linearna algebarska numerička metoda

Često, kada se analiziraju eksperimentalni podaci, postaje potrebno pronaći funkcionalni odnos između vrijednosti x i y, koje se dobiju kao rezultat mjerenja. Analitičko proučavanje odnosa između dvije veličine x i y proizvodi tablicu vrijednosti, koja se može prikazati i grafički.

Ako je, međutim, poznat oblik aproksimirajuće funkcije, onda se problem aproksimacije svodi samo na pronalaženje koeficijenata (a, b, c,...) uključenih u funkciju. Za pronalaženje ovih koeficijenata koristi se metoda najmanjih kvadrata koja se sastoji u tome da se zbroj kvadrata vertikalnih udaljenosti od tačaka do grafa funkcije y=f(x, a, b, c,.. .) je najmanji: S = i 2 = min, gdje je S i = yi - f(xi , a, b, c,...). Da bismo to učinili, koristimo neophodan uslov za ekstremum funkcije nekoliko varijabli i - f(x i , a, b, c,...)) 2: jednakost nuli parcijalnih izvoda. Rezultat je sistem. Dakle, pronalaženje koeficijenata se svodi samo na rješavanje sistema:

Linearna regresija

Linearna funkcija ima oblik y = ax + b, stoga je potrebno pronaći dva parametra: a i b, uz uslov da su date koordinate n tačaka pronađenih eksperimentalno sa slučajnim greškama („šum“). Da bismo to učinili, sastavljamo funkciju i - (ax i + b)) 2 , otvaramo zagrade i - ax i - b) 2 i sastavljamo sistem:

Neka A = i, B = i, C = i x i, D = i 2, tada će sistem poprimiti oblik:

Rešavamo ovaj sistem linearnog algebarske jednačine Cramerovom metodom i tako pronalazimo željene vrijednosti parametara a i b:

Table. Postoje tačke:

Korištenje metode proračuna parametara linearna funkcija, dobijamo:

a = 0,1215455 , b = - 0,2140002

Aproksimacija, ili aproksimacija - naučna metoda, koji se sastoji u zamjeni nekih objekata drugim, u jednom ili drugom smislu bliskim originalu, ali jednostavnijim. U zadacima razmatranim u ovaj odjeljak a u nastavku se koriste originalni podaci dobijeni kao rezultat tabele datu funkciju. Treba imati na umu da su u stvarnim problemima početni podaci rezultati opservacija (provođenje eksperimenata, naučni eksperimenti, posmatranje stvarni događaji itd.), koji su podložni greškama mjerenja i drugim slučajnim faktorima. Zadatak istraživača je da od početnih tačaka (koje su na prvi pogled locirane haotično) odabere funkcionalnu zavisnost (ako je ikako moguće) koja najbolje opisuje distribuciju početnih podataka i, u nekim slučajevima, pokuša napraviti prognozu daljeg razvoja (na primjer, studija vremenske serije promjena cijena dionica).

Zadatak. Napravite tablicu vrijednosti funkcija F(x)=ax²+bx+c za 11 vrijednosti argumenata x u rasponu –1 ≤ x ≤ +1. Nacrtajte ovu funkciju, a zatim uklopite s dvije vrste linija trenda. Koristeći linije trenda, napravite prognozu za dva perioda unaprijed.

Kao iu prethodnim zadacima, unosimo početne podatke: početnu vrijednost argumenta funkcije xn, konačna vrijednost argumenta funkcije Xk, broj tačaka dijeljenja funkcije (broj redova tablice) N, formula za korak argumenta funkcije dX, koeficijenti a, b, c, zatim kreiramo glavnu tabelu i gradimo grafikon (sve ove radnje su detaljno opisane u odjeljku):

Linije trenda na grafikonu

Trendline vam omogućavaju da grafički prikažete trendove podataka i predvidite buduće promjene. Takva analiza se još naziva i regresiona analiza. Koristeći regresijsku analizu, možete proširiti liniju trenda na grafikonu izvan stvarnih podataka kako biste predvidjeli buduće vrijednosti.

Linije trenda se mogu iscrtati na svim 2D grafikonima(Linije trenda se ne mogu dodati na 3D, Radar, Pie, Donut i Bubble grafikone.)

Postoji šest različitih tipova linija trenda:

• Linearno
• Polinom
• logaritamski
• Eksponencijalno
• Snaga

Linije trenda dodane grafikonu funkcije ni na koji način ne utiču na same podatke i originalni grafikon.

Formule za izračunavanje linija trenda

Linearno. Koristi se za linearno prilagođavanje podataka najmanjim kvadratima prema jednadžbi:

gdje: m - ugao nagiba, b - koordinata presjeka ose apscise.

Polinom. Koristi se za polinomsko ili krivolinijsko prilagođavanje podataka najmanjim kvadratima prema jednadžbi:

gdje: b , c 1 , c 2 , … od 6 - konstante.

Možete podesiti stepen polinoma od 2 do 6.

logaritamski. Koristi se za logiranje podataka najmanjeg kvadrata prema jednadžbi:

gdje: c I b - konstante, ln je funkcija prirodnog logaritma.

Eksponencijalno. Koristi se za eksponencijalno uklapanje podataka koristeći metodu najmanjih kvadrata prema jednadžbi:

gdje: c I b - konstante, e je baza prirodnog logaritma.

Snaga. Koristi se za najmanji kvadrat po stepenu koji odgovara podacima prema jednadžbi:

gdje: c I b - konstante.

Bilješka. Eksponencijalne aproksimacije i aproksimacije snage nisu dostupne ako vrijednosti funkcije F(x) sadrže negativne ili nulte vrijednosti. Osim toga, logaritamski i stepenski tipovi aproksimacije nisu dostupni ako vrijednosti argumenta funkcije x sadrže negativne ili nulte vrijednosti. Pošto u zadacima do laboratorijski rad koristi se negativna vrijednost donje granice argumenta xn (x0), nemojte birati logaritamski i stepenski tip aproksimacije!

Pokretni prosjek je prosječna vrijednost u određenom periodu:

Na grafikonu, linija povučena iz tačaka pokretnog prosjeka omogućava vam da izgradite glatku krivu koja jasnije pokazuje obrazac u razvoju podataka.

Dodavanje linije trenda seriji podataka

Odaberite grafikon (kliknite bilo gdje na grafikonu), nakon čega će se na traci izbornika pojaviti tri dodatne kartice: Konstruktor , Izgled I Format . Na kartici Izgled u grupi Analiza kliknite na dugme .

Među različitim metodama predviđanja, nemoguće je ne izdvojiti aproksimaciju. Uz njegovu pomoć možete napraviti približne proračune i izračunati planirane pokazatelje zamjenom originalnih objekata jednostavnijim. U Excel-u postoji i mogućnost korištenja ove metode za predviđanje i analizu. Pogledajmo kako se ova metoda može primijeniti u navedenom programu sa ugrađenim alatima.

Naziv ove metode dolazi od latinske riječi proxima – „najbliži”, aproksimacija pojednostavljivanjem i izglađivanjem poznatih indikatora, slaganjem u trend koji je njegova osnova. Ali ovu metodu može se koristiti ne samo za predviđanje, već i za proučavanje postojećih rezultata. Na kraju krajeva, aproksimacija je, u stvari, pojednostavljenje početnih podataka, a pojednostavljena verzija je lakša za proučavanje.

Glavni alat pomoću kojeg se u Excelu vrši izglađivanje je izrada linije trenda. Suština je da se na osnovu postojećih indikatora upotpunjuje graf funkcije za buduća razdoblja. Glavna svrha linije trenda, kao što možete pretpostaviti, je pravljenje prognoza ili identifikacija opšteg trenda.

Ali može se izgraditi korištenjem jedne od pet vrsta aproksimacije:

• Linear;
• eksponencijalni;
• logaritamski;
• polinom;
• Snaga.

Razmotrimo svaku od opcija detaljnije zasebno.

Metoda 1: Linearno zaglađivanje

Prije svega, razmotrimo najjednostavniju verziju aproksimacije, naime korištenje linearne funkcije. Zadržat ćemo se na tome detaljnije, budući da ćemo navesti opće točke karakteristične za druge metode, naime, crtanje i neke druge nijanse, na kojima se nećemo zadržavati prilikom razmatranja sljedećih opcija.

Prije svega, napravimo graf na osnovu kojeg ćemo provesti postupak izglađivanja. Da bismo napravili grafikon, uzmimo tabelu u kojoj je prikazan trošak jedinice proizvodnje koju proizvodi preduzeće na mesečnom nivou i odgovarajuća dobit u datom periodu. Grafička funkcija, koji ćemo izgraditi, prikazaće zavisnost povećanja profita od smanjenja troškova proizvodnje.

Zaglađivanje koje se koristi u ovom slučaju opisano je sljedećom formulom:

U našem konkretnom slučaju, formula ima sljedeći oblik:

y=-0,1156x+72,255

Vrijednost pouzdanosti aproksimacije je jednaka 0,9418 , što je prilično prihvatljiv rezultat koji karakteriše izglađivanje kao pouzdano.

Metoda 2: Eksponencijalna aproksimacija

Pogledajmo sada eksponencijalni tip aproksimacije u Excelu.

Opšti oblik funkcije izglađivanja je sljedeći:

gdje e je baza prirodnog logaritma.

U našem konkretnom slučaju formula je dobila sljedeći oblik:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Metoda 3: logaritamsko izglađivanje

Sada je red da se razmotri metoda logaritamske aproksimacije.

Generalno, formula za izglađivanje izgleda ovako:

gdje ln je prirodni logaritam. Otuda i naziv metode.

U našem slučaju formula ima sljedeći oblik:

y=-62,81ln(x)+404,96

Metoda 4: Polinomsko izglađivanje

Došlo je vrijeme da se razmotri metoda polinomskog izglađivanja.

Formula koja opisuje ovu vrstu zaglađivanja poprimila je sljedeći oblik:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Metoda 5: izglađivanje snage

U zaključku, razmotrite metodu aproksimacije moći u Excelu.

Ova metoda se efikasno koristi u slučajevima intenzivne promjene funkcijskih podataka. Važno je napomenuti da je ova opcija primjenjiva samo ako funkcija i argument nemaju negativne ili nulte vrijednosti.

Opća formula koja opisuje ovu metodu je sljedeća:

U našem konkretnom slučaju to izgleda ovako:

y = 6E+18x^(-6.512)

Kao što vidite, kada smo koristili specifične podatke koje smo koristili za primjer, metoda polinomske aproksimacije sa polinomom šestog stepena pokazala je najviši nivo pouzdanosti ( 0,9844 ), najniži nivo pouzdanosti za linearnu metodu ( 0,9418 ). Ali to uopće ne znači da će isti trend biti i kada se koriste drugi primjeri. Ne, nivo efikasnosti gornjih metoda može značajno varirati, u zavisnosti od specifičnog tipa funkcije za koju će se izgraditi linija trenda. Dakle, ako je odabrana metoda najefikasnija za ovu funkciju, to uopće ne znači da će biti optimalna i u nekoj drugoj situaciji.

Ako ne možete odmah odrediti, na osnovu gore navedenih preporuka, koja je vrsta aproksimacije prikladna konkretno za vaš slučaj, onda ima smisla isprobati sve metode. Nakon što nacrtate liniju trenda i pogledate njen nivo pouzdanosti, možete odabrati najbolju opciju.

Odjeljenje: ________ Informatika i računarska tehnologija _______________

NASTAVNI RAD

po disciplini _______________ INFORMATIKA __________________________

(ime akademska disciplina prema nastavni plan i program)

ZADATAK

student IHL-12 grupe Rumjancev N.A.

(šifra grupe) (puno ime)

1. Predmet rada: _ Implementacija numeričke metode korišćenjem Microsoft Excel-a i korišćenjem alata MathCAD paketa

2. Početni podaci za rad: _Opcija br. 17_______________________________________

4. Spisak grafičkog materijala: _ Prezentacija rezultata u obliku ekranskih formulara________________________________ ____________________________________

5. Rok za izvršenje radova: ___ 05.01.2013 ____________________________

Rukovodilac rada: ________ ______________ /_________/

(pozicija) (potpis) (puno ime)

Datum izdavanja zadatka: __ 15. februara 2013 ______________

anotacija

Obrazloženje je izvještaj o realizaciji nastavnog rada. Bavi se pitanjima pronalaženja empirijskih formula metodom najmanjih kvadrata (LSM) koristeći mogućnosti Microsoft Excel paketa, a razmatra i rješenje ovog problema u MathCAD paketu. U radu su dobijene jednačine različitih tipova aproksimacijom linearnih, kvadratnih i eksponencijalnih zavisnosti. Na kraju rada zaključeno je koja metoda je najbolje riješila problem.

Strane 24, tabele 3, slike 14, aplikacije 0.

Sažetak

Obrazloženje predstavlja izvještaj o uspješnosti seminarskog rada. U njemu se razmatraju pitanja o pronalaženju empirijskih formula metodom najmanjih kvadrata (OLS) uz pomoć mogućnosti paketa Microsoft Excel, a razmatra se i rješavanje datog problema u Turbo Pascalu 7.0. U radu su dobijene jednačine različitih vrsta pomoću aproksimacijskih linearnih, kvadratno-zakonskih i eksponencijalnih ovisnosti. Po završetku rada donosi se zaključak, rješava se problem koji je metod bolji.

Strane 24, tabele 3, slike 14, dodaci 0.

Anotacija. 2

Uvod. 4

Formulacija problema. pet

Opće informacije. 6

Linearna zavisnost. 7

Nelinearna zavisnost. 7

Početni podaci. 10

Izračunavanje aproksimacija u Excel 11 proračunskoj tabeli

Konstrukcija grafova. 17

LINEST funkcija 18

Aproksimacija u MathCAD-u.. 19

Uvod. 19

Linearna aproksimacija u MathCAD-u.. 21

Eksponencijalna aproksimacija u MathCAD-u.. 22

Polinom (kvadratna aproksimacija u MathCAD-u.. 23

Reference.. 24

Uvod

Aproksimacija (od latinskog "approximare" - "pristup") je naučna metoda čija je suština zamjena nekih poznatih vrijednosti drugim, približnim i jednostavnijim. Ove jednostavne vrijednosti moraju zadovoljiti neku ovisnost, čije je pronalaženje, općenito, krajnji cilj ove metode.

Poznato je da funkcionalna zavisnost između veličina može biti ili tačna (ovaj slučaj je tipičan za teorijske pronalaske) ili približna (što je tipičnije za eksperimentalno dobijene podatke). Ova nepreciznost, odstupanje dobijene vrednosti od željene zavisnosti, koja se na grafu iskazuje kao raspršivanje tačaka na određenoj udaljenosti od krive (ovde malo preterujem) može imati nekoliko razloga:

1. Greške u direktnim mjerenjima (instrumentalne), ljudske greške (ovdje, naravno, ne govorim o grubim greškama koje daju značajna odstupanja).

2. Nesavršenstvo ljudskog znanja o prirodi - nikako nam ne dozvoljavaju svi moderni naučni koncepti da precizno izračunamo bilo koje vrijednosti ​​​​za stvarne slučajeve - mnogi od njih su usmjereni na idealne slučajeve.

3. Složenost i varijabilnost same prirode (posebno žive). Na primjer, u slučaju a sociološko istraživanje, tačna podudarnost eksperimentalnih podataka s teorijskim uopće nije potrebna - čak i mala korelacija eksperimentalnih rezultata s očekivanim pravilnostima već može mnogo reći stručnjacima.

Prilikom odabira aproksimacije treba polaziti od specifičnog zadatka studije. Obično, što je jednačina koja se koristi za aproksimaciju jednostavnija, to je dobijeni opis zavisnosti približniji. Stoga je važno pročitati koliko su značajna i što je uzrokovalo odstupanja konkretnih vrijednosti od rezultirajućeg trenda. Kada se empirijski opisuje zavisnost određene vrijednosti mnogo veća tačnost se može postići upotrebom neke složenije, višeparametarske jednačine. Međutim, nema smisla pokušavati prenijeti nasumična odstupanja vrijednosti u određenim serijama empirijskih podataka s maksimalnom preciznošću. Mnogo je važnije uhvatiti opštu pravilnost, koja je u ovom slučaju najlogičnije i sa prihvatljivom tačnošću izražena upravo dvoparametarskom jednačinom funkcije stepena. Dakle, prilikom odabira metode aproksimacije, istraživač uvijek pravi kompromis: odlučuje u kojoj mjeri je u ovom slučaju svrsishodno i prikladno „žrtvovati“ detalje i, shodno tome, koliko generalizirano treba izraziti ovisnost upoređenih varijabli. Uz identifikaciju obrazaca maskiranih slučajnim odstupanjima empirijskih podataka od opšteg obrasca, aproksimacija omogućava i rješavanje mnogih drugih važnih problema: formalizirati pronađenu ovisnost; pronađite nepoznate vrijednosti zavisne varijable interpolacijom ili, ako je primjenjivo, ekstrapolacijom.

Formulacija problema

1. Koristeći metodu najmanjih kvadrata, aproksimiramo funkciju datu u tabeli

a) polinom prvog stepena ;

b) polinom drugog stepena;

c) eksponencijalna zavisnost.

2. Izračunajte koeficijent determinizma za svaku zavisnost.

3. Izračunajte koeficijent korelacije (samo u slučaju a).

4. Za svaku zavisnost napravite liniju trenda.

5. Pomoću funkcije LINEST izračunajte numeričke karakteristike zavisnosti y od x.

6. Uporedite svoje proračune s rezultatima dobivenim korištenjem funkcije LINEST.

7. Zaključiti koja od dobijenih formula najbolje aproksimira funkciju .

8. Obraditi date eksperimentalne podatke koristeći ugrađene funkcije interpolacije (aproksimacije) i regresije MathCAD paketa i uporediti rezultate sa rezultatima dobijenim u Microsoft Excel-u.

Opće informacije

U eksperimentalnoj studiji funkcionalna zavisnost y = f(x) mjeri vrijednost y na različitim vrijednostima x. Rezultati su prikazani u obliku tabele 1 ili grafički.

X	x 1	x2	×××	x n
Y	x 1	Y2	×××	y n

Tabela 1

Zadatak je analitički prikazati željenu funkcionalnu zavisnost, tj. u odabiru formule koja opisuje rezultate eksperimenta. Empirijska formula se obično bira iz prilično uske klase funkcija, uzimajući u obzir, na primjer, skup linearnih, potencijskih, eksponencijalnih itd. funkcija. Istovremeno se rukovode nekim teorijskim razmatranjima ili razmatranjima jednostavnosti u predstavljanju empirijskog materijala. Pronađena empirijska formula trebala bi biti takva da se vrijednosti funkcija izračunate iz nje pri X=x i mogu malo razlikovati od eksperimentalnih podataka y i (i = 1, 2, …, n).

Označiti izabranu funkcionalnu zavisnost

će biti minimalan. Dakle, parametri a 1 , a 2 , …, i m se određuju iz uslova da je zbir kvadrata odstupanja izmjerenih vrijednosti y i od hosted najmanju vrijednost.

Koristeći neophodne uslove ekstremuma funkcije nekoliko varijabli, dobijamo normalan sistem za određivanje koeficijenata a 1 , a 2 , … i m

gdje su a1, a2 nepoznati parametri, a sistem (1.3) ima oblik

gdje su a, b konstante i x > 0 i y > 0.

Uzimajući logaritam jednakosti (1.2.1), dobijamo

i primjenom formula (1.1.2) nalazimo vrijednosti parametara b i u, a zatim vrijednost parametra a.

eksponencijalna zavisnost

Uz pretpostavku v = lny, c = lna, Y = x, dobijamo linearnu zavisnost

Tabela br. 3.6

Što je manja vrijednost Q, to bolje empirijska formula odgovara eksperimentalnim podacima.

U svakom zadatku, metodom najmanjih kvadrata potrebno je pronaći teorijsku funkcionalnu ovisnost za funkciju specificiranu u tablici. Kao teorijsku funkcionalnu zavisnost koristite:

– Polinom prvog stepena ,

– eksponencijalna funkcija ,

– funkcija snage ,

- Polinom drugog stepena.

Za svaku zavisnost pronađite teorijsku vrijednost funkcije, zbroj kvadrata odstupanja empirijskih vrijednosti funkcije od teoretskih vrijednosti, naznačite najmanju vrijednost ove vrijednosti i aproksimirajuću funkciju kojoj ona odgovara. Napravite liniju trenda za svaku zavisnost i prikažite jednadžbu ove linije na dijagramu. Pokažite na dijagramu vrijednost koeficijenta determinizma R 2 . Ovaj koeficijent se izračunava po formuli

,

(2.1)

gdje su date vrijednosti funkcije,

Teorijske vrijednosti funkcije,

Prosječna aritmetička vrijednost, i = 1, 2, …,n.

Ako je koeficijent determinizma jednak 1, tada se teorijske i empirijske vrijednosti funkcije potpuno poklapaju. Ako je koeficijent

determinizma je 0, tada je teorijska zavisnost odabrana neuspješno.

Početni podaci

Neki eksperiment je napravljen. Njegovi rezultati se bilježe u obliku tabele, gdje je xi vrijednost koju je odredio istraživač (na primjer, koncentracija reagensa u hemijskom rastvoru), yi je izmjerena vrijednost (u našem primjeru, to može biti brzina reakcije ).

x i	y i	x i	y i	x i	y i	x i	y i	x i	y i
0.21	1.62	4.98	40.09	7.96	63.31	12.33	97.77	17.32	126.45
1.19	8.65	5.49	43.56	8.32	67.45	13.21	105.34	18.43	144.34
2.43	16.76	6.07	48.45	9.43	72.87	14.72	112.56	19.38	160.45
3.12	24.45	6.81	52.21	10.21	81.34	15.53	121.89	20.45	161.34
4.54	32.87	7.21	57.34	11.54	89.45	16.23	108.54	21.22	170.59

tabela 2

Izračunavanje aproksimacija u Excel tabeli

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE

SAVEZNI DRŽAVNI BUDŽET

OBRAZOVNE USTANOVE

VISOKO STRUČNO OBRAZOVANJE

"VORONJEŽ DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET"

(FGBOU VPO "VSTU", VSTU)

Fakultet radiotehnike i elektronike

Stolica višu matematiku i fizičko-matematičko modeliranje

NASTAVNI RAD

disciplina: Matematika

Tema: "Metode za aproksimaciju funkcija"

Razvio učenik grupe KP-121

I.S. Kononučenko

Šef Kostryukov S.A.

ZADATAK za rad na kursu

Tema: "Metode za aproksimaciju funkcija."

Učenik grupe KP-121 Kononučenko Ilja Sergejevič

1. Metode aproksimacije funkcija.

1.1. Kontinuirana aproksimacija.

2. Aproksimacija tačaka.

3. Lagrangeov interpolacijski polinom.

4. Newtonov interpolacijski polinom.

5. Globalna greška interpolacije.

6. Metoda najmanjih kvadrata.

7. Izbor empirijskih formula.

8. Komadična konstantna interpolacija

9. Linearna interpolacija po komadima.

2. Praktični dio.

2.1. Konstruirati interpolacijski polinom za funkciju f(x)=lnx- po čvorovima x=2; 4; 6; 8; 10; 12. Izračunajte približnu vrijednost logaritma od 5,75. Dobiti procjenu greške preostalog člana.

2.2. Funkcija f(x) data u tabeli je aproksimirana linearna zavisnost ??(x)=Ax2+Bx+C. Pronađite x za koji je f(x)=10.

1. METODE APOKSIMACIJE FUNKCIJA

1.1 Kontinuirana aproksimacija

1.2 Aproksimacija tačaka

4 Njutnov interpolacioni polinom

8 Konstantna interpolacija po komadima

9 Linearna interpolacija po komadima

Praktični dio

2.1 Konstruirati interpolacijski polinom za funkciju f(x)=lnx-na čvorovima x=2; 4; 6; 8; 10; 12. Izračunajte približnu vrijednost logaritma od 5,75. Dobiti procjenu greške preostalog člana

2.2 Funkcija f(x), data u tabeli, aproksimirana je linearnom zavisnošću ?(x) \u003d Ax + B, kvadratna ovisnost ?(x)=Ax2+Bx+C. Pronađite x za koji je f(x)=10

Bibliografija

1.METODE APROKSIMACIJE FUNKCIJE

1.1Kontinuirana aproksimacija

Ako je izvorna funkcija f(x) data analitičkim izrazom, tada je prilikom konstruiranja aproksimirajuće funkcije moguće zahtijevati minimalno odstupanje jedne funkcije od druge na nekom kontinuiranom skupu tačaka, na primjer, na segmentu. Ova vrsta aproksimacije se naziva kontinuirana ili integralna.

Teoretski, za najbolju aproksimaciju, preporučljivo je zahtijevati da u svim tačkama određenog segmenta odstupanje aproksimirajuće funkcije od funkcije f(x) bude manje od date vrijednosti u apsolutnoj vrijednosti:

U ovom slučaju, kaže se da funkcija uniformno aproksimira funkciju f(x) sa tačnošću e na intervalu. Praktično dobijanje uniformne aproksimacije predstavlja velike poteškoće, pa se ova metoda koristi uglavnom u teorijskim studijama.

Najčešće se koristi takozvana aproksimacija srednjeg kvadrata, za koju se veličina

Zahtevajući da parcijalni izvod M nestane u odnosu na parametre koji određuju funkciju, dobijaju se jednadžbe koje omogućavaju pronalaženje najboljih vrednosti ovih parametara.

Aproksimacija u 2 tačke

Aproksimacija u kojoj je aproksimacija izgrađena na datom diskretnom skupu tačaka naziva se tačkasta aproksimacija.

Da bi se dobila aproksimacija srednjeg kvadrata funkcije y=f(x), data u tabeli, aproksimirajuća funkcija se gradi iz uslova minimalne vrijednosti

gdje su yi vrijednosti funkcije f(x) u tačkama xi.

Glavno područje primjene aproksimacije srednjeg kvadrata je obrada eksperimentalnih podataka (konstrukcija empirijskih formula).

Druga vrsta aproksimacije tačaka je interpolacija, u kojoj aproksimirajuća funkcija u datim tačkama xi uzima iste vrijednosti yi kao i funkcija f(x), tj. .

Slika 1

U ovom slučaju, blizina interpolirajuće funkcije datoj funkciji je da se njihove vrijednosti poklapaju na datom sistemu bodova.

Na sl. 1 prikazuje kvalitativne dijagrame interpolacijske funkcije (puna linija) i rezultate efektivne aproksimacije (isprekidana linija). Tačke označavaju tabelarne vrijednosti funkcije f(x).

3 Lagrangeov interpolacijski polinom

Lagrange je predložio da se izgradi interpolacijski polinom u obliku ekspanzije

gdje su li(x) bazne funkcije.

Da bi polinom zadovoljio Lagrangeove uslove, tj. bi bile interpolirane, osnovne funkcije li(x) moraju imati sljedeća svojstva:

) biti polinom stepena n

) zadovoljiti uslov

Lagrange je pokazao da funkcije sa ovim svojstvima trebaju imati sljedeći oblik

Uzimajući ovaj izraz u obzir, Lagrangeov interpolacijski polinom se može zapisati kao

Za razliku od interpolacionog polinoma u kanonskom obliku, za izračunavanje vrijednosti Lagrangeovog polinoma nije potrebno prethodno određivati ​​koeficijente polinoma rješavanjem sistema jednadžbi. Međutim, za svaku vrijednost argumenta x Lagrangeov polinom se mora ponovo izračunati, dok se koeficijenti kanonskog polinoma izračunavaju samo jednom. Zbog toga praktična upotreba Lagrangeov polinom je opravdan samo u slučaju kada se interpolaciona funkcija izračunava na relativno malom broju tačaka x.

Pokazalo se da je Lagrangeov interpolacijski polinom vrlo pogodan za približno izračunavanje određenih integrala. Ako je, na primjer, određena funkcija zamijenjena Lagrangeovim interpolacijskim polinomom, tada se njen definitivni integral može izračunati na sljedeći način

Vrijednosti integrala ne ovise o f(x) i mogu se lako analitički izračunati.

1.4 Njutnov interpolacioni polinom

Razmotrimo drugi oblik pisanja interpolacionog polinoma

Zahtjev da se vrijednosti polinoma poklapaju sa datim vrijednostima funkcije u čvornim tačkama Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n dovodi do sistema linearne jednačine sa trouglastom matricom za nepoznate koeficijente:

što nije teško rešiti.

Interpolacijski polinom naziva se Newtonov polinom. Zanimljiva karakteristika Njutnovog polinoma je da je svaki parcijalni zbir njegovih prvih (m + 1) članova interpolacioni polinom stepena m, izgrađen od prvih (m + 1) tabelarnih podataka.

5 Globalna greška interpolacije

Greška aproksimacije funkcije f(x) interpolacijom polinom nth stepen Ln(x) u tački x je određen razlikom

Može se pokazati da je greška Rn(x) određena sljedećim izrazom

Ovdje je derivacija (n+1) reda funkcije f(x) u nekoj tački, a funkcija je definirana kao

Ako maksimalna vrijednost izvod f (n+1)(x) je

tada za grešku interpolacije slijedi procjena

Specifična vrijednost greške u tački x očito ovisi o vrijednosti funkcije u ovoj tački. Kvalitativna priroda zavisnosti je prikazana na sl. 2.

Slika 2

Zbog opisanog ponašanja greške, globalna interpolacija u nekim slučajevima može dati potpuno nezadovoljavajući rezultat. Iz slike se vidi da je interpolaciona greška veća što je tačka x bliže krajevima segmenta. Izvan intervala interpolacije (tj. tokom ekstrapolacije) se brzo povećava, pa se greška značajno povećava.

1.6 Najmanji kvadrati

Neka se za početne podatke xi, fi, i=1,…,N (numerisanje je bolje krenuti od jedan), bira se tip empirijske zavisnosti: y= ?(a0,a1,…,am) sa nepoznatim koeficijentima a0,a1,…,am . Zapišimo zbir kvadrata odstupanja između onih izračunatih empirijskom formulom i datih eksperimentalnih podataka:

S(a0,a1,…,am)=(?(x1,a0,a1,…,am)-fi)2

Parametri a0,a1,…,am će se naći iz minimalnog uslova za funkciju S(a0,a1,…,am). Ovo je metoda najmanjih kvadrata (LSM).

Poznato je da su u minimalnoj tački sve parcijalne derivacije od S u odnosu na jednake nuli:

Razmotrimo primjenu LSM-a za određeni slučaj koji se široko koristi u praksi. As empirijska funkcija razmotrimo polinom

?(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

Formula (1) za određivanje zbira kvadrata odstupanja će imati oblik:

S(a0,a1,…,am)=(a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)

Izračunajte derivate

Izjednačavanjem ovih izraza sa nulom i sakupljanjem koeficijenata za nepoznate a0,a1,…,am dobijamo sledeći sistem linearnih jednačina

Ovaj sistem jednadžbe se nazivaju normalnim. Rješavajući ovaj sistem linearnih jednačina, dobijamo koeficijente.

U slučaju polinoma prvog reda, m=1, tj. , sistem normalnih jednačina ima oblik

Za m=2 imamo:

U pravilu se bira nekoliko empirijskih ovisnosti. Prema najmanjim kvadratima nalaze se koeficijenti ovih zavisnosti i među njima je najbolji u smislu minimalnog iznosa odstupanja.

1.7 Izbor empirijskih formula

Prilikom interpolacije funkcija koristili smo uvjet jednakosti vrijednosti interpolacionog polinoma i date funkcije na interpolacijskim čvorovima. Ako su početni podaci dobijeni kao rezultat eksperimentalnih mjerenja, onda zahtjev za tačnim podudaranjem nije neophodan, jer se podaci ne dobijaju tačno. U ovim slučajevima može biti potrebno samo približno ispunjenje uslova interpolacije. Ovaj uvjet znači da interpolirajuća funkcija F(x) ne prolazi točno kroz date bodove, iu nekim od njihovih naselja, na primjer, kao što je prikazano na Sl.

formula aproksimacijske polinomske interpolacije

Slika 3

Tada se govori o izboru empirijskih formula. Konstrukcija empirijske formule sastoji se od dvije faze odabira oblika ove formule koja sadrži nepoznate parametre a0,a1,…,am i određivanja najboljih parametara u određenom smislu. Oblik formule je ponekad poznat iz fizičkih razmatranja (za elastični medij, odnos između naprezanja i deformacije) ili se bira iz geometrijskih razmatranja: eksperimentalne točke su nacrtane na grafikonu i približno se pogađaju opšti oblik ovisnost uspoređivanjem rezultirajuće krive sa grafovima poznatih funkcija. Uspjeh je ovdje u velikoj mjeri određen iskustvom i intuicijom istraživača.

Za praksu je važan slučaj aproksimacije funkcije polinomima, tj. F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm .

Nakon odabira vrste empirijske zavisnosti, utvrđuje se stepen bliskosti empirijskim podacima koristeći minimalnu sumu kvadrata odstupanja izračunatih i eksperimentalnih podataka.

1.8 Pojedinačna konstantna interpolacija

Na svakom segmentu interpolacijski polinom je jednak konstanti, odnosno lijevoj ili desnoj vrijednosti funkcije.

Za lijevu komadno linearnu interpolaciju

F(x)= fi-1 ako je xi-1 ?x

Za desnu komadno linearnu interpolaciju F(x)= fi-1 ako je xi-1

Lako je vidjeti da su uslovi interpolacije ispunjeni. Konstruirana funkcija je diskontinuirana, što ograničava njenu primjenu. Za lijevu komadno linearnu interpolaciju imamo grafički prikaz

Slika 4

1.9 Linearna interpolacija po komadima

Na svakom intervalu funkcija je linearna Fi(x)=kix+li. Vrijednosti koeficijenata se nalaze iz ispunjenja uslova interpolacije na krajevima segmenta: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi. Dobijamo sistem jednačina: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , iz kojeg nalazimo ki=li= fi- kixi .

Stoga se funkcija F(x) može napisati kao:

F(x)= x+ fi-kixi ako, tj.

Ili F(x)=ki (x-xi-1)+fi-1, ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1 ? x? xi, i=1,2,...,N-1

Kada koristite linearnu interpolaciju, prvo morate odrediti interval u koji pada vrijednost x, a zatim ga zamijeniti u formulu.

Rezultirajuća funkcija će biti kontinuirana, ali će derivacija biti diskontinuirana u svakom interpolacijskom čvoru. Greška takve interpolacije bit će manja nego u slučaju komadno konstantne interpolacije. Ilustracija linearne interpolacije po komadima prikazana je na slici

Slika 5

2. PRAKTIČNI DIO

2.1 Konstruirajte interpolacijski polinom za funkciju

f(x)=lnx- po čvorovima x=2; 4; 6; 8; 10; 12.

Formula za izračunavanje ovog polinoma je sljedeća:

gdje je n broj čvorova.

Izračunajmo vrijednosti osnovnih polinoma.

Formula za izračunavanje osnovnih polinoma:

Zapišimo vrijednosti čvorova funkcije:

Izračunajmo vrijednosti funkcija f(x) na odgovarajućim čvorovima:

f (x0) == 0,6931471805599453-1.5 = -0.8068528194400547 (x1) = = 0.136294361119891 (X2) = = 1,791759666680666668 = 0.645092802561388 (x3) = = 0,994441541679835 (x4) = = 2.302585092994045 -1.1=1.202585092994045(x5)= =2.484906649788-1.0833333333333333=1.401573316454667

Izračunajmo vrijednosti odgovarajućih osnovnih polinoma:

Zapisujemo formulu za izračunavanje polinoma f(x)=lnx- prema dobijenim podacima:

L(x)=f(x0) l0(x)+ f(x1) l1(x)+ f(x2) l2(x)+ f(x3) l3(x)+ f(x4) l4(x)+ f(x5) l5(x).

Dobijene vrijednosti zamijenite u formulu:

L(x)=((- 0.8068528194400547) (x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0.136294361119891 5(x-2)(x-6 )( x-8)(x-10)(x-12)- 0.625092802561388 10

(x-2)(x-4)(x-8)(x-10)(x-12)+ 0.954441541679835 10(x-2)(x-4)(x-6)(x-10) (x -12)-1.202585092994045 5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1.401573316454667

(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+

032520620421826 x3-0.289410042490318 x2+1.50294940468648 x-2.886362165898854

Slika 6

L(x)= 0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+

032520620421826x3-0.289410042490318x2+

50294940468648 x-2.886362165898854

Iz slike se vidi da se grafovi funkcija poklapaju.

Izračunavamo približnu vrijednost logaritma od 5,75 sa tačnošću od 0,001.

Koristimo dekompoziciju

Koristeći formulu

Izračunajmo približnu vrijednost logaritma:

Dobijamo procjenu za grešku preostalog člana:

Formula za pronalaženje ostatka u drugim točkama:

Rn(x)=f(x)-Ln(x).

Zamijenite vrijednosti i izračunajte ostatak:

Rn(x)= -0,234721044665224-(-0,149875603361276)= 0,0122

Za apsolutnu grešku Lagrangeove interpolacijske formule može se dobiti sljedeća procjena:

0122374?9.9512361

Iz procjene proizlazi da se izborom dovoljno velikog broja particionih tačaka može dobiti rezultat sa traženom tačnošću.

Funkcija f(x) data u tabeli je aproksimirana linearnom zavisnošću ?(x)=Ax+B, kvadratna zavisnost ? (x)=Ax2+Bx+C.

x10151720f(x)371117 Rješenje:

Za rješavanje ovog problema koristimo metodu najmanjih kvadrata.

Sistem normalnih jednadžbi za linearnu zavisnost (x)=Ax+B:

S obzirom da je n=4: ;

Rešavamo sistem linearnih jednačina:

Prema tome, linearna zavisnost će izgledati ovako:

Razmotrimo kvadratnu zavisnost?(x)=Ax2+Bx+C. Sistem normalnih jednačina ima oblik:

Pronađite neprebrojane količine:

Stoga će kvadratna zavisnost izgledati ovako:

Slika 7

Funkcija definirana tablicom.

Linearna zavisnost

Kvadratna zavisnost

Prema grafu nalazimo vrijednost x za koju je f(x)=10.

Bibliografija

1. Kirillova S.Yu. Računarska matematika/Kirillova S.Yu. Izdavačka kuća Vladim. stanje un-ta, 2009. -102str.

2. Referentni priručnik o aproksimativnim metodama za rješavanje zadataka više matematike / L.I. Borodich, A.I. Gerasimović, N.P. Keda i drugi; ed. L.I. Borodich - M.: Viša škola, 1986. -189s.

3. Tyukanov, A.S. Osnove numeričkih metoda: udžbenik. dodatak za studente. Izdavačka kuća RGPU im. A.I. Herzen, 2007. -226s.

Tutoring

Trebate pomoć u učenju teme?

Naši stručnjaci će savjetovati ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju.
Pošaljite prijavu naznačivši temu odmah da saznate o mogućnosti dobijanja konsultacija.