Coeficienți polinomi. Matrice Influența coeficienților unui polinom cubic asupra unui grafic

Dacă pentru un polinom gradul al n-lea a găsit o rădăcină, atunci puteți reduce gradul polinomului prin construirea unui polinom de grad care are toate rădăcinile la fel ca rădăcinile polinomului, cu excepția faptului că nu are rădăcină.

Să scriem relația care leagă polinoamele:

Ținând cont de relația 6.3 despre egalitatea a două polinoame de același grad, putem scrie o relație care conectează coeficienții acestor polinoame. Aceste relații nu sunt greu de rezolvat cu privire la coeficienți necunoscuți. Ca rezultat, obținem:

(6.4)

Rețineți că există doar necunoscute, iar ecuațiile pot fi construite -. Dar ultima ecuație este o consecință a celor anterioare și este folosită pentru controlul calculelor.

Puteți aplica același proces unui nou polinom - găsiți-i rădăcina și apoi reduceți gradul polinomului. În realitate, scăderea gradului nu simplifică foarte mult problema găsirii rădăcinilor, de aceea este adesea mai ușor să găsiți rădăcinile polinomului original prin schimbarea aproximații inițialeîntr-un proces iterativ sau prin căutarea diferitelor intervale la care polinomul își schimbă semnul.

Aflarea coeficienților unui polinom după rădăcinile sale

Până acum, am luat în considerare problema găsirii rădăcinilor unui polinom cu coeficienți dați. Uneori trebuie să rezolvați problema inversă - găsiți coeficienții unui polinom dacă rădăcinile sale sunt cunoscute - . Există un număr infinit de polinoame cu aceleași rădăcini. Cu toate acestea, printre ele există un singur polinom cu un coeficient egal cu unu. Acest polinom se numește redus și îl vom construi. Toate celelalte polinoame se obțin din polinomul redus prin înmulțirea tuturor coeficienților cu număr arbitrar, de la care se cere doar ca nu este egal cu zero. Prin urmare, pentru o soluție unică a problemei, este necesar să se stabilească n rădăcini și coeficientul la cel mai înalt termen al polinomului. Apoi putem scrie următoarea egalitate:

Pentru a afla coeficienții polinomului, folosim, ca de obicei, relația 6.3. Dar aplicarea directă este dificilă. Prin urmare, folosim procesul invers procesului de scădere a gradului. Mai întâi, să construim un polinom de gradul întâi, care are o singură rădăcină. Apoi creștem gradul și construim un polinom de gradul doi - , care mai are o rădăcină - . Continuând acest proces, ajungem la polinomul necesar . Când calculăm coeficienții unui nou polinom, vom folosi coeficienții polinomului deja calculat cu un grad mai puțin. Relaţiile rezultate sunt apropiate de cele date pentru cazul scăderii gradului polinomului.

Coeficienții polinomului de gradul I se scriu explicit:

Coeficienți polinomi gradul k se calculează prin coeficienții polinomului de gradul k-1:

Trecând la coeficienți, obținem următoarele ecuații:

(6.5)

În relația 6.5, coeficienții polinomului de grad se notează cu . De fapt, schema este sigură și vă permite să calculați coeficienții în același loc fără a necesita memorie suplimentară. Voi da un algoritm pentru calcularea coeficienților unui polinom după rădăcinile sale sub forma unei scheme apropiate de limbajul C#.

Calculati:

//Calculează coeficienții polinomului de gradul I a= 1; a = -x; //buclă peste numărul de polinoame for(int k=2;k<=n; k++) { //Вычисляем коэффициенты полинома степени k //Вначале старший коэффициент a[k]= a; //затем остальные коэффициенты, кроме последнего for(int i=k-1;i>0; i--) ( a[i] = a- a[i]*x; ) //acum coeficient scăzut a= -a*x; ) //Ultimul pas este înmulțirea coeficienților cu un for(int i=0; i<=n; i++) a[i] = a[i]*an;

polinomul Lagrange

Fie dat un punct pe plan: . Un polinom Lagrange este un polinom de gradul al n-lea care trece prin toate punctele. Dacă punctele nu formează returnări, atunci un astfel de polinom există și este unic. Returul este înțeles ca o situație în care există două puncte și astfel încât .

Cum se construiește un astfel de polinom? Lagrange a propus următorul algoritm. Polinomul este construit ca sumă de polinoame de gradul al n-lea:

Fiecare dintre polinoamele incluse în sumă este construit după cum urmează. Rădăcinile polinomului sunt toate punctele, cu excepția punctului . Unicitatea este asigurată datorită faptului că coeficientul la cel mai mare termen an este ales astfel încât polinomul să treacă prin punctul . În notația Lagrange, polinomul arată astfel.

LAB #7

INTERPOLAREA UNEI FUNCȚII PRIN POLINOMI

LAGRANGE

Sarcina. Calculați valoarea aproximativă a funcției pentru o valoare dată a argumentului x* folosind polinomul de interpolare Lagrange; trasează polinomul Lagrange prin cele șase puncte date.

Scurtă descriere a metodei.

Începem prin a considera problema interpolării în cazul cel mai simplu și mai complet studiat al interpolării prin polinoame algebrice. Pentru un tabel de date dat)

polinom de interpolare daca indeplineste conditiile

Egalitatea (7.2) poate fi scrisă ca un sistem de ecuații

în raport cu coeficienţii polinomului a la. Acest sistem este solubil în mod unic, deoarece sistemul de funcții 1, x, x 2,…x n liniar independent în punctele x 0, x și .x p. Solvabilitatea unică a sistemului (7.3) rezultă din binecunoscutul fapt că determinantul acestui sistem ( determinant Vandermonde)

diferit de zero dacă nodurile de interpolare sunt distincte pe perechi. Astfel, următoarea teoremă este adevărată.

Teorema 7.1.Există un polinom unic de interpolare de grad n care satisface condițiile(7.2).

Cometariu.În practică, sistemul (7.3) nu este niciodată utilizat pentru a calcula coeficienții polinomului de interpolare. Faptul este că este adesea prost condiționat. În plus, există diverse forme explicite convenabile de scriere a polinomului de interpolare, care sunt utilizate în interpolare. În cele din urmă, în majoritatea aplicațiilor polinomului de interpolare, calculul explicit al coeficienților a la nu este nevoie.

Problema de interpolare constă în construirea unei funcții (x) care îndeplinește condiția Cu alte cuvinte, sarcina este de a construi o funcție al cărei grafic trece prin punctele date (xi ,yi) Deoarece funcția (x) trece prin toate punctele date, această metodă este numit interpolare globală. Cel mai simplu și pe deplin investigat caz este interpolarea prin polinoame algebrice. Una dintre formele de scriere a polinomului de interpolare - Polinomul Lagrange:

După cum este ușor de văzut, este un polinom care îndeplinește condițiile

Astfel, polinomul Lagrange este într-adevăr un polinom de interpolare.

În practica ingineriei, cel mai des este folosită interpolarea prin polinoame de gradul I, II și III. Iată formulele corespunzătoare pentru scrierea polinoamelor Lagrange de gradul I și II:

Exemplul 7.1. Să fie dat tabelul cu valorile funcției la=lnx:

X	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
La	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,336472

Pentru un calcul aproximativ al valorii lui ln(1.23), folosim interpolarea liniară și pătratică.

Să luăm x 0 \u003d 1,2 și x 1 \u003d 1,3. Calculul prin formula (7.4) dă valoarea 1n(1.23) 0.206335 .

Pentru a aplica interpolarea pătratică, luați x 0 \u003d 1,1, x 1 \u003d 1,2, x 2 \u003d 1,3 - cele trei cele mai apropiate de punctul x \u003d 1,23

nodul. Calculând prin formula (7.5), avem 1n(1.23) 0.207066.

Să prezentăm fără dovezi cea mai cunoscută teoremă despre eroarea de interpolare.

Teorema 7.1. Lasă funcția f(x) diferentiabil n+1

o dată într-un segment [a, b], conţinând noduri de interpolare Apoi pentru eroarea de interpolare la punct egalitate corectă

in care

- oarecare punct aparținând intervalului (a,b).

Principalul inconvenient în utilizarea acestei teoreme este că punctul este necunoscut. Prin urmare, cel mai adesea nu teorema în sine este folosită, ci corolarul ei.

Consecinţă.O estimare corectă a erorii de interpolare la punctul respectiv , având forma

precum si o estimare a modulului maxim al erorii de interpolare pe segment, care are forma

Exemplul 7.2. Să estimăm eroarea aproximărilor la

ln(1,23) , obținut în Exemplul 7.1 folosind interpolarea prin polinoame de gradul I și II. În aceste cazuri, inegalitatea (7.7) ia forma

Rețineți că pentru noi avem și . Deci aici

Apoi, datorită inegalităților (7.9) și (7.10), obținem următoarele estimări de eroare:

Dacă pe segment , derivata se modifică ușor, apoi mărimea erorii absolute este determinată aproape complet de valoarea funcției . O idee despre comportamentul tipic al acestei funcții poate fi obținută din Fig. 1. Să fim atenți la faptul că atunci când argumentul x depășește segmentul de observație, valoarea devine rapid foarte mare. Acest lucru explică lipsa de încredere a extrapolării funcției pentru valorile argumentelor care sunt departe de segmentul de observație.

Lasă acum și lasă i al-lea pas al tabelului și estimarea ușor grosieră (7.8), putem obține următoarea inegalitate

Ne permite să afirmăm că pentru o funcție suficient de netedă pentru un grad fix al polinomului de interpolare, eroarea de interpolare pe segmentul [x 0 , x n ] tinde spre zero la nu mai puțin de o valoare proporțională cu . Acest fapt este de obicei formulat astfel: interpolare printr-un polinom de grad P are (n+1)-al-lea ordin de precizie în raport cu h max . În special, interpolarea liniară și pătratică sunt de ordinul doi și, respectiv, al treilea de precizie.

Opțiuni	X*	x i	y eu	Opțiuni	X*	x i	y eu
	0,702	0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75	1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973		0,152	0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30	1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
	0,512		0,174
	0,645		0,185
	0,736		0,203
	0,526	0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64	2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310		0,616	0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72	2,57418 2,32513 2,09336 1,?6203 1,74260 1,62098
	0,453		0,478
. 15	0,482		0,665
	0,552		0,537
	0,896	0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99	0.80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368		0,314	0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0.40	9,05421 6,61659 4,69170 3,35106 2,73951 2,36522
	0,812		0,235
	0,774		0,332
	0,915		0,275

Algoritmul programului

Folosiți module crtȘi grafic;

definirea variabilelor;

începutul părții executabile a programului

stabilirea valorilor elementelor matricei x[i] și y[i]; stabilirea valorii argumentului xz; yz = 0; într-un ciclu pentru i de la 0 la 5 fac

| într-o buclă peste ] de la 0 la 5 executați dacă * / apoi |xx =xx (хz - x[j]/(x[i] - x[j]);

| yz=yz+y[i] x x

sfârşitul ciclului i;

afisarea valorilor xzȘi uz;.

așteptând apăsarea tastei Enter;

comutați la modul grafic;

imaginea punctelor date (х i , у i);

imaginea graficului polinomului Lagrange;

așteptând apăsarea oricărei taste la sfârșitul programului.

Instruire. Dacă lucrați în modul grafic, utilizați programele din laboratoarele anterioare.

întrebări de testare

1. Care este sarcina interpolării?

2. Ce polinom se numește polinom de interpolare?

3. Care este diferența dintre interpolarea globală și cea locală?

4. Cum depinde gradul polinomului de interpolare Lagrange de numărul de noduri?

5. Câte polinoame există care satisfac condiția de interpolare?

6. Care sunt dezavantajele polinomului de interpolare Lagrange?

7. Cum se estimează eroarea de interpolare?

8. Cum se modifică precizia interpolării în funcție de distanța de la segmentul de observație și de ce?

Raportul trebuie să conțină datele inițiale, enunțul problemei, informații despre metoda de rezolvare, textul programului, rezultatele obținute și graficul.

Potriviți curbe și suprafețe la date folosind regresie, interpolare și netezire

Curve Fitting Toolbox™ oferă o aplicație și funcții pentru potrivirea curbelor și suprafețelor la date. Cutia de instrumente vă permite să efectuați o analiză exploratorie a datelor, să preprocesați și să postprocesați date, să comparați modele candidate și să eliminați valorile aberante. Puteți rula o analiză de regresie folosind o bibliotecă de modele liniare și neliniare furnizată sau vă puteți defini propriile ecuații. Biblioteca oferă parametri optimizați de soluție și condiții de pornire pentru a îmbunătăți calitatea potrivirilor dvs. Setul de instrumente acceptă, de asemenea, tehnici de modelare non-parametrică, cum ar fi spline, interpolare și netezire.

Odată ce o potrivire a fost creată, o varietate de tehnici de post-procesare pot fi aplicate pentru reprezentare, interpolare și extrapolare; estimarea intervalelor de încredere; și calcularea integralelor și derivatelor.

Începutul lucrării

Aflați elementele de bază ale casetei de instrumente pentru ajustarea curbei

Regresia liniară și neliniară

Potriviți curbe sau suprafețe cu modele de bibliotecă liniare și neliniare și modele personalizate

Interpolare

Potriviți curbe sau suprafețe de interpolare, estimați valori între punctele de date cunoscute

Netezire

Utilizarea adecvată a intervalelor de netezire și regresie localizată, date netezite cu medie mobilă și alte filtre

Post-procesare adecvată

Grafic, valori aberante, reziduuri, intervale de încredere, date de validare, integrale și derivate, generează codul MATLAB®

Spline

Creați spline cu sau fără date; ppform, B-form, produs tensor, rațional și stform spline de plăci subțiri

Coeficienți polinomi

Cote multinomiale sunt coeficienții de expansiune în termeni de monomii :

Valoarea coeficientului multinomial definit pentru toate numerele întregi nenegative n si astfel incat:

Coeficient binomial pentru nenegativ n,k este un caz special al coeficientului multinomial (pentru m= 2 ), și anume

În sens combinatoriu, coeficientul multinomial este egal cu numărul de partiții ordonate n-element activat m subseturi de putere.

Proprietăți

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce sunt „Coeficienții polinomi” în alte dicționare:

- (din limba engleză spline, din spline un model flexibil, o bandă de metal folosită pentru a desena linii curbe) o funcție al cărei domeniu de definiție este împărțit într-un număr finit de segmente, pe fiecare dintre acestea spline-ul coincide cu niște... ... Wikipedia

Coeficienți multinomiali (polinomiali) Coeficienți în expansiunea monomială: Formulă explicită Valoarea coeficientului multinomial ... Wikipedia

„Polinom” redirecționează aici; vezi și alte sensuri. Un polinom (sau polinom) în n variabile este o sumă formală finită de forma în care există un set de numere întregi nenegative (numite multi-index), numărul ... ... Wikipedia

În matematică, polinoamele sau polinoamele dintr-o variabilă sunt funcții de forma în care ci sunt coeficienți fiși și x este o variabilă. Polinoamele constituie una dintre cele mai importante clase de funcții elementare. Studiul ecuațiilor polinomiale și soluțiile lor ... ... Wikipedia

Un tabel dreptunghiular format din t rânduri și n coloane, ale cărui elemente aparțin unei mulțimi K. Se numește tabelul (1). de asemenea, o matrice peste K, sau o matrice de dimensiune peste K. Fie colecția tuturor matricelor peste K. Dacă m = n, atunci (1) se numește pătrat ...... Enciclopedie matematică

Se observă că, în cazul în care caracteristica unui element neliniar este aproximată printr-o expresie care conține mai mult de trei puncte, este recomandabil să alegeți valoarea funcției la valori egal distanțate ale argumentului. În plus, dacă numărul de puncte date depășește numărul de coeficienți de aproximare de determinat, se recomandă utilizarea „metodei celor mai mici pătrate”, în care eroarea pătratică medie este minimă, adică. cu această metodă, suma abaterilor pătrate ale unui polinom de un grad dat de la curbă este cea mai mică.

În conformitate cu aceasta, în ciuda programelor de calculator existente, este recomandabil să se dea o scurtă rețetă pentru utilizarea acestei metode, care să permită elevului să înțeleagă esența matematică a metodei și, folosind microcalculatoare simple, să efectueze orice aproximare într-un mod optim scurt. timp.

Se observă că este cel mai rațional să se calculeze coeficienții unui polinom prin metoda celor mai mici pătrate folosind cei introduși de Yu.B. Kobzarev de polinoame ortogonale pentru un număr dat N de puncte egal distanțate.

Se notează prin polinomul de grad l. Atunci sistemul de polinoame va fi ortogonal pentru un număr dat de puncte, dacă există
egalitate

. (16)

Folosind binecunoscutele polinoame ortogonale Chebyshev conform metodei lui Yu.B. Kobzarev a găsit toate cele șapte polinoame care formează un astfel de sistem pe segment
pentru N=11 puncte echidistante, i.e. la
; –0,8; … 0 … 0,8; 1.0 avem:

(17)

Sistemul (17) de polinoame ortogonale are proprietatea remarcabilă că expansiunea oricărei funcții date în termenii acestora oferă cea mai bună aproximare în sensul celor mai mici pătrate. Prin urmare, în loc de, de exemplu, expresia (18) pentru coeficientul de transfer de tensiune
cu coeficienți necunoscuți, poate fi scris ca o sumă (19) a polinoamelor de mai sus:

(18)

. (19)

Aici R este gradul polinomului; R este un număr întreg egal cu numărul termenului; este un coeficient având dimensiunea
, care poate fi numită abruptul ordinului R, adică există o abruptă de ordin zero, - prima comandă etc.

Valoarea inclusă aici X proporțională cu tensiunea
, numărat de la mijlocul secțiunii de aproximare
, adică când se schimbă
în
,X variază de la -1 la 1, deci

. (20)

Pentru a determina coeficientul
în (19) înmulțim ambele părți ale egalității cu polinom
și însumează toate punctele . Apoi, folosind proprietatea de ortogonalitate (16), găsim

. (21)

, (22)

Unde
este polinomul normalizat

. (23)

Deoarece nodul zero corespunde capătului din stânga secțiunii de aproximare, i.e.
, atunci suma (22) poate fi împărțită convenabil în sume, unde X<0 и X>0, deoarece polinoamele pare ( R= 0, 2, 4, 6) nu diferă în aceste zone și impar ( R=1, 3, 5, 7) diferă doar prin semne. În acest sens, este recomandabil să introduceți un ciudat
și chiar
componente de câștig LA:

(24)

Unde
- schimbarea pasului X(în cazul nostru cu N=11
);

- valoarea câștigului în puncte
.

Acum, în loc de sume peste valori pozitive și negative este posibil să se ia sume numai peste cele pozitive folosind componentele pare și impare ale câștigului. Apoi

(25)

Rezumat în tabel. 1 valori ale coeficientului de polinoame normalizate
iar folosindu-le, este ușor să găsiți coeficienții
conform formulelor (25), apoi în (19) grupează termenii după puteri X si se trece la reprezentarea castigului sub forma unui polinom in puteri
. Coeficienții acestui polinom vor fi aleși în cel mai bun mod în sensul celor mai mici pătrate, în care curba experimentală
se va contopi practic cu curba teoretică
.

Vom lua în considerare calculul coeficienților polinomului utilizat în analiza armonică pentru a determina coeficienții și parametrii neliniarității și, în cele din urmă, pentru a selecta modul optim al dispozitivului de amplificare folosind un exemplu specific.

tabelul 1