Ako je dat krivolinijski integral, a kriva duž koje se integracija odvija zatvorena (naziva se kontura), onda se takav integral naziva integral nad zatvorenom konturom i označava se na sljedeći način:

Područje ograničeno konturom L označiti D. Ako funkcije P(x, y) , Q(x, y) i njihove parcijalne derivacije i funkcije su kontinuirane u domeni D, zatim za izračunavanje krivolinijskog integrala možete koristiti Green formulu:

Dakle, proračun krivolinijskog integrala nad zatvorenom konturom se svodi na izračunavanje dvostrukog integrala po površini D.

Greenova formula ostaje važeća za bilo koje zatvoreno područje koje se može nacrtati crtanjem dodatnih linija na konačnom broju jednostavnih zatvorenih područja.

Primjer 1 Izračunaj krivolinijski integral

,

ako L- obris trougla OAB, gdje O(0; 0) , A(1; 2) i B(deset) . Smjer zaobilaženja konture je u suprotnom smjeru kazaljke na satu. Zadatak riješite na dva načina: a) izračunajte krivolinijske integrale na svakoj strani trougla i dodajte rezultate; b) Greenovom formulom.

a) Izračunajte krivolinijske integrale na svakoj strani trougla. Side OB je na osi Ox, pa je njegova jednadžba y= 0 . Dakle dy= 0 i možemo izračunati krivolinijski integral preko stranice OB :

bočna jednačina BAće x= 1 . Dakle dx= 0 . Izračunavamo krivolinijski integral preko stranice BA :

bočna jednačina AO sastavljamo, koristeći formulu jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije tačke:

.

dakle, dy = 2dx. Izračunavamo krivolinijski integral preko stranice AO :

Ovaj krivolinijski integral će biti jednak zbiru integrala duž ivica trokuta:

.

b) Primjenjujemo Greenovu formulu. As , , onda . Imamo sve da izračunamo ovaj integral zatvorene petlje koristeći Greenovu formulu:

Kao što vidite, dobili smo isti rezultat, ali prema Greenovoj formuli, izračunavanje integrala po zatvorenoj konturi je mnogo brže.

Primjer 2

,

gdje L- kontura OAB , OB- luk parabole y = x² , od tač O(0; 0) do tačke A(1; 1) , AB i BO- linijski segmenti B(0; 1) .

Odluka. Budući da su funkcije , , i njihove parcijalne derivacije , , D- područje ograničeno konturom L, imamo sve da koristimo Greenovu formulu i izračunamo ovaj integral zatvorene petlje:

Primjer 3 Koristeći Greenovu formulu, izračunajte krivolinijski integral

, ako L- kontura koju linija formira y = 2 − |x| i osovina Oy .

Odluka. Linija y = 2 − |x| sastoji se od dvije grede: y = 2 − x, ako x≥ 0 i y = 2 + x, ako x < 0 .

Imamo funkcije , i njihove parcijalne derivacije i . Sve zamjenjujemo u Greenovu formulu i dobivamo rezultat.

Neka je π ravan u , - jedinični vektor normale na π, D- jednostavno povezana domena na π (tj. po komadima glatka zatvorena kriva bez vlastitih presjeka smještenih na D, ograničava područje, čije su sve tačke D). Neka bude D zadovoljava uslove:

1) granica With oblasti D je zatvorena glatka kriva bez singularnih tačaka;

2) na π se može izabrati kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem tako da se sve prave paralelne sa koordinatnim osama sijeku D ne više od 2 boda.

Neka bude t- SA, u skladu sa , tj. pozitivnim smjerom krive With t sa smjerom t With

T1 (Grinova formula). Neka budea - 1), 2), smjer je kontinuiran u . Zatim formula

desno - vektorska cirkulacija polja duž krivine With, lijevo - tok vektorsko polje kroz D.

Doc. Sve funkcije uključene u (1) su kontinuirane => oba integrala. Integrali sa leve i desne strane u (1) su invarijantni u odnosu na izbor pravougaonog koordinatnog sistema, jer i invarijantni, elementi površine i dužina luka ne zavise od izbora Dekartovog koordinatnog sistema => dovoljno je dokazati (1) u nekom posebno odabranom sistemu.

Biramo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Ohz tako da je uslov 2 zadovoljen), i Oz idemo zajedno. Pošto je vektorsko polje ravno, onda je =>

Za ravnu površinu i , gdje l- dužina luka With, izabran kao parametar, čije je povećanje u skladu sa smjerom obilaznice With =>

Da bi se dokazala Greenova formula, dovoljno je dokazati 2 jednakosti:

Neka je prava paralelna osi OU, krstovi With u tačkama . Neka bude - najmanja i najveća apscisa tačaka površine , krivulje With 1 povezuje se na , i krivulju With 2 - sa i , orijentisani su u skladu sa C => prema formuli za svođenje dvostrukog integrala na ponovljeni:

Integral se računa na sličan način J.

Z1. Iz doc => formula (1) se može napisati kao (1"):

Oh "y"; a ima koordinate R" i Q“, dakle

Jakobijan transformacije u prijelazu na novi koordinatni sistem po modulu = 1, parametrizacija korištenjem dužine luka nije vezana za koordinatni sistem =>

Neka bude D- jednostavno povezana domena u (tj. za komadno glatku zatvorenu krivu C nalazi se u D, može se odrediti glatka površina koja se može orijentisati G nalazi se u D, oivičeno With), površine S- njegova granica koja zadovoljava uslove:

1) S- komadno glatka dvostrano potpuno omeđena zatvorena i bez pojedinačnih tačaka;

2) pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u može se izabrati tako da se za svaku od koordinatnih osa siječe prava paralelna ovoj osi S ne više od 2 boda.

Neka bude n je jedinični vektor vanjske normale na S.

T2 ( Ostrogradski - Gausova formula ). Neka budeaje vektorsko polje diff-mine u D koje zadovoljava uslove 1), 2), i takav da derivacija u odnosu na smjer je kontinuiran u . Onda

desno - vektorski tok polja kroz površinu S, na lijevoj strani je volumenski integral divergencije vektora po površini D => Integral zapremine divergencije vektora preko površine D jednak je protoku vektorskog polja kroz površinu S - granica ove oblasti.

Doc-in Sve funkcije uključene u (2) su kontinuirane => oba integrala. Formula (2) je invarijantna u odnosu na izbor pravougaonog koordinatnog sistema, pošto sve veličine uključene u njega su invarijante => dovoljno je dokazati (2) za neki 1 izbor kartezijanskog sistema. Biramo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Ohz tako da je uslov 2) zadovoljen; neka => dano :

Trebam doktora:

Dokažimo za L drugi en-ali. Neka bude D"- projekcija D u avion Ohu. kroz granične tačke D" povucite paralelne ravne linije Oz. Svaki od njih se ukršta sa S samo na 1 bod. Mnoge od ovih tačaka su odvojene S na 2 dijela: . Ako povučete liniju iz unutrašnje tačke D", paralelno Oz, onda će ona preći S u 2 boda: i . i djelomično i kontinuirano diff funkcije D". Prema formuli za svođenje trostrukog integrala na ponovljeni integral:

Koristili smo činjenicu da , i odnos

pošteno, jer vanjska normala na formira tupi ugao sa Oz(=> ).

Z2. Iz doc => formula (2) se može napisati:

Doc-in-ali Z1.

Stokes formula.

Neka bude S jednostavno povezana (tj. glatka kriva po komadima, zatvorena bez samopresecanja, smeštena na S, ograničava skup, čije sve tačke S) površina u , ispunjava uslove:

1) S- komadno glatka dvostrana kompletna omeđena površina bez pojedinačnih tačaka; njegova granica je zatvorena po komadima glatka kontura With;

2) Dekartov koordinatni sistem se može izabrati tako da S jedinstveno projektovano iz 3 koordinatne ravni.

Neka bude n- jedinični normalni vektor za S, t- jedinični vektor tangente na C, u skladu sa n, tj. pozitivan smjer krive With poklapa se u tački primjene vektora t sa smjerom t, a ako gledate s kraja, onda kontura With pozitivno orijentisan (u smeru suprotnom od kazaljke na satu oko njega).

T (Stoksova formula). Neka budea - vektorsko polje kontinuirano diff-mine u nekom susjedstvu površine S(tj. na nekom otvorenom setu koji sadrži S). Onda

Ili: Vektorski tok kroz površinu S jednaka je cirkulaciji vektoraa u zatvorenoj petlji C.

Doc-in. Na osnovu uslova teoreme, integrali u (1) postoje. Formula (1) je invarijantna u odnosu na izbor baze => dovoljno je dokazati je za bilo koji izbor baze. Biramo pravougaoni Dekartov koordinatni sistem Ohz tako da S jedinstveno dizajniran za sva tri koordinatne ravni. Neka bude

Koordinirajmo izbor koordinatnog sistema tako da vektor normale formira oštre uglove sa koordinatnim osa. S obzirom na izraz za u kartezijanskim koordinatama

Dovoljno je dokazati:

S- glatko i jedinstveno projektovano na komade Ohu. Neka bude D- njegova projekcija, G - projekcija With u avion Ohu => diff-may f-i koja definira jednadžbu površine S. Gde

i površinski integral preko S= dvostruki integral preko D. Prema Greenovoj formuli*:

Z1. δ > 0 takav da za dijelovi F S veličina< δ (može se postaviti u sferu poluprečnika δ/2) može se izabrati Dekartov koordinatni sistem na takav način da F se jedinstveno projektuje na sve koordinatne ravni. Neka bude - fiksna tačka S. Nacrtajte tangentnu ravninu kroz , Neka bude jedinični normalni vektor površine u . Hajde da izaberemo pravougaoni koordinatni sistem da napravimo oštre uglove sa osovinama. Jer normalno polje je kontinuirano, tada je susjedstvo takvo da sve normale u tačkama ovog susjedstva formiraju oštre uglove sa osama => neka okolina radijusa δ/2 tačke , koji se projektuje jedinstveno na sve koordinatne ravni.

Možete odabrati univerzalni broj δ > 0 koji ne zavisi od. Neka takav δ => za svaki može označavati dio površine S, čije dimenzije< и которая не проектируется однозначно на все координатные плоскости декартовой системы коор­динат.

Mi biramo u svakoj tački , iz rezultirajućeg niza biramo niz koji konvergira nekom M S. At M susjedstvo jedinstveno projektovano na koordinatne ravni nekog pravokutnog sistema. Ovaj kvart za neki broj P sadrži dio koji će također biti jedinstveno projektovan na sve tri koordinatne ravni => kontradikcija s izborom .

Hajde da razbijemo S na konačan broj glatkih dijelova, veličine svakog od njih< δ, указанного выше. однозначно проектируется на все координатные плос­кости некоторой декартовой системы координат =>Stokesova formula vrijedi za svaki . Zbrojimo lijevi i desni dio ovih formula. Integrali nad zajedničkim dijelovima granice uzimaju se u suprotnim smjerovima i stoga poništavaju => s lijeve strane dobivamo integral preko površine , a s desne strane - integral preko granice With od , tj. Stoksova formula za opšti slučaj => Stoksova formula važi za površine koje zadovoljavaju uslov 1) a ne, uopšteno govoreći, uslov 2).

Z 2. Stokesova formula je ispravna za površine S, dozvoljavajući podjelu pomoću komadno glatkih krivulja na konačan broj jednostavno povezanih površina sa svojstvom 1). Dokumentacija: zbrojite integrale s lijeve i desne strane u Stokesovim formulama za jednostavno povezane površine i uzmite u obzir da se integrali nad krivuljama uključenim u particiju uzimaju u različitim smjerovima i stoga poništavaju.

Z3. Iz doc => formula (1) se može napisati kao (1"):

Integrali s lijeve i desne strane u (1") su nepromjenjivi, jer su vrijednosti integrala jednake, odnosno - nepromjenjivim vrijednostima. Oblik integrala u formuli (1") se također ne mijenja kada prelazeći na novi sistem Ox"y"z"; ako je u novoj bazi vektorsko polje a ima koordinate R", Q" i R", onda

Jakobijan transformacije u prijelazu na novi koordinatni sistem po modulu = 1, parametrizacija korištenjem dužine luka nije vezana za koordinatni sistem => lijevi i desni integrali u (1") ne mijenjaju svoje značenje i oblik.

*: π - ravan u , - jedinični vektor normale na π, D- jednostavno povezana domena na π . Neka bude D ispunjava uslove: 1) granica With oblasti D je zatvorena glatka kriva bez singularnih tačaka; 2) na π se može izabrati kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem tako da se sve prave paralelne sa koordinatnim osama sijeku D ne više od 2 boda.

Neka bude t- jedinični vektor tangente na krivu SA, u skladu sa .

T1 (Grinova formula). Neka budea - vektorsko polje diff-mine u D koje zadovoljava uslove 1), 2), i takav da je njegov derivat u odnosu na smjer je kontinuiran u . Zatim formula

Ograničeno ovom površinom:

tj integral divergencije vektorskog polja , proširen preko nekog volumena T, je jednako protok vektora kroz površinu S ograničavanje ovog volumena.

Formula se koristi za pretvaranje integrala zapremine u integral na zatvorenoj površini.

U djelu Ostrogradskog, formula je napisana u sljedećem obliku:

gdje je ω i s su zapreminski i površinski diferencijali, respektivno. U modernoj notaciji ω = dΩ - element zapremine, s = dS - površinski element. - funkcije koje su kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim derivatima prvog reda u zatvorenom području prostora ograničenom zatvorenom glatkom površinom.

Generalizacija formule Ostrogradskog je Stokes formula za sorte sa ivicom.

Priča

Prvo je prikazan opći metod za pretvaranje trostrukog integrala u površinski integral Carl Friedrich Gauss( , godine) na primjeru zadataka elektrodinamika.

AT 1826 M. V. Ostrogradsky izveo formulu opšti pogled, predstavljajući to kao teoremu (objavljeno u 1831). M. V. Ostrogradsky objavio je višedimenzionalnu generalizaciju formule u 1834. Koristeći ovu formulu, Ostrogradsky je pronašao izraz za derivaciju u odnosu na parametar od n-preklopni integral sa varijabilne granice i dobio formulu za varijaciju n-preklopni integral.

U inostranstvu se formula zove Gaussova formula ili "formula (teorema) Gauss-Ostrogradskog".

vidi takođe

Književnost

• Ostrogradsky M.V. Napomena sur les integrales definies. //Mem. 1'Akad. (VI), 1, str. 117-122, 29/X 1828 (1831).
• Ostrogradsky M.V. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. //Mem. 1'Akad., 1, str. 35-58, 24/1 1834 (1838).

Bilješke

Wikimedia fondacija. 2010 .

• Ostrogradsky
• Zvala se Nikita (TV serija)

Pogledajte šta je "Formula Ostrogradskog" u drugim rječnicima:

Formula Ostrogradskog

Gauss-Ostrogradsky formula- Teorema Ostrogradskog Gausa je izjava integralnog računa funkcija mnogih varijabli, uspostavljajući vezu između n-strukog integrala nad domenom i (n − 1) višestrukog integrala preko njegove granice. Neka je V = (v1,v2,...,vn) vektorsko polje ... ... Wikipedia

Stokes formula- Stokesova teorema je jedna od osnovnih teorema diferencijalne geometrije i matematička analiza o integraciji diferencijalnih oblika, koja generalizira nekoliko teorema analize. Nazvan po J. G. Stokesu. Sadržaj 1 Općenito 2 ... ... Wikipedia

Greenova formula- Greenova teorema uspostavlja vezu između krivolinijski integral preko zatvorene konture C i dvostrukog integrala nad područjem D ograničenim ovom konturom. U stvari, ova teorema je poseban slučaj općenitije Stokesove teoreme. Teorema je imenovana u ... Wikipediji

Formula Liouville-Ostrogradsky- Formula Liouvillea Ostrogradskog je formula koja povezuje Wronskyjevu determinantu (Wronskian) za rješenja diferencijalne jednadžbe i koeficijente u ovoj jednadžbi. Neka bude diferencijalna jednadžba oblika y(n) + P1(x)y(n − 1) + P2(x)y(n − 2) ... Wikipedia

Liouville formula- Formula Ostrogradskog koja povezuje Wronskyjevu determinantu (Wronskian) za rješenja diferencijalne jednadžbe i koeficijente u ovoj jednadžbi. Neka postoji diferencijalna jednadžba oblika onda gdje je determinanta Vronskog za linearnu ... ... Wikipedia

OSTROHRADSKI FORMULA- formula za integralni račun funkcija mnogih varijabli, uspostavljajući vezu između n-strukog integrala preko regije i (n 1) višestrukog integrala duž njegove granice. Neka su funkcije Xi=Xi(x1,x2,..., x n).zajedno sa njihovim parcijalnim derivatima, i=1,2… Mathematical Encyclopedia

OSTROHRADSKI FORMULA- povezuje trostruki integral(vidi Višestruki integral) preko nekog volumena sa površinskim integralom preko površine koja ograničava ovaj volumen. Predložio M. V. Ostrogradsky (1828 31) ... Veliki enciklopedijski rječnik

Formula Ostrogradskog- formula koja daje transformaciju integrala preuzetog preko volumena Q, ograničena površinom S, u integral preuzet na ovoj površini: ovdje su X, Y, Z funkcije tačke (x, y, z) koja pripada trodimenzionalnom području Ω. O. f. pronađeno... Velika sovjetska enciklopedija

Komunikacija između dv. Int. U području D i krivulja. Int. Formula Ostrogradsky-Green uspostavljena je za regiju L.

Neka je granica domene D data na ravni OXY. Kriva koja se ukršta s ravnim paralelnim užadima. Osi u ne više od 2 tačke, tj. površina D je ispravna.

T1.Ako f. P(x,y), Q(x,y) je kontinuiran sa svojim višestrukim derivatima,

Područje D je tada pravednih oblika. (f.Ostr.-gr.)

L je granica područja D i integracija duž krive L se vrši u pozitivnom smjeru.Dovo.

T2 Ako je = (2), onda je podintegr. Izraz P*dx+Q*dy yavl. Full diff. Funkcije U=U(x,y).

P*dx+Q*dy =U(x.y)

Zadovoljava uslov (2) može se naći pomoću f.

Napomena 1. Da ne bi došlo do zabune varijable integr. X sa gornjim prednl svojim oznakom. Drugo pismo.

zamjenik 2 kao početna tačka (x0,Y0) obično uzimaju tačku (0.0)

Uslov nezavisnosti krivolinijskog među. 2. vrsta od staze integr.

Neka je t. A (X1, Y1), B(X2, Y2). Pustite proizvod tačke područja D. Tačke A i B mogu se povezati različitim linijama. Za svakog od njih, Int. će imati svoju vrijednost, ako je vrijednost ista za sve krive, tada integral ne ovisi o vrsti putanje int., u ovom slučaju dovoljno je zabilježiti početnu. Tačka A (X1, Y1) i krajnja tačka B(X2, Y2).

T. Da bi za kr. Int.

Ne zavisi od putanje int. Područje D u kat. F. P(X,Y), Q(X,Y) su kontinuirani zajedno sa svojim derivatima i potrebno je da u svakoj tački regije = Dok-in

Cr. Int. 2. vrsta ne zavisi od puta integracije

zamjenik = dakle dobijamo to

Pov. Int. 1. vrsta. Njegova sv. i kalc.

Neka u tačkama pov. S C PL. S space oxyz def. kontinuirano f. f(x,y.z) .

Hajde da razbijemo pov. S na n dijelova Si, PL. SVAKI DIO delta Si, i prečnik Di i=1..m u svakom dijelu Si biraju proizvoljnu tačku Mi iz (xi, yi, zi) i čine zbir . Zbir se naziva integralom za f. f(x,y.z) preko površine S ako je za integral. Zbir ima ograničenje, zove se. Pov integral 1. vrste od f. f(x,y.z) preko površine S i označeno sa =

Svojstva površine Int.

2) 3) S=s1+s2, zatim 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что .

Obračun int 1. vrste svesti na izračunavanje 2. int prema području D, što je projekcija pov S na oksi ravan, ako je pov s dat sa Ur z=z(x,y) tada je vijak jednak .

Ako je S dat kao y=y(x, z), onda...

Pov int 2. vrste

Neka je zadana dvostrana površina, nakon obilaska takve površine bez prelaska njene granice, smjer normale na nju se ne mijenja. Jednostrani pov: je Möbiusova traka. Neka je φ definiran u tački razmatrane dvostrane površine S u prostoru oxyz. F(x,y,z). Izbačenu stranu površine podijelimo na dijelove Si i=1..m i projektiramo ih na žicu ravnine. Istovremeno, uzimamo pl pov sa znakom “+” ako je odabrana gornja strana pov (ako normala formira oštar ugao sa oz, odaberite sa znakom “-” ako je donja strana pov je odabran (OBTE ANGLE)). Sastavimo int zbir Gdje - pl pov Si -dijelovi za ako postoji i ne zavisi od načina podjele površine na dijelove i od izbora tačaka u njima, nazivamo int 2. vrste iz f. f(x,y,z) preko s i označava se: po definiciji, integral će biti = granica zbrojnog integrala. Slično, int preko s

, onda je opći pogled na int 2. vrste int gdje su P, Q, R kontinuirane funkcije definirane u tačkama dvostrane površine s. Ako je S zatvoren pov, tada se označava int spolja, a iznutra. ds. Gdje je ds element površine od S, a cos, cos cos, na primjer, cos je n. Odabrana strana pov.