A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Rössler attraktor- kaotikus attraktor, amely Rössler-differenciálegyenlet-rendszerrel rendelkezik:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(mátrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (xc)\backslash end(mátrix)\backslash jobbra.$ ;

ahol $ABC$ pozitív állandók. A paraméterértékekhez $a=b=0,2$És $2.6\backslash le\; c\backslash le\; 4.2$ a Rössler-egyenletek stabil határciklussal rendelkeznek. A paraméterek ezen értékeivel a periódus és a határciklus alakja periódusduplázó sorozatot hajt végre. Közvetlenül a pont után $c\; =\; 4,2$ kaotikus attraktor jelensége lép fel. A határciklusok jól meghatározott vonalai elmossák és kitöltik a fázisteret végtelen, megszámlálható pályakészlettel, amelyek fraktál tulajdonságaival rendelkeznek.

Néha a Rössler-attraktorokat egy síkra, azaz a $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(mátrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(mátrix)\; \backslash jobbra.$

Fenntartható megoldások a $x,\; y$ az alak Jacobi-mátrixának sajátvektorának kiszámításával kereshető meg , amelyekre $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Ebből egyértelmű, hogy mikor , sajátvektorokösszetettek és pozitív valós komponensekkel rendelkeznek, ami instabillá teszi az attraktort. Most megvizsgáljuk a repülőgépet $Z$ ugyanabban a tartományban $a$. Viszlát $x$ Kevésbé $c$, paraméter $c$ közel tartja a röppályát a síkhoz $x,\; y$. Amint $x$ több lesz $c$, $z$-koordináta kezd növekedni, és kicsit később a paraméter $-z$ lassítja a növekedést $x$ ban ben $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Egyensúlypontok

Az egyensúlyi pontok megtalálásához a három Rössler-egyenletet nullával és nullával egyenlővé kell tenni $xyz$-az eredményül kapott egyenletek megoldásával megtaláljuk az egyes egyensúlyi pontok koordinátáit. Végül is:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(mátrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash jobbra)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(mátrix)\; \backslash jobbra.$

Ahogy látható általános egyenletek Rössler attraktor, ezen fix pontok egyike az attraktor közepén található, míg a többi viszonylag távol helyezkedik el a központtól.

Az a, b és c paraméterek megváltoztatása

A Rössler attraktor viselkedése nagymértékben függ az állandó paraméterek értékétől. Az egyes paraméterek megváltoztatása bizonyos hatást ad, aminek következtében a rendszer konvergálhat egy periodikus pályára, egy fix pontra, vagy rohanhat a végtelenbe. A Rössler-attraktor periódusainak számát az határozza meg, hogy hány köre fordul elő a központi pont körül, amelyek a hurkok sorozata előtt fordulnak elő.

A bifurkációs diagramok egy szabványos eszköz a dinamikus rendszerek viselkedésének elemzésére, amelyek magukban foglalják a Rössler attraktort is. Egy olyan rendszer egyenleteinek megoldásával jönnek létre, ahol két változót rögzítünk és egyet megváltoztatunk. Egy ilyen diagram elkészítésekor szinte teljesen „árnyékolt” régiókat kapunk; ez a dinamikus káosz birodalma.

A paraméter módosítása a

Javítsuk ki $b\; =\; 0,2$, $c=5,7$és változni fogunk $a$.

Ennek eredményeként empirikusan a következő táblázatot kapjuk:

• $a\backslash leq\; 0$: Konvergál egy stabil ponthoz.
• $a\; =\; 0,1$: Pörgetés 2-es periódussal.
• $a\; =\; 0,2$: Káosz (a Rössler-egyenletek standard paramétere) .
• $a\; =\; 0,3$: Kaotikus attraktor.
• $a\; =\; 0,35$: Hasonló az előzőhöz, de a káosz erősebb.
• $a\; =\; 0,38$: Hasonló az előzőhöz, de a káosz még erősebb.

Paraméter módosítása b

Javítsuk ki $a\; =\; 0,2$, $c=5,7$és most megváltoztatjuk a paramétert $b$. Amint az ábrán látható, at $b$ nullára hajlamos, az attraktor instabil. Amikor $b$ több lesz $a$És $c$, a rendszer kiegyensúlyozott lesz, és álló állapotba kerül.

A paraméter módosítása c

Javítsuk ki $a=b=0,1$és változni fogunk $c$. A bifurkációs diagramból látható, hogy kicsi $c$ a rendszer periodikus, de növekedésével gyorsan kaotikussá válik. Az ábrák pontosan mutatják, hogyan változik a rendszer véletlenszerűsége a növekedéssel $c$. Például mikor $c$= 4 az attraktor periódusa eggyel egyenlő lesz, és csak egy vonal lesz a diagramon, ugyanez történik akkor is, ha $c$= 3 és így tovább; amíg $c$ nem lesz több 12-nél: az utolsó periodikus viselkedést ez az érték jellemzi, akkor mindenhol káosz megy.

Illusztrációkat adunk az attraktor viselkedésére a megadott értéktartományban $c$, amelyek az ilyen rendszerek általános viselkedését szemléltetik – gyakori átmeneteket a periodicitásból a dinamikus káoszba.

Írjon véleményt a "Rössler Attractor" cikkről

Megjegyzések

Linkek

• Konstruktőr

Irodalom

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Modern fizika: Oktatóanyag. M., KomKniga, 2005, 512 pp., ISBN 5-484-00058-0, ch. 2 Fizika nyílt rendszerek. pp 2.4 Rössler kaotikus attraktorja.

A Rössler Attractort jellemző részlet

– Engedj át, mondom – ismételte Andrej herceg, és összeszorította a száját.
- És te ki vagy? hirtelen részeg dühvel fordult felé a tiszt. - Ki vagy te? Te (főleg rajtad pihent) te vagy a főnök, vagy mi? Én vagyok itt a főnök, nem te. Te, vissza, - ismételte -, tortává töröm.
Ez a kifejezés láthatóan tetszett a tisztnek.
- Az adjutáns fontosan leborotválkozott - hallatszott egy hang hátulról.
Andrej herceg látta, hogy a tiszt az ok nélküli düh részeg rohamában volt, amelyben az emberek nem emlékeznek arra, amit mondanak. Látta, hogy közbenjárását az orvos feleségéért a vagonban tele van azzal, amitől a legjobban félt a világon, amit nevetségnek [viccesnek] neveznek, de az ösztöne mást mondott. Mielőtt a tiszt befejezte volna utolsó szavait, Andrej herceg veszettségtől eltorzult arccal odalovagolt hozzá, és felemelte ostorát:
- Engedj ki akaratodból!
A tiszt intett a kezével, és sietve elhajtott.
„Mindent ezektől, a személyzettől, az egész rendetlenségtől” – morogta. - Tedd, ahogy akarod.
Andrej herceg sietve, anélkül, hogy felemelte volna a szemét, elhajtott az orvos feleségétől, aki megmentőnek nevezte, és undorral felidézve ennek a megalázó jelenetnek a legapróbb részleteit, vágtatott tovább a faluba, ahol, mint mondták, a parancsnok főnöke volt.
Miután belépett a faluba, leszállt a lováról, és az első házhoz ment azzal a szándékkal, hogy legalább egy percre megpihenjen, egyen valamit, és tisztázza ezeket a sértő gondolatokat, amelyek gyötörték. "Ez a gazemberek tömege, nem egy hadsereg" - gondolta, és felment az első ház ablakához, amikor egy ismerős hang a nevén szólította.
Hátranézett. Nesvitsky jóképű arca kilógott egy kis ablakból. Nesvitsky, aki szaftos szájával valamit rágtatott, és kezével hadonászott, magához hívta.
- Bolkonsky, Bolkonsky! Nem hallod, igaz? Menj gyorsabban – kiáltotta.
A házba lépve Andrej herceg látta, hogy Nesvickij és egy másik adjutáns eszik valamit. Sietve fordultak Bolkonszkijhoz azzal a kérdéssel, hogy tud-e valami újat. Andrej herceg a számára oly ismerős arcukon aggodalom és aggodalom kifejezését olvasta. Ez a kifejezés különösen észrevehető volt Nesvitsky mindig nevető arcán.
Hol van a főparancsnok? – kérdezte Bolkonsky.
- Itt, abban a házban - válaszolta az adjutáns.
- Nos, igaz, hogy béke és kapituláció? – kérdezte Nesvitsky.
- Téged kérdezlek. Nem tudok mást, csak azt, hogy erőszakkal kerültem hozzád.
- Mi lesz velünk, testvér? Borzalom! Sajnálom, testvér, nevettek Macken, de ez még rosszabb nekik” – mondta Nesvitsky. - Ülj le és egyél valamit.
- Nos, herceg, nem találsz vagonokat, és a te Pétered, Isten tudja, hol - mondta egy másik adjutáns.
- Hol van a fő lakás?
- Az éjszakát Znaimban töltjük.
„És ezért mindent, amire szükségem volt, magamnak pakoltam két lóra – mondta Neszvicszkij –, és kiváló csomagokat készítettek nekem. Bár a cseh hegyeken át menekülni. Rossz, testvér. Mi vagy te, nagyon rosszul vagy, miért remegsz annyira? – kérdezte Nesvitsky, és észrevette, hogy Andrej herceg megrándul, mintha egy Leyden tégely megérintése miatt.
- Semmit - felelte Andrej herceg.
Ebben a pillanatban eszébe jutott, hogy nemrég találkozott az orvos feleségével és a furshtati tiszttel.
Mit keres itt a főparancsnok? - kérdezte.
„Nem értek semmit” – mondta Nesvitsky.
„Csak azt értem, hogy minden aljas, aljas és aljas” – mondta Andrej herceg, és odament a házhoz, ahol a főparancsnok állt.
Kutuzov hintója, a kíséret megkínzott lovaglói és a kozákok mellett, akik hangosan beszélgettek egymással, Andrej herceg lépett be az átjáróba. Maga Kutuzov, amint azt Andrei herceg elmondta, Bagration herceggel és Weyrotherrel volt a kunyhóban. Weyrother volt az osztrák tábornok, aki a meggyilkolt Schmittet váltotta fel. A folyosón a kis Kozlovszkij guggolt a hivatalnok előtt. A jegyző egy felfordított kádon felhajtotta egyenruhája mandzsettáját, sietve írt. Kozlovsky arca kimerült volt – láthatóan ő sem aludt éjjel. Andrej hercegre pillantott, és még csak nem is bólintott felé.
- A második sor... Írtad? - folytatta, diktálva a jegyzőnek - Kijev gránátos, Podolszkij ...
- Nem érsz időben, tisztelt uram - válaszolta a hivatalnok tiszteletlenül és dühösen, és visszanézett Kozlovszkijra.
Ekkor Kutuzov élénken elégedetlen hangja hallatszott az ajtó mögül, amit egy másik, ismeretlen hang szakított meg. E hangok hallatán, a figyelmetlenségtől, amellyel Kozlovszkij nézett rá, a kimerült hivatalnok tiszteletlenségétől, attól, hogy a jegyző és Kozlovszkij olyan közel ültek a főparancsnokhoz a padlón, a kád közelében. , és azon, hogy a lovakat tartó kozákok hangosan röhögtek a ház ablaka alatt – mindehhez Andrej herceg érezte, hogy valami fontos és szerencsétlen dolog fog történni.
Andrej herceg kérdésekkel sürgette Kozlovszkijt.
– Most, herceg – mondta Kozlovszkij. - Bagration iránti hajlandóság.
Mi a helyzet a megadással?
- Nincs; harci parancsok születtek.
Andrej herceg az ajtóhoz ment, amelyen keresztül hangok hallatszottak. De éppen, amikor kinyitotta az ajtót, a hangok a szobában elhallgattak, az ajtó magától kinyílt, és Kutuzov, gömbölyded orrával gömbölyded arcán, megjelent a küszöbön.
Andrej herceg közvetlenül Kutuzovval szemben állt; de a főparancsnok egyetlen látó szemének kifejezéséből világosan kitűnt, hogy a gondolkodás és a törődés annyira lefoglalta, hogy úgy tűnt, mintha homályos lett volna a látása. Egyenesen az adjutánsa arcába nézett, és nem ismerte fel.
- Nos, befejezted? – fordult Kozlovszkijhoz.
– Egy pillanat, excellenciás uram.
Bagration, alacsony, keleties típusú kemény és mozdulatlan arcú, száraz, még nem öregember követte a főparancsnokot.
„Megtiszteltetés számomra, hogy megjelenhetek” – ismételte Andrej herceg meglehetősen hangosan, és átnyújtotta a borítékot.
– Ó, Bécsből? Oké. Utána, utána!
Kutuzov Bagrationnal kiment a verandára.
– Nos, viszlát, herceg – mondta Bagrationnak. „Krisztus veled van. Áldalak egy nagyszerű eredményért.
Kutuzov arca hirtelen meglágyult, és könnyek jelentek meg a szemében. Bal kezével magához húzta Bagrationt, jobb kezével pedig, amelyen gyűrű volt, láthatóan szokásos mozdulattal keresztbe tette, és egy gömbölyded arcot nyújtott neki, ami helyett Bagration nyakon csókolta.

Helló!

Ezt a cikket a káosz világának csodálatos jellemzőinek szenteljük. Megpróbálok beszélni arról, hogyan lehet megfékezni egy ilyen furcsa és összetett dolgot, mint egy kaotikus folyamat, és megtanulom, hogyan hozhat létre saját egyszerű káoszgenerátorokat. Önnel együtt a száraz elmélettől a térben zajló kaotikus folyamatok kiváló vizualizálásáig fogunk eljutni. Konkrétan a jól ismert kaotikus attraktorok példáján bemutatom, hogyan lehet dinamikus rendszereket létrehozni és felhasználni a terepi programozható logikai integrált áramkörökhöz (FPGA-khoz) kapcsolódó feladatokban.

Bevezetés

Káoszelmélet egy szokatlan és fiatal tudomány, amely a nemlineáris dinamikus rendszerek viselkedését írja le. Megalakulása során a káoszelmélet egyszerűen megfordult modern tudomány! Felizgatta a tudósok elméjét, és egyre jobban elmerítette őket a káosz és tulajdonságainak tanulmányozásában. A zajjal ellentétben, amely egy véletlenszerű folyamat, a káosz determinisztikus. Vagyis a káoszra létezik egy kaotikus folyamat leírására szolgáló egyenletekben szereplő mennyiségek változásának törvénye. Úgy tűnik, hogy egy ilyen meghatározással a káosz nem különbözik a függvényként leírt többi rezgéstől. De nem az. A kaotikus rendszerek nagyon érzékenyek a kezdeti feltételekre, és bennük a legkisebb változás is óriási eltérésekhez vezethet. Ezek a különbségek olyan erősek lehetnek, hogy lehetetlen megmondani, hogy egy vagy több rendszert teszteltek-e. A népszerű tudományos források szerint a káosznak ez a tulajdonsága írja le legjobban azt a folyamatot, amelyet " pillangóeffektus". Sokan hallottak róla, sőt olyan könyveket is olvastak és filmeket is néztek, amelyek pillangóeffektussal alkalmazták a technikát. A pillangóeffektus lényegében a káosz fő tulajdonságát tükrözi.

Edward Lorenz amerikai tudós, a káosz egyik úttörője egyszer ezt mondta:

A szárnyait csapkodó pillangó Iowában olyan hatáslavinát idézhet elő, amely Indonéziában az esős évszakban tetőzhet.

Tehát merüljünk bele a káoszelméletbe, és nézzük meg, milyen rögtönzött eszközök generálhatnak káoszt.

Elmélet

A fő anyag bemutatása előtt szeretnék néhány definíciót adni, amelyek segítenek megérteni és tisztázni a cikk néhány pontját.

dinamikus rendszer olyan elemek halmaza, amelyekhez funkcionális függőség az időkoordináta és a rendszer egyes elemeinek fázisterében elfoglalt pozíció között. Egyszerűen fogalmazva, a dinamikus rendszer olyan rendszer, amelynek térbeli állapota idővel változik.
A természetben számos fizikai folyamatot egyenletrendszerek írnak le, amelyek dinamikus rendszerek. Ilyenek például az égési folyamatok, a folyadék- és gázáramlások, a mágneses terek viselkedése ill elektromos rezgések, kémiai reakciók, meteorológiai jelenségek, növények és állatok populációjának változásai, tengeri áramlatok turbulenciája, bolygók, sőt galaxisok mozgása. Amint látja, sok fizikai jelenség bizonyos mértékig kaotikus folyamatként írható le.

fázis portré- ezt Koordináta sík, amelyben minden pont megfelel a dinamikus rendszer állapotának egy adott időpontban. Más szóval ez térbeli modell rendszerek (lehet kétdimenziós, háromdimenziós, sőt négydimenziós és több).

attraktor a dinamikus rendszer fázisterének valamely halmaza, amelyhez idővel minden pálya ehhez a halmazhoz vonzódik. Ha egyáltalán egyszerű nyelv, akkor ez egy olyan terület, ahol a rendszer térbeli viselkedése koncentrálódik. Sok kaotikus folyamat attraktor, mivel a tér egy bizonyos régiójában koncentrálódik.

Végrehajtás

Ebben a cikkben a négy fő attraktorról szeretnék beszélni - Lorentz, Ressler, Rikitaka és Nose-Hoover. Attól eltekintve elméleti leírás a cikk a dinamikus rendszerek környezeti létrehozásának szempontjait tükrözi MATLAB Simulinkés további integrációjuk a vállalat FPGA-jába Xilinx szerszám segítségével Rendszergenerátor. Miért nem VHDL/Verilog? Az attraktorokat RTL nyelvekkel is szintetizálhatja, de az összes folyamat jobb megjelenítéséhez a MATLAB ideális lehetőség. Nem nyúlok hozzá nehéz pillanatok a Ljapunov-kitevők spektrumának kiszámításához vagy a Poincare-szelvények megszerkesztéséhez kapcsolódik. És még inkább, nem lesznek nehézkes matematikai képletek és következtetések. Tehát kezdjük.

A káoszgenerátorok létrehozásához a következő szoftverre van szükségünk:

• A MATLAB R2014 Simulink és DSP Toolbox licenccel rendelkezik.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 System-Generator (DSP Edition) licenccel

Ezek a programok meglehetősen nehézkesek, ezért legyen türelmes a telepítésükkor. Jobb a telepítést a MATLAB-bal kezdeni, és csak utána telepíteni a Xilinx szoftvert (más sorrendben, néhány barátomnak nem sikerült az egyik alkalmazást a másikba integrálnia). Utóbbi telepítésekor felugrik egy ablak, ahol a Simulinket és a System Generatort összekapcsolhatjuk. A telepítésben nincs semmi bonyolult és szokatlan, ezért ezt a folyamatot kihagyjuk.

Lorentz attraktor

Lorentz attraktor- ez a káoszelmélet talán leghíresebb dinamikus rendszere. Már több évtizede számos kutató nagy figyelmét felkeltette bizonyos leírása fizikai folyamatok. Az attraktort először 1963-ban említik E. Lorenz munkáiban, aki a légköri jelenségek modellezésével foglalkozott. A Lorentz-attraktor nemlineáris, elsőrendű autonóm differenciálegyenletek háromdimenziós dinamikus rendszere. Komplex topológiai szerkezetű, aszimptotikusan stabil, és Ljapunov értelmében stabil. A Lorentz-attraktort a következő differenciálegyenlet-rendszer írja le:

A képletben a paraméter feletti pont a derivált felvételét jelenti, amely az érték változási sebességét tükrözi a paraméterhez képest ( fizikai jelentése derivált).

A paraméterértékekhez σ = 10, r= 28 és b= 8/3 ezt az egyszerű dinamikus rendszert E. Lorenz kapta. Sokáig nem értette, mi történik a számítógépével, míg végül rájött, hogy a rendszer kaotikus tulajdonságokat mutat! Kísérletek során kaptuk a folyadékkonvekció modellezésére. Ezenkívül ez a dinamikus rendszer a következő fizikai folyamatok viselkedését írja le:

• egymódusú lézermodell,
• - konvekció zárt hurokban és lapos rétegben,
• - a vízikerék forgása,
• – tehetetlenségi nemlinearitású harmonikus oszcillátor,
• – felhőtömegek örvénylése stb.

A következő ábra a Lorentz attraktor rendszert mutatja MATLAB környezetben:

Az ábra a következő szimbólumok közül néhányat használ:

• kivonók: SUB0-3;
• állandó szorzók: SIGMA, B, R;
• szorzók: MULT0-1;
• integrátorok cellával a kezdeti feltétel megadására: INTEGRÁTOR X,Y,Z;
• kimeneti portok OUT: ADATOK X,Y,Z jelzésekhez XSIG, YSIG, ZSIG;

Ezenkívül a diagram kiegészítő elemző eszközöket mutat be, ezek a következők:

• számítási eredmények mentése fájlba: Az X,Y,Z munkaterületre;
• térbeli gráfok felépítése: XY, YZ, XZ grafikon;
• építési idődiagramok: Hatály XYZ;
• eszközök a kristály elfoglalt erőforrásainak becslésére és a HDL kód generálására a modellből " Erőforrás Becslő"És" Rendszergenerátor».

A matematikai műveletek minden csomópontján belül meg kell adni a közbenső adatok bitmélységét és típusát. Sajnos nem olyan egyszerű a lebegőpontos munkavégzés az FPGA-kban, és a legtöbb esetben minden művelet fixpontos formátumban történik. A paraméterek helytelen beállítása hibás eredményekhez vezethet, és meghiúsíthatja a rendszer felépítését. Különböző értékekkel kísérleteztem, de a következő adattípus mellett döntöttem: előjeles számok 32 bites vektora fixpontos formátumban. Az egész részhez 12 bit, a tört részhez 20 bit van lefoglalva.

Ha a trigger blokkban lévő X, Y, Z integrátorokat a rendszer kezdeti értékére állítja, pl. {10, 0, 0} , futtattam a modellt. Az időalapban a következő három jel figyelhető meg:


Még ha a szimulációs idő a végtelenbe hajlik is, az időben történő megvalósítás soha nem fog megismétlődni. A kaotikus folyamatok nem periodikusak.

BAN BEN háromdimenziós tér A Lorenz attraktor így néz ki:

Látható, hogy az attraktornak két vonzási pontja van, amelyek körül zajlik az egész folyamat. A kezdeti feltételek enyhe változtatásával a folyamat is ezek köré a pontok köré összpontosul, de pályái jelentősen eltérnek az előző verziótól.

Rössler attraktor

A második vonzerő a tudományos cikkekben és publikációkban található hivatkozások száma alapján. Mert Rössler attraktor jellemző egy határpont jelenléte a kaotikus vagy periodikus tulajdonságok megnyilvánulásához. A dinamikus rendszer bizonyos paramétereinél a rezgések megszűnnek periodikusak lenni, és kaotikus rezgések keletkeznek. A Rössler-attraktor egyik figyelemre méltó tulajdonsága a fázissíkban lévő fraktálszerkezet, vagyis az önhasonlóság jelensége. Látható, hogy más attraktorok általában rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal.

A Rössler-attraktor számos rendszerben megfigyelhető. Például a folyadékáramlás leírására, valamint a különféle viselkedések leírására használják kémiai reakciókés molekuláris folyamatok. A Rössler-rendszert a következő differenciálegyenletek írják le:

A MATLAB környezetben az attraktor a következőképpen épül fel:

A térbeli mennyiségek időbeli megvalósítása:

A Rössler attraktor háromdimenziós modellje:

Bumm! Az értékek kicsit változtak:

Attraktor kissé megváltozott kezdeti feltételek mellett (a pályák eltérőek!)

Attraktor más együtthatókkal az egyenletrendszerben (egy kaotikus folyamat periodikussá változott!)

Hasonlítsa össze a képeket 3D attraktorok eltérő kezdeti feltételek és együtthatók mellett az egyenletrendszerben. Látod, hogyan változtak meg drámaian az első esetben a mozgás pályái? De így vagy úgy, egyetlen vonzáskörzet közelében koncentrálódnak. A második esetben az attraktor általában nem mutatta a káosz jeleit, és egy zárt periodikus hurokká (limit ciklus) alakult át.

Vonzó Rikitake

Dinamo Rikitake az egyik jól ismert, kaotikus viselkedésű harmadrendű dinamikus rendszer. Ez egy kéttárcsás dinamó modellje, és először a Föld geomágneses mezejének kaotikus inverziójával kapcsolatos problémákra javasolták. A tudós Rikitake egy dinamórendszert vizsgált meg két egymással összekapcsolt tárcsával, amelyeket úgy építettek fel, hogy a tárcsa egyik tekercséből az áram a másikba áramlott, és a második korong gerjesztését generálja, és fordítva. Egy ponton a rendszer kezdett megbukni, és kiszámíthatatlan dolgokat mutatott. Az attraktor aktív tanulmányozása lehetővé tette a Rikitake dinamó kivetítését a Föld magjában lévő nagy mágneses térörvények kapcsolatának modelljére.

A Dynamo Rikitakét a következő egyenletrendszer írja le:

Rikitake dinamó modell a MATLAB-ban:

Ideiglenes végrehajtás:

Attraktor (első verzió):

Dinamo (második verzió)

Látható, hogy a Rikitake dinamó némileg hasonlít a Lorenz attraktorra, de ezek teljesen más rendszerek és más fizikai folyamatokat írnak le!

Orr-Hoover attraktor

Egy kevésbé híres, de nem kevésbé fontos háromdimenziós dinamikai rendszer Orr-Hoover termosztát. A molekuláris elméletben idő-reverzibilis termosztatikus rendszerként használják. Sajnos erről az attraktorról nem tudok annyit, mint a többiről, de számomra érdekesnek tűnt, és beleírtam az ismertetőbe.

A Nose-Hoover termosztátot a következő egyenletrendszer írja le:

Nose-Hoover modell a MATLAB-ban:

Ideiglenes végrehajtás:

1

A cikk az aggregált vezérlők analitikai tervezési módszerének alkalmazására vonatkozik tipikus, kaotikus dinamikájú nemlineáris dinamikus rendszerek szabályozási törvényeinek kidolgozására, amelyek az ilyen rendszerek egyensúlyi állapotainak stabilizálását biztosítják. A cikk az antikaotikus szabályozás egyik jellegzetes problémájára, nevezetesen az ilyen rendszerekben az aperiodikus oszcillációk elnyomásának problémájára mutat be megoldást. A kaotikus Lorentz és Ressler modellek szinergikus szabályozási törvényeit dolgozták ki, amelyek ezekben a modellekben biztosítják a fázisváltozók stabilizálását. A szintetizáltak bemutatása Visszacsatolás egyensúlyi állapot kialakulásához vezet a rendszerekben. A szintetizált zárt dinamikus rendszerek számítógépes szimulációját elvégeztem, amely megerősíti a szinergetikus vezérlés elmélet elméleti előírásait. A szintetizált szabályozási törvények különféle műszaki alkalmazásokban felhasználhatók működésük hatékonyságának növelése érdekében.

Lorenz modell

Ressler modell

dinamikus rendszer

ellenőrzés

szinergia

Visszacsatolás

önrezgések

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Előadások a nemlineáris dinamikáról // Izvestiya Vysshikh oktatási intézmények. Alkalmazott nemlineáris dinamika. - 2010. - T. 18. - 3. sz. - S. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Alkalmazott szinergetika: A rendszerszintézis alapjai. - Taganrog: TTI SFU Kiadó, 2007. - 384 p.

3. Kolesnikov A.A. Szinergikus vezérlés elmélet. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 p.

4. Malinetsky G.G. Káosz. szerkezetek. Számítási kísérlet: Bevezetés a nemlineáris dinamikába. – M.: Szerkesztői URSS, 2002. – 255 p.

5. Neimark Yu.I., Landa P.S. Sztochasztikus és kaotikus oszcillációk. – M.: Nauka, 1987. – 424 p.

6. Modern alkalmazott irányításelmélet. II. rész: Szinergetikus megközelítés az irányításelméletben / alatt. szerk. A.A. Kolesnikov. - M.-Taganrog: A TRTU Kiadója, 2000. - 558 p.

7. Lorenz E.N. Determinisztikus nem periodikus áramlás // J. Atmos. sci. - 1963. - 20. sz. - P. 130–133.

8 Rossler O.E. A folyamatos káosz egyenlete // Phys. Lett. A. - 1976. - 1. évf. 57A, 5. sz. - P. 397-398.

A mai napig a „káosz” kifejezés használata in tudományos kutatásösszefüggésbe hozható az olyan rendszerek leírásának szükségességével, amelyeket első pillantásra teljesen véletlenszerű dinamika és egyben rejtett rend jelenléte jellemez.

Elég releváns tudományos probléma a kaotikus dinamika szabályozása jelenleg nem megoldott. Tól től egy nagy szám megoldásának meglévő szempontjait tekintve rendkívül fontos kiemelni a nemlineáris rendszerek szabálytalan rezgéseit elnyomó különféle módszerek és törvényszerűségek vizsgálatát, amelyekre a kaotikus dinamika jelenléte jellemző.

A kaotikus dinamikájú nemlineáris rendszerek vezérlésének problémája nagy gyakorlati jelentőséggel bír. Érdemes megjegyezni, hogy itt nem csak a káosz elleni küzdelem a lényeg, amely gyakran sérti a működés minőségét. összetett rendszerek, hanem az úgynevezett „rend a káoszból” kialakulásának gondolatában is, amely számos technológiai folyamat esetében célszerű.

A szabálytalan oszcillációk elnyomásának problémája a kaotikus dinamikájú vezérlési modellek egyik legjellemzőbb problémája, és a szabályozási műveletek olyan kialakításában áll, amely biztosítja a kezdetben kaotikus modell stabilizálását egy stabil stacionárius állapotban. A következőkben feltételezzük, hogy a modell dinamikáját valamilyen külső vezérlőművelet segítségével lehet befolyásolni, ami additív módon szerepel az egyik differenciálegyenletének jobb oldalán.

A tanulmány célja. Ebben a cikkben megoldjuk a skaláris szabályozási törvények felépítésének problémáját, amelyek biztosítják a kaotikus oszcillációk elnyomását Lorentz és Ressler tipikus kaotikus rendszereiben, amelyek során az eredeti modellek szabálytalan oszcillációi egyensúlyi egyensúlyi állapotban stabilizálódnak. Hasonló típusú problémák merülnek fel, amikor ki kell küszöbölni a szerkezetek nem kívánt rezgését, különféle zajokat stb. .

A kutatás anyagai és módszerei

A káoszszabályozás összetett problémájának hatékony megoldásának egyik módja a kaotikus dinamikájú nemlineáris rendszerek objektív szabályozási törvényeinek szintetizálása az A.A. professzor által javasolt módszer az aggregált vezérlők (ACAR) analitikus tervezésére. Kolesnikov.

A skaláris vezérlők összeállítása az aggregált vezérlők analitikai tervezésének módszerével a csökkenő geometriai méretű invariáns sokaságok sorozatának bevezetésén, majd a kezdeti dinamikus rendszer lépésről lépésre történő dinamikus bontásán alapul. Ebben az esetben a rendszer reprezentatív pontja (IP) egy tetszőleges kezdeti állapotból indulva sorban mozog az egyik vonzásfelületről a másikra, amíg el nem éri a ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → alakú végfelületet. .. → ψm = 0. A "belső" elosztók topológiailag a "külsőkbe" vannak beágyazva. Így a szintetizált rendszerben egy belső önmenedzselési folyamat jön létre. Ennek eredményeként a belső vezérlések sorozatának kaszkádos kialakulása megy végbe, amely a rendszer fázistérfogatát a fázistér külső tartományától az egymásba ágyazott belső régiók halmazáig sűríti addig, amíg az IT be nem lép a rendszerbe. a rendszer kívánt állapota.

Tegyük fel, hogy egy zárt rendszer állapotterében létezik egy ψ(x) = 0 alakú vonzó invariáns sokaság, amely a fázispályák aszimptotikus határa. Általában több ilyen fajta is lehet. Általános szabály, hogy az invariáns elosztók száma egybeesik a vezérlőcsatornák számával. Ekkor a rendszer reprezentatív pontja az invariáns sokaságok metszéspontja felé hajlik. Szükséges állapot a ψ(x) = 0 invariáns sokaságon a zárt rendszer "objektum-szabályozó" reprezentatív pontjának eltalálása az, hogy annak mozgása kielégít valamilyen, a ψ(x) aggregált makrováltozóra felírt stabil differenciálegyenletet. Az ilyen egyenletet a szinergetikus vezérlés elméletében funkcionálisnak vagy evolúciósnak nevezik. Általában egy funkcionális egyenletrendszert a következő alakú elsőrendű közönséges differenciálegyenletek rendszereként adnak meg

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Itt m az adott invariáns sokaságok száma; A Ts egy szabályozási paraméter, a φ s (ψ s) egy olyan függvény, amelynek teljesítenie kell a következő feltételeket:

1) φ s (ψ s ) folytonosnak, egyértékűnek és minden ψ-re differenciálhatónak kell lennie;

2) φ s(0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 bármely 0 esetén,

azok. csak a φ s = 0 sokaságon tűnnek el, amelyekre nézve az adott funkcionális egyenletrendszer egészében aszimptotikusan stabil.

Az ACAR módszer általában funkcionális egyenleteket használ:

azok. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Az ilyen típusú egyenleteket, mint látható, aszimptotikus stabilitás jellemzi a ψ s = 0 sokasághoz képest, feltéve, hogy Ts > 0.

Ebben a helyzetben a kaotikus modellek stabilizáló irányítási törvényeinek szintetizálásának problémája általános esetben a következőképpen fogalmazódik meg. Meg kell találni az uS(x) függvényt, mint a visszacsatolások egy bizonyos halmazát, amely biztosítja a kezdeti kaotikus modell reprezentációs pontjának átvitelét egy bizonyos megengedett tartományban tetszőleges kezdeti feltételekből egy adott állapotba (állapotkészletbe), amely stabil üzemmódnak felel meg. A nagyon egyszerű eset a vezérlő csak az eredeti rendszer egy differenciálegyenletét adja meg. Lehetnek olyan opciók, amikor ugyanaz a vezérlőművelet az eredeti rendszer különböző soraiban található.

A szabályozási törvények szinergetikus szintézisének problémájának megfogalmazásának megkülönböztető aspektusa a rendszernek a kezdeti állapotból a végső állapotba való mozgására vonatkozó további követelmény jelenléte, amely a rendszer fázispályáinak aszimptotikus vonzásában áll. valamely invariáns sokaságra (a sokaságok metszéspontjára) a rendszer állapotterében (PS).

A stabilizáló visszacsatolás beépítése az eredeti modell egyenleteibe az állapottere topológiájának céltudatos megváltoztatásához vezet. Egy ilyen átrendeződés következtében a kaotikus attraktor eltűnik, és kialakul egy "pont" típusú szabályos attraktor, amely megfelel a kívánt egyensúlyi viselkedési módnak.

Kutatási eredmények és megbeszélés

Tekintsük a kaotikus Lorentz-rendszer ACAR-módszerrel történő stabilizáló szabályozási törvényének szintézisére megvalósított eljárás szakaszait.

A Lorentz-modellt eredetileg a Navier-Stokes és a hővezetési egyenletekből származtatták abból a célból, hogy megvizsgálják az időjárási viszonyok változó szabályozási paraméterekkel történő előrejelzésének lehetőségét. A modell konvektív hengerek mozgását írja le folyadékban hőmérsékleti gradienssel.

A modell a következő három közönséges differenciálegyenletből álló rendszer:

ahol σ a Prandtl-szám; ρ a normalizált Rayleigh-szám; a b paraméter a síkok távolságától és a vízszintes periódustól függ.

Rizs. 1. A Lorentz-rendszer kaotikus attraktorja

Ebben a rendszerben bizonyos körülmények között kaotikus oszcillációk képződnek. ábrán Az 1. ábra a rendszer fázispályáját mutatja a σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 paraméterekre a determinisztikus káosz módban. Ebben a dinamikus rendszerben először vizsgálták a sztochasztikus önrezgéseket. Az (1) rendszer kaotikus attraktora alapvetően különbözik a legtöbb nemlineáris dinamika modell kaotikus attraktorától. Szerkezete teljes mértékben megfelel a furcsa attraktornak, és csak egy nyeregmozgás jelenléte jellemzi.

Tegyük fel, hogy az u1 vezérlési művelet belső visszacsatolás formájában belép az (1) rendszer első egyenletébe:

Mutassuk be az alak egy invariáns sokaságát

ahol μ valamilyen szabályozási paraméter.

Ha a ψ1 (3) függvényt az idő függvényében differenciáljuk és deriváltját behelyettesítjük a funkcionális egyenletbe

megkapjuk a kívánt szabályozási törvényt:

Az (5) szabályozási törvény biztosítja a (2) rendszer reprezentatív, visszacsatolással (5) lezárt pontjának átvitelét a ψ1 = 0 invariáns elosztóba.

A modell reprezentatív pontjának ezen invariáns sokaság mentén történő mozgásának dinamikáját a felbontott modell differenciálegyenleteivel írjuk le, amelyek a ψ1 = 0 (3) egyenlőségből a második és harmadik egyenletbe való behelyettesítés után jönnek létre. rendszer (2):

(6)

Rizs. 2. A (2), (5) és (6) rendszerek fázisportréi

Rizs. A 2. ábra a (2), (5) rendszer numerikus szimulációjának eredményeit szemlélteti a kaotikus Lorentz attraktor létezésére jellemző σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 szabályozási paraméterek értékére. , és a szabályozó paramétereinek értékei T1 = 0,1, μ = 4, amelyek megerősítik az ACAR módszer elméleti alapelveinek hatékonyságát. A (6) felbontott rendszer első egyenlete teljesen megegyezik a szinergetika alapvető evolúciós egyenletével, "villa" bifurkációval.

Alkossunk egy stabilizáló szabályozási törvényt az ACAR módszerrel a Ressler modellre. A Ressler-modell harmadrendű differenciálegyenletek nemlineáris dinamikus rendszere, amelynek alakja:

ahol a, b, c a szabályozási paraméterek.

A (7) rendszert Ressler javasolta a sorozatok interakciós folyamatainak modellezésére vegyi anyagok. Ez a rendszer Elég gyakran használják a különféle természetű jelenségek különböző tudományos tanulmányaiban a rájuk jellemző kaotikus dinamika megjelenésének és fennállásának jeleinek jelenlétével kapcsolatban. Rizs. A 3. ábra a Ressler rendszer kaotikus attraktorát mutatja az a = b = 0,2 paraméterértékekre; c = 9.

Tegyük fel, hogy a vezérlési műveletet az eredeti rendszer második egyenlete tartalmazza (7):

Invariáns elosztó típusa

és a (4) funkcionális egyenlet lehetővé teszi, hogy megkapjuk a kívánt szabályozási törvényt:

(10)

A vezérlési törvény (10) garantálja a vezérelt rendszer (8) reprezentációs pontjának átvitelét, amely visszacsatolással (10) van lezárva a ψ2 = 0 (9) invariáns elosztóba.

Rizs. 3. A Roessler-rendszer kaotikus attraktorja

A rendszer mozgásának természetét a ψ2 = 0 invariáns sokaság mentén a felbontott modell írja le:

(11)

ahol az első sorban a "villa" típusú bifurkációs egyenlet szerepel.

Rizs. 4. A (8), (10) és (11) rendszerek fázisportréi

Rizs. A 4. ábra egy zárt rendszer (8), (10) numerikus szimulációjának eredményeit szemlélteti az a = b = 0,2 modell szabályozási paramétereinek értékeire; c = 9, amelyek jellemzőek a kaotikus típusú attraktor megjelenésére, valamint a vezérlő paramétereinek értékei T2 = 0,1; μ = 25.

Mindkét kapott (6), (11) dekomponált modellben az első sorban elhelyezkedő egyenletek egybeesnek a villa típusú bifurkációjú szinergetika evolúciós alapegyenletével. Ebben a tekintetben kijelenthetjük a kezdeti kaotikus rendszerek stabilizáló vezérlésének szintetizált törvényeinek természetes természetét és az egyetemes evolúciós egyenletek meglévő egységét és belső összekapcsolódását. nemlineáris elméletönszerveződés és szinergetika.

A szintetizált szabályozási törvények természetes jellege elsősorban a zárt rendszerekben jellemző bifurkációs tulajdonságok halmazának köszönhető.

A vizsgálat eredményeként olyan visszacsatolások halmazát szintetizálták, amikor a kezdeti kaotikus rendszerek záródnak, viselkedésükben megváltozik, és egy kaotikus típusú attraktor „pont” típusú attraktorrá alakul. Az így létrejövő u1 (5) és u2 (10) szabályozási törvények garantáltan aszimptotikus stabilitást biztosítanak a teljes fázistérben a kívánt egyensúlyi állapotok tekintetében a μ paraméter értékeihez.< 0 или μ >0 a megfelelő kezdeti kaotikus modellekhez. Az így kapott u1 (5) és u2 (10) törvények az objektív szabályozási törvények osztályába tartoznak, amelyek a kaotikus dinamikájú Lorentz- és Ressler-rendszereket az önszerveződés és a szinergetika elméletének alapvető evolúciós egyenletévé alakítják.

Az u1 (5) és u2 (10) szintetizált szabályozási törvények eredetiek és univerzálisak. Különböző célú vezérelt rendszerek tervezésében használhatók, jelentősen növelve működésük hatékonyságát.

Bibliográfiai link

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. AZ AKAR MÓDSZER ALKALMAZÁSA TIPIKUS NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGYENSÚLYI ÁLLAPOTOK STABILIZÁLÁSÁNAK PROBLÉMA MEGOLDÁSÁRA // Fundamental Research. - 2016. - 5-2. – 264-268. o.;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (hozzáférés dátuma: 2020.01.15.). Felhívjuk figyelmüket a Természettudományi Akadémia kiadója által kiadott folyóiratokra.

Ebben a könyvben empirikus megközelítést alkalmaztunk a kaotikus oszcillációkkal kapcsolatban, és bemutattunk egy sor különböző fizikai jelenségek, amelyben a kaotikus dinamika játszik fontos szerep. Természetesen nem minden olvasó fér hozzá laboratóriumhoz, vagy nem hajlandó kísérletezni, bár a legtöbben használhatják a digitális számítógépeket. Ezt szem előtt tartva, ebben a mellékletben egy sor numerikus kísérletet mutatunk be, amelyek akár személyi számítógépen, akár mikroszámítógépen elvégezhetők, abban a reményben, hogy segítik az olvasót a mára klasszikussá vált káoszmodellek dinamikájának vizsgálatában.

B.1. LOGISZTIKAI EGYENLET: AZ IDŐSZAK DUPPLEZÉSE

Az új dinamikák egyik legegyszerűbb problémája a népességnövekedési modell vagy logisztikai egyenlet.

A periódusduplázási jelenségeket különböző kutatók figyelték meg (lásd például May munkáját), és természetesen Feigenbaum is, aki felfedezte a híres paraméterhasonlósági törvényeket (lásd 1. és 5. fejezet). A személyi számítógép rendkívül egyszerűvé teszi két numerikus kísérlet reprodukálását.

Az első kísérletben van egy grafikonunk a függőségről a tartományban. A periódusduplázási mód az alábbi értékeknél látható. Kezdve egy 1-es periódusú pályát láthat. Hosszabb pályák megtekintéséhez az első 30-50 iterációt jelölje pontokkal, a következő iterációkat pedig egy másik szimbólummal.

Természetesen a függőséget ábrázolva megfigyelhető az átmenet ill stacionárius rezsimek. Kaotikus pályák észlelhetők a címen. A közelben 3-as periódusú pálya észlelhető.

A következő numerikus kísérlet egy bifurkációs diagram felépítéséhez kapcsolódik. Ehhez meg kell ábrázolni a függést a szabályozási paramétertől. Válasszon ki néhány kezdeti feltételt (például végezzen 100 megjelenítési iterációt. Ezután ábrázolja a következő 50 iterációból kapott értékeket a függőleges tengelyen, és a megfelelő értéket a vízszintes tengelyen (vagy fordítva). Lépésről lépésre válasszon körülbelül 0,01-et. és menjen át a tartományon A diagramon a periódusban a duplázási pontok klasszikus vasvillás típusú bifurkációkat produkáljanak.Meg tudja határozni a Feigenbaum-számot egy numerikus kísérlet adataiból?

May egy listát ad más egydimenziós leképezésekkel végzett numerikus kísérletekről is, például a leképezéssel

Ezt a feltérképezést egyetlen faj populációnövekedésének modelljeként írja le, amelyet egy járványos betegség szabályoz. Fedezze fel a környéket. A felhalmozási pont megduplázódásának és a káosz kezdetének periódusa megfelel. May cikke néhány más numerikus kísérletről is tartalmaz adatokat.

B.2. LORENTZ-EGYENLETEK

Egy figyelemre méltó numerikus kísérlet található, amely kétségtelenül megismétlésre méltó, Lorentz eredeti művében. Lorentz leegyszerűsítette a Saltzman által levezetett egyenleteket a folyadék hőkonvekciójának egyenleteiből (lásd a 3. fejezetet). A konvekciós egyenletek nem periodikus megoldásainak felfedezésében Lorentz szerint Salzmané az elsőbbség. A kaotikus mozgások tanulmányozásához Lorentz az egyenletekben szereplő paraméterek immár klasszikus értékeit választotta.

ábrán látható adatok. Lorenz papírjának 1. és 2. ábrája kiválasztással reprodukálható kezdeti feltételekés az időlépést és a megoldás kivetítését akár a síkon, akár a síkon

Az ezzel az áramlással indukált egydimenziós leképezés megszerzéséhez Lorentz a z változó egymást követő maximumait vette figyelembe, amelyeket a függőségi diagramnak nevezett. ház. Lorentz ezután megvizsgálta ennek a térképnek a leegyszerűsített változatát, az úgynevezett "háztípustérképet", a logisztikai egyenlet bilineáris változatát.

B.3. Szakaszosság és a Lorentz-egyenletek

Az intermittenciára egy szemléltető példát találhatunk a Lorentz-egyenletek számítógépes numerikus integrálásával:

paraméterekkel a Runge-Kutta módszer szerint. A -nál periodikus pályát fog kapni, de a és még több helyen "kitörések", vagy kaotikus zajok jelennek meg (lásd Manneville és Pomo munkáját). A sorozatos ciklusok átlagos N ​​számát megmérve a sorozatok között (lamináris fázis), meg kell kapnia a skálázási törvényt.

B.4. OENON VONZÓ

A kétdimenziós esethez (a síkon) a négyzetes leképezés általánosítását Hénon francia csillagász javasolta:

Amikor , a Hénon-leképezés a May és Feigenbaum által feltárt logisztikai leképezésre redukálódik. Az a és b értékei, amelyeknél furcsa attraktor keletkezik, különösen a következőket tartalmazza. Készítsen grafikont ennek a leképezésnek a síkon, téglalappal határolva. Miután megkapta az attraktort, összpontosítsa figyelmét annak egy kis részére, és növelje ezt a részt egy hasonlósági transzformáció segítségével. Kövesse lényegében egy nagy szám a leképezések iterációit, és próbálja meg feltárni a kis léptékű fraktálszerkezetet. Ha van türelme, vagy van kéznél egy gyors számítógépe, akkor hajtson végre egy másik hasonlósági transzformációt, és ismételje meg az egészet az attraktor még kisebb területén (lásd 1.20, 1.22 ábra).

Ha van programunk Ljapunov-kitevők kiszámítására, akkor érdemes szem előtt tartani, hogy a Ljapunov-kitevő értéke a szakirodalomban szerepel, az attraktor fraktáldimenziója pedig a Hénon-térképen. Az a és b paraméterek változtatásával megpróbálhatjuk meghatározni azoknak az értékeknek a területét, amelyekre az attraktor létezik, és megtalálni a periódusduplázási területet az (a, b) síkon.

B.5. DUFFING EGYENLET: UEDA ATTRACTOR

A nemlineáris induktivitású elektromos áramkör ezen modelljét a Ch. 3. Ennek a modellnek az elsőrendű egyenletrendszereként felírt egyenletei a következő alakúak:

Ebben a modellben a kaotikus oszcillációkat Ueda nagyon részletesen tanulmányozta. Használjon szabványos numerikus integrációs algoritmust, például a Runge-Kutta sémát negyedik rendés fontolja meg az esetet. A pontnál 3-as periódusú periodikus pályát kell kapnia. (A Poincaré szakaszt helyezze ide: ) Az érték közelében a 3-as periódusú pályának bifurkáció után kaotikus mozgásba kell alakulnia.

A periodicitás ismét helyreáll egy átmeneti kaotikus rezsim mellett (lásd 3.13. ábra).

Hasonlítsa össze az attraktor fraktál természetét, amikor a csillapítás csökken, feltételezve, hogy 0,05. Jegyezzük meg, hogy -nél az attraktornak csak egy kis része marad meg, és -nél a mozgás periodikussá válik.

B.6. DUFFING EGYENLET KÉT POTENCIÁLIS KÚTTAL: HOLMES ATTRACTOR

Ezt a példát figyelembe vettük könyvünkben. Számos numerikus kísérlet megismétlést érdemel. A dimenzió nélküli egyenleteknek ebben az esetben a formája van

(Feltételezve és bevezetve egy további z = w egyenletet, harmadrendű autonóm rendszerként írhatók fel.) Az 1/2 tényező a kis rezgések sajátfrekvenciáját minden potenciálüregben eggyel egyenlővé teszi. A rögzített csillapítási együttható és a változók káoszkritériumát a fejezetben vettük figyelembe. 5. A kutatás érdeklődési területe: . Ebben a régióban át kell térni a periodikus rezsimből a kaotikusba, a periodikus ablakokat a kaotikus rezsimbe, és a kaotikus rezsimből ki kell lépni. Van egy másik is érdekes terület: Minden tanulmányban nyomatékosan javasoljuk, hogy az olvasó a Poincaré-leképezést használja. Személyi számítógép használatakor a program összeállításánál speciális trükkökkel nagy sebességű információfeldolgozás érhető el (lásd 5.3. ábra).

Egy másik érdekes numerikus kísérlet a paraméterek rögzítése, például a Poincaré-leképezés fázisának beállítása és változtatása, azaz a pontok ábrázolása 0-ról 0-ra változtatva. Jegyezze meg a leképezés megfordítását a pontnál. Ez összefügg az egyenlet szimmetriájával. ? (Lásd a 4.8. ábrát.)

B.7. KÖBÖS TÉRKÉPEZÉS (HOLMES)

A kaotikus rezgések elméletének számos fogalmát illusztráltuk egy attraktor példájával egy két potenciálkúttal rendelkező modellben. Egy ilyen modell dinamikáját közönséges nemlineárisan írjuk le differenciálegyenlet másodrendű (lásd a fejezetet.

2. és 3. ábra), de egy ilyen attraktor Poincaré-térképének kifejezett képlete nem ismert. Holmes egy kétdimenziós köbös leképezést javasolt, amely rendelkezik a negatív merevségű Duffing oszcillátor néhány tulajdonságával:

A kaotikus attraktor a paraméterértékek közelében található

B.8. Pattogó labda KIJELZŐ (STANDARD KIJELZŐ)

(Lásd Holmes cikkét, valamint Lichtenberg és Lieberman könyvét.) Amint azt a Fejezetben megjegyeztük. A 3. ábrán a Poincaré térkép egy rezgőasztalon pattogó labdára pontosan felírható az asztalt érő labda dimenzió nélküli sebessége és az asztal mozgásának fázisa alapján.

hol van az energiaveszteség az ütközés során.

Case (konzervatív káosz). Ezt az esetet Lichtenberg és Lieberman könyve az elektromágneses mezők elektrongyorsulásának modelljeként vizsgálja. A megjelenítés iterációja után alkalmazzuk a kapott pontokat a síkra A kiszámításhoz használja a kifejezést

a BASIC továbbfejlesztett változatában. Ahhoz, hogy jó képet kapjunk, változtatnunk kell a kezdeti feltételeken. Például válasszon ki és kövessen néhány száz leképezési iterációt különböző v-nél a -

Érdekes eseteket fog találni. A leképezés periodikus fix pontjai körül kváziperiodikus zárt trajektóriák figyelhetők meg. A -nál a konzervatív káosz régióinak meg kell jelenniük a szeparátorok pontjai közelében (lásd 5.21. ábra).

ügy. Ez az eset disszipatív leképezésnek felel meg, ahol a labda és az asztal közötti minden ütközésnél energia veszít. Kezdeni valamivel . Vegye figyelembe, hogy bár az első iterációk kaotikusnak tűnnek, mint az 1. esetben, a mozgás periodikussá válik. A fraktálszerű káosz eléréséhez a K értékeit növelni kell. Egy különös attraktor, amely még inkább egy fraktálra emlékeztet, beállításával kaphat.

B.9. A KÖR TÉRKÉPEZÉSE MAGÁN: FORGÁSSZÁM ÉS TÜNDÉFÁK SZINKRONIZÁLÁSA

A tórusz felületén mozgó pont két összekapcsolt oszcillátor dinamikájának absztrakt matematikai modelljeként szolgálhat. Az oszcillátor mozgási amplitúdói kis és nagy tóruszsugárként szolgálnak, és gyakran rögzítettnek feltételezik. Az oszcillátorok fázisai két szögnek felelnek meg, amelyek meghatározzák egy pont helyzetét egy kis kör (meridián) és egy nagy kör (párhuzamos) mentén a tórusz felületén. A tórusz kis körei mentén a Poincaré-szelvény egy egydimenziós különbségi egyenletet generál, amelyet a kör önleképezésének neveznek:

ahol egy periodikus függvény.

Ennek a leképezésnek minden iterációja megfelel egy oszcillátor pályájának a tórusz nagy köre mentén. Népszerű vizsgálati tárgy az úgynevezett szabványos körleképezés (normálra )

A feltérképezés során megfigyelhető lehetséges mozgások: periodikus, kváziperiodikus és kaotikus módok. A periodikus ciklusok megtekintéséhez ábrázolja a pontokat egy körön téglalap alakú koordinátákkal

Ha a paraméter 0, akkor nincs más, mint a forgatások száma - a független oszcillátorok két frekvenciájának aránya.

Mikor lehet a kijelzés időszakos és mikor - irracionális szám. Ebben az esetben azt mondják, hogy az oszcillátorok le vannak zárva, vagy mód-húzás történt. A -nál szinkronizált vagy periodikus mozgások figyelhetők meg az O tengely mentén véges szélességű tartományokban, amelyek természetesen tartalmazzák a paraméter irracionális értékeit. Például, ha az intervallumban található egy 2-es periódusú ciklus, és egy 3-as periódusú ciklus található az intervallumban. Ezeknek az intervallumoknak a megtalálásához számítsuk ki a W fordulatok számát a 0 01-es paraméter függvényében. a forgatások száma, ha elvetjük az összehasonlítás műveletét és átlépjük a határértéket

A gyakorlatban a forgatások számának megfelelő pontosságú meghatározásához N > 500-at kell venni. W-t ábrázolva a szinkronizálási területeknek megfelelő platók sorozatát fogjuk látni. További szinkronizálási régiók megtekintéséhez válasszon ki egy kis AP régiót, és ábrázolja a W-t egy nagy szám pont ezen a kis területen.

Minden szinkronizálási plató a grafikonon ) megfelel racionális szám- az egyik oszcillátor ciklusainak aránya egy másik oszcillátor q ciklusához. A kapcsolatok a Tündérfa néven ismert sorrendben vannak rendezve. Ha a paraméterek értékéhez két üzemmód-szinkronizációs régió van megadva, akkor ezek között az intervallumban minden bizonnyal lesz még egy szinkronizációs régió a forgatások számával

A 0/1 at és 1/1 at -től kezdve a szinkronizációs tartományok teljes végtelen sorozatát megszerkeszthetjük. A legtöbbjük nagyon szűk.

Vegye figyelembe, hogy ezeknek a régióknak a szélessége nullára hajlamos, és nagyobb lesz a szinkronizálási régiók () síkban hosszú kiemelkedések formájában vannak, és néha Arnold nyelveknek nevezik.

B.10. Rössler attraktor: kémiai reakciók, többdimenziós rendszerek egydimenziós közelítése

A klasszikus fizika mindegyik fő területe megalkotta a saját kaotikus dinamika modelljét: hidromechanika - Lorentz-egyenletek, szerkezeti mechanika- Duffing-Holmes attraktor két potenciálkúttal, elektrotechnika - Duffing-Ueda attraktor. Egy másik egyszerű modell jött létre egy bizonyos edényben, keverés közben lezajló kémiai reakciók dinamikájában. Rbssler javasolta.