Exemple de lege a conservării impulsului. Cantitatea de mișcare a sistemului corpului

Curs 5. Momentul sistemului (momentum of the system).

Această prelegere acoperă următoarele întrebări:

1. Momentul sistemului (impulsul sistemului).

2. Teorema privind modificarea impulsului (momentum-ului).

3. Legea conservării impulsului (momentum).

4. Punctul principal cantitățile de mișcare (momentum) ale sistemului.

5. Teorema momentelor.

6. Legea conservării momentului principal al mărimilor de mișcare (momentum).

Studiul acestor probleme este necesar pentru dinamică mișcare oscilatorie sistem mecanic, pentru rezolvarea problemelor la disciplinele „Teoria mașinilor și mecanismelor” și „Piese de mașini”.

În prelegerile anterioare, metode de determinare a mișcării sistem material, care s-au redus la formularea de ecuații diferențiale, de regulă, de ordinul doi. Iar soluția lor nu a fost întotdeauna ușoară.

Dacă introducem noi concepte generalizate care caracterizează proprietățile și mișcarea sistemului în ansamblu, atunci aceste dificultăți pot fi adesea ocolite. Acestea includ conceptele de centru de masă și energie kinetică, care ne sunt deja familiare, conceptele de impuls al unui sistem material și momentul de impuls.

Teoremele care determină modificarea acestor caracteristici fac posibilă obținerea unei imagini mai complete a mișcării unui sistem material.

Momentul sistemului (momentum of the system).

Momentum (impulsul corpului) este o mărime fizică vectorială egală cu produsul dintre masa corporală și viteza acesteia:

Momentul (impulsul) este una dintre caracteristicile fundamentale ale mișcării unui corp sau a unui sistem de corpuri.

Scriem a doua lege a lui Newton într-o formă diferită, ținând cont de faptul că accelerația Atunci prin urmare

Produsul forței și timpul acțiunii sale este egal cu creșterea impulsului corpului (Fig. 1):

Unde este impulsul forței, care arată că rezultatul acțiunii forței depinde nu numai de valoarea acesteia, ci și de durata acțiunii sale.

Fig.1

Cantitatea de mișcare a sistemului (impulsul) este mărimea vectorială , egal cu suma geometrică (vectorul principal) a cantităților de mișcare (impulsuri) tuturor punctelor sistemului (fig.2):

Din desen se poate observa că, indiferent de vitezele punctelor sistemului (cu excepția cazului în care aceste viteze sunt paralele), vectorul poate lua orice valoare și chiar se dovedește a fi egal cu zero atunci când poligonul construit din vectorii se închid. În consecință, este imposibil să se judece pe deplin natura mișcării sistemului după mărimea sa.

Fig.2

Să găsim o formulă cu ajutorul căreia este mult mai ușor să calculăm valoarea, precum și să înțelegem sensul acesteia.

Din egalitate

urmează că

Luând derivata în timp a ambelor părți, obținem

De aici aflăm că

acestea. cantitatea de mișcare (impulsul) sistemului este egală cu produsul dintre masa întregului sistem și viteza centrului său de masă . Acest rezultat este deosebit de convenabil de utilizat atunci când se calculează impulsul corpurilor rigide.

Din formula se poate observa că dacă corpul (sau sistemul) se mișcă în așa fel încât centrul de masă rămâne staționar, atunci impulsul corpului este zero. De exemplu, impulsul unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de masă va fi zero.

Dacă mișcarea corpului este complexă, atunci valoarea nu va caracteriza partea de rotație a mișcării în jurul centrului de masă. De exemplu, pentru o roată care rulează, indiferent de modul în care roata se rotește în jurul centrului său de masă Cu.

Prin urmare, cantitatea de mișcare caracterizează numai mișcare înainte sisteme. În cazul mișcării complexe, valoarea caracterizează doar partea de translație a mișcării sistemului împreună cu centrul de masă.

Teorema privind modificarea impulsului (momentum).

Luați în considerare un sistem format din P puncte materiale. Compune pentru acest sistem ecuatii diferentiale mișcări și adăugați-le termen cu termen. Atunci obținem:

Ultima sumă pe proprietate forțe interne este egal cu zero. În afară de,

In sfarsit gasim:

Ecuația exprimă teorema privind modificarea impulsului (momentul) sistemului în formă diferențială: derivata în timp a cantității de mișcare (impuls) a sistemului este egală cu suma geometrică toate forțele externe care acționează asupra sistemului .

Să găsim o altă expresie a teoremei. Fie în momentul t=0 impulsul sistemului este egal cu , iar momentan devine egal cu . Apoi, înmulțind ambele părți ale egalității cu dtși integrând, obținem:

întrucât integralele din dreapta dau impulsurile forţelor externe.

Ecuația exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea cantității de mișcare a sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp.

În proiecțiile pe axele de coordonate, vom avea:

Să subliniem legătura dintre teorema demonstrată și teorema asupra mișcării centrului de masă. De atunci, substituind această valoare în egalitate și ținând cont de faptul că , obținem .

Prin urmare, teorema privind mișcarea centrului de masă și teorema privind modificarea impulsului sistemului sunt, în esență, două forme diferite aceeași teoremă. Când studiezi mișcarea corp solid(sau sisteme de corpuri), se poate folosi în egală măsură oricare dintre aceste forme.

Valoarea practică a teoremei constă în faptul că ea ne permite să excludem din considerare forțele interne necunoscute anterior (de exemplu, forțele de presiune una asupra altora ale particulelor lichide).

Legea conservării impulsului (legea conservării impulsului).

Din teorema privind modificarea impulsului sistemului se pot obține următoarele consecințe importante:

1) Fie ca suma tuturor forțelor externe care acționează asupra unui sistem închis este zero:

Apoi din ecuație rezultă că Q= =const. Prin urmare, dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra unui sistem închis este egală cu zero, atunci vectorul impulsului (momentul) sistemului va fi constant în mărime și direcție.

2) Fie ca forțele externe care acționează asupra sistemului să fie astfel încât suma proiecțiilor lor pe o anumită axă (de exemplu Bou) este egal cu zero:

Apoi din ecuație rezultă că în acest caz Q x =const. Prin urmare, dacă suma proiecțiilor tuturor forțelor externe care acționează pe o axă este egală cu zero, atunci proiecția impulsului (momentul) sistemului pe această axă este o valoare constantă.

Aceste rezultate exprimă legea conservării impulsului sistemului: pentru orice natură a interacțiunii corpurilor care formează un sistem închis, vectorul impulsului total al acestui sistem rămâne constant tot timpul.

Din ele rezultă că forțele interne nu pot schimba impulsul total al sistemului.

Legea conservării impulsului total al unui sistem izolat este o lege universală a naturii. Mai general, atunci când sistemul este deschis, rezultă că impulsul total al sistemului deschis nu rămâne constant. Modificarea sa pe unitatea de timp este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe.

Să ne uităm la câteva exemple:

a) Fenomenul de dăruire sau de retrocedare. Dacă luăm în considerare o pușcă și un glonț ca un sistem, atunci presiunea gazelor pulbere atunci când sunt trase va fi o forță internă. Această forță nu poate schimba impulsul total al sistemului. Dar, deoarece gazele propulsoare, care acționează asupra glonțului, îi conferă o anumită mișcare îndreptată înainte, ele trebuie să ofere simultan puștii aceeași mișcare în direcție inversă. Acest lucru va face ca pușca să se miște înapoi, de exemplu. așa-numita întoarcere. Un fenomen similar are loc la tragerea dintr-o armă (rollback).

b) Funcționarea elicei (elicei). Elicea informează o anumită masă de aer (sau apă) de mișcare de-a lungul axei elicei, aruncând această masă înapoi. Dacă considerăm masa ejectată și aeronava (sau nava) ca un singur sistem, atunci forțele de interacțiune ale elicei și ale mediului ca fiind interne nu pot schimba impulsul total al acestui sistem. Prin urmare, atunci când o masă de aer (apă) este aruncată înapoi, aeronava (sau nava) primește viteza de înaintare corespunzătoare, astfel încât impulsul total al sistemului în cauză rămâne egal cu zero, deoarece era zero înainte de începerea mișcării. .

Un efect similar se obține prin acțiunea vâslelor sau a roților cu zbaturi.

în) Propulsie cu reacție. Într-un proiectil de rachetă (rachetă), produsele gazoase ale arderii combustibilului sunt ejectate cu viteză mare dintr-o gaură din coada rachetei (din duza unui motor cu reacție). Forțele de presiune care acționează în acest caz vor fi forțe interne și nu pot schimba impulsul total al sistemului de rachete - produse de ardere a combustibilului. Dar, deoarece gazele care scapă au o anumită mișcare îndreptată înapoi, racheta primește o viteză de înainte corespunzătoare.

Exemplul 1 Pe șine se află o platformă cu masa m 1 =10 tone Pe platformă se fixează un pistol cu masa m 2 = 5 tone, de pe care se trage un foc de-a lungul șinelor. Greutatea proiectilului m 3 =100 kg; viteza sa initiala fata de pistol v 0 =500 m/s. Găsiți viteza platformei în primul moment după împușcare, dacă: 1) platforma era staționară ( v= 0); 2) platforma se deplasa cu o viteză v= 18 km/h, iar focul a fost tras în sensul deplasării acestuia; 3) platforma se deplasa cu o viteză v= 18 km/h, iar focul a fost tras în direcția opusă direcției de mișcare.

Decizie. Pentru a rezolva problema, folosim legea conservării impulsului, care afirmă că impulsul unui sistem închis rămâne constant.

Să notăm impulsul sistemului, constând dintr-un pistol, un pistol și un proiectil, înainte de împușcătură () și după acesta (), în urma căruia acest impuls se schimbă. Reamintim că impulsul total al sistemului este suma vectorială a momentelor corpurilor incluse în sistem.

1) Impulsul sistemului înainte de împușcare

deoarece la început, platforma cu unealta sprijinită ( v=0).

După lovitură, impulsul sistemului

Prin urmare, conform legii conservării impulsului,

Proiectăm această ecuație pe axa aleasă X(fig.3):

Fig.3

Să fim atenți la următorul fapt. Din experiență, știm că, în urma unei împușcături, platforma cu pistolul se va rostogoli înapoi în direcția opusă împușcării, așa că atunci când proiectăm, putem lua imediat în considerare acest lucru punând un semn minus în fața vitezei. u platforme. Atunci vom primi

În unele cazuri, când nu este clar în prealabil în ce direcție se va mișca obiectul, presupunem că viteza este direcționată de-a lungul axei. X. În acest caz, valoarea pozitivă a rezultatului obținut al calculelor va confirma ipoteza noastră, iar valoarea negativă va indica faptul că mișcarea are loc în direcția opusă celei alese.

2) Legea conservării impulsului în cazul în care platforma se mișcă cu o viteză v\u003d 18 km / h \u003d 5 m / s, are forma

În proiecții pe axă X(fig.4):

Fig.4

Să acordăm atenție faptului că, având în vedere, ca și în cazul precedent, că platforma după împușcare va începe să se miște în direcția opusă, am făcut o greșeală, așa cum indică semnul minus din răspunsul primit. Aceasta înseamnă că direcția de mișcare a platformei rămâne aceeași, dar viteza acesteia a scăzut.

3) Legea conservării impulsului în al treilea caz are o formă similară cu cea scrisă pentru al doilea caz, i.e.

cu singura diferenţă că la proiectarea pe axă X(Fig. 5), primim alte semne pentru viteze:

Fig.5

Astfel, platforma se va deplasa în aceeași direcție cu o viteză mai mare decât cea inițială.

Exemplul 2 Pe o platformă de cale ferată care se deplasează prin inerție cu o viteză v, pistolul este fix, a cărui țeavă este îndreptată spre deplasarea platformei într-un unghi α față de orizont (Fig. 5.1). Pistolul a tras un foc, în urma căruia viteza platformei cu pistolul a scăzut de trei ori. Găsiți viteza proiectilului în raport cu pistolul când acesta iese din țeavă. Masa proiectilului este m 1 , masa platformei cu pistolul este m 2 .

Fig.5.1

Decizie. Sistemul de corpuri „platformă cu pistol + proiectil” este supus forțelor externe - gravitație și presiune normală din partea laterală a șinelor, îndreptate vertical (forțele de frecare orizontale pot fi considerate neglijabile) și forței interne - presiunea gazelor formate în timpul lovitură. Trebuie remarcat faptul că atunci când este tras, forța presiunii normale depășește forța gravitației, rezultanta lor nu este egală cu zero. În consecință, atunci când este trasă, componenta verticală a impulsului sistemului nu este conservată, componenta orizontală a impulsului va rămâne neschimbat.

Să vedem acum ce se întâmplă în caz un numar mare particule, adică atunci când corpul este format din multe particule cu multe forțe care acționează între ele și din exterior. Desigur, știm deja că momentul forței care acționează asupra oricărei particule i-a (adică produsul forței care acționează asupra particulei i-a, pe umărul acesteia) este egal cu rata de modificare a momentului unghiular al această particulă și momentul cantității de mișcare a particulei i, la rândul lor, este egal cu produsul dintre impulsul particulei și umărul acesteia. Să presupunem acum că am însumat momentele forțelor τ i ale tuturor particulelor și am numit aceasta momentul total al forțelor τ . Această valoare trebuie să fie egală cu viteza de schimbare a sumei impulsului tuturor particulelor L i . Această sumă poate fi luată ca definiție a unei noi mărimi, pe care o vom numi momentul unghiular total L . Așa cum impulsul unui corp este egal cu suma momentelor particulelor sale constitutive, și momentul unghiular al unui corp este egal cu suma momentelor particulelor sale constitutive. Astfel, rata de modificare a momentului total al impulsului L este egală cu momentul total al forțelor

Din obișnuință, poate părea că momentul complet al forțelor este un lucru teribil de complicat. La urma urmei, trebuie să țineți cont de toate forțele interne și externe. Totuși, dacă ne amintim că, conform legii lui Newton, forțele de acțiune și de reacție nu sunt doar egale, ci (ceea ce este deosebit de important!) Acționează de-a lungul aceleiași drepte în direcții opuse (nu contează dacă Newton însuși a vorbit despre asta sau nu, el a vrut să spună implicit la asta), atunci cele două momente ale forțelor interne dintre două particule care interacționează trebuie să fie egale între ele și îndreptate opus, deoarece pentru orice axă umerii lor vor fi la fel. Prin urmare, toate momentele interne ale forțelor se anulează reciproc și se obține o teoremă minunată: rata de schimbare a momentului unghiular față de orice axă este egală cu momentul forțelor externe față de aceeași axă!

Deci, am pus mâna pe o teoremă puternică a mișcării echipa mare particule, ceea ce ne permite să studiem proprietățile generale ale mișcării fără a cunoaște detaliile mecanismului său intern. Această teoremă este valabilă pentru orice set de particule, indiferent dacă formează un solid sau nu.
Un caz special deosebit de important al acestei teoreme este legea conservării momentului unghiular, care spune: dacă niciun moment extern de forță nu acționează asupra unui sistem de particule, atunci momentul unghiular al acestuia rămâne constant.
Luați în considerare un caz special foarte important al unui set de particule atunci când formează un corp solid, adică un obiect care are întotdeauna o anumită formă și dimensiune geometrică și se poate roti numai în jurul unei axe. Orice parte a unui astfel de obiect este localizată în orice moment

în același mod în ceea ce privește celelalte părți ale sale. Să încercăm acum să găsim momentul unghiular total al corpului rigid. În cazul în care un masa i-a particula sa este egală cu m i , iar poziția sa este (x i , y i), atunci problema se reduce la determinarea momentului de impuls al acestei particule, deoarece momentul total al impulsului este egal cu suma momentelor de impuls ale tuturor astfel de particule care formează corpul. Pentru un punct care se deplasează de-a lungul unui cerc, momentul unghiular este, desigur, egal cu produsul dintre masa lui înmulțit cu viteza și distanța până la axa de rotație, iar viteza, la rândul ei, este egală cu viteza unghiulară înmulțită cu distanta pana la axa:

Însumând L i pentru toate particulele, obținem

Această expresie este foarte asemănătoare cu formula pentru impuls, care este egală cu produsul dintre masă și viteză. În acest caz, viteza este înlocuită cu viteza unghiulară, iar masa, după cum puteți vedea, este înlocuită cu o nouă valoare, numită momentul de inerție I. Acesta este ceea ce joacă rolul masei în timpul rotației! Ecuațiile (18.21) și (18.22) ne spun că inerția de rotație a unui corp depinde nu numai de masele particulelor sale constitutive, ci și de cât de departe sunt acestea de axă. Deci dacă avem două corpuri masa egala, dar într-una dintre ele masele sunt situate mai departe de axă, atunci inerția sa de rotație va fi mai mare. Acest lucru este ușor de demonstrat cu dispozitivul prezentat în FIG. 18.4. Masa M din acest dispozitiv nu poate cădea prea repede deoarece trebuie să învârtă o tijă grea. Să plasăm mai întâi masele m lângă axa de rotație, iar greutatea M va accelera cumva. Totuși, după ce vom schimba momentul de inerție plasând masele m mult mai departe de axă, vom vedea că greutatea M accelerează mult mai încet decât înainte. Acest lucru se întâmplă din cauza creșterii inerției de rotație, adică sens fizic momentul de inerție este suma produselor tuturor maselor și pătratele distanțelor acestora față de axa de rotație.
Există o diferență semnificativă între masă și momentul de inerție, care se manifestă într-un mod surprinzător. Faptul este că masa unui obiect de obicei nu se modifică, în timp ce momentul de inerție este ușor de schimbat. Imaginează-ți că stai pe o masă care se poate roti fără frecare și ții ganterele în brațe întinse, în timp ce tu însuți te rotești încet. Puteți schimba cu ușurință momentul de inerție îndoind brațele; în timp ce masa noastră rămâne aceeași. Când facem toate acestea, atunci legea conservării momentului unghiular va face minuni, se va întâmpla ceva uimitor. Dacă momentele forțelor externe sunt egale cu zero, atunci momentul impulsului este egal cu momentul de inerție eu de 1 ori viteza unghiulară ω 1 , adică momentul tău unghiular este eu 1 ω 1 . Apoi, îndoind brațele, ați redus astfel momentul de inerție la valoarea lui I 2 . Dar întrucât, datorită legii conservării momentului unghiular, produsul I ω trebuie să rămână același, atunci eu 1 ω 1 trebuie să fie egal cu I 2 ω 2 . Deci, dacă reduceți momentul de inerție, atunci dvs viteză unghiulară ar trebui să crească ca rezultat.

Să vedem acum ce se întâmplă în cazul unui număr mare de particule, adică atunci când corpul este format din multe particule cu multe forțe care acționează între ele și din exterior. Desigur, știm deja că momentul forței care acționează asupra oricărui i-a particulă(adică produsul forței care acționează asupra particulei i, pe umărul acesteia) este egal cu viteza de modificare a momentului unghiular al acestei particule și a momentului unghiular i-a mișcare particula, la rândul său, este egală cu produsul dintre impulsul particulei și umărul acesteia. Să presupunem acum că am însumat momentele forțelor x i ale tuturor particulelor și am numit aceasta momentul total al forțelor τ. Această valoare trebuie să fie egală cu viteza de schimbare a sumei impulsului tuturor particulelor L i . Această sumă poate fi luată ca definiție a unei noi mărimi, pe care o vom numi momentul unghiular total L. Așa cum impulsul unui corp este egal cu suma impulsurilor particulelor sale constitutive, momentul unghiular al unui corp este egală de asemenea cu suma momentelor particulelor sale constitutive. Astfel, rata de modificare a momentului total al impulsului L este egală cu momentul total al forțelor.

Deci, ne-am pus mâna pe o teoremă puternică privind mișcarea unui colectiv mare de particule, care ne permite să studiem proprietățile generale ale mișcării fără a cunoaște detaliile mecanismului său intern. Această teoremă este valabilă pentru orice set de particule, indiferent dacă formează un solid sau nu.

Un caz special deosebit de important al acestei teoreme este legea conservării momentului unghiular, care spune: dacă niciun moment extern de forță nu acționează asupra unui sistem de particule, atunci momentul unghiular al acestuia rămâne constant.

Luați în considerare un caz special foarte important al unui set de particule atunci când formează un corp solid, adică un obiect care are întotdeauna o anumită formă și dimensiune geometrică și se poate roti numai în jurul unei axe. Orice parte a unui astfel de obiect este situată în orice moment în același mod față de celelalte părți ale sale. Să încercăm acum să găsim momentul unghiular total al corpului rigid. Daca masa i-a particulă este egal cu m i și poziția sa este (x i , y i), atunci problema se reduce la determinarea momentului de impuls al acestei particule, deoarece momentul total al impulsului este egal cu suma momentelor de impuls ale tuturor acestor particule. formând corpul. Pentru un punct care se deplasează de-a lungul unui cerc, momentul unghiular este, desigur, egal cu produsul dintre masa lui înmulțit cu viteza și distanța până la axa de rotație, iar viteza, la rândul ei, este egală cu viteza unghiulară înmulțită cu distanta pana la axa:

Există o diferență semnificativă între masă și momentul de inerție, care se manifestă într-un mod surprinzător. Faptul este că masa unui obiect de obicei nu se modifică, în timp ce momentul de inerție este ușor de schimbat. Imaginează-ți că stai pe o masă care se poate roti fără frecare și ții ganterele în brațe întinse, în timp ce tu însuți te rotești încet. Puteți schimba cu ușurință momentul de inerție îndoind brațele; în timp ce masa noastră rămâne aceeași. Când facem toate acestea, atunci legea conservării momentului unghiular va face minuni, se va întâmpla ceva uimitor. Dacă momentele forțelor exterioare sunt egale cu zero, atunci momentul impulsului este egal cu momentul de inerție I 1 ori viteza unghiulară ω 1, adică momentul dvs. de impuls este egal cu I 1 ω 1 . Apoi, îndoind brațele, ați redus astfel momentul de inerție la valoarea lui I 2 . Dar întrucât, datorită legii conservării momentului unghiular, produsul /co trebuie să rămână același, atunci I 1 ω 1 trebuie să fie egal cu I 2 ω 2 . Deci, dacă reduceți momentul de inerție, atunci viteza unghiulară ar trebui să crească ca rezultat.

Mișcările lui, adică valoare .

Puls este o mărime vectorială care coincide în direcție cu vectorul viteză.

Unitatea de măsură a impulsului în sistemul SI: kg m/s .

Impulsul unui sistem de corpuri este egal cu suma vectorială a impulsurilor tuturor corpurilor incluse în sistem:

Legea conservării impulsului

Dacă forțele externe suplimentare acționează asupra sistemului de corpuri care interacționează, de exemplu, atunci în acest caz relația este valabilă, care este uneori numită legea schimbării impulsului:

Pentru un sistem închis (în absența forțelor externe), legea conservării impulsului este valabilă:

Acțiunea legii conservării impulsului poate explica fenomenul de recul la tragerea cu pușcă sau în timpul tragerii de artilerie. De asemenea, funcționarea legii conservării impulsului stă la baza principiului de funcționare a tuturor motoarelor cu reacție.

La rezolvarea problemelor fizice, legea conservării impulsului este utilizată atunci când nu este necesară cunoașterea tuturor detaliilor mișcării, dar rezultatul interacțiunii corpurilor este important. Astfel de probleme, de exemplu, sunt problemele impactului sau ciocnirii corpurilor. Legea conservării impulsului este utilizată atunci când se ia în considerare mișcarea corpurilor de masă variabilă, cum ar fi vehiculele de lansare. Cea mai mare parte a masei unei astfel de rachete este combustibil. În faza activă a zborului, acest combustibil se arde, iar masa rachetei scade rapid în această parte a traiectoriei. De asemenea, legea conservării impulsului este necesară în cazurile în care conceptul este inaplicabil. Este greu de imaginat o situație în care un corp nemișcat capătă o oarecare viteză instantaneu. În practica normală, corpurile accelerează întotdeauna și iau viteza treptat. Cu toate acestea, în timpul mișcării electronilor și altele particule subatomice schimbarea stării lor se produce brusc fără a rămâne în stări intermediare. În astfel de cazuri concept clasic accelerația nu poate fi aplicată.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercițiu

Un proiectil cu masa de 100 kg, care zboară orizontal de-a lungul unei căi ferate cu o viteză de 500 m/s, lovește un vagon cu nisip de 10 tone și se blochează în el. Ce viteză va avea mașina dacă se mișcă cu o viteză de 36 km/h în direcția opusă proiectilului?

Decizie

Sistemul vagon+proiectil este închis, deci în acest caz se poate aplica legea conservării impulsului.

Să facem un desen, indicând starea corpurilor înainte și după interacțiune.

În interacțiunea dintre proiectil și vagon, impact inelastic. Legea conservării impulsului în acest caz va fi scrisă astfel:

Alegând direcția axei care coincide cu direcția de mișcare a mașinii, scriem proiecția acestei ecuații pe axa de coordonate:

unde este viteza mașinii după ce un proiectil o lovește:

Convertim unitățile în sistemul SI: t kg.

Să calculăm:

Răspuns

După lovirea proiectilului, mașina se va deplasa cu o viteză de 5 m/s.

EXEMPLUL 2

Exercițiu

Un proiectil cu masa m=10 kg avea viteza v=200 m/s în punctul de sus. În acest moment, s-a rupt în două bucăți. O parte mai mică cu masa m 1 =3 kg a primit o viteză v 1 =400 m/s în aceeași direcție la un unghi față de orizont. Cu ce viteză și în ce direcție va zbura cea mai mare parte a proiectilului?

Decizie

Traiectoria proiectilului este o parabolă. Viteza corpului este întotdeauna direcționată tangențial la traiectorie. În vârful traiectoriei, viteza proiectilului este paralelă cu axa.

Să scriem legea conservării impulsului:

Să trecem de la vectori la scalari. Pentru a face acest lucru, pătratăm ambele părți ale egalității vectoriale și folosim formulele pentru:

Având în vedere că și, de asemenea, că , găsim viteza celui de-al doilea fragment:

Înlocuirea valorilor numerice în formula rezultată mărimi fizice, calculati:

Direcția de zbor a majorității proiectilului este determinată folosind:

Înlocuind valorile numerice în formulă, obținem:

Răspuns

Cea mai mare parte a proiectilului va zbura cu o viteză de 249 m/s în jos la un unghi față de direcția orizontală.

EXEMPLUL 3

Exercițiu

Masa trenului este de 3000 tone.Coeficientul de frecare este 0,02. Care ar trebui să fie dimensiunea locomotivei cu abur pentru ca trenul să ia o viteză de 60 km/h la 2 minute după începerea mișcării.

Decizie

Deoarece asupra trenului acționează o (forță externă), sistemul nu poate fi considerat închis, iar legea conservării impulsului nu este valabilă în acest caz.

Să folosim legea schimbării impulsului:

Deoarece forța de frecare este întotdeauna îndreptată în direcția opusă mișcării corpului, în proiecția ecuației pe axa de coordonate (direcția axei coincide cu direcția deplasării trenului), impulsul forței de frecare va intra cu o semnul minus:

1. Dacă vector principal dintre toate forțele externe ale sistemului este egală cu zero (), atunci cantitatea de mișcare a sistemului este constantă ca mărime și direcție.

2. Dacă proiecția vectorului principal al tuturor forțelor externe ale sistemului pe orice axă este egală cu zero (
), atunci proiecția impulsului sistemului pe această axă este o valoare constantă.

Teorema asupra mișcării centrului de masă.

Teorema Centrul de masă al sistemului se mișcă în același mod ca un punct material, a cărui masă este egală cu masa întregului sistem, dacă asupra punctului acționează toate forțele externe aplicate sistemului mecanic considerat.

, prin urmare

Momentul de impuls al sistemului.

moment de impuls sisteme de puncte materiale despre vreun centru se numește suma vectorială a momentelor de impuls ale punctelor individuale ale acestui sistem relativ la același centru

moment de impuls sisteme de puncte materiale
despre unele axe
trecând prin centru , se numește proiecția vectorului impuls
pe această osie
.

Momentul impulsului unui corp rigid față de axa de rotație în timpul mișcării de rotație a unui corp rigid.

Să calculăm momentul unghiular al unui corp rigid în raport cu axa de rotație.

Momentul unghiular al unui corp rigid față de axa de rotație în timpul mișcării de rotație este egal cu produsul dintre viteza unghiulară a corpului și momentul său de inerție față de axa de rotație.

Teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului.

Teorema. Derivata în timp a momentului unghiular al sistemului, luată în raport cu un centru, este egală cu suma vectorială a momentelor forțelor externe care acționează asupra sistemului în raport cu același centru.

(6.3)

Demonstrație: Teorema privind modificarea momentului unghiular pentru
punctele arata asa:

Să punem totul împreună ecuații și obțineți:

sau
,

Q.E.D.

Teorema. Derivata în timp a momentului de impuls al sistemului, luată față de orice axă, este egală cu suma vectorială a momentelor forțelor externe care acționează asupra sistemului față de aceeași axă.

Pentru a o demonstra, este suficient să proiectăm ecuația vectorială (6.3) pe această axă. Pentru axa
va arata asa:

(6.4)

Teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului în raport cu centrul de masă. (Nicio dovadă)

Pentru axele care se deplasează înainte cu centrul de masă al sistemului, teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului în raport cu centrul de masă păstrează aceeași formă ca și în raport cu un centru fix.

Modulul 2. Rezistența materialelor.

Tema 1 tensiune-compresie, torsiune, încovoiere.

Din aplicare apar deformatii ale corpului considerat (elementele structurale). forta externa. În acest caz, distanțele dintre particulele corpului se modifică, ceea ce, la rândul său, duce la o schimbare a forțelor de atracție reciprocă dintre ele. Prin urmare, există eforturi interne. În acest caz, forțele interne sunt determinate de metoda secțiunii universale (sau metoda tăierii).

Se știe că există forțe externe și forțe interne. Forțele externe (încărcările) sunt o măsură cantitativă a interacțiunii a două corpuri diferite. Acestea includ reacții în legături. Forțele interne sunt o măsură cantitativă a interacțiunii a două părți ale aceluiași corp situate pe părți opuse ale secțiunii și cauzate de acțiunea forțelor externe. Forțele interne apar direct în corpul deformabil.

Figura 1 prezintă schema de calcul a unei bare cu o combinație arbitrară de sarcină externă formând un sistem de echilibru de forțe:

De sus în jos: corp elastic, tăietură stânga, tăietură dreapta Fig.1. Metoda secțiunii.

În acest caz, reacțiile legăturilor sunt determinate din ecuațiile de echilibru cunoscute ale staticii unui corp solid:

unde x 0 , y 0 , z 0 este sistemul de coordonate de bază al axelor.

Tăierea mentală a unui fascicul în două părți de către o secțiune arbitrară A (Fig. 1 a) conduce la condițiile de echilibru pentru fiecare dintre cele două părți tăiate (Fig. 1 b, c). Aici ( S') și ( S"} - forțe interne care apar, respectiv, în părțile tăiate din stânga și din dreapta datorită acțiunii forțelor externe.

La compilarea părților tăiate mental, starea de echilibru a corpului este asigurată de raportul:

Deoarece sistemul inițial de forțe externe (1) este echivalent cu zero, obținem:

{S ’ } = – {S ” } (3)

Această condiție corespunde celei de-a patra axiome a staticii despre egalitatea forțelor de acțiune și de reacție.

Folosind metodologia generală a teoremei poinsot despre aducerea sistem arbitrar forțe către un centru dat și alegând centrul de masă ca pol de referință, secțiunile DAR " , punct Cu " , sistem de forțe interne pentru partea stângă ( S ’ ) se reduce la vectorul principal și la momentul principal al eforturilor interne. În mod similar, se face pentru partea dreaptă tăiată, unde se află poziția centrului de masă al secțiunii DAR"; este determinată, respectiv, de punct Cu„(Fig. 1 b, c).

Astfel, vectorul principal și momentul principal al sistemului de forțe interne care apar în partea stângă tăiată condiționat a fasciculului sunt egale ca mărime și opusă în direcție vectorului principal și momentului principal al sistemului de forțe interne care apar. în partea dreaptă tăiată condiționat.

Graficul (pur) al distribuției valorilor numerice ale vectorului principal și momentului principal de-a lungul axei longitudinale a grinzii și predetermină, în primul rând, probleme specifice de rezistență, rigiditate și fiabilitate a structurilor.

Să determinăm mecanismul de formare a componentelor forțelor interne care caracterizează vederi simple rezistență: tracțiune-compresiune, forfecare, torsiune și încovoiere.

La centrele de masă ale secţiunilor studiate CU" sau Cu„Să ne poziționăm în consecință la stânga (c", x", y", z") sau dreapta (c", x", y", z") sisteme de axe de coordonate (Fig. 1 b, c), care, spre deosebire de sistemul de coordonate de bază x, y, z vom numi „followers”. Termenul se datorează scopului lor funcțional. Și anume: urmărirea schimbării poziției secțiunii A (Fig. 1 a) cu deplasarea sa condiționată de-a lungul axei longitudinale a fasciculului, de exemplu, atunci când: 0 x' 1 a, ax' 2 b etc., unde Ași b- dimensiunile liniare ale limitelor secțiunilor studiate ale grinzii.

Să setăm direcțiile pozitive ale proiecțiilor vectorului principal sau și momentul principal sau pe axele de coordonate ale sistemului servo (Fig. 1 b, c):

(N ’ , Q ’ y , Q ’ z ) (M ’ x , M ’ y , M ’ z )
(N ” , Q ” y , Q ” z ) (M ” x , M ” y , M ” z )

În acest caz, direcțiile pozitive ale proiecțiilor vectorului principal și momentul principal al forțelor interne pe axa sistemului de coordonate servo corespund regulilor staticii din mecanică teoretică: pentru forță - de-a lungul direcției pozitive a axei, pentru moment - rotație în sens invers acelor de ceasornic când este privită de la capătul axei. Ele sunt clasificate după cum urmează:

N X- forta normala, semn de tensiune sau compresie centrala;

M X - cuplul intern, apare în timpul torsii;

Q z , Q la- forțe transversale sau forfecare - un semn al deformărilor de forfecare,

M la , M z- momentele de încovoiere interne, corespund încovoierilor.

Conexiunea dintre părțile tăiate mental stânga și dreapta ale barei duce la binecunoscutul (3) principiu al egalității în valoare absolută și direcția opusă a tuturor componentelor forțelor interne cu același nume și la starea de echilibru a bara este definită ca:

Ca o consecință naturală a relațiilor 3,4,5, condiția obținută este necesară pentru ca aceleași componente ale forțelor interne să formeze în perechi subsisteme de forțe echivalente cu zero:

1. {N ’ , N ” } ~ 0 > N ’ = – N ”
2. {Q ’ y , Q ” y } ~ 0 > Q ’ y = – Q ” y
3. {Q ’ z , Q ” z } ~ 0 > Q ’ z = – Q ” z
4. {M ’ X , M ” X } ~ 0 > M ’ X = – M ” X
5. {M ’ y , M ” y } ~ 0 > M ’ y = – M ” y
6. {M ’ z , M ” z } ~ 0 > M ’ z = – M ” z

Numărul total de forțe interne (șase) în probleme determinabile static coincide cu numărul de ecuații de echilibru pentru un sistem spațial de forțe și este legat de numărul de deplasări reciproce posibile ale unei părți a corpului tăiate condiționat față de alta.

Forțele dorite sunt determinate din ecuațiile corespunzătoare pentru oricare dintre părțile tăiate din sistemul servo de axe de coordonate. Deci, pentru orice parte tăiată, ecuațiile de echilibru corespunzătoare iau forma;

1. ix = N + P 1x + P 2x + … + P kx = 0 > N
2. iy = Q y + P 1a + P 2 ani + … + P ky = 0 > Q y
3. iz = Q + P 1z + P 2z + … + P kz = 0 > Q z
4. X (P i) = M X + M X (P i) + … + M X (P k) = 0 > M X
5. y (P i) = M y + M y (P i) + … + M y (P k) = 0 > M y
6. z (P i) = M z + M z (P i) + … + M z (P k) = 0 > M z

Aici, pentru simplitatea desemnării sistemului de coordonate c"x"y"z"și s"x"y"t"înlocuit cu unul singur oxuz.