L'idea fondamentale affrontata dal ricercatore di processi e fenomeni socio-economici è la comprensione della natura delle relazioni tra variabili economiche. La domanda emergente di un determinato prodotto sul mercato è considerata in funzione del prezzo, il rendimento delle attività dipende dal grado di rischio dell'investimento, la spesa dei consumatori può essere una funzione del reddito.
In corso analisi statistica e prevedendo i fenomeni socio-economici, è necessario descrivere quantitativamente le relazioni più significative. Per una riflessione affidabile dell'essenza e della natura di fenomeni e processi, dovrebbero essere identificate le relazioni di causa ed effetto. causa caratterizzato da una sequenza temporale di causa ed effetto: la causa precede sempre l'effetto. Tuttavia, per una corretta comprensione, dovrebbero essere escluse coincidenze di eventi che non hanno una relazione causale.
Molti fenomeni socioeconomici sono il risultato di cause che agiscono simultaneamente e cumulativamente. In questi casi, le cause principali sono separate da quelle secondarie, insignificanti.
Ci sono due tipi di fenomeni dipendenze: funzionale, o rigidamente determinato, e statistico, o stocasticamente deterministico. In dipendenza funzionale ogni valore non lo è dipendente la variabile x corrisponde in modo univoco completamente certo valore dipendente variabile y. Questo dipendenza può essere descritto come un'uguaglianza y \u003d f (x) . Un esempio dipendenze ci possono essere leggi della meccanica valide per ogni singola unità della popolazione senza deviazioni casuali.
statistico, o dipendenza stocastica, si manifesta solo nei fenomeni di massa, con grandi numeri unità aggregate. In Stocastico le dipendenze per determinati valori non lo sono dipendente alla variabile x può essere data una serie di valori di y sparsi casualmente nell'intervallo. Ciascun valore fisso dell'argomento corrisponde a una determinata distribuzione statistica dei valori delle funzioni. Ciò è dovuto al fatto che dipendente la variabile, oltre alla variabile distinta x, è influenzata anche da altri fattori non controllati o non contabilizzati, nonché dal fatto che gli errori di misura sono sovrapposti. (2, pag. 12). Poiché i valori dipendente le variabili sono soggette a diffusione casuale, non possono essere previste con sufficiente accuratezza, ma solo indicate con una certa probabilità. Valori apparenti dipendente variabili sono realizzazioni di una variabile casuale.
Unilaterale dipendenza stocastica una variabile casuale da un'altra o diverse altre variabili casuali è considerata una regressione. Una funzione che esprime un senso unidirezionale dipendenza stocastica,è chiamata funzione di regressione o semplicemente regressione.
C'è una differenza tra dipendenza funzionale e regressione. Oltre al fatto che la variabile x dipendenza funzionale^=f(x) determina completamente il valore della funzione^, la funzione è invertibile, cioè esiste funzione inversa x = f(y). La funzione di regressione non ha questa proprietà. Solo nel caso limite quando dipendenza stocastica entra dipendenza funzionale,È possibile passare da un'equazione di regressione all'altra.
La formalizzazione del tipo dell'equazione di regressione è inadeguata ai fini connessi alle misurazioni in economia e all'analisi di determinate forme dipendenze tra variabili. La soluzione di tali problemi diventa possibile come risultato dell'introduzione nelle relazioni economiche Stocastico membro:
Quando si studia dipendenze tenere presente che la funzione di regressione stabilisce solo formalmente una corrispondenza tra variabili, mentre potrebbero non trovarsi in una relazione causale. In questo caso, possono sorgere false regressioni a causa di coincidenze casuali nelle variazioni di variabili che non hanno senso. Pertanto, un passaggio obbligatorio prima di selezionare l'equazione di regressione è un'analisi qualitativa dipendenze tra non dipendente variabile x e dipendente variabile y basata su ipotesi preliminari.

Sia richiesto di indagare la dipendenza ed entrambe le quantità vengono misurate negli stessi esperimenti. A tal fine, una serie di esperimenti significati diversi cercando di mantenere inalterate le altre condizioni dell'esperimento.

La misurazione di ciascuna grandezza contiene errori casuali (qui non verranno presi in considerazione errori sistematici); pertanto, queste quantità sono casuali.

La connessione regolare di variabili casuali è chiamata stocastica. Prenderemo in considerazione due compiti:

a) stabilire se esiste (con una certa probabilità) dipendenza da o se il valore di non dipende da;

b) se esiste dipendenza, descriverla quantitativamente.

Il primo compito è chiamato analisi della varianza e, se viene considerata una funzione di molte variabili, l'analisi multivariata della varianza. Il secondo compito è chiamato analisi di regressione. Se gli errori casuali sono grandi, possono mascherare la dipendenza desiderata e non è facile identificarla.

Pertanto, è sufficiente considerare una variabile casuale dipendente come parametro. L'aspettativa matematica di questo valore dipende da questa dipendenza è quella desiderata ed è chiamata legge di regressione.

Analisi della dispersione. Eseguiamo una piccola serie di misurazioni ad ogni valore e determiniamo.

Nel primo metodo vengono calcolati gli standard di campionamento singola misura per ogni serie separatamente e per l'intera serie di misure:

dove è il numero totale di misurazioni, e

sono i valori medi rispettivamente per ciascuna serie e per l'intero set di misurazioni.

Confrontiamo la varianza dell'insieme delle misure con le varianze delle singole serie. Se risulta che al livello di affidabilità scelto è possibile calcolare per tutti i, allora c'è una dipendenza di z da.

Se non c'è un eccesso significativo, la dipendenza non può essere rilevata (con la data accuratezza dell'esperimento e il metodo di elaborazione accettato).

Le dispersioni vengono confrontate con il test di Fisher (30). Poiché lo standard s è determinato dal numero totale di dimensioni N, che di solito è abbastanza grande, è quasi sempre possibile utilizzare i coefficienti di Fisher riportati nella Tabella 25.

Il secondo metodo di analisi consiste nel confrontare le medie a valori diversi tra loro. I valori sono casuali e indipendenti, con propri standard di campionamento uguali a

Pertanto, sono confrontati secondo lo schema delle misurazioni indipendenti descritto al paragrafo 3. Se le differenze sono significative, cioè superano l'intervallo di confidenza, allora si stabilisce il fatto di dipendenza; se le differenze di tutti e 2 sono insignificanti, la dipendenza non è rilevabile.

L'analisi multivariata presenta alcune particolarità. È consigliabile misurare il valore nei nodi di una griglia rettangolare per rendere più conveniente indagare la dipendenza da un argomento, fissando l'altro argomento. È troppo laborioso eseguire una serie di misurazioni su ciascun nodo di una griglia multidimensionale. È sufficiente effettuare una serie di misure su più nodi della griglia per stimare la varianza di una singola misura; in altri nodi ci si può limitare a singole misurazioni. L'analisi della varianza viene eseguita secondo il primo metodo.

Osservazione 1. Se ci sono molte misurazioni, in entrambi i metodi, le singole misurazioni o serie possono deviare abbastanza fortemente dalle proprie con una probabilità evidente. aspettativa matematica. Questo deve essere preso in considerazione quando si sceglie una probabilità di confidenza sufficientemente vicina a 1 (come è stato fatto nella definizione dei limiti che separano gli errori casuali ammissibili da quelli lordi).

Analisi di regressione. Lascia che l'analisi della varianza indichi che esiste una dipendenza di z da. Come quantificarlo?

Per fare ciò, approssimiamo la dipendenza desiderata da alcune funzioni.Troviamo i valori ottimali dei parametri con il metodo dei minimi quadrati, risolvendo il problema

dove sono i pesi di misura scelti in proporzione inversa al quadrato dell'errore di misura in un dato punto (es. ). Questo problema è stato affrontato nel Capitolo II, § 2. Qui ci soffermiamo solo su quelle caratteristiche che sono causate dalla presenza di grandi errori casuali.

Il tipo viene selezionato o da considerazioni teoriche sulla natura della dipendenza o formalmente, confrontando il grafico con i grafici di funzioni note. Se la formula è selezionata da considerazioni teoriche e correttamente (dal punto di vista teorico) trasmette gli asintotici, di solito consente non solo di approssimare bene l'insieme dei dati sperimentali, ma anche di estrapolare la dipendenza trovata ad altri intervalli di valori Una funzione formalmente selezionata può descrivere in modo soddisfacente l'esperimento, ma raramente è adatta per l'estrapolazione.

È più facile risolvere il problema (34) se polinomio algebrico Tuttavia, una tale scelta formale della funzione è raramente soddisfacente. Di solito le buone formule dipendono dai parametri in modo non lineare (regressione trascendentale). È più conveniente costruire una regressione trascendentale scegliendo un tale cambiamento di equalizzazione delle variabili in modo che la dipendenza sia quasi lineare (vedi Capitolo II, § 1, punto 8). Allora è facile approssimarlo con un polinomio algebrico: .

Si cerca un cambiamento di equalizzazione delle variabili utilizzando considerazioni teoriche e tenendo conto degli asintotici Inoltre, si presume che tale cambiamento sia già stato apportato.

Osservazione 2. Quando si passa a nuove variabili, assume la forma il problema dei minimi quadrati (34).

dove i nuovi pesi sono legati alle relazioni originarie

Pertanto, anche se nell'affermazione originale (34) tutte le misurazioni avevano la stessa accuratezza, i pesi per le variabili di equalizzazione non saranno gli stessi.

Analisi di correlazione. È necessario verificare se il cambio di variabili è stato davvero livellante, cioè se la dipendenza è prossima alla lineare. Questo può essere fatto calcolando il coefficiente di correlazione di coppia

È facile dimostrare che la relazione è sempre valida

Se la dipendenza è strettamente lineare (e non contiene errori casuali), allora o dipende dal segno della pendenza della retta. Più piccolo , meno la dipendenza è simile a lineare. Pertanto, se , e il numero di misurazioni N è sufficientemente grande, le variabili di equalizzazione vengono scelte in modo soddisfacente.

Tali conclusioni sulla natura della dipendenza dai coefficienti di correlazione sono chiamate analisi di correlazione.

L'analisi di correlazione non richiede una serie di misurazioni da effettuare in ogni punto. È sufficiente effettuare una misurazione in ogni punto, ma poi prendere più punti sulla curva in studio, cosa che spesso viene eseguita negli esperimenti fisici.

Osservazione 3. Esistono criteri di vicinanza che consentono di indicare se la dipendenza è praticamente lineare. Non ci soffermiamo su di essi, poiché di seguito verrà considerata la scelta del grado del polinomio approssimante.

Osservazione 4. La relazione indica l'assenza dipendenza lineare ma non significa l'assenza di qualsiasi dipendenza. Quindi, se sul segmento - allora

Grado ottimale del polinomio a. Sostituiamo nel problema (35) un polinomio approssimativo di grado:

Quindi i valori ottimali dei parametri soddisfano il sistema equazioni lineari (2.43):

ed è facile trovarli. Ma come scegliere il grado di un polinomio?

Per rispondere a questa domanda, torniamo alle variabili originali e calcoliamo la varianza della formula di approssimazione con i coefficienti trovati. La stima imparziale di questa varianza è

Ovviamente, all'aumentare del grado del polinomio, la dispersione (40) diminuirà: più coefficienti vengono presi, più accuratamente si possono approssimare i punti sperimentali.

relazione tra variabili casuali, in cui si verifica un cambiamento nella legge di distribuzione di uno di essi sotto l'influenza di un cambiamento nell'altro.

Guarda il valore Dipendenza stocastica in altri dizionari

Dipendenza- schiavitù
sottomissione
subordinazione
Dizionario dei sinonimi

dipendenza J.- 1. Distrazione. sostantivo per valore agg.: dipendente (1). 2. Condizionalità di smth. alcuni circostanze, ragioni, ecc.
Dizionario esplicativo di Efremova

Dipendenza- -E; bene.
1. a Dipendente. Politico, economico, materiale h. Z. da smth. mi opprime, mi opprime. Z. teoria dalla pratica. Vivi nella dipendenza. Fortezza (condizione........
Dizionario esplicativo di Kuznetsov

Dipendenza- - lo stato di un'entità economica in cui la sua esistenza e le sue attività dipendono dal sostegno materiale e finanziario o dall'interazione con altre entità.
Dizionario di diritto

Dipendenza dal pescatore- - dipendenza, stabilendo che la crescita del livello di inflazione attesa tende ad aumentare i tassi di interesse nominali. Nella versione più rigorosa - dipendenza ........
Dizionario di diritto

Dipendenza lineare- - modelli economici e matematici sotto forma di formule, equazioni in cui sono interconnessi grandezze economiche, parametri (argomento e funzione) funzione lineare. Il più semplice........
Dizionario di diritto

Tossicodipendenza- una sindrome osservata nell'abuso di droghe o sostanze e caratterizzata dalla necessità patologica di assumere un farmaco psicotropo per evitare lo sviluppo di ........
Grande dizionario medico

La tossicodipendenza psichica- L. h. senza sintomi di astinenza in caso di interruzione del farmaco.
Grande dizionario medico

tossicodipendenza fisica- L. h. con sintomi da astinenza in caso di interruzione del farmaco o dopo l'introduzione dei suoi antagonisti.
Grande dizionario medico

Dipendenza dalla fortezza- dipendenza personale, fondiaria e amministrativa dei contadini dai proprietari terrieri in Russia (sec. XI - 1861) Legalmente inquadrata in con. XV - XVII secolo legge fortezza.

Dipendenza lineare- una relazione della forma C1u1 + C2u2 + ... + Cnun?0, dove C1, C2, ..., Cn sono numeri, di cui almeno uno? 0 e u1, u2, ..., un - alcuni oggetti matematici, ad esempio. vettori o funzioni.
Grande dizionario enciclopedico

Dipendenza dalla fortezza- - dipendenza personale, fondiaria e amministrativa dei contadini dai signori feudali in Russia nell'XI secolo. -1861 Formalizzato legalmente alla fine dei secoli XV-XVII. legge fortezza.
Dizionario storico

Dipendenza dalla fortezza- dipendenza personale dei contadini in feudo. ob-ve dai feudatari. Vedi servitù.
Enciclopedia storica sovietica

Dipendenza lineare- - vedi l'articolo Indipendenza lineare.
Enciclopedia matematica

Funzione stocastica di Lyapunovè una funzione non negativa V(t, x), per cui la coppia (V(t, X(t)), Ft) è una supermartingale per qualche processo casuale X(t), Ft è la s-algebra degli eventi generato dal processo di flusso Xto........
Enciclopedia matematica

Approssimazione stocasticaè un metodo per risolvere una classe di problemi statistici. valutazione, in cui il nuovo valore della valutazione è una modifica di una valutazione già esistente, sulla base di una nuova osservazione .........
Enciclopedia matematica

Geometria Stocasticaè una disciplina matematica che studia la relazione tra geometria e teoria della probabilità. Quest'anno sviluppato dal classico. geometria integrale e problemi di geometria ........
Enciclopedia matematica

Dipendenza stocastica- (probabilistico, statistico) - la dipendenza tra variabili casuali, che si esprime in un cambiamento nelle distribuzioni condizionali di una qualsiasi delle quantità quando i valori cambiano ........
Enciclopedia matematica

Gioco Stocastico— è un gioco dinamico per il quale la funzione di distribuzione della transizione non dipende dalla preistoria del gioco, cioè S. e. sono stati identificati per la prima volta da L. Shapley, che considerava antagonisti .........
Enciclopedia matematica

Matrice Stocasticaè una matrice quadrata (possibilmente infinita) con elementi non negativi tali che per ogni i. L'insieme di tutte le C. m. dell'ennesimo ordine è uno scafo convesso........
Enciclopedia matematica

Continuità Stocasticaè una proprietà delle funzioni campionarie di un processo casuale. Un processo casuale X(t) definito su un certo insieme chiamato. stocasticamente continuo su questo set se per qualcuno........
Enciclopedia matematica

Indistinguibilità stocasticaè una proprietà di due processi casuali e significa che insieme casualeè trascurabile, cioè la probabilità di un insieme uguale a zero. Se X e Y sono stocastici........
Enciclopedia matematica

Limitazione stocastica— limitatezza nella probabilità — una proprietà di un processo casuale X(t), che è espressa dalla condizione: per un processo arbitrario, esiste C>0 tale che per tutti gli AV Prokhorov.
Enciclopedia matematica

Sequenza stocasticaè una sequenza di variabili casuali data su uno spazio misurabile con una famiglia di -algebre non decrescente distinta su di esso avente la proprietà di consistenza........
Enciclopedia matematica

Convergenza stocasticaè uguale alla convergenza di probabilità.
Enciclopedia matematica

Equivalenza stocasticaè una relazione di equivalenza tra variabili casuali che differiscono solo su un insieme di probabilità zero. Più precisamente, variabili casuali X 1 e X 2. date su uno ........
Enciclopedia matematica

Dipendenza da alcol- L'alcol lo è sostanza narcotica, per una discussione vedi la tossicodipendenza.
Enciclopedia psicologica

Dipendenza allucinogena- Tossicodipendenza, in cui le droghe sono allucinogene.
Enciclopedia psicologica

Dipendenza— (Dipendenza). Una qualità positiva che promuove un sano sviluppo psicologico e la crescita di una persona.
Enciclopedia psicologica

Dipendenza (dipendenza), Tossicodipendenza- (tossicodipendenza) - effetti fisici e/o psicologici derivanti dalla dipendenza da determinate sostanze medicinali; caratterizzato da impulsi compulsivi
Enciclopedia psicologica

Dipendenza empirica stocastica

La dipendenza tra variabili casuali è chiamata dipendenza stocastica. Si manifesta in un cambiamento nella legge di distribuzione di uno di essi (variabile dipendente) quando cambiano gli altri (argomenti).

Dipendenza empirica graficamente stocastica, nel sistema di coordinate variabile dipendente - argomenti, è un insieme di punti distribuiti casualmente, che riflette l'andamento generale del comportamento della variabile dipendente quando gli argomenti cambiano.

Una dipendenza empirica stocastica da un argomento è chiamata dipendenza di coppia, se sono presenti più argomenti: una dipendenza multivariata. Un esempio di dipendenza lineare accoppiata è mostrato in fig. uno.()

Riso. uno.

A differenza della consueta dipendenza funzionale, in cui la variazione del valore di un argomento (o di più argomenti) corrisponde ad una variazione di una variabile dipendente deterministica, in una dipendenza stocastica la distribuzione statistica di una variabile dipendente casuale cambia, in particolare, quella matematica aspettativa.

Problema di modellazione matematica (approssimazioni)

La costruzione di una dipendenza stocastica è altrimenti chiamata modellazione matematica(approssimazione) o approssimazione e consiste nel trovare la sua espressione matematica (formula).

Una formula (funzione) stabilita empiricamente, che riflette una vera dipendenza non sempre nota, ma oggettivamente esistente e corrisponde alla relazione fondamentale, stabile e ricorrente tra oggetti, fenomeni o loro proprietà, è considerata un modello matematico.

La relazione stabile delle cose e la loro vera dipendenza. se è modellato o meno, esiste oggettivamente, ha un'espressione matematica ed è considerato una legge o una sua conseguenza.

Se si conosce una legge adatta o una sua conseguenza, allora è naturale considerarle come la voluta dipendenza analitica. Ad esempio, la dipendenza empirica della forza attuale io nel circuito dalla tensione u e resistenza al carico R segue dalla legge di Ohm:

Sfortunatamente, la vera dipendenza delle variabili nella stragrande maggioranza dei casi è sconosciuta a priori, quindi è necessario rilevarla sulla base di considerazioni generali e concetti teorici, cioè costruendo modello matematico la norma in esame. Ciò tiene conto del fatto che le variabili date e i loro incrementi sullo sfondo di fluttuazioni casuali riflettono le proprietà matematiche della vera dipendenza desiderata (comportamento di tangenti, estremi, radici, asintoti, ecc.)

La funzione di approssimazione scelta in un modo o nell'altro smussa (media) le fluttuazioni casuali dei valori empirici iniziali della variabile dipendente e, sopprimendo così la componente casuale, è un'approssimazione della componente regolare e, quindi, della vera dipendenza desiderata .

Il modello matematico della dipendenza empirica ha un valore teorico e valore pratico:

consente di stabilire l'adeguatezza dei dati sperimentali all'una o all'altra legge nota e di identificare nuovi modelli;

· risolve per la variabile dipendente il problema dell'interpolazione entro un dato intervallo di valori di argomento e della previsione (estrapolazione) al di fuori dell'intervallo.

Tuttavia, nonostante il grande interesse teorico nel trovare una formula matematica per la dipendenza delle quantità, in pratica spesso basta solo determinare se esiste una connessione tra loro e qual è la sua forza.

Il compito dell'analisi di correlazione

Il metodo per studiare la relazione tra quantità variabili è l'analisi di correlazione.

Il concetto chiave dell'analisi di correlazione che descrive la relazione tra le variabili è la correlazione (dall'inglese correlazione - accordo, connessione, relazione, rapporto, interdipendenza).

L'analisi di correlazione viene utilizzata per rilevare una dipendenza stocastica e valutarne la forza (significatività) in base all'entità dei coefficienti di correlazione e del rapporto di correlazione.

Se si trova una relazione tra variabili, allora si dice che c'è una correlazione o che le variabili sono correlate.

Gli indicatori della tenuta della connessione (coefficiente di correlazione, rapporto di correlazione) modulo cambiano da 0 (in assenza di connessione) a 1 (quando la dipendenza stocastica degenera in funzionale).

Una relazione stocastica è considerata significativa (reale) se la stima assoluta del coefficiente di correlazione (rapporto di correlazione) è significativa, cioè supera 2-3 deviazione standard stime dei coefficienti

Si noti che in alcuni casi si può trovare una relazione tra fenomeni che non sono in ovvi rapporti di causa ed effetto.

Ad esempio, per alcune zone rurali, è stata trovata una relazione stocastica diretta tra il numero di cicogne nidificanti e il numero di bambini nati. Il conteggio primaverile delle cicogne ti consente di prevedere quanti bambini nasceranno quest'anno, ma la dipendenza, ovviamente, non dimostra la ben nota convinzione e viene spiegata processi paralleli:

La nascita dei figli è solitamente preceduta dalla formazione e sistemazione di nuove famiglie con l'acquisizione di case rurali e cascine;

· L'aumento delle opportunità di nidificazione attira gli uccelli e aumenta il loro numero.

Tale correlazione tra caratteristiche è chiamata correlazione falsa (immaginaria), sebbene possa essere di importanza pratica.

Istituzione educativa statale federale

istruzione professionale superiore

Accademia del Bilancio e del Tesoro

Ministero delle Finanze della Federazione Russa

ramo di Kaluga

SAGGIO

per disciplina:

Econometria

Argomento: Il metodo econometrico e l'uso delle dipendenze stocastiche in econometria

Facoltà di contabilità

Specialità

contabilità, analisi e revisione

Reparto part-time

consulente scientifico

Shvetsova ST

Kaluga 2007

introduzione

1. Analisi di diversi approcci alla determinazione della probabilità: approccio a priori, approccio a posteriori-frequenza, approccio a posteriori-modello

2. Esempi di dipendenze stocastiche in economia, loro caratteristiche e metodi probabilistici per studiarle

3. Verifica di alcune ipotesi sulle proprietà della distribuzione di probabilità per una componente casuale come una delle fasi della ricerca econometrica

Conclusione

Bibliografia

introduzione

La formazione e lo sviluppo del metodo econometrico è avvenuto sulla base della cosiddetta statistica superiore - sui metodi di regressione di coppia e multipla, di coppia, di correlazione parziale e multipla, di rilevamento delle tendenze e altre componenti delle serie temporali, sulla valutazione statistica . R. Fischer ha scritto: "I metodi statistici sono un elemento essenziale nelle scienze sociali, ed è fondamentalmente con l'aiuto di questi metodi che le dottrine sociali possono elevarsi al livello delle scienze".

Lo scopo di questo saggio era di studiare il metodo econometrico e l'uso delle dipendenze stocastiche in econometria.

Gli obiettivi di questo saggio sono analizzare vari approcci alla determinazione della probabilità, fornire esempi di dipendenze stocastiche nell'economia, identificarne le caratteristiche e fornire metodi probabilistici per studiarle e analizzare le fasi della ricerca econometrica.

1. Analisi dei diversi approcci alla determinazione della probabilità: approccio a priori, approccio a posteriori-frequenza, approccio a posteriori-modello

Per una descrizione completa del meccanismo dell'esperimento casuale in studio non è sufficiente specificare solo lo spazio degli eventi elementari. Ovviamente, oltre a elencare tutti i possibili esiti dell'esperimento casuale in studio, dobbiamo anche sapere con quale frequenza possono verificarsi determinati eventi elementari in una lunga serie di tali esperimenti.

Per costruire (nel caso discreto) una teoria matematica completa e completa di un esperimento casuale - teoria della probabilità - oltre ai concetti originali esperimento casuale, risultato elementare e evento casuale ancora bisogno di fare scorta un presupposto iniziale (assioma), postulando l'esistenza di probabilità di eventi elementari (soddisfacendo una certa normalizzazione), e definizione la probabilità di un evento casuale.

Assioma. Ogni elemento w i dello spazio degli eventi elementari Ω corrisponde a qualche caratteristica numerica non negativa P i probabilità che si verifichi, detta probabilità dell'evento w Io e

P 1 + P 2 + . . . + P n + . . . = ∑ P io = 1 (1.1)

(quindi, in particolare, ne consegue che 0 ≤ R i ≤ 1 per tutti io ).

Determinazione della probabilità di un evento. La probabilità di qualsiasi evento MAè definito come la somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari che compongono l'evento MA, quelli. se usiamo il simbolismo P(A) per denotare "la probabilità di un evento MA» , poi

P(A) = ∑ P( w io } = ∑ P io (1.2)

Da qui e dalla (1.1) segue immediatamente che sempre 0 ≤ P(A) ≤ 1, e la probabilità di un certo evento è uguale a uno, e la probabilità di un evento impossibile è uguale a zero. Tutti gli altri concetti e regole di azione con probabilità ed eventi saranno già derivati ​​dalle quattro definizioni iniziali introdotte sopra (un esperimento casuale, un risultato elementare, un evento casuale e la sua probabilità) e un assioma.

Pertanto, per una descrizione esauriente del meccanismo dell'esperimento casuale in studio (nel caso discreto), è necessario specificare un insieme finito o numerabile di tutti i possibili esiti elementari Ω e di ciascun esito elementare w Assegno alcune caratteristiche numeriche non negative (non superiori a una). P io , interpretata come la probabilità di accadimento del risultato w i (indicheremo questa probabilità con i simboli Р( w i )), e la corrispondenza di tipo stabilita w io ↔ P io deve soddisfare il requisito di normalizzazione (1.1).

Spazio di probabilitàè proprio il concetto che formalizza tale descrizione del meccanismo di un esperimento casuale. Specificare uno spazio di probabilità significa specificare lo spazio degli eventi elementari Ω e definire in esso la suddetta corrispondenza del tipo

w io ↔ P io = P ( w io }. (1.3)

Per determinare dalle condizioni specifiche del problema da risolvere, la probabilità P { w io } singoli eventi elementari viene utilizzato uno dei tre approcci seguenti.

Approccio a priori al calcolo delle probabilità P { w io } consiste in un'analisi teorica e speculativa delle condizioni specifiche di un determinato esperimento casuale (prima dell'esperimento stesso). In un certo numero di situazioni, questa analisi pre-sperimentale permette di sostanziare teoricamente il metodo per determinare le probabilità desiderate. Ad esempio, il caso è possibile quando lo spazio di tutti i possibili risultati elementari è costituito da un numero finito n elementi, e le condizioni per la produzione dell'esperimento casuale in studio sono tali che le probabilità di ciascuno di questi n gli esiti elementari ci sembrano uguali (questa è la situazione in cui ci troviamo quando lanciamo una moneta simmetrica, lanciamo un dado regolare, estraiamo a caso una carta da gioco da un mazzo ben mescolato, ecc.). In virtù dell'assioma (1.1), la probabilità di ogni evento elementare è in questo caso uguale a 1/ n . Ciò consente di ottenere una semplice ricetta per calcolare la probabilità di qualsiasi evento: se l'evento MA contiene n UN eventi elementari, quindi secondo la definizione (1.2)

RA) = n UN / n . (1.2")

Il significato della formula (1.2') è che la probabilità di un evento in questa classe di situazioni può essere definito come il rapporto tra il numero di esiti favorevoli (cioè gli esiti elementari inclusi in questo evento) e il numero di tutti gli esiti possibili (i cosiddetti definizione classica di probabilità). Nell'interpretazione moderna, la formula (1.2') non è una definizione di probabilità: è applicabile solo nel caso particolare in cui tutti gli esiti elementari sono ugualmente probabili.

Frequenza a posteriori approccio al calcolo delle probabilità R (w io } respinge, in sostanza, la definizione di probabilità adottata dal cosiddetto concetto di probabilità di frequenza. Secondo questo concetto, la probabilità P { w io } determinato come limite alla frequenza relativa di occorrenza del risultato w i nel processo di aumento illimitato del numero totale di esperimenti casuali n, cioè.

P io =P( w io ) = lim m n (w io ) / n (1.4)

dove m n (w io) è il numero di esperimenti casuali (sul numero totale n eseguito esperimenti casuali) in cui il verificarsi di un evento elementare w io . Di conseguenza, per una determinazione pratica (approssimativa) delle probabilità P io si propone di prendere le frequenze relative al verificarsi di un evento w i in una serie abbastanza lunga di esperimenti casuali.

Le definizioni sono diverse in questi due concetti. probabilità: secondo il concetto di frequenza, la probabilità non è oggettiva, esistente prima dell'esperienza, proprietà del fenomeno in esame, ma appare solo in connessione con l'esperienza o osservazioni; ciò porta a un misto di caratteristiche probabilistiche teoriche (vere, per il reale complesso di condizioni per l'"esistenza" del fenomeno in esame) e loro analoghi empirici (selettivi).

Un approccio modello a posteriori a stabilire le probabilità P { w io } , corrispondente specificatamente al complesso reale delle condizioni oggetto di studio, è attualmente, forse, la più comune e la più conveniente nella pratica. La logica alla base di questo approccio è la seguente. Da un lato, nell'ambito di un approccio a priori, cioè nell'ambito di un'analisi teorica e speculativa delle possibili opzioni per la specificità di ipotetici complessi reali di condizioni, un insieme di modello probabilistico spazi (binomiale, di Poisson, normale, esponenziale, ecc.). D'altra parte, il ricercatore ha i risultati di un numero limitato di esperimenti casuali. Inoltre, con l'aiuto di speciali tecniche matematiche e statistiche, il ricercatore, per così dire, adatta i modelli ipotetici degli spazi di probabilità ai risultati dell'osservazione che ha e lascia per ulteriore uso solo il modello o quei modelli che non contraddicono questi risultati e in un certo senso corrispondono meglio ad esse.