A nemlineáris hatások sokféleképpen nyilvánulhatnak meg. Klasszikus példa a nemlineáris rugó, amelyben a visszaállító erő nem lineárisan függ a nyújtástól. Szimmetrikus nemlinearitás esetén (azonos reakció kompresszió és feszültség esetén) a mozgásegyenlet a következő alakot ölti:

Ha nincs csillapítás, és vannak periodikus megoldások, amelyeknél a sajátfrekvencia az amplitúdóval növekszik.

Rizs. 1.7. Merev rugós nemlineáris oszcillátor klasszikus rezonanciagörbéje abban az esetben, ha a rezgések periodikusak és a hajtóerővel azonos periódusúak (a és az (1.2.4) egyenletben definiáltuk).

Ezt a modellt gyakran Duffing-egyenletnek nevezik a matematikus után, aki tanulmányozta.

Ha periodikus erő hat a rendszerre, akkor klasszikus elmélet feltételezzük, hogy a válasz is periodikus lesz. Egy nemlineáris rugó rezonanciája az erő frekvenciájával egybeeső válaszfrekvenciánál az 1. ábrán látható. 1.7. Amint az ezen az ábrán látható, állandó hajtóerő-amplitúdó esetén van egy olyan frekvenciatartomány, amelyben három különböző válaszamplitúdó lehetséges. Megmutatható, hogy a szaggatott vonal az ábrán. Az 1.7 instabil, és ahogy a frekvencia növekszik és csökken, hiszterézis lép fel. Ezt a jelenséget túllövésnek nevezik, és számos mechanikai és elektromos rendszerrel végzett kísérletekben megfigyelték.

Vannak más periodikus megoldások is, például szubharmonikus és szuperharmonikus rezgések. Ha a hajtóerő alakja , akkor a szubharmonikus rezgések alakja és magasabb harmonikusai is lehetnek ( - egész). Amint alább látni fogjuk, a szubharmonikusok játszanak fontos szerep kaotikus előtti rezgésekben.

A nemlineáris rezonancia elmélete azon a feltételezésen alapul, hogy egy periodikus hatás periodikus választ okoz. Ez a posztulátum azonban megkérdőjelezhető új elmélet kaotikus rezgések.

Az öngerjesztett rezgések a nemlineáris jelenségek másik fontos osztálya. Ezek olyan oszcilláló mozgások, amelyek időszakos külső hatások vagy időszakos erők nélküli rendszerekben fordulnak elő. ábrán Az 1.8 néhány példát mutat be.

Rizs. 1.8. Példák öngerjesztett oszcillációkra: a - száraz súrlódás a tömeg és a mozgó reum között; b - vékony szárnyra ható aeroelasztikus erők; c - negatív ellenállás az áramkörben az aktív elemmel.

Az első példában az által keltett súrlódás relatív mozgás tömeg és mozgó szalag. A második példa az aeroelasztikus rezgések egy egész osztályát szemlélteti, amelyben az álló oszcillációt egy álló folyadékáramlás okozza. szilárd rugalmas felfüggesztésen. ábrán látható klasszikus elektromos példában. 1.9, és Van der Pol vizsgálta, az áramkör egy elektroncsövet tartalmaz.

Mindezekben a példákban a rendszer egy álló energiaforrást és egy disszipációs forrást vagy egy nemlineáris csillapító mechanizmust tartalmaz. A Van der Pol oszcillátor esetében az energiaforrás egy állandó feszültség.

Rizs. 1.9. A van der Pol által vizsgált azonos típusú határciklusban rezgő vákuumcső áramkör diagramja.

BAN BEN matematikai modell Ebben az áramkörben az energiaforrás negatív ellenállás formájában lép be:

Az energia kis amplitúdókkal juthat be a rendszerbe, de az amplitúdó növekedésével növekedését a nemlineáris csillapítás korlátozza.

Egy Froude-inga esetében (lásd például ) az energiát a tengely stacionárius forgatása szolgáltatja. Kisebb oszcillációknál a nemlineáris súrlódás a negatív csillapítás szerepét tölti be; eközben erős rezgések esetén a rezgések amplitúdóját a nemlineáris tag korlátozza

Oszcilláló mozgások az ilyen rendszereket gyakran határciklusoknak nevezik. ábrán Az 1.10 a Van der Pol oszcillátor pályáit mutatja a fázissíkon. A kis ingadozások spirálban forognak, közelítve egy zárt aszimptotikus pályát, a nagy amplitúdójú mozgások pedig spirálban összehúzódnak ugyanahhoz a határciklushoz (lásd 1.10. és 1.11. ábra, ahol ).

Az ilyen problémák tanulmányozása során gyakran két kérdés merül fel. Mekkora a rezgések amplitúdója és frekvenciája a határcikluson? A paraméterek milyen értékeinél vannak stabil határciklusok?

Rizs. 1.10. A fázissíkon ábrázolt Van der Pol oszcillátor határciklusú megoldása.

Rizs. 1.11. A Van der Pol oszcillátor relaxációs rezgései.

A van der Pol egyenlet esetében célszerű a térváltozót -ra normalizálni és az időt -ra normalizálni, így az egyenlet alakját veszi fel.

ahol . Kiseknél a határciklus egy 2 sugarú kör a fázissíkon, azaz.

hol vannak a harmadik és magasabb rendű harmonikusok. Általánosságban a mozgás relaxációs oszcillációk formájában történik, amint az 1-1. 1,11, dimenzió nélküli periódusa körülbelül 1,61 at

A periodikus erő problémája a Van der Pol rendszerben bonyolultabb:

Mivel ez a rendszer nemlineáris, a szuperpozíció elve szabad és kényszerű rezgések. Ehelyett a rendszer az eredményül kapott periodikus mozgást a vezetési frekvencián rögzíti, amikor az utóbbi közel van a ciklus határfrekvenciájához. Gyenge külső hatás mellett három periodikus megoldás létezik, de ezek közül csak az egyik stabil (1.12. ábra). Az erőamplitúdó nagy értékeire csak egy megoldás létezik. Mindenesetre a növekvő elhangolással - fixen a rögzített periodikus megoldás instabilnak bizonyul, és más típusú mozgások is lehetővé válnak.

Rizs. 1.12. A Van der Pol oszcillátor kényszermozgásának amplitúdógörbéi (1.2.9).

A Van der Pol rendszerben a vezetési és a természetes frekvenciák közötti nagy különbségek miatt egy új jelenség jelenik meg - a kombinációs rezgések, amelyeket néha szinte periodikus vagy kváziperiodikus megoldásoknak neveznek. A kombinációs oszcillációnak van formája

Amikor a és a frekvenciák összemérhetetlenek, azaz - irracionális szám, a megoldást kváziperiodikusnak nevezzük. A Van der Pol egyenlet esetében ahol a határciklus gyakorisága szabad rezgések(lásd például).

A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma

oktatási intézmény

Brest Állami Egyetem A.S. után nevezték el. Puskin

Fizikai Kar

Fizika és OTD Tanítási Módszerek Tanszék

TANFOLYAM MUNKA

NEMLINEÁRIS REZGÉSEK ÉS AZ OSCILLÁCIÓK SZINKRONIZÁLÁSA

Az FI-51 csoport diákja készítette

Paskevich A.Ya.

Tudományos tanácsadó:

c.f.-m. D., docens Vorsin N.N.

Breszt, 2012

Bevezetés

1.1 Lineáris rezgések determinisztikus külső erő jelenlétében

2. Nemlineáris helyreállító erőkkel rendelkező konzervatív rendszerek szabad rezgései

2.1 Csillapító és nemlineáris helyreállító erővel rendelkező rendszerek szabad nemlineáris rezgései

2.2 különböző típusok jellemzők0

3. Csillapítatlan és relaxációs rezgések

3.1. A Van der Pol egyenlet kvalitatív elemzése

3.2 Csatolt nemlineáris rezgések, fáziszárolt regeneratív vevő és szinkronizálási elv

3.3 Alapegyenletek

3.4 Nagy detuning oszcillációk

3.5 Állandó amplitúdójú kombinált rezgések

3.6 A Hill-egyenlethez vezető elektromos problémák

Következtetés

Bibliográfia

Bevezetés

Nincs abban semmi meglepő, hogy a fizikusnak képesnek kell lennie arra, hogy megoldást találjon a nemlineáris problémákra, mivel az őt körülvevő világban előforduló jelenségek közül sok nem lineáris függőségek által szabályozott. A matematikai tudományok fejlődése során a nemlineáris elemzés nehézségei megakadályozták, hogy a nemlineáris mozgásokról olyan elképzelések fogalmazódjanak meg, amelyek lehetővé tennék az ilyen jelenségek mélyebb megértését.

A tudományos eredmények történetére visszatekintve szembeötlő, hogy a kutatók fő erőfeszítései csak a tanulmányozásra összpontosultak. lineáris rendszerekés lineáris értelemben. Ha egy pillantást vetünk a minket körülvevő világra, akkor szó szerint minden lépésnél nemlineáris természetű jelenségekkel találkozunk. A lineáris ábrázolások csak felületes megértést tesznek lehetővé a természetben található dolgok nagy részében. Ahhoz, hogy az elemzés reálisabb legyen, többet kell elérni magas szintés könnyebb a nemlineáris reprezentációk megértése és használata.

Mögött utóbbi évek számítógépes elemzési módszereket dolgoztak ki, és sok esetben úgy vélték, hogy a kapott megoldások jobban megérthetik a nemlinearitás megnyilvánulásait. Általánosságban elmondható, hogy a numerikus megoldások egyszerű felsorolása csak a nemlineáris folyamatok valamivel jobban megértéséhez vezet, mint például magának a természetnek a megfigyelése, „megköszörülve” a megoldásokat egy olyan specifikus nemlineáris problémára, mint az időjárás. Úgy tűnik, hogy megértésünk nem egyenleten vagy azok megoldásán alapul, hanem alapvető és jól érthető gondolatokon. Általában csak akkor értjük meg a környezetet, ha olyan egyszerű kifejezésekkel tudjuk leírni, hogy jól érthetőek, és olyan tág értelemben, hogy egy konkrét helyzetre való utalás nélkül tudunk velük operálni. Az ilyen fogalmak listája kiterjedt, és tartalmaz például olyan kifejezéseket, mint a rezonancia, hiszterézis, hullámok, Visszacsatolás, határrétegek, turbulencia, lökéshullámok, deformáció, időjárási frontok, immunitás, infláció, depresszió stb. A legtöbb hasznos folyamat nem lineáris természetű, és képtelenek vagyunk precíz matematikai nyelven leírni olyan hétköznapi jelenségeket, mint az áramlás Az ereszcsatornában lévő víz vagy a cigarettafüst örvénylése részben annak tudható be, hogy korábban nem voltunk hajlandóak belemerülni a nemlineáris matematikába és megérteni azt.

A rezonancia jelensége, mint ismeretes, gyakran előfordul élő anyagban. Wiener nyomán Szent-Györgyi felvetette a rezonancia fontosságát az izmok elrendezésében. Kiderült, hogy az erős rezonáns tulajdonságokkal rendelkező anyagok általában kivételes képességgel rendelkeznek mind az energia, mind az információ tárolására, és az ilyen felhalmozódás kétségtelenül az izomban történik.

A nemlineáris rezgések, a véletlenszerű nemlineáris oszcillációk és a kapcsolt (fáziszárolt) nemlineáris rezgések a tudomány és a technológia számos területén, például a kommunikációban és az energetikában a jelenségek esszenciája; a ritmikus folyamatok biológiai és élettani rendszerekben játszódnak le. Biofizikus, meteorológus, geofizikus, atomfizikus, szeizmológus – mindannyian nemlineáris oszcillációkkal foglalkoznak, gyakran fázisszinkronizáltak ilyen vagy olyan formában. Például egy energetikai mérnök a szinkron gépek stabilitásának problémájával, egy kommunikációs mérnök az időkiválasztás vagy szinkronizálás instabilitásával, egy fiziológus a klonusszal, egy neurológus az ataxiával, a meteorológus az oszcillációk gyakoriságával foglalkozik. légköri nyomás, kardiológus - a szív munkája okozta ingadozásokkal, biológus - a biológiai óra lefutása miatti ingadozásokkal.

A disszertáció fő célja a nemlineáris rezgések elméletében felmerülő számos probléma vizsgálata, amelyek olyan alapvető fogalmakhoz kapcsolódnak, mint a rögzítés (vagy szinkronizálás), a követés, a demoduláció, a fáziskoherens kommunikációs rendszerek. Megkíséreljük áttekintést adni a gyakorlati érdeklődésre számot tartó nemlineáris problémákról, amelyek megoldásait hozzáférhető formában megírjuk. Az áttekintés nem teljes, de tartalmaz mintafeladatokat, amelyek bemutatják a fáziszárt rendszerek nemlineáris tulajdonságainak megértéséhez szükséges alapfogalmakat. A megoldások létezésének és egyediségének kérdését csak felületesen érintjük; a fő figyelem a megoldások megszerzésének módszereire irányul.

Az áttekintett anyag három fő témakörbe sorolható. Az első témakör az egy szabadságfokú és állandó paraméterű rendszerek lineáris rezgéselméletének eredményeit tartalmazza. Ezt az anyagot referenciaként és a nemlineáris rezgések elméletéből kapott eredményekkel való összehasonlításra használják. A második témakör a könnyen integrálható nemlineáris rendszerekkel foglalkozik, amelyekre nem hatnak az időtől függő külső erők. Itt a fázissík berendezése segítségével nemlineáris rendszerek szabad rezgését vizsgálják részletesen. Biztosítani összefoglaló Poincaré elmélete az elsőrendű differenciálegyenletek szinguláris pontjairól. A szinguláris pont fogalmának hasznosságát számos fizikai probléma megoldása szemlélteti. Végül a harmadik témakör az erőltetett, önfenntartó rezgéseket (önoszcillációkat) és a relaxációs nemlineáris oszcillációkat fedi le. Különösen Van der Pol elméletének szinkronizálási és követési problémákra való alkalmazása kerül terítékre, és a fejezet a Hill-egyenlet figyelembevételével zárul.

1. Szabad rezgések lineáris rendszerekben

Értékesnek és érdekesnek tűnik összefoglalni a lineáris rezgések főbb jellemzőit. Ennek számos oka van. Egyik alapvető feladatunk az oszcillációk vizsgálatának lineáris és nemlineáris módszereinek összehasonlítása. Emellett a gyakorlat úgy alakult, hogy lehetőség szerint alkalmazza a lineáris és a nemlineáris feladatokban használt terminológiát. Végül hasznos, ha összefoglaljuk a lineáris elmélet főbb gondolatait és képleteit a könnyebb hivatkozás érdekében.

A lineáris oszcilláció problémájának talán legegyszerűbb példáját egy egyszerű elektromos áramkör adja, amely egy kapacitással sorba kapcsolt induktorból és egy ellenállásból áll (1. ábra). ábrán látható mechanikus analóg. Az 1. ábra egy olyan testből áll, amelynek tömege egy rugóra van rögzítve, és amely a test elmozdulásával arányos erőt (úgynevezett helyreállító erőt) fejleszt ki. Ehhez az elektromos rendszerhez, a Kirchhoff-törvényt alkalmazva, megvan

Ha feltételezzük, hogy egy mechanikai rendszerben egy test olyan közegben mozog, amely a sebességgel arányos ellenállást biztosít (viszkózus súrlódás), akkor a mechanikai rendszer rezgéseire vonatkozó mozgásegyenletet az összefüggés adja meg.

Hasonlatosan megvan az; ; és ráadásul az áram analóg az elmozdulással.

Rizs. 1.Lineáris elektromos és mechanikai rendszerek

Feltételezve egyelőre, hogy a külső erő és a jelölés bevezetése

redukáljuk (1.2) alakra

Mivel az oszcillációk által meghatározott lineáris homogén egyenlet, szabad lineáris rezgéseknek nevezzük. Közös döntés lineáris egyenlet tól től állandó együtthatók eszik lineáris kombináció két exponenciális függvény:

ahol az és tetszőleges állandók vannak definiálva kezdeti feltételek, a és a karakterisztikus egyenlet gyökei

Így, és a relációk adják

Ha az (1.5) megoldást valós formában akarjuk ábrázolni, akkor három olyan esetet veszünk figyelembe, ahol a mennyiség: a) valós, b) nulla, c) imaginárius. Könnyű megmutatni, hogy a megoldások formát öltenek

hol és valódiak; és tetszőleges állandók, amelyeket az elmozdulás (áram) és a sebesség értékének valamely kezdeti pillanatban történő beállításával határoznak meg.

Az (1.8 - a) egyenlet a gyakorlatban fordul elő leggyakrabban. Az (1.3)-ból jól belátható, hogy ez az eset akkor következik be, ha a csillapítási tényező kicsi a -hoz képest. Az (1.8 - a) egyenlet ebben az esetben olyan oszcillációs mozgást ír le, hogy minden két egymást követő maximum és elmozdulás kielégíti az összefüggést

NEMLINEÁRIS OSCILLÁCIÓK

A folyamatok nemlinearitása, beleértve az oszcillációkat is, matematikailag a megfelelő mozgásegyenletek nemlinearitásában fejeződik ki. A fizika szempontjából az oszcillációk nemlinearitását két teljesen eltérő tulajdonság jellemzi: az anharmonicitás és a nonizokronizmus. Alatt anharmonikusság megérteni a frekvencia-ingadozások spektrumában való jelenlétét, amelyek a fő többszörösei, - Fourier harmonikus, vagy felhangok. Nem izokron Oszcillációnak nevezzük, amelynek frekvenciája (az alap- és felsőharmonikusoké) a rezgések amplitúdójától vagy energiájától függ.

A nemlineáris oszcillációk klasszikus példája a bolygók Nap körüli forradalma - ez a probléma, amelynek megoldásával a modern mechanika és fizika kezdődött. Kepler harmadik törvénye szerint a bolygók Nap körüli forgási gyakoriságát a teljes energiájuk adja meg:

w=│ E│ 3/2 .

A nonizokronizmus általában véve nem kapcsolódik az anharmonicitáshoz. Így egy körpályán, állandó mágneses térben, fénysebességhez közeli sebességgel mozgó töltött részecske tisztán harmonikus rezgéseket hajt végre, keringésének frekvenciája pedig fordítottan arányos az energiával.

NEMLINEÁRIS OSZCILLÁTOR

Lineáris (csillapítás hiányában - harmonikus) oszcillátor - a rezgések lineáris elméletének fő modellje. A mozgásegyenlete (Newton második törvénye szerint):

ahol x- az az érték, amelynek ingadozásait a modell írja le (az inga elmozdulásának amplitúdója, áram vagy feszültség az oszcillációs körben, populáció mérete stb.), - "gyorsulása".

A nemlineáris oszcillátor a nemlineáris rezgéselmélet fő modellje. A mozgásegyenlete a következő:

ahol f(.x) egy nemlineáris függvény, amely legalább egy nemlineárist tartalmaz (nem elsőfokú in x) tagja. A rendszer összenergiája nem függ az időtől, azaz a rendszertől konzervatív.

A nemiszokron rezgéseket például egy részecske hajtja végre egy lapos potenciálkútban - egy végtelenül magas falú dobozban:

U(x)=0 at - l/ 2<х< l/ 2; U(X)=¥ at x£ - l/ 2, X>l/ 2.

A részecske állandó sebességgel mozog a dobozon belül, és azonnal rugalmasan tükröződik a határokon. Neki kinetikus energia E k \u003dmv 2/2, azaz sebesség V= Ö (2E a /m) energiától függ. Egy részecske rezgési periódusát a képlet fejezi ki

A (3) képletből látható, hogy az oszcillációk periódusa az energia növekedésével csökken (más rendszereknél nőhet).

Az energiamegmaradás törvénye E oszcillátornak (konzervatív nemlineáris rendszernek) van a formája

A nemlineáris oszcillátor mozgásáról teljes minőségi képet ad annak fázisképe. Az energiamegmaradás törvényéből arra lehet következtetni

LEONID ISAAKOVICS MANDELSHTAM

Még a felfedezések hiányos listája és alapvető művek Leonid Isaakovich Mandelstam (1879-1944) akadémikus a maga sokszínűségében feltűnő: Raman és fluktuációs fényszórás, mikroszkópelmélet, nemlineáris oszcillációk és rádiótechnika, rezonanciaelmélet, rádiógeodézia, az újfajta elektromágneses hullámok generátorai - parametrikus gépek. L. I. Mandelstam kivételes, hogy ne mondjam fájdalmas igényessége a munka eredményeivel szemben, nem tette lehetővé, hogy ebbe a listába több mást is felvegyen. fontos felfedezések, - például az elektronok fémekben való tehetetlenségének kísérleti felfedezése 1912-ben (néhány évvel Stewart és Tolman klasszikus kísérletei előtt).

De Mandelstam tudományos munkásságának lenyűgöző sokfélesége és érdeklődési köre mögött világosan látható fő téma- a rezgések elmélete. Miután először Lord Rayleigh kétkötetes Theory of Sound című művéből ismerkedett meg ezzel a területtel, Mandelstam áthatotta ötletei szépségét, és többször is „oszcillációs segítséghez” folyamodott, ami lehetővé tette, hogy analógiákat találjunk a hangzás különböző részeinek eredményei között. fizika.

Mandelstam boldogan testesítette meg a teoretikus és a kísérletező, a kutató és az előadó ritka kombinációját. Elmondta, hogy létezik az első típusú megértés, amikor elolvasnak és megértenek mindent, ami le van írva, bármilyen képletet levezethetnek, de még nem tudnak önállóan válaszolni egyetlen kérdésre sem az olvasottakból, és a második fajta megértése. , amikor az összkép tiszta, az eszmék, jelenségek teljes összefüggése . A mély és finom gondolkodó Mandelstam megértette az összes fizika második fajtáját, és nagylelkűen megosztotta tudását számos hallgatóval (köztük A. A. Andronov, A. A. Witt, G. S. Gorelik, G. S. Landsberg, M. A. Leontovich, VV Migulin, SM Rytov, SP Strelkov, IE Tamm, SE Khaikin, SP Shubin stb.) és a hallgatók.

Mandelstam Mogilevben született egy olyan családban, amely tudósokat, orvosokat és írókat adott a világnak. Hamarosan a család Odesszába költözött. 12 éves koráig a fiú otthon tanult, majd a gimnáziumban, amit aranyéremmel végzett. 1897-ben belépett a Novorosszijszki Egyetem (Odesszai) Fizikai és Matematikai Karának matematikai tanszékére. Két évvel később a hallgatói zavargások miatt a fiatalembert kizárták az egyetemről. Szülei tanácsára Mandelstam Strasbourgba, az egyik központba távozott fizikai kutatás ahol folytatta tanulmányait. Heinrich Weber matematikus (Riemann tanítványa és a klasszikus kurzus szerzője " Differenciál egyenletek Matematikai fizika”), Ferdinand Braun fizikus (a Fizikai Intézet részmunkaidős igazgatója), az Elméleti Fizikai Tanszéket Kohn Emil (az „Electromagnetic Field” című jól ismert mű szerzője) vezette.

Az ingadozásoktól távol áll a helyreállító erő az eltéréssel arányos (azaz a törvény szerint változik (- kx)). Vegyük például a 2.74. ábrán látható rugót. Több lemezből áll. Kisebb deformációk esetén csak a hosszú lemezek hajlanak meg. Nagy terhelés esetén a rövidebb (és merevebb) lemezek is hajlításnak vannak kitéve. A helyreállító erő most a következőképpen írható le:

akkumulátor üzemmód átvált időszakos, amikor az oszcillációk megszűnnek, és a test csak lassan közeledik az egyensúlyi helyzethez (ábra). 2.72, időszámításunk előtt).

Írja be a pontokat tartalmazó sor helyett (t, x), vonal, ahová a pontok kerülnek ( x,v), és készítsen fázisportrékat a csillapított rezgésekről a különböző súrlódásokhoz. Használhatja a kész programok egyikét is Phaspdem* vagy Phport* a PAKPRO csomagban elérhetők közül. A 2.73. ábrán látható típusú diagramokat kell előállítani.

Hogy visszatérő legyen, i.e. FÉs x mindig is volt különböző jelek, páratlan erővel sorozatban kellene bővíteni X. Amennyiben helyzeti energia U az erővel kapcsolatos képlet alapján F = - dU/dx, ez azt jelenti

azaz a parabola falainál meredekebb falú potenciálkútban oszcillációk lépnek fel (2.75. ábra, a). A lemezek egymáshoz való súrlódása biztosítja a lengéscsillapításhoz szükséges csillapítást.

Aszimmetrikus kútban is lehetséges az oszcilláció, amikor

(2.75. ábra, b). A helyreállító erő egyenlő lesz

A nemlineáris rezgések problémáinak megoldása során elkerülhetetlen a számítógép használata, mivel nincs analitikus megoldás. Számítógépen a megoldás egyáltalán nem nehéz. Csak abban a sorban szükséges, ahol a sebességnövelést hajtják végre (v = v + F At/m),írja be például az F teljes kifejezését -kh-gh 2 képpont 3.

Példa. A nemlineáris rezgések grafikonjának rajzolására szolgáló program a PAKPRO csomagban található néven Nlkol. Vedd munkába. A különböző kezdeti eltérésekhez görbék sorozatát kell kapnia. Egy bizonyos értéknél nagyobb x 0-nál az oszcilláló részecske távozik potenciális lyuk potenciális akadály leküzdése.

Próbáld ki a programokat is Ncol*És Nlosc.*, a PAKPRO csomagban elérhető, valamint a nemlineáris rezgések fázisportréinak készítésére használható programok: Phaspnl*, Phportnl*.

Vegye figyelembe, hogy szigorúan véve szinte minden rezgés nemlineáris. Csak kis amplitúdó esetén tekinthetők lineárisnak (hanyagolja el a c x 2 , x 3 stb. kifejezéseket a (2.117) képletekben).

Hagyja az oszcillátort a C00 frekvenciájú természetes rezgéseket biztosító helyreállító erőn kívül egy külső erő is befolyásolni, amely periodikusan változik co frekvenciával, egyenlő vagy nem egyenlő (Oo. Ez az erő meglendíti a testet frekvenciával együtt.A keletkező rezgéseket ún kényszerű.

A mozgás egyenlete ebben az esetben a következő lesz:

Először is van egy folyamat az oszcillációk létrehozására. Az első nyomástól a test a saját frekvenciájával kezd oszcillálni 0-tól. Aztán fokozatosan elhalványulnak a természetes oszcillációk, és a hajtóerő kezdi irányítani a folyamatot. A kényszerrezgések már nem frekvenciával (00, hanem ω hajtóerő frekvenciával vannak beállítva. A tranziens folyamat nagyon bonyolult, nincs analitikus megoldás. A feladat numerikus módszerrel történő megoldásakor a program nem lesz többé bonyolultabb, mint mondjuk a csillapított oszcillációk programja.sor, ahol a mozgásegyenletnek megfelelően a sebességet növeljük, adjuk hozzá a hajtóerőt FobiH = Focos(cot) alakban.

Példa. A PACG1RO csomag egy példát tartalmaz egy olyan programra, amely a számítógép képernyőjén megjelenő kényszeringadozások grafikonját állítja elő. Lásd még programokat Ustvcol.pasÉs UstvcoW.pas. Az így kapott x(?) grafikon és fázisdiagram v(x)ábrán látható 2.76. A paraméterek sikeres kiválasztásával jól látható, hogyan jönnek létre fokozatosan az erőltetett rezgések. Érdekes megfigyelni az erőltetett rezgések létrejöttét is fázisdiagram(program Phpforce.pas).

Ha az ω frekvenciájú rezgéseket már megállapítottuk, a (2.118) egyenlet megoldását a következő formában találhatjuk meg.

Itt Jo az állandó rezgések amplitúdója. Ha (2.119)-et behelyettesítjük (2.118)-ba, miután korábban megtaláltuk az idő deriváltokat X"És X"és tekintettel arra nak nek= coo 2 m, akkor kiderül, hogy (2.119) a (2.118) egyenlet megoldása lesz, feltéve, hogy

A súrlódást nem vették figyelembe, együttható de nullának tételezzük fel. Látható, hogy a rezgések amplitúdója meredeken növekszik, amikor ω közeledik a C0-hoz (2.77. ábra). Ezt a jelenséget az ún rezonancia.

Ha valóban nem lenne súrlódás, akkor az amplitúdó co = (Oo-nál végtelenül nagy lenne. A valóságban ez nem történik meg. Ugyanez a 2.77 ábra mutatja, hogyan változik a rezonanciagörbe a súrlódás növekedésével. De mégis, ha co és coo egybeesik, az amplitúdó tízszeresére és százszorosára is nőhet, mint a F Turbékol. A gépészetben ez a jelenség veszélyes, mivel a motor hajtórezgései rezonanciába kerülhetnek a gép bármely részének sajátfrekvenciájával, és összeeshetnek.

Nemlineáris A hatások sokféleképpen nyilvánulhatnak meg. Klasszikus példa a nemlineáris rugó, amelyben a visszaállító erő nem lineárisan függ a nyújtástól. Szimmetrikus nemlinearitás esetén (azonos reakció kompresszió és feszültség esetén) a mozgásegyenlet a következő alakot ölti:

Ha nincs csillapítás és , akkor vannak olyan periodikus megoldások, amelyeknél a sajátfrekvencia az amplitúdóval növekszik. Ezt a modellt gyakran egyenletnek nevezik Duffing az azt tanulmányozó matematikus nevével (1.54. ábra).

Ha periodikus erő hat a rendszerre, akkor a klasszikus elmélet szerint a válasz is periodikus lesz. Egy nemlineáris rugó rezonanciája az erő frekvenciájával egybeeső válaszfrekvenciánál az ábrán látható.

1.54. ábra - Klasszikus rezonanciagörbe nem lineáris merev rugóval rendelkező oszcillátor abban az esetben, ha a rezgések periodikusak és a hajtóerővel azonos periódusúak (a és b az egyenletben definiált)

Az állandó hajtóerő amplitúdója érdekében a hajtási frekvenciák egy tartománya létezik, amelyben három különböző válaszamplitúdó lehetséges. Megmutatható, hogy a szaggatott vonal instabil, és ahogy a frekvencia növekszik és csökken, hiszterézis. Ezt a jelenséget az ún flip,és számos mechanikai és elektromos rendszerrel végzett kísérletekben megfigyelhető.

Vannak más időszakos megoldások is, mint pl szubharmonikusÉs szuperharmonikus ingadozások.

Ha a mozgatóerőnek megvan a formája , akkor a szubharmonikus rezgéseknek lehet olyan formája plusz magasabb harmonikusok (-egész szám).

A nemlineáris rezonancia elmélete azon a feltételezésen alapul, hogy egy periodikus hatás periodikus választ okoz. A kaotikus rezgések új elmélete azonban éppen ezt a posztulátumot vitatja.

Öngerjesztett oszcillációk - a nemlineáris jelenségek másik fontos osztálya. Ezek olyan oszcilláló mozgások, amelyek periodikus külső hatások vagy periodikus erők nélküli rendszerekben fordulnak elő (1.55. ábra).

1.55. ábra – Példák öngerjesztett oszcillációkra: de - száraz súrlódás a tömeg és a mozgó szalag között;

b - vékony szárnyra ható aeroelasztikus erők

Az első példában a rezgéseket a tömeg és a mozgó szalag egymáshoz viszonyított mozgása által létrehozott súrlódás okozza.

A második példa az aeroelasztikus oszcillációk egy egész osztályát szemlélteti, amelyben az álló rezgéseket egy rugalmas szuszpenzión lévő szilárd test mögött álló folyadékáramlás okozza.

Ezekben a példákban a rendszernek van egy álló energiaforrása és egy disszipációs forrása, vagy egy nemlineáris csillapítómechanizmusa. Ennek az áramkörnek a matematikai modelljében az energiaforrás negatív ellenállás formájában lép be (Van der Pol egyenlet):

Az energia kis amplitúdókkal juthat be a rendszerbe, de az amplitúdó növekedésével növekedését a nemlineáris csillapítás korlátozza.

A van der Pol egyenlet elemzésekor célszerű áttérni a dimenzió nélküli változókra úgy, hogy a térváltozót -ra és az időt -re normalizáljuk, így az egyenlet a következő alakot veszi fel.

,

Egy egyenlet megoldása során azt elsőrendű egyenletrendszerként ábrázoljuk

Az ilyen rendszerek oszcilláló mozgásait gyakran nevezik limit ciklusok. Az 1.56. ábra a Van der Pol oszcillátor pályáit mutatja a fázissíkon. Kis oszcillációk spiráloznak, közelítve egy zárt aszimptotikus pályát, és a nagy amplitúdójú mozgások spiráloznak ugyanahhoz a határciklushoz (ahol ) .

1.56. ábra - Megoldás határciklussal a Van der Pol oszcillátorhoz, a fázissíkon ábrázolva

Az ilyen problémák tanulmányozása során gyakran két kérdés merül fel. Mekkora a rezgések amplitúdója és frekvenciája a határcikluson? A paraméterek milyen értékeinél vannak stabil határciklusok?

Kicsi esetén a határciklus egy 2 sugarú kör a fázissíkon, azaz ahol + ... a harmad- és magasabb rendű harmonikusokat jelöli.

Nagyjából a mozgás formát ölt relaxációs oszcillációk,ábrán látható, körülbelül 1,61 dimenzió nélküli periódussal.

1.57. ábra A Van der Pol oszcillátor relaxációs rezgései

A periodikus erő problémája a Van der Pol rendszerben bonyolultabb:

Mivel a rendszer nemlineáris, a szabad és kényszerű rezgések szuperpozíciójának elve nem alkalmazható. Ehelyett a keletkező periodikus mozgás elfogták a vezetési frekvencián, amikor az közel van a ciklusfrekvencia határértékéhez.

Gyenge külső hatás mellett három periodikus megoldás létezik, de ezek közül csak az egyik stabil (lásd az ábrát). Az erőamplitúdó nagy értékeire csak egy megoldás létezik. Mindenesetre, ahogy a detuning növekszik, a rögzített periodikus megoldás instabilnak bizonyul, és más típusú mozgások is lehetővé válnak.

A vezetési és a saját frekvenciák közötti nagy különbségek miatt a van der Pol rendszerben egy új jelenség jelenik meg - kombinált rezgések, néha szinte periodikus vagy kvázi-periodikus megoldásoknak nevezik

Ha a és a frekvenciák összemérhetetlenek, azaz irracionális szám, akkor a megoldást ún. kvázi periodikus. A Van der Pol egyenlethez , ahol a szabad rezgések határciklusának frekvenciája (1.58. ábra).

1.58. ábra - Amplitúdó görbéi kényszerhez

a van der Pol oszcillátor mozgása

Az alábbiakban a kváziperiodikus rezgésekről lesz szó, de mivel nem periodikusak, összetéveszthetők a kaotikus megoldásokkal, amelyek nem azok. (Nekik az oldat Fourier-spektruma két csúcsból áll, , )

Amikor , és összemérhetetlenek, a megoldás fázisportréja nyitott pálya, és egy másik módszert használnak a kváziperiodikus függvények grafikus ábrázolására.

Időközönként stroboszkópos mintavétel történik; állítsa be és jelölje , .

Ezután az arány csökken