metoda numerică algebrică liniară
Adesea, atunci când se analizează datele experimentale, devine necesar să se găsească o relație funcțională între valorile lui x și y, care sunt obținute ca urmare a măsurătorilor. Un studiu analitic al relației dintre două mărimi x și y produce un tabel de valori, care poate fi reprezentat și grafic.
Dacă însă se cunoaşte forma funcţiei de aproximare, atunci problema de aproximare se reduce doar la găsirea coeficienţilor (a, b, c,...) incluşi în funcţie. Pentru găsirea acestor coeficienți se utilizează metoda celor mai mici pătrate, care constă în faptul că suma pătratelor distanțelor verticale de la puncte la graficul funcției y=f(x, a, b, c,.. .) este cel mai mic: S = i 2 = min, unde S i = yi - f(xi , a, b, c,...). Pentru aceasta, folosim condiția necesară pentru extremul unei funcții a mai multor variabile i - f(x i , a, b, c,...)) 2: egalitatea la zero a derivatelor parțiale. Rezultatul este un sistem. Astfel, găsirea coeficienților se reduce doar la rezolvarea sistemului:
Regresie liniara
Funcția liniară are forma y = ax + b, prin urmare, se impune găsirea a doi parametri: a și b, cu condiția ca coordonatele a n puncte găsite experimental cu erori aleatoare („zgomot”) să fie date. Pentru a face acest lucru, compunem funcția i - (ax i + b)) 2 , deschidem parantezele i - ax i - b) 2 și compunem sistemul:
Fie A \u003d i, B \u003d i, C \u003d i x i, D \u003d i 2, atunci sistemul va lua forma:
Rezolvăm acest sistem liniar ecuații algebrice Metoda lui Cramer și, astfel, găsim valorile dorite ale parametrilor a și b:
Masa. Sunt puncte:
Folosind metoda de calcul al parametrilor funcție liniară, primim:
a = 0,1215455, b = - 0,2140002
Apropiere, sau apropiere - metodă științifică, constând în înlocuirea unor obiecte cu altele, într-un sens sau altul apropiat de original, dar mai simplu. În sarcinile avute în vedere în aceasta sectiune iar în cele ce urmează se folosesc datele originale obţinute în urma tabulării funcţie dată. Trebuie amintit că în problemele reale, datele inițiale sunt rezultatele observațiilor (efectuarea de experimente, experimente științifice, observarea evenimente reale etc.), care sunt supuse erorilor de măsurare și altor factori aleatori. Sarcina cercetătorului este să selecteze din punctele inițiale (care la prima vedere sunt situate haotic) o dependență funcțională (dacă este posibil) care să descrie cel mai bine distribuția datelor inițiale și, în unele cazuri, să încerce să facă o prognoză. de dezvoltare ulterioară (de exemplu, un studiu al seriei cronologice de modificări ale prețurilor acțiunilor).
Sarcina. Construiți un tabel cu valorile funcției F(x)=ax²+bx+c pentru 11 valorile argumentului Xîn intervalul –1 ≤ x ≤ +1. Trasează această funcție, apoi potrivește cu două tipuri de linii de tendință. Folosind linii de tendință, construiți o prognoză pentru două perioade înainte.
Ca și în sarcinile anterioare, introducem datele inițiale: valoarea inițială a argumentului funcției xn, valoarea finală a argumentului funcției Xk, numărul de puncte de împărțire a funcției (numărul de rânduri din tabel) N, formula pentru pasul argument al funcției dX, coeficienți A, b, c, apoi creăm tabelul principal și construim o diagramă (toate aceste acțiuni au fost descrise în detaliu în secțiune):
Liniile de tendință pe un grafic
Liniile de tendință vă permit să afișați grafic tendințele datelor și să preziceți schimbările viitoare. O astfel de analiză se mai numește și analiză de regresie. Folosind analiza de regresie, puteți extinde o linie de tendință într-un grafic dincolo de datele reale pentru a prezice valori viitoare.
Liniile de tendință pot fi trasate pe toate diagramele 2D(Liniile de tendință nu pot fi adăugate pe diagramele 3D, Radar, Pie, Donut și Bubble.)
Există șase tipuri diferite de linii de tendință:
- Liniar
- Polinom
- logaritmică
- Exponenţial
- Putere
Liniile de tendință adăugate în graficul unei funcții nu afectează în niciun fel datele în sine și diagrama originală.
Formule pentru calcularea liniilor de tendință
Liniar. Folosit pentru potrivirea liniară cu cele mai mici pătrate a datelor conform ecuației:
Unde: m - unghi de înclinare, b - coordonata de intersectie a axei absciselor.
Polinom. Folosit pentru potrivirea polinomială sau curbilinie a datelor cu cel puțin pătrate conform ecuației:
Unde: b , c 1 , c 2 , … de la 6 - constante.
Puteți seta gradul polinomului de la 2 la 6.
logaritmică. Folosit pentru a log-cel mai mic pătrat al datelor conform ecuației:
Unde: c Și b - constante, ln este funcția logaritmului natural.
Exponenţial. Folosit pentru a potrivi exponențial datele folosind metoda celor mai mici pătrate conform ecuației:
Unde: c Și b - constante, e este baza logaritmului natural.
Putere. Folosit pentru o potrivire a celor mai mici pătrate din legea puterii la date conform ecuației:
Unde: c Și b - constante.
Notă. Aproximațiile exponențiale și de putere nu sunt disponibile dacă valorile funcției F(x) conţin valori negative sau zero. În plus, tipurile de aproximare logaritmică și de putere nu sunt disponibile dacă valorile argumentului funcției X conţin valori negative sau zero. Din moment ce în sarcini să munca de laborator se folosește valoarea negativă a limitei inferioare a argumentului xn (x0), nu alegeți tipurile de aproximare logaritmică și de putere!
O medie mobilă este o valoare medie pe o anumită perioadă:
Într-o diagramă, o linie trasată din punctele medii mobile vă permite să construiți o curbă netedă care arată mai clar modelul în dezvoltarea datelor.
Adăugarea unei linii de tendință la seria de date
Selectați diagrama (faceți clic oriunde în diagramă), după care vor apărea trei file suplimentare pe panglica de meniu: Constructor , Aspect Și Format . Pe fila Aspect într-un grup Analiză faceți clic pe butonul .
Dintre diferitele metode de prognoză, este imposibil să nu evidențiem aproximarea. Cu ajutorul acestuia, puteți face calcule aproximative și puteți calcula indicatorii planificați prin înlocuirea obiectelor originale cu altele mai simple. În Excel, există și posibilitatea utilizării acestei metode pentru prognoză și analiză. Să ne uităm la modul în care această metodă poate fi aplicată în programul specificat cu instrumente încorporate.
Denumirea acestei metode provine de la cuvântul latin proxima - „cel mai apropiat”.Este aproximarea prin simplificarea și netezirea indicatorilor cunoscuți, aliniindu-i într-o tendință care stă la baza acesteia. Dar aceasta metoda poate fi folosit nu numai pentru prognoză, ci și pentru studiul rezultatelor existente. La urma urmei, aproximarea este, de fapt, o simplificare a datelor inițiale, iar versiunea simplificată este mai ușor de studiat.
Instrumentul principal cu care se realizează netezirea în Excel este construirea unei linii de tendințe. Concluzia este că, pe baza indicatorilor existenți, se completează graficul funcției pentru perioadele viitoare. Scopul principal al liniei de tendință, după cum ați putea ghici, este realizarea de prognoze sau identificarea unei tendințe generale.
Dar poate fi construit folosind unul dintre cele cinci tipuri de aproximare:
- Liniar;
- exponențial;
- logaritmică;
- polinom;
- Putere.
Să luăm în considerare fiecare dintre opțiuni mai detaliat separat.
Metoda 1: Netezirea liniară
În primul rând, să luăm în considerare cea mai simplă versiune de aproximare, și anume utilizarea unei funcții liniare. Ne vom opri mai detaliat asupra ei, deoarece vom enunța punctele generale caracteristice altor metode, și anume, trasarea și alte câteva nuanțe, asupra cărora nu ne vom opri atunci când luăm în considerare opțiunile ulterioare.
În primul rând, să construim un grafic, pe baza căruia vom efectua procedura de netezire. Pentru a construi un grafic, să luăm un tabel în care costul unei unități de producție produsă de întreprindere și profitul corespunzător într-o perioadă dată sunt indicate lunar. Funcția grafică, pe care o vom construi, va afișa dependența unei creșteri a profitului de o scădere a costului de producție.
Netezirea utilizată în acest caz este descrisă de următoarea formulă:
În cazul nostru particular, formula ia următoarea formă:
y=-0,1156x+72,255
Valoarea fiabilității aproximării este egală cu 0,9418 , care este un rezultat destul de acceptabil care caracterizează netezirea ca fiind fiabilă.
Metoda 2: Aproximarea exponențială
Acum să ne uităm la tipul exponențial de aproximare în Excel.
Forma generală a funcției de netezire este următoarea:
Unde e este baza logaritmului natural.
În cazul nostru particular, formula a luat următoarea formă:
y=6282,7*e^(-0,012*x)
Metoda 3: netezire logaritmică
Acum este rândul să luăm în considerare metoda de aproximare logaritmică.
În general, formula de netezire arată astfel:
Unde ln este logaritmul natural. De aici și numele metodei.
În cazul nostru, formula are următoarea formă:
y=-62,81 ln(x)+404,96
Metoda 4: Netezirea polinomului
A sosit momentul să luăm în considerare metoda de netezire polinomială.
Formula care descrie acest tip de netezire a luat următoarea formă:
y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09
Metoda 5: netezirea puterii
În concluzie, luați în considerare metoda de aproximare a puterii în Excel.
Această metodă este utilizată în mod eficient în cazurile de modificare intensă a datelor funcției. Este important de reținut că această opțiune este aplicabilă numai dacă funcția și argumentul nu iau valori negative sau zero.
Formula generală care descrie această metodă este următoarea:
În cazul nostru particular, arată astfel:
y = 6E+18x^(-6,512)
După cum puteți vedea, atunci când folosim date specifice pe care le-am folosit pentru exemplu, metoda de aproximare polinomială cu un polinom de gradul șase a arătat cel mai înalt nivel de fiabilitate ( 0,9844 ), cel mai scăzut nivel de fiabilitate pentru metoda liniară ( 0,9418 ). Dar asta nu înseamnă deloc că aceeași tendință va fi atunci când se folosesc alte exemple. Nu, nivelul de eficiență al metodelor de mai sus poate varia semnificativ, în funcție de tipul specific de funcție pentru care va fi construită linia de tendință. Prin urmare, dacă metoda aleasă este cea mai eficientă pentru această funcție, asta nu înseamnă deloc că va fi optimă și în altă situație.
Dacă nu puteți determina imediat, pe baza recomandărilor de mai sus, ce tip de aproximare este potrivit special pentru cazul dvs., atunci este logic să încercați toate metodele. După ce ai trasat linia de tendință și ai vizualizat nivelul de încredere, poți alege cea mai bună opțiune.
Departament: ________ Informatica si tehnologia calculatoarelor _______________
LUCRARE DE CURS
prin disciplina _______________ INFORMATICĂ __________________________
(Nume disciplina academica conform curriculum)
SARCINA
elev al grupului IHL-12 Rumyantsev N.A.
(cod grup) (nume complet)
1. Subiectul lucrării: _ Implementarea metodei numerice folosind Microsoft Excel si folosind instrumentele pachetului MathCAD
2. Date inițiale pentru muncă: _Opțiunea nr. 17_________________________________
4. Lista materialului grafic: _ Prezentarea rezultatelor sub formă de formulare de ecran ________________________________ ____________________________________
5. Termenul limită pentru finalizarea lucrărilor: ___ 05/01/2013 ____________________________
Supervizor de lucru: ________ ______________ /_________/
(funcție) (semnătură) (nume complet)
Data emiterii atribuirii: __ 15 februarie 2013 ______________
adnotare
Nota explicativă este un raport privind implementarea lucrărilor de curs. Se ocupă de problemele găsirii formulelor empirice prin metoda celor mai mici pătrate (LSM) folosind capabilitățile pachetului Microsoft Excel și, de asemenea, ia în considerare soluția acestei probleme în pachetul MathCAD. În lucrare se obțin ecuații de diferite tipuri folosind aproximarea dependențelor liniare, pătratice și exponențiale. La finalul lucrării s-a ajuns la concluzia care metodă a rezolvat cel mai bine problema.
Paginile 24, tabelele 3, figurile 14, aplicațiile 0.
Abstract
Nota explicativă reprezintă raportul privind performanța lucrărilor la termen. În ea sunt luate în considerare întrebările privind găsirea formulelor empirice prin metoda celor mai mici pătrate (OLS) prin intermediul posibilităților pachetului Microsoft Excel, precum și decizia problemei date în Turbo Pascal 7.0. În lucru se primesc ecuații de diferite feluri prin intermediul dependențelor de aproximare liniare, pătrate și exponențiale. La terminarea lucrului se trage concluzia, problema este rezolvată prin ce metodă este mai bună.
Paginile 24, tabelele 3, figurile 14, anexele 0.
Adnotare. 2
Introducere. 4
Formularea problemei. cinci
Dependență liniară. 7
Dependență neliniară. 7
Datele inițiale. 10
Calculul aproximărilor în foaia de calcul Excel 11
Construirea graficelor. 17
Funcția LINEST 18
Aproximarea în MathCAD.. 19
Introducere. 19
Aproximație liniarăîn MathCAD.. 21
Aproximarea exponențială în MathCAD.. 22
Polinom (aproximație pătratică în MathCAD.. 23
Referințe.. 24
Introducere
Aproximarea (din latinescul „approximare” – „abordare”) este o metodă științifică, a cărei esență este înlocuirea unor valori cunoscute cu altele, aproximative și mai simple. Aceste valori simple trebuie să satisfacă o anumită dependență, a cărei constatare, în general, este scopul final al acestei metode.
Se știe că dependența funcțională dintre cantități poate fi fie exactă (acest caz este tipic pentru invențiile teoretice) fie aproximativă (ceea ce este mai tipic pentru datele obținute experimental). Această inexactitate, abaterea valorii obținute de la dependența dorită, care este exprimată pe grafic ca o împrăștiere a punctelor la o anumită distanță de curbă (aici mă mai devansez puțin) poate avea mai multe motive:
1. Erori la măsurători directe (instrumentale), erori umane (aici, desigur, nu vorbesc despre erori grosolane care dau abateri semnificative).
2. Imperfecțiunea cunoștințelor umane despre natură - în niciun caz toate conceptele științifice moderne ne permit să calculăm cu exactitate orice valoare pentru cazuri reale - multe dintre ele vizează cazuri ideale.
3. Complexitatea și variabilitatea naturii în sine (în special a vieții). De exemplu, în cazul a cercetare sociologică, nu se impune deloc coincidența exactă a datelor experimentale cu cele teoretice – chiar și o ușoară corelare a rezultatelor experimentale cu regularitățile așteptate poate spune deja multe specialiștilor.
Atunci când alegeți o aproximare, trebuie să pornim de la sarcina specifică a studiului. De obicei, cu cât ecuația utilizată pentru aproximare este mai simplă, cu atât descrierea dependenței obținută este mai aproximativă. Prin urmare, este important să citiți cât de semnificative și ce a cauzat abaterile unor valori specifice de la tendința rezultată. Când se descrie dependența în mod empiric anumite valori se poate obține o precizie mult mai mare folosind o ecuație mai complexă, cu mai mulți parametri. Cu toate acestea, nu are rost să încercăm să transmitem abateri aleatorii ale valorilor în serii specifice de date empirice cu acuratețe maximă. Este mult mai important să se prindă regularitatea generală, care în acest caz este cel mai logic și cu o acuratețe acceptabilă exprimată exact prin ecuația cu doi parametri a funcției de putere. Astfel, atunci când alege o metodă de aproximare, cercetătorul face întotdeauna un compromis: el decide în ce măsură în acest caz este oportun și potrivit să „sacrifice” detaliile și, în consecință, cât de generalizată trebuie exprimată dependența variabilelor comparate. Odată cu identificarea tiparelor mascate de abateri aleatorii ale datelor empirice de la tiparul general, aproximarea permite și rezolvarea multor alte probleme importante: formalizarea dependenței găsite; găsiți valori necunoscute ale variabilei dependente prin interpolare sau, dacă este cazul, extrapolare.
Formularea problemei
1. Folosind metoda celor mai mici pătrate, aproximați funcția dată într-un tabel
a) un polinom de gradul I 
;
b) un polinom de gradul II;
c) dependenţă exponenţială.
2. Calculați coeficientul de determinism pentru fiecare dependență.
3. Calculați coeficientul de corelație (numai în cazul a).
4. Pentru fiecare dependență, construiți o linie de tendință.
5. Folosind funcția LINEST, calculați caracteristicile numerice ale dependenței y din X.
6. Comparați calculele dvs. cu rezultatele obținute folosind funcția LINEST.
7. Faceți o concluzie care dintre formulele obținute aproximează cel mai bine funcția .
8. Procesați datele experimentale date utilizând funcțiile încorporate de interpolare (aproximare) și regresie ale pachetului MathCAD și comparați rezultatele cu rezultatele obținute în Microsoft Excel.
Informatii generale
Într-un studiu experimental dependenta functionala y = f(x) măsoară valoarea lui y la diferite valori ale lui x. Rezultatele sunt prezentate sub forma tabelului 1 sau grafic.
| X | x 1 | x2 | ××× | x n |
| Y | x 1 | Y2 | ××× | y n |
tabelul 1
Sarcina este de a reprezenta analitic dependența funcțională dorită, adică. în selectarea unei formule care descrie rezultatele experimentului. O formulă empirică este de obicei aleasă dintr-o clasă destul de restrânsă de funcții, luând în considerare, de exemplu, un set de funcții liniare, de putere, exponențiale etc. În același timp, ele se ghidează după unele considerații teoretice sau considerații de simplitate în prezentarea materialului empiric. Formula empirică găsită ar trebui să fie astfel încât valorile funcțiilor calculate din ea la X=x i să difere puțin de datele experimentale y i (i = 1, 2, …, n).
Indicați dependența funcțională aleasă
va fi minim. Astfel, parametrii a 1 , a 2 , …, și m sunt determinați cu condiția ca suma abaterilor pătrate ale valorilor măsurate y i de la 
găzduit cea mai mică valoare.
Folosind conditiile necesare extremul unei funcții a mai multor variabile, obținem un sistem normal de determinare a coeficienților a 1 , a 2 , ... și m
unde а1, а2 sunt parametri necunoscuți, iar sistemul (1.3) ia forma
unde a, b sunt constante și x > 0 și y > 0.
Luând logaritmul egalității (1.2.1), obținem
și aplicând formulele (1.1.2), găsim valorile parametrilor b și u, iar apoi valoarea parametrului a.
dependență exponențială
Presupunând v = lny, c = lna, Y = x, obținem o dependență liniară
Tabelul nr. 3.6
Cu cât valoarea Q este mai mică, cu atât formula empirică se potrivește mai bine cu datele experimentale.
În fiecare sarcină, se cere prin metoda celor mai mici pătrate să se găsească dependența funcțională teoretică pentru funcția specificată în tabel. Ca dependență funcțională teoretică, utilizați:
– Polinom de gradul I 
,
- Polinom de gradul II.
Pentru fiecare dependență, găsiți valoarea teoretică a funcției, suma abaterilor pătrate ale valorilor empirice ale funcției de la valorile teoretice, indicați cea mai mică valoare a acestei valori și funcția de aproximare căreia îi corespunde. Construiți o linie de tendință pentru fiecare dependență și afișați ecuația acestei linii pe grafic. Arătaţi pe diagramă valoarea coeficientului de determinism R 2 . Acest coeficient este calculat prin formula
 ,
| (2.1) |
unde sunt valorile date ale funcției,
Valorile teoretice ale funcției,
Media valoare aritmetică, i = 1, 2, …,n.
Dacă coeficientul de determinism este egal cu 1, atunci valorile teoretice și empirice ale funcției coincid complet. Dacă coeficientul
de determinism este 0, atunci dependența teoretică este aleasă fără succes.
Datele inițiale
S-a făcut ceva experiment. Rezultatele sale sunt înregistrate sub forma unui tabel, unde xi este valoarea specificată de cercetător (de exemplu, concentrația de reactivi într-o soluție chimică), yi este valoarea măsurată (în exemplul nostru, aceasta poate fi viteza de reacție ).
| x i | y eu | x i | y eu | x i | y eu | x i | y eu | x i | y eu |
| 0.21 | 1.62 | 4.98 | 40.09 | 7.96 | 63.31 | 12.33 | 97.77 | 17.32 | 126.45 |
| 1.19 | 8.65 | 5.49 | 43.56 | 8.32 | 67.45 | 13.21 | 105.34 | 18.43 | 144.34 |
| 2.43 | 16.76 | 6.07 | 48.45 | 9.43 | 72.87 | 14.72 | 112.56 | 19.38 | 160.45 |
| 3.12 | 24.45 | 6.81 | 52.21 | 10.21 | 81.34 | 15.53 | 121.89 | 20.45 | 161.34 |
| 4.54 | 32.87 | 7.21 | 57.34 | 11.54 | 89.45 | 16.23 | 108.54 | 21.22 | 170.59 |
masa 2
Calculul aproximărilor în foaia de calcul Excel
MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERATIEI RUSE
BUGETUL FEDERAL DE STAT
INSTITUȚIE EDUCAȚIONALĂ
ÎNVĂŢĂMÂNT PROFESIONAL SUPERIOR
„UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT VORONEZH”
(FGBOU VPO „VSTU”, VSTU)
Facultatea de Inginerie Radio și Electronică
departament matematica superioarași modelare fizică și matematică
LUCRARE DE CURS
disciplina: Matematica
Subiect: „Metode pentru aproximarea funcțiilor”
Dezvoltat de un student al grupului KP-121
ESTE. Kononucenko
Şeful Kostryukov S.A.
SARCINA pentru cursuri
Subiect: „Metode pentru aproximarea funcțiilor”.
Student al grupului KP-121 Kononuchenko Ilya Sergeevich
1. Metode de aproximare a funcţiilor.
1.1. Aproximare continuă.
2. Aproximarea punctului.
3. Polinomul de interpolare Lagrange.
4. Polinomul de interpolare al lui Newton.
5. Eroare globală de interpolare.
6. Metoda celor mai mici pătrate.
7. Selectarea formulelor empirice.
8. Interpolare constantă pe bucăți
9. Interpolare liniară pe bucăți.
2. Partea practică.
2.1. Construiți un polinom de interpolare pentru funcția f(x)=lnx- prin noduri x=2; 4; 6; 8; 10; 12. Calculați valoarea aproximativă a logaritmului de 5,75. Obțineți o estimare pentru eroarea termenului rămas.
2.2. Funcția f(x) dată de tabel este aproximată dependență liniară ??(x)=Ax2+Bx+C. Găsiți x pentru care f(x)=10.
1. METODE DE APROXIMAREA FUNCȚIILOR
1.1 Aproximare continuă
1.2 Aproximarea punctului
Polinomul de interpolare 4 Newton
8 Interpolare constantă pe bucăți
9 Interpolare liniară pe bucăți
Partea practică
2.1 Construiți un polinom de interpolare pentru funcția f(x)=lnx-pe nodurile x=2; 4; 6; 8; 10; 12. Calculați valoarea aproximativă a logaritmului de 5,75. Obține o estimare a erorii termenului rămas
2.2 Funcția f(x), dată de tabel, este aproximată printr-o dependență liniară ?(x) \u003d Ax + B, dependență pătratică ?(x)=Ax2+Bx+C. Găsiți x pentru care f(x)=10
Bibliografie
1.METODE DE APROXIMAREA FUNCȚIEI
1.1Aproximare continuă
Dacă funcția originală f(x) este dată de o expresie analitică, atunci când se construiește o funcție de aproximare, este posibil să se solicite abaterea minimă a unei funcții de la alta pe un set continuu de puncte, de exemplu, pe un segment. Acest tip de aproximare se numește continuu sau integral.
Teoretic, pentru cea mai bună aproximare, este recomandabil să se ceară ca în toate punctele unui anumit segment abaterea funcției de aproximare de la funcția f(x) să fie mai mică decât o valoare dată în valoare absolută:
În acest caz, se spune că funcția aproximează uniform funcția f(x) cu precizie e pe interval. Obținerea practică a unei aproximări uniforme prezintă mari dificultăți și, prin urmare, această metodă este utilizată în special în studiile teoretice.
Cea mai des folosită este așa-numita aproximare rădăcină-media pătratică, pentru care cantitatea
Cerând ca derivatele parțiale ale lui M să dispară în raport cu parametrii care determină funcția, se obțin ecuații care fac posibilă găsirea celor mai bune valori ale acestor parametri.
Aproximare cu 2 puncte
O aproximare în care aproximarea este construită pe un anumit set discret de puncte se numește aproximare punctuală.
Pentru a obține o aproximare punctuală rădăcină-medie-pătratică a funcției y=f(x), dată într-un tabel, funcția de aproximare este construită din condiția valorii minime
unde yi sunt valorile funcției f(x) la punctele xi.
Domeniul principal de aplicare a aproximării rădăcină-medie-pătrată este prelucrarea datelor experimentale (construcția de formule empirice).
Un alt tip de aproximare punctuală este interpolarea, în care funcția de aproximare în punctele date xi ia aceleași valori yi ca și funcția f(x), adică. .
Poza 1
În acest caz, proximitatea funcției de interpolare față de funcția dată este aceea că valorile lor coincid cu sistemul de puncte dat.
Pe fig. 1 prezintă graficele calitative ale funcției de interpolare (linie continuă) și rezultatele aproximării rms (linie întreruptă). Punctele marchează valorile tabelare ale funcției f(x).
3 Polinomul de interpolare Lagrange
Lagrange a propus să construiască un polinom de interpolare sub formă de expansiune
unde li(x) sunt funcții de bază.
Pentru ca polinomul să satisfacă condițiile Lagrange, i.e. ar fi interpolante, funcțiile de bază li(x) trebuie să aibă următoarele proprietăți:
) să fie un polinom de gradul n
) satisface condiția
Lagrange a arătat că funcțiile cu aceste proprietăți ar trebui să aibă următoarea formă
Luând în considerare această expresie, polinomul de interpolare Lagrange poate fi scris ca
Spre deosebire de polinomul de interpolare în formă canonică, pentru a calcula valorile polinomului Lagrange, nu este necesară determinarea preliminară a coeficienților polinomului prin rezolvarea unui sistem de ecuații. Cu toate acestea, pentru fiecare valoare a argumentului x, polinomul Lagrange trebuie recalculat din nou, în timp ce coeficienții polinomului canonic sunt calculați o singură dată. De aceea uz practic polinomul Lagrange este justificat numai în cazul în care funcția de interpolare este calculată la un număr relativ mic de puncte x.
Polinomul de interpolare Lagrange se dovedește a fi foarte convenabil pentru calculul aproximativ al anumitor integrale. Dacă, de exemplu, o anumită funcție este înlocuită cu polinomul de interpolare Lagrange, atunci integrala definită a acesteia poate fi calculată după cum urmează
Valorile integralelor lui nu depind de f(x) și pot fi ușor calculate analitic.
1.4 Polinomul de interpolare al lui Newton
Luați în considerare o altă formă de scriere a polinomului de interpolare
Cerința ca valorile polinomului să coincidă cu valorile date ale funcției la punctele nodale Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n conduce la sistem ecuatii lineare cu matrice triunghiulară pentru coeficienți necunoscuți:
care nu este greu de rezolvat.
Polinomul de interpolare se numește polinomul Newton. O caracteristică interesantă a polinomului Newton este că fiecare sumă parțială a primilor săi (m + 1) termeni este un polinom de interpolare de grad m, construit din primele (m + 1) date tabelare.
5 Eroare globală de interpolare
Eroarea de aproximare a funcției f(x) prin interpolare polinom nth gradul Ln(x) într-un punct x este determinat de diferență
Se poate arăta că eroarea Rn(x) este determinată de următoarea expresie
Aici, este derivata (n+1) de ordinul funcției f(x) la un moment dat, iar funcția este definită ca
Dacă valoare maximă derivata f (n+1)(x) este
atunci pentru eroarea de interpolare urmează estimarea
Valoarea specifică a erorii în punctul x depinde în mod evident de valoarea funcției în acest punct. Natura calitativă a dependenței este prezentată în fig. 2.
Figura 2
Datorită comportamentului descris al erorii, interpolarea globală în unele cazuri poate da un rezultat complet nesatisfăcător. Din figură se poate observa că eroarea de interpolare este cu atât mai mare, cu atât punctul x este mai aproape de capetele segmentului. În afara intervalului de interpolare (adică în timpul extrapolării) crește rapid, astfel încât eroarea crește semnificativ.
1.6 Cele mai mici pătrate
Fie ca pentru datele inițiale xi, fi, i=1,…,N (este mai bine să începem numerotarea de la unu), se alege tipul de dependență empirică: y= ?(a0,a1,…,am) cu coeficienți necunoscuți a0,a1,…,am . Să notăm suma abaterilor pătrate dintre cele calculate prin formula empirică și datele experimentale date:
S(a0,a1,…,am)=(?(x1,a0,a1,…,am)-fi)2
Parametrii a0,a1,…,am se vor găsi din condiția minimă pentru funcția S(a0,a1,…,am). Aceasta este metoda celor mai mici pătrate (LSM).
Se știe că, la punctul minim, toate derivatele parțiale ale lui S sunt egale cu zero:
Să luăm în considerare aplicarea LSM pentru un anumit caz utilizat pe scară largă în practică. La fel de funcţie empirică luați în considerare polinomul
?(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm
Formula (1) pentru determinarea sumei abaterilor pătrate va lua forma:
S(a0,a1,…,am)=(a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)
Calculați derivatele
Echivalând aceste expresii la zero și adunând coeficienții pentru necunoscutele a0,a1,…,am , obținem următorul sistem de ecuații liniare
Acest sistem ecuațiile se numesc normal. Rezolvând acest sistem de ecuații liniare, obținem coeficienții.
În cazul unui polinom de ordinul întâi, m=1, i.e. , sistemul de ecuații normale ia forma
Pentru m=2 avem:
De regulă, sunt alese mai multe dependențe empirice. Conform celor mai mici pătrate se găsesc coeficienții acestor dependențe și dintre aceștia cel mai bun se găsește în ceea ce privește cantitatea minimă de abateri.
1.7 Selectarea formulelor empirice
La interpolarea funcțiilor, am folosit condiția de egalitate a valorilor polinomului de interpolare și funcția dată la nodurile de interpolare. Dacă datele inițiale sunt obținute ca urmare a măsurătorilor experimentale, atunci cerința pentru o potrivire exactă nu este necesară, deoarece datele nu sunt obținute exact. În aceste cazuri, se poate cere doar o îndeplinire aproximativă a condițiilor de interpolare. Această condiție înseamnă că funcția de interpolare F(x) nu trece exact prin puncte date, și în unele dintre cartierele lor, de exemplu, așa cum se arată în Fig.
formula de interpolare polinomială de aproximare
Figura 3
Apoi se vorbește despre selecția formulelor empirice. Construcția unei formule empirice constă în două etape de selectare a formei acestei formule care conține parametri necunoscuți a0,a1,…,am și determinarea celor mai buni parametri într-un anumit sens. Forma formulei este uneori cunoscută din considerente fizice (pentru un mediu elastic, relația dintre efort și deformare) sau sunt alese din considerente geometrice: punctele experimentale sunt reprezentate pe un grafic și aproximativ ghicite. forma generala dependenţă prin compararea curbei rezultate cu graficele funcţiilor cunoscute. Succesul aici este determinat în mare măsură de experiența și intuiția cercetătorului.
Pentru practică, este important cazul aproximării unei funcții prin polinoame, adică. F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm .
După alegerea tipului de dependență empirică, se determină gradul de apropiere a datelor empirice folosind suma minimă a abaterilor pătrate ale datelor calculate și experimentale.
1.8 Interpolare constantă pe bucăți
Pe fiecare segment, polinomul de interpolare este egal cu o constantă, și anume, valoarea din stânga sau din dreapta funcției.
Pentru interpolare liniară pe bucăți stânga
F(x)= fi-1 dacă xi-1 ?x Pentru interpolarea liniară pe bucăți drepte F(x)= fi-1 dacă xi-1 Este ușor de observat că sunt îndeplinite condițiile de interpolare. Funcția construită este discontinuă, ceea ce îi limitează aplicarea. Pentru interpolarea liniară pe bucăți din stânga, avem o reprezentare grafică Figura 4 1.9 Interpolare liniară pe bucăți Pe fiecare interval funcția este liniară Fi(x)=kix+li. Valorile coeficienților se regăsesc din îndeplinirea condițiilor de interpolare la capetele segmentului: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi . Obținem sistemul de ecuații: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , din care găsim ki=li= fi- kixi . Prin urmare, funcția F(x) poate fi scrisă ca: F(x)= x+ fi-kixi dacă, i.e. Sau F(x)=ki (x-xi-1)+fi-1, ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1 ? X? xi, i=1,2,...,N-1 Când utilizați interpolarea liniară, mai întâi trebuie să determinați intervalul în care se încadrează valoarea x și apoi să o înlocuiți în formulă. Funcția rezultată va fi continuă, dar derivata va fi discontinuă la fiecare nod de interpolare. Eroarea unei astfel de interpolări va fi mai mică decât în cazul interpolării constante pe bucăți. O ilustrare a interpolării liniare pe bucăți este prezentată în figură Figura 5 2. PARTEA PRACTICĂ 2.1 Construiți un polinom de interpolare pentru funcție f(x)=lnx- prin noduri x=2; 4; 6; 8; 10; 12. Formula de calcul a acestui polinom este următoarea: unde n este numărul de noduri. Să calculăm valorile polinoamelor de bază. Formula pentru calcularea polinoamelor de bază: Să notăm valorile nodurilor funcției: Să calculăm valorile funcțiilor f(x) la nodurile corespunzătoare: f (x0) == .6931471805599453-1.5 = -0.8068528194400547 (x1) = = 1.386294361119891-1.25 = 0,136294361119891 (x2) = = 1.791759469228055-1.1666666666666667 = 0,625092802561388 (x3) = = 2,079441541679835-1.125 = 0,954441541679835 (x4) = = 2.302585092994045 -1,1=1,202585092994045(x5)= =2,484906649788-1,083333333333333=1,401573316454667 Să calculăm valorile polinoamelor de bază corespunzătoare: Scriem formula de calcul a polinomului f(x)=lnx- conform datelor obtinute: L(x)=f(x0) l0(x)+ f(x1) l1(x)+ f(x2) l2(x)+ f(x3) l3(x)+ f(x4) l4(x)+ f(x5) l5(x). Înlocuiți valorile obținute în formula: L(x)=((- 0,8068528194400547) (x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0,136294361119891 5(x-2)(x-6 )( x-8)(x-10)(x-12)- 0,625092802561388 10 (x-2)(x-4)(x-8)(x-10)(x-12)+ 0,954441541679835 10(x-2)(x-4)(x-6)(x-10) (x -12)-1,202585092994045 5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1,401573316454667 (x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+ 032520620421826 x3-0,289410042490318 x2+1,50294940468648 x-2,886362165898854 Figura 6 L(x)= 0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+ 032520620421826x3-0,289410042490318x2+ 50294940468648 x-2,886362165898854 Din figură se poate observa că graficele funcțiilor coincid. Calculăm valoarea aproximativă a logaritmului de 5,75 cu o precizie de 0,001. Să folosim descompunerea Folosind formula Să calculăm valoarea aproximativă a logaritmului: Obținem o estimare pentru eroarea termenului rămas: Formula pentru găsirea restului în alte puncte: Rn(x)=f(x)-Ln(x). Înlocuiți valorile și calculați restul: Rn(x)= -0,234721044665224-(-0,149875603361276)= 0,0122 Pentru eroarea absolută a formulei de interpolare Lagrange, se poate obține următoarea estimare: 0122374?9.9512361 Din estimare rezultă că, alegând un număr suficient de mare de puncte de partiție, se poate obține un rezultat cu precizia necesară. Funcția f(x) dată de tabel este aproximată printr-o dependență liniară ?(x)=Ax+B, dependență pătratică ? (x)=Ax2+Bx+C. x10151720f(x)371117 Soluție: Pentru a rezolva această problemă, folosim metoda celor mai mici pătrate. Sistem de ecuații normale pentru dependența liniară (x)=Ax+B: Având în vedere că n=4: ; Rezolvăm sistemul de ecuații liniare: Prin urmare, dependența liniară va arăta astfel: Considerăm dependența pătratică?(x)=Ax2+Bx+C. Sistemul de ecuații normale are forma: Găsiți sumele nenumărate: Prin urmare, dependența pătratică va arăta astfel: Figura 7 Funcția definită de tabel. Dependență liniară Dependența pătratică Conform graficului, găsim valoarea lui x pentru care f(x)=10. Bibliografie 1. Kirillova S.Yu. Matematică computațională/Kirillova S.Yu. Editura Vladim. stat un-ta, 2009. -102p. 2. Manual de referință privind metodele aproximative de rezolvare a problemelor de matematică superioară / L.I. Borodich, A.I. Gerasimovici, N.P. Keda și alții; ed. L.I. Borodich.- M .: Şcoala superioară, 1986. -189s. 3. Tyukanov, A.S. Fundamentele metodelor numerice: manual. indemnizație pentru studenți. Editura RGPU im. A.I. Herzen, 2007. -226p. Ai nevoie de ajutor pentru a învăța un subiect?
Experții noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe subiecte care vă interesează. Îndrumare
Trimiteți o cerere indicând subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obține o consultație.