici; condiții inițiale, de limită, finale; restricții), precum și ca metode de calcul a parametrilor de ieşire ai modelului. Adică, o descriere matematică este un set complet de funcții, metode și date de calcul care permite obținerea unui rezultat.

Cu toate acestea, un model matematic poate să nu includă o parte din descrierea matematică (cel mai adesea unele date inițiale), dar, pe lângă acesta, trebuie să conțină descrieri ale tuturor ipotezelor utilizate pentru a-l construi, precum și algoritmi pentru transferul datelor sursă și de ieșire. de la model la original și înapoi.

Figura 2.1.2 – Descrierea matematică a modelului

În plus față de clasificare, modelele matematice, în funcție de natura obiectului, de problemele rezolvate și de metodele utilizate, pot diferi în următoarele tipuri:

– calcule (algoritmi, nomograme, formule, grafice, tabele);

– corespunzătoare (exemplu: model în tunel de vantși zborul efectiv al unei aeronave în atmosferă);

– asemănătoare (parametri proporționali corespunzători și descrieri matematice identice);

– neliniar și liniar (descris prin funcții care conțin parametrii de bază numai la puterile lui 0 și 1, sau orice tipuri de funcții),

– nestaționară și staționară (dependentă de timp sau independentă),

– discret sau continuu,

– stocastică sau deterministă (probabilistă, lipsită de ambiguitate sau exactă: modele de așteptare, simulare etc.),

– neclar și clar (exemple seturi neclare: aproximativ 10; adânc sau superficial; bun sau rău).

Bazat evenimente istorice Se întâmplă că un model matematic înseamnă uneori doar unul un fel deosebit modele care conțin doar o descriere matematică directă fără ambiguitate sub formă de algoritmi de calcul sau dependențe analitice - adică un model matematic determinist, cu ajutorul căruia, cu aceleași date inițiale, se poate obține doar același rezultat. S-au răspândit modelele deterministe care stabilesc o legătură cu parametrii originalului folosind coeficienți de proporționalitate, toți simultan egali cu unu. Descrierea matematică folosită de un astfel de model poate fi considerată în mod natural o descriere a originalului în sine - această afirmație este adevărată: modelul și originalul în acest caz au o descriere matematică comună. În condiții de o simplitate atât de aparentă, un inginer fără experiență percepe modelul nu mai ca pe un model, ci ca pe un original. Cu toate acestea, un astfel de model matematic este doar un model cu toate simplificările, convențiile, abstracțiile și ipotezele care stau la baza acestuia. Există dorința de a „simplifica” procesul de modelare bună, ceea ce este în general imposibil, deoarece modelul fie corespunde originalului, fie nu există deloc. O atitudine neglijentă față de aceasta duce la multe concluzii eronate în cercetarea aplicată, iar rezultatele obținute nu corespund cu starea reală a lucrurilor.

Modelele de simulare sunt prezentate ca antipodul modelelor deterministe.

Modelele de simulare (stochastice) sunt modele matematice ale unor astfel de originale, pentru elementele individuale ale cărora nu există o formă analitică de descriere matematică. Descrierea matematică a modelelor de simulare conține o descriere a proceselor aleatoare (stochastice). Ca atare descriere ei prezintă diferite forme legi de distribuţie care pot fi întocmite pe baza prelucrare statistică rezultatele observării originalului.

Pe lângă legile de distribuție a variabilelor aleatoare care descriu fenomenul, descrierea matematică a modelelor de simulare poate include o descriere a relațiilor dintre variabilele aleatoare (de exemplu, folosind modele de teorie a cozii), precum și un algoritm de testare statistică (Monte). Metoda Carlo pentru implementarea elementare evenimente aleatorii). Rezultă că modelele de simulare utilizează aparatul matematic al teoriei probabilităților: statistica matematică, teoria cozilor și metodele de testare statistică.

Imaginați-vă un avion: aripi, fuselaj, coadă, toate acestea împreună - un adevărat avion imens, imens, întreg. Sau poti realiza o macheta de avion, mica, dar exact ca in viata reala, aceleasi aripi etc., dar compacte. La fel și modelul matematic. Există o problemă de text, greoaie, poți să o privești, să o citești, dar să nu o înțelegi prea bine și, cu atât mai mult, nu este clar cum să o rezolvi. Ce se întâmplă dacă faci un model mic al unei probleme mari de cuvinte, un model matematic? Ce înseamnă matematic? Aceasta înseamnă, folosind regulile și legile notației matematice, să transformăm textul într-o reprezentare logic corectă folosind numere și semne aritmetice. Asa de, un model matematic este o reprezentare a unei situații reale folosind limbajul matematic.

Să începem cu ceva simplu: numărul mai mult număr pe. Trebuie să scriem acest lucru fără a folosi cuvinte, ci doar limbajul matematicii. Dacă există mai multe, atunci se dovedește că dacă scadem din, atunci aceeași diferență a acestor numere va rămâne egală. Acestea. sau. Înțelegi ideea?

Acum este mai dificil, acum va exista un text pe care ar trebui să încerci să-l reprezinți sub forma unui model matematic, nu citi încă cum o voi face, încearcă și tu! Există patru numere: , și. Produsul este de două ori mai mare decât produsul.

Ce s-a întâmplat?

Sub forma unui model matematic va arăta astfel:

Acestea. produsul este legat de doi la unu, dar acest lucru poate fi simplificat și mai mult:

Bine, aici mergem exemple simpleînțelegi ideea, cred. Să trecem la probleme cu drepturi depline în care trebuie rezolvate și aceste modele matematice! Iată provocarea.

Model matematic în practică

Problema 1

După ploaie, nivelul apei din fântână poate crește. Băiatul măsoară timpul de cădere a pietricelelor mici în fântână și calculează distanța până la apă folosind formula, unde este distanța în metri și este timpul căderii în secunde. Înainte de ploaie, timpul de cădere a pietricelelor era s. Cât de mult trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe în s? Exprimați răspunsul în metri.

Oh Doamne! Ce formule, ce fel de puț, ce se întâmplă, ce să faci? Ți-am citit gândurile? Relaxați-vă, în probleme de acest tip există condiții și mai teribile, principalul lucru este să vă amintiți că în această problemă vă interesează formulele și relațiile dintre variabile, iar ceea ce înseamnă toate acestea în majoritatea cazurilor nu este foarte important. Ce vi se pare util aici? Eu o vad personal. Principiul pentru rezolvarea acestor probleme este următorul: luați toate cantitățile cunoscute și le înlocuiți.DAR, uneori trebuie să te gândești!

Urmând primul meu sfat și înlocuind tot ce se știe în ecuație, obținem:

Eu am înlocuit timpul secundului și am găsit înălțimea pe care a zburat piatra înaintea ploii. Acum trebuie să numărăm după ploaie și să găsim diferența!

Acum, ascultați al doilea sfat și gândiți-vă, întrebarea specifică „cât de mult trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe în s”. Trebuie să vă dați seama imediat că, după ploaie, nivelul apei crește, ceea ce înseamnă că timpul în care piatra cade la nivelul apei este mai scurt, iar aici expresia ornamentată „pentru ca timpul măsurat să se schimbe” capătă un sens specific: căderea. timpul nu crește, ci se reduce cu secundele indicate. Aceasta înseamnă că, în cazul unei aruncări după ploaie, trebuie doar să scădem c din momentul inițial c și obținem ecuația pentru înălțimea la care piatra va zbura după ploaie:

Și, în sfârșit, pentru a afla cât de mult trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe în s., trebuie doar să scădeți al doilea din prima înălțime de cădere!

Primim răspunsul: pe metru.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat, principalul lucru este să nu vă deranjați prea mult de unde a venit o astfel de ecuație de neînțeles și uneori complexă în condiții și ce înseamnă totul în ea, credeți-mă pe cuvânt, majoritatea aceste ecuații sunt luate din fizică și acolo jungla este mai proastă decât în ​​algebră. Uneori mi se pare că aceste sarcini au fost inventate pentru a intimida elevul la examenul de stat unificat cu o abundență de formule și termeni complexi și, în majoritatea cazurilor, nu necesită aproape nicio cunoaștere. Citiți cu atenție condiția și înlocuiți cantitățile cunoscute în formulă!

Iată o altă problemă, nu din fizică, ci din lume teorie economică, deși aici nu sunt necesare cunoștințe de alte științe decât matematică.

Problema 2

Dependența volumului cererii (unități pe lună) pentru produsele unei întreprinderi monopoliste de preț (mii de ruble) este dată de formula

Venitul întreprinderii pentru luna (în mii de ruble) este calculat folosind formula. Determinați cel mai mare preț la care veniturile lunare vor fi de cel puțin mii de ruble. Dați răspunsul în mii de ruble.

Ghici ce voi face acum? Da, voi începe să conectez ceea ce știm, dar, din nou, va trebui să mă mai gândesc puțin. Să mergem de la final, trebuie să aflăm la care. Deci, există, este egal cu ceva, aflăm cu ce altceva este egal și este egal cu el, așa că îl notăm. După cum puteți vedea, nu prea mă deranjez cu semnificația tuturor acestor cantități, mă uit doar din condiții pentru a vedea ce este egal cu ce, asta este ceea ce trebuie să faceți. Să revenim la problemă, o ai deja, dar după cum îți amintești dintr-o ecuație cu două variabile, nu poți găsi nici una dintre ele, ce ar trebui să faci? Da, mai avem o bucată nefolosită în stare. Acum, există deja două ecuații și două variabile, ceea ce înseamnă că acum pot fi găsite ambele variabile - grozav!

Poți rezolva un astfel de sistem?

Rezolvăm prin substituție; este deja exprimat, deci să o substituim în prima ecuație și să o simplificăm.

Obținem această ecuație pătratică: , rezolvăm, rădăcinile sunt așa, . Sarcina necesită găsirea celui mai mare preț la care vor fi îndeplinite toate condițiile pe care le-am luat în considerare la crearea sistemului. Oh, se pare că acesta a fost prețul. Cool, așa că am găsit prețurile: și. Cel mai mare preț, zici? Bine, cel mai mare dintre ei, evident, îl scriem ca răspuns. Ei bine, este greu? Cred că nu, și nu este nevoie să aprofundăm prea mult în asta!

Și iată o fizică terifiantă, sau mai degrabă o altă problemă:

Problema 3

Pentru a determina temperatura efectivă a stelelor, se utilizează legea Stefan-Boltzmann, conform căreia, unde este puterea de radiație a stelei, este o constantă, este aria suprafeței stelei și este temperatura. Se știe că aria suprafeței unei anumite stele este egală, iar puterea radiației sale este egală cu W. Găsiți temperatura acestei stele în grade Kelvin.

Cum este clar? Da, condiția spune ce este egal cu ce. Anterior, recomandam înlocuirea tuturor necunoscutelor deodată, dar aici este mai bine să exprimăm mai întâi necunoscutul căutat. Uite ce simplu este: există o formulă și în ea știm, și (aceasta este litera greacă „sigma”. În general, fizicienii iubesc literele grecești, se obișnuiesc cu ea). Și temperatura este necunoscută. Să o exprimăm sub forma unei formule. Sper că știi cum să faci asta? Astfel de sarcini pentru examenul de stat din clasa a IX-a sunt de obicei date:

Acum, tot ce rămâne este să înlocuiți cifrele în loc de litere din partea dreaptă și să simplificați:

Iată răspunsul: grade Kelvin! Și ce sarcină groaznică a fost!

Continuăm să chinuim problemele de fizică.

Problema 4

Înălțimea deasupra solului unei mingi aruncate se modifică conform legii, unde este înălțimea în metri și este timpul în secunde care a trecut de la momentul aruncării. Câte secunde va rămâne mingea la o înălțime de cel puțin trei metri?

Toate acestea au fost ecuații, dar aici trebuie să stabilim cât de lungă era mingea la o înălțime de cel puțin trei metri, adică la o înălțime. Ce vom inventa? Inegalitate, exact! Avem o funcție care descrie cum zboară mingea, unde - aceasta este exact aceeași înălțime în metri, avem nevoie de înălțime. Mijloace

Și acum rezolvi pur și simplu inegalitatea, principalul lucru este să nu uiți să schimbi semnul inegalității de la mai mult sau egal la mai mic sau egal atunci când înmulți cu ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de minusul din față.

Acestea sunt rădăcinile, construim intervale pentru inegalitate:

Ne interesează intervalul în care este semnul minus, deoarece inegalitatea ia acolo valori negative, aceasta este de la la ambele inclusiv. Acum să ne pornim creierul și să ne gândim cu atenție: pentru inegalitate am folosit o ecuație care descrie zborul mingii, ea zboară cumva de-a lungul unei parabole, de exemplu. decolează, atinge un vârf și cade, cum să înțelegi cât timp va rămâne la o altitudine de cel puțin metri? Am găsit 2 puncte de cotitură, adică momentul în care se înalță deasupra metrilor și momentul în care, căzând, atinge același reper, aceste două puncte sunt exprimate sub formă de timp, adică. știm în ce secundă de zbor a intrat în zona de interes pentru noi (peste metri) și în ce secundă a părăsit-o (a căzut sub marcajul metrului). Câte secunde a fost în această zonă? Este logic să luăm timpul de ieșire din zonă și să scădem din el timpul de intrare în această zonă. În consecință: - a fost atât de mult timp în zona peste metri, acesta este răspunsul.

Ai noroc că majoritatea exemplelor pe această temă pot fi luate din categoria problemelor de fizică, așa că mai prinde unul, este cel final, așa că împinge-te, a mai rămas puțin!

Problema 5

Pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv, dependența temperaturii de timpul de funcționare a fost obținută experimental:

Unde este timpul în minute, . Se știe că dacă temperatura elementului de încălzire este mai mare, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Găsiți cel mai lung timp după ce începeți lucrul în care trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Acționăm după o schemă bine stabilită, mai întâi notăm tot ce este dat:

Acum luăm formula și o echivalăm cu valoarea temperaturii la care dispozitivul poate fi încălzit cât mai mult posibil până când se arde, adică:

Acum înlocuim numerele unde sunt cunoscute în loc de litere:

După cum puteți vedea, temperatura în timpul funcționării dispozitivului este descrisă de ecuație pătratică, ceea ce înseamnă că este distribuit de-a lungul unei parabole, adică Dispozitivul se încălzește până la o anumită temperatură și apoi se răcește. Am primit răspunsuri și, prin urmare, la și la minute de încălzire temperatura este egală cu critică, dar între și minute - este chiar mai mare decât limita!

Aceasta înseamnă că trebuie să opriți dispozitivul după câteva minute.

MODELE MATEMATICE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Cel mai adesea, modelele matematice sunt folosite în fizică: probabil a trebuit să memorezi zeci formule fizice. Iar formula este o reprezentare matematică a situației.

În OGE și Unified State Exam există sarcini exact pe acest subiect. În examenul de stat unificat (profil) aceasta este sarcina numărul 11 ​​(fostă B12). În OGE - sarcina numărul 20.

Schema soluției este evidentă:

1) Din textul condiției este necesar să „izolăm” informații utile - ceea ce în problemele de fizică scriem sub cuvântul „Dat”. Aceste informații utile sunt:

  • Formulă
  • Mărimi fizice cunoscute.

Adică, fiecare literă din formulă trebuie să fie asociată cu un anumit număr.

2) Luați toate cantitățile cunoscute și înlocuiți-le în formulă. Cantitatea necunoscută rămâne sub forma unei litere. Acum trebuie doar să rezolvați ecuația (de obicei destul de simplă), iar răspunsul este gata.

Deveniți student YouClever,

Pregătiți-vă pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat la matematică,

Și, de asemenea, obțineți acces la manualul YouClever fără restricții...

Ca un sistem de ecuații, sau relații aritmetice, sau forme geometrice, sau o combinație a ambelor, al căror studiu prin intermediul matematicii ar trebui să răspundă la întrebările puse despre proprietățile unui anumit set de proprietăți ale unui obiect din lumea reală, ca un set de relații matematice, ecuații, inegalități care descriu modelele de bază. inerente procesului, obiectului sau sistemului studiat.

În sistemele de control automatizate, un model matematic este utilizat pentru a determina algoritmul de funcționare al controlerului. Acest algoritm determină modul în care acțiunea de control ar trebui să fie schimbată în funcție de schimbarea în master, pentru ca obiectivul de control să fie atins.

Clasificarea modelului

Clasificarea formală a modelelor

Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Adesea construită sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii:

și așa mai departe. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: concentrate într-o privință (din punct de vedere al parametrilor), distribuite în alta etc.

Clasificare după modul în care este reprezentat obiectul

Odată cu clasificarea formală, modelele diferă prin modul în care reprezintă un obiect:

  • Modele structurale sau funcționale

Ipotezele model în știință nu pot fi dovedite o dată pentru totdeauna; putem vorbi doar despre respingerea sau neinfirmarea lor ca urmare a experimentului.

Dacă se construiește un model de primul tip, aceasta înseamnă că este acceptat temporar ca adevăr și se poate concentra asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul unui model de primul tip nu poate fi decât temporar.

Model fenomenologic

Al doilea tip este modelul fenomenologic ( „Ne comportăm ca și cum...”), conține un mecanism pentru a descrie fenomenul, deși acest mecanism nu este suficient de convingător, nu poate fi suficient confirmat de datele disponibile sau nu se potrivește bine cu teoriile existente și cunoștințele acumulate despre obiect. Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut, iar căutarea „mecanismelor adevărate” trebuie să continue. Peierls include, de exemplu, modelul caloric și modelul cuarc al particulelor elementare ca al doilea tip.

Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp și se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. În mod similar, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele de ipoteză de primul tip și pot fi traduse în al doilea. Astfel, modelul cuarcilor trece treptat în categoria ipotezelor; atomismul în fizică a apărut ca o soluție temporară, dar odată cu cursul istoriei a devenit primul tip. Dar modelele eterice și-au făcut drum de la tipul 1 la tipul 2 și sunt acum în afara științei.

Ideea simplificării este foarte populară atunci când construiești modele. Dar simplificarea vine sub diferite forme. Peierls identifică trei tipuri de simplificări în modelare.

Apropiere

Al treilea tip de modele sunt aproximațiile ( „considerăm ceva foarte mare sau foarte mic”). Dacă se pot construi ecuații care descriu sistemul studiat, asta nu înseamnă că pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. O tehnică general acceptată în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre ei modele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare. Exemplu standard- Legea lui Ohm .

Experiment de gândire

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Unde x ¨ (\displaystyle (\ddot (x)))înseamnă a doua derivată a x (\displaystyle x) cu timpul: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Ecuația rezultată descrie modelul matematic al sistemului fizic considerat. Acest model se numește „oscilator armonic”.

Conform clasificării formale, acest model este liniar, determinist, dinamic, concentrat, continuu. În procesul construcției sale, am făcut multe presupuneri (despre absența forțe externe, absența frecării, mici abateri etc.), care în realitate pot să nu fie îndeplinite.

În raport cu realitatea, acesta este cel mai adesea un model de tip 4 simplificare(„vom omite unele detalii pentru claritate”), deoarece unele caracteristici universale esențiale (de exemplu, disiparea) sunt omise. După o anumită aproximare (să zicem, în timp ce abaterea sarcinii de la echilibru este mică, cu frecare scăzută, pentru nu prea mult timp și supus anumitor alte condiții), un astfel de model descrie destul de bine lumea reală. sistem mecanic, deoarece factorii aruncați au o influență neglijabilă asupra comportamentului ei. Cu toate acestea, modelul poate fi rafinat luând în considerare unii dintre acești factori. Acest lucru va duce la un nou model, cu un domeniu de aplicabilitate mai larg (deși din nou limitat).

Cu toate acestea, la rafinarea modelului, complexitatea cercetării sale matematice poate crește semnificativ și poate face modelul practic inutil. Adesea, un model mai simplu permite o explorare mai bună și mai profundă. sistem real, cu atât mai complex (și, formal, „mai corect”).

Dacă aplicăm modelul oscilatorului armonic la obiecte departe de fizică, statutul său de fond poate fi diferit. De exemplu, atunci când se aplică acest model la populațiile biologice, cel mai probabil ar trebui să fie clasificat ca tip 6 analogie(„să luăm în considerare doar câteva caracteristici”).

Modele dure și moi

Oscilatorul armonic este un exemplu al așa-numitului model „hard”. Se obține ca urmare a unei puternice idealizări a unui sistem fizic real. Proprietățile unui oscilator armonic sunt modificate calitativ de mici perturbații. De exemplu, dacă adăugați un termen mic în partea dreaptă − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(frecare) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- un parametru mic), atunci obținem oscilații amortizate exponențial dacă schimbăm semnul termenului suplimentar (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x)))) atunci frecarea se va transforma în pompare și amplitudinea oscilațiilor va crește exponențial.

Pentru a rezolva problema aplicabilității unui model rigid, este necesar să înțelegem cât de importanți sunt factorii pe care i-am neglijat. Este necesar să se studieze modele moi obținute printr-o mică perturbare a celui dur. Pentru un oscilator armonic ele pot fi date, de exemplu, de următoarea ecuație:

m x ¨ = - k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Aici f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- o anumită funcție care poate lua în considerare forța de frecare sau dependența coeficientului de rigiditate a arcului de gradul de întindere a acestuia. Forma explicită a funcției f (\displaystyle f) Nu ne interesează momentan.

Dacă demonstrăm că comportamentul modelului soft nu este fundamental diferit de comportamentul celui dur (indiferent de tipul explicit de factori perturbatori, dacă aceștia sunt suficient de mici), problema se va reduce la studierea modelului hard. În caz contrar, aplicarea rezultatelor obținute în urma studierii modelului rigid va necesita cercetări suplimentare.

Dacă un sistem își menține comportamentul calitativ sub mici perturbări, se spune că este stabil din punct de vedere structural. Un oscilator armonic este un exemplu de sistem instabil structural (negru). Cu toate acestea, acest model poate fi folosit pentru a studia procese pe perioade limitate de timp.

Versatilitatea modelelor

Cele mai importante modele matematice au de obicei proprietatea importantă versatilitate: Fenomene reale fundamental diferite pot fi descrise de același model matematic. De exemplu, un oscilator armonic descrie nu numai comportamentul unei sarcini pe un arc, ci și alte procese oscilatorii, adesea de o natură complet diferită: mici oscilații ale unui pendul, fluctuații ale nivelului unui lichid în U (\displaystyle U)-vas în formă sau o modificare a puterii curentului într-un circuit oscilator. Astfel, studiind un model matematic, studiem imediat o întreagă clasă de fenomene descrise de acesta. Este acest izomorfism al legilor exprimat prin modele matematice în diferite segmente cunoștințe științifice, l-a inspirat pe Ludwig von Bertalanffy să creeze „teoria generală a sistemelor”.

Probleme directe și inverse de modelare matematică

Există multe probleme asociate cu modelarea matematică. În primul rând, trebuie să veniți cu o diagramă de bază a obiectului modelat, să o reproduceți în cadrul idealizărilor acestei științe. Astfel, un vagon se transformă într-un sistem de plăci și corpuri mai complexe din materiale diferite, fiecare material fiind specificat ca idealizare mecanică standard (densitate, module elastice, caracteristici standard de rezistență), după care se întocmesc ecuații, pe parcurs unele detaliile sunt eliminate ca neimportante, se fac calcule, se compară cu măsurătorile, modelul este rafinat și așa mai departe. Cu toate acestea, pentru a dezvolta tehnologii de modelare matematică, este utilă dezasamblarea acestui proces în componentele sale principale.

În mod tradițional, există două clase principale de probleme asociate modelelor matematice: directe și inverse.

Sarcina directă: structura modelului și toți parametrii săi sunt considerați cunoscuți, sarcina principală este de a efectua un studiu al modelului pentru a extrage cunoștințe utile despre obiect. Ce sarcină statică va rezista podul? Cum va reacționa la o sarcină dinamică (de exemplu, la marșul unei companii de soldați sau la trecerea unui tren pe viteză diferită), cum va depăși avionul bariera de sunet, dacă se va destrăma de flutter - acestea sunt exemple tipice ale unei probleme directe. Stabilirea corectă a problemei directe (a pune întrebarea corectă) necesită abilități speciale. Dacă nu se pun întrebările potrivite, un pod se poate prăbuși, chiar dacă a fost construit un model bun pentru comportamentul său. Astfel, în 1879, podul feroviar metalic peste Firth of Tay s-a prăbușit în Marea Britanie, ai cărui proiectanți au construit un model al podului, l-au calculat pentru un factor de siguranță de 20 de ori pentru acțiunea sarcinii utile, dar au uitat de vânturile sufla constant în acele locuri. Și după un an și jumătate s-a prăbușit.

În cel mai simplu caz (ecuația unui oscilator, de exemplu), problema directă este foarte simplă și se reduce la o soluție explicită a acestei ecuații.

Problemă inversă: există multe modele posibile, trebuie să alegeți model specific pe baza unor date suplimentare despre obiect. Cel mai adesea, structura modelului este cunoscută și trebuie determinați niște parametri necunoscuți. Informații suplimentare poate consta în date empirice suplimentare sau cerințe pentru obiect ( problema de proiectare). Date suplimentare pot ajunge indiferent de procesul de rezolvare a problemei inverse ( observație pasivă) sau să fie rezultatul unui experiment special planificat în timpul soluționării ( supraveghere activă).

Unul dintre primele exemple de soluție magistrală la o problemă inversă cu cea mai deplină utilizare a datelor disponibile a fost metoda lui Newton pentru reconstrucția forțelor de frecare din oscilațiile amortizate observate.

Un alt exemplu este statistica matematică. Sarcina acestei științe este de a dezvolta metode de înregistrare, descriere și analiză a datelor observaționale și experimentale pentru a construi modele probabilistice ale fenomenelor aleatorii de masă. Adică, setul de modele posibile este limitat la modele probabilistice. În sarcinile specifice, setul de modele este mai limitat.

Sisteme de simulare pe calculator

Pentru a sprijini modelarea matematică, au fost dezvoltate sisteme de matematică pe calculator, de exemplu, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim etc. Acestea vă permit să creați modele formale și bloc ale proceselor și dispozitivelor simple și complexe și să schimbați cu ușurință parametrii modelului în timpul modelare. Modele bloc sunt reprezentate prin blocuri (cel mai adesea grafice), ale căror seturi și conexiuni sunt specificate de diagrama modelului.

Exemple suplimentare

Modelul lui Malthus

Conform modelului propus de Malthus, rata de creștere este proporțională cu mărimea actuală a populației, adică descrisă de ecuația diferențială:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha x),

Unde α (\displaystyle \alpha)- un anumit parametru determinat de diferenta dintre fertilitate si mortalitate. Soluția acestei ecuații este funcția exponențială x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Dacă natalitatea depășește rata mortalității ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), dimensiunea populației este nelimitată și crește foarte rapid. În realitate, acest lucru nu se poate întâmpla din cauza resurselor limitate. Când este atinsă o anumită dimensiune critică a populației, modelul încetează să fie adecvat, deoarece nu ține cont de resursele limitate. O rafinare a modelului Malthus poate fi un model logistic, care este descris de ecuația diferențială Verhulst:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

unde este dimensiunea populației „de echilibru”, la care rata natalității este compensată exact de rata mortalității. Mărimea populației într-un astfel de model tinde spre o valoare de echilibru x s (\displaystyle x_(s)), iar acest comportament este stabil din punct de vedere structural.

Sistem prădător-pradă

Să presupunem că într-o anumită zonă trăiesc două tipuri de animale: iepuri (care mănâncă plante) și vulpi (care mănâncă iepuri). Lasă numărul de iepuri x (\displaystyle x), numărul de vulpi y (\displaystyle y). Folosind modelul Malthus cu modificările necesare pentru a lua în considerare consumul de iepuri de către vulpi, ajungem la următorul sistem, denumit modele Tavi - Volterra:

( x ˙ = (α - c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y) ))=(-\beta +dx)y\end(cases)))

Comportamentul acestui sistem nu este stabil din punct de vedere structural: o mică modificare a parametrilor modelului (de exemplu, luând în considerare resursele limitate necesare iepurilor) poate duce la o schimbare calitativă a comportamentului.

Pentru anumite valori ale parametrilor, acest sistem are o stare de echilibru când numărul de iepuri și vulpi este constant. Abaterea de la această stare duce la diminuarea treptată a fluctuațiilor numărului de iepuri și vulpi.

Este posibilă și situația inversă, când orice mică abatere de la poziția de echilibru va duce la consecințe catastrofale, până la dispariția completă a uneia dintre specii. Modelul Volterra - Trats nu răspunde la întrebarea care dintre aceste scenarii este realizat: aici sunt necesare cercetări suplimentare.

Vezi si

Note

  1. „O reprezentare matematică a realității” (Encyclopaedia Britanica)
  2. Novik I.B., Despre problemele filozofice ale modelării cibernetice. M., Cunoașterea, 1964.
  3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
  4. Samarsky A. A., Mihailov A. P. Modelare matematică. Idei. Metode. Exemple. - Ed. a II-a, rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
  5. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a III-a, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4
  6. Sevostyanov, A. G. Modelarea proceselor tehnologice: manual / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Lumină și industria alimentară, 1984. - 344 p.
  7. Rotach V.Ya. Teoria controlului automat. - primul. - M.: ZAO „Editura MPEI”, 2008. - P. 333. - 9 p. - ISBN 978-5-383-00326-8.
  8. Model Reducere și Coarse-Graining Abordări pentru fenomene la scară multiplă(Engleză) . Springer, seria Complexitate, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 p. ISBN 3-540-35885-4. Consultat la 18 iunie 2013. Arhivat la 18 iunie 2013.
  9. „O teorie este considerată liniară sau neliniară în funcție de tipul de aparat matematic - liniar sau neliniar - și de ce fel de modele matematice liniare sau neliniare folosește. ...fără a nega aceasta din urmă. Un fizician modern, dacă ar trebui să recreeze definiția unei entități atât de importante ca neliniaritatea, cel mai probabil ar acționa diferit și, dând preferință neliniarității ca fiind cel mai important și mai răspândit dintre cele două opuse, ar defini liniaritatea ca „nu neliniaritate.” Danilov Yu. A., Prelegeri despre dinamica neliniară. Introducere elementară. Seria „Sinergetică: de la trecut la viitor”. Ediția 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
  10. „Sistemele dinamice modelate printr-un număr finit de ecuații diferențiale obișnuite se numesc sisteme concentrate sau puncte. Ele sunt descrise folosind un spațiu de fază cu dimensiuni finite și sunt caracterizate de un număr finit de grade de libertate. Același sistem în condiții diferite poate fi considerat fie concentrat, fie distribuit. Modelele matematice ale sistemelor distribuite sunt ecuatii diferentiale derivate parțiale, ecuații integrale sau ecuații obișnuite cu o ceartă întârziată. Numărul de grade de libertate ale unui sistem distribuit este infinit și este necesar un număr infinit de date pentru a-i determina starea.”
    Anishchenko V. S., Sisteme dinamice, Jurnal educațional Soros, 1997, Nr. 11, p. 77-84.
  11. „În funcție de natura proceselor studiate în sistemul S, toate tipurile de modelare pot fi împărțite în deterministă și stocastică, statică și dinamică, discretă, continuă și discret-continuă. Modelarea deterministă reflectă procese deterministe, adică procese în care se presupune absența oricăror influențe aleatorii; modelarea stocastică descrie procese și evenimente probabilistice. ... Modelarea statică servește pentru a descrie comportamentul unui obiect în orice moment în timp, iar modelarea dinamică reflectă comportamentul unui obiect în timp. Modelarea discretă este folosită pentru a descrie procese care se presupune că sunt discrete, respectiv, modelarea continuă ne permite să reflectăm procesele continue în sisteme, iar modelarea discret-continuă este folosită pentru cazurile în care se dorește să evidențieze prezența atât a proceselor discrete, cât și a celor continue. ”
    Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
  12. De obicei, un model matematic reflectă structura (dispozitivul) obiectului modelat, proprietățile și relațiile componentelor acestui obiect care sunt esențiale pentru scopurile cercetării; un astfel de model se numește structural. Dacă modelul reflectă doar modul în care funcționează obiectul - de exemplu, cum reacționează la influențele externe - atunci se numește funcțional sau, la figurat, o cutie neagră. Sunt posibile și modele combinate. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a III-a, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 p.


Acțiune