metodo numerico algebrico lineare

Spesso, quando si analizzano i dati sperimentali, diventa necessario trovare una relazione funzionale tra i valori di xey, che si ottengono a seguito di misurazioni. Uno studio analitico della relazione tra due valori xey produce una tabella di valori, che può essere rappresentata anche graficamente.

Se, invece, è nota la forma della funzione di approssimazione, allora il problema di approssimazione si riduce solo a trovare i coefficienti (a, b, c,...) inclusi nella funzione. Per trovare questi coefficienti si utilizza il metodo dei minimi quadrati, che consiste nel fatto che la somma dei quadrati delle distanze verticali dai punti al grafico della funzione y=f(x, a, b, c,.. .) è il più piccolo: S = i 2 = min, dove S i = yi - f(xi , a, b, c,...). Per fare ciò utilizziamo la condizione necessaria per l'estremo di una funzione di più variabili i - f(x i , a, b, c,...)) 2: uguaglianza a zero delle derivate parziali. Il risultato è un sistema. Pertanto, trovare i coefficienti si riduce solo alla risoluzione del sistema:

Regressione lineare

La funzione lineare ha la forma y = ax + b, quindi è necessario trovare due parametri: aeb, a condizione che siano date le coordinate di n punti trovati sperimentalmente con errori casuali (“rumore”). Per fare ciò, componiamo la funzione i - (ax i + b)) 2 , apriamo le parentesi i - ax i - b) 2 e componiamo il sistema:

Lascia che A \u003d i, B \u003d i, C \u003d i x i, D \u003d i 2, quindi il sistema assumerà la forma:

Risolviamo questo sistema di lineare equazioni algebriche Metodo di Cramer e, quindi, troviamo i valori desiderati dei parametri aeb:

Tavolo. Ci sono punti:

Utilizzando il metodo di calcolo dei parametri funzione lineare, noi abbiamo:

a = 0,1215455 , b = - 0,2140002

Approssimazione, o approssimazione - metodo scientifico, consistente nella sostituzione di alcuni oggetti con altri, in un senso o nell'altro vicini all'originale, ma più semplici. Nei compiti considerati in questa sezione e nel seguito vengono utilizzati i dati originali ottenuti a seguito della tabulazione data funzione. Va ricordato che nei problemi reali i dati iniziali sono i risultati di osservazioni (condurre esperimenti, esperimenti scientifici, osservare eventi reali ecc.), che sono soggetti a errori di misurazione e altri fattori casuali. Il compito del ricercatore è selezionare dai punti iniziali (che a prima vista si trovano caoticamente) una dipendenza funzionale (se possibile) che descriva al meglio la distribuzione dei dati iniziali e, in alcuni casi, provare a fare una previsione di ulteriore sviluppo (ad esempio, uno studio delle serie temporali delle variazioni dei prezzi delle azioni).

L'obiettivo. Costruisci una tabella di valori di funzione F(x)=ax²+bx+c per 11 valori degli argomenti X nell'intervallo –1 ≤ x ≤ +1. Traccia questa funzione, quindi adatta a due tipi di linee di tendenza. Utilizzando le linee di tendenza, costruisci una previsione per due periodi a venire.

Come nelle attività precedenti, inseriamo i dati iniziali: il valore iniziale dell'argomento della funzione xn, valore finale dell'argomento della funzione Xk, numero di punti di divisione della funzione (numero di righe della tabella) n, la formula per l'argomento della funzione passo dX, coefficienti un, B, C, quindi creiamo la tabella principale e costruiamo un grafico (tutte queste azioni sono state descritte in dettaglio nella sezione):

Linee di tendenza su un grafico

Le linee di tendenza consentono di visualizzare graficamente le tendenze dei dati e prevedere i cambiamenti futuri. Tale analisi è anche chiamata analisi di regressione. Utilizzando l'analisi di regressione, puoi estendere una linea di tendenza in un grafico oltre i dati reali per prevedere i valori futuri.

Le linee di tendenza possono essere tracciate su tutti i grafici 2D(Le linee di tendenza non possono essere aggiunte su grafici 3D, radar, a torta, ad anello e a bolle.)

Esistono sei diversi tipi di linee di tendenza:

• Lineare
• Polinomio
• logaritmico
• esponenziale
• Energia

Le linee di tendenza aggiunte al grafico di una funzione non influiscono in alcun modo sui dati stessi e sul grafico originale.

Formule per il calcolo delle linee di tendenza

Lineare. Utilizzato per l'adattamento lineare dei minimi quadrati dei dati secondo l'equazione:

dove: m - angolo di inclinazione, B - la coordinata dell'intersezione dell'asse delle ascisse.

Polinomio. Utilizzato per l'adattamento di dati ai minimi quadrati polinomiali o curvilinei secondo l'equazione:

dove: B , c 1 , c 2 , … da 6 - costanti.

È possibile impostare il grado del polinomio da 2 a 6.

logaritmico. Utilizzato per registrare i dati ai minimi quadrati secondo l'equazione:

dove: C e B - costanti, lnè la funzione del logaritmo naturale.

esponenziale. Utilizzato per adattare esponenzialmente i dati utilizzando il metodo dei minimi quadrati secondo l'equazione:

dove: C e B - costanti, eè la base del logaritmo naturale.

Energia. Utilizzato per un adattamento dei minimi quadrati della legge di potenza ai dati secondo l'equazione:

dove: C e B - costanti.

Nota. Le approssimazioni esponenziali e di potenza non sono disponibili se valori di funzione F(x) contengono valori negativi o zero. Inoltre, i tipi di approssimazione logaritmica e potenza non sono disponibili se i valori dell'argomento della funzione X contengono valori negativi o zero. Dal momento che nei compiti a lavoro di laboratorio viene utilizzato il valore negativo del limite inferiore dell'argomento xn (x0), non scegliere i tipi di approssimazione logaritmico e di potenza!

Una media mobile è un valore medio su un certo periodo:

Nel grafico, una linea tracciata da punti di media mobile consente di costruire una curva liscia che mostra più chiaramente lo schema nello sviluppo dei dati.

Aggiunta di una linea di tendenza alle serie di dati

Seleziona il grafico (fai clic in un punto qualsiasi del grafico), dopodiché sulla barra multifunzione del menu verranno visualizzate tre schede aggiuntive: Costruttore , Disposizione e Formato . Sulla scheda Disposizione in un gruppo Analisi fare clic sul pulsante .

Tra i vari metodi di previsione, è impossibile non individuare l'approssimazione. Con il suo aiuto, puoi eseguire calcoli approssimativi e calcolare indicatori pianificati sostituendo gli oggetti originali con quelli più semplici. In Excel c'è anche la possibilità di utilizzare questo metodo per la previsione e l'analisi. Diamo un'occhiata a come questo metodo può essere applicato nel programma specificato con strumenti integrati.

Il nome di questo metodo deriva dal vocabolo latino proxima - "più vicino", è l'approssimazione semplificando e smussando indicatori noti, allineandoli in una tendenza che ne è la base. Ma questo metodo può essere utilizzato non solo per la previsione, ma anche per lo studio dei risultati esistenti. Dopotutto, l'approssimazione è, in effetti, una semplificazione dei dati iniziali e la versione semplificata è più facile da studiare.

Lo strumento principale con cui viene eseguito lo smoothing in Excel è la costruzione di una linea di tendenza. La conclusione è che sulla base degli indicatori esistenti si sta completando il grafico della funzione per i periodi futuri. Lo scopo principale della linea di tendenza, come puoi immaginare, è fare previsioni o identificare una tendenza generale.

Ma può essere costruito usando uno dei cinque tipi di approssimazione:

• Lineare;
• esponenziale;
• logaritmico;
• polinomio;
• Energia.

Consideriamo ciascuna delle opzioni in modo più dettagliato separatamente.

Metodo 1: levigatura lineare

Prima di tutto, consideriamo la versione più semplice dell'approssimazione, ovvero l'utilizzo di una funzione lineare. Ci soffermeremo su di esso in modo più dettagliato, poiché indicheremo i punti generali caratteristici di altri metodi, vale a dire la trama e alcune altre sfumature, su cui non ci soffermeremo quando considereremo le opzioni successive.

Per prima cosa, costruiamo un grafico, sulla base del quale eseguiremo la procedura di smoothing. Per costruire un grafico, prendiamo una tabella in cui è indicato mensilmente il costo di un'unità di output prodotta dall'impresa e il corrispondente profitto in un dato periodo. Funzione grafica, che costruiremo, mostrerà la dipendenza di un aumento del profitto da una diminuzione del costo di produzione.

Il livellamento utilizzato in questo caso è descritto dalla seguente formula:

Nel nostro caso particolare, la formula assume la seguente forma:

y=-0,1156x+72,255

Il valore dell'affidabilità di approssimazione è uguale a 0,9418 , che è un risultato abbastanza accettabile che caratterizza lo smoothing come affidabile.

Metodo 2: approssimazione esponenziale

Ora diamo un'occhiata al tipo esponenziale di approssimazione in Excel.

La forma generale della funzione di smoothing è la seguente:

dove eè la base del logaritmo naturale.

Nel nostro caso particolare, la formula assume la forma seguente:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Metodo 3: smoothing logaritmico

Ora è il momento di considerare il metodo di approssimazione logaritmica.

In generale, la formula di levigatura è simile alla seguente:

dove lnè il logaritmo naturale. Da qui il nome del metodo.

Nel nostro caso, la formula assume la forma seguente:

y=-62,81ln(x)+404,96

Metodo 4: levigatura polinomiale

È giunto il momento di considerare il metodo dello smoothing polinomiale.

La formula che descrive questo tipo di levigatura ha assunto la forma seguente:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Metodo 5: livellamento della potenza

In conclusione, considera il metodo di approssimazione della potenza in Excel.

Questo metodo viene utilizzato in modo efficace nei casi di modifica intensiva dei dati delle funzioni. È importante notare che questa opzione è applicabile solo se la funzione e l'argomento non accettano valori negativi o zero.

La formula generale che descrive questo metodo è la seguente:

Nel nostro caso particolare, si presenta così:

y = 6E+18x^(-6.512)

Come puoi vedere, quando si utilizzano dati specifici che abbiamo utilizzato per l'esempio, il metodo di approssimazione polinomiale con un polinomio di sesto grado ha mostrato il più alto livello di affidabilità ( 0,9844 ), il livello di affidabilità più basso per il metodo lineare ( 0,9418 ). Ma questo non significa affatto che la stessa tendenza sarà quando si utilizzano altri esempi. No, il livello di efficienza dei metodi di cui sopra può variare in modo significativo, a seconda del tipo specifico di funzione per cui verrà costruita la linea di tendenza. Pertanto, se il metodo selezionato è il più efficiente per questa funzione, ciò non significa affatto che sarà ottimale anche in un'altra situazione.

Se non riesci a determinare immediatamente, sulla base delle raccomandazioni di cui sopra, quale tipo di approssimazione è adatto specificamente al tuo caso, allora ha senso provare tutti i metodi. Dopo aver tracciato la linea di tendenza e aver visualizzato il suo livello di confidenza, puoi scegliere l'opzione migliore.

Dipartimento: ________ Informatica e tecnologia informatica _______________

CORSO DI LAVORO

per disciplina _______________ INFORMATICA __________________________

(Nome disciplina accademica secondo curriculum)

L'OBIETTIVO

studente del gruppo IHL-12 Rumyantseva N.A.

(codice gruppo) (nome completo)

1. Oggetto del lavoro: _ Implementazione del metodo numerico utilizzando Microsoft Excel e utilizzando gli strumenti del pacchetto MathCAD

2. Dati iniziali per il lavoro: _Opzione n. 17__________________________________

4. Elenco del materiale grafico: _ Presentazione dei risultati sotto forma di schermate________________________________ ____________________________________

5. Termine ultimo per il completamento dei lavori: ___ 05/01/2013 ____________________________

Responsabile del lavoro: ________ ______________ /_________/

(posizione) (firma) (nome completo)

Data di rilascio dell'assegnazione: __ 15 febbraio 2013 ______________

annotazione

La nota esplicativa è una relazione sull'attuazione del lavoro del corso. Affronta i problemi di trovare formule empiriche con il metodo dei minimi quadrati (LSM) utilizzando le funzionalità del pacchetto Microsoft Excel e considera anche la soluzione di questo problema nel pacchetto MathCAD. Nel lavoro si ottengono equazioni di vario tipo utilizzando l'approssimazione di dipendenze lineari, quadratiche ed esponenziali. Al termine del lavoro, si è concluso quale metodo ha risolto meglio il problema.

Pagine 24, tabelle 3, figure 14, applicazioni 0.

Astratto

La nota esplicativa rappresenta la relazione sull'andamento delle terne. In esso si considerano le domande su una scoperta di formule empiriche con un metodo dei minimi quadrati (OLS) per mezzo delle possibilità del pacchetto Microsoft Excel, e si considera anche la decisione del problema dato in Turbo Pascal 7.0. In lavoro si ricevono equazioni di vario genere mediante approssimazione lineare, quadratica ed esponenziale. Al termine del lavoro si trae la conclusione, il problema viene risolto con quale metodo è migliore.

Pagine 24, tabelle 3, figure 14, appendici 0.

Annotazione. 2

Introduzione. 4

Formulazione del problema. cinque

Informazione Generale. 6

Dipendenza lineare. 7

Dipendenza non lineare. 7

Dati iniziali. 10

Calcolo delle approssimazioni nel foglio di calcolo di Excel 11

Costruzione di grafici. 17

funzione REGR.LIN 18

Approssimazione in MathCAD.. 19

Introduzione. 19

Approssimazione lineare in MathCAD.. 21

Approssimazione esponenziale in MathCAD.. 22

Polinomio (approssimazione quadratica in MathCAD.. 23

Riferimenti.. 24

introduzione

L'approssimazione (dal latino "approssimare" - "approccio") è un metodo scientifico, la cui essenza è sostituire alcuni valori noti con altri, approssimativi e più semplici. Questi semplici valori devono soddisfare una certa dipendenza, il cui ritrovamento, in generale, è l'obiettivo finale di questo metodo.

È noto che la dipendenza funzionale tra le grandezze può essere esatta (questo caso è tipico per le invenzioni teoriche) o approssimativa (che è più tipica per i dati ottenuti sperimentalmente). Questa imprecisione, lo scostamento del valore ottenuto dalla dipendenza voluta, che si esprime sul grafico come una dispersione di punti ad una certa distanza dalla curva (qui vado un po' avanti a me stesso) può avere diversi motivi:

1. Errori nelle misurazioni dirette (strumentali), errori umani (qui, ovviamente, non sto parlando di errori grossolani che danno deviazioni significative).

2. L'imperfezione della conoscenza umana sulla natura - non tutti i concetti scientifici moderni ci consentono di calcolare con precisione qualsiasi valore per casi reali - molti di essi sono rivolti a casi ideali.

3. La complessità e la variabilità della natura stessa (soprattutto vivente). Ad esempio, nel caso di a ricerca sociologica, l'esatta coincidenza dei dati sperimentali con quelli teorici non è affatto richiesta - anche una leggera correlazione dei risultati sperimentali con le regolarità attese può già dire molto agli specialisti.

Quando si sceglie un'approssimazione, si dovrebbe procedere dal compito specifico dello studio. Di solito, più semplice è l'equazione utilizzata per l'approssimazione, più approssimata è la descrizione della dipendenza ottenuta. Pertanto, è importante leggere quanto sia significativo e cosa abbia causato le deviazioni di valori specifici dal trend risultante. Quando si descrive la dipendenza empiricamente determinati valori una precisione molto maggiore può essere ottenuta utilizzando un'equazione multiparametrica più complessa. Tuttavia, non ha senso cercare di trasmettere deviazioni casuali di valori in serie specifiche di dati empirici con la massima precisione. È molto più importante cogliere la regolarità generale, che in questo caso è più logicamente e con una precisione accettabile espressa proprio dall'equazione a due parametri della funzione di potenza. Pertanto, nella scelta di un metodo di approssimazione, il ricercatore fa sempre un compromesso: decide fino a che punto in questo caso sia opportuno e opportuno “sacrificare” i dettagli e, di conseguenza, quanto generalizzata debba essere espressa la dipendenza delle variabili confrontate. Insieme all'identificazione di pattern mascherati da deviazioni casuali di dati empirici dal pattern generale, l'approssimazione permette anche di risolvere molti altri importanti problemi: formalizzare la dipendenza rilevata; trovare valori sconosciuti della variabile dipendente mediante interpolazione o, se applicabile, estrapolazione.

Formulazione del problema

1. Usando il metodo dei minimi quadrati, approssima la funzione data in una tabella

a) un polinomio di primo grado ;

b) un polinomio di secondo grado;

c) dipendenza esponenziale.

2. Calcolare il coefficiente di determinismo per ciascuna dipendenza.

3. Calcolare il coefficiente di correlazione (solo nel caso a).

4. Per ogni dipendenza, costruisci una linea di tendenza.

5. Utilizzando la funzione REGR.LIN, calcolare le caratteristiche numeriche della dipendenza y da X.

6. Confronta i tuoi calcoli con i risultati ottenuti utilizzando la funzione REGR.LIN.

7. Trarre una conclusione quale delle formule ottenute approssima meglio la funzione.

8. Elaborare i dati sperimentali forniti utilizzando le funzioni integrate di interpolazione (approssimazione) e regressione del pacchetto MathCAD e confrontare i risultati con i risultati ottenuti in Microsoft Excel.

Informazione Generale

In uno studio sperimentale dipendenza funzionale y = f(x) misura il valore di y a diversi valori di x. I risultati sono presentati sotto forma di tabella 1 o graficamente.

X	x 1	x2	×××	x n
Y	x 1	Y2	×××	si n

Tabella 1

Il compito è rappresentare analiticamente la dipendenza funzionale desiderata, cioè nella scelta di una formula che descriva i risultati dell'esperimento. Una formula empirica viene solitamente scelta da una classe di funzioni piuttosto ristretta, considerando, ad esempio, un insieme di funzioni lineari, di potenza, esponenziali, ecc. Allo stesso tempo, sono guidati da alcune considerazioni teoriche o considerazioni di semplicità nella presentazione del materiale empirico. La formula empirica trovata dovrebbe essere tale che i valori delle funzioni calcolate da essa in X=x i potrebbero differire poco dai dati sperimentali y i (i = 1, 2, …, n).

Denotare la dipendenza funzionale scelta

sarà minimo. Pertanto, i parametri a 1 , a 2 , … e m sono determinati dalla condizione che la somma delle deviazioni al quadrato dei valori misurati y i da ospitato valore più piccolo.

Usando le condizioni necessarie estremo di una funzione di più variabili, otteniamo un sistema normale per determinare i coefficienti a 1 , a 2 , ..., e m

dove а1, а2 sono parametri sconosciuti e il sistema (1.3) assume la forma

dove a, b sono costanti e x > 0 e y > 0.

Prendendo il logaritmo di uguaglianza (1.2.1), otteniamo

e applicando le formule (1.1.2), troviamo i valori dei parametri b e u, e quindi il valore del parametro a.

dipendenza esponenziale

Assumendo v = lny, c = lna, Y = x, otteniamo una dipendenza lineare

Tabella n. 3.6

Minore è il valore Q, migliore è la formula empirica che si adatta ai dati sperimentali.

In ogni attività, è richiesto dal metodo dei minimi quadrati per trovare la dipendenza funzionale teorica per la funzione specificata nella tabella. Come dipendenza funzionale teorica, utilizzare:

– Polinomio di primo grado ,

– funzione esponenziale ,

– funzione di potenza ,

- Polinomio di secondo grado.

Per ogni dipendenza, trova il valore teorico della funzione, la somma delle deviazioni al quadrato dei valori empirici della funzione dai valori teorici, indica il valore più piccolo di questo valore e la funzione di approssimazione a cui corrisponde. Costruisci una linea di tendenza per ogni dipendenza e mostra l'equazione di questa linea sul grafico. Mostrare sul diagramma il valore del coefficiente di determinismo R 2 . Questo coefficiente è calcolato dalla formula

,

(2.1)

dove sono i valori dati della funzione,

Valori teorici della funzione,

La media valore aritmetico, io = 1, 2, …,n.

Se il coefficiente di determinismo è uguale a 1, i valori teorici ed empirici della funzione coincidono completamente. Se il coefficiente

del determinismo è 0, quindi la dipendenza teorica viene scelta senza successo.

Dati iniziali

Qualche esperimento è stato fatto. I suoi risultati sono registrati sotto forma di tabella, dove xi è il valore specificato dal ricercatore (ad esempio, la concentrazione di reagenti in una soluzione chimica), yi è il valore misurato (nel nostro esempio, questa può essere la velocità di reazione ).

x io	si io	x io	si io	x io	si io	x io	si io	x io	si io
0.21	1.62	4.98	40.09	7.96	63.31	12.33	97.77	17.32	126.45
1.19	8.65	5.49	43.56	8.32	67.45	13.21	105.34	18.43	144.34
2.43	16.76	6.07	48.45	9.43	72.87	14.72	112.56	19.38	160.45
3.12	24.45	6.81	52.21	10.21	81.34	15.53	121.89	20.45	161.34
4.54	32.87	7.21	57.34	11.54	89.45	16.23	108.54	21.22	170.59

Tavolo 2

Calcolo delle approssimazioni nel foglio di calcolo di Excel

MINISTERO DELL'ISTRUZIONE E DELLE SCIENZE DELLA FEDERAZIONE RUSSA

BILANCIO DELLO STATO FEDERALE

ISTITUTO D'ISTRUZIONE

ISTRUZIONE PROFESSIONALE SUPERIORE

"UNIVERSITÀ TECNICA STATALE DI VORONEZH"

(FGBOU VPO "VSTU", VSTU)

Facoltà di Ingegneria Radiofonica ed Elettronica

Dipartimento matematica superiore e modellazione fisica e matematica

CORSO DI LAVORO

disciplina: matematica

Argomento: "Metodi per approssimare funzioni"

Sviluppato da uno studente del gruppo KP-121

È. Kononuchenko

Capo Kostryukov SA

COMPITO per corsi

Argomento: "Metodi per approssimare funzioni".

Studente del gruppo KP-121 Kononuchenko Ilya Sergeevich

1. Metodi per approssimare funzioni.

1.1. Approssimazione continua.

2. Approssimazione dei punti.

3. Polinomio di interpolazione di Lagrange.

4. Il polinomio di interpolazione di Newton.

5. Errore di interpolazione globale.

6. Metodo dei minimi quadrati.

7. Selezione di formule empiriche.

8. Interpolazione costante a tratti

9. Interpolazione lineare a tratti.

2. Parte pratica.

2.1. Costruire un polinomio di interpolazione per la funzione f(x)=lnx- per nodi x=2; 4; 6; 8; 10; 12. Calcolare il valore approssimativo del logaritmo di 5,75. Ottenere una stima per l'errore del termine residuo.

2.2. La funzione f(x) data dalla tabella è approssimata dipendenza lineare ??(x)=Ax2+Bx+C. Trova x per cui f(x)=10.

1. METODI DI APPROSSIMAZIONE DELLE FUNZIONI

1.1 Approssimazione continua

1.2 Approssimazione dei punti

4 Polinomio di interpolazione di Newton

8 Interpolazione costante a tratti

9 Interpolazione lineare a tratti

Parte pratica

2.1 Costruire un polinomio di interpolazione per la funzione f(x)=lnx-su nodi x=2; 4; 6; 8; 10; 12. Calcolare il valore approssimativo del logaritmo di 5,75. Ottenere una stima dell'errore del termine residuo

2.2 La funzione f(x), data dalla tabella, è approssimata da una dipendenza lineare ?(x) \u003d Ax + B, dipendenza quadratica ?(x)=Ax2+Bx+C. Trova x per cui f(x)=10

Bibliografia

1.METODI DI APPROSSIMAZIONE DELLA FUNZIONE

1.1Approssimazione continua

Se la funzione originale f(x) è data da un'espressione analitica, allora quando si costruisce una funzione di approssimazione è possibile richiedere la deviazione minima di una funzione da un'altra su un insieme continuo di punti, ad esempio su un segmento. Questo tipo di approssimazione è chiamato continuo o integrale.

Teoricamente, per la migliore approssimazione, è opportuno richiedere che in tutti i punti di un certo segmento lo scostamento della funzione di approssimazione dalla funzione f(x) sia minore di un dato valore in valore assoluto:

In questo caso, si dice che la funzione approssimi uniformemente la funzione f(x) con accuratezza e sull'intervallo. L'ottenimento pratico di un'approssimazione uniforme presenta grandi difficoltà, e quindi questo metodo viene utilizzato principalmente negli studi teorici.

La più comunemente usata è la cosiddetta approssimazione radice-quadrata media, per la quale la quantità

Richiedendo che le derivate parziali di M svaniscano rispetto ai parametri che determinano la funzione, si ottengono equazioni che consentono di trovare i valori migliori di questi parametri.

Approssimazione a 2 punti

Un'approssimazione in cui l'approssimazione è costruita su un dato insieme discreto di punti è chiamata approssimazione puntuale.

Per ottenere un'approssimazione del quadrato medio-radice della funzione y=f(x), data in una tabella, la funzione di approssimazione è costruita dalla condizione del valore minimo

dove yi sono i valori della funzione f(x) nei punti xi.

Il principale campo di applicazione dell'approssimazione radice-quadrato medio è l'elaborazione di dati sperimentali (costruzione di formule empiriche).

Un altro tipo di approssimazione puntuale è l'interpolazione, in cui la funzione di approssimazione in determinati punti xi assume gli stessi valori yi della funzione f(x), cioè .

Immagine 1

In questo caso, la vicinanza della funzione di interpolazione alla funzione data è che i loro valori coincidono sul dato sistema di punti.

Sulla fig. 1 mostra i grafici qualitativi della funzione di interpolazione (linea continua) ei risultati dell'approssimazione efficace (linea tratteggiata). I punti segnano i valori tabulari della funzione f(x).

3 Polinomio di interpolazione di Lagrange

Lagrange ha proposto di costruire un polinomio di interpolazione sotto forma di espansione

dove li(x) sono funzioni di base.

Affinché il polinomio soddisfi le condizioni di Lagrange, cioè sarebbe interpolante, le funzioni di base li(x) devono avere le seguenti proprietà:

) sia un polinomio di grado n

) soddisfano la condizione

Lagrange ha mostrato che le funzioni con queste proprietà dovrebbero avere la forma seguente

Tenendo conto di questa espressione, il polinomio di interpolazione di Lagrange può essere scritto come

A differenza del polinomio di interpolazione in forma canonica, per calcolare i valori del polinomio di Lagrange non è necessario determinare preliminarmente i coefficienti del polinomio risolvendo un sistema di equazioni. Tuttavia, per ogni valore dell'argomento x, il polinomio di Lagrange deve essere ricalcolato nuovamente, mentre i coefficienti del polinomio canonico vengono calcolati una sola volta. Ecco perché uso pratico il polinomio di Lagrange è giustificato solo nel caso in cui la funzione di interpolazione sia calcolata in un numero relativamente piccolo di punti x.

Il polinomio di interpolazione di Lagrange risulta essere molto conveniente per il calcolo approssimativo di determinati integrali. Se, ad esempio, una certa funzione viene sostituita dal polinomio di interpolazione di Lagrange, l'integrale definito di essa può essere calcolato come segue

I valori degli integrali di non dipendono da f(x) e possono essere facilmente calcolati analiticamente.

1.4 Polinomio di interpolazione di Newton

Si consideri un'altra forma di scrittura del polinomio di interpolazione

Il requisito che i valori del polinomio coincidano con i valori dati della funzione ai punti nodali Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n porta al sistema equazioni lineari con matrice triangolare per coefficienti sconosciuti:

che non è difficile da risolvere.

Il polinomio di interpolazione è chiamato polinomio di Newton. Una caratteristica interessante del polinomio di Newton è che ogni somma parziale dei suoi primi (m + 1) termini è un polinomio di interpolazione di grado m, costruito dai primi (m + 1) dati tabulari.

5 Errore di interpolazione globale

L'errore di approssimare la funzione f(x) per interpolazione polinomio all'ennesima potenza il grado Ln(x) in un punto x è determinato dalla differenza

Si può dimostrare che l'errore Rn(x) è determinato dalla seguente espressione

Qui, è la derivata (n+1) dell'ordine della funzione f(x) ad un certo punto, e la funzione è definita come

Se valore massimo derivata f (n+1)(x) è

quindi per l'errore di interpolazione segue la stima

Il valore specifico dell'errore nel punto x dipende ovviamente dal valore della funzione a questo punto. La natura qualitativa della dipendenza è mostrata in fig. 2.

figura 2

A causa del comportamento descritto dell'errore, l'interpolazione globale in alcuni casi può dare un risultato del tutto insoddisfacente. Si può vedere dalla figura che l'errore di interpolazione è tanto più alto quanto più vicino è il punto x alle estremità del segmento. Al di fuori dell'intervallo di interpolazione (cioè durante l'estrapolazione) aumenta rapidamente, quindi l'errore aumenta in modo significativo.

1.6 Minimi quadrati

Sia per i dati iniziali xi, fi, i=1,…,N (la numerazione è meglio partire da uno), si sceglie il tipo di dipendenza empirica: y= ?(a0,a1,…,am) a coefficienti incogniti a0,a1,…,am . Scriviamo la somma delle deviazioni al quadrato tra quelle calcolate dalla formula empirica e i dati sperimentali forniti:

S(a0,a1,…,am)=(?(x1,a0,a1,…,am)-fi)2

I parametri a0,a1,…,am saranno ricavati dalla condizione minima per la funzione S(a0,a1,…,am). Questo è il metodo dei minimi quadrati (LSM).

È noto che nel punto di minimo tutte le derivate parziali di S rispetto a sono uguali a zero:

Consideriamo l'applicazione di LSM per un caso particolare ampiamente utilizzato nella pratica. Come funzione empirica considera il polinomio

?(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

La formula (1) per determinare la somma delle deviazioni al quadrato assumerà la forma:

S(a0,a1,…,am)=(a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)

Calcola le derivate

Uguagliando queste espressioni a zero e raccogliendo i coefficienti per le incognite a0,a1,…,am , otteniamo il seguente sistema di equazioni lineari

Questo sistema equazioni si chiama normale. Risolvendo questo sistema di equazioni lineari, otteniamo i coefficienti.

Nel caso di un polinomio del primo ordine, m=1, cioè , assume la forma il sistema di equazioni normali

Per m=2 abbiamo:

Di norma, vengono scelte diverse dipendenze empiriche. Secondo i minimi quadrati, si trovano i coefficienti di queste dipendenze e tra questi si trova il migliore in termini di quantità minima di deviazioni.

1.7 Selezione di formule empiriche

Quando si interpolano le funzioni, abbiamo utilizzato la condizione di uguaglianza dei valori del polinomio di interpolazione e la funzione data ai nodi di interpolazione. Se i dati iniziali sono ottenuti a seguito di misurazioni sperimentali, non è necessario il requisito di una corrispondenza esatta, poiché i dati non vengono ottenuti esattamente. In questi casi si può richiedere solo un soddisfacimento approssimativo delle condizioni di interpolazione. Questa condizione significa che la funzione di interpolazione F(x) non passa esattamente attraverso punti dati, e in alcuni dei loro quartieri, ad esempio, come mostrato in Fig.

formula di interpolazione polinomiale di approssimazione

Figura 3

Poi si parla di selezione di formule empiriche. La costruzione di una formula empirica consiste in due fasi: selezionare la forma di questa formula contenente parametri sconosciuti a0,a1,…,am, e determinare i parametri migliori in un certo senso. La forma della formula è talvolta nota da considerazioni fisiche (per un mezzo elastico, il rapporto tra sollecitazione e deformazione) o è scelta da considerazioni geometriche: i punti sperimentali sono tracciati su un grafico e approssimativamente indovinati forma generale dipendenza confrontando la curva risultante con i grafici di funzioni note. Il successo qui è in gran parte determinato dall'esperienza e dall'intuizione del ricercatore.

Per la pratica, è importante il caso dell'approssimazione di una funzione mediante polinomi, cioè F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm .

Dopo aver scelto il tipo di dipendenza empirica, il grado di vicinanza ai dati empirici viene determinato utilizzando la somma minima delle deviazioni al quadrato dei dati calcolati e sperimentali.

1.8 Interpolazione costante a tratti

Su ciascun segmento, il polinomio di interpolazione è uguale a una costante, ovvero il valore sinistro o destro della funzione.

Per interpolazione lineare a tratti sinistra

F(x)= fi-1 se xi-1 ?x

Per interpolazione lineare a tratti destra F(x)= fi-1 se xi-1

È facile vedere che le condizioni di interpolazione sono soddisfatte. La funzione costruita è discontinua, il che ne limita l'applicazione. Per l'interpolazione lineare a tratti sinistra, abbiamo una rappresentazione grafica

Figura 4

1.9 Interpolazione lineare a tratti

Su ciascun intervallo la funzione è lineare Fi(x)=kix+li. I valori dei coefficienti si ricavano dal soddisfacimento delle condizioni di interpolazione agli estremi del segmento: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi . Otteniamo il sistema di equazioni: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , da cui troviamo ki=li= fi- kixi .

Pertanto, la funzione F(x) può essere scritta come:

F(x)= x+ fi-kixi se, cioè

Oppure F(x)=ki (x-xi-1)+fi-1, ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1 ? X? xi, i=1,2,...,N-1

Quando si utilizza l'interpolazione lineare, è necessario prima determinare l'intervallo in cui cade il valore x, quindi sostituirlo nella formula.

La funzione risultante sarà continua, ma la derivata sarà discontinua ad ogni nodo di interpolazione. L'errore di tale interpolazione sarà minore che nel caso di un'interpolazione costante a tratti. Un'illustrazione dell'interpolazione lineare a tratti è mostrata nella figura

Figura 5

2. PARTE PRATICA

2.1 Costruire un polinomio di interpolazione per la funzione

f(x)=lnx- per nodi x=2; 4; 6; 8; 10; 12.

La formula per calcolare questo polinomio è la seguente:

dove n è il numero di nodi.

Calcoliamo i valori dei polinomi di base.

Formula per il calcolo dei polinomi di base:

Scriviamo i valori dei nodi della funzione:

Calcoliamo i valori delle funzioni f(x) ai nodi corrispondenti:

f (x0) == ,6931471805599453-1,5 = -,8068528194400547 (x1) = = 1.386294361119891-1.25 = 0,136294361119891 (x2) = = 1.791759469228055-1.1666666666666667 = 0,625092802561388 (x3) = = 2,079441541679835-1.125 = 0,954441541679835 (x4) = = 2,302585092994045 -1.1=1.202585092994045(x5)= =2.484906649788-1.08333333333333=1.401573316454667

Calcoliamo i valori dei corrispondenti polinomi di base:

Scriviamo la formula per calcolare il polinomio f(x)=lnx- in base ai dati ottenuti:

L(x)=f(x0) l0(x)+ f(x1) l1(x)+ f(x2) l2(x)+ f(x3) l3(x)+ f(x4) l4(x)+ f(x5) l5(x).

Sostituisci i valori ottenuti nella formula:

L(x)=((- 0.8068528194400547) (x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0.136294361119891 5(x-2)(x-6 )( x-8)(x-10)(x-12)- 0,625092802561388 10

(x-2)(x-4)(x-8)(x-10)(x-12)+ 0,954441541679835 10(x-2)(x-4)(x-6)(x-10) (x -12)-1.202585092994045 5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1.401573316454667

(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+

032520620421826 x3-0.289410042490318 x2+1.50294940468648 x-2.886362165898854

Figura 6

L(x)= 0,000443792912875 x5-0,001895922201567 x4+

032520620421826x3-0.289410042490318x2+

50294940468648 x-2.886362165898854

Si può vedere dalla figura che i grafici delle funzioni coincidono.

Calcoliamo il valore approssimativo del logaritmo di 5,75 con una precisione di 0,001.

Usiamo la scomposizione

Usando la formula

Calcoliamo il valore approssimativo del logaritmo:

Otteniamo una stima per l'errore del termine residuo:

La formula per trovare il resto in altri punti:

Rn(x)=f(x)-Ln(x).

Sostituisci i valori e calcola il resto:

Rn(x)= -0,234721044665224-(-0,149875603361276)= 0,0122

Per l'errore assoluto della formula di interpolazione di Lagrange, si può ottenere la seguente stima:

0122374?9.9512361

Dalla stima consegue che scegliendo un numero sufficientemente grande di punti di partizione si può ottenere un risultato con la precisione richiesta.

La funzione f(x) data dalla tabella è approssimata da una dipendenza lineare ?(x)=Ax+B, dipendenza quadratica ? (x)=Ax2+Bx+C.

x10151720f(x)371117 Soluzione:

Per risolvere questo problema utilizziamo il metodo dei minimi quadrati.

Sistema di equazioni normali per dipendenza lineare (x)=Ax+B:

Dato che n=4: ;

Risolviamo il sistema di equazioni lineari:

Pertanto, la dipendenza lineare sarà simile a:

Considera la dipendenza quadratica?(x)=Ax2+Bx+C. Il sistema delle equazioni normali ha la forma:

Trova gli importi non conteggiati:

Pertanto, la dipendenza quadratica sarà simile a:

Figura 7

La funzione definita dalla tabella.

Dipendenza lineare

Dipendenza quadratica

Secondo il grafico, troviamo il valore di x per cui f(x)=10.

Bibliografia

1. Kirillova S.Yu. Matematica computazionale/Kirillova S.Yu. Casa editrice Vladim. stato un-ta, 2009. -102p.

2. Manuale di riferimento sui metodi approssimati per la risoluzione di problemi di matematica superiore / L.I. Borodich, AI Gerasimovic, N.P. Keda e altri; ed. L.I. Borodich - M.: Scuola Superiore, 1986. -189s.

3. Tyukanov, AS Fondamenti di metodi numerici: libro di testo. indennità per gli studenti. Casa editrice di RGPU im. AI Herzen, 2007. -226s.

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