Osnovna svojstva dvostrukog integrala

Svojstva dvostrukog integrala (i njihovo izvođenje) su slična odgovarajućim svojstvima jednog određenog integrala.

1°. Aditivnost. Ako je funkcija f(x, y) je integrabilan u domenu D i ako područje D koristeći krivulju G nulta oblast je podeljena na dva povezana regiona koji nemaju zajedničke unutrašnje tačke D 1 i D 2, zatim funkciju f(x, y) je integrabilan u svaki od domena D 1 i D 2, i

2°. Linearno svojstvo. Ako funkcije f(x, y) I g(x, y) su integrabilni u domene D, A α I β - bilo koji realni brojevi, zatim funkcija [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] je također integrabilan u domenu D, i

3°. Ako funkcije f(x, y) I g(x, y) su integrabilni u domene D, tada je proizvod ovih funkcija integrabilan u D.

4°. Ako funkcije f(x, y) I g(x, y) oba su domena integrabilna D i svuda u ovoj oblasti f(x, y) ≤ g(x, y), To

5°. Ako je funkcija f(x, y) je integrabilan u domenu D, zatim funkcija | f(x, y)| integrabilne u oblasti D, i

(Naravno, od integrabilnosti | f(x, y)| V D integrabilnost ne slijedi f(x, y) V D.)

6°. Teorema srednje vrijednosti. Ako obe funkcije f(x, y) I g(x, y) su integrabilni u domene D, funkcija g(x, y) je nenegativan (nepozitivan) svuda u ovoj regiji, M I m- točne gornje i točne donje granice funkcije f(x, y) na tom području D, onda postoji broj μ , zadovoljavajući nejednakost m ≤ μ ≤ M i takav da je formula validna

Svojstva dvostrukih integrala.

Neka od svojstava dvostrukih integrala direktno proizlaze iz definicije ovog pojma i svojstava integralnih suma, a to su:

1. Ako je funkcija f(x, y) integriše u D, To kf(x, y) je takođe integrabilan u ovoj regiji, i (24.4)

2. Ako je u okolini D integrabilne funkcije f(x, y) I g(x, y), zatim u ovoj domeni funkcije f(x, y) ± g(x, y), i istovremeno

3. Ako za one koji su integrisani u područje D funkcije f(x, y) I g(x, y) važi nejednakost f(x, y)≤g(x, y), To

(24.6)

Dokažimo još nekoliko svojstava dvostrukog integrala:

4. Ako je područje D podijeljena u dvije oblasti D 1 i D 2 bez zajedničkih unutrašnjih točaka i funkcije f(x, y) kontinuirano u regionu D, To

(24.7) Dokaz . Integralni zbroj po površini D može se predstaviti kao:

gdje je particija područja D nacrtana tako da granica između D 1 i D 2 sastoji se od granica dijelova particije. Prelaskom tada do granice na , dobijamo jednakost (24.7).

5. U slučaju integrabilnosti na D funkcije f(x, y) u ovom domenu funkcija je također integrabilna | f(x, y) |, i vrijedi nejednakost

(24.8)

Dokaz.

odakle, koristeći prijelaz na granicu na, dobijamo nejednakost (24.8)

6. gdje S D– područje regije D. Dokaz ove tvrdnje dobijamo zamjenom u integralni zbir f(x, y)≡ 0.

7. Ako je integriran u područje D funkcija f(x, y) zadovoljava nejednakost

m ≤ f(x, y) ≤ M,

To (24.9)

Dokaz.

Dokaz se izvodi prelaskom na granicu iz očigledne nejednakosti

Posljedica.

Ako sve dijelove nejednakosti (24.9) podijelimo sa D, možemo dobiti takozvanu teoremu srednje vrijednosti:

Konkretno, pod uslovom kontinuiteta funkcije f V D postoji takva tačka u ovoj regiji ( x 0, y 0), u kojoj f(x 0, y 0) = μ , odnosno

Druga formulacija teoreme srednje vrijednosti.

Geometrijsko značenje dvostrukog integrala.

Razmotrite tijelo V, ograničena dijelom površine datom jednadžbom z = f(x, y), projekcija D ovu površinu na ravan O xy i bočnu cilindričnu površinu dobivenu iz vertikalnih generatrisa koje povezuju točke granice površine s njihovim projekcijama.

z=f(x,y)

y P i D Fig.2.

Zapreminu ovog tijela tražit ćemo kao granicu zbira zapremina cilindara čije su osnove dijelovi Δ S i region D, a visine su segmenti dužine f(P i), gdje su tačke P i pripadaju Δ S i. Prolazeći do granice na , dobivamo da

(24.11)

odnosno dvostruki integral predstavlja zapreminu tzv. cilindroida, omeđenog odozgo površinom z = f(x, y), a ispod – region D.

Izračunavanje dvostrukog integrala svođenjem na ponovljeni.

Razmotrite područje D, omeđen linijama x = a, x = b(a< b ), gdje je φ 1 ( X) i φ 2 ( X) su kontinuirani na [ a, b]. Zatim bilo koja prava paralelna sa koordinatnom osom O at i prolazi kroz unutrašnju tačku regiona D, siječe granicu regije u dvije tačke: N 1 i N 2 (sl. 1). Nazovimo ovo područje ispravan u na-

at Kontrola osi O at. Slično, definisanje

y=φ 2 (x) postoji područje ispravno u smjeru

N 2 O-osa X. Područje u ispravnom smjeru je

Nii obe koordinatne ose, hoćemo

D samo nazovi to kako treba. na primjer,

tačna oblast je prikazana na slici 1.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Neka funkcija f(x, y) kontinuirano u regionu D. Razmotrite izraz

, (24.12)

pozvao dvostruki integral od funkcije f(x, y) po regionu D. Izračunajmo prvo interni integral (u zagradama) nad varijablom at, računajući X trajno. Rezultat je kontinuirana funkcija od X:

Rezultirajuću funkciju integriramo preko X u rasponu od A to b. Kao rezultat dobijamo broj

Dokažimo važno svojstvo dvostrukog integrala.

Teorema 1. Ako područje D, ispravno u smjeru O at, podijeljen u dvije oblasti D 1 i D 2 prave linije paralelne sa O osom at ili O osi X, zatim dvostruki integral po površini D biće jednak zbiru istih integrala nad površinama D 1 i D 2:

Dokaz.

a) Neka je prava linija x = c pauze D on D 1 i D 2, ispravno u pravcu O at. Onda

b) Neka linija y = h pauze D desno u pravcu O at region D 1 i D 2 (sl. 2). Označimo sa M 1 (a 1 , h) I M 2 (b 1 , h) tačke preseka prave y = h sa granicom L region D.

y Region D 1 ograničen neprekidnim linijama

y=φ 2 (x) 1) y = φ 1 (x);

D 2 2) kriva A 1 M 1 M 2 IN, čiju jednačinu zapisujemo

h M 1 M 2 y = φ 1 *(x), Gdje φ 1 *(X) = φ 2 (X) at a ≤ x ≤ a 1 i

A 1 D 1 B b 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h at A 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) ravno x = a, x = b.

Region D 2 ograničena linijama y = φ 1 *(x),

A y= φ 2 (X),A 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Primijenimo teoremu o

particioniranje intervala integracije:

O a a 1 b 1 b

Predstavimo drugi od dobijenih integrala kao zbir:

+ + .

Pošto φ 1 *(X) = φ 2 (X) at a ≤ x ≤ a 1 i b 1 ≤ x ≤ b, prvi i treći rezultujućih integrala su identično jednaki nuli. dakle,

I D = , odnosno .

Dvostruki integral ima svojstva slična osobinama određenog integrala. Navedimo samo glavne:

1. Ako su funkcije i
integrisana u oblasti
, tada su njihov zbir i razlika integrabilni u njega, i

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka dvostrukog integrala:

3. Ako
integrabilne u oblasti
, a ovo područje je podijeljeno na dva područja koja se ne preklapaju I
, To

4. Ako
I
integrisana u oblasti
, u kojoj

, To

5. Ako ste u tom području
funkcija
zadovoljava nejednakosti

,Gdje
I
neki realni brojevi, dakle

Gdje – područje regije
.

Dokazi ovih svojstava su slični dokazima odgovarajućih teorema za definitivni integral.

Izračunavanje dvostrukog integrala u pravokutnim dekartovim koordinatama

Pretpostavimo da trebamo izračunati dvostruki integral
, gdje je područje - pravougaonik definisan nejednačinama ,.

Pretpostavimo to
je kontinuiran u ovom pravokutniku i u njemu uzima nenegativne vrijednosti, tada je ovaj dvostruki integral jednak volumenu tijela sa bazom , omeđen iznad površine
, sa strana - avioni
,
,
,
:

S druge strane, volumen takve figure može se izračunati korištenjem određenog integrala:

Gdje
- površina poprečnog presjeka datog tijela ravninom koja prolazi kroz tačku i okomito na osu
. A budući da je dio koji se razmatra zakrivljeni trapez
, odozgo ograničen grafom funkcije
, Gdje fiksno i , To

Iz ove tri jednakosti slijedi da

Dakle, izračunavanje ovog dvostrukog integrala je svedeno na izračunavanje dva određena integrala; kada se računa "unutrašnji integral" (napisano u zagradama) smatra trajnim.

Komentar. Može se dokazati da posljednja formula vrijedi i za
, kao i u slučaju kada je funkcija
mijenja znak u navedenom pravokutniku.

Desna strana formule naziva se iterirani integral i označava se na sljedeći način:

Slično, to se može pokazati

Iz navedenog proizilazi da

Posljednja jednakost znači da rezultat integracije ne ovisi o redoslijedu integracije.

Da bismo razmotrili opštiji slučaj, uvodimo koncept standardne domene. Standardna (ili pravilna) regija u smjeru date ose je takva regija za koju bilo koja prava linija paralelna ovoj osi siječe granicu regije u najviše dvije tačke. Drugim riječima, on siječe samu regiju i njenu granicu duž samo jednog pravolinijskog segmenta.

Pretpostavimo da je to ograničeno područje

a odozgo je ograničen grafom funkcije
, ispod - graf funkcije
. Neka R( ,) - minimalni pravougaonik koji zatvara ovu oblast
.

Pustite u okolinu
definirana i kontinuirana funkcija
. Hajde da predstavimo novu funkciju:

zatim, u skladu sa svojstvima dvostrukog integrala

I stoga

Od segmenta
u potpunosti pripada regionu
onda, dakle,
at

, i ako dakle leži izvan ovog segmenta
.

Kod fiksnog možemo napisati:

Pošto su prvi i treći integral na desnoj strani jednaki nuli, onda

dakle,

Iz koje dobijamo formulu za izračunavanje dvostrukog integrala nad standardom regiona u odnosu na osu
svodeći ga na iterirani integral:

Ako područje
je standardno u smjeru osi
i određen je nejednakostima ,

, slično se može dokazati da

Komentar. Za područje
, standardno u smjeru osi
I
, stoga će obje posljednje jednakosti biti zadovoljene

Ova formula mijenja red integracije prilikom izračunavanja odgovarajućeg dvostrukog integrala.

Komentar. Ako područje integracije nije standardno (ispravno) u smjeru obje koordinatne ose, tada se dijeli na zbir standardnih površina i integral se prikazuje kao zbir integrala nad tim površinama.

Primjer. Izračunaj dvostruki integral
po regionu
, omeđen linijama:
,
,
.

Rješenje.

Ovo područje je standardno u odnosu na osu
, i u odnosu na osu
.

Izračunajmo integral, smatrajući da je površina standardna u odnosu na osu
.

Komentar. Ako izračunamo integral, uzimajući u obzir standard površine u odnosu na osu
, dobijamo isti rezultat:

Primjer. Izračunaj dvostruki integral
po regionu
, omeđen linijama:
,
,
.

Rješenje. Opišimo datu domenu integracije na slici.

Ovo područje je standardno u odnosu na osu
.

Primjer. Promijenite red integracije u iteriranom integralu:

Rješenje. Hajde da opišemo region integracije na slici.

Od granica integracije nalazimo linije koje ograničavaju područje integracije: ,
,
,
. Za promjenu redoslijeda integracije izražavamo kao funkcije i pronađite tačke raskrsnice:

,
,
.

Budući da je na jednom od intervala funkcija se izražava sa dva analitička izraza, onda se integraciona oblast mora podeliti na dva regiona, a ponovljeni integral se mora prikazati kao zbir dva integrala.

Problem koji vodi do koncepta dvostrukog integrala.

Pretpostavimo da je funkcija dijelova definirana i zapišite iznos

koji se naziva integral.

O: Pod određenim integralom (d.i.) funkcije i izbora

Oznaka:

Brojevi se nazivaju Riemann integrabilni na .

T. postojanje: Pod uslovom da .

U skladu sa definicijom o.i. napominjemo da integral ovisi o vrsti, granicama i, ali ne ovisi o simbolu oznake varijable, drugačije izraženom

U skladu sa tačkama 17.1.1 i 17.1.2 i definicijom o.i. Zapišimo formulu za površinu krivolinijskog trapeza: , rad sile

za:

Koncept dvostrukog integrala, integralnih suma.

Postojanje dvostrukog integrala, odnosno granice integralne sume za, izgleda očigledno, jer ova granica daje zapreminu cilindričnog tijela. Međutim, ovo obrazloženje nije rigorozno. U potpunijim kursevima, ova tvrdnja je strogo dokazana i naziva se teoremom postojanja dvostrukog integrala.

Teorema postojanja. Za bilo koju funkciju koja je kontinuirana u ograničenom zatvorenom području koje ima površinu a, postoji dvostruki integral, to jest, postoji ograničenje integralnih suma s neograničenim povećanjem broja malih područja, pod uvjetom da se svako od njih skuplja na tačka. Ova granica ne ovisi o načinu podjele regije na dijelove ili o izboru tačaka

U nastavku ćemo razmatrati samo funkcije koje su kontinuirane u domenu integracije.

Iz teoreme postojanja proizilazi da možemo, na primjer, podijeliti područje a na male pravokutnike sa ravnim stranicama paralelnim sa koordinatnim osa (slika 230). U isto vreme. Zatim birajući tačku u svakom malom pravokutniku, možemo pisati, prema definiciji dvostrukog integrala

Kako bismo naglasili da se dvostruki integral može dobiti kao granica zbira oblika, umjesto zapisa koristimo i notaciju

Izraz se naziva element površine u kartezijanskim koordinatama i jednak je površini pravokutnika sa stranicama paralelnim s koordinatnim osa.

Imajte na umu da kada se sastavlja integralni zbir, površine uz granicu područja a nemaju oblik pravokutnika. Međutim, može se dokazati da će se greška zamjene takvih površina pravokutnicima s površinama u granici svesti na nulu.

Svojstva dvostrukih integrala

Svojstva dvostrukog integrala (i njihovo izvođenje) su slična odgovarajućim svojstvima jednog određenog integrala.

3°. Ako funkcije f(x, y) I g(x, y) su integrabilni u domene D, tada je proizvod ovih funkcija integrabilan u D.

4°. Ako funkcije f(x, y) I g(x, y) oba su domena integrabilna D i svuda u ovoj oblasti f(x, y) ≤ g(x, y), To

5°. Ako je funkcija f(x, y) je integrabilan u domenu D, zatim funkcija | f(x, y)| integrabilne u oblasti D, i

(Naravno, od integrabilnosti | f(x, y)| V D integrabilnost ne slijedi f(x, y) V D.)

Konkretno, ako je funkcija f(x, y) je kontinuiran u D, i područje D koherentan, onda u ovoj regiji postoji takva tačka ( ξ , η ), Šta μ = f(ξ , η ), a formula (11) poprima oblik

Tangenta i normalna na površinu

Definicija. Normalno na površinu u tački N 0 je prava linija koja prolazi kroz tačku N 0 okomita na tangentnu ravan na ovu površinu.

U bilo kojoj tački površina ima ili samo jednu tangentnu ravan ili je uopće nema.

Ako je površina data jednadžbom z = f(x, y), gdje je f(x, y) funkcija diferencibilna u tački M 0 (x 0, y 0), tangentna ravan u tački N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) postoji i ima jednačinu:

Jednačina normale na površinu u ovoj tački je:

Geometrijski smisao ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli f(x, y) u tački (x 0, y 0) je prirast primjene (z koordinata) tangentne ravni na površinu kada se kreće iz tačke (x 0 , y 0) do tačke (x 0 + Dx, y 0 +Du).

Kao što vidite, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.

Primjer. Naći jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu

u tački M(1, 1, 1).

Jednadžba tangentne ravni:

normalna jednačina:

Proračun dvostrukog integrala u polarnim koordinatama.

Neka je područje D ograničeno pravom r = r() i zraci = I = , gdje i r– polarne koordinate tačke na ravni pridružene njenim kartezijanskim koordinatama x I y

Odnosi (slika 5). U ovom slučaju

Komentar. Ako je područje D u Dekartovim koordinatama dato jednadžbom koja sadrži binarnu, na primjer, itd., tada je zgodnije izračunati dvostruki integral nad takvim područjem u polarnim koordinatama.

Dvostruki integral. Osnovne definicije i svojstva.

Dvostruki integrali.

Razmotrimo neku zatvorenu krivu na ravni čija je jednačina

Skup svih tačaka koje leže unutar krive i na samoj krivoj će se zvati zatvorena regija D. Ako odaberete tačke u regiji bez uzimanja u obzir tačaka koje leže na krivulji, područje će se zvati otvorenim područjem D.

Sa geometrijske tačke gledišta, D je površina figure ograničena konturom.

Podijelimo regiju D na n parcijalnih regija pomoću mreže linija koje su međusobno razmaknute duž x ose za rastojanje Dx i, a duž y ose rastojanjem Du i. Uopšteno govoreći, ovaj redosled podjele je obavezan; moguće je podijeliti područje na djelomične površine proizvoljnog oblika i veličine.

Nalazimo da je površina S podijeljena na elementarne pravokutnike, čije su površine jednake S i = Dx i × Dy i.

U svakom djelomičnom području, uzmite proizvoljnu tačku P(x i, y i) i sastavite integralni zbir

gdje je f neprekidna i jednoznačna funkcija za sve tačke regije D.

Ako beskonačno povećamo broj parcijalnih regija D i, onda, očigledno, površina svake parcijalne regije S i teži nuli.

definicija: Ako, kako se korak particije domene D približava nuli, integralni sumi imaju konačnu granicu, tada se ova granica naziva dvostruki integral iz funkcije f(x, y) preko domene D.

Uzimajući u obzir činjenicu da je S i = Dx i × Dy i dobijamo:

U gornjoj notaciji postoje dva znaka S, jer zbrajanje se vrši preko dvije varijable x i y.

Jer Podjela integracionog regiona je proizvoljna, a izbor tačaka R i je takođe proizvoljan, onda, s obzirom da su sve oblasti Si iste, dobijamo formulu:

Uslovi za postojanje dvostrukog integrala.

Hajde da formulišemo dovoljne uslove za postojanje dvostrukog integrala.

Teorema. Ako je funkcija f(x, y) kontinuirana u zatvorenom domenu D, tada postoji dvostruki integral

Teorema. Ako je funkcija f(x, y) ograničena u zatvorenoj domeni D i kontinuirana je u njoj svuda osim za konačan broj glatkih linija, tada postoji dvostruki integral.

Svojstva dvostrukog integrala.

3) Ako je D = D 1 + D 2, onda

4) Teorema srednje vrijednosti. Dvostruki integral funkcije f(x, y) jednak je umnošku vrijednosti ove funkcije u nekoj tački u domeni integracije i površini domene integracije.

5) Ako je f(x, y) ³ 0 u domenu D, onda .

6) Ako je f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), onda .

br. 43 Definicija Pretpostavimo da je kriva C je dato vektorskom funkcijom gdje je varijabla s− dužina luka krive. Zatim derivacija vektorske funkcije

To je jedinični vektor usmjeren duž tangente na ovu krivu (slika 1).
U gornjoj formuli α, β I γ − uglovi između tangente i pozitivnog smjera O osi x, O y i O z, odnosno.

Hajde da uvedemo vektorsku funkciju definisanu na krivulji C, tako da je za skalarnu funkciju

Postojao je krivolinijski integral. Takav integral se zove krivolinijski integral druge vrste vektorske funkcije duž krive C i označava se kao

Dakle, po definiciji,

gdje je jedinični vektor tangente na krivu C.
Posljednja formula se također može prepisati u vektorskom obliku:

Gdje.
Ako je kriva C leži u O ravni xy, onda pod pretpostavkom R= 0, dobijamo

Svojstva krivolinijskog integrala druge vrste

Krivolinijski integral druge vrste ima sljedeća svojstva: Neka C označava krivu koja počinje u tački A i krajnja tačka B. Označimo sa −C krivulja u suprotnom smjeru - od B To A. Onda

Ako C− kombinovanje krivulja C 1 i C 2 (slika 2 iznad), zatim Ako je kriva C je dat parametarski u obliku , onda Ako je kriva C leži u O ravni xy i data je jednačina Tm (pretpostavlja se da je R= 0 i t = x), tada se posljednja formula upisuje u formu

Br. 49 Površina F je data eksplicitno z = z(x,y), (x,y)O D (kompaktna),

gdje z(x,y) ima kontinuirane parcijalne izvode prvog reda u D, funkcija f(x,y,z) je definirana i kontinuirana na F. Tada postoji integral jednak

Dokaz. Za oblasti koje dobijamo

Tada će integralni zbroji biti jednaki

Prvi od zbroja je integralni za , drugi se može učiniti proizvoljno malim odabirom dovoljno male particije. Ovo posljednje slijedi iz uniformnog kontinuiteta funkcije f(x,y,z(x,y)) na D.

br. 40 (nastavak) Dovoljan uslov za postojanje krivolinijskog integrala prve vrste biće formulisan kasnije, kada pokažemo kako ga izračunati.

Definicija krivolinijskog integrala prve vrste je po strukturi ista kao i definicija određenog integrala. Prema tome, krivolinijski integral prve vrste ima ista svojstva kao i definitivni integral. Predstavljamo ova svojstva bez dokaza.

SVOJSTVA KRIVILINIJSKOG INTEGRALA 1. VRSTE

1. , gdje je dužina krive.

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka krivolinijskog integrala prve vrste, tj.

3. Krivolinijski integral prve vrste iz algebarskog zbira dvije funkcije (konačnog broja) jednak je algebarskom zbiru krivolinijskih integrala prve vrste iz ovih funkcija, tj.

4. Ako je kriva podijeljena na dva dijela i nema zajedničkih unutrašnjih tačaka, onda

(osobina aditivnosti krivolinijskog integrala prve vrste).

5. Ako je funkcija () svuda na krivulji, onda

6. Ako svuda na krivini (),

7. (posledica osobina 6 i 1) Ako su i najmanja i najveća vrijednost funkcije na krivulji, tada

gdje je dužina krive.

8. (teorema o srednjoj vrijednosti za krivolinijski integral prve vrste) Ako je funkcija kontinuirana na krivulji, onda postoji tačka takva da je jednakost

gdje je dužina krive.

br. 42 Dužina krivulje.

Ako je integrand funkcija f(x, y, z) ≡ 1, onda iz definicije krivolinijskog integrala 1. vrste nalazimo da je u ovom slučaju jednaka dužini krive duž koje se vrši integracija:

Masa krivulje.

Uz pretpostavku da integrand funkcija γ (x, y, z) određuje gustinu svake tačke krive, nalazimo masu krive koristeći formulu

3. Naći ćemo momente krive l, razmišljajući na isti način kao u slučaju ravne regije: -

statički momenti ravne krive l u odnosu na ose Ox i Oy;

moment inercije prostorne krive u odnosu na ishodište;

· momenti inercije krive u odnosu na koordinatne ose.

4. Koordinate centra mase krive se izračunavaju pomoću formula

38(2) Promjena varijabli u trostrukim integralima

Prilikom izračunavanja trostrukog integrala, poput dvostrukog integrala, često je zgodno izvršiti promjenu varijabli. Ovo vam omogućava da pojednostavite oblik domene integracije ili integranda.

Neka je originalni trostruki integral zadan u kartezijanskim koordinatama x, y, z u domeni U:

Potrebno je izračunati ovaj integral u novim koordinatama u, v, w. Odnos između starih i novih koordinata opisan je relacijama:

Pretpostavlja se da su ispunjeni sljedeći uslovi:

1. Funkcije φ, ψ, χ su neprekidne zajedno sa njihovim parcijalnim derivatima;

2. Postoji korespondencija jedan prema jedan između tačaka regiona integracije U u xyz prostoru i tačaka U" regiona u uvw prostoru;

3. Jakobijan transformacije I (u,v,w), jednak

razlikuje se od nule i održava konstantan predznak svuda u domeni integracije U.

Tada se formula za promjenu varijabli u trostrukom integralu piše kao:

U gornjem izrazu znači apsolutna vrijednost Jakobijana.

br. 38 Trostruki integrali u sfernim koordinatama

Sferne koordinate tačke M(x,y,z) su tri broja − ρ, φ, θ, gdje je

ρ je dužina radijus vektora tačke M;

φ je ugao formiran projekcijom vektora radijusa na Oxy ravan i Ox osu;

θ je ugao odstupanja radijus vektora od pozitivnog smjera ose Oz (slika 1).

Imajte na umu da se definicije ρ, φ u sfernim i cilindričnim koordinatama razlikuju jedna od druge.

Sferne koordinate tačke odnose se na njene kartezijanske koordinate

Jakobijan prijelaza iz kartezijanskih u sferne koordinate ima oblik:

Proširujući determinantu preko druge kolone, dobijamo

Prema tome, apsolutna vrijednost Jakobijana je jednaka

Stoga formula za promjenu varijabli prilikom pretvaranja kartezijanskih koordinata u sferne koordinate ima oblik:

Pogodnije je izračunati trostruki integral u sfernim koordinatama kada je domen integracije U lopta (ili neki njen dio) i/ili kada je integrand oblika f (x2 + y2 + z2).

Površina

Odaberimo tačku M0 na glatkoj površini (zatvorenoj ili ograničenoj glatkom konturom) i nacrtajmo normalu na površinu na njoj, birajući joj određeni smjer (jedan od dva moguća). Nacrtajmo zatvorenu konturu duž površine, koja počinje i završava u tački M0. Razmotrimo tačku M koja obilazi ovu konturu i u svakom njenom položaju crtamo normalu pravca u koji normala iz prethodne tačke neprekidno prolazi. Ako se, nakon prelaska konture, normala vrati u tačku M0 u prvobitni položaj za bilo koji izbor točke M0 na površini, površina se naziva dvostranom. Ako se smjer normale, nakon prelaska barem jedne tačke, promijeni u suprotan, površina se naziva jednostrana (primjer jednostrane površine je Mobiusova traka). smjer normale u jednoj tački nedvosmisleno određuje smjer normale u svim tačkama površine.

Definicija

Skup svih tačaka na površini s istim normalnim smjerom naziva se stranica površine.

Površinska orijentacija.

Razmotrimo otvorenu glatku dvostranu površinu S, ograničenu konturom L, i odaberite jednu stranu ove površine.

Definicija

Nazovimo pozitivnim smjer pomicanja konture L, u kojem se kretanje duž konture događa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu u odnosu na promatrača koji se nalazi na krajnjoj tački normale na neku tačku površine S koja odgovara odabranoj strani površine. Obrnuti smjer prelaska konture naziva se negativnim.

Vektorski tok polja.

Razmotrimo vektorsko polje A(M) definisano u prostornom domenu G, orijentisanu glatku površinu S G i polje jediničnih normala n(M) na odabranoj strani površine S.

Definicija 13.3. Površinski integral 1. vrste, (13.1)

gdje je An skalarni proizvod odgovarajućih vektora, a An je projekcija vektora A na normalni smjer, koji se naziva protok vektorskog polja A(M) kroz odabranu stranu površine S.

Napomena 1.

Ako odaberete drugu stranu površine, tada će normala, a samim tim i fluks promijeniti predznak.

Napomena 2.

Ako vektor A specificira brzinu protoka fluida u datoj tački, tada integral (13.1) određuje količinu fluida koja teče u jedinici vremena kroz površinu S u pozitivnom smjeru (otuda opći naziv „protok“).

br. 53 Površinski integral druge vrste. Definicija i sveci.

Definicija

Uzmite u obzir dvostranu površinu, glatku ili glatku u komadima, i fiksirajte bilo koju od njenih dviju strana, što je ekvivalentno odabiru određene orijentacije na površini.

Radi određenosti, pretpostavimo prvo da je površina data eksplicitnom jednačinom i da tačka varira u području na ravni ograničenoj komadično glatkom konturom.

Neka je sada neka funkcija definirana u tačkama ove površine. Podijelivši površinu mrežom glatkih krivulja na dijelove i odabravši tačku na svakom takvom dijelu, izračunavamo vrijednost funkcije u datoj tački i množimo je s površinom projekcije na ravan element, opremljen određenim znakom. Napravimo integralni zbir:

Konačna granica ove integralne sume pošto prečnici svih delova teže nuli naziva se površinski integral druge vrste

širi se na odabranu stranu površine i označava se simbolom

(ovdje) nas podsjeća na područje projekcije elementa površine na ravan

Ako umjesto ravni projektiramo površinske elemente na ravan ili , tada ćemo dobiti dva druga površinska integrala drugog tipa:

U aplikacijama se najčešće susreću veze integrala svih ovih vrsta:

gdje su funkcije , definirane u točkama površine.

Odnos površinskih integrala druge i prve vrste

Gdje je jedinični vektor normale površine - ort.

Svojstva

1. Linearnost: ;

2. Aditivnost: ;

3. Kada se orijentacija površine promijeni, površinski integral mijenja predznak.

60 Operatornabla (Hamiltonov operater)- vektorski diferencijalni operator, označen simbolom (nabla). Za trodimenzionalni euklidski prostor u pravokutnim Dekartovim koordinatama, nabla operator je definiran na sljedeći način: gdje su jedinični vektori duž x, y, z osa.

Svojstva opservabilnog operatora. Ovaj vektor ima smisla kada se kombinuje sa skalarnom ili vektorskom funkcijom na koju se primenjuje. Ako vektor pomnožite sa skalarom φ, dobićete vektor koji predstavlja gradijent funkcije. Ako se vektor skalarno pomnoži sa vektorom, rezultat je skalar

odnosno divergenciju vektora. Ako množite sa vektorom, dobijate rotor vektora:

Napomena: kao i za označavanje skalarnih i vektorskih proizvoda općenito, kada se koriste s operatorom nabla, uz one korištene iznad, često se koriste alternativne oznake koje su njima ekvivalentne, na primjer, umjesto često pišu , i umjesto pišu; ovo važi i za formule date u nastavku.

Prema tome, skalarni proizvod je skalarni operator koji se zove Laplaceov operator. Potonji je također označen. U Dekartovim koordinatama Laplasov operator je definisan na sledeći način: Pošto je nabla operator diferencijalni operator, pri transformisanju izraza potrebno je uzeti u obzir i pravila vektorske algebre i pravila diferencijacije. na primjer:

To jest, izvod izraza koji zavisi od dva polja je zbir izraza u svakom od kojih je diferencirano samo jedno polje. Radi lakšeg označavanja na koja polja nabla djeluje, općenito je prihvaćeno da u proizvodu polja i operatora svaki operator djeluje na izraz desno od njega, a ne djeluje na sve lijevo. Ako se od operatora traži da djeluje na polje lijevo, ovo polje se označava na neki način, na primjer, stavljanjem strelice iznad slova: Ovaj oblik notacije se obično koristi u srednjim transformacijama. Zbog svoje neugodnosti, pokušavaju se riješiti strelica u konačnom odgovoru.

№61 Vektorske diferencijalne operacije drugog reda Zovu se sljedećih pet operacija:

1. gdje je Laplaceov operator.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Ovdje je vektorska količina dobivena primjenom Laplaceovog operatora na svaku projekciju vektora.

- - - - - - - - - - - - - - -