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Attrattore di Rossler- attrattore caotico, che ha un sistema di equazioni differenziali di Rössler:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (xc)\backslash end(matrice)\backslash destra.$ ;

dove $a,\; b,\; c$ sono costanti positive. Per i valori dei parametri $a=b=0,2$ e $2.6\backslash le\; c\backslash le\; 4.2$ le equazioni di Rössler hanno un ciclo limite stabile. Con questi valori dei parametri, il periodo e la forma del ciclo limite eseguono una sequenza di raddoppio del periodo. Subito dopo il punto $c\; =\; 4,2$ si verifica il fenomeno di un attrattore caotico. Linee ben definite di cicli limite sfocano e riempiono lo spazio delle fasi con un insieme numerabile infinito di traiettorie che hanno le proprietà di un frattale.

A volte gli attrattori di Rössler sono costruiti per un piano, cioè con $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Soluzioni sostenibili per $x,\; y$ può essere trovato calcolando l'autovettore della matrice Jacobiana della forma $\backslash begin(pmatrix)0\; e\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; e\; a\backslash \backslash \backslash end(pmatrix)$, per cui $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Da questo è chiaro che quando , autovettori sono complessi e hanno componenti reali positivi, il che rende instabile l'attrattore. Consideriamo ora l'aereo $Z$ nello stesso intervallo $un$. Ciao $X$ meno $C$, parametro $C$ manterrà la traiettoria vicino all'aereo $x,\; y$. Non appena $X$ diventerà di più $C$, $z$-la coordinata comincerà ad aumentare, e poco dopo il parametro $-z$ rallenterà la crescita $X$ in $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Punti di equilibrio

Per trovare i punti di equilibrio, le tre equazioni di Rössler sono poste uguali a zero e $xyz$-Le coordinate di ogni punto di equilibrio si trovano risolvendo le equazioni risultanti. Infine:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrice)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2\; -4ab))(2a)\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Come mostrato in equazioni generali Attrattore di Rössler, uno di questi punti fissi si trova al centro dell'attrattore, mentre gli altri sono relativamente lontani dal centro.

Modifica dei parametri a, b e c

Il comportamento dell'attrattore di Rössler dipende in gran parte dai valori dei parametri costanti. La modifica di ogni parametro dà un certo effetto, in conseguenza del quale il sistema può convergere su un'orbita periodica, su un punto fisso o correre all'infinito. Il numero di periodi dell'attrattore di Rössler è determinato dal numero dei suoi giri attorno al punto centrale che si verificano prima della serie di anelli.

I diagrammi di biforcazione sono uno strumento standard per analizzare il comportamento dei sistemi dinamici, che includono l'attrattore di Rössler. Sono creati risolvendo le equazioni di un sistema in cui due variabili sono fisse e una viene modificata. Quando si costruisce un tale diagramma, si ottengono regioni quasi completamente "ombreggiate"; questo è il regno del caos dinamico.

Modifica del parametro a

Risolviamo $b\; =\; 0,2$, $c=5.7$ e cambieremo $un$.

Di conseguenza, empiricamente, otteniamo la seguente tabella:

• $a\backslash leq\; 0$: convergente verso un punto stabile.
• $a\; =\; 0,1$: Filatura con un periodo di 2.
• $a\; =\; 0,2$: Caos (parametro standard delle equazioni di Rössler) .
• $a\; =\; 0,3$: Attrattore caotico.
• $a\; =\; 0,35$: Simile al precedente, ma il caos è più pronunciato.
• $a\; =\; 0,38$: Simile al precedente, ma il caos è ancora più forte.

Cambia parametro b

Risolviamo $a\; =\; 0,2$, $c=5.7$ e ora cambieremo il parametro $B$. Come si può vedere dalla figura, a $B$ tendendo a zero, l'attrattore è instabile. quando $B$ diventerà di più $un$ e $C$, il sistema sarà bilanciato e passerà allo stato stazionario.

Modifica del parametro c

Risolviamo $a=b=0,1$ e cambieremo $C$. Si può vedere dal diagramma di biforcazione che per i piccoli $C$ il sistema è periodico, ma diventa rapidamente caotico man mano che aumenta. Le figure mostrano esattamente come cambia la casualità del sistema all'aumentare $C$. Ad esempio, quando $C$= 4 l'attrattore avrà un periodo uguale a uno, e sul diagramma sarà presente una sola riga, lo stesso accadrà quando $C$= 3 e così via; fino $C$ non diventeranno più di 12: l'ultimo comportamento periodico è caratterizzato da questo valore, quindi il caos va ovunque.

Diamo illustrazioni del comportamento dell'attrattore nell'intervallo di valori specificato $C$, che illustrano il comportamento generale di tali sistemi: frequenti transizioni dalla periodicità al caos dinamico.

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Appunti

Collegamenti

• Costruttore

Letteratura

• Voronov VK, Podoplelov AV Fisica moderna: Esercitazione. M., KomKniga, 2005, 512 pp., ISBN 5-484-00058-0, cap. 2 Fisica sistemi aperti. pp 2.4 Attrattore caotico di Rössler.

Un estratto che caratterizza il Rössler Attractor

«Lasciami passare, te lo dico io», ripeté di nuovo il principe Andrei, increspando le labbra.
- E chi sei tu? improvvisamente l'ufficiale si voltò verso di lui con furia ubriaca. - Chi sei? Tu (si è particolarmente riposato su di te) sei il capo, o cosa? Io sono il capo qui, non tu. Tu, indietro, - ripeté, - ti spacco in una torta.
Questa espressione apparentemente piacque all'ufficiale.
- L'aiutante si è rasato in modo importante, - si udì una voce da dietro.
Il principe Andrei vide che l'ufficiale era in quel impeto di rabbia senza causa, in cui la gente non ricorda quello che dice. Vide che la sua intercessione per la moglie del dottore nel carro era piena di ciò che temeva di più al mondo, quello che viene chiamato ridicolo [divertente], ma il suo istinto diceva diversamente. Prima che l'ufficiale avesse il tempo di finire le sue ultime parole, il principe Andrei, con la faccia sfigurata dalla rabbia, gli si avvicinò e alzò la frusta:
- Fammi uscire dalla tua volontà!
L'ufficiale agitò la mano e si allontanò in fretta.
"Tutto da questi, dal personale, tutto il casino", brontolò. - Fai come ti pare.
Il principe Andrei in fretta, senza alzare gli occhi, si allontanò dalla moglie del dottore, che lo chiamava salvatore, e, ricordando con disgusto i più piccoli dettagli di questa scena umiliante, si recò al galoppo al villaggio dove, come gli era stato detto, il comandante- il capo era.
Entrato in paese, scese da cavallo e si recò nella prima casa con l'intenzione di riposarsi almeno un minuto, mangiare qualcosa e chiarire tutti questi pensieri offensivi che lo tormentavano. "Questa è una folla di mascalzoni, non un esercito", pensò, avvicinandosi alla finestra della prima casa, quando una voce familiare lo chiamò per nome.
Si guardò indietro. Il bel viso di Nesvitsky sporgeva da una piccola finestra. Nesvitsky, masticando qualcosa con la sua bocca succosa e agitando le mani, lo chiamò.
- Bolkonskij, Bolkonskij! Non senti, vero? Vai più veloce, gridò.
Entrando in casa, il principe Andrei vide Nesvitsky e un altro aiutante che mangiavano qualcosa. Si rivolsero in fretta a Bolkonsky con una domanda se sapesse qualcosa di nuovo. Sui loro volti a lui così familiari, il principe Andrej lesse un'espressione di allarme e di ansia. Questa espressione era particolarmente evidente sulla faccia sempre ridente di Nesvitsky.
Dov'è il comandante in capo? chiese Bolkonskij.
«Qui, in quella casa», rispose l'aiutante.
- Ebbene, è vero che pace e capitolazione? chiese Nesvitsky.
- Ti sto chiedendo. Non so niente se non che ti ho raggiunto per forza.
- E noi, fratello? Orrore! Mi dispiace, fratello, hanno riso di Mack, ma è anche peggio per loro stessi ", ha detto Nesvitsky. - Siediti e mangia qualcosa.
"Ora, principe, non troverai carri, e il tuo Pietro Dio sa dove", disse un altro aiutante.
- Dov'è l'appartamento principale?
- Passeremo la notte a Znaim.
"E così ho preparato tutto ciò di cui avevo bisogno per me stesso su due cavalli", ha detto Nesvitsky, "e loro hanno fatto degli ottimi zaini per me. Anche se attraverso le montagne della Boemia per scappare. Male, fratello. Cosa stai davvero male, perché tremi così tanto? chiese Nesvitsky, notando come il principe Andrei si contrasse, come se avesse toccato un barattolo di Leida.
"Niente", rispose il principe Andrei.
In quel momento ricordò il suo recente incontro con la moglie del dottore e l'ufficiale di Furshtat.
Cosa ci fa qui il comandante in capo? - chiese.
"Non capisco niente", ha detto Nesvitsky.
"Capisco solo che tutto è vile, vile e vile", disse il principe Andrei e andò alla casa dove si trovava il comandante in capo.
Passando accanto alla carrozza di Kutuzov, ai cavalli torturati del seguito e ai cosacchi, che parlavano ad alta voce tra loro, il principe Andrei entrò nel passaggio. Lo stesso Kutuzov, come fu detto al principe Andrei, era nella capanna con il principe Bagration e Weyrother. Weyrother era il generale austriaco che sostituì l'ucciso Schmitt. Nel corridoio il piccolo Kozlovsky era accovacciato davanti all'impiegato. L'impiegato, su una vasca capovolta, alzò i polsini dell'uniforme, scrisse frettolosamente. La faccia di Kozlovsky era esausta: anche lui, a quanto pare, non ha dormito la notte. Guardò il principe Andrei e non gli fece nemmeno un cenno con la testa.
- La seconda riga... Hai scritto? - continuò, dettando all'impiegato, - Granatiere di Kiev, Podolsky ...
"Non farai in tempo, tuo onore", rispose l'impiegato con irriverenza e rabbia, guardando indietro a Kozlovsky.
In quel momento, la voce animatamente insoddisfatta di Kutuzov si udì da dietro la porta, interrotta da un'altra voce sconosciuta. Dal suono di queste voci, dalla disattenzione con cui Kozlovsky lo guardava, dall'irriverenza dell'impiegato esausto, dal fatto che l'impiegato e Kozlovsky erano seduti così vicino al comandante in capo sul pavimento vicino alla vasca , e dal fatto che i cosacchi che tenevano i cavalli ridevano rumorosamente sotto la finestra della casa - per tutto questo, il principe Andrei sentiva che qualcosa di importante e sfortunato stava per accadere.
Il principe Andrei ha esortato Kozlovsky con domande.
"Ora, principe", disse Kozlovsky. - Disposizione a Bagration.
E la resa?
- Non c'è nessuno; furono impartiti gli ordini di battaglia.
Il principe Andrei andò alla porta, attraverso la quale si udivano delle voci. Ma proprio mentre stava per aprire la porta, le voci nella stanza tacquero, la porta si aprì da sola e Kutuzov, con il naso aquilino sul viso grassoccio, apparve sulla soglia.
Il principe Andrei si trovava proprio di fronte a Kutuzov; ma dall'espressione dell'unico occhio vedente del comandante in capo, era chiaro che il pensiero e la cura lo occupavano così tanto che sembrava che la sua vista fosse oscurata. Guardò direttamente il volto del suo aiutante e non lo riconobbe.
- Bene, hai finito? si rivolse a Kozlovsky.
«Solo un secondo, Eccellenza.
Bagration, basso, dal viso di tipo orientale, duro e immobile, asciutto, non ancora vecchio, seguiva il comandante in capo.
«Ho l'onore di comparire», ripeté il principe Andrei a voce piuttosto alta, porgendogli la busta.
"Ah, di Vienna?" Bene. Dopo, dopo!
Kutuzov uscì con Bagration in veranda.
«Ebbene, arrivederci, principe», disse a Bagration. “Cristo è con te. Ti benedico per un grande traguardo.
Il viso di Kutuzov si addolcì improvvisamente e le lacrime apparvero nei suoi occhi. Tirò a sé Bagration con la mano sinistra, e con la mano destra, su cui c'era un anello, apparentemente lo incrociò con un gesto abituale e gli offrì una guancia paffuta, invece della quale Bagration lo baciò sul collo.

Ciao!

Questo articolo è dedicato alle incredibili caratteristiche del mondo del caos. Proverò a parlare di come frenare una cosa così strana e complessa come un processo caotico e imparerò come creare i tuoi semplici generatori di caos. Insieme a te, passeremo da una teoria arida a un'eccellente visualizzazione dei processi caotici nello spazio. In particolare, utilizzando l'esempio di noti attrattori caotici, mostrerò come creare sistemi dinamici e utilizzarli in attività relative ai circuiti integrati logici programmabili sul campo (FPGA).

introduzione

Teoria del caosè una scienza insolita e giovane che descrive il comportamento di sistemi dinamici non lineari. Nel processo del suo inizio, la teoria del caos si è semplicemente trasformata scienza moderna! Ha eccitato le menti degli scienziati e li ha resi sempre più immersi nello studio del caos e delle sue proprietà. A differenza del rumore, che è un processo casuale, il caos è deterministico. Cioè, per il caos, c'è una legge di cambiamento nelle quantità incluse nelle equazioni per descrivere un processo caotico. Sembrerebbe che con una tale definizione, il caos non sia diverso da qualsiasi altra oscillazione descritta come una funzione. Ma non lo è. I sistemi caotici sono molto sensibili alle condizioni iniziali e il minimo cambiamento in esse può portare a enormi differenze. Queste differenze possono essere così forti che sarà impossibile dire se uno o più sistemi sono stati testati. Da fonti scientifiche popolari, questa proprietà del caos descrive al meglio un processo chiamato " effetto farfalla". Molti ne hanno sentito parlare e hanno persino letto libri e guardato film che utilizzavano la tecnica usando l'effetto farfalla. In sostanza, l'effetto farfalla riflette la proprietà principale del caos.

Lo scienziato americano Edward Lorenz, uno dei pionieri nel campo del caos, una volta disse:

Una farfalla che sbatte le ali in Iowa può causare una valanga di effetti che può culminare nella stagione delle piogge in Indonesia.

Quindi, tuffiamoci nella teoria del caos e vediamo quali mezzi improvvisati possono generare il caos.

Teoria

Prima di presentare il materiale principale, vorrei dare alcune definizioni che aiuteranno a capire e chiarire alcuni punti dell'articolo.

sistema dinamicoè un insieme di elementi per cui dipendenza funzionale tra la coordinata temporale e la posizione nello spazio delle fasi di ciascun elemento del sistema. In poche parole, un sistema dinamico è un sistema il cui stato nello spazio cambia nel tempo.
Molti processi fisici in natura sono descritti da sistemi di equazioni, che sono sistemi dinamici. Ad esempio, questi sono i processi di combustione, i flussi di liquidi e gas, il comportamento dei campi magnetici e oscillazioni elettriche, reazioni chimiche, fenomeni meteorologici, cambiamenti di popolazione nelle piante e negli animali, turbolenza nelle correnti marine, movimento dei pianeti e persino delle galassie. Come puoi vedere, molti fenomeni fisici possono essere descritti in una certa misura come un processo caotico.

Ritratto di fase- questo piano delle coordinate, in cui ogni punto corrisponde allo stato del sistema dinamico in un determinato momento. In altre parole, questo modello spaziale sistemi (possono essere bidimensionali, tridimensionali e persino quadridimensionali e altro).

attrattoreè un insieme dello spazio delle fasi del sistema dinamico, per il quale tutte le traiettorie sono attratte da questo insieme nel tempo. Se non del tutto linguaggio semplice, allora questa è un'area in cui si concentra il comportamento del sistema nello spazio. Molti processi caotici sono attrattori, perché sono concentrati in una certa regione dello spazio.

Implementazione

In questo articolo, vorrei parlare dei quattro principali attrattori: Lorentz, Ressler, Rikitaka e Nose-Hoover. A parte descrizione teorica l'articolo riflette gli aspetti della creazione di sistemi dinamici nell'ambiente MATLAB Simulink e la loro ulteriore integrazione nell'FPGA dell'azienda Xilinx con l'ausilio di uno strumento Generatore di sistema. Perché non VHDL/Verilog? Puoi anche sintetizzare attrattori usando i linguaggi RTL, ma per una migliore visualizzazione di tutti i processi, MATLAB lo è opzione ideale. non toccherò momenti difficili associati al calcolo dello spettro degli esponenti di Lyapunov o alla costruzione di sezioni di Poincaré. E ancora di più, non ci saranno formule e conclusioni matematiche ingombranti. Quindi iniziamo.

Per creare generatori di caos, abbiamo bisogno del seguente software:

• MATLAB R2014 concesso in licenza per Simulink e DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 con licenza System-Generator (DSP Edition).

Questi programmi sono piuttosto pesanti, quindi sii paziente durante l'installazione. È meglio avviare l'installazione con MATLAB e solo dopo installare il software Xilinx (con una sequenza diversa, alcuni miei amici non sono riusciti a integrare un'applicazione in un'altra). Durante l'installazione di quest'ultimo, viene visualizzata una finestra in cui è possibile collegare Simulink e System Generator. Non c'è nulla di complicato e insolito nell'installazione, quindi salteremo questo processo.

Attrattore di Lorentz

Attrattore di Lorentz- questo è forse il sistema dinamico più famoso nella teoria del caos. Ormai da diversi decenni, ha attirato la grande attenzione di molti ricercatori per la descrizione di alcuni processi fisici. La prima menzione dell'attrattore è data nel 1963 nei lavori di E. Lorenz, impegnato nella modellazione dei fenomeni atmosferici. L'attrattore di Lorentz è un sistema dinamico tridimensionale di equazioni differenziali autonome non lineari del primo ordine. Ha una struttura topologica complessa, è asintoticamente stabile ed è stabile nel senso di Lyapunov. L'attrattore di Lorentz è descritto dal seguente sistema di equazioni differenziali:

Nella formula, il punto sopra il parametro significa prendere la derivata, che riflette la velocità di variazione del valore rispetto al parametro ( significato fisico derivato).

Per i valori dei parametri σ = 10, R= 28 e B= 8/3 questo semplice sistema dinamico è stato ottenuto da E. Lorenz. Per molto tempo non riuscì a capire cosa stesse succedendo con il suo computer, finché non si rese finalmente conto che il sistema mostrava proprietà caotiche! È stato ottenuto nel corso di esperimenti per il problema della modellazione della convezione dei fluidi. Inoltre, questo sistema dinamico descrive il comportamento dei seguenti processi fisici:

• è un modello laser monomodale,
• – convezione in un circuito chiuso e uno strato piatto,
• – rotazione della ruota idraulica,
• – oscillatore armonico con non linearità inerziale,
• – vortici di masse nuvolose, ecc.

La figura seguente mostra il sistema di attrattori di Lorentz nell'ambiente MATLAB:

La figura utilizza alcuni dei seguenti simboli:

• sottrattori: SUB0-3;
• moltiplicatori costanti: SIGMA, B, R;
• moltiplicatori: MULT0-1;
• integratori con una cella per specificare la condizione iniziale: INTEGRATORE X,Y,Z;
• porte di uscita OUT: DATI X,Y,Z per i segnali XSIG, YSIG, ZSIG;

Inoltre, il diagramma presenta strumenti di analisi ausiliari, questi sono:

• salvataggio dei risultati del calcolo in un file: All'area di lavoro X,Y,Z;
• costruzione di grafici spaziali: Grafico XY, YZ, XZ;
• grafici dei tempi di costruzione: Ambito XYZ;
• strumenti per stimare le risorse occupate del cristallo e generare codice HDL dal modello " Stimatore di risorse" E " Generatore di sistema».

All'interno di ogni nodo di operazioni matematiche, è necessario specificare la profondità in bit dei dati intermedi e il loro tipo. Sfortunatamente, non è così facile lavorare con la virgola mobile negli FPGA e nella maggior parte dei casi tutte le operazioni vengono eseguite in formato a virgola fissa. L'impostazione errata dei parametri può portare a risultati errati e frustrarti durante la creazione dei tuoi sistemi. Ho sperimentato valori diversi, ma ho optato per il seguente tipo di dati: un vettore a 32 bit di numeri con segno in formato a virgola fissa. 12 bit sono allocati per la parte intera, 20 bit per la parte frazionaria.

Impostando gli integratori X, Y, Z nel blocco trigger sul valore iniziale del sistema, ad esempio, {10, 0, 0} , ho eseguito il modello. Nella base dei tempi si possono osservare i seguenti tre segnali:


Anche se il tempo di simulazione tende all'infinito, la realizzazione nel tempo non si ripeterà mai. I processi caotici non sono periodici.

IN spazio tridimensionale L'attrattore di Lorenz si presenta così:

Si può notare che l'attrattore ha due punti di attrazione, attorno ai quali si svolge l'intero processo. Con una leggera modifica delle condizioni iniziali, il processo sarà concentrato anche attorno a questi punti, ma le sue traiettorie saranno notevolmente diverse dalla versione precedente.

Attrattore di Rossler

Il secondo attrattore per numero di riferimenti in articoli e pubblicazioni scientifiche. Per Attrattore di Rossler caratteristica è la presenza di un punto limite per la manifestazione di proprietà caotiche o periodiche. A determinati parametri del sistema dinamico, le oscillazioni cessano di essere periodiche e sorgono oscillazioni caotiche. Una delle proprietà notevoli dell'attrattore di Rössler è la struttura frattale nel piano delle fasi, cioè il fenomeno dell'auto-somiglianza. Si può vedere che altri attrattori, di regola, hanno questa proprietà.

L'attrattore di Rössler si osserva in molti sistemi. Ad esempio, viene utilizzato per descrivere i flussi di fluido, nonché per descrivere il comportamento di vari reazioni chimiche e processi molecolari. Il sistema di Rössler è descritto dalle seguenti equazioni differenziali:

In ambiente MATLAB, l'attrattore è costruito come segue:

Implementazione temporale delle grandezze spaziali:

Modello tridimensionale dell'attrattore di Rössler:

Scoppio! I valori sono leggermente cambiati:

Attrattore in condizioni iniziali leggermente modificate (le traiettorie sono diverse!)

Attrattore con altri coefficienti nel sistema di equazioni (un processo caotico si è trasformato in un processo periodico!)

Confronta le immagini Attrattori 3D in diverse condizioni iniziali e coefficienti nel sistema di equazioni. Vedete come le traiettorie di movimento sono cambiate drasticamente nel primo caso? Ma in un modo o nell'altro, sono concentrati vicino a un'unica area di attrazione. Nel secondo caso, l'attrattore ha generalmente cessato di mostrare segni di caos, trasformandosi in un ciclo periodico chiuso (ciclo limite).

Attrattore Rikitake

Dinamo Rikitakeè uno dei noti sistemi dinamici del terzo ordine con comportamento caotico. È un modello di dinamo a due dischi ed è stato proposto per la prima volta in problemi di inversione caotica del campo geomagnetico terrestre. Lo scienziato Rikitake ha studiato un sistema dinamo con due dischi interconnessi costruiti in modo tale che la corrente da una bobina del disco fluisse nell'altra e producesse l'eccitazione del secondo disco e viceversa. Ad un certo punto, il sistema ha cominciato a fallire e a mostrare cose imprevedibili. Studi attivi sull'attrattore hanno permesso di proiettare la dinamo Rikitake su un modello della connessione di grandi vortici di campo magnetico nel nucleo terrestre.

La dinamo Rikitake è descritta dal seguente sistema di equazioni:

Modello dinamo Rikitake in MATLAB:

Attuazione temporanea:

Attrattore (prima versione):

Dinamo (seconda versione)

Puoi vedere che la dinamo Rikitake è in qualche modo simile all'attrattore di Lorenz, ma questi sono sistemi completamente diversi e descrivono processi fisici diversi!

Attrattore naso-aspirapolvere

Un sistema dinamico tridimensionale meno famoso ma non meno importante lo è Termostato di aspirazione del naso. È usato nella teoria molecolare come sistema termostatico reversibile nel tempo. Purtroppo non so tanto di questo attrattore quanto degli altri, ma mi è sembrato interessante e l'ho incluso nella recensione.

Il termostato Nose-Hoover è descritto dal seguente sistema di equazioni:

Modello Nose-Hoover in MATLAB:

Attuazione temporanea:

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L'articolo è dedicato all'applicazione del metodo di progettazione analitica di controllori aggregati per lo sviluppo di leggi di controllo per tipici sistemi dinamici non lineari con dinamica caotica, che forniscono la stabilizzazione degli stati di equilibrio in tali sistemi. L'articolo presenta una soluzione ad uno dei problemi caratteristici del controllo anticaotico, ovvero il problema della soppressione delle oscillazioni aperiodiche in tali sistemi. Sono state sviluppate leggi di controllo sinergiche per modelli caotici di Lorentz e Ressler, che garantiscono la stabilizzazione delle variabili di fase in questi modelli. Introduzione di sintetizzato risposta porta all'emergere di uno stato di equilibrio nei sistemi. È stata effettuata la simulazione al computer dei sistemi dinamici chiusi sintetizzati, che conferma le disposizioni teoriche della teoria del controllo sinergico. Le leggi di controllo sintetizzate possono essere utilizzate in diverse applicazioni tecniche per aumentare l'efficienza del loro funzionamento.

modello Lorenz

Modello Ressler

sistema dinamico

controllo

sinergia

Risposta

auto-oscillazioni

1. Anishchenko VS, Vadivasova TE Lezioni sulla dinamica non lineare // Izvestiya Vysshikh istituzioni educative. Dinamica non lineare applicata. - 2010. - T. 18. - N. 3. - S. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Sinergetica applicata: fondamenti di sintesi dei sistemi. - Taganrog: Casa editrice di TTI SFU, 2007. - 384 p.

3. Kolesnikov A.A. Teoria del controllo sinergico. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 pag.

4. Malinetsky GG Caos. strutture. Esperimento computazionale: Introduzione alla dinamica non lineare. – M.: Editoriale URSS, 2002. – 255 p.

5. Neimark Yu.I., Landa PS Oscillazioni stocastiche e caotiche. – M.: Nauka, 1987. – 424 pag.

6. Teoria moderna del controllo applicato. Parte II: Approccio sinergico nella teoria del controllo/sotto. ed. AA. Kolesnikov. - M.-Taganrog: Casa editrice della TRTU, 2000. - 558 p.

7. Lorenz E.N. Flusso deterministico non periodico // J. Atmos. sci. - 1963. - N. 20. - P. 130-133.

8 Rossler OE Un'equazione per il caos continuo // Phys. Lett. A. - 1976. - Vol. 57A, n. 5. - P. 397-398.

Ad oggi, l'uso del termine "caos" in ricerca scientifica associato alla necessità di descrivere tali sistemi, che sono caratterizzati da una dinamica del tutto casuale, a prima vista, e allo stesso tempo dalla presenza di un ordine nascosto in essi.

Abbastanza pertinente problema scientifico il controllo della dinamica caotica non è stato risolto al momento. Da un largo numero aspetti esistenti della sua soluzione, è estremamente importante individuare lo studio di vari metodi e leggi che sopprimono le oscillazioni irregolari nei sistemi non lineari, che sono caratterizzati dalla presenza di dinamiche caotiche.

Il problema del controllo di sistemi non lineari con dinamica caotica è di grande importanza pratica. Vale la pena notare che il punto qui non è solo nella lotta contro il caos, che spesso viola la qualità del funzionamento sistemi complessi, ma anche nell'idea dell'emergere del cosiddetto "ordine fuori dal caos", utile per una serie di processi tecnologici.

Il problema della soppressione delle oscillazioni irregolari è uno dei problemi più caratteristici dei modelli di controllo con dinamica caotica e consiste in una tale formazione di azioni di controllo che assicuri la stabilizzazione del modello inizialmente caotico in uno stato stazionario stabile. In quanto segue, si assume che sia possibile influenzare la dinamica del modello con l'aiuto di un'azione di controllo esterna, che è inclusa additivamente nella parte destra di una delle sue equazioni differenziali.

Scopo dello studio. In questo lavoro, risolviamo il problema della costruzione di leggi di controllo scalari che forniscono la soppressione delle oscillazioni caotiche nei sistemi caotici tipici di Lorentz e Ressler, in base ai quali avviene la stabilizzazione delle oscillazioni irregolari dei modelli originali in uno stato stazionario di equilibrio. Problemi di simile tipo sorgono quando è necessario eliminare vibrazioni indesiderate delle strutture, rumori vari, ecc. .

Materiali e metodi di ricerca

Uno dei metodi per risolvere efficacemente il complesso problema del controllo del caos e della sintesi di leggi oggettive di controllo per sistemi non lineari con dinamica caotica è il metodo di progettazione analitica dei controllori aggregati (ACAR), proposto dal Professor A.A. Kolesnikov.

La costruzione di controllori scalari mediante il metodo della progettazione analitica dei controllori aggregati si basa sull'introduzione di una sequenza di varietà invarianti di dimensione geometrica decrescente e successiva scomposizione dinamica graduale del sistema dinamico iniziale. In questo caso, il punto rappresentativo (IP) del sistema, partendo da uno stato iniziale arbitrario, si sposta sequenzialmente da una superficie di attrazione all'altra fino a raggiungere la superficie di finitura della forma ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. Le varietà "interne" sono topologicamente incorporate in quelle "esterne". Pertanto, nel sistema sintetizzato si verifica un processo interno di autogestione. Di conseguenza, si verifica una formazione a cascata di una sequenza di controlli interni, che comprime il volume di fase del sistema nella direzione dalla regione esterna dello spazio delle fasi all'insieme di regioni interne nidificate l'una nell'altra fino a quando l'IT non entra nel stato desiderato del sistema.

Assumiamo che nello spazio degli stati di un sistema chiuso esista una varietà invariante attrattiva della forma ψ(x) = 0, che è il limite asintotico delle traiettorie di fase. In generale, potrebbero esserci diverse varietà di questo tipo. Di norma, il numero di varietà invarianti coincide con il numero di canali di controllo. Quindi il punto rappresentativo del sistema inizia a tendere all'intersezione di varietà invarianti. Condizione necessaria colpire il punto rappresentativo del sistema chiuso "oggetto-regolatore" sulla varietà invariante ψ(x) = 0 è che il suo moto soddisfa qualche equazione differenziale stabile scritta rispetto alla macrovariabile aggregata ψ(x). Tale equazione nella teoria del controllo sinergico è chiamata funzionale o evolutiva. Di solito, un sistema di equazioni funzionali è dato come un sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine della forma

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Qui m è il numero di date varietà invarianti; Ts è un parametro di controllo, φ s (ψ s) è una funzione che deve soddisfare il seguente insieme di condizioni:

1) φ s (ψ s ) deve essere continuo, monovalore e differenziabile per tutti i ψ;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 per ogni 0,

quelli. svaniscono solo sulle varietà φ s = 0, rispetto alle quali il sistema di equazioni funzionali date è nel suo insieme asintoticamente stabile.

Di norma, il metodo ACAR utilizza equazioni funzionali:

quelli. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Equazioni di questo tipo, come si vede, sono caratterizzate da stabilità asintotica rispetto alla varietà ψ s = 0 purché Ts > 0.

In questa situazione, il problema di sintetizzare le leggi del controllo stabilizzante dei modelli caotici nel caso generale è formulato come segue. È necessario trovare la funzione uS(x) come un certo insieme di feedback che assicurano il trasferimento del punto rappresentativo del modello caotico iniziale da condizioni iniziali arbitrarie in una certa regione ammissibile a un dato stato (insieme di stati), che corrisponde a una modalità stabile. Nel molto caso semplice il controllo inserisce solo un'equazione differenziale del sistema originale. Potrebbero esserci opzioni quando la stessa azione di controllo si trova in righe diverse del sistema originale.

Un aspetto distintivo della formulazione del problema della sintesi sinergica delle leggi di controllo è la presenza di un requisito aggiuntivo per il movimento del sistema dallo stato iniziale a quello finale, che consiste nell'attrazione asintotica delle traiettorie di fase del sistema a qualche varietà invariante (l'intersezione delle varietà) nello spazio degli stati (PS) del sistema.

L'introduzione del feedback stabilizzante nelle equazioni del modello originale porta a un cambiamento mirato nella topologia del suo spazio degli stati. Come risultato di tale riarrangiamento, l'attrattore caotico scompare e si forma un attrattore regolare del tipo "punto", che corrisponde alla modalità di comportamento di equilibrio desiderata.

Risultati della ricerca e discussione

Consideriamo le fasi della procedura implementata per la sintesi della legge di controllo stabilizzante mediante il metodo ACAR per il sistema caotico di Lorentz.

Il modello di Lorentz è stato originariamente derivato dalle equazioni di Navier-Stokes e di conduzione del calore per studiare la possibilità di prevedere le condizioni meteorologiche con parametri di controllo variabili. Il modello descrive il moto di rulli convettivi in ​​un liquido con un gradiente di temperatura.

Il modello è il seguente sistema di tre equazioni differenziali ordinarie:

dove σ è il numero di Prandtl; ρ è il numero di Rayleigh normalizzato; il parametro b dipende dalla distanza tra i piani e dal periodo orizzontale.

Riso. 1. Attrattore caotico del sistema di Lorentz

In questo sistema, in determinate condizioni, si verifica la formazione di oscillazioni caotiche. Sulla fig. La figura 1 mostra la traiettoria di fase del sistema per i parametri σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 nella modalità caos deterministico. In questo sistema dinamico sono state studiate per la prima volta le auto-oscillazioni stocastiche. L'attrattore caotico del sistema (1) è fondamentalmente diverso dagli attrattori caotici della maggior parte dei modelli di dinamica non lineare. La sua struttura corrisponde pienamente all'attrattore strano ed è caratterizzata dalla presenza di un solo tipo di moto a sella.

Assumiamo che l'azione di controllo u1 entri nella prima equazione del sistema (1) sotto forma di feedback interno:

Introduciamo una varietà invariante della forma

dove μ è un parametro di controllo.

Se differenziamo la funzione ψ1 (3) rispetto al tempo e sostituiamo la sua derivata nell'equazione funzionale

otteniamo la legge di controllo desiderata:

La legge di controllo (5) assicura il trasferimento del punto rappresentativo del sistema (2), chiuso dalla retroazione (5), alla varietà invariante ψ1 = 0.

La dinamica del movimento del punto rappresentativo del modello lungo questa varietà invariante è descritta utilizzando le equazioni differenziali del modello scomposto, che si formano dopo aver sostituito l'espressione dell'uguaglianza ψ1 = 0 (3) nella seconda e terza equazione di sistema (2):

(6)

Riso. 2. Ritratti di fase dei sistemi (2), (5) e (6)

Riso. La figura 2 illustra i risultati della simulazione numerica del sistema (2), (5) per i valori dei parametri di controllo σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, caratteristici dell'esistenza di un attrattore caotico di Lorentz , e i valori dei parametri del controller T1 = 0,1, μ = 4, che confermano l'efficacia dei principi teorici del metodo ACAR. La prima equazione nel sistema scomposto (6) è completamente identica all'equazione evolutiva di base della sinergia con una biforcazione "a forcella".

Costruiamo una legge di controllo stabilizzante mediante il metodo ACAR per il modello di Ressler. Il modello di Ressler è un sistema dinamico non lineare di equazioni differenziali del terzo ordine della forma:

dove a, b, c sono parametri di controllo.

Il sistema (7) è stato proposto da Ressler per modellare i processi di interazione delle serie sostanze chimiche. Questo sistema Abbastanza spesso viene utilizzato in vari studi scientifici su fenomeni di varia natura a causa della presenza dei loro segni caratteristici dell'apparizione e dell'esistenza di dinamiche caotiche. Riso. 3 mostra l'attrattore caotico del sistema di Ressler per i valori dei parametri a = b = 0,2; c = 9.

Assumiamo che l'azione di controllo sia inclusa nella seconda equazione del sistema originale (7):

Tipo di collettore invariante

e l'equazione funzionale (4) ci permettono di ottenere la legge di controllo desiderata:

(10)

La legge di controllo (10) garantisce il trasferimento del punto rappresentativo del sistema controllato (8), chiuso dalla retroazione (10), al collettore invariante ψ2 = 0 (9).

Riso. 3. Attrattore caotico del sistema di Roessler

La natura del moto del sistema lungo la varietà invariante ψ2 = 0 è descritta dal modello scomposto:

(11)

dove nella prima riga è presente l'equazione di biforcazione del tipo "fork".

Riso. 4. Ritratti di fase dei sistemi (8), (10) e (11)

Riso. 4 illustra i risultati ottenuti dalla simulazione numerica di un sistema chiuso (8), (10) per i valori dei parametri di controllo del modello a = b = 0,2; c = 9, che sono tipici per l'aspetto di un attrattore di tipo caotico, nonché i valori dei parametri del controller T2 = 0,1; μ = 25.

In entrambi i modelli scomposti ottenuti (6), (11), le equazioni poste nella prima riga coincidono con l'equazione evolutiva di base della sinergia con una biforcazione di tipo fork. A questo proposito, possiamo affermare la natura naturale delle leggi sintetizzate del controllo stabilizzante dei sistemi caotici iniziali e dell'unità esistente e dell'interconnessione interna delle equazioni dell'evoluzione universale teoria non lineare autorganizzazione e sinergia.

Il carattere naturale delle leggi di controllo sintetizzate è dovuto, in primo luogo, alla presenza di un insieme di proprietà tipiche della biforcazione nei sistemi chiusi.

Come risultato dello studio, è stata sintetizzata una serie di feedback, quando i sistemi caotici iniziali sono chiusi, si verifica un cambiamento nella natura del loro comportamento e la trasformazione di un attrattore di tipo caotico in un attrattore di tipo "puntiforme". Le leggi di controllo risultanti u1 (5) e u2 (10) sono garantite per fornire stabilità asintotica nell'intero spazio delle fasi rispetto agli stati di equilibrio desiderati per i valori del parametro μ< 0 или μ >0 per i corrispondenti modelli caotici iniziali. Le leggi risultanti u1 (5) e u2 (10) appartengono alla classe delle leggi oggettive di controllo che trasformano i sistemi di Lorentz e Ressler, che hanno dinamiche caotiche, nelle equazioni evolutive di base della teoria dell'autorganizzazione e della sinergia.

Le leggi di controllo sintetizzate u1 (5) e u2 (10) sono originali e universali. Possono essere utilizzati nella progettazione di sistemi controllati per vari scopi, aumentando notevolmente l'efficienza del loro funzionamento.

Collegamento bibliografico

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov PA APPLICAZIONE DEL METODO AKAR PER LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI STABILIZZAZIONE DEGLI STATI DI EQUILIBRIO DEI TIPICI SISTEMI NON LINEARI // Ricerca fondamentale. - 2016. - N. 5-2. – P. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (data di accesso: 15/01/2020). Portiamo alla vostra attenzione le riviste pubblicate dalla casa editrice "Accademia di Storia Naturale"

In questo libro abbiamo adottato un approccio empirico alle oscillazioni caotiche e ne abbiamo presentato una serie di differenti fenomeni fisici, in cui gioca la dinamica caotica ruolo importante. Naturalmente, non tutti i lettori hanno accesso a un laboratorio o hanno un debole per la sperimentazione, sebbene la maggior parte di loro possa utilizzare i computer digitali. A tal fine, presentiamo in questa appendice una serie di esperimenti numerici che possono essere effettuati sia su un personal computer che su un microcomputer, nella speranza che aiutino il lettore a indagare la dinamica degli ormai classici modelli di caos.

B.1. EQUAZIONE LOGISTICA: RADDOPPIARE IL PERIODO

Uno dei problemi più semplici da cui partire nelle nuove dinamiche deve essere il modello di crescita della popolazione, o equazione logistica

Fenomeni di raddoppio del periodo sono stati osservati da vari ricercatori (vedi, ad esempio, il lavoro di May) e, naturalmente, da Feigenbaum, che ha scoperto le famose leggi di similarità dei parametri (vedi cap. 1 e 5). Un personal computer rende estremamente facile riprodurre due esperimenti numerici.

Nel primo esperimento, abbiamo un grafico di dipendenza nell'intervallo . La modalità di raddoppio del periodo viene osservata ai valori inferiori. A partire da puoi vedere una traiettoria con un periodo di 1. Per vedere traiettorie più lunghe, contrassegna le prime 30-50 iterazioni con punti e le successive iterazioni con un simbolo diverso.

Ovviamente, tracciando la dipendenza da , puoi osservare la transizione e regimi stazionari. Le traiettorie caotiche possono essere rilevate a . Nelle vicinanze si può rilevare una traiettoria con periodo 3 .

Il seguente esperimento numerico è relativo alla costruzione di un diagramma di biforcazione. Per fare ciò, è necessario tracciare la dipendenza in generale dal parametro di controllo. Scegli una condizione iniziale (ad esempio, ed esegui 100 iterazioni di visualizzazione. Quindi traccia i valori ottenuti dalle 50 iterazioni successive sull'asse verticale e il valore corrispondente sull'asse orizzontale (o viceversa). Passo dopo passo scegli circa 0,01 e passare attraverso l'intervallo Sul diagramma nei punti di raddoppio del periodo dovrebbero produrre biforcazioni classiche del tipo a forcone. Puoi determinare il numero di Feigenbaum dai dati di un esperimento numerico?

May fornisce anche un elenco di esperimenti numerici con altre mappature unidimensionali, ad esempio con la mappatura

Descrive questa mappatura come un modello di crescita della popolazione di una singola specie, regolata da una malattia epidemica. Esplora la zona. Il periodo di raddoppio del punto di accumulazione e l'inizio del caos corrispondono a . L'articolo di May contiene anche dati su altri esperimenti numerici.

B.2. EQUAZIONI DI LORENTZ

Un notevole esperimento numerico, indubbiamente degno di essere ripetuto, è contenuto nell'opera originale di Lorentz. Lorentz ha semplificato le equazioni derivate da Saltzman dalle equazioni della convezione termica in un liquido (vedi Cap. 3). La priorità nella scoperta di soluzioni non periodiche delle equazioni di convezione, secondo Lorentz, spetta a Salzman. Per studiare i moti caotici, Lorentz scelse i valori ormai classici dei parametri nelle equazioni

I dati mostrati in fig. 1 e 2 dell'articolo di Lorenz, possono essere riprodotte selezionando condizioni iniziali e il passo temporale e proiettando la soluzione sull'aereo o sull'aereo

Per ottenere la mappatura unidimensionale indotta da questo flusso, Lorentz ha considerato i massimi successivi della variabile z, che ha etichettato Il grafico della dipendenza ha mostrato che in questo caso la mappatura è data da una curva che ricorda la forma del tetto di un casa. Lorentz ha quindi esplorato una versione semplificata di questa mappa, chiamata "mappa del tipo di casa", una versione bilineare dell'equazione logistica

B.3. Intermittenza ed equazioni di Lorentz

Un esempio illustrativo di intermittenza può essere trovato integrando numericamente le equazioni di Lorentz usando un computer:

con parametri secondo il metodo Runge-Kutta. A , otterrai una traiettoria periodica, ma in corrispondenza e più appariranno "scoppio" o rumori caotici (vedi il lavoro di Manneville e Pomo). Misurando il numero medio N di cicli periodici tra i burst (fase laminare), dovresti ottenere la legge di scala

B.4. ATTRATORE DI ENON

Una generalizzazione della mappatura quadratica sulla linea per il caso bidimensionale (sul piano) è stata proposta dall'astronomo francese Hénon:

Quando , la mappatura di Hénon si riduce alla mappatura logistica esplorata da May e Feigenbaum. I valori di a e b a cui si presenta uno strano attrattore includono, in particolare, . Costruisci un grafico di questa mappatura sul piano, delimitandolo con un rettangolo. Dopo aver ricevuto un attrattore, focalizza la tua attenzione su una piccola parte di esso e aumenta questa parte usando una trasformazione di somiglianza. Segui essenzialmente un largo numero iterazioni delle mappature e cercare di rivelare la struttura frattale su piccola scala. Se hai la pazienza o hai un computer veloce a portata di mano, esegui un'altra trasformazione di somiglianza e ripeti ancora per un'area ancora più piccola dell'attrattore (vedi Fig. 1.20, 1.22).

Se si dispone di un programma per il calcolo degli esponenti di Lyapunov, è utile tenere presente che il valore dell'esponente di Lyapunov è riportato in letteratura e la dimensione frattale dell'attrattore nella mappa di Hénon è . Variando i parametri aeb, si può provare a determinare l'area di quei valori per i quali esiste l'attrattore e trovare l'area di raddoppio del periodo sul piano (a, b).

B.5. EQUAZIONE DUFFING: ATTRATTORE UEDA

Questo modello di circuito elettrico con induttanza non lineare è stato considerato nel cap. 3. Le equazioni di questo modello, scritte come un sistema di equazioni del primo ordine, hanno la forma

Le oscillazioni caotiche in questo modello sono state studiate in dettaglio da Ueda. Utilizzare alcuni algoritmi di integrazione numerica standard, come lo schema Runge-Kutta quarto ordine e considera il caso. A , dovresti ottenere una traiettoria periodica con periodo 3. (Posizionare la sezione Poincaré a ) In prossimità del valore, una traiettoria con periodo 3 dovrebbe, dopo una biforcazione, trasformarsi in un movimento caotico.

A , la periodicità viene ripristinata nuovamente con un regime caotico transitorio (vedi Fig. 3.13).

Confronta la natura frattale dell'attrattore al diminuire dello smorzamento, assumendo e 0,05. Si noti che a , rimane solo una piccola parte dell'attrattore e a , il movimento diventa periodico.

B.6. EQUAZIONE DI DUFFING CON DUE POZZI POTENZIALI: HOLMES ATTRACTOR

Questo esempio è stato considerato nel nostro libro. Diversi esperimenti numerici meritano di essere ripetuti. Le equazioni adimensionali in questo caso hanno la forma

(Assumendo e introducendo un'ulteriore equazione z = w, possono essere scritti come un sistema autonomo del terzo ordine.) Il fattore 1/2 rende la frequenza naturale delle piccole oscillazioni in ogni pozzetto uguale a uno. Il criterio del caos per un coefficiente di attenuazione fisso e variabili è stato da noi considerato nel Cap. 5. L'area di interesse per la ricerca è . In questa regione dovrebbe esserci una transizione dal regime periodico a quello caotico, finestre periodiche nel regime caotico e uscita dal regime caotico a . Ce n'è anche un altro zona interessante: In tutti gli studi, consigliamo vivamente al lettore di utilizzare la mappatura di Poincaré. Quando si utilizza un personal computer, è possibile ottenere un'elevata velocità di elaborazione delle informazioni attraverso trucchi speciali durante la compilazione di un programma (vedere Fig. 5.3).

Un altro interessante esperimento numerico consiste nel fissare i parametri, ad esempio, per impostare e variare la fase della mappatura di Poincaré, ovvero tracciare i punti su cambiando da 0 a Notare l'inversione della mappatura in È correlato alla simmetria dell'equazione ? (Vedere la figura 4.8.)

B.7. MAPPATURA CUBICA (HOLMES)

Abbiamo illustrato molti concetti della teoria delle oscillazioni caotiche con l'esempio di un attrattore in un modello con due pozzi potenziali. La dinamica di un tale modello è descritta da un ordinario non lineare equazione differenziale secondo ordine (vedi cap.

2 e 3), ma una formula esplicita per la mappa di Poincaré di un tale attrattore è sconosciuta. Holmes ha proposto una mappatura cubica bidimensionale che ha alcune delle proprietà di un oscillatore Duffing con rigidità negativa:

L'attrattore caotico si trova vicino ai valori dei parametri

B.8. DISPLAY A SFERA rimbalzante (DISPLAY STANDARD)

(Vedi l'articolo di Holmes e il libro di Lichtenberg e Lieberman.) Come notato nel cap. 3, la mappa di Poincaré per una palla che rimbalza su un tavolo vibrante può essere scritta esattamente in termini di velocità adimensionale della palla che colpisce il tavolo e la fase del movimento del tavolo.

dove è la perdita di energia durante l'urto.

Caso (caos conservatore). Questo caso è studiato nel libro di Lichtenberg e Lieberman come modello di accelerazione degli elettroni nei campi elettromagnetici. Dopo aver ripetuto la visualizzazione, applicare i punti ottenuti al piano.Per calcolare, utilizzare l'espressione

in una versione migliorata di BASIC. Per ottenere una buona immagine, devi variare le condizioni iniziali. Ad esempio, seleziona e segui alcune centinaia di iterazioni di mappatura a v diverse dall'intervallo -

Troverai casi interessanti con. A , si possono osservare traiettorie chiuse quasi periodiche attorno a punti fissi periodici della mappatura. A , le regioni di caos conservativo dovrebbero apparire vicino ai punti delle separatrici (vedi Fig. 5.21).

Astuccio. Questo caso corrisponde a una mappatura dissipativa, dove l'energia viene persa in ogni collisione tra la palla e il tavolo. Iniziare con . Si noti che sebbene le prime iterazioni sembrino caotiche, come nel caso 1, il movimento diventa periodico. Per ottenere un caos frattale, i valori di K devono essere aumentati a . Uno strano attrattore, che ricorda ancora di più un frattale, si ottiene impostando .

B.9. MAPPARE IL CERCHIO SU SE STESSO: SINCRONIZZAZIONE DEL NUMERO DI ROTAZIONI E ALBERI DELLE FATE

Un punto che si muove lungo la superficie di un toro può fungere da modello matematico astratto della dinamica di due oscillatori accoppiati. Le ampiezze di movimento dell'oscillatore fungono da raggi del toro piccoli e grandi e spesso si presume siano fisse. Le fasi degli oscillatori corrispondono a due angoli che definiscono la posizione di un punto lungo un piccolo cerchio (meridiano) e un grande cerchio (parallelo) sulla superficie del toro. La sezione di Poincaré lungo i cerchietti del toro genera un'equazione differenziale unidimensionale chiamata automappatura del cerchio:

dove è una funzione periodica.

Ogni iterazione di questa mappatura corrisponde alla traiettoria di un oscillatore lungo il cerchio massimo del toro. Un popolare oggetto di studio è la cosiddetta mappatura del cerchio standard (normalizzata in )

I possibili movimenti osservati in questa mappatura sono: modi periodici, quasi periodici e caotici. Per vedere i cicli periodici, traccia i punti su un cerchio con coordinate rettangolari

Quando il parametro è 0, non c'è altro che il numero di rotazioni, il rapporto di due frequenze di oscillatori non correlati.

Quando la visualizzazione può essere periodica e quando - numero irrazionale. In questo caso, si dice che gli oscillatori sono bloccati o che si è verificata la modalità di pull. A , si possono osservare movimenti sincronizzati o periodici in regioni di larghezza finita lungo l'asse O, che, ovviamente, contengono valori irrazionali del parametro . Ad esempio, quando un ciclo con periodo 2 può essere trovato nell'intervallo e un ciclo con periodo 3 può essere trovato nell'intervallo Per trovare questi intervalli calcola il numero di rotazioni W in funzione del parametro a 0 01. Calcoliamo il numero di rotazioni se si scarta l'azione di confronto e si passa al limite

In pratica, per ottenere il numero di rotazioni con sufficiente precisione, devi prendere N > 500. Tracciando W contro , vedrai una serie di altipiani corrispondenti ad aree di sincronizzazione. Per vedere più regioni di sincronizzazione, dovresti selezionare una piccola regione AP e tracciare W per un largo numero punti in questa piccola area.

Ciascun plateau di sincronizzazione sul grafico ) corrisponde a numero razionale- il rapporto tra i cicli di un oscillatore e q cicli di un altro oscillatore. Le relazioni sono ordinate in una sequenza nota come albero delle fate. Se vengono specificate due regioni di sincronizzazione della modalità per i valori dei parametri, allora tra di esse nell'intervallo ci sarà sicuramente un'altra regione di sincronizzazione con il numero di rotazioni

A partire da 0/1 at e 1/1 at , è possibile costruire l'intera sequenza infinita di regioni di sincronizzazione. La maggior parte di loro sono molto stretti.

Si noti che la larghezza di queste regioni tende a zero e diventa maggiore in corrispondenza delle regioni di sincronizzazione nel piano () hanno la forma di lunghe sporgenze e talvolta sono chiamate lingue di Arnold.

B.10. Attrattore di Rössler: reazioni chimiche, approssimazione unidimensionale di sistemi multidimensionali

Ciascuna delle principali aree della fisica classica ha creato il proprio modello di dinamica caotica: idromeccanica - equazioni di Lorentz, meccanica strutturale- Attrattore Duffing-Holmes con due potenziali pozzi, ingegneria elettrica - Attrattore Duffing-Ueda. Un altro modello semplice è emerso nella dinamica delle reazioni chimiche che si verificano in un determinato recipiente con agitazione. Lo ha suggerito Rbssler.