lineáris algebrai numerikus módszer

Gyakran a kísérleti adatok elemzésekor szükségessé válik a mérések eredményeként kapott x és y értékei közötti funkcionális kapcsolat megtalálása. Két x és y érték kapcsolatának analitikus vizsgálata egy értéktáblázatot állít elő, amely grafikusan is ábrázolható.

Ha azonban ismerjük a közelítő függvény alakját, akkor a közelítési probléma csak a függvényben szereplő együtthatók (a, b, c,...) megtalálására redukálódik. Ezen együtthatók meghatározásához a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk, amely abból áll, hogy az y=f(x, a, b, c,..) függvény grafikonja pontjaitól mért függőleges távolságok négyzetösszege. .) a legkisebb: S = i 2 = min, ahol S i = y i - f(x i , a, b, c,...). Ehhez használjuk fel a szükséges feltételt egy több i - f(x i , a, b, c,...))) 2 változóból álló függvény extrémumához: parciális deriváltok nullával való egyenlősége. Az eredmény egy rendszer. Így az együtthatók megtalálása csak a rendszer megoldására redukálódik:

Lineáris regresszió

A lineáris függvény alakja y = ax + b, ezért két paramétert kell találni: a és b, azzal a feltétellel, hogy a kísérletileg véletlenszerű hibával („zaj”) talált n pont koordinátái adottak. Ehhez összeállítjuk az i - (ax i + b)) 2 függvényt, kinyitjuk az i - ax i - b) 2 zárójeleket, és összeállítjuk a rendszert:

Legyen A \u003d i, B \u003d i, C \u003d i x i, D \u003d i 2, akkor a rendszer a következő alakot veszi fel:

Megoldjuk ezt a lineáris rendszert algebrai egyenletek Cramer módszere, és így megtaláljuk az a és b paraméterek kívánt értékeit:

Asztal. Vannak pontok:

A paraméterszámítási módszer segítségével lineáris függvény, kapunk:

a = 0,1215455, b = - 0,2140002

Közelítés, vagy közelítés - tudományos módszer, amely abból áll, hogy egyes tárgyakat másokkal helyettesítenek, ilyen vagy olyan értelemben, amelyek közel állnak az eredetihez, de egyszerűbbek. ban figyelembe vett feladatokban ez a szekció a továbbiakban pedig a táblázatosítás eredményeként kapott eredeti adatokat használjuk fel adott funkciót. Emlékeztetni kell arra, hogy valódi problémák esetén a kezdeti adatok megfigyelések (kísérletek végzése, tudományos kísérletek, megfigyelések) eredményei. valós események stb.), amelyek mérési hibáknak és egyéb véletlenszerű tényezőknek vannak kitéve. A kutató feladata, hogy az első pillantásra kaotikusan elhelyezkedő kiindulási pontokból kiválasszon (ha egyáltalán lehetséges) egy olyan funkcionális függőséget, amely a legjobban írja le a kiindulási adatok eloszlását, és adott esetben megpróbáljon előrejelzést készíteni. továbbfejlesztésének (például a részvényárfolyamok változásának idősorának tanulmányozása).

Gyakorlat. Készítsen táblázatot a függvényértékekről F(x)=ax²+bx+c számára 11 érvértékek x határon belül –1 ≤ x ≤ +1. Ábrázolja ezt a függvényt, majd illeszkedjen kétféle trendvonalhoz. Trendvonalak segítségével készítsen előrejelzést két előrejelzési időszakra.

Az előző feladatokhoz hasonlóan itt is megadjuk a kezdeti adatokat: a függvény argumentumának kezdőértékét xn, a függvény argumentumának végső értéke Xk, a függvény felosztási pontjainak száma (táblasorok száma) N, a függvény argumentumlépésének képlete dX, együtthatók a, b, c, majd létrehozzuk a főtáblát és elkészítjük a diagramot (ezeket a műveleteket részletesen leírtuk a részben):

Trendvonalak a diagramon

A trendvonalak lehetővé teszik az adattrendek grafikus megjelenítését és a jövőbeli változások előrejelzését. Az ilyen elemzést regressziós elemzésnek is nevezik. A regressziós elemzés segítségével meghosszabbíthatja a diagram trendvonalát a valós adatokon túl a jövőbeli értékek előrejelzéséhez.

A trendvonalak minden 2D-s diagramon ábrázolhatók(Trendvonalak nem adhatók hozzá a 3D, Radar, Pie, Donut és Bubble diagramokhoz.)

Hat különböző típusú trendvonal létezik:

• Lineáris
• Polinom
• logaritmikus
• Exponenciális
• Erő

A függvény grafikonjához hozzáadott trendvonalak semmilyen módon nem befolyásolják magát az adatot és az eredeti diagramot.

Képletek a trendvonalak kiszámításához

Lineáris. Az adatok lineáris legkisebb négyzetes illesztésére használják az egyenlet szerint:

ahol: m - hajlásszög, b - az abszcissza tengely metszéspontjának koordinátája.

Polinom. Az adatok polinomiális vagy görbe vonalú legkisebb négyzetes illesztésére használják az egyenlet szerint:

ahol: b , c 1 , c 2 , … 6-tól - állandók.

A polinom mértékét 2 és 6 között állíthatja be.

logaritmikus. Az adatok loggalizálására szolgál a legkisebb négyzetre az egyenlet szerint:

ahol: c és b - állandók, ln a természetes logaritmus függvény.

Exponenciális. Az adatok exponenciális illesztésére szolgál a legkisebb négyzetek módszerével az egyenlet szerint:

ahol: c és b - állandók, e a természetes logaritmus alapja.

Erő. A hatványtörvény szerinti legkisebb négyzetek adatillesztéséhez a következő egyenlet szerint:

ahol: c és b - állandók.

jegyzet. Exponenciális és hatványközelítések nem állnak rendelkezésre, ha függvényértékek F(x) negatív vagy nulla értéket tartalmaznak. Ezenkívül a közelítés logaritmikus és hatványtípusai nem érhetők el, ha a függvény argumentuma értékei x negatív vagy nulla értéket tartalmaznak. Mivel a feladatokban, hogy laboratóriumi munka az argumentum alsó határának negatív értéke kerül felhasználásra xn (x0), ne válassza ki a közelítés logaritmikus és hatványos típusát!

A mozgóátlag egy adott időszak átlagértéke:

A diagramon a mozgóátlag pontjaiból húzott vonal lehetővé teszi egy sima görbe felépítését, amely tisztábban mutatja az adatok alakulásának mintáját.

Trendvonal hozzáadása az adatsorokhoz

Válassza ki a diagramot (kattintson a diagram tetszőleges pontjára), majd három további lap jelenik meg a menüszalagon: Konstruktőr , Elrendezés és Formátum . A lapon Elrendezés csoportban Elemzés kattintson a gombra .

A különféle előrejelzési módszerek közül lehetetlen nem kiemelni a közelítést. Segítségével közelítő számításokat végezhet, tervezett mutatókat számolhat az eredeti objektumok egyszerűbbre cserélésével. Az Excelben is lehetőség van ennek a módszernek az előrejelzésére és elemzésére. Nézzük meg, hogyan alkalmazható ez a módszer a megadott programban beépített eszközökkel.

Ennek a módszernek a neve a latin proxima – „legközelebbi” szóból ered, ez a közelítés az ismert mutatók egyszerűsítésével, simításával, az alapját képező irányzatba sorakoztatva őket. De ez a módszer nem csak előrejelzésre, hanem a meglévő eredmények tanulmányozására is használható. Hiszen a közelítés valójában a kiindulási adatok egyszerűsítése, az egyszerűsített változat pedig könnyebben tanulmányozható.

A fő eszköz, amellyel a simítást Excelben végezzük, egy trendvonal felépítése. Ennek lényege, hogy a meglévő mutatók alapján készül a függvény grafikonja a következő időszakokra. A trendvonal fő célja, ahogy sejthető, az előrejelzések készítése vagy egy általános trend azonosítása.

De megépíthető az ötféle közelítés valamelyikével:

• Lineáris;
• exponenciális;
• logaritmikus;
• polinom;
• Erő.

Tekintsük az egyes lehetőségeket részletesebben külön-külön.

1. módszer: Lineáris simítás

Először is nézzük meg a közelítés legegyszerűbb változatát, mégpedig egy lineáris függvény használatát. Részletesebben fogunk foglalkozni vele, mivel elmondjuk a más módszerekre jellemző általános pontokat, nevezetesen a rajzolást és néhány egyéb árnyalatot, amelyekre a későbbi lehetőségek mérlegelése során nem térünk ki.

Mindenekelőtt készítsünk egy grafikont, amely alapján elvégezzük a simítási eljárást. A grafikon felépítéséhez vegyünk egy táblázatot, amelyben a vállalkozás által megtermelt egységnyi kibocsátás költsége havi bontásban, illetve az ennek megfelelő nyereség egy adott időszakban van feltüntetve. Grafikus funkció, amelyet meg fogunk építeni, a profit növekedésének a termelési költség csökkenésének függőségét fogja megjeleníteni.

Az ebben az esetben alkalmazott simítást a következő képlet írja le:

Konkrét esetünkben a képlet a következő formában jelenik meg:

y=-0,1156x+72,255

A közelítési megbízhatóság értéke egyenlő 0,9418 , ami meglehetősen elfogadható eredmény, amely megbízhatónak jellemzi a simítást.

2. módszer: Exponenciális közelítés

Most nézzük meg az exponenciális közelítés típusát az Excelben.

A simító függvény általános formája a következő:

ahol e a természetes logaritmus alapja.

Konkrét esetünkben a képlet a következő formát öltötte:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

3. módszer: logaritmikus simítás

Most a logaritmikus közelítési módszer átgondolásán van a sor.

Általában a simító képlet így néz ki:

ahol ln a természetes logaritmus. Innen a módszer neve.

Esetünkben a képlet a következő formában jelenik meg:

y=-62,81ln(x)+404,96

4. módszer: Polinomiális simítás

Eljött az idő, hogy fontolóra vegyük a polinomiális simítás módszerét.

Az ilyen típusú simítást leíró képlet a következő formát öltötte:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

5. módszer: teljesítménysimítás

Végezetül vegye figyelembe az Excel hatványközelítési módszerét.

Ez a módszer hatékonyan alkalmazható a függvényadatok intenzív változása esetén. Fontos megjegyezni, hogy ez az opció csak akkor használható, ha a függvény és az argumentum nem vesz fel negatív vagy nulla értéket.

A módszert leíró általános képlet a következő:

A mi konkrét esetünkben ez így néz ki:

y = 6E+18x^(-6,512)

Amint látható, a példában használt konkrét adatok felhasználása során a polinomiális közelítés módszere egy hatodfokú polinommal mutatta a legmagasabb szintű megbízhatóságot ( 0,9844 ), a lineáris módszer legalacsonyabb megbízhatósági szintje ( 0,9418 ). Ez azonban egyáltalán nem jelenti azt, hogy más példák használatakor ugyanez a tendencia lesz. Nem, a fenti módszerek hatékonysági szintje jelentősen eltérhet attól függően, hogy a trendvonalat milyen típusú függvényre építik. Ezért, ha a kiválasztott módszer a leghatékonyabb ehhez a funkcióhoz, ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy egy másik helyzetben is optimális lesz.

Ha a fenti ajánlások alapján nem tudja azonnal meghatározni, hogy konkrétan az Ön esetére melyik közelítés alkalmas, akkor érdemes az összes módszert kipróbálni. A trendvonal ábrázolása és a megbízhatósági szint megtekintése után kiválaszthatja a legjobb lehetőséget.

Osztály: ________ Informatika és számítástechnika _______________

TANFOLYAM MUNKA

fegyelem szerint _______________ INFORMATIKA __________________________

(Név akadémiai fegyelem alapján tanterv)

GYAKORLAT

az IHL-12 csoport tanulója, Rumyantsev N.A.

(csoportkód) (teljes név)

1. Munka tárgya: _ A numerikus módszer megvalósítása Microsoft Excel segítségével és a MathCAD csomag eszközeivel

2. Munkavégzés kezdeti adatai: _17. számú opció_______________________________________

4. Grafikai anyagok listája: _ Az eredmények bemutatása képernyős űrlapok formájában_________________________________________ ____________________________________

5. A munka befejezésének határideje: ___ 2013.05.01 ____________________________

Munkafelügyelő: ________ ____________________ /_________/

(beosztás) (aláírás) (teljes név)

A megbízás kiadásának dátuma: __ 2013. február 15 ______________

annotáció

A magyarázó jegyzet a tanfolyami munka végrehajtásáról szóló beszámoló. Foglalkozik az empirikus képletek megtalálásának kérdéseivel a legkisebb négyzetek módszerével (LSM) a Microsoft Excel csomag lehetőségeit felhasználva, és a MathCAD csomagban is mérlegeli a probléma megoldását. A munkában különféle típusú egyenleteket kapunk lineáris, másodfokú és exponenciális függések közelítésével. A munka végén arra a következtetésre jutottak, hogy melyik módszer oldotta meg legjobban a problémát.

24. oldal, 3. táblázat, 14. ábra, 0. pályázat.

Absztrakt

A magyarázó megjegyzés a kurzusok teljesítményéről szóló jelentést tartalmazza. Ebben a legkisebb négyzetek (OLS) módszerével, a Microsoft Excel csomag lehetőségei segítségével empirikus képletek megtalálására vonatkozó kérdéseket veszik figyelembe, valamint az adott probléma Turbo Pascal 7.0-ban való megoldását. A munka során különböző típusú egyenleteket kapunk közelítéssel lineáris, négyzettörvény és exponenciális függések. A munka befejezésekor levonják a következtetést, a problémát úgy oldják meg, hogy melyik módszer a jobb.

24. oldal, 3. táblázat, 14. ábra, 0. melléklet.

Annotáció. 2

Bevezetés. 4

A probléma megfogalmazása. 5

Általános információ. 6

Lineáris függőség. 7

Nemlineáris függőség. 7

Kezdeti adatok. tíz

Közelítések számítása Excel 11 táblázatban

Grafikonok felépítése. 17

LINEST funkció 18

Közelítés MathCAD-ben.. 19

Bevezetés. tizenkilenc

Lineáris közelítés MathCAD-ben.. 21

Exponenciális közelítés MathCAD-ben.. 22

Polinom (másodfokú közelítés a MathCAD-ben.. 23

Hivatkozások.. 24

Bevezetés

A közelítés (a latin "approximare" - "megközelítés" szóból) egy tudományos módszer, amelynek lényege, hogy néhány ismert értéket helyettesítsen másokkal, közelítő és egyszerűbbekkel. Ezeknek az egyszerű értékeknek ki kell elégíteniük bizonyos függőséget, amelynek megtalálása általában ennek a módszernek a végső célja.

Ismeretes, hogy a mennyiségek közötti funkcionális függés lehet egzakt (ez az elméleti találmányokra jellemző) vagy közelítő (ami inkább a kísérleti úton nyert adatokra jellemző). Ennek a pontatlanságnak, a kapott érték eltérésének a kívánt függőségtől, amit a grafikonon a görbétől bizonyos távolságra lévő pontok szóródásaként fejezünk ki (itt kicsit megelőzöm magam) több oka is lehet:

1. Közvetlen mérések (műszeres) hibái, emberi hibák (itt természetesen nem a jelentős eltéréseket adó durva hibákra gondolok).

2. A természettel kapcsolatos emberi tudás tökéletlensége – korántsem minden modern tudományos koncepció teszi lehetővé számunkra, hogy valós esetekre bármilyen értéket pontosan kiszámítsunk – ezek közül sok az ideális esetekre irányul.

3. Magának a természetnek (különösen az élőnek) összetettsége és változékonysága. Például abban az esetben, ha a szociológiai kutatás, a kísérleti adatok pontos egybeesése az elméletiekkel egyáltalán nem szükséges - a kísérleti eredmények enyhe korrelációja a várható törvényszerűségekkel már sokat elárulhat a szakembereknek.

A közelítés kiválasztásakor a vizsgálat konkrét feladatából kell kiindulni. Általában minél egyszerűbb a közelítéshez használt egyenlet, annál közelítőbb a függőség kapott leírása. Ezért fontos elolvasni, hogy milyen jelentős és mi okozta az egyes értékek eltérését a kapott trendtől. A függőség empirikus leírásakor bizonyos értékeket sokkal nagyobb pontosság érhető el valamilyen összetettebb, többparaméteres egyenlet használatával. Nincs értelme azonban az értékek véletlenszerű eltéréseit az empirikus adatok meghatározott sorozataiban maximális pontossággal közvetíteni. Sokkal fontosabb az általános szabályszerűség megragadása, amit ebben az esetben a leglogikusabban és elfogadható pontossággal pontosan a hatványfüggvény kétparaméteres egyenlete fejez ki. A közelítési módszer megválasztásakor tehát a kutató mindig kompromisszumot köt: ő dönti el, hogy ebben az esetben mennyiben célszerű és célszerű „feláldozni” a részleteket, és ennek megfelelően milyen általánosan kell kifejezni az összehasonlított változók függőségét. Az empirikus adatoknak az általános mintától való véletlenszerű eltérései által elfedett mintázatok azonosítása mellett a közelítés sok más fontos probléma megoldását is lehetővé teszi: formalizálja a talált függést; találja meg a függő változó ismeretlen értékeit interpolációval vagy adott esetben extrapolációval.

A probléma megfogalmazása

1. A legkisebb négyzetek módszerével közelítse meg a táblázatban megadott függvényt!

a) elsőfokú polinom ;

b) másodfokú polinom;

c) exponenciális függés.

2. Számítsa ki a determinizmus együtthatóját az egyes függőségekre!

3. Számítsa ki a korrelációs együtthatót (csak a) esetben!

4. Minden függőséghez építsen fel egy trendvonalat.

5. A LINEST függvény segítségével számítsa ki a függőség numerikus jellemzőit! y tól től x.

6. Hasonlítsa össze számításait a LINEST funkcióval kapott eredményekkel.

7. Következtessen, hogy a kapott képletek közül melyik közelíti legjobban a függvényt.

8. A megadott kísérleti adatokat a MathCAD csomag beépített interpolációs (közelítési) és regressziós függvényeivel dolgozza fel, és hasonlítsa össze az eredményeket a Microsoft Excelben kapott eredményekkel.

Általános információ

Egy kísérleti vizsgálatban funkcionális függőség y = f(x) méri y értékét x különböző értékeinél. Az eredményeket az 1. táblázat formájában vagy grafikusan mutatjuk be.

x	x 1	x2	×××	x n
Y	x 1	Y2	×××	y n

Asztal 1

A feladat a kívánt funkcionális függés analitikus ábrázolása, azaz. a kísérlet eredményeit leíró képlet kiválasztásában. Az empirikus képletet általában a függvények meglehetősen szűk osztályából választják ki, figyelembe véve például a lineáris, hatványos, exponenciális stb. függvények halmazát. Ugyanakkor az empirikus anyag bemutatásakor néhány elméleti megfontolás vagy az egyszerűség megfontolása vezérli őket. A talált empirikus képletnek olyannak kell lennie, hogy a belőle számított függvények X=x i-nél kis mértékben térjenek el az y i kísérleti adatoktól (i = 1, 2, …, n).

Jelölje a választott funkcionális függést

minimális lesz. Így az a 1 , a 2 , … és m paramétereket abból a feltételből határozzuk meg, hogy az y i mért értékek négyzetes eltéréseinek összege házigazdája legkisebb érték.

Használata a szükséges feltételeket Több változóból álló függvény szélsőértékeként egy normális rendszert kapunk az a 1 , a 2 , … és m együtthatók meghatározására

ahol а1, а2 ismeretlen paraméterek, és az (1.3) rendszer a formát ölti

ahol a, b állandók és x > 0 és y > 0.

Az (1.2.1) egyenlőség logaritmusát véve megkapjuk

és az (1.1.2) képleteket alkalmazva megtaláljuk a b és u paraméterek értékét, majd az a paraméter értékét.

exponenciális függőség

Feltételezve, hogy v = lny, c = lna, Y = x, lineáris függést kapunk

táblázat 3.6

Minél kisebb a Q érték, annál jobban illeszkedik az empirikus képlet a kísérleti adatokhoz.

Minden feladatban a legkisebb négyzetek módszerével meg kell találni a táblázatban megadott függvény elméleti funkcionális függését. Elméleti funkcionális függőségként használja:

– I. fokú polinom ,

– exponenciális függvény ,

– teljesítmény funkció ,

- Másodfokú polinom.

Minden függőséghez keresse meg a függvény elméleti értékét, a függvény tapasztalati értékeinek az elméleti értékektől való eltérésének négyzetes összegét, jelölje meg ennek az értéknek a legkisebb értékét és azt a közelítő függvényt, amelynek megfelel. Minden függőséghez készítsen egy trendvonalat, és mutassa meg ennek a vonalnak az egyenletét a diagramon. Mutassa be a diagramon az R 2 determinizmus együttható értékét! Ezt az együtthatót a képlet számítja ki

,

(2.1)

hol vannak a függvény adott értékei,

a függvény elméleti értékei,

Az átlagos számtani érték, i = 1, 2, …,n.

Ha a determinizmus együtthatója 1, akkor a függvény elméleti és tapasztalati értékei teljesen egybeesnek. Ha az együttható

determinizmusa 0, akkor az elméleti függést sikertelenül választottuk.

Kezdeti adatok

Néhány kísérletet végeztek. Eredményeit táblázat formájában rögzítjük, ahol x i a kutató által megadott érték (például vegyi oldatban a reagensek koncentrációja), y i a mért érték (példánkban ez lehet a reakciósebesség ).

x i	y i	x i	y i	x i	y i	x i	y i	x i	y i
0.21	1.62	4.98	40.09	7.96	63.31	12.33	97.77	17.32	126.45
1.19	8.65	5.49	43.56	8.32	67.45	13.21	105.34	18.43	144.34
2.43	16.76	6.07	48.45	9.43	72.87	14.72	112.56	19.38	160.45
3.12	24.45	6.81	52.21	10.21	81.34	15.53	121.89	20.45	161.34
4.54	32.87	7.21	57.34	11.54	89.45	16.23	108.54	21.22	170.59

2. táblázat

Közelítések számítása Excel táblázatban

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA

SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉS

OKTATÁSI INTÉZMÉNY

SZAKMAI FELSŐOKTATÁS

"VORONEZI ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM"

(FGBOU VPO "VSTU", VSTU)

Rádiómérnöki és Elektronikai Kar

Szék felsőbb matematika valamint a fizikai és matematikai modellezés

TANFOLYAM MUNKA

tudományág: matematika

Téma: "Módszerek a függvények közelítésére"

A KP-121 csoport diákja fejlesztette ki

I.S. Kononuchenko

Vezető Kostrjukov S.A.

FELADAT számára tanfolyami munka

Téma: "Módszerek a függvények közelítésére."

A KP-121 Kononuchenko csoport diákja, Ilja Szergejevics

1. Függvények közelítésének módszerei.

1.1. Folyamatos közelítés.

2. Pontközelítés.

3. Lagrange interpolációs polinom.

4. Newton-interpolációs polinom.

5. Globális interpolációs hiba.

6. A legkisebb négyzetek módszere.

7. Empirikus képletek kiválasztása.

8. Darabos állandó interpoláció

9. Darabos lineáris interpoláció.

2. Gyakorlati rész.

2.1. Szerkesszünk interpolációs polinomot az f(x)=lnx- függvényhez x=2 csomópontokkal; 4; 6; nyolc; tíz; 12. Számítsa ki az 5,75 logaritmus hozzávetőleges értékét! Szerezzen becslést a maradék tag hibájára.

2.2. A táblázat által megadott f(x) függvény közelítő lineáris függőség ??(x)=Ax2+Bx+C. Keresse meg x-et, amelyre f(x)=10.

1. A FUNKCIÓK KÖZELÍTÉSÉNEK MÓDSZEREI

1.1 Folyamatos közelítés

1.2 Pontközelítés

4 Newton interpolációs polinom

8 Darabonkénti állandó interpoláció

9 Darabosan lineáris interpoláció

Gyakorlati rész

2.1 Készítsen interpolációs polinomot az f(x)=lnx-on csomópontokon x=2 függvényhez; 4; 6; nyolc; tíz; 12. Számítsa ki az 5,75 logaritmus hozzávetőleges értékét! Szerezze meg a maradék tag hibájának becslését

2.2 A táblázat által megadott f(x) függvényt lineáris függőséggel közelítjük ?(x) \u003d Ax + B, másodfokú függés ?(x)=Ax2+Bx+C. Keresse meg x-et, amelyre f(x)=10

Bibliográfia

1.FUNKCIÓKÖZELÍTÉSI MÓDSZEREK

1.1Folyamatos közelítés

Ha az eredeti f(x) függvényt analitikus kifejezéssel adjuk meg, akkor egy közelítő függvény konstruálásakor megkövetelhetjük, hogy egy függvény minimális eltérése legyen a másiktól valamilyen folytonos ponthalmazon, például egy szakaszon. Ezt a fajta közelítést folytonosnak vagy integrálnak nevezzük.

Elméletileg a legjobb közelítés érdekében célszerű megkövetelni, hogy egy adott szakasz minden pontján a közelítő függvény eltérése az f(x) függvénytől kisebb legyen egy adott abszolút értéknél:

Ebben az esetben a függvényről azt mondjuk, hogy egyenletesen közelíti az f(x) függvényt e pontossággal az intervallumon. Az egységes közelítés gyakorlati megszerzése nagy nehézségekbe ütközik, ezért ezt a módszert elsősorban az elméleti tanulmányokban alkalmazzák.

A leggyakrabban használt az úgynevezett négyzetgyök-közelítés, amelyre a mennyiség

Ha megkövetelik, hogy az M részleges deriváltjai eltűnjenek a függvényt meghatározó paraméterek tekintetében, olyan egyenleteket kapunk, amelyek lehetővé teszik e paraméterek legjobb értékeinek megtalálását.

2 Pont közelítés

Azt a közelítést, amelyben a közelítés egy adott diszkrét ponthalmazra épül, pontközelítésnek nevezzük.

A táblázatban megadott y=f(x) függvény pontgyök-négyzet közelítéséhez a közelítő függvényt a minimális érték feltételéből építjük fel.

ahol yi az f(x) függvény értékei az xi pontokban.

A négyzetgyök közelítés fő alkalmazási területe a kísérleti adatok feldolgozása (empirikus képletek készítése).

A pontközelítés másik típusa az interpoláció, amelyben a közelítő függvény adott xi pontokban ugyanazokat az yi értékeket veszi fel, mint az f(x) függvény, azaz. .

1. kép

Ebben az esetben az interpoláló függvény közelsége az adott függvényhez az, hogy értékeik egybeesnek az adott pontrendszeren.

ábrán Az 1. ábra az interpolációs függvény kvalitatív diagramjait (folytonos vonal) és az effektív közelítés eredményeit (szaggatott vonal) mutatja. A pontok az f(x) függvény táblázatos értékeit jelölik.

3 Lagrange interpolációs polinom

Lagrange egy interpolációs polinom felépítését javasolta bővítés formájában

ahol li(x) bázisfüggvények.

Ahhoz, hogy a polinom kielégítse a Lagrange-feltételeket, pl. interpoláció esetén az li(x) bázisfüggvényeknek a következő tulajdonságokkal kell rendelkezniük:

) legyen n fokú polinom

) megfelel a feltételnek

Lagrange megmutatta, hogy az ilyen tulajdonságokkal rendelkező függvényeknek a következő formájúaknak kell lenniük

Ezt a kifejezést figyelembe véve a Lagrange-interpolációs polinom így írható fel

A kanonikus formájú interpolációs polinommal ellentétben a Lagrange-polinom értékeinek kiszámításához nem szükséges előzetesen meghatározni a polinom együtthatóit egyenletrendszer megoldásával. Az x argumentum minden értékéhez azonban a Lagrange-polinomot újra kell számítani, míg a kanonikus polinom együtthatóit csak egyszer kell kiszámítani. Így gyakorlati használat a Lagrange-polinom csak abban az esetben indokolt, ha az interpolációs függvényt viszonylag kis számú x ponton számítjuk.

A Lagrange-interpolációs polinom nagyon kényelmesnek bizonyul bizonyos integrálok közelítő kiszámításához. Ha például egy bizonyos függvényt lecserélünk a Lagrange-interpolációs polinomra, akkor annak határozott integrálja a következőképpen számítható ki

Az integrálok értékei nem függnek f(x)-től, és analitikusan könnyen kiszámíthatók.

1.4 Newton-interpolációs polinom

Vegyünk egy másik formát az interpolációs polinom felírásához

A rendszerhez vezet az a követelmény, hogy a polinom értékei egybeessenek a függvény adott értékeivel a Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n csomópontokban. lineáris egyenletek háromszög mátrixszal ismeretlen együtthatókhoz:

amit nem nehéz megoldani.

Az interpolációs polinomot Newton-polinomnak nevezzük. A Newton-polinom érdekessége, hogy első (m + 1) tagjának minden részösszege egy m fokú interpolációs polinom, amely az első (m + 1) táblázatos adatokból épül fel.

5 Globális interpolációs hiba

Az f(x) függvény interpolációval történő közelítésének hibája polinom n-edik Az Ln(x) fokot egy x pontban a különbség határozza meg

Megmutatható, hogy az Rn(x) hibát a következő kifejezés határozza meg

Itt van az f(x) függvény valamely pont szerinti deriváltja (n+1), és a függvény definíciója:

Ha egy maximális érték f (n+1)(x) származéka az

akkor az interpolációs hibára a becslés következik

A hiba fajlagos értéke az x pontban nyilvánvalóan a függvény értékétől függ ezen a ponton. A függőség minőségi jellegét az 1. ábra mutatja. 2.

2. ábra

A hiba leírt viselkedése miatt a globális interpoláció bizonyos esetekben teljesen nem kielégítő eredményt adhat. Az ábrán látható, hogy minél nagyobb az interpolációs hiba, minél közelebb van az x pont a szakasz végeihez. Az interpoláció intervallumán kívül (azaz extrapoláció során) gyorsan növekszik, így a hiba jelentősen megnő.

1.6 Legkisebb négyzetek

Legyen a kiindulási adatok xi, fi, i=1,…,N (a számozást jobb egyből kezdeni), az empirikus függőség típusát választjuk: y= ?(a0,a1,…,am) ismeretlen együtthatókkal a0,a1,…,am . Írjuk fel az empirikus képlettel számítottak és a megadott kísérleti adatok közötti eltérések négyzetes összegét:

S(a0,a1,…,am)=(?(x1,a0,a1,…,am)-fi)2

Az a0,a1,…,am paramétereket az S(a0,a1,…,am) függvény minimális feltételéből találjuk meg. Ez a legkisebb négyzetek (LSM) módszere.

Ismeretes, hogy a minimumponton S minden parciális deriváltja egyenlő nullával:

Tekintsük az LSM alkalmazását egy, a gyakorlatban széles körben használt esetre. Mint empirikus függvény vegyük figyelembe a polinomot

?(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

A négyzetes eltérések összegének meghatározására szolgáló (1) képlet a következőképpen alakul:

S(a0,a1,…,am)=(a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)

Számítsa ki a származékokat

Ha ezeket a kifejezéseket nullával egyenlővé tesszük, és összegyűjtjük az a0,a1,…,am ismeretlenek együtthatóit, a következő lineáris egyenletrendszert kapjuk

Ez a rendszer az egyenleteket normálisnak nevezzük. Ezt a lineáris egyenletrendszert megoldva megkapjuk az együtthatókat.

Elsőrendű polinom esetén m=1, azaz. , a normálegyenletrendszer olyan formát ölt

m=2 esetén a következőket kapjuk:

Általában több empirikus függőséget választanak. A legkisebb négyzetek szerint ezeknek a függőségeknek az együtthatóit találjuk meg, és ezek közül a legjobbat találjuk az eltérések minimális mértékét tekintve.

1.7 Empirikus képletek kiválasztása

A függvények interpolálásakor az interpolációs polinom és az adott függvény értékeinek egyenlőségének feltételét használtuk az interpolációs csomópontokon. Ha a kiindulási adatokat kísérleti mérések eredményeként kapjuk, akkor a pontos egyezés követelménye nem szükséges, mivel az adatokat nem kapjuk meg pontosan. Ezekben az esetekben az interpolációs feltételeknek csak hozzávetőleges teljesítése szükséges. Ez a feltétel azt jelenti, hogy az F(x) interpolációs függvény nem megy át pontosan adott pontokat, és néhány környékükön, például, amint az az ábrán látható.

közelítési polinom interpolációs képlete

3. ábra

Ezután az empirikus képletek kiválasztásáról beszélünk. Az empirikus képlet felépítése két lépésből áll: kiválasztjuk az ismeretlen a0,a1,…,am paramétereket tartalmazó képlet formáját, és meghatározzuk a bizonyos értelemben legjobb paramétereket. A képlet formája néha fizikai megfontolásokból ismert (rugalmas közeg esetén a feszültség és a deformáció kapcsolata), vagy geometriai megfontolások alapján választják ki: a kísérleti pontokat grafikonon ábrázolják, és megközelítőleg kitalálják. általános forma függőséget úgy, hogy a kapott görbét összehasonlítjuk az ismert függvények grafikonjaival. A sikert itt nagymértékben a kutató tapasztalata és intuíciója határozza meg.

A gyakorlat szempontjából fontos egy függvény polinomokkal való közelítésének esete, pl. F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm .

Az empirikus függőség típusának kiválasztása után az empirikus adatokhoz való közelség mértékét a számított és a kísérleti adatok négyzetes eltéréseinek minimális összegével határozzuk meg.

1.8 Darabonkénti állandó interpoláció

Minden szegmensen az interpolációs polinom egyenlő egy konstanssal, vagyis a függvény bal vagy jobb értékével.

Bal oldali darabonkénti lineáris interpolációhoz

F(x)= fi-1, ha xi-1 ?x

Jobb oldali darabonkénti lineáris interpolációhoz F(x)= fi-1, ha xi-1

Könnyen belátható, hogy az interpolációs feltételek teljesülnek. A felépített függvény nem folytonos, ami korlátozza az alkalmazását. A bal oldali darabonkénti lineáris interpolációhoz van egy grafikus ábrázolásunk

4. ábra

1.9 Darabonkénti lineáris interpoláció

Minden intervallumon a függvény lineáris Fi(x)=kix+li. Az együtthatók értékeit az interpolációs feltételek teljesüléséből kapjuk a szegmens végén: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi . Megkapjuk az egyenletrendszert: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , amiből ki=li= fi- kixi .

Ezért az F(x) függvény a következőképpen írható fel:

F(x)= x+ fi-kixi ha, azaz.

Vagy F(x)=ki (x-xi-1)+fi-1, ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1? x? xi, i=1,2,...,N-1

Lineáris interpoláció esetén először meg kell határozni azt az intervallumot, amelybe az x érték esik, majd be kell cserélni a képletbe.

Az eredményül kapott függvény folytonos lesz, de a derivált minden interpolációs csomóponton nem folytonos. Az ilyen interpoláció hibája kisebb lesz, mint a darabonkénti állandó interpoláció esetén. A darabonkénti lineáris interpoláció illusztrációja az ábrán látható

5. ábra

2. GYAKORLATI RÉSZ

2.1 Készítsen interpolációs polinomot a függvényhez

f(x)=lnx- csomópontok szerint x=2; 4; 6; nyolc; tíz; 12.

A polinom kiszámításának képlete a következő:

ahol n a csomópontok száma.

Számítsuk ki az alappolinomok értékeit.

Az alappolinomok kiszámításának képlete:

Írjuk fel a függvénycsomópontok értékeit:

Számítsuk ki az f(x) függvények értékeit a megfelelő csomópontokon:

f (x0) == ,6931471805599453-1,5 = -,8068528194400547 (x1) = = 1.386294361119891-1.25 = 0,136294361119891 (x2) = = 1.791759469228055-1.1666666666666667 = 0,625092802561388 (x3) = = 2,079441541679835-1.125 = 0,954441541679835 (x4) = = 2,302585092994045 -1,1=1,202585092994045(x5)= =2,484906649788-1,083333333333333=1,401573316454667

Számítsuk ki a megfelelő alappolinomok értékeit:

A kapott adatok alapján felírjuk az f(x)=lnx- polinom kiszámításának képletét:

L(x)=f(x0) l0(x)+ f(x1) l1(x)+ f(x2) l2(x)+ f(x3) l3(x)+ f(x4) l4(x)+ f(x5) l5(x).

Helyettesítse be a kapott értékeket a képletbe:

L(x)=((-0.8068528194400547) (x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0.136294361119891 5(x-2)(x-6 )( x-8)(x-10)(x-12)- 0,625092802561388 10

(x-2) (x-4) (x-8) (x-10) (x-12)+ 0,954441541679835 10 (x-2) (x-4) (x-6) (x-10) (x -12)-1,202585092994045 5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1,401573316454667

(x-2) (x-4) (x-6) (x-8) (x-10)=0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+

032520620421826 x3-0,289410042490318 x2+1,50294940468648 x-2,886362165898854

6. ábra

L(x)= 0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+

032520620421826x3-0,289410042490318x2+

50294940468648 x-2,886362165898854

Az ábrán látható, hogy a függvények grafikonjai egybeesnek.

Az 5,75-ös logaritmus hozzávetőleges értékét 0,001-es pontossággal számítjuk ki.

Használjuk a dekompozíciót

A képlet segítségével

Számítsuk ki a logaritmus hozzávetőleges értékét:

Becslést kapunk a maradék tag hibájára:

A képlet a maradék megtalálásához más pontokban:

Rn(x)=f(x)-Ln(x).

Cserélje be az értékeket, és számítsa ki a maradékot:

Rn(x)= -0,234721044665224-(-0,149875603361276)= 0,0122

A Lagrange-interpolációs képlet abszolút hibájára a következő becslést kaphatjuk:

0122374?9.9512361

A becslésből az következik, hogy kellően nagy számú partíciós pont kiválasztásával a kívánt pontosságú eredményt kaphatunk.

A táblázat által megadott f(x) függvényt lineáris függéssel közelítjük ?(x)=Ax+B, másodfokú függés ? (x)=Ax2+Bx+C.

x10151720f(x)371117 Megoldás:

A probléma megoldására a legkisebb négyzetek módszerét használjuk.

Normálegyenletrendszer a lineáris függéshez (x)=Ax+B:

Tekintettel arra, hogy n=4: ;

Megoldjuk a lineáris egyenletrendszert:

Ezért a lineáris függőség így fog kinézni:

Tekintsük a másodfokú függést?(x)=Ax2+Bx+C. A normál egyenletrendszer a következőképpen alakul:

Keresse meg a meg nem számolt összegeket:

Ezért a kvadratikus függés így fog kinézni:

7. ábra

A táblázat által meghatározott függvény.

Lineáris függőség

Kvadratikus függőség

A grafikon szerint megtaláljuk x értékét, amelyre f(x)=10.

Bibliográfia

1. Kirillova S.Yu. Számítógépes matematika/Kirillova S.Yu. Vladim kiadó. állapot un-ta, 2009. -102p.

2. Kézikönyv a felsőbb matematikai problémák megoldásának közelítő módszereiről / L.I. Borodics, A.I. Gerasimovich, N.P. Keda és mások; szerk. L.I. Borodich. - M .: Felsőiskola, 1986. -189s.

3. Tyukanov, A.S. A numerikus módszerek alapjai: tankönyv. juttatás diákoknak. RGPU kiadó im. A.I. Herzen, 2007. -226p.

Korrepetálás

Segítségre van szüksége egy téma tanulásában?

Szakértőink tanácsot adnak vagy oktatói szolgáltatásokat nyújtanak az Önt érdeklő témákban.
Jelentkezés benyújtása a téma azonnali megjelölésével, hogy tájékozódjon a konzultáció lehetőségéről.