CUPLUL MOMENTULUI(momentul cinetic, momentul unghiular, momentul orbital, impuls unghiular) este unul dintre dinamici caracteristicile de mișcare punct material sau mecanice. sisteme; joacă în special rol important când studiază rotația. circulaţie. În ceea ce privește momentul forței, M. c.d. se distinge relativ la centru (punct) și relativ la axă.

M. c. d. a unui punct material relativ la centru DESPRE egală produs vectorial raza-vector r punct tras din centru DESPRE, pe numărul ei de mișcări mv, adică k 0 = [r mu] sau în altă notație k 0 = r mu. M. k. d. kz punct material în jurul axei z care trece prin centru DESPRE, este egală cu proiecția vectorului k 0 pentru această axă. Pentru a calcula M. c.d. al unui punct, toate f-ly date pentru calcul sunt valide moment de forta, dacă înlocuim vectorul F (sau proiecțiile sale) vector mu(sau proiecțiile sale). Modificarea punctului M. c. d. are loc sub acţiunea unui moment m 0 (F ) forta aplicata. Natura acestei modificări este determinată de ecuație dk/dt = m 0 (F ), care este o consecință a principalului legea dinamicii. Când m 0 (F ) = 0, care, de exemplu, are loc pentru centru. forțe, M. c. d. puncte relativ la centru DESPRE ramane constant; punctul se mișcă de-a lungul unei curbe plane și vectorul său rază descrie zone egale în orice intervale de timp egale. Acest rezultat este important pentru mecanica cerească (cf. legile lui Kepler), precum și pentru teoria mișcării cosmice. a zbura. dispozitive, sateliți etc.

Pentru mecanica al sistemului, se introduce conceptul de M. c.d. principal (sau moment cinetic) al sistemului relativ la centru. DESPRE, egal cu geom. suma lui M. c. d. a tuturor punctelor sistemului relativ la același centru:

Vector K 0 poate fi determinat prin proiecțiile sale pe axe reciproc perpendiculare Oxyz. Cantitati K x , K y , K z, sunt in acelasi timp principalele M. c.d. ale sistemului fata de axele corespunzatoare. Pentru un corp care se rotește în jurul unei axe fixe z din ang. viteza w, aceste marimi sunt: K x = -I xz w, K y \u003d -I yz w, Kz = Iz w, unde Iz- axial, a eu xzȘi eu yz - momente centrifuge inerţie. Dacă corpul se mișcă în jurul unui punct fix DESPRE, apoi pentru el în proiecții pe axele principale de inerție trasate în punct DESPRE, voi K x =- I x w x, K y = 1 y w y, Kz = Iz w z, Unde I x , 1 y, I z- momentele de inerție față de Ch. topoare; w X, w y, w z- proiecţia unghiului instantaneu. viteză w pe aceste axe. Din f-l este vizibil că direcția vectorului K 0 este aceeași direcție w numai când corpul se rotește în jurul unuia dintre capitolele sale. (pentru punctul DESPRE) axele de inerție. În acest caz K 0 = euw, Unde eu- momentul de inerție al corpului față de acest Ch. topoare.

Schimbarea principalului M. la d. a sistemului are loc numai ca urmare a unor factori externi. influențează și depinde de Ch. moment M e 0 extern forte; această dependență este determinată de ecuație d K 0 /dt= M e 0 (ecuația momentelor). Spre deosebire de cazul mișcării unui singur punct, ur-țiunea momentelor pentru sistem nu este o consecință a ur-ției numărului de mișcări, iar ambele ecuații pot fi folosite pentru a studia mișcarea sistemul în același timp. Numai cu ajutorul ecuației momentelor, mișcarea unui sistem (corp) poate fi determinată complet numai în cazul unei rotații pur. mișcare (în jurul unei axe sau unui punct fix). Dacă Ch. moment ext. forțe relativ la - n. centrul sau axa este egal cu zero, atunci M. c.d. principal al sistemului în raport cu acest centru sau axă rămâne constantă, adică are loc legea conservării lui M. c.d. (vezi.

• 1. Algebric moment de impuls în jurul centrului. Algebric DESPRE-- valoare scalară, luată cu semnul (+) sau (-) și egală cu produsul modulului de impuls m de la distanță h(perpendicular) de la acest centru la dreapta de-a lungul căreia este îndreptat vectorul m:
• 2. Momentul unghiular vectorial relativ la centru.

Vector momentul unghiular al unui punct material în raport cu un anumit centru DESPRE -- un vector aplicat în acest centru și îndreptat perpendicular pe planul vectorilor mȘi în direcţia din care se vede mişcarea punctului în sens invers acelor de ceasornic. Această definiție satisface egalitatea vectorială

moment de impuls punct material în jurul unor axe z se numește valoare scalară luată cu semnul (+) sau (-) și egală cu produsul modulului proiectii vectoriale cantitatea de mișcare pe un plan perpendicular pe această axă, pe o perpendiculară h, coborât de la punctul de intersecție al axei cu planul până la linia de-a lungul căreia este îndreptată proiecția indicată:

impuls sistem mecanic faţă de centru şi axă

1. Moment cinetic relativ la centru.

impuls sau momentul principal al impulsului sistemului mecanic în raport cu unele centru se numește suma geometrică a momentelor cantităților de mișcare ale tuturor punctelor materiale ale sistemului relativ la același centru.

2. Moment cinetic în jurul axei.

Momentul unghiular sau momentul principal al impulsului unui sistem mecanic în raport cu o anumită axă este suma algebrică a momentului momentului tuturor punctelor materiale ale sistemului în raport cu aceeași axă.

3. Elan corp solid, care se rotește în jurul unei axe z fixe cu viteză unghiulară.

Teoremă privind modificarea momentului unghiular al unui punct material în raport cu centrul și axa

1. Teorema momentelor în raport cu centrul.

Derivatîn timp din momentul impulsului unui punct material relativ la un centru fix este egal cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru

2. Teorema momentelor despre ax.

Derivatîn timp din momentul impulsului unui punct material în raport cu o axă este egal cu momentul forței care acționează asupra punctului, în raport cu aceeași axă

Schimbă teorema impuls unghiular sistem mecanic relativ la centru și axă

Teorema momentelor despre centru.

Derivatîn timp de la momentul unghiular al unui sistem mecanic față de un centru fix este egală cu suma geometrică a momentelor tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului față de același centru;

Consecinţă. Dacă momentul principal al forțelor externe față de un anumit centru este egal cu zero, atunci momentul unghiular al sistemului față de acest centru nu se modifică (legea conservării momentului unghiular).

2. Teorema momentelor despre ax.

Derivatîn timp de la momentul unghiular al unui sistem mecanic în raport cu o axă fixă ​​este egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în raport cu această axă

Consecinţă. Dacă momentul principal al forțelor externe în jurul unei axe este egal cu zero, atunci momentul cinetic al sistemului în jurul acestei axe nu se modifică.

De exemplu = 0, atunci L z = const.

Munca și puterea forțelor

Munca de forță este o măsură scalară a acțiunii unei forțe.

1. Munca elementară de forță.

Elementar munca unei forțe este o mărime scalară infinitezimală egală cu produs punctual a vectorului forță la vectorul deplasării infinitezimale a punctului de aplicare a forței: ; - increment de rază-vector punct de aplicare a forței, hodograful căruia este traiectoria acestui punct. Deplasare elementară puncte de-a lungul căii coincide cu datorită micii lor. De aceea

daca atunci dA > 0; dacă, atunci dA = 0;dacă , apoi dA< 0.

2. Exprimarea analitică pentru munca elementară.

Imaginați-vă vectori Și d prin proiecţiile lor pe axe coordonate carteziene:

, . Obțineți (4,40)

3. Lucrul forței asupra deplasării finale este egal cu suma integrală lucrări elementare pe această mișcare

Dacă forța este constantă și punctul de aplicare a acesteia se mișcă în linie dreaptă,

4. Lucrarea gravitației. Folosim formula: Fx = Fy = 0; Fz=-G=-mg;

Unde h- deplasarea punctului de aplicare a forței pe verticală în jos (înălțime).

La deplasarea în sus a punctului de aplicare a gravitației A 12 = -mgh(punct M 1 -- în partea de jos, M 2 - mai sus).

Asa de, . Munca gravitației nu depinde de forma traiectoriei. Când vă deplasați pe o cale închisă ( M 2 este la fel ca M 1 ) munca este zero.

5. Lucrul forței elastice a arcului.

Arcul se întinde numai de-a lungul axei X:

F y = F z = DESPRE, F X = = -SH;

unde este valoarea deformarii arcului.

Când deplasați punctul de aplicare a forței din poziția inferioară în poziția superioară, direcția forței și direcția mișcării sunt aceleași, atunci

Prin urmare, munca forței elastice

Lucrul forțelor asupra deplasării finale; Dacă = const, atunci

unde este unghiul final de rotație; , Unde P -- numărul de rotații ale corpului în jurul axei.

Energia cinetică a unui punct material și a unui sistem mecanic. teorema lui König

Energie kinetică- masura scalara mișcare mecanică.

Energia cinetică a unui punct material - o valoare scalară pozitivă egală cu jumătate din produsul dintre masa unui punct și pătratul vitezei acestuia,

Energia cinetică a unui sistem mecanic -- suma aritmetică a energiilor cinetice ale tuturor punctelor materiale ale acestui sistem:

Energia cinetică a unui sistem format din P corpurile interconectate este egală cu suma aritmetică a energiilor cinetice ale tuturor corpurilor acestui sistem:

teorema lui König

Energia cinetică a unui sistem mecanicîn cazul general al mișcării sale este egală cu suma energiei cinetice a mișcării sistemului împreună cu centrul de masă și energia cinetică a sistemului pe măsură ce acesta se mișcă în raport cu centrul de masă:

Unde Vkc- viteză k- al puncte ale sistemului relativ la centrul de masă.

Energia cinetică a unui corp rigid în diverse mișcări

Mișcare progresivă.

Rotirea unui corp în jurul unei axe fixe . ,Unde -- momentul de inerție al corpului față de axa de rotație.

3. Mișcare plan-paralelă. , unde este momentul de inerție al unei figuri plane în jurul unei axe care trece prin centrul de masă.

Cu mișcare plată energia cinetică a corpului este suma energiei cinetice mișcare înainte corpuri cu viteza centrului de masă și energia cinetică a mișcării de rotație în jurul unei axe care trece prin centrul de masă, ;

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct material

Teoremă în formă diferenţială.

Diferenţial din energia cinetică a unui punct material este egală cu munca elementară a forței care acționează asupra punctului,

Teoremă în formă integrală (finită).

Schimbare Energia cinetică a unui punct material la o anumită deplasare este egală cu munca forței care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Teoremă în formă diferenţială.

Diferenţial din energia cinetică a unui sistem mecanic este egală cu suma lucrărilor elementare ale exterioare şi forțe interne acționând asupra sistemului.

Teoremă în formă integrală (finită).

Schimbare Energia cinetică a unui sistem mecanic la o anumită deplasare este egală cu suma muncii forțelor externe și interne aplicate sistemului la aceeași deplasare. ; Pentru un sistem de corpuri rigide = 0 (după proprietatea forțelor interne). Apoi

Legea conservării energiei mecanice a unui punct material și a unui sistem mecanic

Dacă materialul punct sau sistem mecanic sunt doar forțe conservative, atunci în orice poziție a punctului sau a sistemului, suma cinetică și energii potentiale ramane constant.

Pentru punct material

Pentru sistem mecanic T+ P= const

Unde T+ P -- energia mecanică totală a sistemului.

Dinamica corpului rigid

Ecuații diferențiale ale mișcării unui corp rigid

Aceste ecuații pot fi obținute din teoremele generale ale dinamicii unui sistem mecanic.

1. Ecuațiile mișcării de translație a unui corp - din teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic În proiecții pe axele coordonatelor carteziene

2. Ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe - din teorema privind modificarea momentului cinetic al unui sistem mecanic față de o axă, de exemplu, față de o axă

Din momentul cinetic L z corp rigid în jurul axei, atunci dacă

Deoarece sau, atunci ecuația poate fi scrisă sub forma sau, forma ecuației depinde de ceea ce ar trebui determinat într-o anumită problemă.

Ecuații diferențiale ale unui plan-paralel mișcările corpului rigid sunt un set de ecuații progresivă mișcarea unei figuri plate împreună cu centrul de masă și rotativ mișcarea în jurul unei axe care trece prin centrul de masă:

pendul fizic

pendul fizic numit corp rigid care se rotește în jurul unei axe orizontale care nu trece prin centrul de masă al corpului și se mișcă sub influența gravitației.

Ecuația diferențială a rotației

În cazul fluctuaţiilor mici.

Atunci unde

Rezolvarea acestei ecuații omogene.

Lasă la t=0 Apoi

-- ecuația oscilațiilor armonice.

Perioada de oscilație a pendulului

Lungime redusă un pendul fizic este lungimea unui astfel de pendul matematic, a cărui perioadă de oscilație este egală cu perioada de oscilație a pendulului fizic.

Moment de impuls moment de impuls

(moment cinetic, moment unghiular, moment unghiular), o măsură a mișcării mecanice a unui corp sau a unui sistem de corpuri în raport cu orice centru (punct) sau axă. Pentru a calcula momentul impulsului K punct material (corp), aceleași formule sunt valabile ca și pentru calcularea momentului de forță, dacă înlocuim vectorul forță din ele cu vectorul moment mv, adică K = [r· mv], Unde r- distanta fata de axa de rotatie. Suma momentelor impulsului tuturor punctelor sistemului relativ la centru (axa) se numește momentul principal al impulsului sistemului (moment cinetic) față de acest centru (axă). Cu mișcarea de rotație a unui corp rigid, momentul principal al impulsului în jurul axei de rotație z Iz asupra vitezei unghiulare ω a corpului, i.e. Kz = Izω.

CUPLUL MOMENTULUI

MOMENTUL MIȘCĂRII (moment cinetic, moment unghiular, moment unghiular), o măsură a mișcării mecanice a unui corp sau a unui sistem de corpuri în raport cu orice centru (punct) sau axă. Pentru a calcula momentul impulsului LA punct material (corp) sunt valabile aceleași formule ca și pentru calcularea momentului de forță (cm. MOMENT DE PUTEREA), dacă înlocuim vectorul forță din ele cu vectorul impuls mv, în special K 0 = [r· mv]. Suma momentelor impulsului tuturor punctelor sistemului relativ la centru (axa) se numește momentul principal al impulsului sistemului (moment cinetic) față de acest centru (axă). Cu mișcarea de rotație a unui corp rigid, momentul principal al impulsului în jurul axei de rotație z corp este exprimat prin produsul momentului de inerție (cm. MOMENT DE INERȚIE) eu z la viteza unghiulară w a corpului, adică LA Z= eu zw.

Dicţionar enciclopedic . 2009 .

Vedeți ce este „momentul de impuls” în alte dicționare:

- (moment cinetic, moment unghiular), una dintre măsurile mecanicii. mișcarea unui punct sau a unui sistem material. M. to. joacă un rol deosebit de important în studiul rotaţiei. circulaţie. În ceea ce privește momentul forței, există M. c. d. relativ la centru (punctul) și ... ... Enciclopedia fizică

- (moment cinetic, moment unghiular, moment unghiular), o măsură a mișcării mecanice a unui corp sau a unui sistem de corpuri în raport cu orice centru (punct) sau axă. Pentru a calcula momentul impulsului K al unui punct material (corp), același ...... Dicţionar enciclopedic mare

Momentul unghiular (momentul cinetic, momentul unghiular, momentul orbital, momentul unghiular) caracterizează cantitatea de mișcare de rotație. O valoare în funcție de cât de mult se rotește masa, de modul în care este distribuită în raport cu axa ...... Wikipedia

moment de impuls- moment cinetic, una dintre măsurile mișcării mecanice a unui punct sau a unui sistem material. Momentul unghiular joacă un rol deosebit de important în studiul mișcării de rotație. În ceea ce privește momentul de forță, se distinge un moment ...... Dicţionar Enciclopedic de Metalurgie

moment de impuls- judesio kiekio momentas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, lygus dalelės padėties vektoriaus iš tam tikro taško į dalelę ir jos judesio kiekio vektorinei sandaugai, t. y. L = rp; čia L – judesio kiekio moment… …

moment de impuls- judesio kiekio momentas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Materialiojo taško arba dalelės spindulio vektoriaus ir judesio kiekio vektorinė sandauga. Dažniausiai apibūdina sukamąjį judesį taško arba ašies, iš kurios yra… … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

moment de impuls- judesio kiekio momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. moment unghiular; momentul impulsului; moment de rotație vok. Drehimpuls, m; Momentul de impuls, n; Momentul rotațiilor, n rus. moment unghiular, m; moment unghiular, m; moment unghiular … Fizikos terminų žodynas

Momentul cinetic, una dintre măsurile mișcării mecanice a unui punct sau a unui sistem material. Un rol deosebit de important îl joacă M. K. D. în studiul mișcării de rotație (vezi. mișcare de rotație). În ceea ce privește momentul forței (vezi momentul forței), ... ... Mare enciclopedia sovietică

- (moment cinetic, moment unghiular, moment unghiular), o măsură a mecanicii. mișcarea unui corp sau a unui sistem de corpuri în raport cu c.l. centru (punct) sau principal. Pentru a calcula M. c. d. K al unui punct material (corp), aceleași formule sunt valabile ca și pentru calcularea momentului ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

La fel ca momentul unghiular... Marele dicționar politehnic enciclopedic

Cărți

• Scrieri, Karl Marx. Al doilea volum al Operelor lui K. Marx și F. Engels conține lucrări scrise din septembrie 1844 până în februarie 1846. La sfârșitul lui august 1844, Marx și Engels s-au întâlnit la Paris,...
• Mecanica teoretică. Dinamica structurilor metalice, V. N. Shinkin. Principalele probleme teoretice și practice ale dinamicii sistem materialși mecanică analitică pe următoarele subiecte: geometria maselor, dinamica unui sistem material și solid...

Momentul impulsului unui punct material relativ la un centru O este egal cu produsul vectorial dintre raza-vector al punctului în mișcare și impulsul, i.e.

În mod evident, modulul momentului unghiular este egal cu

unde este umărul vectorului v în raport cu centrul O (Fig. 167).

Proiectând egalitatea vectorială (153) pe axele de coordonate care trec prin centrul O, obținem formule pentru momentele de impuls ale unui punct material în jurul acestor axe:

În formă vectorială, teorema momentului de impuls se exprimă astfel: derivata în timp a momentului de impuls al unui punct material relativ la un centru fix O este egală cu momentul forței care acționează față de același centru, adică.

Proiectarea egalității vectoriale (156) pe oricare dintre axele de coordonate trecând prin centrul O, obținem o ecuație care exprimă aceeași teoremă în formă scalară:

adică, derivata în timp a momentului unghiular al unui punct material față de orice axă fixă ​​este egală cu momentul forței care acționează față de aceeași axă.

Această teoremă are o mare importanță în rezolvarea problemelor în cazul unui punct care se mișcă sub acțiunea unei forțe centrale O forță centrală este o astfel de forță, a cărei linie de acțiune trece tot timpul prin același punct, numit centru. a acestei forţe. Dacă un punct material se mișcă sub acțiunea unei forțe centrale F cu un centru în punctul O, atunci

și, prin urmare . Astfel, momentul unghiular în acest caz rămâne constant în mărime și direcție. Rezultă că punctul material aflat sub acțiunea forței centrale descrie o curbă plană situată într-un plan care trece prin centrul de forță.

Dacă este cunoscută traiectoria pe care o descrie punctul sub acțiunea forței centrale, atunci, folosind teorema momentului de impuls, se poate găsi această forță în funcție de distanța de la punct la centrul de forță.

Într-adevăr, întrucât momentul impulsului relativ la centrul de forță rămâne constant, atunci, notând h brațul vectorului relativ la centrul de forță, avem:

(158)

Pentru a determina această constantă, trebuie cunoscută viteza punctului într-un anumit punct al traiectoriei. Pe de altă parte, avem (Fig. 168):

unde este raza de curbură a traiectoriei, este unghiul dintre vectorul rază a punctului și tangenta la traiectorie în acest punct.

Deci, avem două ecuații (158) și (159) cu două necunoscute v și F; cantitățile rămase incluse în aceste ecuații, adică fiind elemente ale unei traiectorii date, pot fi găsite cu ușurință. Astfel, se pot găsi v și F ca funcții ale lui .

Exemplul 129. Punctul M descrie o elipsă sub acțiunea unei forțe centrale F (Fig. 169). Viteza la vârful A este . Aflați viteza la vârful B dacă și .

Soluţie. Întrucât în ​​acest caz

Exemplul 130. Punctul M al masei descrie un cerc de raza a, fiind atras de punctul A al acestui cerc (Fig. 170).

În momentul inițial, punctul se află în poziția B și are o viteză . Determinați viteza v a punctului și forța de atracție F în funcție de vectorul rază .

Momentul unui punct și al unui sistem mecanic

Orez. 3.14

Una dintre caracteristicile dinamice ale mișcării unui punct material și a unui sistem mecanic este momentul cinetic sau momentul impulsului.

Pentru un punct material, momentul cinetic relativ la orice centru O se numește momentul de impuls al punctului relativ la acest centru (Fig. 3.14),

Momentul unghiular al unui punct material față de o axă este proiecția pe această axă a momentului unghiular al unui punct față de orice centru de pe această axă:

Momentul unghiular al unui sistem mecanic față de centrul O este suma geometrică a momentelor cinetice ale tuturor punctelor sistemului relativ la același centru (Fig. 3.15):

(3.20)

Momentul cinetic este aplicat unui punct DESPRE fata de care se calculeaza.

Dacă proiectăm (3.20) pe axe Sistemul cartezian coordonate, atunci obținem proiecțiile momentului unghiular pe aceste axe sau momentele cinetice relativ la axele de coordonate:

Să determinăm momentul unghiular al corpului în raport cu axa sa fixă ​​de rotație z(Fig. 3.16).

Conform formulelor (3.21), avem

Dar când corpul se rotește cu o viteză unghiulară w, viteza și impulsul punctului perpendicular pe segment dkși se află într-un plan perpendicular pe axa de rotație Oz, Prin urmare,

Orez. 3.15

Orez. 3.16

Pentru tot corpul:

Unde Jz este momentul de inerție față de axa de rotație.

În consecință, momentul cinetic al unui corp rigid în jurul axei de rotație este egal cu produsul dintre momentul de inerție al corpului față de axa dată și viteza unghiulară a corpului.

2. Teorema privind modificarea momentului unghiular
sistem mecanic

Momentul unghiular al sistemului relativ la centrul fix O(Fig. 3.15)

Luați derivata timpului din partea stângă și dreaptă a acestei egalități:

(3.22)

Luam in calcul asta atunci expresia (3.22) ia forma

Sau, având în vedere asta

- suma momentelor forţelor exterioare în jurul centrului O, avem in sfarsit:

(3.23)

Egalitatea (3.23) exprimă teorema privind modificarea momentului unghiular.

Teorema privind modificarea momentului cinetic. Derivată în timp a momentului unghiular al unui sistem mecanic față de un centru fix este egală cu momentul principal al forțelor externe ale sistemului față de același centru.

Proiectând egalitatea (3.23) pe axele fixe ale coordonatelor carteziene, obținem teorema în proiecții pe aceste axe:

Din (3.23) rezultă că dacă momentul principal al forțelor externe relativ la un centru fix este egal cu zero, atunci momentul cinetic relativ la acest centru rămâne constant, adică. dacă

(3.24)

Dacă suma momentelor forțelor externe ale sistemului față de orice axă fixă ​​este egală cu zero, atunci proiecția corespunzătoare a momentului unghiular rămâne constantă,

(3.25)

Enunţurile (3.24) şi (3.25) reprezintă legea conservării momentului unghiular al sistemului.

Obținem o teoremă asupra modificării momentului unghiular al sistemului alegând ca punct la calcularea momentului unghiular punctul A, deplasându-se relativ la cadrul de referință inerțial cu o viteză

Momentul unghiular al sistemului în raport cu un punct A(Fig. 3.17)

Orez. 3.17

deoarece apoi

Dat fiind unde este viteza centrului de masă al sistemului, obținem

Calculați derivata în timp a momentului unghiular

În expresia rezultată:

Combinând al doilea și al treilea termen și ținând cont de asta

in sfarsit ajungem

Dacă punctul coincide cu centrul de masă al sistemului C, apoi iar teorema devine

acestea. are aceeași formă ca pentru un punct fix DESPRE.

3. Ecuația diferențială de rotație a unui corp rigid
în jurul unei axe fixe

Lăsați un corp rigid să se rotească în jurul unei axe fixe Az(Fig. 3.18) sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
Scriem ecuația teoremei privind modificarea momentului unghiular al sistemului în proiecție pe axa de rotație:

Orez. 3.18

Pentru cazul rotației unui corp rigid în jurul unei axe fixe:

Unde Jz este momentul constant de inerție în jurul axei de rotație; w este viteza unghiulară.

Având în vedere acest lucru, obținem:

Dacă introducem unghiul de rotație al corpului j, atunci, ținând cont de egalitate avem

(3.26)

Expresia (3.26) este ecuație diferențială rotirea unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

4. Teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului
în mișcare relativă față de centrul de masă

Pentru a studia sistemul mecanic, alegem un sistem de coordonate fix Bou 1 y 1 z 1 și mobil Cxyzîncepând de la centrul de masă C, mergând înainte (Fig. 3.19).

Dintr-un triunghi vectorial:

Orez. 3.19

Diferențiând această egalitate în funcție de timp, obținem

sau

unde este viteza absolută a punctului M k, - viteza absolută a centrului de masă DIN,
- viteza relativă a punctului M k, deoarece

Moment pentru un punct DESPRE

Înlocuind valorile și , obținem

În această expresie: este masa sistemului; ;

este momentul unghiular al sistemului relativ la centrul de masă pt mișcare relativăîn sistemul de coordonate Сxyz.

Elanul ia forma

Teorema privind modificarea momentului unghiular în raport cu un punct DESPRE are forma

Înlocuiți valorile și primim

Să transformăm această expresie ținând cont de faptul că

sau

Această formulă exprimă teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului în raport cu centrul de masă pentru mișcarea relativă a sistemului în raport cu sistemul de coordonate care se mișcă translațional cu centrul de masă. Este formulat în același mod ca și cum centrul de masă ar fi un punct fix.