Proprietà integrali doppi.

Alcune delle proprietà degli integrali doppi derivano direttamente dalla definizione di questo concetto e dalle proprietà delle somme integrali, vale a dire:

1. Se funzione f(x, y) integrabile in D, poi kf(x, y)è integrabile anche in questa regione, e (24.4)

2. Se in zona D funzioni integrabili f(x, y) e g(x, y), quindi le funzioni f(x, y) ± g(x, y), e dove

3. Se per integrabile nel dominio D funzioni f(x, y) e g(x, y) la disuguaglianza f(x, y)≤g(x, y), poi

(24.6)

Dimostriamo altre proprietà dell'integrale doppio:

4. Se zona D divisa in due aree D 1 e D 2 senza punti interni comuni e funzione f(x, y) continuo nella regione D, poi

(24.7) Prova . Somma integrale sull'area D può essere rappresentato come:

dov'è la partizione dell'area D disegnato in modo che il confine tra D 1 e D 2 è costituito dai confini di parti della partizione. Passando quindi al limite in , otteniamo l'uguaglianza (24.7).

5. Nel caso di integrabilità su D funzioni f(x, y) in questa regione anche la funzione è integrabile | f(x, y) |, e la disuguaglianza

(24.8)

Prova.

da cui, passando al limite come , otteniamo la disuguaglianza (24.8)

6. dove S D– zona della regione D. La prova di questa affermazione si ottiene sostituendo nella somma integrale f(x, y)≡ 0.

7. Se integrabile nella regione D funzione f(x, y) soddisfa la disuguaglianza

m ≤ f(x, y) ≤ M,

poi (24.9)

Prova.

La dimostrazione si effettua passando al limite dalla disuguaglianza evidente

Conseguenza.

Se dividiamo tutte le parti della disuguaglianza (24.9) per D, possiamo ottenere il cosiddetto teorema del valore medio:

In particolare, a condizione di continuità della funzione F in D c'è un punto del genere in questa regione ( x 0, y 0), in cui F(x 0, y 0) = μ , cioè

-

Un'altra formulazione del teorema del valore medio.

Il significato geometrico dell'integrale doppio.

Considera un corpo V, delimitata da una parte della superficie data dall'equazione z = f(x, y), proiezione D questa superficie al piano O eh e una superficie cilindrica laterale ottenuta da generatori verticali che collegano i punti di confine della superficie con le loro sporgenze.

z=f(x,y)

V

y P i D Fig.2.

Cercheremo il volume di questo corpo come limite della somma dei volumi dei cilindri le cui basi sono le parti Δ si le zone D e le altezze sono segmenti con lunghezze F(Pi), dove i punti Pi appartengono a Δ si. Passando al limite a , otteniamo quello

(24.11)

cioè il doppio integrale è il volume del cosiddetto cilindroide delimitato dall'alto dalla superficie z = f(x, y), e sotto - l'area D.

Calcolo di un integrale doppio riducendolo a uno iterato.

Considera la zona D delimitato da linee x=a, x=b(un< b ), dove φ 1 ( X) e φ 2 ( X) sono continui su [ a, b]. Quindi qualsiasi linea parallela all'asse delle coordinate O a e passando per il punto interno della regione D, attraversa il confine della regione in due punti: n 1 e n 2 (Fig. 1). Chiamiamo quest'area corretta in su-

a Regola dell'asse O a. Allo stesso modo, il

y=φ 2 (X) c'è un'area corretta nella direzione

n 2 assi O X. L'area corretta nella direzione

Tutti e due assi coordinati, noi

D chiamalo giusto. Per esempio,

l'area corretta è mostrata in Fig.1.

y=φ 1 (X) n 1

O a b x

Lascia che la funzione f(x, y) continuo nella regione D. Considera l'espressione

, (24.12)

chiamata doppio integrale dalla funzione f(x, y) per regione D. Calcoliamo prima l'integrale interno (tra parentesi) sulla variabile a conteggio X permanente. Il risultato sarà funzione continua da X:

Integriamo la funzione risultante sopra X che vanno da ma prima B. Di conseguenza, otteniamo il numero

Dimostriamo un'importante proprietà dell'integrale doppio.

Teorema 1. Se la zona D, correggere nella direzione O a, divisa in due regioni D 1 e D 2 rettilineo, parallelo all'asse O a o asse O X, quindi l'integrale doppio sulla regione D sarà uguale alla somma degli stessi integrali sulle regioni D 1 e D 2:

Prova.

a) Lascia la linea x = c pause D sul D 1 e D 2, correggere in direzione O a. Quindi

+

+

b) Lascia la linea y=h pause D a destra in direzione di O a le zone D 1 e D 2 (Fig. 2). Indica con m 1 (un 1 , h) E m 2 (B 1 , h) punti di intersezione della retta y=h con bordo l le zone D.

y Regione D 1 delimitata da linee continue

y=φ 2 (X) 1) y=φ 1 (X);

D 2 2) curva MA 1 m 1 m 2 IN, di cui scriviamo l'equazione

h M 1 m 2 y=φ 1 *(X), dove φ 1 *(X) = φ 2 (X) a a ≤ x ≤ a 1 e

UN 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h a ma 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) dritto x = a, x = b.

Regione D 2 limitato da righe y=φ 1 *(X),

Ay= φ 2 (X),ma 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (X) Applichiamo il teorema all'integrale interno

suddividendo l'intervallo di integrazione:

oh un a 1 B 1 B

+

Rappresentiamo il secondo degli integrali ottenuti come somma:

+ + .

Nella misura in cui φ 1 *(X) = φ 2 (X) a a ≤ x ≤ a 1 e B 1 ≤ x ≤ b, il primo e il terzo integrale ottenuti sono identicamente uguali a zero. Di conseguenza,

io D = , cioè .

Un problema che porta al concetto di integrale doppio.

Si supponga che una funzione di parti sia definita su e annota la somma

che si chiama integrale.

A: Sotto un integrale definito (d.i.) della funzione e della scelta

Designazione:

I numeri sono chiamati integrabili (secondo Riemann) su .

T. esistenza: A condizione che .

Secondo la definizione di o.i. si noti che l'integrale dipende dalla forma, dai limiti e, ma non dal simbolo della variabile designazione, altrimenti espresso

In conformità con le clausole 17.1.1 e 17.1.2 e la definizione di o.i. scriviamo le formule per l'area di un trapezio curvilineo: , forza lavoro

sul :

Il concetto di doppio integrale, somme integrali.

L'esistenza di un integrale doppio, cioè il limite della somma integrale per sembra ovvia, poiché questo limite dà il volume di un corpo cilindrico. Tuttavia, questo ragionamento non è rigoroso. In corsi più completi, questa affermazione è rigorosamente dimostrata ed è chiamata teorema dell'esistenza integrale doppia.

Il teorema di esistenza. Per ogni funzione che è continua in una regione delimitata e chiusa di area a, esiste un integrale doppio, cioè c'è un limite di somme integrali con un aumento illimitato del numero di aree piccole, a condizione che ciascuna di esse si contragga in un punto . Questo limite non dipende dal metodo di divisione della regione in parti, né dalla scelta dei punti

In quanto segue, considereremo solo le funzioni che sono continue nel dominio dell'integrazione.

Segue dal teorema di esistenza che possiamo, ad esempio, dividere la regione a in piccoli rettangoli con lati retti, parallelamente agli assi coordinate (Fig. 230). in cui. Quindi scegliendo un punto in ogni piccolo rettangolo, possiamo scrivere, secondo la definizione dell'integrale doppio

Per sottolineare che l'integrale doppio può essere ottenuto come limite di una somma della forma, al posto della notazione, si usa anche la notazione

L'espressione è chiamata elemento area in coordinate cartesiane ed è uguale all'area di un rettangolo con i lati paralleli agli assi delle coordinate.

Si noti che quando si compila la somma integrale, le aree adiacenti al confine della regione a non hanno la forma di rettangoli. Tuttavia, si può dimostrare che l'errore derivante dalla sostituzione di tali aree con rettangoli con aree nel limite sarà ridotto a zero.

Proprietà degli integrali doppi

Le proprietà dell'integrale doppio (e la loro derivazione) sono simili alle corrispondenti proprietà dell'integrale unico definito.

1°. Additività. Se la funzione F(X, y) è integrabile nel dominio D e se la zona D usando una curva G di area zero è divisa in due regioni connesse senza punti interni comuni D 1 e D 2 , quindi la funzione F(X, y) è integrabile in ciascuno dei domini D 1 e D 2, e

2°. Proprietà lineare . Se funziona F(X, y) E G(X, y) sono integrabili nel dominio D, ma α e β - qualunque numeri reali, quindi la funzione [ α · F(X, y) + β · G(X, y)] è anche integrabile nel dominio D, e

3°. Se funziona F(X, y) E G(X, y) sono integrabili nel dominio D, allora anche il prodotto di queste funzioni è integrabile in D.

4°. Se funziona F(X, y) E G(X, y) entrambi sono integrabili nel dominio D e ovunque in questa zona F(X, y) ≤ G(X, y), poi

5°. Se la funzione F(X, y) è integrabile nel dominio D, quindi la funzione | F(X, y)| integrabile nel territorio D, e

(Certo, dall'integrabilità | F(X, y)| in D l'integrabilità non segue F(X, y) in D.)

6°. Teorema del valore medio. Se entrambe le funzioni F(X, y) E G(X, y) sono integrabili nel dominio D, funzione G(X, y) è non negativo (non positivo) ovunque in questa regione, m e m- esatti limiti superiori ed esatti inferiori della funzione F(X, y) nella regione di D, allora c'è un numero μ , soddisfacendo la disuguaglianza m ≤ μ ≤ m e tale che la formula

In particolare, se la funzione F(X, y) è continuo dentro D, e la zona D collegato, allora in quest'area c'è un punto del genere ( ξ , η ), che cosa μ = F(ξ , η ), e la formula (11) assume la forma

Integrali doppi per manichini

Questa lezione introduce l'ampio argomento degli integrali multipli che gli studenti in genere incontrano nel secondo anno. doppio e integrali tripli puoi intimidire il profano non peggio di equazioni differenziali, quindi affronteremo subito la domanda: è difficile o no? Certo, per alcuni sarà difficile e, a dire il vero, sono stato un po' furbo con il titolo dell'articolo: per imparare a risolvere i doppi integrali, devi avere alcune abilità. In primo luogo, se stiamo parlando di integrali, allora, ovviamente, dobbiamo integrare. Logicamente. Pertanto, per padroneggiare gli esempi, devi essere in grado di trovare integrali indefiniti e calcola integrali definiti almeno a livello medio. La buona notizia è che gli integrali stessi sono abbastanza semplici nella maggior parte dei casi.

Chi deve essere duro? È comprensibile. Coloro che hanno bevuto molta birra durante i primi semestri. Tuttavia, rassicurerò anche gli studenti normali: il sito ha tutto il materiale per colmare le lacune o le incomprensioni. Devi solo dedicare più tempo. I collegamenti ad argomenti che dovrebbero essere studiati o ripetuti saranno allegati in tutto l'articolo.

Sul lezione introduttiva I seguenti punti fondamentali verranno analizzati passo dopo passo e nel dettaglio:

– Il concetto di integrale doppio

– Area di integrazione. L'ordine di aggirare la regione di integrazione. Come modificare l'ordine di attraversamento?

Dopo aver compreso BENE tutte le nozioni di base, puoi procedere all'articolo Come calcolare l'integrale doppio? Esempi di soluzioni. Inoltre, c'è un problema comune su calcolo dell'integrale doppio in coordinate polari e una tipica applicazione su trovare il baricentro di una figura delimitata piatta.

Cominciamo con una domanda fondamentale: che cos'è?

Il concetto di integrale doppio

Doppio integrale in vista generaleè scritto come segue:

Comprendiamo i termini e la notazione:
– icona doppia integrale;
– area di integrazione (figura piatta);
- l'integrando di due variabili, spesso è abbastanza semplice;
- Icone differenziali.

Cosa significa calcolare un integrale doppio?

Calcolo della doppia media integrale trova NUMERO. Numero più comune:

Ed è altamente desiderabile trovarlo correttamente =)

Il risultato (numero) può essere negativo. E anche zero può facilmente risultare. Mi sono fermato in modo specifico a questo punto, dal momento che molti studenti provano ansia quando la risposta si rivela essere "qualcosa di strano".

Molte persone lo ricordano "ordinario" integrale definitoè anche un numero. È lo stesso qui. Il doppio integrale ha anche un eccellente significato geometrico, ma ne parleremo più avanti, ogni cosa ha il suo tempo.

Come calcolare l'integrale doppio?

Per calcolare l'integrale doppio, lo si deve ridurre al cosiddetto integrali iterati. Si può fare due strade. Il modo più comune è:

Al posto dei punti interrogativi, è necessario porre i limiti dell'integrazione. Inoltre, i singoli punti interrogativi dell'integrale esterno sono numeri, e i doppi punti interrogativi dell'integrale interno sono funzioni una variabile dipendente da "x".

Dove trovare i limiti dell'integrazione? Dipendono da quale area è data nella condizione del problema. L'area è una figura piatta regolare che hai incontrato molte volte, ad esempio, quando calcolare l'area di una figura piana o calcolare il volume di un corpo di rivoluzione. Molto presto imparerai come impostare correttamente i limiti dell'integrazione.

Dopo aver eseguito il passaggio agli integrali iterati, i calcoli seguono direttamente: prima viene preso l'integrale interno, quindi quello esterno. Uno dopo l'altro. Da qui il nome: integrali iterati.

In parole povere, il problema si riduce al calcolo di due integrali definiti. Come puoi vedere, non tutto è così difficile e spaventoso, e se hai imparato l'integrale definito "ordinario", cosa ti impedisce di affrontare due integrali?!

Il secondo modo per passare agli integrali iterati è un po' meno comune:

Cosa è cambiato? L'ordine di integrazione è cambiato: ora l'integrale interno è preso su "x" e quello esterno su "y". I limiti di integrazione, indicati da asterischi - sarà diverso! Le singole stelle dell'integrale esterno sono numeri, e le doppie stelle dell'integrale interno sono funzioni inverse a seconda di "y".

In qualunque modo scegliamo di passare agli integrali iterati, la risposta finale è destinata ad essere la stessa:

Per favore, ricorda questa importante proprietà, che può essere utilizzato, tra l'altro, per verificare la soluzione.

Algoritmo per risolvere l'integrale doppio:

Sistemiamo le informazioni: in quale ordine dovrebbe essere risolto il problema in esame?

1) È necessario completare il disegno. Senza un disegno, il problema non può essere risolto. Più precisamente, decide di decidere, ma sarà come giocare a scacchi alla cieca. Il disegno dovrebbe rappresentare l'area, che è una figura piatta. Molto spesso, la figura è semplice e limitata ad alcune linee rette, parabole, iperboli, ecc. Durante le lezioni si può padroneggiare una tecnica competente e veloce per la costruzione dei disegni Grafici e proprietà di base delle funzioni elementari, Trasformazioni di grafici geometrici. Quindi, il primo passo è completare il disegno.

2) Imposta i limiti di integrazione e vai agli integrali iterati.

3) Prendi l'integrale interno

4) Prendi l'integrale esterno e ottieni la risposta (numero).

Regione di integrazione. L'ordine di aggirare la regione di integrazione.
Come modificare l'ordine di attraversamento?

In questa sezione considereremo la domanda più importante: come passare agli integrali iterati e impostare correttamente i limiti dell'integrazione. Come accennato in precedenza, puoi farlo in questo modo:

Così:

In pratica, questo compito apparentemente semplice causa le maggiori difficoltà e spesso gli studenti si confondono nel fissare i limiti dell'integrazione. Considera un esempio specifico:

Esempio 1

Soluzione: Descriviamo l'area di integrazione nel disegno:

La solita figura piatta e niente di speciale.

Ora darò a ciascuno di voi uno strumento: un bastone da scavo, un puntatore laser. Il compito è scansionare ogni punto dell'area ombreggiata con un raggio laser:

Il raggio laser attraversa la regione di integrazione rigorosamente dal basso verso l'alto, ovvero tieni SEMPRE un puntatore qui di seguito figura piatta. Il raggio entra nella regione attraverso l'asse x, dato dall'equazione, ed esce dalla regione attraverso una parabola (freccia rossa). Per illuminare l'intera area, è necessario rigorosamente da sinistra a destra trascinare il puntatore lungo l'asse da 0 a 1 (freccia verde).

Allora, cos'è successo:
"y" cambia da 0 a ;
"x" cambia da 0 a 1.

Nei compiti, quanto sopra è scritto sotto forma di disuguaglianze:

Queste disuguaglianze sono chiamate bypass del dominio di integrazione o semplicemente ordine di integrazione

Dopo aver calcolato l'ordine di attraversamento, possiamo passare dall'integrale doppio agli integrali iterati:

La metà del problema è risolto. Ora dobbiamo passare agli integrali iterati nel secondo modo. Per fare ciò, devi trovare le funzioni inverse. Chi ha letto il secondo paragrafo della lezione Volume di un corpo di rivoluzione, sarà più facile. Esaminiamo le funzioni che impostano l'area . Se è abbastanza semplice, vai alle funzioni inverse, il che significa esprimere "x" tramite "y". L'unica funzione dove c'è e "x" e "y", è un .

Se , allora e:
la funzione inversa definisce il ramo destro della parabola;
la funzione inversa definisce il ramo sinistro della parabola.

Sorgono spesso dubbi, ad esempio, la funzione determina il ramo sinistro o destro della parabola? È molto facile dissipare i dubbi: prendi un punto della parabola, ad esempio, (dal ramo destro) e sostituisci le sue coordinate in qualsiasi equazione, ad esempio, nella stessa equazione:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la funzione determina esattamente il ramo destro della parabola e non il sinistro.

Inoltre, questo controllo(mentalmente o in bozza) è desiderabile effettuare sempre, dopo essere passati alle funzioni inverse. Non ci vorrà proprio niente, ma ti salverà dagli errori di sicuro!

Aggiriamo la regione di integrazione nel secondo modo:

Ora tieni il puntatore laser sinistra dall'area di integrazione. Il raggio laser attraversa l'area rigorosamente da sinistra a destra. In questo caso entra nella regione attraverso un ramo della parabola ed esce dalla regione attraverso la retta data dall'equazione (freccia rossa). Per scansionare l'intera area con un laser, è necessario disegnare un puntatore lungo l'asse rigorosamente dal basso verso l'alto da 0 a 1 (freccia verde).

In questo modo:
"x" cambia da 1;
"y" cambia da 0 a 1.

L'ordine di aggirare l'area dovrebbe essere scritto sotto forma di disuguaglianze:

E, quindi, il passaggio agli integrali iterati è il seguente:

Risposta può essere scritto come segue:

Ancora una volta vi ricordo che il risultato finale dei calcoli non dipende dall'ordine di attraversamento dell'area che abbiamo scelto (ecco perché mettiamo il segno di uguale). Ma prima risultato finale ancora lontano, ora il nostro compito è solo quello di fissare correttamente i limiti dell'integrazione.

Esempio 2

Dato un integrale doppio con il dominio di integrazione. Vai agli integrali iterati e imposta i limiti dell'integrazione in due modi.

Questo è un esempio fai da te. Costruisci correttamente un disegno e seguire rigorosamente le indicazioni(da dove e dove brillare con un puntatore laser). Un esempio approssimativo di finitura alla fine della lezione.

Più spesso compito tipico si presenta in una forma leggermente diversa:

Esempio 3

Costruire la regione di integrazione e

Soluzione: Per condizione, viene fornito il primo modo per aggirare la regione. La soluzione inizia di nuovo con un disegno. Qui l'area non giace su un piatto d'argento, ma non è difficile costruirla. Innanzitutto, “togliamo” le funzioni dai limiti di integrazione: , . La funzione, ovviamente, definisce una retta, ma cosa definisce la funzione? Trasformiamolo un po':
- un cerchio con centro all'origine delle coordinate di raggio 2. La funzione definisce il semicerchio superiore (non dimenticare che in caso di dubbio puoi sempre sostituire un punto che giace sul semicerchio superiore o inferiore).

Osserviamo i limiti dell'integrale esterno: "x" cambia da -2 a 0.

Eseguiamo il disegno:

Per chiarezza, ho indicato con le frecce il primo modo per bypassare la regione, che corrisponde agli integrali iterati della condizione: .

Ora dobbiamo cambiare l'ordine di bypass dell'area, per questo procederemo alle funzioni inverse (esprimiamo da "x" a "y"):

Abbiamo recentemente convertito la funzione nell'equazione di un cerchio, quindi esprimiamo "x":
Di conseguenza, otteniamo due funzioni inverse:
- definisce il semicerchio destro;
- definisce il semicerchio sinistro.
Di nuovo, in caso di dubbio, prendi un punto qualsiasi del cerchio e scopri quale è sinistro e quale è giusto.

Cambiamo l'ordine di attraversamento dell'area:

Secondo il secondo metodo di bypass, il raggio laser incluso alla regione sinistra attraverso il semicerchio sinistro e esce a destra attraverso la linea (freccia rossa). Allo stesso tempo, il puntatore laser viene disegnato lungo l'asse y verso l'alto da 0 a 2 (freccia verde).

Pertanto, l'ordine di attraversamento dell'area è:

In generale si può scrivere Rispondere:

Esempio 4

Questo è un esempio fai da te. L'esempio non è molto complicato, ma si noti che l'ordine di attraversamento è inizialmente impostato nel secondo modo! Cosa fare in questi casi? In primo luogo, c'è una difficoltà con il disegno, poiché disegnare un grafico della funzione inversa è insolito anche per me. Raccomando la procedura seguente: in primo luogo, otteniamo una funzione "normale" da (esprimiamo da "y" a "x"). Successivamente, costruiamo un grafico di questa funzione "ordinaria" (puoi sempre costruire almeno in modo puntuale). Facciamo lo stesso con il più semplice funzione lineare: da esprimiamo "y" e tracciamo una linea retta.

Analizziamo i limiti iniziali dell'integrazione: entriamo nella regione da sinistra e usciamo da . Allo stesso tempo, tutte le cose si svolgono nella fascia "di gioco" da -1 a 0. Dopo aver determinato l'area di integrazione sul disegno, non sarà difficile modificare l'ordine del bypass. Un esempio di soluzione alla fine della lezione.

Un esempio simile sarà discusso più dettagliatamente un po' più avanti.

Anche se capisci tutto perfettamente, per favore non affrettarti ad andare direttamente al calcolo del doppio integrale. L'ordine di attraversamento è una cosa complicata, ed è molto importante mettere un po' di mano su questo compito, soprattutto perché non ho ancora coperto tutto!

Nei quattro esempi precedenti, l'area di integrazione era interamente nel 1°, 2°, 3° e 4° quartiere di coordinate. È sempre così? No, naturalmente.

Esempio 5

Modificare l'ordine di integrazione

Soluzione: Eseguiamo il disegno, mentre il grafico della funzione è in realtà una parabola cubica, semplicemente "giace su un lato":

Ordine di attraversamento della regione che corrisponde agli integrali iterati , indicato dalle frecce. Si noti che durante l'esecuzione del disegno è stata disegnata un'altra figura limitata (a sinistra dell'asse y). Pertanto, si dovrebbe fare attenzione quando si determina l'area di integrazione: la cifra sbagliata può essere scambiata per l'area.

Passiamo alle funzioni inverse:
- il ramo destro della parabola di cui abbiamo bisogno;

Cambiamo l'ordine di attraversamento dell'area. Come ricorderete, nel secondo metodo di bypass, l'area deve essere scansionata con un raggio laser da sinistra a destra. Ma ecco una cosa interessante:

Come agire in questi casi? In questi casi, si dovrebbe dividere l'area di integrazione in due parti e per ciascuna delle parti comporre i propri integrali iterati:

1) Se “y” cambia da –1 a 0 (freccia verde), allora il raggio entra nella regione attraverso una parabola cubica ed esce attraverso una linea retta (freccia rossa). Pertanto, l'ordine di attraversamento dell'area sarà il seguente:

2) Se "y" cambia da 0 a 1 (freccia marrone), il raggio entra nella regione attraverso un ramo della parabola ed esce attraverso la stessa retta (freccia cremisi). Pertanto, l'ordine di attraversamento dell'area sarà il seguente:

E i corrispondenti integrali iterati:

Integrali definiti e multipli hanno una proprietà molto conveniente additività, cioè possono essere aggiunti, cosa che in questo caso dovrebbe essere fatta:
- ed ecco il nostro bypass della regione nel secondo modo nella forma della somma di due integrali.

Risposta scrivi così:

Qual è il miglior ordine di bypass? Certo, quello che è stato fornito nelle condizioni del problema: i calcoli saranno la metà!

Esempio 6

Modificare l'ordine di integrazione

Questo è un esempio fai da te. Contiene semicerchi, che sono stati trattati in dettaglio nell'Esempio 3. Una soluzione di esempio alla fine della lezione.

E ora il compito promesso, quando inizialmente è impostato il secondo modo per aggirare l'area:

Esempio 7

Modificare l'ordine di integrazione

Soluzione: Quando l'ordine di bypass è impostato nel secondo modo, è consigliabile passare alle funzioni "normali" prima di disegnare il disegno. In questo esempio, ci sono due pazienti da convertire: e .
Con una funzione lineare, tutto è semplice:

Il grafico della funzione è una parabola con pretesa di canonicità.

Esprimiamo "Y" tramite "X":

Otteniamo due rami della parabola: e . Quale scegliere? Il modo più semplice è eseguire immediatamente il disegno. E anche se hai completamente dimenticato il materiale della geometria analitica sulla parabola, entrambi i rami possono comunque essere costruiti in modo puntuale:

Ancora una volta, vorrei attirare la vostra attenzione sul fatto che questo disegno Ho diverse figure piatte ed è molto importante scegliere la forma giusta! Nella scelta della figura desiderata, i limiti di integrazione degli integrali originali aiuteranno solo:
e non dimenticare che la funzione inversa imposta tutti parabola.

Le frecce che indicano il bypass della figura corrispondono esattamente ai limiti di integrazione degli integrali .

Molto presto imparerai a svolgere mentalmente tale analisi e a trovare l'area di integrazione desiderata.

Una volta trovata la forma, la parte finale della soluzione è, in genere, molto semplice, cambiare l'ordine di attraversamento dell'area:

Funzioni inverse già trovato, e l'ordine di attraversamento richiesto dell'area:

Risposta:

Esempio finale di paragrafo per l'autorisoluzione:

Esempio 8

Modificare l'ordine di integrazione

Soluzione completa e la risposta alla fine della lezione.

Iniziamo a considerare il processo effettivo di calcolo dell'integrale doppio e a familiarizzare con il suo significato geometrico.

Il doppio integrale è numericamente uguale all'area di una figura piatta (regione di integrazione). Questo la forma più semplice integrale doppio quando la funzione di due variabili è uguale a uno: .

Consideriamo innanzitutto il problema in termini generali. Ora rimarrai sorpreso da quanto sia davvero semplice! Calcoliamo l'area di una figura piatta delimitata da linee. Per certezza, assumiamo che sull'intervallo . L'area di questa figura è numericamente uguale a:

Descriviamo l'area nel disegno:

Scegliamo il primo modo per aggirare l'area:

In questo modo:

E subito un importante accorgimento tecnico: gli integrali iterati possono essere considerati separatamente. Prima l'integrale interno, poi l'integrale esterno. Questo metodo Altamente raccomandato per i principianti nell'argomento teiere.

1) Calcolare l'integrale interno, mentre l'integrazione avviene sulla variabile "y":

Integrale indefinito ecco la più semplice, e poi si usa la banale formula di Newton-Leibniz, con l'unica differenza che i limiti dell'integrazione non sono i numeri, ma le funzioni. In primo luogo, abbiamo sostituito il limite superiore nella "y" (funzione antiderivativa), quindi il limite inferiore

2) Il risultato ottenuto nel primo comma deve essere sostituito nell'integrale esterno:

Una notazione più compatta per l'intera soluzione si presenta così:

La formula risultante - questa è esattamente la formula di lavoro per calcolare l'area di una figura piatta usando l'integrale definito "ordinario"! Vedi lezione Calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, eccola a ogni angolo!

Cioè, il problema del calcolo dell'area utilizzando un integrale doppio poco diverso dal problema di trovare l'area usando un integrale definito! In effetti, sono la stessa cosa!

Di conseguenza, non dovrebbero sorgere difficoltà! Non prenderò in considerazione molti esempi, poiché tu, in effetti, hai riscontrato ripetutamente questo problema.

Esempio 9

Usando l'integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee.

Soluzione: Descriviamo l'area nel disegno:

L'area della figura viene calcolata utilizzando il doppio integrale secondo la formula:

Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:

Qui e sotto, non entrerò in come attraversare un'area perché il primo paragrafo era molto dettagliato.

In questo modo:

Come ho già notato, è meglio per i principianti calcolare gli integrali iterati separatamente, aderirò allo stesso metodo:

1) Innanzitutto, usando la formula di Newton-Leibniz, trattiamo l'integrale interno:

2) Il risultato ottenuto al primo passo è sostituito nell'integrale esterno:

Il punto 2 sta effettivamente trovando l'area di una figura piatta usando un integrale definito.

Risposta:

Ecco un compito così stupido e ingenuo.

Un curioso esempio di soluzione indipendente:

Esempio 10

Usando l'integrale doppio, calcola l'area di una figura piana delimitata dalle linee , ,

Un esempio di soluzione finale alla fine della lezione.

Negli Esempi 9-10, è molto più vantaggioso utilizzare il primo metodo per aggirare l'area; lettori curiosi, tra l'altro, possono modificare l'ordine della tangenziale e calcolare le aree nel secondo modo. Se non commetti un errore, allora, naturalmente, si ottengono gli stessi valori dell'area.

Proprietà di base dell'integrale doppio

Le proprietà dell'integrale doppio (e la loro derivazione) sono simili alle corrispondenti proprietà dell'integrale unico definito.

1°. Additività. Se la funzione F(X, y) è integrabile nel dominio D e se la zona D usando una curva G di area zero è divisa in due regioni connesse senza punti interni comuni D 1 e D 2 , quindi la funzione F(X, y) è integrabile in ciascuno dei domini D 1 e D 2, e

2°. Proprietà lineare. Se funziona F(X, y) E G(X, y) sono integrabili nel dominio D, ma α e β sono numeri reali, allora la funzione [ α · F(X, y) + β · G(X, y)] è anche integrabile nel dominio D, e

3°. Se funziona F(X, y) E G(X, y) sono integrabili nel dominio D, allora anche il prodotto di queste funzioni è integrabile in D.

4°. Se funziona F(X, y) E G(X, y) entrambi sono integrabili nel dominio D e ovunque in questa zona F(X, y) ≤ G(X, y), poi

5°. Se la funzione F(X, y) è integrabile nel dominio D, quindi la funzione | F(X, y)| integrabile nel territorio D, e

(Certo, dall'integrabilità | F(X, y)| in D l'integrabilità non segue F(X, y) in D.)

6°. Teorema del valore medio. Se entrambe le funzioni F(X, y) E G(X, y) sono integrabili nel dominio D, funzione G(X, y) è non negativo (non positivo) ovunque in questa regione, m e m- esatti limiti superiori ed esatti inferiori della funzione F(X, y) nella regione di D, allora c'è un numero μ , soddisfacendo la disuguaglianza m ≤ μ ≤ m e tale che la formula

DOPPI INTEGRALI

CONFERENZA 1

Integrali doppi.Definizione dell'integrale doppio e sue proprietà. Integrali iterati. Riduzione degli integrali doppi a quelli ripetuti. Disposizione dei limiti di integrazione. Calcolo di integrali doppi in sistema cartesiano coordinate.

L'integrale doppio è una generalizzazione del concetto di integrale definito al caso di una funzione di due variabili. In questo caso, invece di un segmento di integrazione, ci sarà una specie di figura piatta.

Lascia stare Dè un dominio limitato chiuso, e F(x,y) è una funzione arbitraria definita e limitata in questo dominio. Assumiamo che i confini della regione D costituito da un numero finito di curve, dato dalle equazioni tipo y=F(X) o X=g( y), dove F(X) E G(y) sono funzioni continue.

Dividiamo l'area D a caso n parti. La zona io il segmento è indicato dal simbolo D s io. Su ogni sezione, scegliamo arbitrariamente un punto Pi, e lascia che abbia coordinate in un sistema cartesiano fisso ( x io, y io). Componiamo somma integrale per funzione F(x,y) per zona D, per fare ciò, troviamo i valori della funzione in tutti i punti Pi, li moltiplichiamo per le aree dei segmenti corrispondenti Ds io e riassumi tutti i risultati:

Chiamiamo diam(G) la zona G la distanza maggiore tra i punti di confine di quest'area.

doppio integrale funzioni f(x,y) nel dominio D è il limite a cui tende la successione delle somme integrali (1.1) con aumento illimitato del numero delle partizioni n (in cui). Questo è scritto come segue

Si noti che, in generale, la somma integrale per data funzione e l'area di integrazione data dipende dal metodo di partizione dell'area D e selezione dei punti Pi. Tuttavia, se esiste l'integrale doppio, significa che il limite delle somme integrali corrispondenti non dipende più da questi fattori. Affinché l'integrale doppio esista(o, come si suol dire, in modo che la funzione f(x,y) è integrabile nel dominio D), è sufficiente che l'integrando sia continuo nella data area di integrazione.

Lascia che la funzione F(x,y) è integrabile nel dominio D. Poiché il limite delle somme integrali corrispondenti per tali funzioni non dipende dal metodo di partizionamento del dominio di integrazione, il partizionamento può essere effettuato utilizzando linee verticali e orizzontali. Poi la maggior parte della regione D avrà una forma rettangolare, la cui area è uguale a D s io=D x io D si io. Pertanto, il differenziale di area può essere scritto come ds=dxdy. Di conseguenza, in coordinate cartesiane, integrali doppi può essere scritto nel modulo

Commento. Se l'integrando f(x,y)º1, quindi il doppio integrale sarà uguale all'area della regione di integrazione:

Si noti che gli integrali doppi hanno le stesse proprietà di integrali definiti. Segnaliamo alcuni di loro.

Proprietà degli integrali doppi.

1 0 .Proprietà lineare. L'integrale della somma delle funzioni è uguale alla somma degli integrali:

e il fattore costante può essere estratto dal segno di integrale:

2 0 .Proprietà additiva. Se il dominio di integrazione D è diviso in due parti, il doppio integrale sarà uguale alla somma degli integrali su ciascuna parte:

3 0 .Il teorema del valore medio. Se la funzione F( x,y)è continua nel dominio D, quindi in questo dominio c'è un punto del genere(x,h) , che cosa:

Allora sorge la domanda: come si calcolano gli integrali doppi? Può essere calcolato approssimativamente, per questo scopo è sviluppato metodi efficaci compilando le corrispondenti somme integrali, che vengono poi calcolate numericamente utilizzando un computer. Nel calcolo analitico degli integrali doppi, sono ridotti a due integrali definiti.