Izv. egyetemek "PND", v. 15, No. 1, 2007 UDC 517.9
LORENTZ ATTRACTOR NYÍRÁSI ÁRAMLÁSOKBAN
A.M. Mukhamedov
A folytonos közeg kaotikus dinamikájának korábban javasolt modelljének keretein belül egy Lorentz-típusú attraktornak megfelelő áramlási sebesség-ingadozások háromdimenziós rezsimje valósul meg. A megoldás a rétegelt elosztó háromdimenziósra redukált geometriáját meghatározó szerkezetek halmaza, amelyet a közegáramlási sebességek pulzációi alkotnak. Maga a Lorentz-attraktor dinamikája a sebesség-ingadozások időfüggésének formájában nyilvánul meg az átlagos áramlás áramvonalai mentén.
Mint ismeretes, a determinisztikus káosz egyik klasszikus példája, az alkalmazott hidrodinamikai kutatások eredményeként felfedezett Lorentz-attraktor még nem reprodukálódott kellőképpen a meglévő turbulens mechanika formalizmusában. A szerző munkáiban megfogalmazódott egy hipotézis, miszerint ennek a problémának a klasszikus hidrodinamikai megoldása elvileg nem érhető el, és egy ilyen következtetés igazolását javasolták. Azon a megértésen alapult, hogy a kaotikus dinamika attraktormodelljei befolyásolják a folytonos közeg mezoszkópikus mozgási szintjét, és ez a szint nem szerepel a klasszikus Navier-Stokes egyenletekben. Ez vezetett ahhoz a javaslathoz, hogy a Lorentz-attraktor problémájának megoldási lehetőségeit bővítsék további mezostruktúrák explicit bevonásával a hidrodinamika matematikai formalizmusába, amelyek ezen elmélet apparátusát túlmutatják a Navier-Stokes egyenletekkel végzett klasszikus műveletek keretein.
Jelenleg a folytonos közegek dinamikájának attraktor rezsimjei olyan modellek keretein belül épülnek fel, amelyek egy folytonos közeg mozgásának messzemenő absztrakciói, szinte a közeg részecskéi egymással való mechanikai kölcsönhatásának fogalma nélkül. . Egyes esetekben ezek az absztrakciók a beágyazott Hilbert-terek hierarchiájában működő evolúciós típusú operátorok tulajdonságait tükrözik. Más esetekben a véges dimenziós rendszerek dinamikáját tükrözik, amelyek reprodukálják a környezet állapotainak változásait, de ebben az esetben mindegyik állapotot valójában csak a megfelelő fázissokaság egy pontja reprezentálja. Az ilyen modellezés nem felel meg a hidromechanika alkalmazott céljának, amely minden lényeges szerkezetet közvetlenül, tehát egy folytonos közeg által elfoglalt térben megkövetel. Ha figyelembe vesszük az elméleti és kísérleti adatok mellett szóló érveket
Egy ilyen ábrázolás létezése esetén sürgető igénynek tűnik az attraktorok reprodukálása a környezet tér-idő jellemzőinek dinamikájával összefüggésben.
Ebben a cikkben a Lorentz attraktort a modellben javasolt turbulens dinamika keretein belül konstruáljuk meg. E modell szerint a turbulens rezsimek fázisterei a hidrodinamikai mennyiségek fluktuációiból származó sugarak rétegződései. A fluktuáló kötegek geometriáját eleve önkényesnek feltételezzük, amelyet a megfelelő kaotikus rezsimek modellezett jellemzői határoznak meg. A modellezés fő célja egy kaotikus szerkezet, amely a közegben lévő pontok mozgásának instabil pályáinak komplexuma. Feltételezzük, hogy minden kialakult turbulens rezsim egy jól meghatározott kaotikus struktúrának felel meg. Egy kaotikus struktúra pályáján a dinamikus változók fluktuációinak kötegén meghatározott, nem integrálható (nem holonom) Pfaff-típusú eloszlás integrálgörbéivel azonosították őket.
jellemző tulajdonság A javasolt modell egy közeg mozgásának Lagrange-féle leírása, amely általános esetben nem redukálódik le az Euler-változók mozgásának leírására. Ugyanakkor kiderült, hogy Lagrange leírása bámulatosan alkalmazkodott ahhoz, hogy a furcsa attraktorokkal rendelkező rendszerek dinamikáját tükrözze. Az Euler-paradigma merev megszorításai helyett Lagrange leírása sokkal lazább feltételeket támaszt, amelyek a megfelelő nemholonom eloszlások geometriai objektumainak meghatározására szolgálnak. A modellezés hangsúlyának ilyen változása lehetővé teszi a különböző attraktorok reprodukálását a részecskenyalábok dinamikájában kontinuum közegben.
1. Állítsuk fel a hárommódusú rezsim pulzációi dinamikájának egyenleteit
(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)
ahol xk és yz a pulzáció rétegződésének térbeli és dinamikus koordinátáit alkotják, az mkk(x, yt)(xk és Ar(x, yt)M objektumok pedig meghatározzák a rezsim intermódusú kölcsönhatásainak természetét. maga az (1) egyenlet pedig a dinamikus koordináták térbeli koordinátákra és időre vonatkozó deriváltjainak kialakításának szabályainak tekinthető, amelyeket valós turbulens evolúció határoz meg. geometriai jelentése Ezen objektumok közül az, hogy a pulzálási kötegben egy belső kapcsolat objektumot, illetve egy függőleges vektormezőt határoznak meg.
Tegyük fel, hogy a fent bemutatott dinamikus koordináták a közeg áramlási sebességének ingadozását jelentik, vagyis a közeg aktuális sebessége a képlet szerint kiterjeszthető az átlagos áramlás és fluktuációk sebességmezőjébe.
u (x, y) = u0 (x) + y. (2)
A tömeg- és impulzusmérleg-egyenleteket a standard folytonossági egyenlet és a Navier-Stokes egyenlet formájában vesszük
Chr + udi. (4)
Ez a rendszer Az egyenletek még nem teljesek, mivel a (4) egyenlet tartalmazza a nyomást, amely egy termodinamikai változó, amelynek dinamikája általános esetben túlmutat a kinematika keretein. A nyomásingadozások leírásához új dinamikus koordinátákra van szükség, ami növeli a megfelelő turbulens mozgási rezsim leírásához szükséges szabadsági fokok számát. Bevezetünk egy új dinamikus változót, melynek jelentése nyomásingadozás, vagyis veszünk
p(x,y)= po(x) + y4. (öt)
Így a folyamatos közeg mozgásának megjelenítéséhez szükséges dinamikus koordináták kezdeti halmaza négydimenziós.
A Lorentz-rendszer dinamikájához hasonló dinamikájú háromdimenziós rendszerré redukálás lehetősége abban rejlik, hogy a nyomás gradiens formájában lép be a (4) egyenletbe. Ebből következik, hogy a sebességingadozások háromdimenziós dinamikájára való redukálása akkor hajtható végre, ha a (4) egyenletbe belépő nyomásgradiens csak az első három dinamikus koordinátát tartalmazza. Ehhez elegendő megkövetelni, hogy a dinamikai egyenletekben a negyedik koordinátára
dy4 + wj (x, y) dxk = A4 (x, y) dt (6)
a w4(x,yj)dxk kapcsolatformák együtthatói csak az első három dinamikus koordinátától függtek. Megjegyzendő, hogy a háromdimenziós rendszer instabilnak bizonyulhat egy teljesebb leírás szempontjából, amely magában foglalja a szabadság összes gerjesztett fokának figyelembevételét. Mindazonáltal arra szorítkozunk, hogy pontosan ezt az a priori lehetséges dinamikát modellezzük.
Tekintsük a (3), (4) mérlegegyenletek által támasztott feltételeket az (1) dinamikus egyenletben szereplő wk(x,yj)dxk és Ai(x,yj)dt ismeretlen mennyiségek kifejezéseire. Ehhez behelyettesítjük (2) és (5) helyett (3) és (4), és az (1) és (6) egyenleteket használjuk. Az eredményül kapott kifejezések egyszerűsítése érdekében feltételezzük, hogy az xk térbeli koordináták derékszögűek. Ebben az esetben nem lehet különbséget tenni a felső és alsó indexek között, emelni és csökkenteni őket, ha szükséges a kovariáns kifejezések írásához. Ezután az (1) egyenlet együtthatóira a következő egyenleteket kapjuk:
dkuk - wj = 0, (7)
Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (8)
ahol a Dj = dj - wk^y jelölés kerül bevezetésre.
A továbbiakban a probléma megfogalmazását konkretizáljuk. Olyan rendszert fogunk megvizsgálni, amelynek átlagos sebességmezeje egy egyszerű nyírás áramlását írja le
uk = Ax3à\. (kilenc)
Ezenkívül feltételezéseket teszünk a szálas pulzációs tér geometriájára vonatkozóan. Feltételezzük, hogy a köteg össze van kötve lineáris függvény dinamikus koordinátákban, azaz w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). Ebben az esetben a (8) egyenletből azonnal következik, hogy a második objektum dinamikus koordinátáiban polinomiális szerkezetet kap. Ugyanis a függőleges vektormező dinamikus koordinátákban másodrendű polinommá válik, azaz.
Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.
Így az ismeretlen függvények, amelyek meghatározzák a vizsgált hárommódusú rezsim pulzációs dinamikájának egyenletét, a waak(x), Ar0(x), Ark(x) és A3k(x) együtthatók. (3) és (4) egyenlet. Megjegyzendő, hogy a (4) egyenlet lényegében a függőleges együtthatók meghatározására redukálódik vektor mező, míg a kapcsolódási együtthatók megválasztásának csak a (3) folytonossági egyenlet szab határt. Ez az egyenlet jelentős önkényességet hagy maga után a konnektivitási együtthatók meghatározásakor, így a fluktuációs dinamika térszerkezetének modellezésének szélessége konzisztens a választott átlagos áramlással.
2. Tekintsük egy Lorentz típusú attraktor beszerzésének lehetőségét ebben a feladatban. Ebből a célból mindenekelőtt a tényleges sebességértékek kiterjesztését tárgyaljuk átlagsebesség a hullámzás pedig körülbelül átlagos.
A lüktetések jelentése szerint időátlaguk nullával egyenlő, azaz.
(y)t - 0. (10)
Ugyanakkor a pulzálást úgy definiáljuk, mint a tényleges sebességértékek eltéréseit az átlagos értéktől. Ha az átlagos áramlást adottnak tételezzük fel, akkor a feljegyzett körülmény nem teszi lehetővé, hogy a káosz modellegyenletévé válasszuk önkényes rendszer kaotikus dinamikájú egyenletek. Ahhoz, hogy a modellegyenletrendszer változóit valós hidromechanikai mennyiségek pulzációinak tekintsük, a (10) feltételeknek teljesülniük kell. Ha a (10) nem teljesül, akkor ez a pulzációs dinamikában el nem számolt eltolódást jelent. Ennek megfelelően az elfogadott modellrendszer nem konzisztens sem a figyelembe vett ható tényezőkkel, sem a megengedett átlagos áramlás szerkezetével.
Továbbá az (1) egyenlet általános esetben egy nem teljesen integrálható Pfaff-típusú rendszer. Ennek az egyenletnek a nem integrálhatósága alapvetően fontos, ami megfelel a turbulens mozgásra jellemző tulajdonságnak. Ugyanis a mozgás során minden makroszkopikusan kicsi turbulens képződmény, részecskék, lepkék, gömböcskék elvesztik egyéniségüket. Ezt a tulajdonságot az (1) egyenlet nem integrálhatósága veszi figyelembe. Lényegében az (1) egy folytonos közeg által alkotott kontinuum pontjainak lehetséges mozgási pályáinak együttesét írja le. Ezek a pályák az ingadozások kötegében vannak meghatározva. A folytonos közeg által elfoglalt térre való vetületeik meghatározzák a fluktuációk alakulásának dinamikáját a megfelelő térbeli görbék mentén. Megjegyzendő, hogy ez utóbbi tetszőlegesen választható, meghatározva annak lehetőségét, hogy bármilyen térbeli görbe mentén figyelembe vegyük a fluktuációk dinamikáját.
Tekintsük a határozottság kedvéért a fluktuációk dinamikáját az átlagos áramlás áramvonalai mentén. Ekkor a következő dinamikus egyenleteink vannak:
xr = u0, (11)
y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)
Mielőtt megvizsgálnánk ezt a rendszert, átalakítjuk dimenzió nélküli változókra. Ehhez az eredeti (4) egyenletben a viszkozitási együttható helyett bevezetjük
Reynolds szám. Ezután cserélje ki a számtól való kifejezett függőséget
<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)
A változók feletti aláhúzás elhagyásával (12)-ből kapjuk
y \u003d DiO - és! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)
Elemezzük (13). Megjegyzendő, hogy az alkalmazott modell fejlett turbulenciát feltételez, vagyis a Reynolds-számot kellően nagynak kell tekinteni. Ekkor, ha a dimenzió nélküli mennyiségek egységnagyságrendűek, akkor a (13) szerinti valós méretmennyiségek jelzik a dinamika megnyilvánulásának léptékét. A (13)-ból különösen az következik, hogy a térbeli léptékek kicsinek bizonyulnak. Az alkalmazott modellt tehát mindenekelőtt a turbulens keveredési folyamatok modelljének kell tekinteni egy folytonos közeg mezoszkópikus felbontási szintjén.
Térjünk most rá (11) és (12) elemzésére. Könnyen belátható, hogy a választott átlagos áramláshoz a (11) egyenletnek egyszerű integráljai vannak. A megfelelő középáram áramvonal-egyenletek az x1 koordinátatengellyel párhuzamos egyenesek. A térbeli koordinátákat kiküszöbölve, a (12)-ből általános esetben egy nem autonóm differenciálegyenlet-rendszert kapunk. Ebben az esetben, ha a konnektivitási együtthatók és a nyomásgradiens nem függ az x1 koordinátától, akkor a (14) rendszer autonóm lesz, amely paraméterként tartalmazza a fennmaradó x2 és x3 térbeli koordinátákat. Ebben az esetben valódi út nyílik a térben inhomogén kvázi-stacionárius pulzációs dinamika közvetlen modellezésére. Az alábbiakban egy ilyen szimulációra mutatunk be példát.
A bekezdés végén megjegyezzük, hogy a Pfaff-rendszer (1), (6) által adott nemholonom eloszlás megjelenése annak a feltevésnek a következménye, hogy állandó erős turbulencia állapotában a lehetséges mozgási pályák osztálya. a közeg részecskéi stabil képződmény. Ennek az új stabilitásnak a szükséges feltétele a pontok mozgási pályáinak instabilitásának követelménye, ami viszont a Reynolds-szám nagy értékeit jelenti. Alaptalan az a kísérlet, hogy a megközelítést az Re szám kis értékeire terjesszék ki.
3. Térjünk rá egy olyan példa felépítésére, amelyben az átlagos áramlás pályái mentén bekövetkező sebesség-ingadozásokat egy Lorentz-típusú kanonikus rendszer írja le. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy minden kapcsolódási együttható állandó. Ebben az esetben olyan dinamikát kapunk, amely az átlagos áramlás áramvonalai mentén térben homogén, de tetszőleges vonalak mentén térben nem homogén. Ezt a feltevést kvázi-homogén közelítésnek nevezzük.
Feladatunk az, hogy a (14) egyenletnek megadjuk a kanonikus Lorentz-rendszer alakját. Ennek első látható akadálya a dinamikus koordináták és a megfelelő változók azonosításának bizonytalansága
a kanonikus rendszerből. Feltételezve, hogy az intermódusú kölcsönhatások különféle mechanizmusai lehetővé teszik ezen azonosítások bármelyikének szimulálását, a következő lehetőséget választjuk. Legyen a (14) egyenlet szerkezete a következő:
y1 = a(-y1 + y2), (15)
y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)
y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)
ahol a szabályos kifejezés kifejezetten ki van emelve, amit a 2. pontban elmondottak szerint ki kell zárni a lüktetések kifejezéséből.
x \u003d o (-x + y), y \u003d rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (tizennyolc)
Ehhez feltételezzük, hogy a (18) rendszer változóinak időátlagai léteznek. Ennek a rendszernek a transzformációk tekintetében fennálló invarianciája alapján
x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)
természetes, hogy az első két változó átlagának nullának kell lennie. Aztán a helyettesítés
x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)
a (18)-ban megadja a (15) - (17) egyenletrendszert.
Ebben a tekintetben megjegyezzük, hogy a Lorentz-rendszer paramétereinek különböző értékeire megoldások lehetségesek az első két változó nulla és nem nulla átlagértékeivel is. Ezt szem előtt tartva a későbbi megfontolásunkat e lehetőségek közül az elsőre korlátozzuk. Ezenkívül megjegyezzük, hogy a helyettesítés (20) akkor is végrehajtható, ha a harmadik kifejezésben (20) szereplő kifejezés nem az időátlag jelentését jelenti. Ebben az esetben a későbbi értelmezéshez szükség lehet az átlagolási eljárás új meghatározására. Általános esetben a megfelelő definíció a vizsgált jelenségek időskálájának finomítását igényli. Nyilvánvaló, hogy az ilyen újradefiniálásokhoz mind a kezdeti adatok, mind a rendszerparaméterek változásai részletesebb figyelembevételét igénylik. A kaotikus attraktorok kölcsönhatásának jól ismert hatása megmutatja, hogy milyen kétértelműségek merülhetnek fel a mozgási paraméterek kis változásaira vonatkozó átlagok meghatározásakor.
Térjünk vissza a mérlegelésünkhöz. A (15)-(17) és (14) rendszer együtthatóit összevetve azt kapjuk, hogy
(DiO - u£dki0 - c/ro) =
(-3]u0 + - dkyu] + u^) =
V -U (g)) (-o
g - (g) -1 0 V 0 0 -y
Ezen kívül (7)-től van
dk u0 = 0, 0.
Tekintsük (21) és (24). A (9) kifejezést helyettesítve könnyen belátható, hogy a (24) azonos módon teljesül, a (21) pedig csak az átlagos nyomásgradiens meghatározására redukálódik. Ebben az esetben a gradiens az átlagos áramlási sebességre merőlegesnek bizonyul, ami a Lorentz-kanonikus rendszer változóinak és a sebesség-ingadozási komponensek választott azonosításának következménye.
Térjünk át a (23) és (25) egyenletekre. A (23)-ból egyértékű kifejezéseket kapunk a kapcsolódási objektum alsó index-szimmetrikus összetevőihez. Az antiszimmetrikus részt a (25)-ből bizonyos önkényesen határozzuk meg. Ezen egyenletek általános megoldását a következő kifejezés adja:
/ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \
eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)
Térjünk rá a fennmaradó (22) egyenletre. Ez a mátrixegyenlet 9 másodfokú algebrai egyenletből álló rendszer
b2 - c(p + /) +
ae - bp + Yur \u003d r - (r),
eb - a/ + o43 = 0,
ae - bp + b + 1021 = o,
C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,
Ec + ab + u43 = 0,
A/ + eb + a - A + u31 = 0,
Ec + ab + u42 = 0,
Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.
Az ismeretlen benne 6 kapcsolódási együttható (26), a nyomástenzor 9 komponense, 1 az átlagsebesség értékét meghatározó együttható és a Lorentz-rendszer 3 paramétere. Ebből következik, hogy ennek a rendszernek a megoldása jelentős paraméteres önkényességgel van meghatározva. A vizsgált háromdimenziós rezsimben a nyomásgradiens ω > 4r tenzora tetszőleges, és konkretizálása miatt lehetséges a kívánt dinamika szimulációja bármely, előre rögzített kapcsolódási együttható kiválasztásánál. Többdimenziós rezsimek esetén a nyomástenzor komponensei egy teljesebb egyenletrendszerben szerepelnek, amely figyelembe veszi az összes gerjesztett szabadsági fok dinamikáját. Ebben az esetben a nyomástenzor már nem lehet önkényes. Ebben a tekintetben érdekes a nyomástenzor meghatározásának különféle konkrét lehetőségeit megvizsgálni, feltételezve, hogy a fizikailag ésszerű feltevések teljesebb, többdimenziós dinamikát figyelembe vevő egyenletekben reprezentálják magukat. Feltételezzük, hogy a nyomásgradiens tenzor átlós az y2 koordinátának megfelelő nulla komponenssel. Ebben az esetben a (22) pontos analitikai megoldása a következő:
o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)
K - a t Ka, K - a AK
a = A, b = a - K, c = - - .1, p = -, f = - K, e = - - -. (28)
Tekintsük a kapott (27), (28) megoldást. Az átlagos áramsebesség-gradiens nagyságát meghatározó A, r, a, y mennyiségek és a Lorentz-modellrendszer három paramétere tetszőleges maradt benne. Az összes többi mozgásjellemzőt a fenti mennyiségkészlet függvényében fejezzük ki. Ezen mennyiségek bizonyos értékeinek megválasztása miatt lehetőség van az ingadozások dinamikájának megváltoztatására, és a (26), (27) képletekkel megtalálni a kapcsolódási objektum összetevőinek megfelelő értékeit. Ha figyelembe vesszük, hogy minden objektum meghatározza a lüktetések kölcsönhatásainak jellegét, akkor lehetővé válik maguknak a különböző típusú kölcsönhatásoknak a variálása. Különösen a nyomástenzor komponensek nagyságának változtatására. Meg kell jegyezni, hogy bizonyos esetekben ezek az alkatrészek azonosan nullára fordíthatók. A (27), (28) megoldások jellemzője, hogy lehetetlen a nyomástenzor komponenseit nullára fordítani, miközben a rendszerparaméterek azon értékeinek tartományában maradnak, amelyeknél a Lorentz-dinamika felmerül. (Ez azonban teljesen lehetséges azon paraméterértékek tartományában, amelyeknél a pulzálási dinamika szabályos.)
Tegyünk néhány becslést. A modellrendszer paraméterei feleljenek meg a Lorentz-attraktornak a = 10, r = 28, y = 8/3 paraméterekkel. Ebben az esetben a számítások azt mutatják, hogy a pulzációk jellemző ideje t ~ 0,7. A számított b = 0 + 50 időintervallumon belül a pulzációs értékek az y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 és y3 = -23,2 + 23,7 intervallumokhoz tartoznak.
Hasonlítsuk össze a sebességingadozások és az átlagos sebességgradiens abszolút értékét. A (13)-ból az következik, hogy a pulzációkat úgy kapjuk, hogy a relatív értékeket elosztjuk az l/d számmal, miközben az átlagsebesség gradiens változatlan marad. Vegyünk tehát a sebességgradiensnek egy nagyságrendi egységnyi értéket
A ~ 1. Ekkor Re = 2000 értéknél, azaz alsó kritikus értéknél a pulzációkra a gradiens értékének 50%-ának megfelelő nagyságrendet kapunk. Re=40000 esetén a sebességingadozások csak az átlagos sebességgradiens elfogadott értékének 10%-át érik el. Ez azt mutatja, hogy az átlagsebesség és a pulzációk közötti ésszerű arányok csak az Re számok bizonyos tartományában biztosíthatók.
4. A közegben lévő pontok mozgásának vizsgálatakor új adatok derülnek ki. A kvázi-homogén közelítésben a Lorentz-dinamika esetében a pontok mozgásegyenletei a következő alakúak:
r-(z) -l 0 0 0 -Y
Aox3 -A(r - (z))x3
Ez a rendszer lineárisnak bizonyul állandó együtthatókkal. Általános megoldása könnyen elérhető elemi integrációval. Ezért csak a pontok mozgási pályáinak minőségi jellemzőit jegyezzük meg. A mozgási sebességek karakterisztikus egyenletéből azt találjuk, hogy két negatív és egy pozitív gyöke van. Így a tér minden pontjában két nyomó- és egy húzási irányt különböztetünk meg. A dinamikának ezek a jellemzői invariáns jellemzők, amelyek segítségével osztályozhatók az azonos átlagos sebességű áramlásoknak megfelelő attraktorok.
A (29) és (30) rendszer általános megoldásából következően a közegpontok lehetséges elmozdulásai az átlagos áramlási áramvonalakra keresztirányban nem korlátozottak. Ugyanis szabályos sodródás lép fel az x3 tengelyre vetítésben. Ebben az esetben a középáram áramvonalaira merőlegesen mozgó pontok a nagy sebességek tartományába esnek. Ebben az esetben az Re szám növekszik, ami az ingadozások relatív nagyságának csökkenéséhez vezet. A kvázi-homogén közelítés keretében ez a hatás a fluktuációk relatív csökkenéséhez, végső soron azok fluktuációvá való degenerálódásához vezet.
Bibliográfiai lista
1. Mukhamedov A.M. Turbulens modellek: problémák és megoldások //17 IMACS Congress, Paper T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.
2. Mukhamedov A.M. A turbulencia mérőelmélete felé // Chaos, Solitons & Fractals. 2006. évf. 29. 253. o.
3. Ruelle D., Takens F. A turbulencia természetéről // Commun. Math. Phys. 1971. évf. 20. 167. o.
4. Babin A.V., Vishik M.I. Evolúciós egyenletek vonzerői. M.: Nauka, 1989. 296 p.
5. Mandelbrot B. A természet fraktálgeometriája. szabad ember. San Francisco, 1982.
6. Benzi Rpaladin G., Parisi G., Vulpiani A. A teljesen kifejlődött turbulencia és kaotikus rendszerek multifraktál természetéről // J. Phys. A. 1984. 17. évf. P.3521.
7 Elnaschie M.S. A Feynman-útintegrálok és az E-végtelen elmélet a kétrés Gedanken-kísérletből // International Journal of Nonlinear sciences and Numerical Simulations. 2005. évf. 6. (4) bekezdése alapján. 335. o.
8. Mukhamedov A.M. Ensemble modes of turbulence in shear flows // Bulletin of KSTU im. A. N. Tupolev. 2003, 3. sz. S. 36.
9. Judovics V.I. A Lorentz-rendszer határciklusainak aszimptotikája nagy Rayleigh-számokhoz // VINITI. 07/31/78. 2611-78 sz.
10. Anishchenko V.S. Komplex rezgések egyszerű rendszerekben. M.: Nauka, 1990. 312 p.
11. Loitsjanszkij L.G. Folyadék és gáz mechanikája. M.: Nauka, 1987. 840 p.
Kazany Állami Egyetem Érkezett: 2006. január 23
Műszaki Egyetem Átdolgozva 2006.08.15
LORENZ ATTRACTOR AZ EGYSZERŰ VÁLTÁS ÁRAMLÁSÁBAN
A kontinuum közeg kaotikus dinamikájának szimulációjára korábban megadott modell keretében a Lorenz attraktort ábrázoltuk. A szimulációt olyan struktúrák segítségével adjuk meg, amelyek egy szálköteg geometriáját határozzák meg, amelyhez a sebesség pulzálások 3 dimenziós rezsimje tartozik. A Lorenz-dinamika a pulzációk időfüggéseként jelenik meg az átlagos áramlás mentén.
Mukhamedov Alfarid Mavievich - Kazanyban született (1953). Diplomát szerzett a Kazany Állami Egyetem Fizikai Karán, a Gravitáció és Relativitáselmélet Tanszékén (1976). A Kazany Állami Műszaki Egyetem Elméleti és Alkalmazott Mechanikai Tanszékének doktorandusza, V.I. A. N. Tupolev. 12 cikk szerzője ebben a témában, valamint a „Matematika tudományos keresése és módszertana” című monográfia (Kazan: KSTU Publishing House, 2005, G. D. Tarzimanovával közösen). Tudományos érdeklődési kör - a kaotikus dinamika matematikai modelljei, a szálas sokaságok geometriája, a modern matematika módszertana.
fraktálkészlet julia attraktor
Eddig a fraktálokat tanulmányoztuk, amelyek statikus alakzatok. Megközelítésünk egészen elfogadható mindaddig, amíg nem kell figyelembe venni az olyan természeti jelenségeket, mint a zuhanó vízáramlás, a turbulens füstörvénylés, az időjárási rendszerek és a sugárhajtóművek kiömlése. Ezekben az esetekben egyetlen fraktál felel meg az adott jelenség pillanatképének. Az idővel változó struktúrákat dinamikus rendszernek nevezzük. Intuitív módon világos, hogy a fraktál dinamikus ellentéte a káosz. Ez azt jelenti, hogy a káosz a rendkívüli kiszámíthatatlanság állapotát írja le, amely egy dinamikus rendszerben fordul elő, míg a fraktalitás a geometriai konfigurációban rejlő rendkívüli szabálytalanságot vagy egyenetlenséget.
Hamar világossá vált, hogy a minket körülvevő világ jelenségeit leíró kaotikus dinamikus rendszerek nagyon összetettek, és a matematikai elemzés hagyományos módszereivel nem ábrázolhatók. Nyilvánvalóan zárt formában nem lehet matematikai kifejezéseket kapni, még akkor sem, ha végtelen sorozatokat vagy speciális függvényeket használunk.
Nézzünk meg egy híres példát, amely nagyon világosan mutatja, mi van a „kaotikus dinamika” kifejezés mögött. Edward Lorenz, a Massachusetts Institute of Technology munkatársa 1961-ben az időjárási rendszerek numerikus tanulmányozásával foglalkozott, különös tekintettel a légkör konvekciós áramainak modellezésére. A Lorentz-attraktor tanulmányozása ma már minden
matematikai csomag, pl. Mathematica, Maple.. Írt egy programot a következő differenciálegyenlet-rendszer megoldására:
dx/dt = (-x + y),
dy/dt = rx - y - xz,
dz/dt = -bz + xy.
A további számításoknál az r és b paraméterek állandóak, és a \u003d -10, r \u003d 28 és b \u003d 8/3 értékeket veszik fel.
A Lorenzhez tartozó kísérlet leírása szerint sokáig számolta a megoldás értékeit, majd leállította a számítást. Valahol a számolási intervallum közepén megjelent megoldás valami sajátossága érdekelte, ezért ettől a pillanattól kezdve megismételte a számításokat. Az újraszámlálás eredménye nyilvánvalóan egybeesne a kezdeti számlálás eredményeivel, ha az újraszámlálás kezdeti értékei pontosan megegyeznének az adott időpontban korábban kapott értékekkel. Lorentz kissé megváltoztatta ezeket az értékeket, csökkentve az érvényes tizedesjegyek számát. Az így bevezetett hibák rendkívül kicsik voltak. A legváratlanabb azonban előttünk állt. Az újonnan kalkulált megoldás egy ideig jól egyezett a régivel. Azonban ahogy számoltuk, az eltérés nőtt, és fokozatosan kiderült, hogy az új megoldás egyáltalán nem hasonlít a régire.
Lorentz megismételte és újra ellenőrizte a számításokat (valószínűleg nem bízott a számítógépben), mielőtt ráébredt a kísérlet fontosságára. Amit megfigyelt, azt ma a kezdeti feltételektől való esszenciális függésnek nevezik, ami a kaotikus dinamikában rejlő alapvető jellemző. A jelentős függőséget néha pillangóeffektusnak is nevezik. Ez az elnevezés arra utal, hogy nem lehet hosszú távú időjárás-előrejelzést készíteni. Ezt a fogalmat maga Lorenz is tisztázta az 1979-ben megjelent „Kijósolhatóság: vezethet-e egy pillangó szárnycsapása Brazíliában tornádóhoz Texasban?” című cikkében.
A Lorentz-kísérlet nagy jelentősége ellenére ez a kurzus nem foglalkozik a differenciálegyenletekkel leírt dinamikus rendszerekhez kapcsolódó modellekkel. Éppen ellenkezőleg, a kaotikus dinamika legegyszerűbb modelljeit fogjuk figyelembe venni - a diszkréteket, amelyek magukban foglalják a híres és mindenütt jelenlévő Mandelbrot-készletet és a hozzá tartozó Julia-készleteket.
Rizs. 4.1.1. Lorenz attraktor.
A leggyakoribb következetlenség az, hogy az emberek azt feltételezik, hogy a káoszelmélet a rendellenesség elmélete. Semmi sem állhat ilyen távol az igazságtól! Ez nem a determinizmus cáfolata, és nem is annak kijelentése, hogy a rendezett rendszerek lehetetlenek; ez nem a kísérleti bizonyítékok tagadása vagy az összetett rendszerek hiábavalóságának kijelentése. A káosz a káoszelméletben a rend – és nem is csak a rend, hanem a rend lényege.
Igaz, hogy a káoszelmélet azt állítja, hogy a kis változtatások hatalmas következményekkel járhatnak. De az elmélet egyik központi fogalma a rendszer állapotának pontos előrejelzésének lehetetlensége. Általánosságban elmondható, hogy a rendszer általános viselkedésének modellezése meglehetősen megvalósítható, sőt egyszerű is. Így a káoszelmélet nem egy rendszer rendezetlenségére – a rendszer eredendő kiszámíthatatlanságára –, hanem annak öröklött rendjére – a hasonló rendszerek közös viselkedésére – összpontosít.
Így helytelen lenne azt állítani, hogy a káoszelmélet a rendezetlenségről szól. Ennek egy példával való illusztrálására vegyük a Lorentz-attraktort (1. ábra). Három differenciálegyenleten, három állandón és három kezdeti feltételen alapul.
Az attraktor a gáz tetszõleges idõbeni viselkedését reprezentálja, és állapota egy adott pillanatban az adott pillanatot megelõzõ állapotától függ. Ha a kezdeti adatokat még nagyon kis értékek is megváltoztatják, mondjuk ezek olyan kicsik, hogy arányosak az Avogadro-szám ingadozásaival (nagyon kicsi, 1024-es nagyságrendű szám), az attraktor állapotának ellenőrzése teljesen más számokat mutatnak. Ennek az az oka, hogy a kis eltéréseket a rekurzió felnagyítja.
Ennek ellenére az attraktor gráf meglehetősen hasonló lesz. Mindkét rendszernek egy adott időpontban teljesen eltérő értéke lesz, de az attraktor gráf ugyanaz marad, mert a rendszer általános viselkedését fejezi ki.
A káoszelmélet szerint az összetett nemlineáris rendszerek örökletesen kiszámíthatatlanok, ugyanakkor a káoszelmélet azt mondja, hogy az ilyen előre nem látható rendszerek kifejezési módja nem az egzakt egyenlőségekben, hanem a rendszer viselkedésének ábrázolásában igaz. furcsa attraktorok grafikonjaiban vagy fraktálokban. Így a káoszelmélet, amelyet sokan kiszámíthatatlanságnak gondolnak, egyúttal a leginstabilabb rendszerekben is a kiszámíthatóság tudománya.
absztrakt
Szakterület szerint: matematika
„ Lorentz attraktor“
Lorentz attraktor
a rendszer megoldása atr =0,3
a rendszer megoldása atr =1,8
a rendszer megoldása atr =3,7
a rendszer megoldása atr =10
a rendszer megoldása atr =16
a rendszer megoldása atr =24,06
a rendszer megoldása atr =28 – valójában ez a Lorentz-attraktor
a rendszer megoldása atr =100 - látható az önrezgések módja a rendszerben
Lorentz attraktor (angolról.vonzani - vonz) invariáns halmaz egy háromdimenziós sima , amely bizonyos összetett topológiai szerkezettel rendelkezik és aszimptotikusan stabil, azt és az összes pályát valamilyen szomszédságból hajlamos nál nél (innen ered a neve).
A Lorentz-attraktort numerikus kísérletekben találták meg, amelyek egy nemlineáris rendszer pályáinak viselkedését vizsgálták:
a következő paraméterértékekkel: σ=10,r =28, b =8/3. Ezt a rendszert először, mint az első nem triviális rendszert vezették be a tengervíz lapos rétegben való problémájára, ami motiválta a σ értékeinek megválasztását,r Ésb , de más fizikai kérdésekben és modellekben is felmerül:
konvekció zárt hurokban;
a vízikerék forgása;
egymódusú modell;
disszipatív inerciális nemlinearitással.
Kezdeti hidrodinamikai egyenletrendszer:
ahol - áramlási sebesség, - folyadék hőmérséklet, - a felső határ hőmérséklete (az alsó, ), - sűrűség, - nyomás, - a gravitációs erő, - illetve kinematikai.
A konvekció problémájában a modell akkor merül fel, amikor az áramlási sebességet és hőmérsékletet kétdimenziósra bontják, majd ezek az első-második harmonikusokig "levágják". Ezenkívül az adott teljes egyenletrendszert -ben írják fel. A sorok kivágása bizonyos mértékig indokolt, hiszen Soltzman munkáiban kimutatta, hogy a legtöbb felharmonikus viselkedésében nincs érdekesség.
Alkalmazhatóság és a valóságnak való megfelelés
Jelöljük meg az egyenletrendszerben szereplő változók és paraméterek fizikai jelentését az említett problémákkal kapcsolatban.
Konvekció lapos rétegben. Ittx felelős a vízaknák forgási sebességéért,y Ész - a hőmérséklet vízszintes és függőleges eloszlásához,r - normalizált , σ - (a kinematikai együttható és az együttható aránya),b információkat tartalmaz a konvektív cella geometriájáról.
Konvekció zárt hurokban. Ittx - áramlási sebesség,y - a hőmérséklet eltérése az átlagtól a hurok alsó pontjától 90°-kal távolabbi pontban,z - ugyanaz, de az alsó ponton. A hőellátás a legalacsonyabb ponton történik.
A vízikerék forgása. Megfontolandó egy olyan kerék problémája, amelynek a peremén az alján lyukas kosarak vannak rögzítve. A kerék tetejeszimmetrikusan folyamatos vízáram folyik a forgástengely körül. A feladat egyenértékű az előzővel, „fejjel lefelé”, a hőmérsékletet a perem mentén lévő kosarakban lévő víztömeg eloszlásának sűrűségével helyettesítve.
egymódusú lézer. Ittx - a lézer hullámainak amplitúdója,y - , z - populációinverzió,b és σ az inverziós és a téregyütthatónak a polarizációs relaxációs együtthatóhoz viszonyított aránya,r - intenzitás.
Érdemes kiemelni, hogy a konvekció problémájára alkalmazva a Lorentz-modell egy nagyon durva közelítés, nagyon távol áll a valóságtól. Többé-kevésbé megfelelő egyezés létezik a szabályos rezsimek tartományában, ahol a stabil megoldások minőségileg tükrözik az egyenletesen forgó konvektív hengerek kísérletileg megfigyelt képét (). A modellben rejlő kaotikus rezsim nem írja le a turbulens konvekciót az eredeti trigonometrikus sorozat jelentős vágása miatt.
Érdekesség a modell lényegesen nagyobb pontossága néhány módosításával, amelyet különösen a függőleges irányú vibrációnak vagy változó hőhatásoknak kitett réteg konvekciójának leírására használnak. A külső körülmények ilyen változásai az egyenletekben szereplő együtthatók modulációjához vezetnek. Ebben az esetben a hőmérséklet és a sebesség nagyfrekvenciás Fourier-komponensei jelentősen elnyomódnak, javítva a Lorentz-modell és a valós rendszer közötti egyezést.
Figyelemre méltó Lorenz szerencséje a paraméterérték kiválasztásában , mivel a rendszer csak a 24,74-nél nagyobb értékekre vonatkozik, kisebb értékeknél teljesen más a viselkedés.
Rendszermegoldás viselkedése
Tekintsük a Lorentz-rendszer megoldásának viselkedésében bekövetkezett változásokat az r paraméter különböző értékeihez. A cikk illusztrációi a (10,10,10) és (-10,-10,10) kezdeti koordinátákkal rendelkező pontok numerikus szimulációjának eredményeit mutatják be. A modellezés az alábbi nyelven írt programmal, a kapott táblázatok szerinti ábrázolással történt - a Fortran gyenge grafikus képességei miatt a Compaq Array Viewer segítségével.
r <1 - a koordináták origója az attraktor, nincs más stabil pont.
1< r <13,927 - a pályák spirálisan közelítenek (ez csillapított oszcillációk jelenlétének felel meg) két ponthoz, amelyek helyzetét a képletek határozzák meg:
Ezek a pontok határozzák meg a stacionárius konvekciós állapot állapotait, amikor a rétegben forgó folyadéktekercsekből álló szerkezet alakul ki.
r ≈13,927 - ha a pálya elhagyja az origót, akkor az egyik stabil pont körül teljes körforgást végrehajtva visszatér a kiindulási ponthoz - két homoklinikai hurok jelenik meg. koncepcióhomoklinikai pálya azt jelenti, hogy kijön és ugyanabba az egyensúlyi helyzetbe kerül.
r >13,927 - Iránytól függően a pálya két stabil pont egyikéhez érkezik. A homoklinikai hurkok instabil határciklusokká regenerálódnak, és létrejön a bonyolultan elrendezett pályák családja is, amely nem vonzerőt, hanem éppen ellenkezőleg, taszítja magától a pályákat. Néha, analógia alapján, ezt a szerkezetet "furcsa riasztónak" nevezik (Eng.taszítani - taszít).
r ≈24,06 - a pályák már nem vezetnek stabil pontokhoz, hanem aszimptotikusan közelítenek az instabil határciklusokhoz - megjelenik a tulajdonképpeni Lorentz-attraktor. Azonban mindkét stabil pont az értékekig megmaradr ≈24,74.
A paraméter nagy értékei esetén a pálya komoly változásokon megy keresztül. Shilnikov és Kaplan megmutatta, hogy nagyon nagyr a rendszer önoszcillációs üzemmódba lép, és ha a paramétert csökkentjük, az oszcillációs periódus megduplázódása révén a káoszba való átmenet figyelhető meg.
Modell jelentősége
A Lorentz-modell valós fizikai példa kaotikus viselkedéssel, ellentétben a különféle mesterségesen felépített leképezésekkel ( , stb.).
A Lorenz rendszer viselkedését szimuláló programok
Borland C
#beleértve
#beleértve
void main()
dupla x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
dupla dt = 0,0001;
int a = 5, b = 15, c = 1;
int gd=DETECT, gm;
initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
do(
X1 = x + a*(-x+y)*dt;
Y1 = y+ (b*x-y-z*x)*dt;
Z1 = z+ (-c*z+x*y)*dt;
X=x1; y=y1; z = z1;
Putpixel((int)(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
(int) (-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
) while (!kbhit());
closegraph();
Mathematica
adatok = táblázat[
A következővel: [(N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1),
NestList &,
(3,051522, 1,582542, 15,62388), N
(j, 0, 5)];
[e-mail védett][(Hue], Point[#1]) &, data]
Borland Pascal
Program Lorenz;
CRT-t, grafikont használ;
Const
dt = 0,0001;
a = 5;
b = 15;
c = 1;
Var
gd, gm: Integer;
x1, y1, z1, x, y, z: Valós;
Kezdődik
gd:=Érzékelés;
InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");
x:= 3,051522;
y: = 1,582542;
z: = 15,62388;
Bár nem nyomja meg a gombot, kezdje el
x1:= x + a*(-x+y)*dt;
y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1:=z+(-c*z+x*y)*dt;
x:= x1;
y:= y1;
z:= z1;
PutPixel(Kerek(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
kerek (-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
vége;
Grafikon bezárása;
ReadKey;
vége.
FORTRAN
program LorenzSystem
valós,paraméter::sigma=10
valós,paraméter::r=28
valós,paraméter::b=2,666666
valós,paraméter::dt=.01
egész szám,paraméter::n=1000
valódi x,y,z
open(1,file="eredmény.txt",form="formatted",status="replace",action="write")
x=10;y=10;z=10.
doi=1,n,1
x1=x+szigma*(y-x)*dt
y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
z1=z+(x*y-b*z)*dt
x=x1
y=y1
z=z1
írd (1,*)x,y,z
vége do
nyomtat *"Kész"
bezárni (1)
LorenzSystem program vége
QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")
DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 EGYEDÜL
DIM a, b, c EGÉSZ SZÁMNAK
x = 3,051522: y = 1,582542: z = 15,62388: dt = 0,0001
a=5; b=15; c=1
12. KÉPERNYŐ
NYOMTATÁS "A kilépéshez nyomja meg az Esc billentyűt"
MIközben INKEY$<>CHR $ (27)
x1 = x + a * (-x + y) * dt
y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
x=x1
y = y1
z = z1
PSET ((19,3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
IRÁNYÍT
VÉGE
JavaScript És HTML5
var cnv = document.getElementById("cnv");
var cx = cnv.getContext("2d");
var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
vardt = 0,0001;
var a = 5, b = 15, c = 1;
var h = parseInt(cnv.getAttribute("height"));
var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));
var id = cx.createImageData(w, h);
varrd = Math.round;
var idx = 0;
i=1000000; miközben én--) (
x1 = x + a*(-x+y)*dt;
y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1 = z+ (-c*z+x*y)*dt;
x = x1; y=y1; z = z1;
idx=4*(rd(19,3*(y - x*0,292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0,292893) + 392)*w);
id.data = 255;
cx.putImageData(id, 0, 0);
IDL
PRO Lorenz
n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.
HA i=0.,n-2. DO r=r + [ a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0,0001
diagram,19,3*(r[*,1]-r[*,0]*0,292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0,292893)+392.
VÉGE
Irodalom
Kuznetsov S.P. , 3. előadás. Lorentz-rendszer; 4. előadás. A Lorentz-rendszer dinamikája. // - M.: Fizmatlit, 2001.
Saltzman B . A véges amplitúdó nélküli konvekció, mint kezdeti érték probléma. // Légkörtudományi folyóirat, 1962. 7. szám - p. 329-341.
Lorenz E . Determinisztikus nem periodikus mozgás // Furcsa attraktorok. - M., 1981. - S. 88-116.
A kaotikus, furcsa attraktorok olyan rendszerek kiszámíthatatlan viselkedésének felelnek meg, amelyek nem rendelkeznek szigorúan periodikus dinamikával; ez a determinisztikus nem periodikus folyamatok matematikai képe. A furcsa attraktorok strukturáltak, és nagyon összetett és szokatlan konfigurációkkal rendelkezhetnek a háromdimenziós térben.
Rizs. egy.
és fázisportrék (alsó sor) három különböző rendszerhez
(Gleick, 2001)
Bár egyes matematikusok munkáiban korábban felmerült a furcsa attraktorok létezésének lehetősége, először egy furcsa attraktor felépítését (2. ábra) egy differenciálegyenlet-rendszer megoldásaként valósították meg. A légkör termokonvekciójának és turbulenciájának számítógépes modellezése, E. Lorentz amerikai meteorológus (E. Lorentz, 1963). A Lorentz-rendszer végső állapota rendkívül érzékeny a kezdeti állapotra. Maga a „furcsa attraktor” kifejezés később jelent meg, D. Ruelle és F. Takens (D. Ruelle, F. Takens, 1971: lásd Ruelle, 2001) munkájában, amely a folyadék turbulenciájának természetéről szól; A szerzők megállapították, hogy a furcsa attraktor dimenziója eltér a megszokottól, vagyis a topológiaitól, később B. Mandelbrot különös attraktorokat azonosított, amelyek pályái a szekvenciális számítógépes számítások során végtelenül rétegzettek, kettéválnak, fraktálokkal.
Rizs. 2. (Kaotikus pályák a Lorentz-rendszerben). Lorenz Attractor (Kronover, 2000)
Lorenz (1963) felfedezte, hogy három nemlineáris differenciálegyenletből álló egyszerű rendszer is kaotikus pályákhoz vezethet.
ahol s, r és b néhány pozitív szám, a rendszer paraméterei. A Lorenz-rendszer vizsgálatait általában s =10, r =28 és b =8/3 (paraméterértékek) mellett végzik.
Így azok a rendszerek, amelyek viselkedését a véletlenszerűséget nem tartalmazó szabályok határozzák meg, idővel kiszámíthatatlanságot mutatnak a kis bizonytalanságok, ingadozások növekedése, erősödése, erősödése miatt. Egy rendszer vizuális képe egyre nagyobb bizonytalansággal a Ya.G. által készített úgynevezett biliárd. Sinai: a kellően nagy sorozatú golyóütközések elkerülhetetlenül a számított pályáktól való kis eltérések növekedéséhez vezetnek (a valódi golyók nem ideális gömbfelülete, a ruha nem ideálisan egyenletes felülete miatt) és a rendszer kiszámíthatatlansága miatt. viselkedés.
Az ilyen rendszerekben "ugyanúgy jön létre a véletlenszerűség, ahogy a tésztát keverik vagy a kártyapaklit megkeverik" (Crutchfield et al., 1987). A rendből a káoszba való átmenet kialakulásának egyik modellje az úgynevezett "baker-transzformáció", az egymást követő nyújtással és hajtogatással, végtelenül hajtogatással; ebben az esetben a transzformációk száma a káosz mértékeként szolgálhat. Ott van az Aizawa Attractor, amely a Lorenz attraktor speciális esete.
ahol a = 0,95, B = 0,7, c = 0,6, d = 3,5, e = 0,25, F = 0,1. Minden előző koordináta bekerül az egyenletekbe, a kapott értéket megszorozva az időértékekkel.
Példák más furcsa attraktorokra
Vonzó WangSun
Itt a, b, d, e?R, c> 0 és f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.
Rössler attraktor
Ahol a,b,c= pozitív állandók. Paraméterértékekkel a=b=0,2 és
Általában ezt mondják káosz a rend magasabb formája, de helyesebb a káoszt a rend másik formájának tekinteni - elkerülhetetlenül minden dinamikus rendszerben a rendet a szokásos értelmében a káosz követi, a rendet pedig a káosz. Ha a káoszt rendetlenségként definiáljuk, akkor az ilyen rendezetlenségben mindenképpen megláthatjuk majd a saját, sajátos rendformánkat. Például, cigaretta füstje eleinte rendezett oszlop formájában emelkedik ki a külső környezet hatására, egyre furcsább körvonalakat ölt, mozgása kaotikussá válik. Egy másik példa a természet véletlenszerűségére az levél bármely fáról. Lehet vitatkozni, hogy sok hasonló levelet talál, például tölgyet, de egyetlen pár azonos betűt sem. A különbséget a hőmérséklet, a szél, a páratartalom és sok egyéb külső tényező határozza meg a pusztán belső okok mellett (pl. genetikai különbség).
Káoszelmélet
A rendből a káoszba való mozgás és fordítva, úgy tűnik, az Univerzum lényege, nem vizsgáltuk, hogy hozzájárulna-e a megnyilvánulásához. Még az emberi agyban is egyszerre vannak jelen a rendezett és kaotikus elvek. Az első a bal agyféltekének, a második a jobb agyféltekének felel meg. A bal agyfélteke felelős az ember tudatos viselkedéséért, az emberi viselkedés lineáris szabályainak és stratégiáinak kialakításáért, ahol a „ha... akkor...” egyértelműen meghatározott. A jobb féltekén a nemlinearitás és a káosz uralkodik. Az intuíció a jobb agyfélteke egyik megnyilvánulása. Káoszelmélet egy véletlenszerűnek, rendezetlennek tűnő kaotikus rendszer sorrendjét tanulmányozza. A káoszelmélet ugyanakkor segít egy ilyen rendszer modelljének felépítésében, anélkül, hogy feladatul tűzné ki egy kaotikus rendszer jövőbeli viselkedésének pontos előrejelzését.A káoszelmélet története
A káoszelmélet első elemei a 19. században jelentek meg, de ez az elmélet a 20. század második felében kapott valódi tudományos fejlődést a munkákkal együtt. Edward Lorenz(Edward Lorenz) a Massachusetts Institute of Technology munkatársa és Benoit B. Mandelbrot francia-amerikai matematikus (Benoit B. Mandelbrot). Edward Lorenz egy időben (XX. század 60-as évek eleje, 1963-ban jelent meg) mérlegelte, mi a nehézség az időjárás előrejelzésben. Lorenz munkája szerint két vélemény uralta a tudomány világát a pontos időjárás-előrejelzés lehetőségével kapcsolatban végtelen hosszú ideig. Első megközelítés fogalmazta meg 1776-ban egy francia matematikus Pierre Simon Laplace. Laplace kijelentette, hogy "...ha olyan elmét képzelünk el, amely egy adott pillanatban felfogja az univerzumban lévő objektumok közötti összes kapcsolatot, akkor bármikor képes lenne megállapítani ezeknek a tárgyaknak a helyzetét, mozgását és általános hatását. a jövőben vagy a múltban." Ez a megközelítése nagyon hasonlított Arkhimédész híres szavaira: "Adj egy támaszpontot, és az egész világot felforgatom." Így Laplace és támogatói azt mondták, hogy az időjárás pontos előrejelzéséhez csak több információt kell gyűjteni az univerzum összes részecskéjéről, azok elhelyezkedéséről, sebességéről, tömegéről, mozgási irányáról, gyorsulásáról stb. Laplace úgy gondolta, hogy minél többet tud valaki, annál pontosabb lesz a jövőre vonatkozó előrejelzése. Második megközelítés az időjárás előrejelzés lehetőségét egy másik francia matematikus fogalmazta meg a legvilágosabban, Jules Henri Poincare. 1903-ban ezt mondta: „Ha pontosan ismernénk a természet törvényeit és az univerzum helyzetét a kezdeti pillanatban, akkor pontosan meg tudnánk jósolni ugyanazon univerzum helyzetét a következő pillanatban. De még ha a természet törvényei minden titkukat felfednék is előttünk, akkor is csak hozzávetőlegesen tudhatnánk a kiindulási helyzetet. Ha ez lehetővé tenné, hogy ugyanazzal a közelítéssel megjósolhassuk a következő helyzetet, akkor már csak ennyire lenne szükségünk, és azt mondhatnánk, hogy a jelenséget előre jelezték, törvények szabályozzák. De nem mindig az a helyzet, hogy a kezdeti feltételek kis eltérései nagyon nagy különbségeket okoznak a végső jelenségben. Egy kis hiba az előbbiben hatalmas hibát eredményez az utóbbiban. Az előrejelzés lehetetlenné válik, és egy véletlenül kialakult jelenséggel állunk szemben.” Poincaré e szavaiban megtaláljuk a káoszelmélet posztulátumát a kezdeti feltételektől való függésről. A tudomány, különösen a kvantummechanika ezt követő fejlődése megcáfolta Laplace determinizmusát. 1927-ben német fizikus Werner Heisenberg felfedezték és megfogalmazták bizonytalanság elve. Ez az elv megmagyarázza, hogy egyes véletlenszerű jelenségek miért nem engedelmeskednek a laplaci determinizmusnak. Heisenberg egy atommag radioaktív bomlását példálózva demonstrálta a bizonytalansági elvet. Tehát az atommag nagyon kis mérete miatt lehetetlen megismerni a benne zajló összes folyamatot. Ezért bármennyi információt gyűjtünk is az atommagról, lehetetlen megjósolni, hogy pontosan mikor bomlik el ez a mag.A káoszelmélet eszközei
Milyen eszközei vannak a káoszelméletnek? Először is ezek attraktorok és fraktálok. Attractor (az angolból vonzani - vonzani.) - egy geometriai szerkezet, amely jellemzi a viselkedést a fázistér végén egy hosszú idő. Azaz attraktor- erre törekszik a rendszer, amihez vonzódik. Az attraktor legegyszerűbb típusa a pont. Az ilyen attraktor jellemző az ingára súrlódás jelenlétében. A kezdeti sebességtől és pozíciótól függetlenül egy ilyen inga mindig nyugalmi állapotba kerül, pl. pontosan. A következő típusú attraktor a határciklus, amely zárt görbe vonal alakú. Ilyen attraktorra példa az inga, amelyre nem hat a súrlódási erő. Egy másik példa a határciklusra a szívverés. Az ütemfrekvencia csökkenhet és növekedhet, de mindig az attraktorára, a zárt görbéjére hajlik. A harmadik típusú attraktor a tórusz. Az 1. ábrán a tórusz a jobb felső sarokban látható.
1. ábra – Az attraktorok fő típusai A tetején három kiszámítható, egyszerű attraktor látható. Az alábbiakban három kaotikus attraktor látható. A kaotikus attraktorok, amelyeket néha furcsa attraktoroknak is neveznek, viselkedésének összetettsége ellenére a fázistér ismerete lehetővé teszi a rendszer viselkedésének geometriai formában történő ábrázolását, és ennek megfelelően előrejelzését. És bár a rendszer tartózkodása egy adott időpontban a fázistér egy adott pontján gyakorlatilag lehetetlen, a terület, ahol az objektum található, és az attraktorra való hajlama előre megjósolható. Lorenz attraktor
Az első kaotikus attraktor a Lorenz attraktor volt.
2. ábra - Kaotikus Lorenz attraktor Lorentz attraktor csak három szabadsági fok – három közönséges differenciálegyenlet, három állandó és három kezdeti feltétel – alapján számítják ki. A Lorenz-rendszer azonban egyszerűsége ellenére pszeudo-véletlen (kaotikus) módon viselkedik. Miután rendszerét számítógépen modellezte, Lorenz azonosította a kaotikus viselkedés okát - a kezdeti feltételek különbségét. Már az evolúció kezdetén két rendszer mikroszkopikus eltérése is a hibák exponenciális felhalmozódásához és ennek megfelelően sztochasztikus nézeteltérésükhöz vezetett. Ugyanakkor bármely attraktornak vannak határdimenziói, így a különböző rendszerek két pályájának exponenciális eltérése nem folytatódhat a végtelenségig. Előbb-utóbb a pályák ismét összefolynak, és elhaladnak egymás mellett, vagy akár egybe is esnek, bár ez utóbbi nagyon valószínűtlen. Egyébként a pályák egybeesése a szabály az egyszerű kiszámítható attraktorok viselkedésére. konvergencia-divergencia Egy kaotikus attraktor szisztematikusan kiküszöböli a kezdeti információkat, és új információkkal helyettesíti. Emelkedéskor a pályák közelednek egymáshoz, és kezd megjelenni a rövidlátás hatása - nő a nagyszabású információ bizonytalansága. Ha a pályák eltérnek, akkor éppen ellenkezőleg, eltávolodnak egymástól, és a távollátás effektus akkor jelenik meg, amikor a kis léptékű információ bizonytalansága nő. A kaotikus attraktor állandó konvergenciája-divergenciája következtében rohamosan nő a bizonytalanság, ami lehetetlenné teszi, hogy minden egyes időpillanattal pontos előrejelzéseket adjunk. Amire a tudomány olyan büszke – az okok és következmények közötti összefüggések megállapítására –, az lehetetlen a kaotikus rendszerekben. A káoszban nincs ok-okozati összefüggés a múlt és a jövő között. Itt azt is meg kell jegyezni, hogy a konvergencia-divergencia mértéke a káosz mértéke, azaz. számszerű kifejezése annak, hogy mennyire kaotikus a rendszer. A káosz másik statisztikai mérőszáma az attraktor mérete. Megállapítható tehát, hogy a kaotikus attraktorok fő tulajdonsága a különböző rendszerek pályáinak konvergencia-divergenciája, amelyek véletlenszerűen fokozatosan és végtelenül keverednek.