Az átlagérték megtalálásához az Excelben (legyen az numerikus, szöveges, százalékos vagy egyéb érték), számos függvény létezik. És mindegyiknek megvan a maga sajátossága és előnyei. Hiszen ebben a feladatban bizonyos feltételek szabhatók.

Például egy számsorozat átlagértékeit az Excelben statisztikai függvényekkel számítják ki. Saját képletét manuálisan is megadhatja. Tekintsünk különböző lehetőségeket.

Hogyan találjuk meg a számok számtani középértékét?

A számtani átlag meghatározásához összeadja a halmaz összes számát, és elosztja az összeget a számmal. Például egy tanuló számítástechnikai osztályzatai: 3, 4, 3, 5, 5. Mi jár egy negyedévre: 4. A számtani átlagot a következő képlettel találtuk meg: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Hogyan lehet gyorsan megtenni az Excel funkcióival? Vegyük például a sorozatot véletlen számok Sorban:

Vagy: aktiválja a cellát, és egyszerűen írja be kézzel a következő képletet: =ÁTLAG(A1:A8).

Most nézzük meg, mire képes még az AVERAGE függvény.

Határozza meg az első két és az utolsó három szám számtani középértékét! Képlet: =ÁTLAG(A1:B1;F1:H1). Eredmény:



Átlagos állapot szerint

A számtani átlag megtalálásának feltétele lehet numerikus vagy szöveges ismérv. A következő függvényt fogjuk használni: =AVERAGEIF().

Találd meg az átlagot számtani számok amelyek nagyobbak vagy egyenlőek 10-nél.

Függvény: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Az AVERAGEIF függvény ">=10" feltételre történő használatának eredménye:

A harmadik argumentum - "Átlagolási tartomány" - kimarad. Először is, nem kötelező. Másodszor, a program által elemzett tartomány CSAK számértékeket tartalmaz. Az első argumentumban megadott cellákban a keresés a második argumentumban megadott feltétel szerint történik.

Figyelem! A keresési feltétel megadható egy cellában. És a képletben hivatkozni rá.

Keressük meg a számok átlagos értékét a szöveges kritérium alapján! Például a termék átlagos eladásai "táblázatok".

A függvény így fog kinézni: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Tartomány – termékneveket tartalmazó oszlop. A keresési feltétel egy hivatkozás a "táblázat" szót tartalmazó cellára (az A7 hivatkozás helyett beillesztheti a "táblázat" szót is). Átlagolási tartomány - azok a cellák, amelyekből az átlagérték kiszámításához adatokat veszik.

A függvény kiszámítása eredményeként a következő értéket kapjuk:

Figyelem! Szöveges kritériumhoz (feltételhez) meg kell adni az átlagolási tartományt.

Hogyan lehet kiszámítani a súlyozott átlagárat Excelben?

Honnan tudjuk a súlyozott átlagárat?

Képlet: =ÖSSZEG(C2:C12,B2:B12)/SZUM(C2:C12).

A SUMPRODUCT képlet segítségével a teljes árumennyiség értékesítése után megtudjuk a teljes bevételt. És a SUM függvény - összegzi az áruk mennyiségét. Az árueladásból származó teljes bevételt elosztva az áruk összértékével, megkaptuk a súlyozott átlagárat. Ez a mutató figyelembe veszi az egyes árak "súlyát". Részesedése az értékek össztömegében.

Szórás: képlet Excelben

Tegyen különbséget az általános sokaság és a minta szórása között. Az első esetben ez az általános variancia gyökere. A másodikban a mintavarianciából.

Ennek a statisztikai mutatónak a kiszámításához diszperziós képletet állítanak össze. A gyökeret veszik belőle. De az Excelben van egy kész függvény a szórás megtalálásához.

A szórás a forrásadatok skálájához kapcsolódik. Ez nem elegendő az elemzett tartomány változásának figuratív ábrázolásához. Az adatok relatív szóródási szintjének meghatározásához a variációs együtthatót számítjuk ki:

szórás / számtani átlag

Az Excel képlete így néz ki:

STDEV (értéktartomány) / AVERAGE (értéktartomány).

A variációs együtthatót százalékban számítják ki. Ezért a cellában beállítjuk a százalékos formátumot.

Tegyük fel, hogy meg kell találnia az átlagos napok számát, amíg a különböző alkalmazottak elvégzik a feladatokat. Ezenkívül ki szeretné számítani egy adott nap átlaghőmérsékletét egy 10 éves időszakra vonatkozóan. Egy számcsoport átlagértékének kiszámítása többféleképpen is elvégezhető.

Az AVERAGE függvény kiszámítja az átlagot, amely egy statisztikai eloszlásban lévő számhalmaz középpontja. Három leggyakoribb módja van az átlag meghatározásának:

Átlagos Ez a számtani átlag, amelyet úgy számítanak ki, hogy összeadunk egy számcsoportot, és elosztjuk ezeket a számokat. Például a 2, 3, 3, 5, 7 és 10 számok átlaga 5, ami akkor jön létre, ha a 30-as összegüket elosztjuk a számukkal, amely 6.

Középső Egy számcsoport középső száma. A számok fele a mediánnál nagyobb értékeket, a számok fele pedig a mediánnál kisebb értékeket tartalmaz. Például a 2, 3, 3, 5, 7 és 10 számok mediánja 4.

Divat A leggyakrabban előforduló szám egy számcsoportban. Például a 2, 3, 3, 5, 7 és 10 számok üzemmódja 3 lenne.

Egy számkészlet szimmetrikus eloszlásával a központi tendencia mindhárom értéke egybeesik. Egy számcsoport eltért eloszlásában ezek eltérőek lehetnek.

Számítsa ki az átlagos értéket a szomszédos sorokban vagy oszlopokban

Kövesse az alábbi lépéseket.

A folyamatos soron vagy oszlopon túli átlagérték kiszámítása

A feladat végrehajtásához használja a függvényt ÁTLAGOS. Másolja ki az alábbi táblázatot egy üres lapra.

A súlyozott átlag kiszámítása

A feladat végrehajtásához használja a függvényeket SZUMTERMÉKés összeg. A WWIS-példa kiszámítja az egységenként fizetett átlagos árat három vásárlás esetén, ahol mindegyik egy másik egységre vonatkozik.

Másolja ki az alábbi táblázatot egy üres lapra.

Emlékezik!

Nak nek találja meg a számtani átlagot, össze kell adnia az összes számot, és el kell osztania az összegüket a számukkal.

Határozzuk meg 2, 3 és 4 számtani középértékét!

Jelöljük a számtani átlagot "m" betűvel. A fenti definíció alapján megtaláljuk az összes szám összegét.

A kapott összeget elosztjuk a felvett számok számával. Három számunk van.

Ennek eredményeként azt kapjuk számtani középképlet:

Mire jó a számtani közép?

Amellett, hogy az osztályteremben folyamatosan felkínálják, a számtani átlag megtalálása nagyon hasznos az életben.

Például úgy dönt, hogy eladja a futballlabdákat. De mivel új vagy ebben az üzletben, teljesen érthetetlen, hogy milyen áron adsz el labdákat.

Ezután úgy dönt, hogy megtudja, versenytársai milyen áron árulnak már futballlabdákat az Ön területén. Nézze meg az árakat az üzletekben, és készítsen egy táblázatot.

A golyók árai a boltokban egészen másnak bizonyultak. Milyen árat válasszunk a futball-labda eladásához?

Ha a legalacsonyabbat választjuk (290 rubel), akkor veszteséggel adjuk el az árut. Ha a legmagasabbat választja (360 rubel), akkor a vásárlók nem vásárolnak tőlünk futballlabdákat.

Átlagos árra van szükségünk. Itt jön a mentő átlagos.

Számítsa ki a futballlabdák árának számtani átlagát:

átlag ár =

290 + 360 + 310

3

=

960

3

= 320 dörzsölés.

Így megkaptuk az átlagos árat (320 rubel), amelyen nem túl olcsón és nem túl drágán tudunk eladni egy futballlabdát.

Átlagos mozgási sebesség

A számtani átlaghoz szorosan kapcsolódik a fogalom átlagsebesség.

A városi forgalom mozgását megfigyelve látható, hogy az autók vagy gyorsítanak és nagy sebességgel haladnak, majd lelassulnak és alacsony sebességgel haladnak.

Sok ilyen szakasz van a járművek útvonalán. Ezért a számítások megkönnyítése érdekében az átlagsebesség fogalmát használjuk.

Emlékezik!

Az átlagos mozgássebesség a teljes megtett távolság osztva a teljes mozgásidővel.

Tekintsük az átlagsebesség problémáját.

1503. számú feladat a "Vilenkin 5. évfolyam" tankönyvből

Autópályán 3,2 órát utazott 90 km/órás sebességgel, majd földúton 1,5 órát 45 km/órás sebességgel, végül országúton 0,3 órát 30 km/órás sebességgel. Keresse meg az autó átlagsebességét a teljes útra.

Az átlagos mozgássebesség kiszámításához ismernie kell az autó által megtett teljes távolságot, valamint az autó mozgásának teljes idejét.

S 1 \u003d V 1 t 1

S 1 \u003d 90 3,2 \u003d 288 (km)

- országút.

S 2 \u003d V 2 t 2

S 2 \u003d 45 1,5 \u003d 67,5 (km) - földút.

S 3 \u003d V 3 t 3

S 3 \u003d 30 0,3 \u003d 9 (km) - országút.

S = S 1 + S 2 + S 3

S \u003d 288 + 67,5 + 9 \u003d 364,5 (km) - az autó által megtett teljes út.

T \u003d t 1 + t 2 + t 3

T \u003d 3,2 + 1,5 + 0,3 \u003d 5 (h) - mindig.

V cf \u003d S: t

V cf \u003d 364,5: 5 \u003d 72,9 (km/h) - átlagsebesség jármű mozgása.

Válasz: V av = 72,9 (km / h) - az autó átlagos sebessége.

A matematikában a számok számtani átlaga (vagy egyszerűen az átlag) az adott halmaz összes számának az összege osztva a számukkal. Ez az átlagérték legáltalánosabb és legelterjedtebb fogalma. Amint már megértette, az átlagos érték meghatározásához össze kell adnia az Önnek adott számokat, és el kell osztania az eredményt a kifejezések számával.

Mi az aritmetikai átlag?

Nézzünk egy példát.

1. példa. A számok adottak: 6, 7, 11. Meg kell találni az átlagértéküket.

Döntés.

Először keressük meg az összes megadott szám összegét.

Most a kapott összeget elosztjuk a tagok számával. Mivel három tagunk van, hárommal osztjuk.

Ezért a 6, 7 és 11 számok átlaga 8. Miért 8? Igen, mert a 6, 7 és 11 összege megegyezik három nyolcassal. Ez jól látszik az ábrán.

Az átlagérték némileg emlékeztet egy számsor „igazítására”. Amint látja, a ceruzakupacok egy szintre emelkedtek.

Vegyünk egy másik példát a megszerzett tudás megszilárdításához.

2. példa A számok adottak: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Meg kell találni a számtani középértéküket.

Döntés.

Megtaláljuk az összeget.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Oszd el a kifejezések számával (ebben az esetben 15).

Ezért ennek a számsornak az átlagos értéke 22.

Most vegyük figyelembe a negatív számokat. Emlékezzünk arra, hogyan foglaljuk össze őket. Például két számod van: 1 és -4. Keressük az összegüket.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Ennek ismeretében vegyünk egy másik példát.

3. példa Határozzuk meg egy számsor átlagos értékét: 3, -7, 5, 13, -2.

Döntés.

Számok összegének megkeresése.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Mivel 5 tag van, a kapott összeget elosztjuk 5-tel.

Ezért a 3, -7, 5, 13, -2 számok számtani átlaga 2,4.

A mi technológiai fejlődésünk korában sokkal kényelmesebb számítógépes programokat használni az átlagérték meghatározásához. A Microsoft Office Excel az egyik ilyen. Az átlag megtalálása az Excelben gyors és egyszerű. Ezenkívül ez a program a Microsoft Office szoftvercsomagjában is megtalálható. Fontolgat rövid utasításokat hogyan találjuk meg a számtani átlagot ezzel a programmal.

Egy számsor átlagértékének kiszámításához az AVERAGE függvényt kell használni. Ennek a függvénynek a szintaxisa:
=Átlag(argumentum1, argumentum2, ... argumentum255)
ahol argumentum1, argumentum2, ... argumentum255 vagy számok vagy cellahivatkozások (a cellák tartományokat és tömböket jelentenek).

Hogy világosabb legyen, teszteljük a megszerzett tudást.

1. Írja be a 11, 12, 13, 14, 15, 16 számokat a C1-C6 cellákba.
2. Kattintson rá a C7 cellára. Ebben a cellában az átlagértéket jelenítjük meg.
3. Kattintson a "Képletek" fülre.
4. Válassza a További funkciók > Statisztikai elemet a legördülő lista megnyitásához.
5. Válassza az ÁTLAG lehetőséget. Ezt követően meg kell nyílnia egy párbeszédpanelnek.
6. Jelölje ki és húzza oda a C1-C6 cellákat a tartomány beállításához a párbeszédpanelen.
7. Erősítse meg műveleteit az "OK" gombbal.
8. Ha mindent helyesen csinált, a C7 cellában a válasznak kell lennie - 13.7. Ha a C7 cellára kattint, az (=Átlag(C1:C6)) függvény megjelenik a képletsorban.

Nagyon hasznos ezt a funkciót használni könyveléshez, számlákhoz, vagy amikor csak egy nagyon hosszú számtartomány átlagát kell megkeresni. Ezért gyakran használják irodákban és nagyvállalatokban. Ez lehetővé teszi a nyilvántartások rendben vezetését, és lehetővé teszi valami gyors kiszámítását (például a havi átlagjövedelem). Az Excel segítségével is megkeresheti egy függvény átlagát.

Átlagos

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd az átlagos jelentést.

Átlagos(matematikában és statisztikában) számkészletek - az összes szám összege osztva a számukkal. A központi tendencia egyik leggyakoribb mérőszáma.

Ezt (a geometriai és harmonikus átlaggal együtt) a pitagoreusok javasolták.

A számtani átlag speciális esetei az átlag (az általános sokaság) és a minta átlaga (a minták).

Bevezetés

Jelölje az adathalmazt x = (x 1 , x 2 , …, x n), akkor a minta átlagát általában egy vízszintes sáv jelöli a változó felett (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , kiejtve " x kötőjellel").

A görög μ betű a teljes sokaság számtani középértékét jelöli. Mert valószínűségi változó, amelyre az átlagérték definiálva van, μ az valószínűségi átlag vagy egy valószínűségi változó matematikai elvárása. Ha a készlet x véletlen számok gyűjteménye μ valószínűségi átlaggal, akkor bármely mintára x én ebből a gyűjteményből μ = E( x én) ez a minta elvárása.

A gyakorlatban a különbség μ és x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) között az, hogy μ egy tipikus változó, mert a mintát láthatja, nem pedig a teljes sokaságot. Ezért, ha a mintát véletlenszerűen ábrázoljuk (valószínűségelmélet szempontjából), akkor x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (de nem μ) egy valószínűségi változóként kezelhető, amelynek valószínűségi eloszlása ​​van a mintán ( az átlag valószínűségi eloszlása).

Mindkét mennyiség kiszámítása azonos módon történik:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ha egy x egy valószínűségi változó, akkor a matematikai elvárás x a mennyiség ismételt mérésénél az értékek számtani átlagának tekinthető x. Ez a törvény megnyilvánulása nagy számok. Ezért a minta átlagát használjuk az ismeretlen becslésére matematikai elvárás.

Az elemi algebrában bebizonyosodott, hogy az átlag n+ 1 számmal az átlag felett n akkor és csak akkor, ha az új szám nagyobb a régi átlagnál, akkor és csak akkor kisebb, ha az új szám kisebb az átlagnál, és akkor és csak akkor nem változik, ha az új szám megegyezik az átlaggal. A több n, annál kisebb a különbség az új és a régi átlagok között.

Vegye figyelembe, hogy számos más „átlag” is elérhető, beleértve a hatványtörvény szerinti átlagot, a Kolmogorov-átlagot, a harmonikus átlagot, az aritmetikai-geometriai átlagot és a különböző súlyozott átlagokat (pl. számtani súlyozott átlag, geometriai súlyozott átlag, harmonikus súlyozott átlag). .

Példák

• Három számot össze kell adni, és el kell osztani 3-mal:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

• Négy szám esetén össze kell adni őket, és el kell osztani 4-gyel:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Vagy könnyebb 5+5=10, 10:2. Mivel 2 számot adtunk össze, ami azt jelenti, hogy hány számot adunk össze, annyival osztjuk.

Folyamatos valószínűségi változó

Folytonos eloszlású f (x) érték esetén (\displaystyle f(x)) a számtani átlag az [ a ; b ] (\displaystyle ) egy meghatározott integrálon keresztül definiálható:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Néhány probléma az átlag használatával

A robusztusság hiánya

Fő cikk: Statisztikai robusztusság

Bár a számtani átlagot gyakran használják átlagként vagy központi trendként, ez a fogalom nem vonatkozik a robusztus statisztikákra, ami azt jelenti, hogy a számtani átlagot erősen befolyásolják a "nagy eltérések". Figyelemre méltó, hogy a nagy ferdeségű eloszlások esetén a számtani átlag nem feltétlenül felel meg az „átlag” fogalmának, és a robusztus statisztikákból származó átlagértékek (például a medián) jobban leírhatják a központi trendet.

A klasszikus példa az átlagjövedelem kiszámítása. A számtani átlag félreértelmezhető mediánként, ami arra enged következtetni, hogy többen vannak, akiknek több a jövedelmük, mint amennyi valójában. Az „átlagos” jövedelmet úgy értelmezzük, hogy a legtöbb ember jövedelme megközelíti ezt a számot. Ez az "átlagos" (a számtani átlag értelmében vett) jövedelem magasabb, mint a legtöbb ember jövedelme, hiszen a magas, az átlagtól nagy eltéréssel rendelkező jövedelem erősen torzítja a számtani átlagot (ellentétben a mediánjövedelem "ellenáll"). ilyen ferdeség). Ez az „átlagos” jövedelem azonban semmit sem mond a mediánjövedelemhez közeli emberek számáról (és a modális jövedelemhez közeli emberek számáról sem). Ha azonban az "átlag" és a "többség" fogalmát félvállról veszik, akkor tévesen következtethetünk arra, hogy a legtöbb ember jövedelme magasabb, mint valójában. Például egy jelentés a washingtoni medinai "átlagos" nettó jövedelemről, amelyet a lakosok összes éves nettó jövedelmének számtani középértékeként számítanak ki, meglepően jó eredményt ad. nagy szám Bill Gates miatt. Tekintsük a mintát (1, 2, 2, 2, 3, 9). A számtani középérték 3,17, de a hat érték közül öt ennél az átlagnál alacsonyabb.

Kamatos kamat

Fő cikk: ROI

Ha számok szaporodnak, de nem hajtogatni, akkor a geometriai átlagot kell használnia, nem a számtani átlagot. Leggyakrabban ez az eset a pénzügyi befektetések megtérülésének kiszámításakor történik.

Például, ha a részvények az első évben 10%-ot estek, a második évben pedig 30%-ot emelkedtek, akkor helytelen a két év "átlagos" növekedését számtani átlagként kiszámítani (-10% + 30%) / 2 = 10%; a helyes átlagot ebben az esetben az összetett éves növekedési ráta adja, amelyből az éves növekedés csak körülbelül 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Ennek az az oka, hogy a százalékoknak minden alkalommal új kiindulópontja van: 30% az 30% az első év eleji árnál kisebb számról: ha a részvény 30 dollárról indult és 10%-ot esett, akkor a második év elején 27 dollárt ér. Ha a részvény 30%-ot emelkedik, akkor a második év végén 35,1 dollárt ér. Ennek a növekedésnek a számtani átlaga 10%, de mivel a részvény mindössze 5,1 dollárt nőtt 2 év alatt, átlagosan 8,2%-os növekedést ad. végeredmény $35.1:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ha a 10% számtani középértékét ugyanúgy használjuk, akkor nem kapjuk meg a tényleges értéket: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

kamatos kamat a 2. év végén: 90% * 130% = 117%, azaz összesen 17% növekedés, az átlagos éves kamatos kamat pedig 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \kb. 108,2\%) , azaz átlagosan 8,2%-os éves növekedés.

Útvonalak

Fő cikk: Úticél statisztika

Valamelyik ciklikusan változó változó (például fázis vagy szög) számtani középértékének számításakor különös figyelmet kell fordítani. Például 1° és 359° átlaga 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ez a szám két okból is helytelen.

• Először is, a szögmértékek csak a 0° és 360° közötti tartományban (vagy radiánban mérve 0 és 2π között) vannak meghatározva. Így ugyanaz a számpár felírható (1° és −1°) vagy (1° és 719°). Az egyes párok átlagai eltérőek lesznek: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• Másodszor, ebben az esetben a 0° érték (amely 360°-nak felel meg) lenne a geometriailag legjobb átlag, mivel a számok kisebb mértékben térnek el 0°-tól, mint bármely más értéktől (a 0°-nak van a legkisebb szórása). Összehasonlítás:
  • az 1° szám csak 1°-kal tér el a 0°-tól;
  • az 1°-os szám 179°-kal eltér a 180°-os számított átlagtól.

Egy ciklikus változónak a fenti képlet szerint számított átlagértéke mesterségesen eltolódik a valós átlaghoz képest a numerikus tartomány közepére. Emiatt az átlagot más módon számítják ki, vagyis a legkisebb szórással rendelkező számot (a középpontot) választják átlagértéknek. Ezenkívül a kivonás helyett a modulo távolságot (azaz a kerületi távolságot) használják. Például az 1° és 359° közötti moduláris távolság 2°, nem pedig 358° (egy 359° és 360° közötti körön ==0° - egy fok, 0° és 1° között - szintén 1°, összesen -2°).

Súlyozott átlag - mi ez és hogyan kell kiszámítani?

A matematika tanulása során a tanulók megismerkednek a számtani átlag fogalmával. A jövőben a statisztikában és néhány más tudományban más átlagok kiszámításával is szembesülnek a hallgatók. Mik lehetnek és miben különböznek egymástól?

Átlagok: Jelentés és különbségek

A pontos mutatók nem mindig adnak megértést a helyzetről. Annak érdekében, hogy ezt vagy azt a helyzetet felmérjük, néha rengeteg számadatot kell elemezni. És akkor az átlagok jönnek a segítségre. Lehetővé teszik a helyzet általános értékelését.

Az iskolai idők óta sok felnőtt emlékszik a számtani átlag létezésére. Nagyon könnyű kiszámítani - egy n tagból álló sorozat összege osztható n-nel. Vagyis ha ki kell számítania a számtani átlagot a 27, 22, 34 és 37 értékek sorozatában, akkor meg kell oldania a (27 + 22 + 34 + 37) / 4 kifejezést, mivel 4 érték a számításokhoz használják fel. Ebben az esetben a kívánt érték 30 lesz.

Gyakran az iskolai kurzus részeként a geometriai átlagot is tanulmányozzák. Ennek az értéknek a kiszámítása a gyökér felvételén alapul n-edik fokozat n-tagok szorzatából. Ha ugyanazokat a számokat vesszük: 27, 22, 34 és 37, akkor a számítások eredménye 29,4 lesz.

A harmonikus átlag egy általános iskolában általában nem képezi a tanulmány tárgyát. Azonban elég gyakran használják. Ez az érték a számtani átlag reciproka, és az n - az értékek száma és az összeg 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n hányadosaként kerül kiszámításra. Ha ismét ugyanazt a számsort vesszük számításba, akkor a harmonikus 29,6 lesz.

Súlyozott átlag: Jellemzők

Előfordulhat azonban, hogy a fenti értékek mindegyike nem használható mindenhol. Például a statisztikákban, néhány átlagérték kiszámításakor fontos szerep a számításokban használt minden számnak van egy "súlya". Az eredmények árulkodóbbak és pontosabbak, mivel több információt vesznek figyelembe. Ezt az értékcsoportot összefoglalóan "súlyozott átlagnak" nevezik. Az iskolában nem adják át, ezért érdemes részletesebben elidőzni rajtuk.

Mindenekelőtt érdemes elmagyarázni, mit értünk egy adott érték "súlya" alatt. Ezt egy konkrét példával lehet a legkönnyebben megmagyarázni. Minden beteg testhőmérsékletét naponta kétszer mérik a kórházban. A kórház különböző osztályain lévő 100 beteg közül 44-nek lesz normál - 36,6 fokos - hőmérséklete. További 30-nak megnövekedett értéke lesz - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, a maradék kettő pedig 40. És ha a számtani átlagot vesszük, akkor ez az érték általában a kórházban 38 fok felett lesz. ! De a betegek csaknem fele teljesen normális hőmérsékletű. És itt helyesebb lenne a súlyozott átlagot használni, és az egyes értékek "súlya" a létszám lesz. Ebben az esetben a számítás eredménye 37,25 fok lesz. A különbség nyilvánvaló.

Súlyozott átlag számítások esetén a "súly" a szállítmányok száma, az adott napon dolgozók száma, általában bármi, ami mérhető és befolyásolja a végeredményt.

Fajták

A súlyozott átlag megfelel a cikk elején tárgyalt számtani átlagnak. Az első érték azonban, mint már említettük, figyelembe veszi a számításoknál használt egyes számok súlyát is. Ezen kívül vannak súlyozott geometriai és harmonikus értékek is.

Van egy másik érdekes változat is, amelyet számsorokban használnak. Ez egy súlyozott mozgóátlag. Ennek alapján számítják ki a trendeket. Ott magukon az értékeken és azok súlyán kívül a periodicitást is alkalmazzák. Egy adott időpontban az átlagérték kiszámításakor a korábbi időszakok értékeit is figyelembe veszik.

Mindezen értékek kiszámítása nem olyan nehéz, de a gyakorlatban általában csak a szokásos súlyozott átlagot használják.

Számítási módszerek

A számítógépesítés korában nincs szükség a súlyozott átlag manuális kiszámítására. Hasznos lenne azonban ismerni a számítási képletet, hogy ellenőrizni tudja, és szükség esetén korrigálja a kapott eredményeket.

A számítást legegyszerűbb egy konkrét példán megfontolni.

Meg kell találni, hogy mekkora az átlagbér ennél a vállalkozásnál, figyelembe véve az adott fizetést kapó munkavállalók számát.

Tehát a súlyozott átlag kiszámítása a következő képlet segítségével történik:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Például a számítás a következő lenne:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Nyilvánvalóan nem okoz különösebb nehézséget a súlyozott átlag manuális kiszámítása. Az érték kiszámításának képlete az egyik legnépszerűbb képlet-alkalmazásban - az Excelben - úgy néz ki, mint a SUMPRODUCT (számok sorozata; súlyok sorozata) / SUM (súlyok sorozata) függvény.

Hogyan találhatunk átlagértéket az Excelben?

Hogyan lehet számtani átlagot találni az Excelben?

Vlagyimir09854

Egyszerű, mint a pite. Ahhoz, hogy megtalálja az átlagértéket az Excelben, mindössze 3 cellára van szüksége. Az elsőben egy számot írunk, a másodikban egy másikat. A harmadik cellában pedig pontozunk egy képletet, amely megadja az átlagos értéket az első és a második cellából származó két szám között. Ha az 1-es cella neve A1, a 2-es cella neve B1, akkor a képletű cellába a következőképpen kell írni:

Ez a képlet két szám számtani középértékét számítja ki.

Számításaink szépsége érdekében a cellákat vonalakkal, tányér formájában kiemelhetjük.

Magában az Excelben is van egy függvény az átlagérték meghatározására, de én a régimódi módszert használom, és beírom a szükséges képletet. Így biztos vagyok benne, hogy az Excel pontosan úgy számol, ahogy nekem kell, és nem fog valamiféle saját kerekítéssel előállni.

M3szergej

Ez nagyon egyszerű, ha az adatok már be vannak írva a cellákba. Ha csak egy szám érdekli, csak válassza ki a kívánt tartományt/tartományokat, és ezeknek a számoknak az összegének értéke, a számtani átlaguk és a számuk megjelenik a jobb alsó állapotsorban.

Kijelölhet egy üres cellát, kattintson a háromszögre (legördülő lista) "Autosum", és ott válassza az "Átlag" lehetőséget, amely után elfogadja a számításhoz javasolt tartományt, vagy válassza ki a sajátját.

Végül közvetlenül is használhatja a képleteket – kattintson a „Funkció beszúrása” gombra a képletsor és a cellacím mellett. Az AVERAGE függvény a "Statisztikai" kategóriában található, és argumentumként mind számokat, mind cellahivatkozásokat, stb. vesz fel. Itt összetettebb opciókat is választhat, például AVERAGEIF - az átlag kiszámítása feltétel szerint.

Keresse meg az átlagot Excelben elég egyszerű feladat. Itt meg kell értenie, hogy kívánja-e használni ezt az átlagértéket egyes képletekben vagy sem.

Ha csak az értéket kell megkapnia, akkor elegendő a kívánt számtartomány kiválasztása, amely után az Excel automatikusan kiszámítja az átlagértéket - ez megjelenik az állapotsorban, az "Átlag" címszó alatt.

Abban az esetben, ha az eredményt képletekben szeretné használni, ezt teheti:

1) A SUM függvény segítségével összegezze a cellákat, és ossze el a számok számával.

2) Helyesebb megoldás az AVERAGE nevű speciális függvény használata. A függvény argumentumai lehetnek egymás után megadott számok vagy számtartományok.

Vlagyimir Tyihonov

karikázza be a számítás során használt értékeket, kattintson a "Képletek" fülre, ott balra az "AutoSum" felirat látható, mellette pedig egy lefelé mutató háromszög. kattintson erre a háromszögre, és válassza az "Átlagos" lehetőséget. Voila, kész) az oszlop alján látni fogja az átlagértéket :)

Jekaterina Mutalapova

Kezdjük az elején és sorrendben. Mit jelent az átlag?

Az átlagérték az az érték, amely a számtani átlag, azaz. úgy számítható ki, hogy összeadunk egy számkészletet, majd elosztjuk a számok teljes összegét a számukkal. Például a 2, 3, 6, 7, 2 számok esetén 4 lesz (a 20-as számok összegét elosztjuk az 5-ös számukkal)

Egy Excel-táblázatban nekem személy szerint az =ÁTLAG képlet volt a legegyszerűbb. Az átlagérték kiszámításához adatokat kell bevinni a táblázatba, az adatoszlop alá be kell írni az =ÁTLAG() függvényt, és zárójelben feltüntetni a cellákban lévő számok tartományát, kiemelve az adatokat tartalmazó oszlopot. Ezután nyomja meg az ENTER billentyűt, vagy egyszerűen kattintson a bal gombbal bármelyik cellára. Az eredmény az oszlop alatti cellában jelenik meg. Ránézésre érthetetlen a leírás, de valójában percek kérdése.

Kalandor 2000

Az Excel program sokrétű, így számos lehetőség kínálkozik az átlag megtalálására:

Első lehetőség. Egyszerűen összeadja az összes cellát, és elosztja a számukkal;

Második lehetőség. Használjon speciális parancsot, írja be a kívánt cellába a következő képletet: "=ÁTLAG (és itt adja meg a cellák tartományát)";

Harmadik lehetőség. Ha kiválasztja a kívánt tartományt, vegye figyelembe, hogy az alábbi oldalon ezekben a cellákban az átlagérték is megjelenik.

Így nagyon sokféleképpen lehet megtalálni az átlagértéket, csak ki kell választanod a számodra legmegfelelőbbet, és mindig azt kell használni.

Az Excelben az AVERAGE függvény segítségével kiszámíthatja az egyszerű számtani átlagot. Ehhez meg kell adnia számos értéket. Nyomja meg az egyenlő gombot, és válassza ki a Statisztikai kategóriában, amelyek közül válassza ki az ÁTLAG funkciót

Ezenkívül statisztikai képletek segítségével kiszámíthatja a számtani súlyozott átlagot, amely pontosabbnak tekinthető. Kiszámításához szükségünk van az indikátor és a frekvencia értékeire.

Hogyan találjuk meg az átlagot az Excelben?

A helyzet a következő. Ott van a következő táblázat:

A piros színnel jelölt oszlopok a tantárgyak érdemjegyeinek számértékeit tartalmazzák. Az „Átlag” oszlopban ki kell számítania az átlagos értéküket.
A probléma a következő: összesen 60-70 objektum van, és ezek egy része egy másik lapon van.
Megnéztem egy másik dokumentumban, az átlagot már kiszámolták, és a cellában van egy képlet, mint pl
="lap neve"!|E12
de ezt valami programozó csinálta, akit kirúgtak.
Mondja meg, kérem, ki érti ezt.

Hector

A függvények sorába be kell illeszteni az "ÁTLAG"-ot a javasolt függvények közül, és kiválasztani, hogy honnan kell őket kiszámítani (B6: N6) például Ivanov esetében. A szomszédos lapokról nem tudok biztosan, de ezt a szabványos Windows súgó biztosan tartalmazza

Mondja el, hogyan kell kiszámítani az átlagos értéket a Wordben

Kérem, mondja meg, hogyan kell kiszámítani az átlagos értéket a Wordben. Mégpedig az értékelések átlagos értéke, és nem az értékelést kapók száma.

Julia pavlova

A Word sok mindenre képes a makróval. Nyomd le az ALT+F11-et és írj egy makró programot.
Ezenkívül az Insert-Object... lehetővé teszi, hogy más programokat, még az Excelt is használjon táblázatot tartalmazó munkalap létrehozására egy Word-dokumentumban.
De ebben az esetben fel kell írnia a számokat a táblázat oszlopába, és az átlagot ugyanannak az oszlopnak az alsó cellájába kell tennie, igaz?
Ehhez szúrjon be egy mezőt az alsó cellába.
Beszúrás-Mező...-Képlet
Mezőtartalom
[=ÁTLAG (FENT)]
a fenti cellák összegének átlagát adja vissza.
Ha a mezőt kijelöljük és a jobb egérgombot lenyomjuk, akkor a számok változása esetén frissíthető,
megtekintheti a kódot vagy a mező értékét, módosíthatja a kódot közvetlenül a mezőben.
Ha valami elromlik, törölje a teljes mezőt a cellában, és hozza létre újra.
ÁTLAG azt jelenti, hogy átlagos, ABOVE - kb, azaz egy sor fölötti cella.
Mindezt magam sem tudtam, de a HELP-ben könnyen megtaláltam, persze egy kicsit gondolkodva.

A legtöbb esetben az adatok valamilyen központi pont köré összpontosulnak. Így bármely adatsor leírásához elegendő az átlagérték feltüntetése. Tekintsünk egymás után három numerikus jellemzőt, amelyek az eloszlás középértékének becslésére szolgálnak: a számtani átlag, a medián és a módus.

Átlagos

A számtani átlag (amelyet gyakran csak átlagnak neveznek) az eloszlás átlagának legáltalánosabb becslése. Ez az összes megfigyelt számérték összegének a számukkal való elosztásának eredménye. Számmintaként X 1, X 2, ..., Xn, a minta átlaga (jellel jelölve ) egyenlő \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, vagy

hol van a minta átlaga, n- minta nagysága, xén – i-edik elem minták.

Jegyzet letöltése vagy formátumban, példák formátumban

Fontolja meg 15 befektetési alap ötéves átlagos éves hozamának számtani átlagának kiszámítását magas szint kockázat (1. ábra).

Rizs. 1. Átlagos éves hozam 15 nagyon magas kockázatú befektetési alapon

A minta átlagát a következőképpen számítjuk ki:

Ez jó hozam, különösen ahhoz a 3-4%-os hozamhoz képest, amelyet a bankok vagy hitelszövetkezetek betétesei kaptak ugyanebben az időszakban. Ha rendezi a hozamértékeket, könnyen látható, hogy nyolc alap hozama magasabb, hét pedig az átlag alatt van. A számtani átlag egyensúlyi pontként működik, így az alacsony jövedelmű alapok kiegyenlítik a magas jövedelmű alapokat. A minta minden eleme részt vesz az átlag kiszámításában. Az eloszlási átlag egyik másik becslése sem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.

Mikor kell kiszámítani a számtani átlagot. Mivel a számtani átlag a minta minden elemétől függ, a szélsőséges értékek jelenléte jelentősen befolyásolja az eredményt. Ilyen helyzetekben a számtani átlag torzíthatja a numerikus adatok jelentését. Ezért a szélső értékeket tartalmazó adatsor leírásánál a mediánt vagy a számtani átlagot és a mediánt kell feltüntetni. Például, ha az RS Emerging Growth alap hozamát kivesszük a mintából, akkor a 14 alap hozamának mintaátlaga közel 1%-kal 5,19%-ra csökken.

Középső

A medián egy rendezett számtömb középső értéke. Ha a tömb nem tartalmaz ismétlődő számokat, akkor elemeinek fele kisebb, fele több lesz, mint a medián. Ha a minta szélsőséges értékeket tartalmaz, akkor az átlag becsléséhez jobb a mediánt használni, mint a számtani átlagot. A minta mediánjának kiszámításához először rendezni kell.

Ez a képlet nem egyértelmű. Eredménye attól függ, hogy a szám páros vagy páratlan. n:

• Ha a minta páratlan számú elemet tartalmaz, a medián az (n+1)/2-edik elem.
• Ha a minta páros számú elemet tartalmaz, akkor a medián a minta két középső eleme között van, és egyenlő a két elemre számított számtani átlaggal.

Egy 15 nagyon magas kockázatú befektetési alapból álló minta mediánjának kiszámításához először rendeznünk kell a nyers adatokat (2. ábra). Ekkor a medián ellentétes lesz a minta középső elemének számával; 8-as számú példánkban. Az Excel rendelkezik speciális funkció=MEDIAN(), amely rendezetlen tömbökkel is működik.

Rizs. 2. Medián 15 alap

Így a medián 6,5. Ez azt jelenti, hogy a nagyon magas kockázatú alapok fele nem haladja meg a 6,5-öt, a másik fele viszont igen. Vegye figyelembe, hogy a 6,5-ös medián valamivel nagyobb, mint a 6,08-as medián.

Ha kivesszük a mintából az RS Emerging Growth alap jövedelmezőségét, akkor a maradék 14 alap mediánja 6,2%-ra csökken, vagyis nem olyan jelentős mértékben, mint a számtani átlag (3. ábra).

Rizs. 3. Medián 14 alap

Divat

A kifejezést Pearson vezette be először 1894-ben. A divat az a szám, amely leggyakrabban fordul elő a mintában (a legdivatosabb). A divat jól leírja például a járművezetők tipikus reakcióját a közlekedési jelzésre, hogy megállítsa a forgalmat. A divat használatának klasszikus példája a gyártott cipőtétel méretének vagy a tapéta színének megválasztása. Ha egy disztribúció több móddal rendelkezik, akkor azt multimodálisnak vagy multimodálisnak mondják (két vagy több "csúcsa" van). Az elosztás multimodalitása adja fontos információ a vizsgált változó természetéről. Például a szociológiai felmérésekben, ha egy változó valami iránti preferenciát vagy attitűdöt jelent, akkor a multimodalitás azt jelentheti, hogy több, egymástól határozottan eltérő vélemény létezik. A multimodalitás azt is jelzi, hogy a minta nem homogén, és a megfigyeléseket két vagy több „átfedő” eloszlás generálja. A számtani átlaggal ellentétben a kiugró értékek nem befolyásolják az üzemmódot. A folytonos eloszlású valószínűségi változók, például a befektetési alapok átlagos éves hozama esetén a mód néha egyáltalán nem létezik (vagy nincs értelme). Mivel ezek a mutatók sokféle értéket vehetnek fel, az ismétlődő értékek rendkívül ritkák.

Kvartilis

A kvartilisek olyan mérőszámok, amelyeket leggyakrabban az adatok eloszlásának értékelésére használnak nagy numerikus minták tulajdonságainak leírásakor. Míg a medián kettéosztja a rendezett tömböt (a tömbelemek 50%-a kisebb a mediánnál és 50%-a nagyobb), a kvartilisek négy részre osztják a rendezett adatkészletet. A Q 1, medián és Q 3 értékek a 25., 50. és 75. percentilisek, rendre. Az első kvartilis Q 1 egy olyan szám, amely a mintát két részre osztja: az elemek 25%-a kisebb, mint az első kvartilis, 75%-a nagyobb, mint az első kvartilis.

A harmadik kvartilis Q 3 egy olyan szám, amely a mintát is két részre osztja: az elemek 75%-a kisebb, mint a harmadik kvartilis, 25%-a nagyobb.

A kvartilisek kiszámításához az Excel 2007 előtti verzióiban a =QUARTILE(tömb, rész) függvényt használták. Az Excel 2010-től kezdve két funkció érvényes:

• =QUARTILE.ON(tömb, rész)
• =QUARTILE.EXC(tömb, rész)

Ez a két függvény némileg eltérő értékeket ad (4. ábra). Például egy 15 nagyon magas kockázatú befektetési alap átlagos éves hozamát tartalmazó minta kvartiliseinek kiszámításakor Q 1 = 1,8 vagy -0,7 a QUARTILE.INC és a QUARTILE.EXC esetében. A korábban használt QUARTILE függvény egyébként a modern QUARTILE.ON függvénynek felel meg. A kvartilisek kiszámításához Excelben a fenti képletekkel, az adattömb rendezetlenül hagyható.

Rizs. 4. Számítsa ki a kvartiliseket Excelben

Hangsúlyozzuk még egyszer. Az Excel képes kiszámítani az egyváltozós kvartiliseket diszkrét sorozat, amely egy valószínűségi változó értékeit tartalmazza. A gyakoriság alapú eloszlás kvartiliseinek kiszámítása az alábbi részben található.

geometriai átlag

A számtani átlaggal ellentétben a geometriai átlag azt méri, hogy egy változó mennyit változott az idők során. A geometriai átlag a gyök n fokozatot a terméktől nértékek (Excelben a = CUGEOM függvényt használják):

G= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Hasonló paramétert - a megtérülési ráta geometriai átlagát - a következő képlet határozza meg:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

ahol R i- megtérülési ráta én-adik időszak.

Tegyük fel például, hogy a kezdeti befektetés 100 000 USD. Az első év végére 50 000 USD-ra csökken, a második év végére pedig visszaáll az eredeti 100 000 USD-ra. éves periódus egyenlő 0-val, mivel a források kezdeti és végső összege megegyezik egymással. Az éves megtérülési ráták számtani átlaga azonban = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 vagy 25%, mivel a megtérülési ráta az első évben R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5, és a másodikban R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Ugyanakkor a megtérülési ráta geometriai átlaga két évre: G = [(1-0,5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Így a geometriai átlag pontosabban tükrözi a beruházás volumenének kétéves változását (pontosabban nem változott), mint a számtani átlag.

Érdekes tények. Először is, a geometriai átlag mindig kisebb lesz, mint ugyanazon számok számtani átlaga. Kivéve azt az esetet, amikor az összes vett szám egyenlő egymással. Másodszor, figyelembe véve a tulajdonságokat derékszögű háromszög, megértheti, miért nevezik az átlagot geometrikusnak. A derékszögű háromszög magassága, leengedve a hipotenususra, a lábak hipotenuszon lévő vetületei közötti átlagos arányos, az egyes lábak pedig a befogó és a hipotenuszra való vetülete közötti átlagos arányos (5. ábra). Ez geometriai módot ad két (hosszúságú) szakasz geometriai átlagának megszerkesztésére: e két szakasz összegére kell kört építeni, mint átmérőt, majd a magasságot, visszaállítva a csatlakozási ponttól a metszéspontig. kör, megadja a kívánt értéket:

Rizs. 5. A geometriai átlag geometriai természete (ábra a Wikipédiából)

A numerikus adatok második fontos tulajdonsága az variáció az adatok szórásának mértékét jellemzi. Két különböző minta átlagértékében és variációiban is eltérhet. ábrán látható módon azonban. A 6. és 7. ábrán két mintának lehet azonos eltérése, de eltérő átlaga, vagy ugyanaz az átlag és teljesen eltérő variáció. ábra B sokszögének megfelelő adatok. 7 sokkal kevesebbet változnak, mint azok az adatok, amelyekből az A sokszög épült.

Rizs. 6. Két szimmetrikus harang alakú eloszlás azonos szórással és eltérő középértékekkel

Rizs. 7. Két szimmetrikus harang alakú eloszlás azonos átlagértékekkel és eltérő szórással

Az adatok változásának öt becslése létezik:

• fesztáv,
• interquartilis tartomány,
• diszperzió,
• szórás,
• a variációs együttható.

hatálya

A tartomány a minta legnagyobb és legkisebb eleme közötti különbség:

Csúsztatás = XMax-XMin

A 15 igen magas kockázatú befektetési alap átlagos éves hozamára vonatkozó adatokat tartalmazó minta tartománya rendezett tömb segítségével számítható ki (lásd 4. ábra): tartomány = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Ez azt jelenti, hogy a nagyon magas kockázatú alapok legmagasabb és legalacsonyabb átlagos éves hozama közötti különbség 24,6%.

A tartomány az adatok általános terjedését méri. Bár a mintatartomány nagyon egyszerű becslése az adatok teljes terjedésének, gyengesége, hogy nem veszi figyelembe, hogy pontosan hogyan oszlanak meg az adatok a minimum és maximum elemek között. Ez a hatás jól látható az ábrán. A 8. ábra azonos tartományú mintákat ábrázol. A B skála azt mutatja, hogy ha a minta legalább egy szélső értéket tartalmaz, akkor a mintatartomány nagyon pontatlan becslése az adatok szórásának.

Rizs. 8. Három azonos tartományú minta összehasonlítása; a háromszög a mérleg alátámasztását szimbolizálja, elhelyezkedése a minta átlagértékének felel meg

Interquartilis tartomány

Az interkvartilis vagy átlagtartomány a minta harmadik és első kvartilisének különbsége:

Interkvartilis tartomány \u003d Q 3 - Q 1

Ez az érték lehetővé teszi az elemek 50%-os terjedésének becslését és az extrém elemek hatásának figyelmen kívül hagyását. A 15 igen magas kockázatú befektetési alap átlagos éves hozamára vonatkozó adatokat tartalmazó minta interkvartilis tartománya az ábra adatai alapján számítható ki. 4 (például a QUARTIL.EXC függvényhez): Interkvartilis tartomány = 9,8 - (-0,7) = 10,5. A 9,8 és -0,7 közötti intervallumot gyakran középső felének nevezik.

Meg kell jegyezni, hogy a Q 1 és Q 3 értékek, és így az interkvartilis tartomány nem függ a kiugró értékek jelenlététől, mivel számításuk nem vesz figyelembe olyan értéket, amely Q 1-nél kisebb vagy Q 3-nál nagyobb lenne. . A teljes mennyiségi jellemzőket, mint a medián, az első és harmadik kvartilis, valamint az interkvartilis tartomány, amelyeket nem befolyásolnak a kiugró értékek, robusztus mutatóknak nevezzük.

Míg a tartomány és az interkvartilis tartomány becslést ad a minta teljes és átlagos szórására, egyik becslés sem veszi figyelembe pontosan az adatok eloszlását. Variancia és szórás mentes ettől a hiányosságtól. Ezek a mutatók lehetővé teszik az adatok átlag körüli ingadozásának mértékét. Minta szórása az egyes mintaelemek és a mintaátlag közötti különbségek négyzetéből számított számtani átlag közelítése. X 1 , X 2 , ... X n méretű minta esetén a minta varianciáját (az S 2 szimbólummal jelölve) a következő képlet adja meg:

Általánosságban elmondható, hogy a minta variancia a mintaelemek és a minta átlaga közötti különbségek négyzetének összege, osztva a minta méretével mínusz egy értékkel:

ahol - számtani átlaga, n- minta nagysága, X i - én-adik mintaelem x. A 2007-es verzió előtti Excelben a =VAR() függvényt használták a minta variancia kiszámításához, a 2010-es verzió óta pedig a =VAR.V() függvényt.

Az adatok szórásának legpraktikusabb és legszélesebb körben elfogadott becslése az szórás. Ezt a mutatót az S szimbólum jelöli, és egyenlő négyzetgyök a minta eltéréséből:

Az Excelben a 2007-es verzió előtt az =STDEV() függvényt használták a szórás kiszámításához, a 2010-es verziótól az =STDEV.V() függvényt. Ezen függvények kiszámításához az adattömb rendezetlen lehet.

Sem a minta szórása, sem a minta szórása nem lehet negatív. Az egyetlen helyzet, amikor az S 2 és S mutató nulla lehet, ha a minta minden eleme egyenlő. Ebben a teljesen valószínűtlen esetben a tartomány és az interkvartilis tartomány is nulla.

A numerikus adatok eleve ingadozóak. Bármely változó felvehet egy halmazt különböző értékeket. Például különböző befektetési alapok rendelkeznek különböző mutatók nyereségesség és veszteségek. A numerikus adatok változékonysága miatt nagyon fontos, hogy ne csak az átlagra vonatkozó becsléseket, amelyek összegző jellegűek, hanem az adatok szórását jellemző varianciára vonatkozó becsléseket is tanulmányozzuk.

A variancia és a szórás lehetővé teszi, hogy megbecsüljük az adatok átlag körüli terjedését, vagyis meghatározzuk, hogy a mintának hány eleme kisebb, és hány nagyobb az átlagnál. A diszperzió értékes matematikai tulajdonságokkal rendelkezik. Értéke azonban egy mértékegység négyzete – négyzetszázalék, négyzetdollár, négyzethüvelyk stb. Ezért a variancia természetes becslése a szórás, amelyet a szokásos mértékegységekben - a jövedelem százalékában, dollárban vagy hüvelykben - fejeznek ki.

A szórás lehetővé teszi a mintaelemek átlagérték körüli fluktuációjának mértékének becslését. Szinte minden helyzetben a megfigyelt értékek többsége az átlagtól plusz-mínusz egy szóráshatáron belül van. Ezért a mintaelemek számtani átlagának és a minta szórásának ismeretében meg lehet határozni azt az intervallumot, amelyhez az adatok nagy része tartozik.

15 nagyon magas kockázatú befektetési alap hozamának szórása 6,6 (9. ábra). Ez azt jelenti, hogy az alapok nagy részének jövedelmezősége legfeljebb 6,6%-kal tér el az átlagos értéktől (azaz – S= 6,2 – 6,6 = –0,4 to +S= 12,8). Valójában ez az intervallum az alapok ötéves átlagos éves hozamát tartalmazza, amely 53,3% (15-ből 8).

Rizs. 9. Szórás

Vegye figyelembe, hogy a négyzetes különbségek összegzése során az átlagtól távolabbi tételek nagyobb súlyt kapnak, mint a közelebbi tételek. Ez a tulajdonság a fő oka annak, hogy a számtani átlagot leggyakrabban használják egy eloszlás átlagának becslésére.

A variációs együttható

A korábbi szórási becslésekkel ellentétben a variációs együttható relatív becslés. Mindig százalékban mérjük, nem az eredeti adategységekben. A CV szimbólumokkal jelölt variációs együttható az adatok szóródását méri az átlag körül. A variációs együttható egyenlő a szórással, osztva a számtani átlaggal és szorozva 100%-kal:

ahol S- standard minta eltérés, - minta átlag.

A variációs együttható lehetővé teszi két minta összehasonlítását, amelyek elemei különböző mértékegységekben vannak kifejezve. Például egy postai kézbesítési szolgálat vezetője a kamionparkot kívánja korszerűsíteni. A csomagok betöltésekor kétféle korlátozást kell figyelembe venni: az egyes csomagok súlyát (fontban) és térfogatát (köblábban). Tegyük fel, hogy egy 200 zsákból álló mintában az átlagos tömeg 26,0 font, a súly szórása 3,9 font, az átlagos csomagtérfogat 8,8 köbláb, a térfogat szórása pedig 2,2 köbláb. Hogyan lehet összehasonlítani a csomagok súlyának és térfogatának megoszlását?

Mivel a súly és térfogat mértékegységei különböznek egymástól, a vezetőnek össze kell hasonlítania ezen értékek relatív eloszlását. A tömegváltozási együttható CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, a térfogatváltozási együttható CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25%. Így a csomagok térfogatának relatív szórása sokkal nagyobb, mint a súlyuk relatív szórása.

Terjesztési forma

A minta harmadik fontos tulajdonsága az eloszlás formája. Ez az eloszlás lehet szimmetrikus vagy aszimmetrikus. Az eloszlás alakjának leírásához ki kell számítani annak átlagát és mediánját. Ha ez a két mérték megegyezik, a változót szimmetrikus eloszlásúnak mondjuk. Ha egy változó átlagértéke nagyobb, mint a medián, akkor az eloszlása ​​pozitív ferdeséget mutat (10. ábra). Ha a medián nagyobb, mint az átlag, akkor a változó eloszlása ​​negatívan torz. Pozitív ferdeség akkor fordul elő, ha az átlag szokatlanul magas értékekre emelkedik. Negatív ferdeség akkor fordul elő, ha az átlag szokatlanul kis értékekre csökken. Egy változó szimmetrikus eloszlású, ha egyik irányban sem vesz fel szélsőértéket, így a változó nagy és kis értékei kioltják egymást.

Rizs. 10. Háromféle eloszlás

Az A skálán ábrázolt adatok negatív ferdeséggel rendelkeznek. Ezen az ábrán a szokatlanul kis értékek által okozott hosszú farok és bal oldali ferdeség látható. Ezek a rendkívül kis értékek balra tolják el az átlagértéket, és az kisebb lesz, mint a medián. A B skálán látható adatok szimmetrikusan oszlanak el. Az eloszlás bal és jobb fele a tükörképeik. A kis és nagy értékek kiegyenlítik egymást, az átlag és a medián egyenlő. A B skálán látható adatok pozitív ferdeséget mutatnak. Ezen az ábrán egy hosszú farok és jobbra ferdeség látható, amelyet a szokatlanul magas értékek jelenléte okoz. Ezek a túl nagy értékek az átlagot jobbra tolják, és az nagyobb lesz, mint a medián.

Az Excelben leíró statisztikák érhetők el a bővítmény segítségével Elemző csomag. Menjen végig a menün Adat → Adatelemzés, a megnyíló ablakban válassza ki a sort Leíró statisztikaés kattintson Rendben. Az ablakban Leíró statisztika feltétlenül jelezze beviteli intervallum(11. ábra). Ha leíró statisztikákat szeretne látni ugyanazon a lapon, mint az eredeti adat, válassza a választógombot kimeneti intervallumés adja meg azt a cellát, ahová a megjelenített statisztika bal felső sarkát el kívánja helyezni (példánkban $C$1). Ha új lapra vagy új munkafüzetre kíván adatokat kiírni, egyszerűen válassza ki a megfelelő választógombot. Jelölje be a mellette lévő négyzetet Végső statisztika. Opcionálisan te is választhatsz Nehézségi szint,k-adik legkisebb ésk-adik legnagyobb.

Ha letétbe helyezi Adat területen Elemzés nem látja az ikont Adatelemzés, először telepítenie kell a kiegészítőt Elemző csomag(lásd például).

Rizs. 11. A nagyon magas kockázatú alapok ötéves átlagos éves hozamának leíró statisztikája, a kiegészítő segítségével kiszámítva Adatelemzés Excel programok

Az Excel számos fent tárgyalt statisztikát számít ki: átlag, medián, módus, szórás, szórás, tartomány ( intervallum), minimális, maximális és mintanagyság ( jelölje be). Ezenkívül az Excel néhány új statisztikát is kiszámol nekünk: standard hiba, görbület és ferdeség. standard hiba egyenlő a szórással osztva a minta méretének négyzetgyökével. aszimmetria az eloszlás szimmetriájától való eltérést jellemzi, és a minta elemei közötti különbségek kockájától és az átlagértéktől függő függvény. A kurtózis az adatok relatív koncentrációjának mértéke az átlag körül az eloszlás végeihez képest, és a minta és a negyedik hatványra emelt átlag közötti különbségektől függ.

Leíró statisztikák számítása az általános sokaságra

A fent tárgyalt eloszlás átlaga, szórása és alakja minta alapú jellemzők. Ha azonban az adatkészlet a teljes sokaság numerikus méréseit tartalmazza, akkor a paraméterei kiszámíthatók. Ezek a paraméterek magukban foglalják a sokaság átlagát, szórását és szórását.

Várható érték egyenlő az általános sokaság összes értékének összegével osztva a teljes sokaság térfogatával:

ahol µ - várható érték, xén- én-a változó megfigyelés x, N- a lakosság tömege. Az Excelben a matematikai elvárás kiszámításához ugyanazt a függvényt használjuk, mint a számtani átlagnál: =ÁTLAG().

Populációs variancia egyenlő az általános sokaság és a mat elemei közötti különbségek négyzetének összegével. elvárás osztva a lakosság számával:

ahol σ2 az általános sokaság varianciája. A 2007-es verzió előtti Excel a =VAR() függvényt használja a populációs variancia kiszámításához, a 2010-es verziótól kezdve =VAR.G().

populáció szórása egyenlő a populáció variancia négyzetgyökével:

Az Excel 2007 előtt az =SDV() függvényt használták a sokaság szórásának kiszámításához, a 2010-es verziótól kezdve =SDV.Y(). Vegye figyelembe, hogy a sokaság variancia és szórás képlete eltér a minta variancia és szórás képletétől. A mintastatisztika kiszámításakor S2és S a tört nevezője az n-1, és a paraméterek kiszámításakor σ2és σ - a lakosság tömege N.

ökölszabály

A legtöbb esetben a megfigyelések nagy része a medián körül összpontosul, és egy klasztert alkot. A pozitív ferdeségű adathalmazokban ez a klaszter a matematikai elvárástól balra (azaz alatta), a negatív ferdeségű halmazokban pedig a matematikai elvárástól jobbra (azaz felette) helyezkedik el. A szimmetrikus adatok átlaga és mediánja megegyezik, és a megfigyelések az átlag körül csoportosulnak, harang alakú eloszlást alkotva. Ha az eloszlásnak nincs kifejezett ferdesége, és az adatok egy bizonyos súlypont körül koncentrálódnak, akkor a változékonyság becslésére egy hüvelykujjszabályt lehet használni, amely szerint ha az adatok harang alakú eloszlásúak, akkor körülbelül 68%. a megfigyelések közül a matematikai elvárás egy szórása közé esik, a megfigyelések kb. 95%-a a várható érték két szórásán belül van, és a megfigyelések 99,7%-a a várható érték három szórásán belül van.

Így a szórás, amely a matematikai elvárás körüli átlagos ingadozás becslése, segít megérteni a megfigyelések eloszlását és a kiugró értékek azonosítását. A hüvelykujjszabályból következik, hogy harang alakú eloszlások esetén húszból csak egy érték tér el kettőnél több szórással a matematikai elvárástól. Ezért az intervallumon kívüli értékek µ ± 2σ, kiugrónak tekinthető. Ráadásul 1000 megfigyelésből csak három tér el háromnál több szórással a matematikai elvárástól. Így az intervallumon kívüli értékek µ ± 3σ szinte mindig kiugróak. Az erősen ferde vagy nem harang alakú disztribúciók esetében a Biename-Chebisev ökölszabály alkalmazható.

Több mint száz évvel ezelőtt Bienamay és Csebisev matematikusok egymástól függetlenül fedezték fel hasznos ingatlan szórás. Azt találták, hogy bármely adathalmaz esetében, függetlenül az eloszlás alakjától, azon megfigyelések százalékos aránya, amelyek távolsága nem haladja meg a k szórás a matematikai elvárásoktól, nem kevesebb (1 – 1/ 2)*100%.

Például ha k= 2, a Biename-Chebisev szabály kimondja, hogy a megfigyelések legalább (1 - (1/2) 2) x 100% = 75%-ának ebben az intervallumban kell lennie. µ ± 2σ. Ez a szabály mindenre igaz k egyet meghaladó. A Biename-Chebisev szabály nagyon általános jellegű, és bármilyen disztribúcióra érvényes. A megfigyelések minimális számát jelöli, amelytől a matematikai várakozástól mért távolság nem haladja meg az adott értéket. Ha azonban az eloszlás harang alakú, a hüvelykujjszabály pontosabban becsüli meg az adatok átlag körüli koncentrációját.

Leíró statisztikák számítása gyakoriság alapú eloszláshoz

Ha az eredeti adatok nem állnak rendelkezésre, a gyakorisági eloszlás válik az egyetlen információforrássá. Ilyen helyzetekben kiszámíthatja az eloszlás mennyiségi mutatóinak hozzávetőleges értékeit, például a számtani átlagot, a szórást, a kvartiliseket.

Ha a mintaadatokat gyakorisági eloszlásként adjuk meg, akkor a számtani átlag közelítő értéke kiszámítható, feltételezve, hogy az egyes osztályokon belüli összes érték középső pont osztály:

ahol - minta átlaga, n- a megfigyelések száma vagy a minta mérete, val vel- az osztályok száma a gyakorisági eloszlásban, mj- középpont j- osztály, fj- megfelelő frekvencia j- osztály.

A gyakorisági eloszlástól való szórás kiszámításához azt is feltételezzük, hogy az egyes osztályokon belül minden érték az osztály felezőpontjában összpontosul.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan határozzák meg a sorozat kvartiliseit a gyakoriságok alapján, nézzük meg az alsó kvartilis számítását a 2013-as adatok alapján az orosz lakosság átlagos egy főre jutó készpénzjövedelme alapján (12. ábra).

Rizs. 12. Oroszország lakosságának aránya az egy főre jutó monetáris jövedelemmel átlagosan havonta, rubel

Az intervallumvariációs sorozat első kvartilisének kiszámításához a következő képletet használhatja:

ahol Q1 az első kvartilis értéke, xQ1 az első kvartilist tartalmazó intervallum alsó határa (az intervallumot a halmozott gyakoriság határozza meg, az első meghaladja a 25%-ot); i az intervallum értéke; Σf a teljes minta frekvenciáinak összege; valószínűleg mindig 100%; SQ1–1 az alsó kvartilist tartalmazó intervallumot megelőző intervallum kumulatív gyakorisága; fQ1 az alsó kvartilist tartalmazó intervallum gyakorisága. A harmadik kvartilis képlete abban különbözik, hogy a Q1 helyett mindenhol Q3-at kell használni, és ¼ helyett ¾-et kell behelyettesíteni.

Példánkban (12. ábra) az alsó kvartilis a 7000,1 - 10 000 tartományba esik, melynek kumulatív gyakorisága 26,4%. Ennek az intervallumnak az alsó határa 7000 rubel, az intervallum értéke 3000 rubel, az alsó kvartilist tartalmazó intervallumot megelőző intervallum halmozott gyakorisága 13,4%, az alsó kvartilist tartalmazó intervallum gyakorisága 13,0%. Így: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 \u003d 9677 rubel.

A leíró statisztikákkal kapcsolatos buktatók

Ebben a megjegyzésben megvizsgáltuk, hogyan írjunk le egy adatkészletet különböző statisztikák segítségével, amelyek becsülik annak átlagát, szórását és eloszlását. A következő lépés az adatok elemzése és értelmezése. Eddig az adatok objektív tulajdonságait tanulmányoztuk, most pedig áttérünk azok szubjektív értelmezésére. Két hiba leselkedik a kutatóra: egy rosszul megválasztott elemzési téma és az eredmények helytelen értelmezése.

A 15 nagyon magas kockázatú befektetési alap teljesítményének elemzése meglehetősen elfogulatlan. Teljesen objektív következtetésekre vezetett: minden befektetési alapnak más a hozama, az alaphozamok szórása -6,1 és 18,5 között mozog, az átlagos hozam pedig 6,08. Az adatelemzés objektivitását az eloszlás összes mennyiségi mutatóinak helyes megválasztása biztosítja. Az adatok átlagának és szórásának becslésére több módszert is figyelembe vettek, ezek előnyeit és hátrányait jelöltem meg. Hogyan válasszuk ki a megfelelő statisztikákat, amelyek objektív és elfogulatlan elemzést nyújtanak? Ha az adatok eloszlása ​​kissé torz, a mediánt kell választani a számtani átlag helyett? Melyik mutató jellemzi pontosabban az adatok terjedését: szórás vagy tartomány? Fel kell tüntetni az eloszlás pozitív ferdeségét?

Másrészt az adatok értelmezése szubjektív folyamat. Különböző emberek eltérő következtetésekre jutnak, ugyanazokat az eredményeket értelmezve. Mindenkinek megvan a maga nézőpontja. Valaki 15 nagyon magas kockázatú alap teljes átlagos éves hozamát tartja jónak, és eléggé elégedett a kapott bevétellel. Mások azt gondolhatják, hogy ezeknek az alapoknak túl alacsony a hozama. Így a szubjektivitást az őszinteséggel, a semlegességgel és a következtetések egyértelműségével kell kompenzálni.

Etikai kérdések

Az adatelemzés elválaszthatatlanul kapcsolódik az etikai kérdésekhez. Kritikusnak kell lenni az újságok, rádió, televízió és az internet által terjesztett információkkal szemben. Idővel megtanulsz szkeptikusnak lenni nemcsak az eredményekkel, hanem a kutatás céljaival, tárgyával és objektivitásával kapcsolatban is. A híres brit politikus, Benjamin Disraeli mondta a legjobban: „Háromféle hazugság létezik: hazugság, átkozott hazugság és statisztika.”

Amint a jegyzetben szerepel, etikai kérdések merülnek fel a jelentésben bemutatandó eredmények kiválasztásakor. A pozitív és negatív eredményeket egyaránt közzé kell tenni. Ezen túlmenően a jelentés vagy írásbeli jelentés elkészítésekor az eredményeket őszintén, semlegesen és tárgyilagosan kell bemutatni. Tegyen különbséget a rossz és a tisztességtelen előadások között. Ehhez meg kell határozni, hogy mi volt a beszélő szándéka. A beszélő néha tudatlanságból, néha pedig szándékosan hagy ki fontos információkat (például ha a számtani átlagot használja egyértelműen ferde adatok átlagának becslésére a kívánt eredmény elérése érdekében). Becstelenség az olyan eredmények elhallgatása is, amelyek nem felelnek meg a kutató álláspontjának.

A Levin és munkatársai: Statisztikák menedzsereknek című könyvéből származó anyagokat használjuk. - M.: Williams, 2004. - p. 178–209

A QUARTILE függvény megmaradt az Excel korábbi verzióihoz való igazodás érdekében