Gli effetti non lineari possono manifestarsi in molti modi diversi. Un classico esempio è una molla non lineare, in cui la forza di richiamo non dipende linearmente dall'estensione. Nel caso della non linearità simmetrica (stessa risposta sotto compressione e tensione), l'equazione del moto assume la forma

Se non c'è smorzamento e ci sono soluzioni periodiche in cui, per , la frequenza naturale aumenta con l'ampiezza.

Riso. 1.7. La classica curva di risonanza di un oscillatore non lineare con molla rigida nel caso in cui le oscillazioni siano periodiche e abbiano lo stesso periodo della forza motrice (a e sono definite nell'equazione (1.2.4)).

Questo modello è spesso chiamato equazione di Duffing dal matematico che lo ha studiato.

Se una forza periodica agisce sul sistema, allora teoria classica si presume che anche la risposta sarà periodica. La risonanza di una molla non lineare ad una frequenza di risposta coincidente con la frequenza della forza è mostrata in fig. 1.7. Come mostrato in questa figura, per un'ampiezza di forza motrice costante, esiste un intervallo di frequenze di guida in cui sono possibili tre diverse ampiezze di risposta. Si può mostrare che la linea tratteggiata in Fig. 1.7 è instabile e quando la frequenza aumenta e diminuisce, si verifica l'isteresi. Questo fenomeno è chiamato overshoot ed è stato osservato in esperimenti con molti sistemi meccanici ed elettrici.

Esistono altre soluzioni periodiche, come le oscillazioni subarmoniche e superarmoniche. Se la forza motrice ha la forma , le oscillazioni subarmoniche possono avere la forma più armoniche superiori (- intero). Come vedremo di seguito, le subarmoniche suonano ruolo importante in vibrazioni precaotiche.

La teoria della risonanza non lineare si basa sul presupposto che un'azione periodica provoca una risposta periodica. Tuttavia, questo postulato è contestato nuova teoria vibrazioni caotiche.

Le oscillazioni autoeccitate sono un'altra importante classe di fenomeni non lineari. Questi sono movimenti oscillatori che si verificano in sistemi senza influenze esterne periodiche o forze periodiche. Sulla fig. 1.8 mostra alcuni esempi.

Riso. 1.8. Esempi di oscillazioni autoeccitate: a - attrito secco tra la massa e il reo in movimento; b - forze aeroelastiche che agiscono su un'ala sottile; c - resistenza negativa nel circuito con l'elemento attivo.

Nel primo esempio, l'attrito creato da moto relativo massa e nastro mobile. Il secondo esempio illustra un'intera classe di oscillazioni aeroelastiche, in cui le oscillazioni stazionarie sono causate da un flusso di fluido stazionario per solido su una sospensione elastica. Nel classico esempio elettrico mostrato in Fig. 1.9 e studiato da Van der Pol, il circuito include un tubo elettronico.

In tutti questi esempi, il sistema contiene una fonte di energia stazionaria e una fonte di dissipazione, o un meccanismo di smorzamento non lineare. Nel caso dell'oscillatore Van der Pol, la fonte di energia è una tensione costante.

Riso. 1.9. Schema di un circuito di tubi a vuoto oscillante in un ciclo limite dello stesso tipo studiato da van der Pol.

IN modello matematico In questo circuito, la fonte di energia entra sotto forma di una resistenza negativa:

L'energia può entrare nel sistema a piccole ampiezze, ma all'aumentare dell'ampiezza, la sua crescita è limitata dallo smorzamento non lineare.

Nel caso di un pendolo di Froude (vedi, ad esempio, ), l'energia è fornita dalla rotazione stazionaria dell'asse. Per piccole oscillazioni, l'attrito non lineare svolge il ruolo di smorzamento negativo; nel frattempo, per forti oscillazioni, l'ampiezza delle oscillazioni è limitata dal termine non lineare

Movimenti oscillatori tali sistemi sono spesso chiamati cicli limite. Sulla fig. 1.10 mostra le traiettorie dell'oscillatore di Van der Pol sul piano delle fasi. Piccole fluttuazioni ruotano a spirale, avvicinandosi a una traiettoria asintotica chiusa, ei moti di grande ampiezza si contraggono a spirale allo stesso ciclo limite (vedi Fig. 1.10 e 1.11, dove ).

Quando si studiano tali problemi, sorgono spesso due domande. Qual è l'ampiezza e la frequenza delle oscillazioni sul ciclo limite? A quali valori dei parametri ci sono cicli limite stabili?

Riso. 1.10. Soluzione con ciclo limite per l'oscillatore Van der Pol raffigurato sul piano delle fasi.

Riso. 1.11. Oscillazioni di rilassamento dell'oscillatore di Van der Pol.

Nel caso dell'equazione di van der Pol, è conveniente normalizzare la variabile spaziale a e il tempo a , in modo che l'equazione assuma la forma

dove . Per piccoli, il ciclo limite è un cerchio di raggio 2 sul piano delle fasi, cioè

dove sono le armoniche di terzo ordine e superiori. In generale, il moto assume la forma di oscillazioni di rilassamento mostrate nelle Figg. 1.11, con un periodo adimensionale di circa 1.61 at

Il problema con una forza periodica nel sistema di Van der Pol è più complicato:

Poiché questo sistema non è lineare, il principio di sovrapposizione di libero e vibrazioni forzate. Al contrario, il movimento periodico risultante viene catturato alla frequenza di pilotaggio quando quest'ultima è vicina alla frequenza di ciclo limite. Con un'azione esterna debole, ci sono tre soluzioni periodiche, ma solo una di esse è stabile (Fig. 1.12). Per grandi valori dell'ampiezza della forza, esiste una sola soluzione. In ogni caso, con l'aumento della detuning - a fisso, la soluzione periodica catturata risulta essere instabile e diventano possibili altri tipi di movimento.

Riso. 1.12. Curve di ampiezza per il moto forzato dell'oscillatore di Van der Pol (1.2.9).

Con grandi differenze tra le frequenze di guida e naturali nel sistema di Van der Pol, appare un nuovo fenomeno: le oscillazioni combinate, a volte chiamate soluzioni quasi periodiche o quasi periodiche. Le oscillazioni combinate hanno la forma

Quando le frequenze e sono incommensurabili, cioè - numero irrazionale, la soluzione è detta quasi periodica. Per l'equazione di Van der Pol, dove è la frequenza del ciclo limite vibrazioni libere(vedi ad esempio).

Ministero dell'Istruzione della Repubblica di Bielorussia

Istituto d'Istruzione

Brest Università Statale intitolato ad A.S. Puskin

Facoltà di Fisica

Dipartimento di Metodi di Insegnamento della Fisica e OTD

CORSO DI LAVORO

OSCILLAZIONI NON LINEARI E SINCRONIZZAZIONE DELLE OSCILLAZIONI

Realizzato da uno studente del gruppo FI-51

Pashkevich A.Ya.

Consulente scientifico:

cf-m. D., Professore Associato Vorsin N.N.

Brest, 2012

introduzione

1.1 Oscillazioni lineari in presenza di una forza esterna deterministica

2. Vibrazioni libere di sistemi conservativi con forze di ripristino non lineari

2.1 Oscillazioni libere non lineari di sistemi con forza di smorzamento e ripristino non lineare

2.2 tipi diversi caratteristiche0

3. Oscillazioni non smorzate e di rilassamento

3.1 Analisi qualitativa dell'equazione di Van der Pol

3.2 Oscillazioni non lineari accoppiate, ricevitore rigenerativo ad aggancio di fase e principio di sincronizzazione

3.3 Equazioni di base

3.4 Grandi oscillazioni di detuning

3.5 Oscillazioni combinate di ampiezza costante

3.6 Problemi elettrici che portano all'equazione di Hill

Conclusione

Bibliografia

introduzione

Non c'è nulla di sorprendente nel fatto che un fisico dovrebbe essere in grado di trovare una soluzione a problemi non lineari, poiché molti dei fenomeni che si verificano nel mondo che lo circonda sono governati da dipendenze non lineari. Nel corso dello sviluppo delle scienze matematiche, le difficoltà dell'analisi non lineare hanno impedito la formulazione di idee sui moti non lineari che avrebbero consentito una comprensione più profonda di tali fenomeni.

Guardando indietro alla storia dei risultati scientifici, è sorprendente che gli sforzi principali dei ricercatori si siano concentrati solo sullo studio sistemi lineari e in termini lineari. Se allo stesso tempo si lancia uno sguardo al mondo che ci circonda, letteralmente ad ogni passo si incontrano fenomeni di natura non lineare. Le rappresentazioni lineari forniscono solo una comprensione superficiale di gran parte di ciò che si trova in natura. Per rendere l'analisi più realistica, è necessario ottenere di più alto livello e una maggiore facilità nella comprensione e nell'utilizzo delle rappresentazioni non lineari.

Dietro a l'anno scorso furono sviluppati metodi informatici di analisi e in molti casi si riteneva che le soluzioni ottenute potessero dare una migliore comprensione delle manifestazioni di non linearità. In generale, si è scoperto che una semplice enumerazione di soluzioni numeriche porta solo a una comprensione leggermente maggiore dei processi non lineari rispetto, ad esempio, all'osservazione della natura stessa, alle soluzioni di "macinazione" a un problema non lineare così specifico come il tempo atmosferico. Sembra che la nostra comprensione non sia basata su equazioni o loro soluzioni, ma piuttosto su idee fondamentali e ben comprese. Di solito comprendiamo l'ambiente solo quando possiamo descriverlo in termini così semplici da poter essere ben compresi, e così ampi da poter operare con esso senza fare riferimento a una situazione specifica. L'elenco di tali concetti è ampio e comprende, ad esempio, termini come risonanza, isteresi, onde, Risposta, strati limite, turbolenza, onde d'urto, deformazione, fronti meteorologici, immunità, inflazione, depressione, ecc. La maggior parte dei processi più utili sono di natura non lineare e la nostra incapacità di descrivere con un linguaggio matematico preciso fenomeni quotidiani come il flusso di acqua in una grondaia o il vortice di fumo di sigaretta, è in parte dovuto al fatto che prima non eravamo disposti a tuffarci nella matematica non lineare e a capirla.

Il fenomeno della risonanza, come è noto, si verifica spesso nella materia vivente. Dopo Wiener, Szent-Györgyi ha suggerito l'importanza della risonanza nella disposizione dei muscoli. Si scopre che le sostanze con forti proprietà risonanti di solito hanno un'eccezionale capacità di immagazzinare sia energia che informazioni e tale accumulo avviene senza dubbio nel muscolo.

Le oscillazioni non lineari, le oscillazioni non lineari casuali e le oscillazioni non lineari accoppiate (ad aggancio di fase) sono l'essenza dei fenomeni in molte aree della scienza e della tecnologia, come le comunicazioni e l'energia; i processi ritmici hanno luogo nei sistemi biologici e fisiologici. Un biofisico, un meteorologo, un geofisico, un fisico atomico, un sismologo: si occupano tutti di oscillazioni non lineari, spesso sincronizzate in una forma o nell'altra di fase. Ad esempio, un ingegnere energetico si occupa del problema della stabilità delle macchine sincrone, un ingegnere delle comunicazioni si occupa dell'instabilità della selezione o sincronizzazione del tempo, un fisiologo si occupa del clono, un neurologo si occupa dell'atassia, un meteorologo si occupa della frequenza delle oscillazioni pressione atmosferica, un cardiologo - con fluttuazioni causate dal lavoro del cuore, un biologo - con fluttuazioni dovute all'andamento dell'orologio biologico.

L'obiettivo principale della tesi è quello di considerare una serie di problemi nella teoria delle oscillazioni non lineari associati a concetti fondamentali come cattura (o sincronizzazione), tracciamento, demodulazione, sistemi di comunicazione coerenti in fase. Si cercherà di fornire una panoramica di problemi non lineari di interesse pratico, le cui soluzioni sono scritte in una forma accessibile. La rassegna non è esaustiva, ma include esempi di problemi che illustrano i concetti di base necessari per comprendere le proprietà non lineari dei sistemi ad aggancio di fase. La questione dell'esistenza e dell'unicità delle soluzioni viene affrontata solo superficialmente; l'attenzione principale è rivolta alle modalità di ottenimento delle soluzioni.

Il materiale recensito può essere raggruppato in tre temi principali. Il primo argomento include una presentazione dei risultati della teoria delle oscillazioni lineari in sistemi con un grado di libertà e parametri costanti. Questo materiale viene utilizzato come riferimento e per il confronto con i risultati ottenuti dalla teoria delle oscillazioni non lineari. Il secondo argomento è dedicato ai sistemi non lineari facilmente integrabili che non sono influenzati da forze esterne che dipendono dal tempo. Qui, mediante l'apparato del piano delle fasi, vengono studiate in dettaglio le oscillazioni libere di sistemi non lineari. Fornito sommario La teoria di Poincaré sui punti singolari di equazioni differenziali del primo ordine. L'utilità del concetto di punto singolare è illustrata dalla soluzione di una serie di problemi fisici. Infine, il terzo argomento riguarda le oscillazioni forzate e autosufficienti (auto-oscillazioni) e le oscillazioni non lineari di rilassamento. In particolare verrà discussa l'applicazione della teoria di Van der Pol ai problemi di sincronizzazione e tracking e si concluderà il capitolo con una considerazione dell'equazione di Hill.

1. Vibrazioni libere nei sistemi lineari

Sembra prezioso e interessante riassumere le caratteristiche principali delle oscillazioni lineari. Ci sono una serie di ragioni per farlo qui. Uno dei nostri compiti fondamentali è confrontare metodi lineari e non lineari per lo studio delle oscillazioni. Inoltre, la pratica si è sviluppata per applicare, per quanto possibile, la terminologia utilizzata nei problemi lineari e non lineari. Infine, è utile avere un riassunto delle principali idee e formule della teoria lineare per facilità di riferimento.

Forse l'esempio più semplice di un problema di oscillazione lineare è dato da un semplice circuito elettrico costituito da un induttore collegato in serie con una capacità e un resistore (Fig. 1). L'analogo meccanico mostrato in fig. 1 è costituito da un corpo con una massa fissata ad una molla che sviluppa una forza (detta forza di ripristino) proporzionale allo spostamento del corpo. Per questo sistema elettrico, usando la legge di Kirchhoff, abbiamo

Se assumiamo che un corpo in un sistema meccanico si muova in un mezzo che fornisce una resistenza proporzionale alla velocità (attrito viscoso), allora l'equazione del moto per le vibrazioni del sistema meccanico è data dalla relazione

Per analogia, abbiamo quello; ; e, inoltre, la corrente è analoga allo spostamento.

Riso. 1.Impianti elettrici e meccanici lineari

Assumendo per il momento che la forza esterna e introducendo la notazione

riduciamo la (1.2) alla forma

Poiché, le oscillazioni determinate da questo lineare equazione omogenea, sono dette oscillazioni lineari libere. Decisione comune equazione lineare da coefficienti costanti mangiare combinazione lineare due funzioni esponenziali:

dove e sono costanti arbitrarie che sono definite condizioni iniziali, a e sono le radici dell'equazione caratteristica

Così, e sono dati dalle relazioni

Se vogliamo rappresentare la soluzione (1.5) in forma reale, consideriamo tre casi in cui la quantità è: a) reale, b) zero, c) immaginaria. È facile dimostrare che le soluzioni prendono la forma

dove e sono reali; e sono costanti arbitrarie, determinate impostando i valori dello spostamento (corrente) e della velocità in un momento iniziale.

L'equazione (1.8 - a) si verifica in pratica più spesso. È facile vedere dalla (1.3) che questo caso si verifica se il fattore di smorzamento è piccolo rispetto a . L'equazione (1.8 - a) in questo caso descrive un moto oscillatorio tale che ogni due massimi e spostamenti consecutivi soddisfano la relazione

OSCILLAZIONI NON LINEARI

La non linearità dei processi, comprese le oscillazioni, è espressa matematicamente nella non linearità delle corrispondenti equazioni del moto. Dal punto di vista della fisica, la non linearità delle oscillazioni è caratterizzata da due proprietà completamente diverse: anarmonicità e non isocronismo. Sotto anarmonicità comprendere la presenza nello spettro di fluttuazioni di frequenza multiple di quella principale, - Armonica di Fourier, o sfumature. Non isocrono Si chiamano oscillazioni, le cui frequenze (delle armoniche fondamentali e superiori) dipendono dall'ampiezza o energia delle oscillazioni.

Un classico esempio di oscillazioni non lineari è la rivoluzione dei pianeti attorno al Sole, un problema con la cui soluzione è iniziata la meccanica e la fisica moderne. Secondo la terza legge di Keplero, la frequenza di rivoluzione dei pianeti attorno al Sole è data dalla loro energia totale:

w=│ e│ 3/2 .

Il nonisocronismo, in generale, non è correlato all'anarmonicità. Pertanto, una particella carica che si muove lungo un'orbita circolare in un campo magnetico costante a una velocità prossima alla velocità della luce, esegue oscillazioni puramente armoniche e la frequenza della sua circolazione è inversamente proporzionale all'energia.

OSCILLATORE NON LINEARE

Oscillatore lineare (in assenza di smorzamento - armonico): il modello principale della teoria lineare delle oscillazioni. La sua equazione del moto (secondo la seconda legge di Newton):

dove X- il valore le cui fluttuazioni sono descritte dal modello (ampiezza dello spostamento del pendolo, corrente o tensione nel circuito oscillatorio, dimensione della popolazione, ecc.), - la sua "accelerazione".

L'oscillatore non lineare è il modello principale della teoria non lineare delle oscillazioni. La sua equazione del moto è:

dove F(.X) è una funzione non lineare contenente almeno una funzione non lineare (non di primo grado in X) membro. L'energia totale del sistema non dipende dal tempo, cioè dal sistema conservatore.

Le oscillazioni non isocrone vengono eseguite, ad esempio, da una particella in un pozzo potenziale piatto - una scatola con pareti infinitamente alte:

U(x)=0 a - l/ 2<х< l/ 2; u(X)=¥ a X£ - l/ 2, X>l/ 2.

La particella si muove a velocità costante all'interno della scatola, riflettendosi istantaneamente elasticamente ai confini. Suo energia cinetica Ek \u003dmv 2/2, cioè velocità V= Ö (2E a /m) dipende dall'energia Il periodo di oscillazione di una particella è espresso dalla formula

Si può vedere dalla formula (3) che il periodo delle oscillazioni diminuisce all'aumentare dell'energia (per altri sistemi può aumentare).

Legge di conservazione dell'energia e oscillatore (sistema non lineare conservativo) ha la forma

Un quadro qualitativo completo del movimento di un oscillatore non lineare è fornito dal suo ritratto di fase. Dalla legge di conservazione dell'energia si può dedurre

LEONID ISAAKOVICH MANDELSHTAM

Anche un elenco incompleto di scoperte e opere fondamentali l'accademico Leonid Isaakovich Mandelstam (1879-1944) colpisce per la sua diversità: Raman e diffusione della luce di fluttuazione, teoria del microscopio, oscillazioni non lineari e ingegneria radio, teoria della risonanza, geodesia radio, il nuovo tipo generatori di onde elettromagnetiche - macchine parametriche. L'eccezionale, per non dire dolorosa, rigore di L. I. Mandelstam ai risultati del lavoro non ha permesso di includere in questo elenco un certo numero di altri, non meno scoperte importanti, - per esempio, la scoperta sperimentale nel 1912 (diversi anni prima degli esperimenti classici di Stewart e Tolman) dell'inerzia degli elettroni nei metalli.

Ma dietro tutta l'impressionante varietà di risultati e l'ampiezza degli interessi nel lavoro scientifico di Mandelstam, si può vedere chiaramente argomento principale- la teoria delle vibrazioni. Avendo conosciuto quest'area per la prima volta dai due volumi Theory of Sound di Lord Rayleigh, Mandelstam fu imbevuta della bellezza delle sue idee e ricorse ripetutamente all'"aiuto oscillatorio", che permise di trovare analogie tra i risultati di diverse sezioni di fisica.

Mandelstam incarnava felicemente una rara combinazione di teorico e sperimentatore, ricercatore e docente. Ha detto che c'è una comprensione del primo tipo, quando leggono e capiscono tutto ciò che è scritto, possono derivare qualsiasi formula, ma non sono ancora in grado di rispondere indipendentemente a qualsiasi domanda da ciò che leggono, e una comprensione del secondo tipo , quando l'intero quadro è chiaro, l'intera connessione di idee, fenomeni. Un pensatore profondo e sottile, Mandelstam ha raggiunto una comprensione del secondo tipo di tutta la fisica e ha generosamente condiviso le sue conoscenze con numerosi studenti (tra i quali A. A. Andronov, A. A. Witt, G. S. Gorelik, G. S. Landsberg, M. A. Leontovich, VV Migulin, SM Rytov, SP Strelkov, IE Tamm, SE Khaikin, SP Shubin, ecc.) e studenti.

Mandelstam è nato a Mogilev in una famiglia che ha dato al mondo scienziati, medici e scrittori. Presto la famiglia si trasferì a Odessa. Fino all'età di 12 anni, il ragazzo ha studiato a casa, poi in palestra, dove si è laureato con una medaglia d'oro. Nel 1897 entrò nel dipartimento di matematica della Facoltà di Fisica e Matematica dell'Università di Novorossijsk (a Odessa). Due anni dopo, a causa dei disordini studenteschi, il giovane fu espulso dall'università. Su consiglio dei suoi genitori, Mandelstam partì per Strasburgo, uno dei centri ricerca fisica dove ha continuato la sua formazione. Il matematico Heinrich Weber (allievo di Riemann e autore del corso classico " Equazioni differenziali Fisica Matematica”), fisico Ferdinand Braun (direttore part-time dell'Istituto di Fisica), il Dipartimento di Fisica Teorica era diretto da Emil Kohn (autore della nota opera “Electromagnetic Field”).

Lontano da qualsiasi fluttuazione, la forza di ripristino è proporzionale alla deviazione (cioè cambia secondo la legge (- kx)). Si consideri, ad esempio, la molla mostrata nella Figura 2.74. Si compone di diversi piatti. Con piccole deformazioni, si piegano solo le piastre lunghe. Sotto carichi pesanti, anche le piastre più corte (e più rigide) sono soggette a flessione. La forza di ripristino può ora essere descritta come segue:

la modalità batteria passa a aperiodico, quando le oscillazioni scompaiono e il corpo si avvicina lentamente alla posizione di equilibrio (Fig. 2.72, avanti Cristo).

Immettere invece della linea in cui sono posizionati i punti (t, x), linea in cui verranno posizionati i punti ( x,v), e ottenere ritratti di fase di oscillazioni smorzate per diversi attriti. Puoi anche utilizzare uno dei programmi già pronti Phaspdem* o Porta * da quelli disponibili nel pacchetto PAKPRO. Si dovrebbero ottenere diagrammi del tipo mostrato in Figura 2.73.

Affinché ritorni, ad es. F e X sempre avuto segni diversi, dovrebbe essere ampliato in una serie in potenze dispari X. Nella misura in cui energia potenziale u legato alla forza dalla formula F = - dU/dx, significa che

cioè, le oscillazioni si verificano in un pozzo potenziale con pareti più ripide di quelle di una parabola (Fig. 2.75, a). L'attrito delle piastre l'una contro l'altra fornisce lo smorzamento necessario per smorzare le oscillazioni.

Le oscillazioni sono possibili anche in un pozzo asimmetrico, quando

(Fig. 2.75, b). La forza di ripristino sarà uguale a

Quando si risolvono problemi per oscillazioni non lineari, l'uso di un computer è inevitabile, poiché non esistono soluzioni analitiche. Su un computer, la soluzione non è affatto difficile. È necessario solo nella linea in cui viene eseguito l'aumento di velocità (v = v + F At/m), scrivi l'espressione completa per F, per esempio -kh-gh 2 - px 3 .

Esempio. Il programma per disegnare un grafico delle oscillazioni non lineari è fornito nel pacchetto PAKPRO sotto il nome Nlkol. Mettila al lavoro. Dovresti ottenere una serie di curve per diverse deviazioni iniziali. A x 0 maggiore di un certo valore, la particella oscillante esce potenziale buco superamento di una potenziale barriera.

Prova anche i programmi Ncol* e Nlosc.*, disponibile nel pacchetto PAKPRO, nonché programmi che possono essere utilizzati per ottenere ritratti di fase di oscillazioni non lineari: Phaspnl*, Phportnl*.

Si noti che, in senso stretto, quasi tutte le oscillazioni non sono lineari. Solo a piccole ampiezze possono essere considerati lineari (trascurare i termini c x 2 , x 3 , ecc. in formule come (2.117)).

Lascia che l'oscillatore, oltre alla forza di ripristino, che fornisce oscillazioni naturali con una frequenza C00, sia influenzato anche da una forza esterna, che cambia periodicamente con una frequenza co, uguale o non uguale a (Oo. Questa forza farà oscillare il corpo con una frequenza co. Si chiamano le oscillazioni risultanti costretto.

L'equazione del moto in questo caso sarà:

In primo luogo, c'è un processo per stabilire le oscillazioni. Dalla prima spinta, il corpo inizia ad oscillare con una propria frequenza da 0. Poi, gradualmente, le oscillazioni naturali svaniscono e la forza motrice inizia a controllare il processo. Le oscillazioni forzate non sono più impostate con una frequenza (00, ma con una frequenza della forza motrice ω. Il processo transitorio è molto complicato, non esiste una soluzione analitica. Quando si risolve il problema con un metodo numerico, il programma non sarà più complicato rispetto, diciamo, al programma per oscillazioni smorzate.line, dove, in accordo con l'equazione del moto, la velocità viene aumentata, sommare la forza motrice nella forma FobiH = Focos(cot).

Esempio. Il pacchetto PACG1RO contiene un esempio di programma per ottenere un grafico delle oscillazioni forzate sullo schermo di un computer. Vedi anche programmi Ustvcol.pas e UstvcoW.pas. Il risultante grafico x(?) e diagramma di fase v(x) mostrato nella Figura 2.76. Con una corretta selezione dei parametri, si vede chiaramente come si stabiliscano gradualmente le oscillazioni forzate. È anche interessante osservare l'instaurarsi di oscillazioni forzate diagramma di fase(programma Phpforce.pas).

Quando le oscillazioni con frequenza ω sono già state stabilite, possiamo trovare la soluzione dell'equazione (2.118) nella forma

Qui Jo è l'ampiezza delle oscillazioni costanti. Se sostituiamo la (2.119) nella (2.118), avendo precedentemente trovato le derivate temporali X" e X" e dato che a= coo 2 m, allora risulta che (2.119) sarà una soluzione dell'equazione (2.118) a condizione che

L'attrito non è stato preso in considerazione, coefficiente ma assunto pari a zero. Si può notare che l'ampiezza delle oscillazioni aumenta bruscamente man mano che ω si avvicina a C0 (Fig. 2.77). Questo fenomeno si chiama risonanza.

Se davvero non ci fosse attrito, l'ampiezza a co = (Oo sarebbe infinitamente grande. In realtà, questo non accade. La stessa figura 2.77 mostra come la curva di risonanza cambia all'aumentare dell'attrito. Tuttavia, se co e coo coincidono, l'ampiezza può diventare decine e centinaia di volte in più rispetto a F COo. In ingegneria, questo fenomeno è pericoloso, poiché le vibrazioni di guida del motore possono entrare in risonanza con la frequenza naturale di qualsiasi parte della macchina e può collassare.

non lineare gli effetti possono manifestarsi in molti modi diversi. Un classico esempio è una molla non lineare, in cui la forza di richiamo non dipende linearmente dall'estensione. Nel caso della non linearità simmetrica (stessa risposta sotto compressione e tensione), l'equazione del moto assume la forma

Se non c'è smorzamento e , ci sono soluzioni periodiche in cui, per , la frequenza naturale aumenta con l'ampiezza. Questo modello è spesso chiamato equazione Duffing dal nome del matematico che lo studiò (Figura 1.54).

Se una forza periodica agisce sul sistema, nella teoria classica si ritiene che anche la risposta sarà periodica. In figura è mostrata la risonanza di una molla non lineare ad una frequenza di risposta coincidente con la frequenza della forza.

Figura 1.54 - Curva di risonanza classica non lineare oscillatore con molla rigida nel caso in cui le oscillazioni siano periodiche e abbiano lo stesso periodo della forza motrice (a e b sono definite nell'equazione)

Per un'ampiezza di forza motrice costante, esiste una gamma di frequenze di guida in cui sono possibili tre diverse ampiezze di risposta. Si può dimostrare che la linea tratteggiata è instabile e, all'aumentare e diminuire della frequenza, isteresi. Questo fenomeno si chiama Flip, e si osserva in esperimenti con molti sistemi meccanici ed elettrici.

Ci sono altre soluzioni periodiche, come subarmonico e superarmonico fluttuazioni.

Se la forza trainante ha la forma , allora le oscillazioni subarmoniche possono avere la forma più armoniche superiori (-intero).

La teoria della risonanza non lineare si basa sul presupposto che un'azione periodica provoca una risposta periodica. Tuttavia, è proprio questo postulato che viene messo in discussione dalla nuova teoria delle oscillazioni caotiche.

Oscillazioni autoeccitate - un'altra importante classe di fenomeni non lineari. Si tratta di movimenti oscillatori che si verificano in sistemi senza influenze esterne periodiche o forze periodiche (Figura 1.55).

Figura 1.55 - Esempi di oscillazioni autoeccitate: ma - attrito a secco tra la massa e il nastro mobile;

B - forze aeroelastiche che agiscono su un'ala sottile

Nel primo esempio, le vibrazioni sono causate dall'attrito creato dal moto relativo della massa e del nastro in movimento.

Il secondo esempio illustra un'intera classe di oscillazioni aeroelastiche, in cui le oscillazioni stazionarie sono causate da un flusso di fluido stazionario dietro un corpo solido su una sospensione elastica.

In questi esempi, il sistema ha una fonte di energia stazionaria e una fonte di dissipazione, o un meccanismo di smorzamento non lineare. Nel modello matematico di questo circuito, la fonte di energia entra sotto forma di una resistenza negativa (equazione di Van der Pol):

L'energia può entrare nel sistema a piccole ampiezze, ma all'aumentare dell'ampiezza, la sua crescita è limitata dallo smorzamento non lineare.

Quando si analizza l'equazione di van der Pol, è conveniente passare alle variabili adimensionali normalizzando la variabile spaziale a e il tempo a , in modo che l'equazione assuma la forma

,

Quando si risolve un'equazione, viene rappresentata come un sistema di equazioni del primo ordine

I moti oscillatori di tali sistemi sono spesso indicati come cicli limite. La Figura 1.56 mostra le traiettorie dell'oscillatore di Van der Pol sul piano delle fasi. Piccole oscillazioni a spirale, che si avvicinano a una traiettoria asintotica chiusa, e movimenti di grande ampiezza a spirale allo stesso ciclo limite (dove ) .

Figura 1.56 - Soluzione con ciclo limite per l'oscillatore Van der Pol, rappresentato sul piano delle fasi

Quando si studiano tali problemi, sorgono spesso due domande. Qual è l'ampiezza e la frequenza delle oscillazioni sul ciclo limite? A quali valori dei parametri ci sono cicli limite stabili?

Per small , il ciclo limite è un cerchio di raggio 2 sul piano delle fasi, cioè dove + ... denota armoniche di terzo ordine e superiore.

In generale, il movimento prende la forma oscillazioni di rilassamento, mostrato in Figura 1.57 con un periodo adimensionale di circa 1,61 a .

Figura 1.57 Oscillazioni di rilassamento dell'oscillatore di Van der Pol

Il problema con una forza periodica nel sistema di Van der Pol è più complicato:

Poiché il sistema non è lineare, il principio di sovrapposizione delle oscillazioni libere e forzate è inapplicabile. Invece, il moto periodico risultante catturato alla frequenza di guida quando è prossima alla frequenza limite del ciclo.

Con un'azione esterna debole, ci sono tre soluzioni periodiche, ma solo una di esse è stabile (vedi figura). Per grandi valori dell'ampiezza della forza, esiste una sola soluzione. In ogni caso, all'aumentare della detuning, la soluzione periodica catturata risulta essere instabile e diventano possibili altri tipi di movimento.

Con grandi differenze tra le frequenze di guida e naturali nel sistema di van der Pol, appare un nuovo fenomeno: vibrazioni combinate, talvolta dette soluzioni quasi periodiche o quasi periodiche, della forma

Quando le frequenze e sono incommensurabili, cioè un numero irrazionale, si chiama la soluzione quasi periodico. Per l'equazione di Van der Pol , dove è la frequenza del ciclo limite delle oscillazioni libere (Figura 1.58).

Figura 1.58 - Curve di ampiezza per forzato

movimenti dell'oscillatore van der Pol

Di seguito parleremo di più delle oscillazioni quasi periodiche, ma poiché non sono periodiche, possono essere confuse con soluzioni caotiche, che non lo sono. (Per loro, lo spettro di Fourier della soluzione consiste di due picchi a , )

Quando , e sono incommensurabili, il ritratto di fase della soluzione è una traiettoria aperta e un altro metodo viene utilizzato per rappresentare graficamente funzioni quasi periodiche.

Il campionamento stroboscopico viene eseguito ad intervalli; impostare e denotare , .

Quindi il rapporto si riduce a