Neka bude l- malo prostora. Kao iu planimetriji, bilo koji vektor

ali =/= 0, kolinearna prava linija l, zove se vodeći vektor ovu pravu liniju.

Položaj prave linije u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem vektora pravca i tačke koja pripada pravoj liniji.

Pusti liniju l sa vodećim vektorom ali prolazi kroz tačku M 0 , a M je proizvoljna tačka u prostoru. Očigledno, tačka M (slika 197) pripada pravoj l ako i samo ako je vektor \(\overrightarrow(M_0 M)\) kolinearan vektoru ali , tj.

\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t a , t\(\in\) R. (1)

Ako su tačke M i M 0 date svojim radijus vektorima r I r 0 (Sl. 198) u odnosu na neku tačku O prostora, tada je \(\strelica iznad desno(M_0 M)\) = r - r 0 , a jednačina (1) poprima oblik

r = r 0 + t a , t\(\in\) R. (2)

Jednačine (1) i (2) se nazivaju vektorsko-parametarske jednačine prave. Varijabilna t u vektorsko-parametarskim jednadžbama naziva se prava linija parametar.

Neka je tačka M 0 prava l i vektor smjera a dati su svojim koordinatama:

M 0 ( X 0 ; at 0 , z 0), ali = (ali 1 ; ali 2 ; ali 3).

Onda ako ( X; y; z) - koordinate proizvoljne tačke M prave l, onda

\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; u - u 0 ; z - z 0)

a vektorska jednadžba (1) je ekvivalentna sljedeće tri jednačine:

x - x 0 = ta 1 , u - u 0 = ta 2 , z - z 0 = ta 3

$$ \begin(slučajevi) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(slučajevi) (3)$$

Jednačine (3) se nazivaju parametarske jednačine prave u svemiru.

Zadatak 1. Napišite parametarske jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku

M 0 (-3; 2; 4) i ima vektor smjera ali = (2; -5; 3).

U ovom slučaju X 0 = -3, at 0 = 2, z 0 = 4; ali 1 = 2; ali 2 = -5; ali 3 = 3. Zamjenom ovih vrijednosti u formule (3) dobijamo parametarske jednačine ove prave linije

$$ \begin(slučajevi) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​\;\;t\in R\end(slučajevi) $$

Isključite parametar t iz jednačina (3). Ovo se može uraditi jer ali =/= 0, a time i jedna od koordinata vektora ali očigledno različito od nule.

Prvo, neka se sve koordinate razlikuju od nule. Onda

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

i stoga

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Ove jednačine se nazivaju kanonske jednadžbe prave .

Imajte na umu da jednačine (4) čine sistem od dvije jednačine sa tri varijable x, y I z.

Ako je u jednadžbi (3) jedna od koordinata vektora ali , na primjer ali 1 je tada jednako nuli, isključujući parametar t, ponovo dobijamo sistem od dve jednačine sa tri varijable x, y I z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Ove jednačine se nazivaju i kanonske jednačine prave. Radi ujednačenosti, oni se takođe uslovno pišu u obliku (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

s obzirom da ako je imenilac jednak nuli, onda je odgovarajući brojnik jednak nuli. Ove jednadžbe su jednadžbe prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 ( X 0 ; at 0 , z 0) paralelno koordinatnu ravan yOz, budući da je ova ravan paralelna njenom vektoru pravca (0; ali 2 ; ali 3).

Konačno, ako su u jednadžbi (3) dvije koordinate vektora ali , na primjer ali 1 i ali 2 su jednake nuli, tada ove jednačine dobijaju oblik

X = X 0 , y = at 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\in\) R.

Ovo su jednadžbe prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 ( X 0 ; at 0 ; z 0) paralelno sa osom Oz. Za ovako direktno X = X 0 , y = at 0 , a z- bilo koji broj. I u ovom slučaju, radi uniformnosti, jednačine prave linije mogu se napisati (sa istom rezervom) u obliku (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Dakle, za bilo koji pravi prostor se može pisati kanonske jednačine(4), i obrnuto, bilo koja jednadžba oblika (4) pod uslovom da je barem jedan od koeficijenata ali 1 , ali 2 , ali 3 nije jednako nuli, definira neku liniju prostora.

Zadatak 2. Napišite kanonske jednadžbe prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 (- 1; 1, 7) paralelno s vektorom ali = (1; 2; 3).

Jednačine (4) u ovom slučaju zapisuju se na sljedeći način:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Izvedemo jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke M 1 ( X 1 ; at 1 ; z 1) i

M2( X 2 ; at 2 ; z 2). Očigledno je da se vektor pravca ove prave može uzeti kao vektor a = (X 2 - X 1 ; at 2 - at 1 ; z 2 - z 1), ali izvan tačke M 0 kroz koju prava prolazi, na primjer, tačke M 1. Tada će se jednadžbe (4) napisati na sljedeći način:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Ovo su jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije tačke M 1 ( X 1 ; at 1 ; z 1) i

M2( X 2 ; at 2 ;z 2).

Zadatak 3. Napišite jednačine prave koja prolazi kroz tačke M 1 (-4; 1; -3) i M 2 (-5; 0; 3).

U ovom slučaju X 1 = -4, at 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, at 2 = 0, z 2 = 3. Zamjenom ovih vrijednosti u formule (5) dobijamo

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Zadatak 4. Napišite jednadžbe prave linije koja prolazi kroz tačke M 1 (3; -2; 1) i

M 2 (5; -2; 1/2).

Nakon zamjene koordinata tačaka M 1 i M 2 u jednačine (5), dobijamo

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Predavanje br. 7

Ravan i linija u prostoru

prof. Dymkov M.P.

1. Parametrijska jednadžba ravno

Neka je tačka M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) data na pravoj liniji i vektor s = (l ,m ,n ) koji leži na

ovu liniju (ili paralelnu sa njom). Vektor s se također naziva vodeći vektor ravno.

Ovi uslovi jedinstveno definišu pravu liniju u prostoru. Hajde da je nađemo

jednačina. Uzmite proizvoljnu tačku M (x, y, z) na pravoj. Jasno je da su vektori

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) i s su kolinearni.

Dakle, M 0 M = t s − je vektorska jednačina prave linije.

U koordinatnoj notaciji, posljednja jednačina ima sljedeći parametarski prikaz

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

gdje t - "prolazi"

interval (−∞ ,∞ ) ,

(jer tačka M (x, y, z) mora

"protrčati"

cela linija).

2. Kanonska jednadžba prave linije

Eliminirajući parametar t iz prethodnih jednačina, imamo

x − x

y − y

z − z

T-

kanonska jednadžba prave linije.

3. Ugao između linija. Uslovi " " i " " dva reda

Neka su date dvije linije

x − xi

y − yi

z−zi

i = 1.2.

Definicija.

Ugao između pravih L 1 i L 2

hajde da zovemo iz bilo kog ugla

dva ugla formirana od dve prave, odnosno paralelne sa datom i prolaze kroz jednu tačku (za koju će možda biti potrebno napraviti paralelni transfer jedan od redova).

Iz definicije slijedi da je jedan od uglova jednak kutu ϕ između njih

vektori pravca linija

= (l 1 ,m 1 ,n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [i drugi ugao

tada će biti jednako (π − φ )]. Tada se ugao određuje iz relacije

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Prave su paralelne ako s i s

kolinearno

Prave su okomite na s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Ugao između prave i ravni. Uvjeti « » i « » izravni i

avion

Neka je prava L data svojom kanonskom jednačinom x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

a ravan P po jednačini

Ax + By + Cz + D = 0.

Definicija. Ugao između prave L

a ravan p je oštar ugao između prave L i njene projekcije na ravan.

Iz definicije (i slike) proizilazi da je traženi ugao ϕ dodatni (do pravi ugao) na ugao između vektora normale n (A , B ,C ) i

vektor smjera s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Sin φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(. uzima se da dobije oštar ugao).

Ako je L R, onda je s n (s, n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −					stanje " ".
Ako je L P , tada je s kolinearno sa n
				C-	stanje " ".
5. Tačke preseka prave i ravni
L : x = x0 + l , t ,					y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P : Ax + By + Cz + D = 0 .
Zamjenom izraza za x, y, z u jednadžbu ravnine i transformiranjem,
		t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D .
				Al + Bm + Cn

Sada, ako nađeno "t" zamijenimo u parametarske jednadžbe prave linije, tada ćemo pronaći željenu točku presjeka

Predavanje br. 8-9

Osnove matematička analiza

prof. Dymkov M.P.

Jedna od glavnih operacija matematičke analize je operacija prolaska do granice, koja se u toku odvija u različitim oblicima. Počećemo s najjednostavnijim oblikom operacije prijelaza do granice, zasnovanom na pojmu granice, tzv. numerički niz. Ovo će olakšati uvođenje još jednog vrlo važnog oblika prijelaza do granične operacije, granice funkcije. U nastavku će se konstrukcije prelaza do granice koristiti u konstrukciji diferencijalnog i integralnog računa.



 Beskonačno male i beskonačno velike sekvence

 Odnos između beskonačno velikih i beskonačno malih sekvenci.

 Najjednostavnija svojstva infinitezimalnih nizova

 Granica sekvence.

 Svojstva konvergentnih nizova

 Aritmetičke operacije nad konvergentnim nizovima

 Monotoni nizovi

 Cauchyjev kriterij konvergencije

 Broj e i njegova ekonomska ilustracija.

 Primjena limita u ekonomskim proračunima

§ 1. Numerički nizovi i jednostavna svojstva

1. Koncept numeričkog niza. Aritmetičke operacije nad nizovima

Brojčani nizovi su beskonačni skupovi brojeva. Primjeri sekvenci poznati su iz škole:

1) niz svih članova beskonačne aritmetičke i geometrijske progresije;

2) niz pravilnih perimetara n-uglovi upisani u datu kružnicu;

	3) niz brojeva							približan broj

zvaće se niz brojeva (ili samo niz).

Odvojeni brojevi x 3 , x 5 , x n će se zvati elementi ili članovi niza (1). Simbol x n naziva se zajednički ili n-ti član ovog niza. Dajući vrijednost n = 1, 2, … u zajedničkom terminu x n dobijamo, redom, prvi x 1 , drugi x 2 i tako dalje. članovi.

Niz se smatra datim (vidi Def.) ako je specificiran metod za dobijanje bilo kojeg od njegovih elemenata. Često se niz daje formulom za zajednički termin niza.

Da bi se skratio zapis, niz (1) se ponekad piše kao

( x n ) . Na primjer,			znači sekvenca 1,
( 1+ (− 1)n ) imamo			0, 2, 0, 2, … .

Struktura uobičajenog pojma (njegove formule) može biti složena. Na primjer,

							n N.
x n =					n-neparan

Ponekad se niz daje tzv ponavljajuće formule, tj. formule koje vam omogućavaju da pronađete sljedeće članove niza od poznatih prethodnih.

Primjer (Fibonačijevi brojevi). Neka je x 1 = x 2 = 1 i data je rekurentna formula x n = x n − 1 + x n − 2 za n = 3, 4, …. Tada imamo niz 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (brojevi Leonarda iz Pize, nadimak Fibonači). Geometrijski, numerički niz se može prikazati na numeričkom

osa u obliku niza tačaka čije su koordinate jednake odgovarajućim

odgovarajući članovi niza. Na primjer, ( x n ) = 1 n .

Predavanje № 8-9 Osnovi matematičke analize prof. Dymkov M.P. 66

Uzmimo zajedno sa nizom ( x n ) još jedan niz ( y n ) : y 1 , y 2 , y ,n (2).

Definicija. Zbir (razlika, proizvod, količnik) niza

vrijednosti ( xn ) i ( yn ) naziva se niz ( zn ) čiji su članovi

formirana prema

z n = x n + y n

X-y

≠ 0

Proizvod niza ( xn ) i broja c R je niz ( c xn ) .

Definicija. Niz ( xn ) se naziva ograničenim

odozgo (odozdo), ako postoji realan broj M (m) takav da svaki element ovog niza xn zadovoljava nejednak

xn ≤ M (xn ≥ m) . Niz se naziva ograničenim ako je omeđen i iznad i ispod m ≤ xn ≤ M . Poziva se niz xn

je neograničen ako za pozitivan broj A (još) postoji barem jedan element niza xn , zadovoljava

što daje nejednakost xn > A.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − je odozdo ograničen sa 1, ali je neograničen.

( x n ) = ( − n ) − ograničeno odozgo (–1), ali i neograničeno.

Definicija. Poziva se niz ( x n ). beskonačno mali,

ako za bilo koji pozitivni realni broj ε (ma koliko mali bio uzet) postoji broj N koji zavisi, općenito govoreći, od ε , (N = N (ε )) takav da je za sve n ≥ N nejednakost x n< ε .

Primjer. ( x n ) = 1 n .

Definicija. Poziva se niz ( xn ). beskrajni bol-

shoy ako za pozitivan realan broj A (bez obzira koliko je velik) postoji broj N (N = N(A)) takav da za sve n ≥ N

dobija se nejednakost xn > A.

Neka prava prolazi kroz tačku M1 (x1, y1, z1) i paralelna je sa vektorom (m ,n, l). Napišimo jednačinu za ovu liniju.

Uzmimo proizvoljnu tačku M (x, y, z) na ovoj pravoj i pronađemo odnos između x, y, z. Napravimo vektor

Vektori su kolinearni.

- kanonska jednačina prave u prostoru.

44 Parametarske jednadžbe prave linije

Jer ova jednačina je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, tada je rezultirajuća jednačina parametarska jednačina prave.

Ova vektorska jednadžba se može predstaviti u koordinatnom obliku:

Transformirajući ovaj sistem i izjednačavajući vrijednosti parametra t, dobijamo kanonske jednačine prave u prostoru:

Definicija. Kosinusi smjera prave linije su kosinusi smjera vektora, koji se mogu izračunati po formulama:

Odavde dobijamo: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Brojevi m, n, p nazivaju se nagibom prave. Pošto je vektor različit od nule, onda m, n i p ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme, ali jedan ili dva od ovih brojeva mogu biti jednaki nuli. U ovom slučaju, u jednačini prave linije, odgovarajuće brojioce treba izjednačiti sa nulom.

45 Jednačina prave u prostoru koja prolazi kroz dvije različite date tačke.

Analitička geometrija

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

Neka su M1(x1y1) i M2(x2y2) date na ravni. Sastavimo kanonsku jednačinu prave koja prolazi kroz ove dvije tačke, kao vektor smjera S uzimamo M1M2

trojka.

Ovo je jednadžba prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke (x1 y1) i (x2, y2)

Pređimo sada na jednačine prave i ravni u prostoru.

Analitička geometrija u 3-dimenzionalnom prostoru

Slično dvodimenzionalnom slučaju, svaka jednačina prvog stepena u odnosu na tri varijable x, y, z je jednačina ravni u prostoru Oxyz.ravni. Kanonska jednadžba ravni koja prolazi kroz tačku M(x0,y0,z0) i ima normalu N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – koja je ovo jednačina?

Vrijednosti x-x0, y-y0 i z-z0 su razlike između koordinata trenutne tačke i fiksne tačke. Dakle, vektor a (x-x 0, y-y0, z-z0) je vektor koji leži u opisanoj ravni, a vektor N je vektor okomit na ravan, što znači da su jedan na drugi okomiti.

Onda oni skalarni proizvod treba da bude nula.

U koordinatnom obliku (N,a)=0 izgleda ovako:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

U prostoru se razlikuju desna i leva trojka vektora. Trojka nekoplanarnih vektora a, b, c naziva se desnim ako se, iz njihovog zajedničkog porijekla, čini da obilazak krajeva vektora a, b, c u navedenom redoslijedu ide u smjeru kazaljke na satu. Inače slučaj a,b,c- lijevo.

46 Ugao između linija u prostoru

Ugao između pravih linija u prostoru je bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave linije povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije prave:

Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i. Pošto, onda prema formuli za kosinus ugla između vektora dobijamo

Uslovi paralelizma i okomitosti dve prave su ekvivalentni uslovima paralelnosti i okomitosti njihovih vektora pravca i:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l1 je paralelno sa l2 ako i samo ako je paralelno .

Dvije prave su okomite ako i samo ako je zbroj proizvoda odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .

Naći jednačine prave koja prolazi kroz tačku M1(1;2;3) paralelno sa pravom l1:

Pošto je željena prava l paralelna sa l1, onda kao vektor pravca željene linije l možemo uzeti vektor pravca prave l1.

Parametarske jednačine prave se elementarno dobijaju iz kanonske jednačine ove prave, koja ima oblik . Uzmimo kao parametar vrijednost kojom se lijevi i desni dio kanonske jednadžbe mogu pomnožiti.

Budući da je jedan od nazivnika nužno različit od nule, a odgovarajući brojnik može poprimiti bilo koju vrijednost, područje promjene parametra je cijela os realni brojevi: .

Primit ćemo ili konačno

Jednačine (1) su željene parametarske jednačine prave. Ove jednačine omogućavaju mehaničku interpretaciju. Ako pretpostavimo da je parametar vrijeme mjereno od nekog početnog momenta, tada parametarske jednadžbe određuju zakon kretanja materijalna tačka pravolinijski konstantnom brzinom (takvo kretanje nastaje po inerciji).

Primjer 1 Sastaviti na ravni parametarske jednadžbe prave linije koja prolazi kroz tačku i ima vektor smjera.

Rješenje. Zamijenimo podatke vektora tačke i smjera u (1) i dobijemo:

Često je u zadacima potrebno transformisati parametarske jednačine prave u druge vrste jednačina, a iz jednačina drugih vrsta dobiti parametarske jednačine prave. Pogledajmo nekoliko takvih primjera. Za transformaciju parametarskih jednačina prave linije u opšta jednačina prave linije prvo se moraju dovesti u kanonski oblik, a zatim iz kanonske jednadžbe dobijamo opšta jednačina ravno

Primjer 2 Napišite jednačinu prave linije

Uglavnom.

Rješenje. Prvo, dovodimo parametarske jednačine prave u kanonsku jednačinu:

Daljnje transformacije dovode jednačinu u opći oblik:

Nešto je teže konvertovati opštu jednačinu u parametarske jednačine prave, ali se za ovu radnju takođe može napraviti jasan algoritam. Prvo, možemo transformirati opću jednačinu u jednačina nagiba i pronađite iz njega koordinate neke tačke koja pripada pravoj, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Kada su koordinate tačke i vektor pravca poznati (iz opšte jednačine), mogu se napisati parametarske jednačine prave.

Primjer 3 Napišite jednačinu prave u obliku parametarskih jednačina.

Rješenje. Opću jednačinu ravne linije dovodimo u jednačinu sa nagibom:

Nalazimo koordinate neke tačke koja pripada pravoj. Dajte jednoj od koordinata tačke proizvoljnu vrijednost

Iz jednadžbe prave linije sa nagibom dobijamo još jednu koordinatu tačke:

Dakle, znamo tačku i vektor smjera . Njihove podatke zamjenjujemo u (1) i dobijamo željene parametarske jednadžbe prave linije:

Primjer 4 Odrediti nagib prave linije date parametarskim jednadžbama

Rješenje. Parametarske jednačine prave se prvo moraju konvertovati u kanonsku, zatim u opštu i na kraju u jednačinu nagiba.

Dakle, nagib date prave linije:

Primjer 5 Sastaviti parametarske jednadžbe prave linije koja prolazi kroz tačku i okomite linije

Obavezno pročitajte ovaj odlomak! Parametarske jednadžbe, naravno, nisu alfa i omega prostorne geometrije, već radni mrav mnogih problema. Štaviše, ova vrsta jednačina se često primjenjuje neočekivano, rekao bih, elegantno.

Ako su poznata tačka koja pripada pravoj i vektor pravca ove prave, tada su parametarske jednačine ove prave date sistemom:

O samom konceptu parametarskih jednačina sam govorio u lekcijama Jednačina prave linije na ravni I Derivat parametarski definirane funkcije.

Sve je jednostavnije od repe na pari, tako da morate začiniti zadatak:

Primjer 7

Rješenje: Prave su date kanonskim jednadžbama i u prvoj fazi treba pronaći neku tačku koja pripada pravoj i njen vektor smjera.

a) Uklonite tačku i vektor smjera iz jednačina: . Možete odabrati drugu tačku (kako to učiniti opisano je gore), ali je bolje uzeti najočitiju. Usput, da biste izbjegli greške, uvijek zamijenite njegove koordinate u jednačine.

Sastavimo parametarske jednačine ove prave linije:

Pogodnost parametarskih jednadžbi je u tome što je uz njihovu pomoć vrlo lako pronaći druge tačke prave. Na primjer, pronađimo tačku čije koordinate, recimo, odgovaraju vrijednosti parametra:

Na ovaj način:

b) Razmotrimo kanonske jednadžbe. Izbor tačke ovde je jednostavan, ali podmukao: (pazite da ne pomešate koordinate!!!). Kako izvući vodeći vektor? Možete nagađati s čim je ova linija paralelna, ili možete koristiti jednostavan formalni trik: proporcija je “Y” i “Z”, tako da pišemo vektor smjera , i stavljamo nulu u preostali prostor: .

Sastavljamo parametarske jednadžbe prave linije:

c) Hajde da prepišemo jednačine u obliku , odnosno "Z" može biti bilo šta. A ako ih ima, neka, na primjer, . Dakle, tačka pripada ovoj pravoj. Za pronalaženje vektora smjera koristimo sljedeću formalnu tehniku: u početnim jednačinama postoje "x" i "y", au vektoru smjera na tim mjestima upisujemo nule: . Na preostalo mjesto stavljamo jedinica: . Umjesto jedan, bilo koji broj, osim nule, odgovara.

Zapisujemo parametarske jednačine prave:

Za obuku:

Primjer 8

Napišite parametarske jednačine za sljedeće linije:

Rješenja i odgovori na kraju lekcije. Vaši odgovori se mogu malo razlikovati od mojih, činjenica je da parametarske jednačine se mogu napisati na više načina. Važno je da vaš i moj vektori smjera budu kolinearni, i da se vaša tačka "uklapa" sa mojim jednačinama (pa, ili obrnuto, moja tačka sa vašim jednačinama).

Kako drugačije možete definirati pravu liniju u prostoru? Hteo bih da smislim nešto sa normalnim vektorom. Međutim, broj neće raditi, za prostornu liniju normalni vektori mogu gledati u potpuno različitim smjerovima.

Druga metoda je već spomenuta u lekciji Jednačina u ravnini i na početku ovog članka.