Ecuații logaritmice. De la simplu la complex.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este o ecuație logaritmică?

Aceasta este o ecuație cu logaritmi. Sunt surprins, nu?) Apoi voi clarifica. Aceasta este o ecuație în care se găsesc necunoscutele (x-urile) și expresiile cu acestea în interiorul logaritmilor.Și numai acolo! Este important.

Aici sunt cateva exemple ecuații logaritmice:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ei bine, înțelegi... )

Notă! Sunt localizate cele mai diverse expresii cu X exclusiv în cadrul logaritmilor. Dacă, brusc, un X apare undeva în ecuație in afara, De exemplu:

log 2 x = 3+x,

aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Apropo, există ecuații în care sunt în interiorul logaritmilor doar numere. De exemplu:

Ce pot sa spun? Ai noroc dacă dai peste asta! Logaritmul cu numere este oarecare număr. Asta e tot. Este suficient să cunoaștem proprietățile logaritmilor pentru a rezolva o astfel de ecuație. Cunoașterea unor reguli speciale, tehnici adaptate special pentru rezolvare ecuații logaritmice, nu este necesar aici.

Asa de, ce este o ecuație logaritmică- ne-am dat seama.

Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Soluţie ecuații logaritmice- de fapt treaba nu este foarte simplă. Deci secțiunea noastră este un patru... Este necesară o cantitate decentă de cunoștințe pe tot felul de subiecte conexe. În plus, există o caracteristică specială în aceste ecuații. Și această caracteristică este atât de importantă încât poate fi numită în siguranță problema principală în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Suntem cu această problemă urmatoarea lectie Să ne uităm în detaliu.

Deocamdată, nu-ți face griji. Vom merge pe drumul cel bun de la simplu la complex. Folosind exemple specifice. Principalul lucru este să vă aprofundați în lucruri simple și să nu fi lene să urmați linkurile, le-am pus acolo cu un motiv... Și totul va funcționa pentru dvs. Neapărat.

Să începem cu cele mai elementare, mai simple ecuații. Pentru a le rezolva, este recomandabil să aveți o idee despre logaritm, dar nimic mai mult. Doar habar nu logaritm, ia o decizie logaritmică ecuații – cumva chiar incomode... Foarte îndrăznețe, aș spune).

Cele mai simple ecuații logaritmice.

Acestea sunt ecuații de forma:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Procesul de rezolvare orice ecuație logaritmică consta in trecerea de la o ecuatie cu logaritmi la o ecuatie fara acestia. În cele mai simple ecuații, această tranziție se realizează într-un singur pas. De aceea sunt cele mai simple.)

Și astfel de ecuații logaritmice sunt surprinzător de ușor de rezolvat. Convinge-te singur.

Să rezolvăm primul exemplu:

log 3 x = log 3 9

Pentru a rezolva acest exemplu, nu trebuie să știți aproape nimic, da... Pur intuiție!) De ce avem nevoie in mod deosebit nu iti place acest exemplu? Ce-ce... nu-mi plac logaritmii! Dreapta. Deci hai să scăpăm de ei. Privim cu atentie exemplul, si in noi apare o dorinta fireasca... De-a dreptul irezistibil! Luați și aruncați logaritmii cu totul. Și ce e bine este că Poate sa do! Matematica permite. Logaritmii dispar raspunsul este:

Grozav, nu? Acest lucru poate (și ar trebui) să fie făcut întotdeauna. Eliminarea logaritmilor în acest mod este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică această operație se numește potențare. Desigur, există reguli pentru o astfel de lichidare, dar sunt puține. Tine minte:

Puteți elimina logaritmii fără nicio teamă dacă au:

a) aceleaşi baze numerice

c) logaritmii de la stânga la dreapta sunt puri (fără coeficienți) și sunt într-o izolare splendidă.

Permiteți-mi să clarific ultimul punct. În ecuație, să spunem

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logaritmii nu pot fi eliminati. Cei doi din dreapta nu-i permit. Coeficientul, știi... În exemplu

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

De asemenea, este imposibil să potențați ecuația. Nu există un logaritm singur pe partea stângă. Sunt doi dintre ei.

Pe scurt, puteți elimina logaritmii dacă ecuația arată așa și doar așa:

log a (.....) = log a (.....)

În paranteze, acolo unde există o elipsă, poate exista orice expresii. Simplu, super complex, de tot felul. Tot ceea ce. Important este că după eliminarea logaritmilor rămânem ecuație mai simplă. Se presupune, desigur, că știți deja cum să rezolvați ecuații liniare, pătratice, fracționale, exponențiale și alte ecuații fără logaritmi.)

Acum puteți rezolva cu ușurință al doilea exemplu:

log 7 (2x-3) = log 7 x

De fapt, este hotărât în ​​minte. Potentiam, obtinem:

Ei bine, este foarte greu?) După cum puteți vedea, logaritmică o parte a soluției ecuației este doar in eliminarea logaritmilor...Și apoi vine soluția ecuației rămase fără ele. O chestiune banala.

Să rezolvăm al treilea exemplu:

log 7 (50x-1) = 2

Vedem că există un logaritm în stânga:

Să ne amintim că acest logaritm este un număr la care trebuie ridicată baza (adică șapte) pentru a obține o expresie sublogaritmică, i.e. (50x-1).

Dar acest număr este doi! Conform Eq. Acesta este:

Asta e practic tot. Logaritm a dispărut, Ceea ce rămâne este o ecuație inofensivă:

Am rezolvat această ecuație logaritmică doar pe înțelesul logaritmului. Este încă mai ușor să eliminați logaritmii?) Sunt de acord. Apropo, dacă faci un logaritm din doi, poți rezolva acest exemplu prin eliminare. Orice număr poate fi transformat într-un logaritm. Mai mult, felul în care avem nevoie. O tehnică foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și (mai ales!) a inegalităților.

Nu știi cum să faci un logaritm dintr-un număr!? E bine. Secțiunea 555 descrie această tehnică în detaliu. Îl poți stăpâni și îl poți folosi la maximum! Reduce foarte mult numărul de erori.

A patra ecuație este rezolvată într-un mod complet similar (prin definiție):

Asta este.

Să rezumam această lecție. Am analizat soluția celor mai simple ecuații logaritmice folosind exemple. Este foarte important. Și nu numai pentru că astfel de ecuații apar în teste și examene. Cert este că până și cele mai rele și mai complicate ecuații se reduc neapărat la cele mai simple!

De fapt, cele mai simple ecuații sunt partea finală a soluției orice ecuații. Și această parte finală trebuie înțeleasă strict! Și mai departe. Asigurați-vă că citiți această pagină până la sfârșit. E o surpriză acolo...)

Acum decidem singuri. Să ne îmbunătățim, ca să spunem așa...)

Găsiți rădăcina (sau suma rădăcinilor, dacă sunt mai multe) ecuațiilor:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Răspunsuri (în dezordine, desigur): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Ce, nu merge totul? Se întâmplă. Nu vă faceți griji! Secțiunea 555 explică soluția pentru toate aceste exemple într-o manieră clară și detaliată. Cu siguranță o să-ți dai seama acolo. Veți învăța și tehnici practice utile.

Totul a mers!? Toate exemplele de „unul rămas”?) Felicitări!

Este timpul să-ți dezvălui adevărul amar. Rezolvarea cu succes a acestor exemple nu garantează succesul în rezolvarea tuturor celorlalte ecuații logaritmice. Chiar și cele mai simple ca acestea. Vai.

Cert este că soluția oricărei ecuații logaritmice (chiar și cea mai elementară!) constă în două părți egale. Rezolvarea ecuației și lucrul cu ODZ. Am stăpânit o parte - rezolvarea ecuației în sine. Nu este atât de greu dreapta?

Pentru această lecție am selectat special exemple în care DL nu afectează în niciun fel răspunsul. Dar nu toți sunt la fel de amabili ca mine, nu?...)

Prin urmare, este imperativ să stăpânești cealaltă parte. ODZ. Aceasta este principala problemă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Și nu pentru că ar fi dificil - această parte este chiar mai ușoară decât prima. Dar pentru că oamenii pur și simplu uită de ODZ. Sau ei nu știu. Sau amândouă). Și cad din senin...

În următoarea lecție ne vom ocupa de această problemă. Atunci poți decide cu încredere orice ecuații logaritmice simple și abordează sarcini destul de solide.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b *a c = a b+c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel cu exponenți întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot unde trebuie să simplificați înmulțirea greoaie prin simplă adunare. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Într-un limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Un logaritm este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ(adică orice pozitiv) „b” prin baza sa „a” este considerată a fi puterea lui „c” la care trebuie ridicată baza „a” pentru a obține în cele din urmă valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești o putere astfel încât de la 2 la puterea necesară să obții 8. După ce faci niște calcule în capul tău, obținem numărul 3! Și asta este adevărat, pentru că 2 la puterea lui 3 dă răspunsul ca 8.

Tipuri de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar de fapt logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri separate de expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un singur logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile acestora și succesiunea acțiunilor atunci când le rezolvați.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-constrângeri care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărul. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina pare a numerelor negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• Baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și nu egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b >0, se dovedește că și „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina este de a găsi răspunsul la ecuația 10 x = 100. Acest lucru este foarte ușor, trebuie să alegeți o putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 = 100.

Acum să reprezentăm această expresie în formă logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile practic converg pentru a găsi puterea la care este necesar să se introducă baza logaritmului pentru a obține număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să învățați cum să lucrați cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o minte tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea pentru valori mari veți avea nevoie de un tabel de grade. Poate fi folosit chiar și de cei care nu știu nimic despre subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c la care este ridicat numărul a. La intersecție, celulele conțin valorile numerice care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Rezultă că în anumite condiții exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o egalitate logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul de bază 3 al lui 81 egal cu patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 îl scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom privi mai jos exemple și soluții de ecuații, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să vedem cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă următoarea expresie: log 2 (x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmic. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit la baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea unei inegalități, atât intervalul acceptabil. valorile și punctele sunt determinate întrerupând această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul la o ecuație, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive de găsire a valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom uita la exemple de ecuații mai târziu; să ne uităm mai întâi la fiecare proprietate mai detaliat.

1. Identitatea principală arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai atunci când a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă logaritmică, cu exemple și soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2, apoi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obținem că s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietățile lui grade ), și apoi prin definiție: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, care este ceea ce trebuia demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului de logaritm”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate naturale. Să ne uităm la dovada.

Fie log a b = t, se dovedește a t =b. Dacă ridicăm ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n, prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme pe logaritmi sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt, de asemenea, o parte obligatorie a examenelor de matematică. Pentru admitere la universitate sau promovare examenele de admitere la matematică trebuie să știi să rezolvi corect astfel de probleme.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, dar anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau duce la aspectul general. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem repede.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, trebuie să stabilim ce tip de logaritm avem: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determine puterea la care baza 10 va fi egală cu 100, respectiv 1026. Pentru a rezolva logaritmii naturali, trebuie să aplicați identități logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor de bază despre logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului unui produs poate fi utilizată în sarcini în care este necesară extinderea mare importanță numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a puterii logaritmului, am reușit să rezolvăm o expresie aparent complexă și de nerezolvat. Trebuie doar să factorizați baza și apoi să eliminați valorile exponentului din semnul logaritmului.

Teme de la examenul de stat unificat

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special multe probleme logaritmice în examenul de stat unificat ( Examen de stat pentru toți absolvenții școlii). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai complexe și mai voluminoase sarcini). Examenul necesită cunoașterea exactă și perfectă a subiectului „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile la probleme sunt preluate din oficial Opțiuni pentru examenul de stat unificat. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2, prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4, deci 2x = 17; x = 8,5.

• Cel mai bine este să reduceți toți logaritmii la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile de sub semnul logaritmului sunt indicate ca fiind pozitive, prin urmare, atunci când exponentul unei expresii care se află sub semnul logaritmului și ca bază a acesteia este scos ca multiplicator, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

Ecuație logaritmică este o ecuație în care necunoscuta (x) și expresiile cu aceasta se află sub semn funcţie logaritmică. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice presupune că sunteți deja familiarizat cu și .
Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Cea mai simplă ecuație este log a x = b, unde a și b sunt numere, x este o necunoscută.
Rezolvarea unei ecuații logaritmice este x = a b cu condiția: a > 0, a 1.

Trebuie remarcat faptul că, dacă x este undeva în afara logaritmului, de exemplu log 2 x = x-2, atunci o astfel de ecuație este deja numită mixtă și este necesară o abordare specială pentru a o rezolva.

Cazul ideal este atunci când dai peste o ecuație în care doar numerele sunt sub semnul logaritmului, de exemplu x+2 = log 2 2. Aici este suficient să cunoști proprietățile logaritmilor pentru a o rezolva. Dar un astfel de noroc nu se întâmplă des, așa că pregătește-te pentru lucruri mai dificile.

Dar mai întâi, să începem cu ecuații simple. Pentru a le rezolva, este recomandabil să aveți o înțelegere foarte generală a logaritmului.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice simple

Acestea includ ecuații de tipul log 2 x = log 2 16. Ochiul liber poate vedea că omițând semnul logaritmului obținem x = 16.

Pentru a rezolva o ecuație logaritmică mai complexă, se reduce de obicei la rezolvarea unei ecuații algebrice obișnuite sau la rezolvarea unei ecuații logaritmice simple log a x = b. În cele mai simple ecuații acest lucru se întâmplă într-o singură mișcare, motiv pentru care sunt numite cele mai simple.

Metoda de mai sus de eliminare a logaritmilor este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică, această operație se numește potențare. Există anumite reguli sau restricții pentru acest tip de operațiuni:

• logaritmii au aceleași baze numerice
• Logaritmii din ambele părți ale ecuației sunt liberi, adică. fără coeficienți sau alte tipuri diferite de expresii.

Să presupunem că în ecuație log 2 x = 2log 2 (1 - x) potențarea nu este aplicabilă - coeficientul 2 din dreapta nu o permite. În exemplul următor, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) nu satisface nici una dintre restricții - există doi logaritmi în stânga. Dacă ar fi doar unul, ar fi cu totul altă chestiune!

În general, puteți elimina logaritmii numai dacă ecuația are forma:

log a (...) = log a (...)

Absolut orice expresii pot fi plasate între paranteze; acest lucru nu are absolut niciun efect asupra operației de potențare. Și după eliminarea logaritmilor, va rămâne o ecuație mai simplă - liniară, pătratică, exponențială etc., pe care, sper, deja știi să o rezolvi.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Aplicăm potențarea, obținem:

log 3 (2x-1) = 2

Pe baza definiției unui logaritm, și anume, că un logaritm este numărul la care trebuie ridicată baza pentru a obține o expresie care se află sub semnul logaritmului, i.e. (4x-1), obținem:

Din nou am primit un răspuns frumos. Aici am făcut fără eliminarea logaritmilor, dar potențarea este aplicabilă și aici, pentru că un logaritm se poate face din orice număr, și exact cel de care avem nevoie. Această metodă este foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și în special a inegalităților.

Să rezolvăm ecuația noastră logaritmică log 3 (2x-1) = 2 folosind potențarea:

Să ne imaginăm numărul 2 ca un logaritm, de exemplu, acest log 3 9, deoarece 3 2 =9.

Apoi log 3 (2x-1) = log 3 9 și din nou obținem aceeași ecuație 2x-1 = 9. Sper că totul este clar.

Așa că ne-am uitat la cum să rezolvăm cele mai simple ecuații logaritmice, care sunt de fapt foarte importante, deoarece rezolvarea ecuațiilor logaritmice, chiar și cele mai groaznice și întortocheate, până la urmă întotdeauna se rezumă la rezolvarea celor mai simple ecuații.

În tot ceea ce am făcut mai sus, am pierdut din vedere un punct foarte important, care va juca un rol decisiv în viitor. Faptul este că soluția oricărei ecuații logaritmice, chiar și cea mai elementară, constă din două părți egale. Prima este soluția ecuației în sine, a doua lucrează cu intervalul de valori admisibile (APV). Aceasta este exact prima parte pe care am stăpânit-o. În exemplele de mai sus, ODZ nu afectează în niciun fel răspunsul, așa că nu l-am luat în considerare.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

În exterior, această ecuație nu este diferită de una elementară, care poate fi rezolvată cu mare succes. Dar nu este așa. Nu, bineînțeles că o vom rezolva, dar cel mai probabil incorect, deoarece conține o mică ambuscadă, în care cad imediat în ea atât elevii de clasa C, cât și studenții excelenți. Să aruncăm o privire mai atentă.

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina ecuației sau suma rădăcinilor, dacă există mai multe dintre ele:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Folosim potențarea, este acceptabilă aici. Drept urmare, obținem cele obișnuite ecuație pătratică.

Găsirea rădăcinilor ecuației:

S-au dovedit două rădăcini.

Răspuns: 3 și -1

La prima vedere totul este corect. Dar haideți să verificăm rezultatul și să-l înlocuim în ecuația originală.

Să începem cu x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Verificarea a avut succes, acum coada este x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Bine, oprește-te! La exterior totul este perfect. Un lucru - nu există logaritmi din numerele negative! Aceasta înseamnă că rădăcina x = -1 nu este potrivită pentru rezolvarea ecuației noastre. Și, prin urmare, răspunsul corect va fi 3, nu 2, așa cum am scris.

Aici și-a jucat ODZ rolul fatal, de care uitasem.

Permiteți-mi să vă reamintesc că intervalul de valori acceptabile include acele valori ale lui x care sunt permise sau au sens pentru exemplul original.

Fără ODZ, orice soluție, chiar și una absolut corectă, a oricărei ecuații se transformă într-o loterie - 50/50.

Cum am putea fi prinși rezolvând un exemplu aparent elementar? Dar tocmai în momentul potențarii. Logaritmii au dispărut și odată cu ei toate restricțiile.

Ce să faci în acest caz? Refuzați să eliminați logaritmii? Și refuză complet să rezolvi această ecuație?

Nu, suntem la fel ca niște eroi adevărați de la unul cântec celebru, hai sa facem un ocol!

Înainte de a începe să rezolvăm orice ecuație logaritmică, vom nota ODZ. Dar după aceea, poți face orice dorește inima ta cu ecuația noastră. După ce am primit răspunsul, pur și simplu aruncăm acele rădăcini care nu sunt incluse în ODZ-ul nostru și notăm versiunea finală.

Acum să decidem cum să înregistrăm ODZ. Pentru a face acest lucru, examinăm cu atenție ecuația originală și căutăm locuri suspecte în ea, cum ar fi împărțirea cu x, chiar rădăcină etc. Până nu rezolvăm ecuația, nu știm cu ce este egal x, dar știm sigur că acele x care, atunci când sunt înlocuite, dau împărțire cu 0 sau luând rădăcina pătrată a unui număr negativ, nu sunt în mod evident potrivite ca un Răspuns. Prin urmare, astfel de x sunt inacceptabile, în timp ce restul vor constitui ODZ.

Să folosim din nou aceeași ecuație:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

După cum puteți vedea, nu există nicio împărțire cu 0, rădăcini pătrate de asemenea, nu, dar există expresii cu x în corpul logaritmului. Să ne amintim imediat că expresia din interiorul logaritmului trebuie să fie întotdeauna >0. Scriem această condiție sub forma ODZ:

Acestea. Încă nu am rezolvat nimic, dar am notat deja o condiție obligatorie pentru întreaga expresie sublogaritmică. Acolada înseamnă că aceste condiții trebuie să fie adevărate simultan.

ODZ este notat, dar este și necesar să rezolvăm sistemul de inegalități rezultat, ceea ce vom face. Obținem răspunsul x > v3. Acum știm sigur care x nu ne va potrivi. Și apoi începem să rezolvăm ecuația logaritmică în sine, ceea ce am făcut mai sus.

După ce am primit răspunsurile x 1 = 3 și x 2 = -1, este ușor de observat că doar x1 = 3 ni se potrivește și îl notăm ca răspuns final.

Pentru viitor, este foarte important să rețineți următoarele: rezolvăm orice ecuație logaritmică în 2 etape. Primul este de a rezolva ecuația în sine, al doilea este de a rezolva condiția ODZ. Ambele etape se desfășoară independent una de cealaltă și sunt comparate numai la scrierea răspunsului, adică. aruncați tot ce nu este necesar și scrieți răspunsul corect.

Pentru a consolida materialul, vă recomandăm insistent să urmăriți videoclipul:

Videoclipul prezintă alte exemple de rezolvare a jurnalului. ecuații și elaborarea metodei intervalului în practică.

La aceasta intrebare, cum se rezolvă ecuații logaritmice Asta este tot pentru acum. Dacă ceva se decide prin jurnal. ecuațiile rămân neclare sau de neînțeles, scrieți-vă întrebările în comentarii.

Notă: Academia de Educație Socială (ASE) este pregătită să accepte noi studenți.

Cum se rezolvă o ecuație logaritmică? Această întrebare este pusă de mulți școlari, mai ales în ajunul promovarea examenului de stat unificat matematică. La urma urmei, în sarcina C1 a profilului Unified State Examination, pot fi întâlnite ecuații logaritmice.

O ecuație în care necunoscutul este în interiorul logaritmilor se numește logaritmică. Mai mult, necunoscutul poate fi găsit atât în ​​argumentul logaritmului, cât și în baza acestuia.

Există mai multe moduri de a rezolva astfel de ecuații. În acest articol ne vom uita la o metodă care este ușor de înțeles și de reținut.

Cum se rezolvă ecuații cu logaritmi: 2 metode cu exemple

Există diferite moduri de a rezolva o ecuație logaritmică. Cel mai adesea la școală se învață cum să rezolve o ecuație logaritmică folosind definiția unui logaritm. Adică avem o ecuație de forma: Reamintim definiția unui logaritm și obținem următoarele: Astfel, obținem o ecuație simplă pe care o putem rezolva cu ușurință.

La rezolvarea ecuațiilor logaritmice, este important să ne amintim domeniul de definire a logaritmului, deoarece argumentul f(x) trebuie să fie mai mare decât zero. De aceea verificăm întotdeauna după rezolvarea unei ecuații logaritmice!

Să vedem cum funcționează asta cu un exemplu:

Să folosim definiția logaritmului și să obținem:

Acum avem în fața noastră cea mai simplă ecuație, care nu este greu de rezolvat:

Hai să facem o verificare. Să înlocuim X găsit în ecuația originală: Deoarece 3 2 = 9, ultima expresie este corectă. Prin urmare, x = 3 este rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3

Principalul dezavantaj aceasta metoda Rezolvarea ecuațiilor logaritmice este că mulți tipi confundă exact ce trebuie ridicat la putere. Adică, când convertesc log a f(x) = b, mulți ridică nu a la puterea lui b, ci mai degrabă b la puterea lui a. O astfel de greșeală enervantă vă poate priva de puncte prețioase la examenul de stat unificat.

Prin urmare, vom arăta o altă modalitate de a rezolva ecuațiile logaritmice.

Pentru a rezolva o ecuație logaritmică, trebuie să o aducem într-o formă în care ambele părți din dreapta și din stânga ecuației au logaritmi cu aceleași baze. Arata cam asa:

Odată ce ecuația este redusă la această formă, putem „tașa” logaritmii și rezolva ecuația simplă. Să înțelegem cu un exemplu.

Să rezolvăm din nou aceeași ecuație, dar acum în acest fel: În partea stângă avem un logaritm de bază 2. Prin urmare, trebuie să transformăm partea dreaptă a logaritmului astfel încât să conțină și un logaritm de bază 2.

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă proprietățile logaritmilor. Prima proprietate de care avem nevoie aici este unitatea logaritmică. Să-i reamintim: Adică, în cazul nostru: Să luăm partea dreaptă a ecuației noastre și să începem să o transformăm: Acum trebuie să introducem și 2 în expresia logaritmică. Pentru a face acest lucru, amintiți o altă proprietate a logaritmului:

Să folosim această proprietate în cazul nostru, obținem: Am transformat partea dreaptă a ecuației noastre în forma de care aveam nevoie și am primit: Acum, în partea stângă și dreaptă a ecuației avem logaritmi cu aceleași baze, așa că le putem tăia. Ca rezultat, obținem următoarea ecuație:

Răspuns: x = 3

Da, există mai mulți pași în această metodă decât atunci când rezolvați folosind definiția unui logaritm. Dar toate acțiunile sunt logice și consecvente, drept urmare sunt mai puține șanse de a face greșeli. În plus, această metodă oferă mai multe oportunități pentru rezolvarea unor ecuații logaritmice mai complexe.

Să ne uităm la un alt exemplu: Deci, ca și în exemplul anterior, aplicăm proprietățile logaritmilor și transformăm partea dreaptă a ecuației după cum urmează: După transformarea părții drepte, ecuația noastră ia următoarea formă: Acum putem tăia logaritmii și apoi obținem: Să ne amintim proprietățile gradelor:

Acum să verificăm: atunci ultima expresie este corectă. Prin urmare, x = 3 este rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3

Un alt exemplu de rezolvare a unei ecuații logaritmice: să transformăm mai întâi partea stângă a ecuației noastre. Aici vedem suma logaritmilor cu aceleași baze. Să folosim proprietatea sumei logaritmilor și să obținem: Acum să transformăm partea dreaptă a ecuației: După ce am transformat partea dreaptă și stângă a ecuației, obținem: Acum putem tăia logaritmii:

Să rezolvăm această ecuație pătratică și să găsim discriminantul:

Să verificăm, înlocuim x 1 = 1 în ecuația originală: Adevărat, prin urmare x 1 = 1 este rădăcina ecuației.

Acum să substituim x 2 = -5 în ecuația originală: Deoarece argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv, expresia nu este adevărată. Prin urmare, x 2 = -5 este o rădăcină străină.

Răspuns: x = 1

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații logaritmice cu baze diferite

Mai sus, am rezolvat ecuații logaritmice care implicau logaritmi cu aceleași baze. Dar ce să faci dacă logaritmii au baze diferite? De exemplu,

Așa este, trebuie să aduceți logaritmii din partea dreaptă și stângă la aceeași bază!

Deci, să ne uităm la exemplul nostru: Să transformăm partea dreaptă a ecuației noastre:

Știm că 1/3 = 3 -1. Cunoaștem și proprietatea logaritmului, și anume eliminarea exponentului din logaritm: Aplicam aceste cunostinte si obtinem: Dar atâta timp cât avem un semn „-” în fața logaritmului din partea dreaptă a ecuației, nu avem dreptul să le tăiem. Este necesar să introduceți semnul „-” în expresia logaritmică. Pentru a face acest lucru, vom folosi o altă proprietate a logaritmului:

Apoi obținem: Acum, în partea dreaptă și stângă a ecuației avem logaritmi cu aceleași baze și le putem tăia: Sa verificam: Dacă transformăm partea dreaptă folosind proprietățile logaritmului, obținem: Adevărat, prin urmare x = 4 este rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 4.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații logaritmice cu baze variabile

Mai sus ne-am uitat la exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice ale căror baze erau constante, de exemplu. o anumită valoare– 2, 3, ½... Dar baza logaritmului poate conține X, atunci o astfel de bază va fi numită variabilă. De exemplu, log x +1 (x 2 +5x-5) = 2. Vedem că baza logaritmului din această ecuație este x+1. Cum se rezolvă o ecuație de acest tip? O vom rezolva după același principiu ca și cele precedente. Acestea. ne vom transforma ecuația astfel încât în ​​stânga și în dreapta să fie logaritmi cu aceeași bază. Să transformăm partea dreaptă a ecuației: Acum logaritmul din partea dreaptă a ecuației are aceeași bază ca logaritmul din partea stângă: Acum putem tăia logaritmii: Dar ecuația dată nu este echivalentă cu ecuația originală, deoarece domeniul de definiție nu este luat în considerare. Să notăm toate cerințele legate de logaritm:

1. Argumentul logaritm trebuie să fie mai mare decât zero, prin urmare:

2. Baza logaritmului trebuie să fie mai mare decât 0 și nu trebuie să fie egală cu unu, prin urmare:

Să punem toate cerințele în sistem:

Putem simplifica acest sistem de cerințe. A se vedea x 2 + 5x-5 este mai mare decât zero și este egal cu (x + 1) 2, care, la rândul său, este, de asemenea, mai mare decât zero. În consecință, cerința x 2 + 5x-5 > 0 este satisfăcută automat și nu trebuie să o rezolvăm. Apoi sistemul nostru se va reduce la următoarele: Să rescriem sistemul nostru: Prin urmare, sistemul nostru va lua următoarea formă: Acum ne rezolvăm ecuația: În dreapta avem pătratul sumei: Această rădăcină satisface cerințele noastre, deoarece 2 este mai mare decât -1 și nu este egal cu 0. Prin urmare, x = 2 este rădăcina ecuației noastre.

Pentru a fi complet siguri, putem verifica prin substituirea x = 2 în ecuația originală:

Deoarece 3 2 =9, atunci ultima expresie este corectă.

Răspuns: x = 2

Cum se verifică

Încă o dată, vă atragem atenția asupra faptului că atunci când rezolvați ecuații logaritmice, este necesar să luați în considerare intervalul de valori acceptabile. Astfel, baza logaritmului trebuie să fie mai mare decât zero și nu egală cu unu. Iar argumentul lui trebuie să fie pozitiv, adică. mai mult de zero.

Dacă ecuația noastră are forma log a (f(x)) = log a (g(x)), atunci trebuie îndeplinite următoarele restricții:

După rezolvarea unei ecuații logaritmice, trebuie să faceți o verificare. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în ecuația originală și să o calculați. Acest lucru va dura puțin timp, dar vă va permite să evitați să scrieți rădăcini străine în răspuns. Este atât de păcat să rezolvi corect o ecuație și, în același timp, să notezi incorect răspunsul!

Deci, acum știți cum să rezolvați o ecuație logaritmică folosind definiția unui logaritm și transformând ecuația atunci când ambele părți au logaritmi cu aceleași baze, pe care îi putem „tașa”. Cunoașterea excelentă a proprietăților logaritmului, ținând cont de domeniul definiției, și efectuarea verificării este cheia succesului la rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

1. Soluția este standard - să folosim regula înmulțirii cu 1:

Acum eliminam logaritmii:

Să înmulțim în cruce:

Examinare

Se potrivește!

Examinare

Și se potrivește aici! Poate m-am înșelat și rădăcinile sunt întotdeauna potrivite? Să ne uităm la următorul exemplu!

Exemplul nr. 2

Să reprezentăm triplul folosind metoda noastră preferată în formular

În stânga și în dreapta vom folosi formula pentru suma logaritmilor.

Exemplul nr. 3

Soluția este similară cu exemplul discutat anterior: să transformăm unitatea din dreapta în (permiteți-mi să vă reamintesc că - un logaritm zecimal sau un logaritm la bază) și să facem operații între logaritmii din stânga și din dreapta:

Acum să eliminăm logaritmii din stânga și din dreapta:

\left((x) -2 \right)\left((x) -3 \right)=2

Examinare:

Din nou, ambii logaritmi din stânga sunt nedefiniti, deoarece sunt preluați din numere negative. Atunci nu este o rădăcină.

de atunci

Răspuns:

Sper că exemplele tocmai date vă vor îndepărta pentru totdeauna de la omiterea verificărilor atunci când rezolvați ecuații logaritmice. Este necesar!

Ecuație logaritmică cu bază variabilă

Acum aș dori să mă uit la un alt tip (puțin mai complex) de ecuații logaritmice cu tine. Acestea vor fi ecuații cu bază variabilă.

Înainte de aceasta, am luat în considerare doar cazurile în care bazele erau constante: etc. Dar nimic nu le împiedică să fie unele funcții ale, de exemplu, etc.

Dar nu te speria! Dacă, la rezolvarea inegalităților logaritmice, o bază variabilă provoacă destul de multe neplăceri, atunci Acest lucru nu are practic niciun efect asupra complexității rezolvării ecuației! Judecă singur:

Exemplul nr. 1

Procedăm ca mai înainte: aplicăm metoda „înmulțire cu unu” numărului:

Apoi ecuația inițială este transformată în forma:

voi aplica formula diferenței pătrate:

Examinare:

Ce concluzie tragem? Gresit! Numărul nu este rădăcina ecuației deoarece baza logaritmului nu poate fi un număr negativ sau egal cu unu!

Răspuns: .

După cum puteți vedea, în cazul ecuațiilor nu există nicio diferență fundamentală dacă bazele noastre sunt variabile sau nu. În acest sens, putem spune că decide ecuație logaritmică de obicei mult mai ușor decât rezolvarea unei inegalități logaritmice!

Să încercăm acum să rezolvăm un alt exemplu „ciudat”.

Exemplul nr. 2

Vom acționa ca întotdeauna - vom transforma partea dreaptă într-un logaritm, ca acesta dificil:

Atunci ecuația logaritmică inițială va fi echivalentă cu această ecuație (deși din nou logaritmică)

Voi rezolva din nou această ecuație folosind diferența de pătrate:

Să o rezolvăm mai întâi pe primul, al doilea se va rezolva aproximativ în același mod:

Se va folosi din nou „înmulțirea cu 1”:

În mod similar pentru a doua ecuație:

Acum vine partea distractivă: verificarea. Să începem cu prima rădăcină

Baza logaritmului „mare” este egală cu

Prin urmare, nu este o rădăcină.

Să verificăm al doilea număr:

acel număr este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

Am adus intenționat destule exemplu complex, pentru a vă arăta că nu ar trebui să vă fie frică de logaritmi mari și înfricoșători.

Este suficient sa stii cateva formule (pe care ti le-am dat deja mai sus) și poți găsi o cale de ieșire din orice (aproape) situație!

Ei bine, v-am oferit metodele de bază pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice (metode „fără bibelouri”), care vă vor permite să faceți față celor mai multe exemple (în primul rând la examenul de stat unificat).

Acum este timpul să arăți ce ai învățat. Încercați să rezolvați singur următoarele ecuații logaritmice, iar apoi vom compara rezultatele cu dvs.

Șapte exemple de muncă independentă

Tehnicile discutate în această lucrare, desigur, nu epuizează toate modalitățile posibile de rezolvare a ecuațiilor logaritmice.

În unele cazuri, trebuie să fim cu adevărat creativi pentru a găsi o modalitate de a găsi rădăcinile unei ecuații complicate.

Totuși, oricât de complexă ar fi ecuația inițială, ca urmare ea se va reduce la o ecuație de tipul pe care tocmai am învățat să o rezolvăm tu și cu mine!

Răspunsuri la exemple pentru munca independentă

1. O sarcină destul de simplă: să folosim proprietatea:

în scădere:

Atunci obținem:

Sa verificam:

(V-am explicat deja această tranziție mai sus)

Răspuns: 9

2. De asemenea, nimic supranatural: nu vreau să împart, așa că voi muta termenul cu „minus” la dreapta: acum am logaritmi zecimal în stânga și în dreapta și scap de ei:

Verific:

expresia de sub semnul logaritmului nu poate fi negativă, deci numărul nu este rădăcina ecuației.

Examinare

Răspuns:

Aici trebuie să lucrăm puțin: este clar că voi folosi din nou formula (nu este foarte utilă?):

Ce trebuie să fac înainte de a aplica formula de adăugare a logaritmului? Da, trebuie să scap de multiplicator. Există două moduri: prima este să îl introduceți direct într-un logaritm folosind formula:

În principiu, această metodă are dreptul să existe, dar ce este rău în ea? Este rău să faci față unei expresii a formei (un „grad non-întreg” este întotdeauna neplăcut. Deci, ce altceva putem face? Cum putem scăpa de un astfel de „grad non-întreg”? Să înmulțim cu ecuația noastră:

Ei bine, acum să punem ambii factori în logaritmi:

apoi voi înlocui zero cu

Și în sfârșit primesc:

Îți amintești cum se numește această formulă școlară „neiubită”? Acest diferenta de cub! Poate asta e mai clar?

Permiteți-mi să vă reamintesc că diferența de cuburi este factorizată astfel:

și iată încă una pentru orice eventualitate:

În raport cu situația noastră, aceasta va da:

Prima ecuație are o rădăcină, dar a doua nu are rădăcini (vedeți singuri!).

Vă las pe voi să verificați singur și să vă asigurați că numărul este de fapt rădăcina ecuației noastre.

Ca și în exemplul anterior, rescriem

Din nou, nu vreau scăderi (și împărțiri ulterioare) și, prin urmare, voi muta expresia rezultată la dreapta:

Acum elimin logaritmii din stânga și din dreapta:

Avem o ecuație irațională, pe care sper că știți deja să o rezolvați. Permiteți-mi doar să vă reamintesc că pătram ambele părți:

Sarcina ta acum este să te asiguri că nu este o rădăcină, ci este.

Răspuns:

Totul este transparent: aplicăm formula pentru suma logaritmilor din stânga:

apoi eliminăm logaritmii de pe ambele părți:

Examinare:

Răspuns: ;

Totul nu poate fi mai simplu: ecuația a fost deja redusă la cea mai simplă formă. Tot ce trebuie să facem este să egalăm

Sa verificam:

Dar când baza logaritmilor este egală cu:

Și nu este o rădăcină.

Răspuns:

Am lăsat acest exemplu pentru desert. Deși nici nu este nimic foarte complicat în asta.

Să ne imaginăm zero ca

Atunci tu și cu mine vom primi asta ecuație logaritmică:

Și eliminăm prima „piele” - logaritmi externi.

Să reprezentăm unitatea ca

Atunci ecuația noastră va lua forma:

Acum scoatem „a doua piele” și ajungem la miez:

Sa verificam:

Răspuns: .

3 METODE DE REZOLVARE A ECUATIILOR LOGARITMICE. NIVEL AVANSAT

Acum, după ce ați citit primul articol despre ecuațiile logaritmice, ați însuşit minimul necesar de cunoştinţe necesare pentru a rezolva cele mai simple exemple.

Acum pot trece la analiza mai mult trei metode rezolvarea ecuațiilor logaritmice:

• metoda de introducere a unei noi variabile (sau înlocuire)
• metoda logaritmului
• metoda de tranziție la o nouă fundație.

Prima metodă- una dintre cele mai frecvent utilizate în practică. Rezolvă majoritatea problemelor „dificile” legate de rezolvarea ecuațiilor logaritmice (și nu numai).

A doua metodă servește la rezolvarea ecuațiilor mixte exponențial-logaritmice, reducând în cele din urmă problema la alegerea unei variabile de înlocuire bună (adică la prima metodă).

A treia metodă potrivit pentru rezolvarea unor ecuaţii în care apar logaritmi cu baze diferite.

Voi începe prin a vedea prima metodă.

Metoda de introducere a unei noi variabile (4 exemple)

După cum ați înțeles deja din nume, esența acestei metode este să introduceți o astfel de schimbare a variabilei, încât ecuația dvs. logaritmică să se transforme în mod miraculos într-una pe care o puteți rezolva cu ușurință.

Tot ce vă rămâne după rezolvarea acestei „ecuații simplificate” este de făcut "înlocuire inversă": adică a reveni de la înlocuit la înlocuit.

Să ilustrăm ceea ce tocmai am spus cu un exemplu foarte simplu:

În acest exemplu, înlocuirea se sugerează de la sine! La urma urmei, este clar că dacă înlocuim cu, atunci ecuația noastră logaritmică se va transforma într-una rațională:

O poți rezolva cu ușurință reducându-l la un pătrat:

(pentru ca numitorul să nu se reseteze accidental la zero!)

Simplificand expresia rezultata, obtinem in final:

Acum facem substituția inversă: , apoi rezultă din asta și din obținem

Acum, ca și înainte, este timpul să verificați:

Să fie la început, pentru că atunci este adevărat!

Acum, atunci, totul este corect!

Astfel, numerele sunt rădăcinile ecuației noastre originale.

Răspuns: .

Iată un alt exemplu cu o înlocuire evidentă:

De fapt, să-l înlocuim imediat

atunci ecuația noastră logaritmică inițială se va transforma într-una pătratică:

Înlocuire inversă:

Verificați singuri, asigurați-vă că în acest caz ambele numere pe care le-am găsit sunt rădăcini.

Cred că ai prins ideea principală. Nu este nou și se aplică nu numai ecuațiilor logaritmice.

Un alt lucru este că uneori este destul de dificil să „vezi” imediat înlocuitorul. Acest lucru necesită ceva experiență, care va veni la tine după un efort din partea ta.

Între timp, exersați rezolvarea următoarelor exemple:

Gata? Să verificăm ce ai:

Să rezolvăm mai întâi al doilea exemplu.

El doar îți demonstrează că nu este întotdeauna posibil să faci o înlocuire, așa cum se spune, „în față”.

În primul rând, trebuie să ne transformăm puțin ecuația: aplicăm formula pentru diferența de logaritmi în numărătorul primei fracții și luăm puterea în numărătorul celei de-a doua.

Făcând acest lucru, veți primi:

Acum înlocuirea a devenit evidentă, nu-i așa? Hai sa o facem: .

Acum să aducem fracțiile la un numitor comun și să simplificăm.

Atunci obținem:

După rezolvarea ultimei ecuații, îi vei găsi rădăcinile: unde.

Verificați singuri și asigurați-vă că acestea sunt într-adevăr rădăcinile ecuației noastre originale.

Acum să încercăm să rezolvăm a treia ecuație.

Ei bine, în primul rând, este clar că nu ne va strica să înmulțim ambele părți ale ecuației cu. Nu există niciun rău, dar beneficiile sunt evidente.

Acum să facem un înlocuitor. Ai ghicit ce vom înlocui, nu? Așa este, să zicem. Atunci ecuația noastră va lua următoarea formă:

(ambele rădăcini ni se potrivesc!)

Acum înlocuirea inversă: , de la, de la. Ecuația noastră originală are până la patru rădăcini! Asigurați-vă de acest lucru, să substituim valorile obținute în ecuație. Scriem răspunsul:

Răspuns: .

Cred că acum îți este complet clară ideea de a înlocui o variabilă? Bine, atunci să nu ne oprim aici și să trecem la o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor logaritmice: metoda de tranziție la o nouă fundație.

Metoda de tranziție la o nouă bază

Să luăm în considerare următoarea ecuație:

Ce vedem? Se presupune că cei doi logaritmi sunt „opuși” unul față de celălalt. Ce trebuie sa facem? Totul este ușor: trebuie doar să recurgem la una dintre cele două formule:

În principiu, nimic nu mă împiedică să folosesc oricare dintre aceste două formule, dar datorită structurii ecuației, îmi va fi mai convenabil să o folosesc pe prima: voi scăpa de baza variabilă a logaritmului în al doilea termen. prin înlocuirea lui cu. Acum este ușor de observat că sarcina a fost redusă la cea anterioară: alegerea unui înlocuitor. Înlocuind, obțin următoarea ecuație:

De aici. Tot ce trebuie să faceți este să înlocuiți numerele găsite în ecuația originală și să vă asigurați că sunt, de fapt, rădăcini.

Iată un alt exemplu în care are sens să treci la o nouă fundație:

Cu toate acestea, după cum puteți verifica cu ușurință, dacă tu și cu mine ne mutăm imediat la un nou fond de ten, acest lucru nu va da efectul dorit. Ce trebuie să facem în acest caz? Să simplificăm totul cât mai mult posibil și apoi orice s-ar întâmpla.
Deci, ceea ce vreau să fac este să-mi imaginez cum să scot aceste puteri în fața logaritmilor și, de asemenea, să scot pătratul lui X din primul logaritm. Vom vedea mai târziu.

Amintiți-vă, poate fi mult mai dificil să vă împrietenești cu baza decât cu expresia sub semnul logaritmului!

Urmând această regulă, voi înlocui cu și cu. Atunci voi primi:

Ei bine, următorii pași vă sunt deja familiari. Înlocuiește și caută rădăcini!

Ca rezultat, veți găsi două rădăcini ale ecuației originale:

Este timpul să-ți arăt ce ai învățat!

Mai întâi încercați să rezolvați singur următoarele (nu cele mai simple) exemple:

1. Totul aici este destul de standard: voi încerca să reduc ecuația mea originală astfel încât înlocuirea să fie convenabilă. De ce am nevoie pentru asta? Mai întâi, transformați prima expresie din stânga (eliminați a patra putere a lui doi înaintea logaritmului) și eliminați puterea a doi de la baza celui de-al doilea logaritm. Atunci voi primi:

Tot ce a mai rămas este să „întoarceți” primul logaritm!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(Pentru comoditate, am mutat al doilea logaritm de la stânga la dreapta ecuației)

Problema este aproape rezolvată: puteți face o înlocuire. După reducerea la un numitor comun, obțin următoarea ecuație:

După ce ați făcut înlocuirea inversă, nu vă va fi dificil să calculați că:

Asigurați-vă că valorile obținute sunt rădăcinile ecuației noastre.

2. Aici voi încerca, de asemenea, să „potrivesc” ecuația mea cu un înlocuitor acceptabil. Care? Poate mi se va potrivi.

Așa că să nu pierdem timpul și să începem să ne transformăm!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Ei bine, acum îl puteți înlocui în siguranță! Apoi, în ceea ce privește noua variabilă, obținem următoarea ecuație:

Unde. Din nou, să vă asigurați că ambele numere sunt de fapt rădăcini vă este lăsat ca un exercițiu.

3. Aici nu este chiar imediat evident ce vom înlocui. Există un lucru regula de aur - Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți! Asta voi folosi!

Acum voi „întoarce” toți logaritmii și voi aplica formula logaritmului diferenței la primul și logaritmul sumei la ultimele două:

Aici am folosit și faptul că (at) și proprietatea de a scoate o putere dintr-un logaritm. Ei bine, acum putem aplica un înlocuitor potrivit: . Sunt sigur că știi deja să rezolvi ecuații raționale, chiar și acest tip monstruos. Prin urmare, îmi voi permite să notez imediat rezultatul:

Rămâne de rezolvat două ecuații: . V-ați familiarizat deja cu metodele de rezolvare a acestor „aproape cele mai simple” ecuații din secțiunea anterioară. Așa că voi scrie imediat soluțiile finale:

Asigurați-vă că doar două dintre aceste numere sunt rădăcinile ecuației mele! Și anume, este și, deși nu este o rădăcină!

Acest exemplu este puțin mai complicat, totuși, voi încerca să-l rezolv fără a apela deloc la înlocuirea variabilelor! Să o facem din nou, să facem ce putem: mai întâi, putem extinde logaritmul din stânga conform formulei pentru logaritmul unui raport și, de asemenea, punem pe cei doi în fața logaritmului în paranteză. In final voi obtine:

Ei bine, acum aceeași formulă pe care am folosit-o deja! Deci, să scurtăm partea dreaptă! Acum sunt doar un doi acolo! Să mutam unul la el din stânga și, în sfârșit, obținem:

Știi deja cum să rezolvi astfel de ecuații. Rădăcina se găsește fără dificultate și este egală. Vă reamintesc să verificați!

Ei bine, acum, după cum sper, ați învățat să rezolvați probleme destul de complexe pe care nu le puteți depăși „din cap”! Dar ecuațiile logaritmice pot fi și mai insidioase! Aici sunt cateva exemple:

Aici, din păcate, soluția anterioară nu va da rezultate tangibile. Cum crezi de ce? Da, nu mai există nicio „reciprocitate” a logaritmilor aici. Desigur, acest caz cel mai general poate fi rezolvat, dar folosim deja următoarea formulă:

Această formulă nu-i pasă dacă aveți „opusul” sau nu. Vă puteți întreba, de ce să alegeți o bază? Răspunsul meu este că nu contează. Răspunsul în cele din urmă nu va depinde de asta. În mod tradițional, se folosește fie logaritmul natural, fie zecimalul. Deși acest lucru nu este important. De exemplu, voi folosi zecimală:

Să lași un răspuns în acest formular este o rușine totală! Permiteți-mi mai întâi să notez asta prin definiție

Acum este timpul să folosiți: în paranteze - identitatea logaritmică principală, iar în exterior (până la grad) - transformați raportul într-un singur logaritm: apoi obținem în sfârșit acest „ciudat” Răspuns: .

Alte simplificări, din păcate, nu ne mai sunt disponibile.

Să verificăm împreună:

Dreapta! Apropo, amintiți-vă încă o dată din ce rezultă penultima egalitate din lanț!

În principiu, soluția acestui exemplu poate fi redusă și la trecerea la un logaritm bazat pe o nouă bază, dar ar trebui să vă fie deja frică de ce se va întâmpla în cele din urmă. Să încercăm să facem ceva mai rezonabil: să transformăm partea stângă cât mai bine posibil.

Apropo, cum crezi că am obținut ultima descompunere? Așa e, am aplicat teorema de descompunere trinom pătratic prin factori, și anume:

Dacă sunt rădăcinile ecuației, atunci:

Ei bine, acum voi rescrie ecuația mea originală în această formă:

Dar suntem destul de capabili să rezolvăm o astfel de problemă!

Deci, să introducem un înlocuitor.

Atunci ecuația mea inițială va lua această formă simplă:

Rădăcinile sale sunt egale cu: , atunci

De unde vine această ecuație? nu are rădăcini.

Tot ce trebuie să faci este să verifici!

Încercați să rezolvați singur următoarea ecuație. Fă-ți timp și ai grijă, atunci norocul va fi de partea ta!

Gata? Să vedem ce avem.

De fapt, exemplul se rezolvă în doi pași:

1. Transformă

2. acum în dreapta am o expresie care este egală cu

Astfel, ecuația inițială a fost redusă la cea mai simplă:

Testul arată că acest număr este într-adevăr rădăcina ecuației.

Metoda logaritmului

Și, în final, voi discuta foarte pe scurt despre metodele de rezolvare a unora ecuații mixte. Desigur, nu mă angajez să acopăr toate ecuațiile mixte, ci voi arăta metode de rezolvare a celor mai simple.

De exemplu,

O astfel de ecuație poate fi rezolvată folosind metoda logaritmului. Tot ce trebuie să faci este să iei logaritmul ambelor părți.

Este clar că, deoarece avem deja un logaritm la bază, voi duce logaritmul la aceeași bază:

Acum voi elimina puterea expresiei din stânga:

și factorizați expresia folosind formula diferenței de pătrate:

Verificarea, ca întotdeauna, ține de conștiință.

Încercați să rezolvați singur ultimul exemplu din acest articol!

Să verificăm: luați logaritmul la baza ambelor părți ale ecuației:

Scot gradul din stânga și îl împart folosind formula sumei din dreapta:

Ghicim una dintre rădăcini: este o rădăcină.

În articolul dedicat soluției ecuații exponențiale, am vorbit despre cum să împărțim un polinom cu un „colț” cu altul.

Aici trebuie să împărțim la.

Ca rezultat obținem:

Dacă este posibil, efectuați singur verificarea (deși în acest caz, mai ales cu ultimele două rădăcini, nu va fi ușor).

ECUATII LOGARITMICE. SUPER NIVEL

Pe lângă materialul deja prezentat, vă sugerez să luăm în considerare o altă modalitate de a rezolva ecuații mixte care conțin logaritmi, dar aici voi lua în considerare ecuațiile care nu poate fi rezolvată prin metoda discutată anterior de luare a logaritmilor ambelor părți. Aceasta metoda are numele mini-max.

Metoda mini-max

Această metodă este aplicabilă nu numai pentru rezolvarea ecuațiilor mixte, ci se dovedește a fi utilă și la rezolvarea unor inegalități.

Deci, mai întâi introducem următoarele definiții de bază care sunt necesare pentru aplicarea metodei mini-max.

Imaginile simple ilustrează aceste definiții:

Funcția din figura din stânga este monoton în creștere, iar în dreapta este monoton în scădere. Acum să trecem la funcția logaritmică, se știe că următoarele sunt adevărate:

Figura prezintă exemple de funcție logaritmică monoton crescătoare și monoton descrescătoare.

Să o descriem direct metoda mini-max. Cred că înțelegi din ce cuvinte provine acest nume?

Așa este, din cuvintele minim și maxim. Pe scurt, metoda poate fi reprezentată astfel:

Cel mai important obiectiv al nostru este să găsim această constantă pentru a reduce în continuare ecuația la două mai simple.

În acest scop, proprietățile de monotonitate ale funcției logaritmice formulate mai sus pot fi utile.

Acum să ne uităm la exemple specifice:

1. Să ne uităm mai întâi la partea stângă.

Există un logaritm cu o bază mai mică. Conform teoremei formulate mai sus, care este funcția? Este în scădere. În același timp, ceea ce înseamnă . Pe de altă parte, prin definiția unei rădăcini: . Astfel, constanta este găsită și egală. Atunci ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație are rădăcini, iar a doua: . Prin urmare, rădăcină comună este egală, iar această rădăcină va fi rădăcina ecuației originale. Pentru orice eventualitate, faceți o verificare pentru a vă asigura.

Răspuns:

Să ne gândim imediat ce scrie aici?

Vreau să spun structura generala. Aici scrie că suma a două pătrate este zero.

Când este posibil?

Doar atunci când ambele numere sunt individual egale cu zero. Apoi să trecem la următorul sistem:

Prima și a doua ecuație nu au rădăcini comune, atunci ecuația originală nu are rădăcini.

Răspuns: fara solutii.

Să ne uităm mai întâi la partea dreaptă - este mai simplu. Prin definiția sinusului:

De unde și apoi Prin urmare

Acum să revenim la partea stângă: luați în considerare expresia de sub semnul logaritmului:

Încercarea de a găsi rădăcinile unei ecuații nu va duce la un rezultat pozitiv. Dar, cu toate acestea, trebuie să evaluez cumva această expresie. Desigur, știți o metodă de genul selectând un pătrat complet. O voi folosi aici.

Deoarece este o funcție crescătoare, rezultă că. Prin urmare,

Atunci ecuația noastră inițială este echivalentă cu următorul sistem:

Nu stiu daca esti familiarizat cu solutia sau nu ecuații trigonometrice, așa că voi face asta: voi rezolva prima ecuație (are maxim două rădăcini), apoi voi înlocui rezultatul în a doua:

(puteți verifica și vă asigurați că acest număr este rădăcina primei ecuații a sistemului)

Acum o voi înlocui în a doua ecuație:

Răspuns:

Ei bine, acum ți-a devenit clară tehnica utilizării metodei mini-max? Apoi încercați să rezolvați singur următorul exemplu.

Gata? Sa verificam:

Partea stângă este suma a două mărimi nenegative (unitate și modul) și, prin urmare, partea stângă nu este mai mică de unu și este egală cu una numai atunci când

În același timp, partea dreaptă este modulul (însemnând mai mare decât zero) al produsului a două cosinusuri (însemnând nu mai mult de unul), atunci:

Atunci ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

Îmi propun din nou să rezolvăm prima ecuație și să înlocuim rezultatul în a doua:

Această ecuație nu are rădăcini.

Atunci ecuația originală nu are nici rădăcini.

Răspuns: nu există soluții.

SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE. 6 METODE DE REZOLVARE A ECUATIILOR LOGARITMICE

Ecuație logaritmică- o ecuație în care variabilele necunoscute sunt în interiorul logaritmilor.

Cea mai simplă ecuație logaritmică este o ecuație de formă.

Procesul de rezolvare a oricărei ecuații logaritmice se reduce la reducerea ecuației logaritmice la forma , și trecerea de la o ecuație cu logaritmi la o ecuație fără aceștia: .

ODZ pentru o ecuație logaritmică:

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice:

1 metoda. Folosind definiția logaritmului:

Metoda 2. Folosind proprietățile logaritmului:

Metoda 3. Introducerea unei noi variabile (înlocuire):

• substituția ne permite să reducem ecuația logaritmică la una mai simplă ecuație algebrică relativ la t.

Metoda 4 Tranziția la o nouă bază:

5 metoda. Logaritm:

• luați logaritmul părților din dreapta și din stânga ecuației.

6 metoda. Mini-max:

Acum vrem să auzim de la tine...

Am încercat să scriem cât mai simplu și complet posibil despre ecuațiile logaritmice.

Acum e rândul tău!

Scrieți cum apreciați articolul nostru? Ți-a plăcut de ea?

Poate știi deja cum să rezolvi ecuațiile logaritmice?

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți despre asta în comentarii.

Și mult succes la examene!