Polinomski koeficijenti. Nizovi Utjecaj koeficijenata kubnog polinoma na graf

Ako za polinom n-ti stepen pronašao korijen, onda možete smanjiti stepen polinoma konstruiranjem polinoma stepena koji ima sve korijene iste kao i korijeni polinoma, osim što nema korijen.

Napišimo relaciju koja povezuje polinome:

Uzimajući u obzir relaciju 6.3 o jednakosti dva polinoma istog stepena, možemo napisati relaciju koja povezuje koeficijente ovih polinoma. Ove relacije nije teško riješiti s obzirom na nepoznate koeficijente. Kao rezultat, dobijamo:

(6.4)

Imajte na umu da postoje samo nepoznanice, a jednadžbe se mogu konstruirati -. Ali posljednja jednadžba je posljedica prethodnih i koristi se za kontrolu proračuna.

Isti postupak možete primijeniti na novi polinom - pronađite njegov korijen, a zatim smanjite stupanj polinoma. U stvarnosti, snižavanje stepena ne pojednostavljuje mnogo problem pronalaženja korijena, pa je često lakše pronaći korijene originalnog polinoma promjenom početne aproksimacije u iterativnom procesu ili traženjem različitih intervala u kojima polinom mijenja predznak.

Pronalaženje koeficijenata polinoma po njegovim korijenima

Do sada smo razmatrali problem pronalaženja korijena polinoma sa datim koeficijentima. Ponekad morate riješiti inverzni problem - pronaći koeficijente polinoma ako su njegovi korijeni poznati - . Postoji beskonačan broj polinoma sa istim korijenima. Međutim, među njima postoji jedan polinom sa koeficijentom jednakim jedan. Ovaj polinom se zove redukovani, a mi ćemo ga izgraditi. Svi ostali polinomi se dobijaju iz redukovanog polinoma množenjem svih koeficijenata sa proizvoljan broj, od čega se traži samo da nije jednako nuli. Stoga je za jedinstveno rješenje problema potrebno postaviti n korijena i koeficijent na najvišem članu polinoma. Tada možemo napisati sljedeću jednakost:

Da bismo pronašli koeficijente polinoma, koristimo, kao i obično, relaciju 6.3. Ali direktno ga primijeniti je teško. Stoga koristimo proces inverzan procesu snižavanja stepena. Prvo, konstruirajmo polinom prvog stepena, koji ima jedan korijen. Zatim povećavamo stepen i konstruišemo polinom drugog stepena - , koji ima još jedan koren - . Nastavljajući ovaj proces, dolazimo do traženog polinoma. Prilikom izračunavanja koeficijenata novog polinoma koristićemo koeficijente već izračunatog polinoma za jedan stepen manje. Rezultirajuće relacije su bliske onima datim za slučaj snižavanja stepena polinoma.

Koeficijenti polinoma prvog stepena ispisuju se eksplicitno:

Polinomski koeficijenti k-ti stepen izračunavaju se kroz koeficijente polinoma stepena k-1:

Prelaskom na koeficijente dobijamo sledeće jednačine:

(6.5)

U odnosu 6.5, koeficijenti polinoma stepena su označeni sa . Zapravo, shema je sigurna i omogućava vam da izračunate koeficijente na istom mjestu bez potrebe za dodatnom memorijom. Dat ću algoritam za izračunavanje koeficijenata polinoma po njegovim korijenima u obliku sheme bliske jeziku C#.

Izračunati:

//Izračunati koeficijente polinoma prvog stepena a= 1; a = -x; //petlja preko broja polinoma for(int k=2;k<=n; k++) { //Вычисляем коэффициенты полинома степени k //Вначале старший коэффициент a[k]= a; //затем остальные коэффициенты, кроме последнего for(int i=k-1;i>0; i--) ( a[i] = a- a[i]*x; ) //sada nizak koeficijent a= -a*x; ) //Posljednji korak je množenje koeficijenata sa for(int i=0; i<=n; i++) a[i] = a[i]*an;

Lagrangeov polinom

Neka je data tačka na ravni: . Lagrangeov polinom je polinom n-tog stepena koji prolazi kroz sve tačke. Ako tačke ne čine povrat, onda takav polinom postoji i jedinstven je. Povratak se razumije kao situacija kada postoje dvije točke i takve da .

Kako izgraditi takav polinom? Lagrange je predložio sljedeći algoritam. Polinom se konstruiše kao zbir polinoma n-tog stepena:

Svaki od polinoma uključenih u zbir je konstruisan na sledeći način. Korijeni polinoma su sve točke osim točke . Jedinstvenost je obezbeđena zbog činjenice da je koeficijent na najvišem članu an izabran tako da polinom prolazi kroz tačku . U Lagrangeovoj notaciji polinom izgleda ovako.

LAB #7

INTERPOLACIJA FUNKCIJE POLINOMAMA

LAGRANGE

Zadatak. Izračunajte približnu vrijednost funkcije za datu vrijednost argumenta x* koristeći Lagrangeov interpolacijski polinom; nacrtajte Lagrangeov polinom kroz datih šest tačaka.

Kratak opis metode.

Počinjemo razmatranjem problema interpolacije u najjednostavnijem i najpotpunije proučenom slučaju interpolacije algebarskim polinomima. Za datu tabelu podataka)

interpolacijski polinom ako ispunjava uslove

Jednakost (7.2) se može napisati kao sistem jednačina

s obzirom na koeficijente polinoma a to. Ovaj sistem je jedinstveno rješiv, budući da je sistem funkcija 1, x, x 2,…x n linearno nezavisna u tačkama x 0, x i .x str. Jedinstvena rješivost sistema (7.3) proizlazi iz dobro poznate činjenice da je determinanta ovog sistema ( Vandermonde determinanta)

različit od nule ako su interpolacijski čvorovi po paru različiti. Dakle, tačna je sljedeća teorema.

Teorema 7.1.Postoji jedinstveni interpolacioni polinom stepena n koji zadovoljava uslove(7.2).

Komentar. U praksi se sistem (7.3) nikada ne koristi za izračunavanje koeficijenata interpolacionog polinoma. Činjenica je da je često loše uslovljena. Pored toga, postoje razni zgodni eksplicitni oblici pisanja interpolacionog polinoma, koji se koriste u interpolaciji. Konačno, u većini primjena interpolacionog polinoma, eksplicitno izračunavanje koeficijenata a to nema potrebe.

Problem interpolacije sastoji se u konstruisanju funkcije (x) koja zadovoljava uslov Drugim rečima, zadatak je da se konstruiše funkcija čiji graf prolazi kroz date tačke (xi, yi). Pošto funkcija (x) prolazi kroz sve date tačke, ova metoda je pozvao globalna interpolacija. Najjednostavniji i najpotpunije istražen slučaj je interpolacija algebarskim polinomima. Jedan od oblika pisanja interpolacionog polinoma -Lagrangeov polinom:

Kao što je lako vidjeti, polinom je koji zadovoljava uslove

Dakle, Lagrangeov polinom je zaista interpolacijski polinom.

U inženjerskoj praksi najčešće se koristi interpolacija polinomima prvog, drugog i trećeg stepena. Evo odgovarajućih formula za pisanje Lagrangeovih polinoma prvog i drugog stepena:

Primjer 7.1. Neka je data tablica vrijednosti funkcije at=lnx:

X	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
At	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,336472

Za približno izračunavanje vrijednosti ln(1.23) koristimo linearnu i kvadratnu interpolaciju.

Uzmimo x 0 = 1,2 i x 1 = 1,3. Proračun po formuli (7.4) daje vrijednost 1n(1.23) 0,206335 .

Da biste primijenili kvadratnu interpolaciju, uzmite x 0 = 1,1, x 1 = 1,2, x 2 = 1,3 - tri najbliže tački x = 1,23

čvor. Računajući po formuli (7.5), imamo 1n(1.23) 0,207066.

Izložimo bez dokaza najpoznatiju teoremu o grešci interpolacije.

Teorema 7.1. Neka funkcija f(x) diferencibilan n+1

jednom u segmentu [a, b], koji sadrži interpolacijske čvorove Zatim za grešku interpolacije u tački pravedna jednakost

u kojem

- neka tačka koja pripada intervalu (a,b).

Glavna neugodnost u korištenju ove teoreme je ta što je tačka nepoznata. Stoga se najčešće ne koristi sama teorema, već njena posljedica.

Posljedica.Pravedna procjena greške interpolacije u tački , koji ima formu

kao i procjena maksimalnog modula interpolacijske greške na segmentu, koji ima oblik

Primjer 7.2. Procijenimo grešku aproksimacija na

ln(1,23) , dobijeno u primjeru 7.1 primjenom interpolacije polinomima prvog i drugog stepena. U ovim slučajevima nejednakost (7.7) poprima oblik

Imajte na umu da za imamo i . Pa evo

Tada, zbog nejednakosti (7.9) i (7.10), dobijamo sljedeće procjene greške:

Ako na segmentu , derivacija se neznatno mijenja, tada je veličina apsolutne greške gotovo u potpunosti određena vrijednošću funkcije . Ideja o tipičnom ponašanju ove funkcije može se dobiti na Sl. 1. Obratimo pažnju na činjenicu da kada argument x izađe izvan segmenta posmatranja, vrijednost brzo postaje veoma velika. Ovo objašnjava nepouzdanost ekstrapolacije funkcije za vrijednosti argumenata koje su daleko od segmenta promatranja.

Pusti sada i pusti i korak tabele, i blago grublju procjenu (7.8), možemo dobiti sljedeću nejednakost

To nam omogućava da tvrdimo da za dovoljno glatku funkciju za fiksni stepen interpolacionog polinoma, greška interpolacije na segmentu [x 0 , x n ] teži nuli ne sporije od neke vrijednosti proporcionalne . Ova činjenica se obično formuliše na sledeći način: interpolacija polinomom stepena P ima (n+1)-ti red tačnosti u odnosu na h max . Konkretno, linearna i kvadratna interpolacija su drugog i trećeg reda tačnosti, respektivno.

Opcije	x*	x i	y i	Opcije	x*	x i	y i
	0,702	0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75	1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973		0,152	0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30	1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
	0,512		0,174
	0,645		0,185
	0,736		0,203
	0,526	0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64	2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310		0,616	0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72	2,57418 2,32513 2,09336 1,?6203 1,74260 1,62098
	0,453		0,478
. 15	0,482		0,665
	0,552		0,537
	0,896	0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99	0.80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368		0,314	0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0.40	9,05421 6,61659 4,69170 3,35106 2,73951 2,36522
	0,812		0,235
	0,774		0,332
	0,915		0,275

Programski algoritam

Koristite module crt I graf;

definicija varijabli;

početak izvršnog dijela programa

postavljanje vrijednosti elemenata niza x[i] i y[i]; postavljanje vrijednosti argumenta xz; yz = 0; u ciklusu za i od 0 do 5 do

| u petlji preko ] od 0 do 5 izvršiti ako * / onda |xx =xx (hz - x[j]/(x[i] - x[j]);

| yz=yz+y[i] x x

kraj ciklusa i;

prikazivanje vrijednosti xz I uz;.

čekanje da se pritisne tipka Enter;

prebaciti na grafički način rada;

slika datih tačaka (h i , u i);

slika grafa Lagrangeovog polinoma;

čeka se da se pritisne bilo koji taster na kraju programa.

Uputstvo. Ako radite u grafičkom načinu rada, koristite programe iz prethodnih laboratorija.

test pitanja

1. Šta je zadatak interpolacije?

2. Koji se polinom naziva interpolacijskim polinomom?

3. Koja je razlika između globalne i lokalne interpolacije?

4. Kako stepen Lagrangeovog interpolacionog polinoma zavisi od broja čvorova?

5. Koliko polinoma ima koji zadovoljavaju interpolacijski uslov?

6. Koji su nedostaci Lagrangeovog interpolacionog polinoma?

7. Kako se procjenjuje interpolaciona greška?

8. Kako se mijenja tačnost interpolacije u zavisnosti od udaljenosti od segmenta posmatranja i zašto?

Izvještaj treba da sadrži početne podatke, prikaz problema, podatke o načinu rješenja, tekst programa, dobijene rezultate i grafikon.

Prilagodite krive i površine podacima koristeći regresiju, interpolaciju i izglađivanje

Curve Fitting Toolbox™ pruža aplikaciju i funkcije za prilagođavanje krivulja i površina podacima. Kutija alata vam omogućava da izvršite istraživačku analizu podataka, podatke pre obrade i postprocesiranja, uporedite modele kandidata i uklonite odstupnike. Možete pokrenuti regresionu analizu koristeći priloženu biblioteku linearnih i nelinearnih modela ili možete definirati vlastite jednačine. Biblioteka obezbeđuje optimizovane parametre rešavača i početne uslove za poboljšanje kvaliteta vaših uklapanja. Alatni okvir takođe podržava tehnike neparametarskog modeliranja kao što su spline, interpolacija i izglađivanje.

Jednom kada je napravljeno uklapanje, razne tehnike naknadne obrade mogu se primijeniti za crtanje, interpolaciju i ekstrapolaciju; procjena intervala povjerenja; i izračunavanje integrala i izvoda.

Početak rada

Naučite osnove alata za podešavanje krivulje

Linearna i nelinearna regresija

Prilagodite krivulje ili površine s linearnim i nelinearnim modelima biblioteke i prilagođenim modelima

Interpolacija

Postavite interpolacijske krive ili površine, procijenite vrijednosti između poznatih tačaka podataka

Smoothing

Prikladna upotreba utora za izglađivanje i lokaliziranu regresiju, izglađene podatke s pokretnim prosjekom i druge filtere

Pogodna naknadna obrada

Iscrtavanje, odstupnici, reziduali, intervali pouzdanosti, podaci o validaciji, integrali i derivati, generišu MATLAB® kod

Splines

Kreirajte spline sa ili bez podataka; ppform, B-oblik, tenzorski proizvod, racionalni i stform tanki pločasti splinovi

Polinomski koeficijenti

Multinomijalne kvote su koeficijenti u ekspanziji u terminima monoma :

Vrijednost multinomskog koeficijenta definirano za sve nenegativne cijele brojeve n i tako da:

Binomni koeficijent za nenegativan n,k je poseban slučaj multinomskog koeficijenta (za m= 2 ), naime

U kombinatornom smislu, multinomski koeficijent jednak je broju uređenih particija n-element uključen m podskupovi snage.

Svojstva

vidi takođe

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta su "Polinomski koeficijenti" u drugim rječnicima:

- (od engleskog spline, od spline fleksibilan uzorak, metalna traka koja se koristi za crtanje zakrivljenih linija) funkcija čija je domena definicije podijeljena na konačan broj segmenata, na svakom od kojih se splajn poklapa s nekim ... ... Wikipedia

Multinomski (polinomski) koeficijenti koeficijenti u monomskom proširenju: Eksplicitna formula Vrijednost multinomnog koeficijenta ... Wikipedia

"Polynomial" preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja. Polinom (ili polinom) u n varijabli je konačni formalni zbir oblika u kojem postoji skup nenegativnih cijelih brojeva (koji se nazivaju višeindeks), broj ... ... Wikipedia

U matematici, polinomi ili polinomi u jednoj varijabli su funkcije oblika gdje su ci fiksni koeficijenti, a x je varijabla. Polinomi čine jednu od najvažnijih klasa elementarnih funkcija. Proučavanje polinomskih jednadžbi i njihovih rješenja ... ... Wikipedia

Pravougaona tabela koja se sastoji od t redova i n kolona, čiji elementi pripadaju nekom skupu K. Tabela (1) se poziva. također matrica nad K, ili matrica veličine preko K. Neka skup svih matrica preko K. Ako je m = n, tada (1) poziva kvadrat ... ... Mathematical Encyclopedia

Napominje se da je u slučaju kada se karakteristika nelinearnog elementa aproksimira izrazom koji sadrži više od tri točke, preporučljivo je odabrati vrijednost funkcije na jednako raspoređenim vrijednostima argumenta. Osim toga, ako je broj datih tačaka veći od broja aproksimacijskih koeficijenata koji se određuju, preporučuje se korištenje „metode najmanjih kvadrata“, u kojoj je srednja kvadratna greška minimalna, tj. kod ove metode, zbir kvadrata odstupanja polinoma datog stepena od krive je najmanji.

U skladu s tim, uprkos postojećim kompjuterskim programima, preporučljivo je dati kratak recept za korištenje ove metode, koji će omogućiti studentu da shvati matematičku suštinu metode i da pomoću jednostavnih mikrokalkulatora izvrši bilo kakvu aproksimaciju u optimalno kratkom roku. vrijeme.

U njemu se napominje da je najracionalnije izračunati koeficijente polinoma metodom najmanjih kvadrata koristeći one koje je uveo Yu.B. Kobzarev ortogonalnih polinoma za dati broj N jednako raspoređenih tačaka.

Označiti polinomom stepena l. Tada će sistem polinoma biti ortogonan za dati broj tačaka, ako ih ima
jednakost

. (16)

Koristeći poznate ortogonalne Čebiševljeve polinome prema metodi Yu.B. Kobzarev je pronašao svih sedam polinoma koji formiraju takav sistem na segmentu
za N=11 ekvidistantnih tačaka, tj. at
; –0,8; … 0 … 0,8; 1.0 imamo:

(17)

Sistem (17) ortogonalnih polinoma ima izvanredno svojstvo da proširenje bilo koje date funkcije u smislu njih daje najbolju aproksimaciju u smislu najmanjih kvadrata. Dakle, umjesto, na primjer, izraza (18) za koeficijent prijenosa napona
sa nepoznatim koeficijentima, može se napisati kao zbir (19) gornjih polinoma:

(18)

. (19)

Evo R je stepen polinoma; R je cijeli broj jednak broju pojma; je koeficijent koji ima dimenziju
, što se može nazvati strminom reda R, tj. postoji strmina nultog reda, - prva narudžba itd.

Vrijednost uključena ovdje X proporcionalno naponu
, računano od sredine aproksimacijskog dijela
, tj. kada se promeni
unutar
,X varira od -1 do 1, dakle

. (20)

Za određivanje koeficijenta
u (19) množimo obje strane jednakosti polinomom
i zbroj po svim tačkama . Zatim, koristeći svojstvo ortogonalnosti (16), nalazimo

. (21)

, (22)

gdje
je normalizovani polinom

. (23)

Pošto nulti čvor odgovara lijevom kraju aproksimacijskog dijela, tj.
, onda se zbir (22) može zgodno podijeliti na sume, gdje X<0 и X>0, budući da su parni polinomi ( R= 0, 2, 4, 6) se ne razlikuju u ovim područjima i neparni ( R=1, 3, 5, 7) razlikuju se samo po predznacima. U tom smislu, preporučljivo je uvesti nepar
i čak
komponente dobitka TO:

(24)

gdje
- promjena koraka X(u našem slučaju sa N=11
);

- vrijednost dobitka u bodovima
.

Sada umjesto zbroja preko pozitivnih i negativnih vrijednosti moguće je uzeti sume samo preko pozitivnih koristeći parne i neparne komponente dobitka. Onda

(25)

Sumiranje u tabeli. 1 vrijednosti koeficijenta normaliziranih polinoma
i koristeći ih, lako je pronaći koeficijente
prema formulama (25), zatim u (19) grupirati članove po stepenu X i prelazi se na reprezentaciju dobitka u obliku polinoma po stepenu
. Koeficijenti ovog polinoma će biti izabrani na najbolji način u smislu najmanjih kvadrata, u kojima je eksperimentalna kriva
će se praktično stopiti sa teoretskom krivom
.

Razmotrit ćemo proračun koeficijenata polinoma koji se koristi u harmonijskoj analizi za određivanje koeficijenata i parametara nelinearnosti i, na kraju, za odabir optimalnog načina rada uređaja za pojačavanje na konkretnom primjeru.

Tabela 1