Najviše i najniže vrijednosti

Funkcija ograničena u ograničenom zatvorenom području dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti ili u stacionarnim tačkama ili u tačkama koje leže na granici regije.

Da biste pronašli najveću ili najmanju vrijednost funkcije potrebno je:

1. Pronađite stacionarne tačke koje leže unutar ove oblasti i izračunajte vrijednost funkcije u njima.

2. Pronađite najveću (najmanju) vrijednost funkcije na granici regije.

3. Uporedite sve dobijene vrednosti funkcije: najveća (najmanja) će biti najveća (najmanja) vrednost funkcije u ovoj oblasti.

Primjer 2. Pronađite najveću (najmanju) vrijednost funkcije: u krugu.

Rješenje.

stacionarna tačka; .

2 .Granica ovog zatvorenog područja je krug ili , gdje .

Funkcija na granici regije postaje funkcija jedne varijable: , gdje je . Nađimo najveću i najmanju vrijednost ove funkcije.

Kada je x=0 ; (0,-3) i (0,3) su kritične tačke.

Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta

3 . Upoređujući vrijednosti jedne s drugima dobijamo,

U tačkama A i B.

U tačkama C i D.

Primjer 3. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom području definiranom nejednakošću:

Rješenje. Područje je trokut omeđen koordinatnim osa i pravom linijom x+y=1.

1. Nalazimo stacionarne tačke unutar regije:

; ; y = - 1/ 8; x = 1/8.

Stacionarna tačka ne pripada posmatranom regionu, pa se z vrednost u njoj ne računa.

2 .Proučavamo funkciju na granici. Budući da se granica sastoji od tri sekcije opisane sa tri različite jednadžbe, proučavamo funkciju na svakom dijelu posebno:

A) u sekciji 0A: y=0 - jednačina 0A, zatim ; iz jednadžbe je jasno da se funkcija povećava za 0A od 0 do 1. To znači .

b) u sekciji 0B: x=0 - jednačina 0B, zatim ; –6y+1=0; - kritična tačka.

V) na pravoj x+y = 1: y=1-x, tada dobijamo funkciju

Izračunajmo vrijednost funkcije z u tački B(0,1).

3 .Upoređujući brojeve dobijamo to

Na ravnom AB.

U tački B.

Testovi za samokontrolu znanja.

1 . Ekstremum funkcije je

a) njegove derivate prvog reda

b) njegova jednačina

c) njen raspored

d) njegov maksimum ili minimum

2. Ekstremum funkcije nekoliko varijabli može se postići:

a) samo u tačkama koje leže unutar njegovog domena definicije, u kojima su sve parcijalne derivacije prvog reda veće od nule

b) samo u tačkama koje leže unutar njegovog domena definicije, u kojima su sve parcijalne derivacije prvog reda manje od nule

c) samo u tačkama koje leže unutar njegovog domena definicije, u kojima sve parcijalne derivacije prvog reda nisu jednake nuli

d) samo u tačkama koje leže unutar njegovog domena definicije, u kojima su sve parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli

3. Funkcija koja je kontinuirana u ograničenom zatvorenom području dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti:

a) na stacionarnim tačkama

b) bilo na stacionarnim tačkama ili na tačkama koje leže na granici regiona

c) u tačkama koje leže na granici regiona

d) na svim tačkama

4. Stacionarne tačke za funkciju nekoliko varijabli su tačke:

a) u kojem sve parcijalne derivacije prvog reda nisu jednake nuli

b) u kojem su svi parcijalni derivati ​​prvog reda veći od nule

c) u kojoj su sve parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli

d) u kojem su svi parcijalni derivati ​​prvog reda manji od nule

§ Ekstremi, maksimalne i minimalne vrijednosti funkcija više varijabli - strana br. 1/1

§ 8. Ekstremi Najveće i najmanje vrijednosti funkcija nekoliko varijabli.

1. Ekstremi funkcija više varijabli.

avion
,
je tačka u ovoj oblasti.

Dot
pozvao maksimalni poen funkcije
, ako za bilo koju tačku

važi nejednakost

.

Isto tako
pozvao minimalna tačka funkcije
, ako za bilo koju tačku
iz nekog komšiluka tačke
važi nejednakost

.

Bilješke. 1) Prema definicijama, funkcija
mora biti definiran u nekom susjedstvu tačke
. One. maksimalne i minimalne tačke funkcije
mogu postojati samo unutrašnje tačke regiona
.

2) Ako postoji susjedstvo tačke
, u kojem za bilo koju tačku
razlicito od
važi nejednakost

(

), zatim tačka
pozvao stroga maksimalna tačka (odnosno stroga minimalna tačka ) funkcije
. U tom smislu, maksimalne i minimalne tačke definisane gore se ponekad nazivaju nestrogi maksimum i minimum.

Maksimalne i minimalne tačke funkcije nazivaju se njenim ekstremne tačke . Pozivaju se vrijednosti funkcije na maksimalnoj i minimalnoj tački highs I minimumi , ili, ukratko, ekstremi ovu funkciju.

Koncepti ekstrema su lokalne prirode: vrijednost funkcije u tački
uspoređuje se s vrijednostima funkcije u prilično bliskim točkama. U datom području, funkcija možda uopće nema ekstreme, ili može imati nekoliko minimuma, nekoliko maksimuma, pa čak i beskonačan broj oba. Štaviše, neki minimumi mogu biti veći od nekih njegovih maksimuma. Nemojte brkati maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije s njenim maksimalnim i minimalnim vrijednostima.

Nađimo neophodan uslov za ekstrem. Neka, na primjer,
– maksimalna tačka funkcije
. Zatim, po definiciji, postoji gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-susjedstvo tačke
takav da
za bilo koju tačku
iz ove blizine. posebno,

(1)

Gdje
,
, And

(2)

Gdje
,
. Ali (1) znači da je funkcija jedne varijable
ima u tački maksimum ili je na intervalu
konstantan. dakle,

ili
- ne postoji,

⇒
ili
- ne postoji.

Slično iz (2) dobijamo to

ili
- ne postoji.

Dakle, vrijedi sljedeća teorema.

TEOREMA 8.1. (neophodni uslovi za ekstrem). Ako je funkcija
u tački
ima ekstrem, tada su u ovom trenutku ili oba njegova parcijalna izvoda prvog reda jednaka nuli, ili barem jedan od ovih parcijalnih izvoda ne postoji.

Geometrijski, teorema 8.1 znači da ako
– tačka ekstrema funkcije
, tada je tangentna ravan na graf ove funkcije u tački ili paralelna s ravninom
, ili uopšte ne postoji. Da biste to potvrdili, dovoljno je zapamtiti kako pronaći jednadžbu tangentne ravni na površinu (vidi formulu (4.6)).

Pozivaju se tačke koje zadovoljavaju uslove iz teoreme 8.1 kritične tačke funkcije
. Kao i za funkciju jedne varijable, neophodni uslovi za ekstrem nisu dovoljni. One. neće svaka kritična tačka funkcije biti njena tačka ekstrema.

PRIMJER. Razmotrite funkciju
. Dot
je kritičan za ovu funkciju, jer u ovom trenutku oba njena parcijalna derivacija prvog reda
I
jednaki su nuli. Međutim, to neće biti ekstremna tačka. stvarno,
, ali u bilo kom susjedstvu točke
postoje tačke u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti i tačke u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti. To je lako provjeriti ako napravite graf funkcije - hiperboličnog paraboloida.

Za funkciju dvije varijable, najpogodniji dovoljni uvjeti dati su sljedećom teoremom.

TEOREMA 8.2. (dovoljni uslovi za ekstremum funkcije dvije varijable). Neka
– kritična tačka funkcije
iu nekom susjedstvu tačke
funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode do i uključujući drugi red. Označimo

,
,
.

Zatim 1) ako
, zatim pokažite
nije tačka ekstrema;


Ako koristimo teoremu 8.2 da istražimo kritičnu tačku
nije uspio (tj. ako
ili funkcija uopće nema poentu u susjedstvu
kontinuirani parcijalni derivati ​​traženog reda), odgovor na pitanje o prisutnosti u tački
extremum će dati znak prirasta funkcije u ovoj tački.

Zaista, iz definicije slijedi da ako je funkcija
ima u tački
onda strogi maksimum

za sve bodove
iz nekog komšiluka tačke
, ili, inače

za sve dovoljno male
I
. Isto tako, ako
je tačka strogog minimuma, tada za sve dovoljno male
I
nejednakost će biti zadovoljena
.

Dakle, da saznamo da li je kritična tačka
ekstremne tačke, potrebno je ispitati prirast funkcije u ovoj tački. Ako je za sve dovoljno malo
I
sačuvaće znak, tada u tački
funkcija ima strogi ekstrem (minimum ako
, i maksimalno ako
).

Komentar. Pravilo ostaje na snazi ​​za nestrogi ekstrem, ali uz dopunu da za neke vrijednosti
I
prirast funkcije će biti nula
PRIMJER. Pronađite ekstreme funkcija:

1)
; 2)
.

1) Funkcija

I
takođe postoje svuda. Rješavanje sistema jednačina
,
pronaći dvije kritične tačke
I
.

Za proučavanje kritičnih tačaka primjenjujemo teoremu 8.2. Imamo:

,
,
.

Hajde da istražimo poentu
:

,
,
,

;
.

Dakle, u tački
ova funkcija ima minimum, naime
.

Istraživanje kritične tačke
:

,
,
,


.

Dakle, druga kritična tačka nije tačka ekstrema funkcije.

2) Funkcija
svuda definisano. Njegovi parcijalni derivati ​​prvog reda
a takođe postoje svuda. Rješavanje sistema jednačina
,
pronaći jedinu kritičnu tačku
.

Za proučavanje kritične tačke, primjenjujemo teoremu 8.2. Imamo:

,
,
,

,
,
,

.

Odredite prisustvo ili odsustvo ekstremuma u nekoj tački
korištenje teoreme 8.2 nije uspjelo.

Hajde da ispitamo znak prirasta funkcije u tački
:

Ako
, To
;

Ako
, To
.

Zbog
ne čuva znak u susjedstvu tačke
, tada u ovom trenutku funkcija nema ekstrem.

Definicije maksimuma i minimuma i neophodni uslovi za ekstrem se lako prenose na funkcije tri ili više varijabli. Dovoljni uslovi za ekstremum za funkciju (
) varijable se ne razmatraju u ovom kursu zbog njihove složenosti. U ovom slučaju ćemo odrediti prirodu kritičnih tačaka predznakom prirasta funkcije.

2. Najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Neka je funkcija dvije varijable
definisano u nekoj oblasti
avion
,
,
– tačke ovog područja. Vrijednost funkcije u točki
pozvao najveća , ako za bilo koju tačku
iz regiona
važi nejednakost

.

Slično, vrijednost funkcije u tački
pozvao najmanji , ako za bilo koju tačku
iz regiona
važi nejednakost

.

Ranije smo već rekli da ako je funkcija kontinuirana i površina
– je zatvorena i ograničena, tada funkcija poprima najveću i najmanju vrijednost u ovoj oblasti. Istovremeno, bodovi
I
mogu ležati i unutar područja
, i na njegovoj granici. Ako je poenta
(ili
) leži unutar regije
, tada će to biti maksimalna (minimalna) točka funkcije
, tj. kritična tačka funkcije unutar regije
. Dakle, pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije
u oblasti
treba:
.

Ekstremum funkcije je svojstvo lokalne, lokalne prirode (vidi definiciju). Maksimum (minimum) ne treba miješati s najvećom (najmanjom) vrijednošću funkcije u zatvorenom području D.

Definicija. Recimo funkciju z = f(x, y) je definisan i kontinuiran u nekom regionu D, ima konačne parcijalne izvode u ovoj regiji. Tada će u ovoj regiji postojati tačke do kojih funkcija doseže najveći i najmanji vrijednosti preostalih vrijednosti. Ove tačke mogu ležati unutar regiona ili na njegovoj granici.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom području, trebate:

1) Pronađite stacionarne tačke koje se nalaze unutar regije i izračunajte vrijednosti funkcije u tim tačkama.

Komentar. Spojite stacionarnim tačkama tačke u kojima su derivacije beskonačne ili ne postoje (ako ih ima).

2) Pronađite stacionarne tačke na granici regiona i izračunajte vrednosti funkcije u tim tačkama.

3) Pronađite vrijednosti funkcije u uglovima - tačkama presjeka graničnih linija.

4) Od svih pronađenih vrijednosti odaberite najveću i najmanju.

Primjer 1.22. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

z = 2x 2 – xy ++ y 2 + 7x u zatvorenom prostoru D: –3 x 3, –3 y 3 (sl. 1.3).

Rice. 1.3. Područje studija D

Rješenje. 1) Pronađite stacionarne tačke

Odavde at = –1, X= –2, stacionarna tačka M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Proučavamo funkciju na granici regije koja se sastoji od segmenata AB, DC, CB, AD.

a) Na pravoj liniji AB: at= 3, a funkcija ima oblik

z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =

= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].

Ovo je funkcija jedne nezavisne varijable.

Odredimo stacionarne tačke ove funkcije:

dakle, X = –2,5.

Mi definišemo z at X = –2,5, kao i na krajevima segmenta [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

znači = 3,5, a = 57.

b) Razmotrite segment Ned:X = 3.

z = y 2 – 3y + 39; at [–3, 3],

= 2y – 3; 2y – 3 = 0 y = 3/2.

Mi nalazimo z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) Na segmentu CD: y = 3, z = 2x 2 + 4x+ 9; at [–3, 3],

= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Funkcije nekoliko varijabli

1. Osnovne definicije

Definicija 1. Korespondencija koja odgovara svakom paru (x; y) vrijednosti varijabli x i y, koji pripadaju određenom skupu parova D, jednom i samo jednom broju zÎR, naziva se funkcijom dvije varijable definirane na skup D sa vrijednostima u R. U ovom slučaju pišemo z = f (x;y). D = D(f) – domen definicije funkcije f.

2. Djelomični i ukupni priraštaji funkcije dvije varijable

Ako u funkciji z = f(x; y) dvije varijable x i y fiksiramo vrijednost jedne od njih, na primjer y = y 0, tada ćemo dobiti funkciju z = f(x; y 0), ovisno na jednoj varijabli x.

Slično, ako fiksiramo varijablu x = x 0, dobićemo funkciju z = f(x 0; y) jedne varijable y.

Definicija 2. Količina D x z = f(x 0 +Dx; y 0) - f(x 0; y 0) naziva se privatni prirast funkcija z = f(x; y) u tački (x 0 ; y 0) u odnosu na argument x.

Definicija 3. Količina D y z = f(x 0 ; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) naziva se privatni prirast funkcije z = f(x; y) u tački (x 0 ; y 0) argumentom y.

Definicija 4. Količina Dz = f(x 0 +Dx; y 0 +Dy) - f(x 0; y 0) naziva se puni prirast funkcije z = f(x; y) u tački (x 0 ; y 0).

3. Parcijalni izvod funkcije dvije varijable

Neka je funkcija z = f(x; y) data od dvije nezavisne varijable x i y. Fiksiranjem jednog od njih, na primjer, postavljanjem y = const, dolazimo do funkcije jedne varijable x. Tada možemo uvesti koncept derivacije rezultujuće funkcije u odnosu na x, koji označavamo. Prema definiciji derivacije funkcije jedne varijable, imamo:

Definicija 5. Granica omjera parcijalnog prirasta D x z funkcije z=f(x; y) u odnosu na varijablu x prema inkrementu Dx varijable x dok Dx teži nuli naziva se parcijalni derivat funkcije u x i označeno je sa ; ;

Slično definisano i označeno parcijalni derivat funkcije z = f(x; y) u varijabli y.

Primjer 1. Pronađite parcijalne izvode funkcija:

1. f(x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2. z = x y + y x .

Rješenje

1. Uz pretpostavku da je y = const, i smatrajući da je x nezavisna varijabla, nalazimo

Slično, za x = const, dobijamo .

2. Kada je y = konst

;

za x = konst

Sve što je rečeno može se proširiti na funkcije bilo kojeg broja varijabli.

Primjer 2. Pronađite parcijalne izvode funkcije

u = f(x; y; z) = cos(x 2 + y 2 + z 2).

Rješenje

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const.

Kako su parcijalni izvod funkcije više varijabli, općenito govoreći, i funkcije više varijabli, za njih se mogu izračunati i parcijalni izvodi. Ovi derivati ​​se nazivaju parcijalni derivati ​​višeg reda.

Na primjer, za funkciju f(x; y) od dvije varijable, dostupne su sljedeće vrste izvoda drugog reda:

- drugi parcijalni izvod u odnosu na x;

i = - mješoviti parcijalni derivati

- drugi parcijalni izvod u odnosu na y.

4. Totalni diferencijal funkcije dvije varijable

Definicija 6. Ukupni diferencijal funkcije z=f(x;y) dvije varijable x i y je glavni dio ukupnog prirasta Dz, linearnog u odnosu na prirast argumenata Dx i Dy.

Uzimajući u obzir činjenicu da je Dx = dx i Dy = dy, ukupni diferencijal funkcije z = f(x; y) izračunava se pomoću formule

Primjer 3. Izračunajte ukupni diferencijal funkcije

z = ln (x 2 + y 2).

Rješenje. Nađimo parcijalne izvode ove funkcije

Nakon što ih zamenimo u formulu (3.5), dobijamo

dz =

Naći parcijalne izvode funkcija

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y

290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x y 293. z =

294. z = e y/x – e x/y 295. z = x y + sin

296. z = sin(x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arktan

Pronađite parcijalne izvode drugog reda

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 301. z = xy + sin(x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304. z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln(x + e xy)

Proveri to

308. z = 309. z = ln(x - 2y)

310. z = 311. z = x 2 sin

312. z = 313. z = arktan

Naći potpuni diferencijal funkcija

314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = sin(x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320. z = e y cos x 321. z = cos + sin

5. Ekstremi funkcije dvije varijable

Osnovne definicije

Definicija 1. Tačka M(x 0 ; y 0) naziva se maksimalna (minimalna) tačka funkcije z = f(x; y) ako postoji okolina tačke M takva da za sve tačke (x; y) iz ove susjedstvu vrijedi sljedeća nejednakost:

f(x 0 ; y 0) ³ f(x; y), .

Teorema 1 (neophodan uslov za postojanje ekstremuma) . Ako diferencijabilna funkcija z = f(x; y) dostigne ekstrem u tački M(x 0 ; y 0), tada su njeni parcijalni izvodi prvog reda u ovoj tački jednaki nuli, tj. ;

Pozivaju se tačke u kojima su parcijalne derivacije jednake nuli stacionarno ili kritične tačke.

Teorema 2 (dovoljan uslov za postojanje ekstremuma)

Neka funkcija z = f(x; y):

a) definisano u određenoj okolini tačke (x 0 ; y 0), u kojoj And ;

b) ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda u ovoj tački

;

Zatim, ako je D = AC - B 2 > 0, tada u tački (x 0 ; y 0) funkcija z = f(x; y) ima ekstrem, a ako A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (ili C > 0) – minimum. U slučaju D = AC - B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Primjer 1. Naći ekstremu funkcije z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y.

Rješenje. Nađimo parcijalne izvode prvog reda:

Koristimo neophodan uslov za postojanje ekstremuma:

Rješavajući sistem jednačina, nalazimo x i y koordinate stacionarnih tačaka: x = 0; y = 3, tj. M(0; 3).

Izračunajmo parcijalne izvode drugog reda i pronađemo njihove vrijednosti u tački M.

A = = 2; C = = 2;

Napravimo diskriminant D = AC - B 2 = 2 × 2 - 1 > 0, A = 2 > 0. Dakle, u tački M(0; 3) data funkcija ima minimum. Vrijednost funkcije u ovoj tački je z min = -9.

Pronađite ekstreme funkcija

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Najveća i najmanja vrijednost funkcije dvije varijable

U zatvorenom prostoru

Da biste pronašli najveći I najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području, trebate:

1) pronaći kritične tačke koje se nalaze u datoj oblasti i izračunati vrednosti funkcije u tim tačkama;

2) pronaći kritične tačke na granici oblasti i izračunati najveću i najmanju vrednost funkcija na njima;

3) od svih pronađenih vrednosti izaberite najveću i najmanju.

Primjer 2. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije z = u krugu x 2 + y 2 £ 1.

Rješenje. Nađimo koordinate kritičnih tačaka koje se nalaze unutar regije koja se razmatra, za koje izračunavamo parcijalne izvode funkcije z prvog reda i izjednačavamo ih sa nulom.

odakle je x = 0, y = 0 i, prema tome, M(0; 0) je kritična tačka.

Izračunajmo vrijednost funkcije z u tački M(0; 0): z(0; 0) = 2.

Nađimo kritične tačke na granici područja - kružnice definisane jednadžbom x 2 + y 2 = 1. Zamjenom y 2 = 1 - x 2 u funkciju z = z(x; y) dobijamo funkciju jedne varijable

z = ;

gdje je xO[-1; 1].

Nakon izračunavanja derivata i izjednačavajući ga sa nulom, dobijamo kritične tačke na granici oblasti x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Nađimo vrijednost funkcije z(x) = u kritičnim tačkama i na krajevima segmenta [-1; 1]: z(0) = ; = ; ; z(-1) = ; z(1) =

Odaberimo najveću i najmanju među vrijednostima funkcije z u kritičnim točkama koje se nalaze unutar i na granici kruga.

Dakle, z max. = z(0; 0) = 2

z name = z

Uslovni ekstrem

Definicija 2. Uslovni ekstrem funkcije z = f(x; y) je ekstrem ove funkcije, postignut pod uslovom da su varijable x i y povezane jednačinom j(x; y) = 0 (jednačina veze). , y = .

Dakle, hipotenuza ima najmanju vrijednost ako su katete trokuta međusobno jednake.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x u zatvorenom prostoru omeđenom linijama x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.

333. z = xy + x + y u kvadratu omeđenom linijama x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334. z = x 2 + 3y 2 + x - y u trouglu omeđenom linijama x = 1, y = 1, x + y = 1.

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) u području 0 £ x £ , 0 £ y £ .

336. z = xy u krugu x 2 + y 2 £ 1.

337. z = 1 - x 2 - y 2 u krugu (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338. z = x 2 + y 2 u krugu (x - ) 2 + (y - ) 2 £ 9.

339. Nađite ekstremum funkcije z = x 2 + y 2 ako su x i y povezani jednadžbom = 1.

340. Od svih trouglova sa perimetrom P, nađi najveći po površini.

341. Od svih pravougaonika sa datom površinom S, nađi onaj čiji obim ima najmanju vrijednost.

342. Odrediti dimenzije otvorenog bazena zapremine V, koji ima najmanju površinu.

343. Odrediti dimenzije pravougaonog paralelepipeda koji ima maksimalan volumen za datu ukupnu površinu S.

344. Odredi dimenzije cilindra najveće zapremine, pod uslovom da je njegova ukupna površina S = 6p.

* Pod pojmovima konveksan I konkavnost Grafove funkcija treba razumjeti izbočiti se I dolje respektivno.

Definicija 1.11 Neka je data funkcija dvije varijable z=z(x,y), (x,y) D . Dot M 0 (x 0 ;y 0 ) - unutrašnja tačka područja D .

Ako u D postoji takav komšiluk U.M. 0 bodova M 0 , što za sve tačke

onda pokažite M 0 naziva se lokalna tačka maksimuma. I samo značenje z(M 0 ) - lokalni maksimum.

I ako za sve bodove

onda pokažite M 0 naziva se lokalna minimalna točka funkcije z(x,y) . I samo značenje z(M 0 ) - lokalni minimum.

Lokalni maksimum i lokalni minimum nazivaju se lokalnim ekstremima funkcije z(x,y) . Na sl. 1.4 objašnjava geometrijsko značenje lokalnog maksimuma: M 0 - maksimalna tačka, budući da je na površini z =z (x,y) njegova odgovarajuća tačka C 0 je viši od bilo koje susjedne tačke C (ovo je lokalitet maksimuma).

Imajte na umu da općenito postoje točke na površini (npr. IN ), koji se nalaze iznad C 0 , ali ove tačke (npr. IN ) nisu "susedski" do te tačke C 0 .

Konkretno, tačka IN odgovara konceptu globalnog maksimuma:

Globalni minimum je definisan slično:

Pronalaženje globalnih maksimuma i minimuma biće razmatrano u odjeljku 1.10.

Teorema 1.3 (neophodni uslovi za ekstrem).

Neka je funkcija data z =z (x,y), (x,y) D . Dot M 0 (x 0 ;y 0 D - tačka lokalnog ekstrema.

Ako u ovom trenutku postoje z" x I z" y , To

Geometrijski dokaz je "očigledan". Ako u tački C 0 nacrtajte tangentnu ravan na (slika 1.4), tada će ona "prirodno" proći horizontalno, tj. pod uglom 0° do ose Oh i do ose OU .

Zatim, u skladu sa geometrijskim značenjem parcijalnih izvoda (slika 1.3):

Q.E.D.

Definicija 1.12.

Ako u tački M 0 ako su uslovi (1.41) zadovoljeni, onda se ona naziva stacionarnom tačkom funkcije z(x,y) .

Teorema 1.4 (dovoljni uslovi za ekstrem).

Neka se da z =z (x,y), (x,y) D , koji ima parcijalne izvode drugog reda u nekom susjedstvu tačke M 0 (x 0 ,y 0 ) D . Štaviše M 0 - stacionarna tačka (tj. ispunjeni su neophodni uslovi (1.41)). Izračunajmo:

Dokaz teoreme koristi teme (Taylorova formula za funkcije nekoliko varijabli i teorija kvadratnih oblika) koje nisu obrađene u ovom vodiču.

Primjer 1.13.

Istražite do ekstrema:

1. Pronađite stacionarne tačke rješavanjem sistema (1.41):

odnosno pronađene su četiri stacionarne tačke. 2.

prema teoremi 1.4 u tački postoji minimum. Štaviše

po teoremu 1.4 u tački

Maksimum. Štaviše

§10 Najveća i najmanja vrijednost funkcije dvije varijable u zatvorenom domenu

Teorema 1.5 Neka je u zatvorenom području D specificirana funkcija z=z(x,y) , koji ima kontinuirane parcijalne izvode prvog reda. Granica G region D je glatka na komade (odnosno, sastoji se od komadića „glatkih na dodir“ krivih ili ravnih linija). Zatim u oblasti D funkcija z(x,y) dostiže svoj najveći M i najmanje m vrijednosti.

Nema dokaza.

Možete predložiti sljedeći plan za pronalaženje M I m . 1. Izrađujemo crtež, odabiremo sve dijelove granice područja D i pronađite sve "ugaone" tačke granice. 2. Pronađite stacionarne točke unutra D . 3. Pronađite stacionarne tačke na svakoj od granica. 4. Računamo na svim stacionarnim i kutnim točkama, a zatim biramo najveću M i najmanje m značenja.

Primjer 1.14 Pronađite najveće M i najmanje m vrijednosti funkcije z = 4x2-2xy+y2-8x u zatvorenom prostoru D , ograničeno: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Izgradimo područje D (Sl. 1.5) na ravni Ohoo .

Korneri: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Granica G region D sastoji se od tri dijela:

2. Pronađite stacionarne tačke unutar regije D :

3. Stacionarne tačke na granicama l 1 , l 2 , l 3 :

4. Izračunavamo šest vrijednosti:

Od šest dobijenih vrijednosti odaberite najveću i najmanju.