Kriva AB definisana parametarskim jednadžbama naziva se glatkom ako funkcije i imaju neprekidne izvode na segmentu, a ako u konačnom broju tačaka na segmentu ovi derivati ​​ne postoje ili istovremeno nestaju, tada se kriva naziva komadično glatkom. Neka je AB ravna kriva, glatka ili glatka po komadima. Neka je f(M) funkcija definirana na krivulji AB ili u nekoj domeni D koja sadrži ovu krivu. Razmotrimo podjelu krive A B na dijelove po tačkama (slika 1). Odaberimo proizvoljnu tačku Mk na svakom od lukova A^At+i i sastavimo zbir gdje je Alt dužina luka i nazovimo ga integralnim zbirom za funkciju f(M) preko dužine luka krivulja. Neka je D / najveća dužina parcijalnih lukova, tj. Osobine krivolinijskih integrala 1. vrste za prostorne krive Krivolinijski integrali 2. vrste Izračunavanje krivolinijskog integrala Odnos svojstava između definicija. Ako integralni zbroj (I) ima konačnu granicu koja ne ovisi ni o načinu podjele krivulje AB na dijelove niti o izboru tačaka na svakom od lukova particije, tada se ova granica naziva krivolinijskim integralom \-te vrste funkcije f(M) nad krivom AB (integral po dužini luka krive) i označena je simbolom. U ovom slučaju, funkcija /(M) se naziva integrabilnom duž kriva ABU, kriva A B se naziva kontura integracije, A je početna tačka, B je krajnja tačka integracije. Dakle, po definiciji, Primjer 1. Neka je masa promjenjive linearne gustine J(M) raspoređena duž neke glatke krive L. Nađite masu m krive L. (2) Podijelimo krivulju L na n proizvoljnih dijelova) i izračunajmo približno masu svakog dijela, uz pretpostavku da je na svakom dijelu gustina konstantna i jednaka gustoći u bilo kojoj njenoj tački , na primjer, u krajnjoj lijevoj tački /(Af*). Tada će zbir ksh, gdje je D/d, biti približna vrijednost mase m. Jasno je da što je manja podjela krive, to je manja greška masa cijele krive L, tj. Ali granica na desnoj strani je krivolinijski integral 1. vrste. Dakle, 1.1. Postojanje krivolinijskog integrala 1. vrste Uzmimo za parametar na krivulji AB dužinu luka I, mjerenu od A (slika 2). Tada se AB kriva može opisati jednačinama (3) gdje je L dužina AB krive. Jednačine (3) se nazivaju prirodnim jednadžbama AB krive. Prilikom prijelaza na prirodne jednačine, funkcija f(x) y), definirana na krivulji AB, bit će svedena na funkciju varijable I: / (x(1)) y(1)). Nakon što smo označili sa vrijednošću parametra I koji odgovara tački Mky, prepisujemo integralni zbir (I) u obliku Ovo je integralni zbir koji odgovara određenom integralu jedni prema drugima, tada su im odgovarajući integrali jednaki. Dakle, (5) Teorema 1. Ako je funkcija /(M) kontinuirana duž glatke krive AB, onda postoji krivolinijski integral (pošto pod ovim uslovima postoji definitivni integral desno u jednakosti (5). 1.2. Svojstva krivolinijskih integrala 1. vrste 1. Iz oblika integralnog zbira (1) proizilazi da je tj. vrijednost krivolinijskog integrala 1. vrste ne zavisi od smjera integracije. 2. Linearnost. Ako za svaku od funkcija /() postoji krivolinijski integral duž krive ABt, tada za funkciju a/, gdje su a i /3 bilo koje konstante, postoji i krivolinijski integral duž krive AB> i 3. Aditivnost . Ako se kriva AB sastoji od dva dijela i za funkciju /(M) postoji krivolinijski integral nad ABU, tada postoje integrali sa 4. Ako je 0 na krivulji AB, onda je 5. Ako je funkcija integrabilna na krivulji AB , zatim funkcija || je također integrabilna na A B, au isto vrijeme b. Prosječna formula. Ako je funkcija / kontinuirana duž krive AB, onda na ovoj krivoj postoji tačka Mc takva da je L dužina krive AB. 1.3. Izračunavanje krivolinijskog integrala 1. vrste Neka je kriva AB data parametarskim jednačinama, pri čemu tačka A odgovara vrijednosti t = to, a tačka B vrijednosti. Pretpostavit ćemo da su funkcije) kontinuirane zajedno sa svojim derivacijama i nejednakost je zadovoljena diferencibilan na [a, b] i tačka A odgovara vrijednosti x = a, a tačka B - vrijednost x = 6, onda, uzimajući x kao parametar, dobijamo 1.4. Krivolinijski integrali 1. vrste za prostorne krive Definicija krivolinijskog integrala 1. vrste, formulisana gore za ravnu krivu, doslovno se prenosi na slučaj kada je funkcija f(M) data duž neke prostorne krive AB. Neka je kriva AB data parametarskim jednadžbama Svojstva krivolinijskih integrala 1. vrste za prostorne krive Krivolinijski integrali 2. vrste Proračun krivolinijskog integrala Svojstva Odnos između Tada se krivolinijski integral uzet duž ove krive može svesti na definitivan integral koristeći sljedeća formula: Primjer 2. Izračunajte krivolinijski integral gdje je L kontura trougla sa vrhovima u tački* (slika 3). Po svojstvu aditivnosti imamo Izračunajmo svaki od integrala posebno. Pošto na segmentu OA imamo: , onda na segmentu AN imamo, gde i zatim Fig. Konačno, stoga, Napomena. Prilikom izračunavanja integrala koristili smo svojstvo 1 prema kojem. Krivolinijski integrali 2. vrste Neka je A B glatka ili komadno glatka orijentirana kriva na xOy ravni i neka je vektorska funkcija definirana u nekom domenu D koja sadrži krivu AB. Podijelimo krivu AB na dijelove sa tačkama čije koordinate označavamo respektivno (slika 4). Na svakom elementarnom luku AkAk+\ uzimamo proizvoljnu tačku i pravimo zbir. Neka je D/ dužina najvećeg luka. Ako zbir (1) ima konačnu granicu koja ne ovisi ni o metodi podjele krive AB niti o izboru tačaka rjk) na elementarne lukove, tada se ova granica naziva krivolinijskim integralom 2-grada vektora funkcija duž krive AB i označena je simbolom Dakle po definiciji Teorema 2. Ako su u nekom domenu D koje sadrži krivu AB funkcije kontinuirane, tada postoji krivolinijski integral 2-grada. Neka je radijus vektor tačke M(x, y). Tada se integrand u formuli (2) može predstaviti kao skalarni proizvod vektora F(M) i dr. Dakle, integral 2. vrste vektorske funkcije duž krive AB može se ukratko zapisati na sljedeći način: 2.1. Izračunavanje krivolinijskog integrala 2. vrste Neka je kriva AB definirana parametarskim jednadžbama, gdje su funkcije kontinuirane zajedno sa derivacijama na segmentu, a promjena parametra t od t0 do t\ odgovara kretanju a tačka duž krive AB tačke A do tačke B. Ako su u nekom području D, koje sadrži krivu AB, funkcije neprekidne, tada se krivolinijski integral 2. vrste svodi na sljedeći definitivni integral: Dakle, izračunavanje krivolinijski integral 2. vrste se takođe može svesti na izračunavanje određenog integrala. O) Primjer 1. Izračunajte integral duž pravog segmenta koji povezuje tačke 2) duž parabole koja spaja iste tačke) Jednačina parametra linije, odakle je So 2) Jednačina prave AB: Odavde dakle Razmatrani primjer označava da vrijednost zakrivljenog integrala 2. vrste, općenito govoreći, ovisi o obliku puta integracije. 2.2. Svojstva krivolinijskog integrala 2. vrste 1. Linearnost. Ako postoje Svojstva krivolinijskih integrala 1. vrste za prostorne krive Krivolinijski integrali 2. vrste Izračunavanje krivolinijskog integrala Svojstva Odnos između tada za bilo koje realno a i /5 postoji integral gdje je 2. Additenost. Ako je kriva AB podijeljena na dijelove AC i SB i postoji krivolinijski integral, onda postoje i integrali. Posljednje svojstvo fizičke interpretacije krivolinijskog integrala 2. vrste je rad polja sila F duž određene putanje: kada se promijeni smjer deshkeniya duž krive, rad polja sila duž ove krive mijenja predznak u suprotan. 2.3. Odnos krivolinijskih integrala 1. i 2. vrste Razmotrimo krivolinijski integral 2. vrste gdje je orijentirana kriva AB (A je početna tačka, B je krajnja tačka) data vektorskom jednadžbom (ovdje je I dužina krivulja mjerena u smjeru u kojem je kriva AB orijentirana) (slika 6). Tada dr ili gdje je r = m(1) - polazna tačka tangenta na krivu AB u tački M(1). Zatim imajte na umu da je posljednji integral u ovoj formuli krivolinijski integral 1. vrste. Kada se promijeni orijentacija krive AB, jedinični vektor tangente r zamjenjuje se suprotnim vektorom (-r), što povlači za sobom promjenu predznaka njenog integrala, a samim tim i predznaka samog integrala.

1. vrsta.

1.1.1. Definicija krivolinijskog integrala 1. vrste

Pustite u avion Oxy zadata kriva (L). Neka za bilo koju tačku krive (L) odlučan kontinuirana funkcija f(x;y). Hajde da prekinemo luk AB linije (L) tačke A=P 0, P 1, P n = B on n proizvoljnih lukova P i -1 P i sa dužinama ( i = 1, 2, n) (Sl. 27)

Odaberimo na svakom luku P i -1 P i proizvoljna tačka M i (x i ; y i) , izračunajmo vrijednost funkcije f(x;y) u tački M i. Napravimo integralni zbir

Neka gde.

λ→0 (n→∞), nezavisno od metode particionisanja krivulje ( L) do elementarnih dijelova, niti od izbora bodova M i krivolinijski integral 1. vrste od funkcije f(x;y)(krivolinijski integral duž dužine luka) i označimo:

Komentar. Definicija krivolinijskog integrala funkcije uvodi se na sličan način f(x;y;z) duž prostorne krive (L).

Fizičko značenje krivolinijski integral 1. vrste:

Ako (L)- ravna kriva sa linearnom ravninom, tada se masa krive nalazi po formuli:

1.1.2. Osnovna svojstva krivolinijskog integrala 1. vrste:

3. Ako je put integracije je podijeljen na dijelove tako da , I imaju jednu zajedničku točku, onda .

4. Krivolinijski integral 1. vrsta ne zavisi od pravca integracije:

5. , gdje je dužina krive.

1.1.3. Proračun krivolinijskog integrala 1. vrste.

Proračun krivolinijskog integrala svodi se na izračunavanje određenog integrala.

1. Pustite krivu (L) je dato jednadžbom . Onda

To jest, diferencijal luka se izračunava pomoću formule.

Primjer

Izračunajte masu pravolinijskog segmenta iz tačke A(1;1) do tačke B(2;4), Ako .

Rješenje

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke: .

Tada jednačina prave ( AB): , .

Nađimo derivat.

Onda . = .

2. Pustite krivu (L) specificirano parametarski: .

Zatim, to jest, diferencijal luka se izračunava pomoću formule.

Za prostorni slučaj specificiranja krive: Zatim

To jest, diferencijal luka se izračunava pomoću formule.

Primjer

Pronađite dužinu luka krive, .

Rješenje

Dužinu luka nalazimo pomoću formule: .

Da bismo to učinili, nalazimo diferencijalni luk.

Nađimo derivacije , , . Tada je dužina luka: .

3. Pustite krivu (L) navedeno u polarnom koordinatnom sistemu: . Onda

To jest, diferencijal luka će se izračunati pomoću formule.

Primjer

Izračunajte masu linijskog luka, 0≤ ≤ ako .

Rješenje

Pronalazimo masu luka koristeći formulu:

Da bismo to učinili, nalazimo diferencijalni luk.

Nađimo derivat.

1.2. Krivolinijski integral 2. vrste

1.2.1. Definicija krivolinijskog integrala 2. vrste

Pustite u avion Oxy data krivulja (L). Pusti (L) data je kontinuirana funkcija f(x;y). Hajde da prekinemo luk AB linije (L) tačke A = P 0 , P 1 , P n = B u pravcu od tačke A do tačke IN on n proizvoljnih lukova P i -1 P i sa dužinama ( i = 1, 2, n) (Sl. 28).

Odaberimo na svakom luku P i -1 P i proizvoljna tačka M i (x i ; y i), izračunajmo vrijednost funkcije f(x;y) u tački M i. Hajde da napravimo integralni zbir, gde je - dužina projekcije luka P i -1 P i po osi Oh. Ako se smjer kretanja duž projekcije poklapa sa pozitivnim smjerom ose Oh, tada se razmatra projekcija lukova pozitivno, inače - negativan.

Neka gde.

Ako postoji ograničenje za integralni zbir na λ→0 (n→∞), nezavisno od metode particionisanja krivulje (L) na elementarne dijelove, niti od izbora bodova M i u svakom elementarnom dijelu, tada se zove ova granica krivolinijski integral 2. vrste od funkcije f(x;y)(krivolinijski integral preko koordinata X) i označavaju:

Komentar. Krivolinijski integral preko y koordinate se uvodi na sličan način:

Komentar. Ako (L) je zatvorena kriva, tada se označava integral nad njom

Komentar. Ako je uključen ( L) tri funkcije su date odjednom i iz ovih funkcija postoje integrali , , ,

tada se poziva izraz: + + opšti krivolinijski integral 2. vrste i zapiši:

1.2.2. Osnovna svojstva krivolinijskog integrala 2. vrste:

3. Kada se promijeni smjer integracije, krivolinijski integral 2. vrste mijenja svoj predznak.

4. Ako je put integracije podijeljen na dijelove tako da , i imaju jednu zajedničku točku, onda

5. Ako je kriva ( L) leži u ravni:

Okomita osa Oh, tada =0;

Okomita osa Oy, To ;

Okomita osa Oz, tada =0.

6. Krivolinijski integral 2. vrste nad zatvorenom krivom ne zavisi od izbora početne tačke (zavisi samo od smera prelaska krive).

1.2.3. Fizičko značenje krivolinijskog integrala 2. vrste.

Posao A pokretne sile materijalna tačka jedinične mase iz tačke M do tačke N uz ( MN) je jednako:

1.2.4. Proračun krivolinijskog integrala 2. vrste.

Proračun krivolinijskog integrala 2. vrste svodi se na izračunavanje određenog integrala.

1. Neka kriva ( L) je dat jednadžbom .

Primjer

Izračunaj gdje ( L) - isprekidana linija OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Rješenje

Pošto (sl. 29), onda

1) Jednačina (OA): , ,

2) Jednačina prave (AB): .

2. Pustite krivu (L) specificirano parametarski: .

Komentar. U prostornom slučaju:

Primjer

Izračunaj

Gdje ( AB)- segment from A(0;0;1) to B(2;-2;3).

Rješenje

Nađimo jednačinu prave ( AB):

Pređimo na parametarsko snimanje jednačine prave linije (AB). Onda .

Point A(0;0;1) odgovara parametru t jednako: dakle t=0.

Point B(2;-2;3) odgovara parametru t, jednako: dakle, t=1.

Kada se krećete iz A To IN,parametar t mijenja se od 0 do 1.

1.3. Greenova formula. L) uklj. M(x;y;z) sa osovinama Ox, Oy, Oz

16.3.2.1. Definicija krivolinijskog integrala prve vrste. Neka u prostoru varijabli x,y,z data je glatka krivulja na kojoj je funkcija definirana f (x ,y ,z Podijelimo krivu na dijelove sa tačkama, izaberemo proizvoljnu tačku na svakom od lukova, pronađemo dužinu luka i sastavimo integralni zbir. Ako postoji ograničenje niza integralnih suma na , neovisno o metodi dijeljenja krivulje na lukove ili izboru tačaka, tada funkcija f (x ,y ,z ) naziva se krivulja integrabilna, a vrijednost ove granice naziva se krivolinijski integral prve vrste, ili krivolinijski integral po dužini luka funkcije f (x ,y ,z ) duž krive, i označava se (ili).

Teorema postojanja. Ako je funkcija f (x ,y ,z ) je kontinuirana na parčelno glatkoj krivulji, onda je integrabilna duž ove krive.

Slučaj zatvorene krive. U ovom slučaju, možete uzeti proizvoljnu tačku na krivulji kao početnu i završnu tačku. U nastavku ćemo zvati zatvorenu krivu nacrt i označeno slovom WITH . Činjenica da je kriva duž koje se izračunava integral zatvorena obično se označava krugom na predznaku integrala: .

16.3.2.2. Svojstva krivolinijskog integrala prve vrste. Ovaj integral ima svih šest svojstava koja vrijede za određeni, dvostruki, trostruki integral, od linearnost to teoreme srednje vrijednosti. Formulirajte ih i dokažite ih na svoju ruku. Međutim, sedmo, lično svojstvo važi i za ovaj integral:

Nezavisnost krivolinijskog integrala prve vrste od smjera krive:.

Dokaz. Integralni zbroji za integrale na desnoj i lijevoj strani ove jednakosti poklapaju se za bilo koju particiju krive i izbor tačaka (uvijek dužine luka), stoga su njihove granice jednake za .

16.3.2.3. Proračun krivolinijskog integrala prve vrste. Primjeri. Neka je kriva definirana parametarskim jednadžbama, gdje su kontinuirano diferencibilne funkcije, i neka tačke koje definiraju particiju krive odgovaraju vrijednostima parametra, tj. . Zatim (vidi odjeljak 13.3. Izračunavanje dužina krivulja) . Prema teoremi srednje vrijednosti, postoji tačka takva da . Odaberimo bodove dobijene sa ovom vrijednošću parametra: . Tada će integralni zbir za krivolinijski integral biti jednak integralnom zbiru za definitivni integral. Budući da , Zatim, prelazeći na granicu na u jednakosti, dobivamo

Dakle, izračunavanje krivolinijskog integrala prve vrste svodi se na izračunavanje određenog integrala nad parametrom. Ako je kriva data parametarski, onda ovaj prijelaz ne uzrokuje poteškoće; Ako se da kvalitativni verbalni opis krivulje, tada glavna poteškoća može biti uvođenje parametra na krivulju. Još jednom to naglasimo integracija se uvijek vrši u smjeru povećanja parametra.

Primjeri. 1. Izračunajte gdje je jedan okret spirale

Ovdje prijelaz na definitivni integral ne uzrokuje probleme: nalazimo , i .

2. Izračunajte isti integral preko segmenta koji povezuje točke i .

Ne postoji direktna parametarska definicija krive, dakle AB morate unijeti parametar. Parametarske jednadžbe prave linije imaju oblik gdje je vektor pravca i tačka prave. Uzimamo tačku kao tačku, a vektor: kao vektor smjera. Lako je vidjeti da tačka odgovara vrijednosti, tačka odgovara vrijednosti, dakle.

3. Pronađite gdje je dio presjeka cilindra ravninom z =x +1, leži u prvom oktantu.

Rješenje: Parametarske jednadžbe krug - vodilica cilindra imaju oblik x =2cosj, y =2sinj, i od tada z=x +1 onda z = 2cosj+1. dakle,

Zato

16.3.2.3.1. Proračun krivolinijskog integrala prve vrste. Flat case. Ako kriva leži na bilo kojoj koordinatnoj ravni, na primjer, ravni Ohoo , i dat je funkcijom , tada, s obzirom X kao parametar dobijamo sljedeću formulu za izračunavanje integrala: . Slično, ako je kriva data jednadžbom, onda .

Primjer. Izračunajte gdje je četvrtina kruga koja leži u četvrtom kvadrantu.

Rješenje. 1. Uzimajući u obzir X kao parametar, dobijamo , dakle

2. Ako uzmemo varijablu kao parametar at , zatim i .

3. Naravno, možete uzeti i obične parametarske jednačine obim: .

Ako je kriva data u polarnim koordinatama, onda , i .

odjel" Viša matematika»

Krivolinijski integrali

Smjernice

Volgograd

UDK 517.373(075)

Recenzent:

Viši predavač Katedre za primijenjenu matematiku N.I. Koltsova

Objavljuje se odlukom uređivačko-izdavačkog vijeća

Volgogradski državni tehnički univerzitet

Krivolinijski integrali: metod. upute / komp. M.I. Andreeva,

O.E. Grigorieva; Volga State Technical University. – Volgograd, 2011. – 26 str.

Smjernice su vodič za rješavanje pojedinačnih zadataka na temu “Krivilinearni integrali i njihove primjene na teoriju polja”.

Prvi dio smjernica sadrži neophodan teorijski materijal za rješavanje pojedinačnih zadataka.

U drugom dijelu razmatraju se primjeri izvršavanja svih vrsta zadataka uključenih u individualni zadaci na temu, što doprinosi boljoj organizaciji samostalan rad učenika i uspješno savladavanje teme.

Smjernice su namijenjene studentima prve i druge godine.

© Volgogradska država

tehnički univerzitet, 2011

1. KRIVILINIJSKI INTEGRAL 1. VRSTE

Definicija krivolinijskog integrala 1. vrste

Neka È AB– luk ravni ili prostorna komadno glatka kriva L, f(P) je kontinuirana funkcija definirana na ovom luku, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B AB I P i– proizvoljne tačke na parcijalnim lukovima È A i – 1 A i, čije su dužine D l i (i = 1, 2, …, n

at n® ¥ i max D l i® 0, što ne zavisi od metode particionisanja luka È AB tačke A i, niti iz izbora bodova P i na parcijalnim lukovima È A i – 1 A i (i = 1, 2, …, n). Ova granica se naziva krivolinijski integral prve vrste funkcije f(P) duž krivine L i određen je

Proračun krivolinijskog integrala 1. vrste

Proračun krivolinijskog integrala 1. vrste može se svesti na izračunavanje određenog integrala korištenjem različitih metoda specificiranja integracione krive.

Ako je luk È AB ravna kriva je parametarski data jednadžbama gdje x(t) I y(t t, i x(t 1) = x A, x(t 2) = xB, To

Gdje - diferencijal dužine luka krive.

Slična formula se odvija u slučaju parametarske specifikacije prostorne krive L. Ako je luk È AB krivo L je dato jednadžbama , i x(t), y(t), z(t) – kontinuirano diferencirane funkcije parametra t, To

gdje je diferencijal dužine luka krive.

V Kartezijanske koordinate

Ako je luk È AB ravna kriva L dato jednačinom Gdje y(x

a formula za izračunavanje krivolinijskog integrala je:

Prilikom specificiranja luka È AB ravna kriva L u formi x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
Gdje x(y) je kontinuirano diferencirana funkcija,

a krivolinijski integral se izračunava po formuli

(1.4)

Određivanje krivulje integracije polarnom jednačinom

Ako je kriva ravna L je dat jednadžbom u polarnom koordinatnom sistemu r = r(j), j O , gdje r(j) je, dakle, kontinuirano diferencibilna funkcija

I

(1.5)

Primjena krivolinijskog integrala 1. vrste

Koristeći krivolinijski integral 1. vrste izračunavaju se: dužina luka krive, površina dijela cilindrične površine, masa, statički momenti, momenti inercije i koordinate centra gravitacije kriva materijala sa datom linearnom gustinom.

1. Dužina l ravna ili prostorna kriva L nalazi se po formuli

2. Površina dijela cilindrične površine sa paralelna osa OZ generatrisa i nalazi se u ravni XOY vodič L, zatvoren između aviona XOY i površinu datu jednadžbom z = f(x; y) (f(P) ³ 0 at P Î L), jednako je

(1.7)

3. Težina m materijalna kriva L sa linearnom gustinom m( P) određuje se formulom

(1.8)

4. Statički momenti u odnosu na ose Ox I Oy i koordinate centra gravitacije ravne materijalne krive L sa linearnom gustinom m( x; y) su respektivno jednaki:

(1.9)

5. Statički momenti o avionima Oxy, Oxz, Oyz i koordinate težišta prostorne materijalne krive s linearnom gustinom m( x; y; z) određuju se formulama:

(1.11)

6. Za ravnu krivu materijala L sa linearnom gustinom m( x; y) momenti inercije oko osi Ox, Oy i ishodište koordinata su respektivno jednaki:

(1.13)

7. Momenti inercije prostorne materijalne krive L sa linearnom gustinom m( x; y; z) relativno koordinatne ravni izračunati pomoću formula

(1.14)

a momenti inercije oko koordinatnih osa jednaki su:

(1.15)

2. KRIVILINIJSKI INTEGRAL 2. VRSTE

Definicija krivolinijskog integrala 2. vrste

Neka È AB– luk komadno glatke orijentisane krive L, = (a x(P); a y(P); a z(P)) – definiran na ovom luku je kontinuiran vektorska funkcija, A 0 = A, A 1 , A 2 , …, A n – 1 , A n = B– proizvoljno razdvajanje luka AB I P i– proizvoljne tačke na parcijalnim lukovima A i – 1 A i. Neka je vektor sa koordinatama D x i, D y i, D z i(i = 1, 2, …, n), i - tačkasti proizvod vektori i ( i = 1, 2, …, n). Tada postoji granica niza integralnih suma

at n® ¥ i max ÷ ç ® 0, što ne zavisi od načina dijeljenja luka AB tačke A i, niti iz izbora bodova P i na parcijalnim lukovima È A i – 1 A i
(i = 1, 2, …, n). Ova granica se naziva krivolinijski integral druge vrste funkcije ( P) duž krivine L i određen je

U slučaju kada je vektorska funkcija specificirana na ravnoj krivulji L, na sličan način imamo:

Kada se promijeni smjer integracije, krivolinijski integral 2. vrste mijenja predznak.

Krivolinijski integrali prve i druge vrste povezani su relacijom

(2.2)

gdje je jedinični vektor tangente na orijentisanu krivu.

Koristeći krivolinijski integral 2. vrste, možete izračunati rad sile pri pomicanju materijalne točke duž luka krive L:

(2.3)

Pozitivan smjer prelaska zatvorene krive SA, ograničavajući jednostavno povezanu regiju G, razmatra se pomicanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Krivolinijski integral 2. vrste nad zatvorenom krivom WITH naziva se cirkulacija i označava se

(2.4)

Proračun krivolinijskog integrala 2. vrste

Proračun krivolinijskog integrala 2. vrste svodi se na izračunavanje određenog integrala.

Parametrijska definicija integracijske krive

Ako je È AB orijentisana ravna kriva je parametarski data jednadžbama gdje X(t) I y(t) – kontinuirano diferencirane funkcije parametra t, a zatim

(2.5)

Slična formula se dešava u slučaju parametarske specifikacije prostorno orijentisane krive L. Ako je luk È AB krivo L je dato jednadžbama , i – kontinuirano diferencirane funkcije parametra t, To

(2.6)

Eksplicitno specificiranje ravne integracijske krive

Ako je luk È AB L je dato u kartezijanskim koordinatama jednadžbom gdje y(x) je dakle kontinuirano diferencibilna funkcija

(2.7)

Prilikom specificiranja luka È AB ravni orijentisana kriva L u formi
x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2 ], gdje x(y) je kontinuirano diferencibilna funkcija, formula je važeća

(2.8)

Neka funkcije su kontinuirani zajedno sa svojim derivatima

u stanu zatvorenom prostoru G, omeđen komadično glatkom zatvorenom samodisjunktnom pozitivno orijentiranom krivom WITH+ . Tada vrijedi Greenova formula:

Neka G– površinsko jednostavno povezano područje, i

= (a x(P); a y(P); a z(P))

je vektorsko polje navedeno u ovoj regiji. Polje ( P) se naziva potencijalnim ako takva funkcija postoji U(P), Šta

(P) = grad U(P),

Neophodan i dovoljno stanje potencijalnost vektorsko polje (P) ima oblik:

trulež( P) = , gdje je (2.10)

(2.11)

Ako je vektorsko polje potencijalno, onda krivolinijski integral 2. vrste ne zavisi od integracione krive, već zavisi samo od koordinata početka i kraja luka M 0 M. Potencijal U(M) vektorskog polja određena je do konstantnog člana i nalazi se po formuli

(2.12)

Gdje M 0 M– proizvoljna kriva koja povezuje fiksnu tačku M 0 i varijabilna točka M. Da bi se pojednostavili proračuni, kao put integracije može se odabrati isprekidana linija M 0 M 1 M 2 M sa paralelnim vezama koordinatne ose, Na primjer:

3. primjeri izvršavanja zadataka

Zadatak 1

Izračunajte krivolinijski integral prve vrste

gdje je L luk krive, 0 ≤ x ≤ 1.

Rješenje. Koristeći formulu (1.3) za redukciju krivolinijskog integrala prve vrste na definitivni integral u slučaju glatke ravni eksplicitno definirane krive:

Gdje y = y(x), x 0 ≤ x ≤ x 1 – lučna jednačina L kriva integracije. U primjeru koji se razmatra Pronađite izvod ove funkcije

i diferencijal dužine luka krive L

,

zatim, zamenjujući ovaj izraz umjesto y, dobijamo

Transformirajmo krivolinijski integral u definitivni integral:

Ovaj integral izračunavamo supstitucijom. Onda
t 2 = 1 + x, x = t 2 – 1, dx = 2t dt; at x = 0 t= 1; A x= 1 odgovara . Nakon transformacija dobijamo

Zadatak 2

Izračunajte krivolinijski integral 1. vrste duž luka L krivo L:x= cos 3 t, y= greh 3 t, .

Rješenje. Jer L– luk glatke ravne krive definisan u parametarski oblik, tada koristimo formulu (1.1) da svedemo krivolinijski integral 1. vrste na definitivan:

.

U primjeru koji se razmatra

Nađimo diferencijal dužine luka

Pronađene izraze zamjenjujemo u formulu (1.1) i izračunavamo:

Zadatak 3

Pronađite masu luka linije L sa linearnom ravninom m.

Rješenje. Težina m lukovi L sa gustinom m( P) se izračunava pomoću formule (1.8)

.

Ovo je krivolinijski integral 1. vrste nad parametarski definisanim glatkim lukom krive u prostoru, stoga se izračunava pomoću formule (1.2) za svođenje krivolinijskog integrala 1. vrste na definitivni integral:

Nađimo derivate

i diferencijal dužine luka

Zamjenjujemo ove izraze u formulu za masu:

Zadatak 4

Primjer 1. Izračunati krivolinijski integral 2. vrste

duž luka L kriva 4 x + y 2 = 4 od tačke A(1; 0) do tačke B(0; 2).

Rješenje. Ravni luk L je specificirano implicitno. Za izračunavanje integrala pogodnije je izraziti x kroz y:

i pronađite integral koristeći formulu (2.8) za transformaciju krivolinijskog integrala 2. vrste u definitivni integral nad promjenljivom y:

Gdje a x(x; y) = xy – 1, a y(x; y) = xy 2 .

Uzimajući u obzir specifikaciju krive

Koristeći formulu (2.8) dobijamo

Primjer 2. Izračunati krivolinijski integral 2. vrste

Gdje L– isprekidana linija ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Rješenje. Svojstvom aditivnosti krivolinijskog integrala

Svaki od integralnih članova izračunava se pomoću formule (2.7)

Gdje a x(x; y) = x 2 + y, a y(x; y) = –3xy.

Jednačina segmenta linije AB: y = 2, y¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Zamjenom ovih izraza u formulu (2.7) dobijamo:

Za izračunavanje integrala

napravimo jednacinu prave linije B.C. prema formuli

Gdje xB, y B, x C, y C– koordinate tačke B I WITH. Dobili smo

y – 2 = x – 3, y = x – 1, y¢ = 1.

Dobivene izraze zamjenjujemo u formulu (2.7):

Zadatak 5

Izračunajte krivolinijski integral 2. vrste duž luka L

0 ≤ t ≤ 1.

Rješenje. Pošto je kriva integracije parametarski data jednadžbama x = x(t), y = y(t), t Î [ t 1 ; t 2 ], gdje x(t) I y(t) – kontinuirano diferencibilne funkcije t at t Î [ t 1 ; t 2 ], zatim za izračunavanje krivolinijskog integrala druge vrste koristimo formulu (2.5) svodeći krivolinijski integral na onaj koji je definiran za ravnu parametarski datu krivu

U primjeru koji se razmatra a x(x; y) = y; a y(x; y) = –2x.

Uzimajući u obzir podešavanje krive L dobijamo:

Pronađene izraze zamjenjujemo u formulu (2.5) i izračunavamo definitivni integral:

Zadatak 6

Primjer 1. C + Gdje WITH : y 2 = 2x, y = x – 4.

Rješenje. Oznaka C+ označava da se krug prelazi u pozitivnom smjeru, odnosno u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Provjerimo da za rješavanje problema možemo koristiti Greenovu formulu (2.9)

Pošto funkcije a x (x; y) = 2y – x 2 ; a y (x; y) = 3x + y i njihove parcijalne derivate kontinuirano u ravnom zatvorenom području G, ograničen konturom C, onda je Greenova formula primjenjiva.

Da izračunam dvostruki integral oslikajmo područje G, prethodno odredivši tačke preseka lukova krivih y 2 = 2x I
y = x– 4, čineći konturu C.

Tačke preseka ćemo pronaći rešavanjem sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je ekvivalentna jednačini x 2 – 10x+ 16 = 0, odakle x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Dakle, tačke preseka krivih: A(2; –2), B(8; 4).

Od oblasti G– ispravno u smjeru ose Ox, zatim da bi se dvostruki integral sveo na ponovljeni, projektujemo regiju G po osi OY i koristite formulu

.

Jer a = –2, b = 4, x 2 (y) = 4+y, To

Primjer 2. Izračunati krivolinijski integral 2. vrste duž zatvorene konture Gdje WITH– obris trougla sa vrhovima A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Rješenje. Oznaka znači da se kontura trokuta prelazi u smjeru kazaljke na satu. U slučaju kada se krivolinijski integral preuzima preko zatvorene konture, Greenova formula poprima oblik

Oslikajmo područje G, ograničeno datom konturom.

Funkcije i parcijalne derivate I kontinuirano u regionu G, tako da se Greenova formula može primijeniti. Onda

Region G nije ispravan u smjeru bilo koje od osi. Nacrtajmo segment prave linije x= 1 i zamislite G u formi G = G 1 È G 2 gdje G 1 i G 2 područja ispravna u smjeru osi Oy.

Onda

Da smanjimo svaki od dvostrukih integrala za G 1 i G 2 da ponovimo koristit ćemo formulu

Gdje [ a; b] – projekcija površine D po osi Ox,

y = y 1 (x) – jednadžba donje granične krive,

y = y 2 (x) – jednačina gornje granične krive.

Zapišimo jednadžbe granica domena G 1 i pronađite

AB: y = 2x, 0 ≤ x ≤ 1; AD: , 0 ≤ x ≤ 1.

Napravimo jednačinu za granicu B.C. region G 2 koristeći formulu

B.C.: gdje je 1 ≤ x ≤ 3.

DC: 1 ≤ x ≤ 3.

Zadatak 7

Primjer 1. Pronađite rad sile L: y = x 3 od tačke M(0; 0) do tačke N(1; 1).

Rješenje. Rad koji vrši promjenjiva sila pri pomicanju materijalne točke duž luka krive L određena formulom (2.3) (kao krivolinijski integral druge vrste funkcije duž krive L) .

Budući da je vektorska funkcija data jednadžbom, a luk ravno orijentirane krive je eksplicitno definiran jednadžbom y = y(x), x Î [ x 1 ; x 2 ], gdje y(x) je kontinuirano diferencibilna funkcija, tada po formuli (2.7)

U primjeru koji se razmatra y = x 3 , , x 1 = x M = 0, x 2 = x N= 1. Dakle

Primjer 2. Pronađite rad sile kada se pomera materijalna tačka duž linije L: x 2 + y 2 = 4 od tačke M(0; 2) do tačke N(–2; 0).

Rješenje. Koristeći formulu (2.3), dobijamo

.

U primjeru koji se razmatra, luk krive L(È MN) je četvrtina navedenog kruga kanonska jednačina x 2 + y 2 = 4.

Za izračunavanje krivolinijskog integrala druge vrste, zgodnije je prijeći na parametarsku definiciju kruga: x = R cos t, y = R grijeh t i koristi formulu (2.5)

Jer x= 2cos t, y= 2sin t, , , dobijamo

Zadatak 8

Primjer 1. Izračunajte cirkulacijski modul vektorskog polja duž konture G:

Rješenje. Za izračunavanje cirkulacije vektorskog polja duž zatvorene konture G koristimo formulu (2.4)

Pošto je prostorno vektorsko polje dato i prostorne zatvorena petlja G, zatim prelazeći iz vektorskog oblika pisanja krivolinijskog integrala u koordinatni oblik, dobijamo

Curve G definiran kao sjecište dviju površina: hiperboličnog paraboloida z = x 2 – y 2 + 2 i cilindri x 2 + y 2 = 1. Za izračunavanje krivolinijskog integrala zgodno je prijeći na parametarske jednadžbe krive G.

Jednačina cilindrične površine može se napisati kao:
x=cos t, y= grijeh t, z = z. Izraz za z u parametarskim jednačinama krivulje se dobija zamjenom x=cos t, y= grijeh t u jednadžbu hiperboličkog paraboloida z = 2 + cos 2 t– grijeh 2 t= 2 + cos 2 t. dakle, G: x=cos t,
y= grijeh t, z= 2 + cos 2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

Pošto su one uključene u parametarske jednačine krive G funkcije
x(t) = cos t, y(t) = grijeh t, z(t) = 2 + cos 2 t su kontinuirano diferencibilne funkcije parametra t at t O , tada nalazimo krivolinijski integral koristeći formulu (2.6)

Proračun krivolinijskog integrala nad koordinatama.

Proračun krivolinijskog integrala nad koordinatama svodi se na izračunavanje običnog određenog integrala.

Razmotrimo krivolinijski integral 2. vrste ispod luka:

(1)

Neka je jednadžba krivulje integracije data u parametarskom obliku:

Gdje t- parametar.

Tada iz jednačina (2) imamo:

Iz istih jednačina napisanih za tačke A I IN,

hajde da nađemo vrednosti t A I t B parametri koji odgovaraju početku i kraju integracione krive.

Zamjenom izraza (2) i (3) u integral (1) dobijamo formulu za izračunavanje krivolinijskog integrala 2. vrste:

Ako je kriva integracije data eksplicitno u odnosu na varijablu y, tj. u formi

y=f(x), (6)

tada prihvatamo promenljivu x po parametru (t=x) i dobijamo sledeći unos jednačine (6) u parametarskom obliku:

Odavde imamo: , t A =x A , t B =x B, a krivolinijski integral 2. svodi se na definitivni integral nad promjenljivom x:

Gdje y(x)– jednačina linije duž koje se vrši integracija.

Ako je jednadžba krivulje integracije AB specificirano eksplicitno u odnosu na varijablu x, tj. u formi

x=φ(y) (8)

tada uzimamo varijablu kao parametar y, zapisujemo jednačinu (8) u parametarskom obliku:

dobijamo: , t A =y A , t B =y B, a formula za izračunavanje integrala 2. vrste imat će oblik:

Gdje x(y)– jednačina linija AB.

Bilješke.

1). Postoji krivolinijski integral nad koordinatama, tj. postoji konačan limit na integralni zbir pri n→∞ , ako je na krivulji integracije funkcije P(x, y) I Q(x,y) su kontinuirane, a funkcije x(t) I y(t) su kontinuirani zajedno sa svojim prvim derivatima i .

2). Ako je kriva integracije zatvorena, onda morate pratiti smjer integracije, jer

Izračunaj integral , Ako AB dato jednadžbama:

A). (x-1) 2 +y 2 =1.

b). y=x

V). y=x 2

Slučaj A. Linija integracije je krug radijusa R=1 centriran u tački C(1;0). Njegova parametarska jednačina je:

Nalazimo

Odredimo vrijednosti parametara t u tačkama A I IN.

Tačka A. t A =π .

Slučaj B. Linija integracije je parabola. Prihvatamo x po parametru. Zatim , , .

dobijamo:

Greenova formula.

Greenova formula uspostavlja vezu između krivolinijskog integrala 2. vrste nad zatvorenom konturom i dvostrukog integrala nad područjem D, ograničen ovom konturom.

Ako je funkcija P(x, y) I Q(x, y) a njihovi parcijalni derivati ​​su kontinuirani u regionu D, ograničen konturom L, tada vrijedi formula:

(1)

- Greenova formula.

Dokaz.

Razmislite u avionu xOy region D, ispravno u smjeru koordinatnih osa Ox I Oy.

TO ontur L ravno x=a I x=b podijeljen je na dva dijela, od kojih svaki y je jednovrijedna funkcija od x. Neka gornji dio ADV kontura je opisana jednadžbom y=y 2 (x), i donji dio DIA kontura - jednačina y=y 1 (x).

Razmotrimo dvostruki integral

S obzirom da je unutrašnji integral izračunat na x=konst dobijamo:

.

Ali prvi integral u ovom zbiru, kao što slijedi iz formule (7), je krivolinijski integral duž prave ACA, jer y=y 2 (x)– jednačina ove prave, tj.

a drugi integral je krivolinijski integral funkcije P(x, y) duž linije DIA, jer y=y 1 (x)– jednačina ove prave:

.

Zbir ovih integrala je krivolinijski integral nad zatvorenom petljom L od funkcije P(x, y) po koordinatama x.

Kao rezultat dobijamo:

(2)

Kršenje obrisa L ravno y=c I y=d do parcela VRT I SVD, opisani jednadžbama x=x 1 (y) I x=x 2 (g) na sličan način dobijamo:

Zbrajanjem desne i lijeve strane jednakosti (2) i (3) dobivamo Greenovu formulu:

.

Posljedica.

Koristeći krivolinijski integral 2. vrste, možete izračunati površine ravnih figura.

Odredimo koje bi funkcije trebale biti za to P(x, y) I Q(x, y). Hajde da zapišemo:

ili, koristeći Greenovu formulu,

Dakle, jednakost mora biti zadovoljena

šta je moguće, na primjer, sa

gdje dobijamo:

(4)

Izračunajte površinu zatvorenu elipsom čija je jednadžba data u parametarskom obliku:

Uslov za nezavisnost krivolinijskog integrala nad koordinatama od puta integracije.

Ustanovili smo da, u mehaničkom smislu, krivolinijski integral 2. vrste predstavlja rad promjenljive sile na krivolinijski put ili drugim rečima, rad pomeranja materijalne tačke u polju sila. Ali iz fizike je poznato da rad u polju gravitacije ne zavisi od oblika putanje, već zavisi od položaja početne i krajnje tačke putanje. Shodno tome, postoje slučajevi kada krivolinijski integral 2. vrste ne zavisi od puta integracije.

Odredimo uslove pod kojima krivolinijski integral nad koordinatama ne zavisi od puta integracije.

Neka u nekom području D funkcije P(x, y) I Q(x, y) i parcijalne derivate

I kontinuirano. Uzmimo bodove u ovoj oblasti A I IN i povežite ih proizvoljnim linijama DIA I AFB.

Ako krivolinijski integral 2. vrste ne zavisi od puta integracije, onda

,

(1)

Ali integral (1) je integral nad zatvorenom petljom ACBFA.

Posljedično, krivolinijski integral 2. vrste u nekom području D ne zavisi od puta integracije ako je integral na bilo kojoj zatvorenoj konturi u ovoj oblasti jednak nuli.

Hajde da odredimo koje uslove funkcija mora da zadovolji P(x, y) I Q(x, y) kako bi se ostvarila jednakost

, (2)

one. tako da krivolinijski integral nad koordinatama ne zavisi od puta integracije.

Pustite u okolinu D funkcije P(x, y) I Q(x, y) a njihove parcijalne derivacije su prvog reda i kontinuirane. Zatim, u cilju krivolinijskog integrala nad koordinatama

ne zavisi od puta integracije, potrebno je i dovoljno da na svim tačkama regiona D ravnopravnost je bila zadovoljena

Dokaz.

Prema tome, jednakost (2) je zadovoljena, tj.

, (5)

za koje je potrebno ispuniti uslov (4).

Tada iz jednačine (5) proizilazi da je jednakost (2) zadovoljena i stoga integral ne zavisi od puta integracije.

Dakle, teorema je dokazana.

Pokažimo da je uslov

je zadovoljan ako je integrand

je potpuni diferencijal neke funkcije U(x, y).

Ukupni diferencijal ove funkcije je jednak

. (7)

Neka je integrand (6) totalni diferencijal funkcije U(x, y), tj.

odakle to sledi

Iz ovih jednakosti nalazimo izraze za parcijalne izvode i:

, .

Ali druge mješovite parcijalne derivacije ne zavise od redoslijeda diferencijacije, dakle, što je trebalo dokazati. krivolinijski integrali. Trebalo bi i... aplikacije. Iz teorije krivolinijski integrali poznato je da krivolinijski integral oblika (29 ...

Diferencijalni račun funkcije jedne varijable

Sažetak >> Matematika

... (jedinica 2) Pronalaženje područja krivolinijski sektori.  = f()   O  Za pronalaženje područja krivolinijski sektoru uvodimo polarni... gradijent sa derivacijom u pravcu. Višestruki integrali. Dvostruko integrali. Uslovi za postojanje dvostrukog integrala. Nekretnine...

Implementacija matematičkih modela korištenjem metoda integracije u MATLAB okruženju

Predmet >> Računarstvo

... (i=1,2,…,n). Rice. 5 – Formula trapeza Zatim površina krivolinijski trapezi, ograničena linijama x=a, x=b, y=0, y=f(x), što znači (slijedeći... bilo koji višestruki integrali. 2. MATLAB – MATLAB SIMULACIJSKO OKRUŽENJE (Matrix...

Radnje sa približnim količinama

Sažetak >> Matematika

Razne jednadžbe, a pri proračunu određene integrali, i u funkcijskoj aproksimaciji. Hajde da razmotrimo razne načine...  x2… xk+m. U jednačini k je paran višestruki a m je neparan višestruki korijenje. Razlaže se na (k+m) jednačine...