Odredimo odnos između različitih momenata inercije presjeka u odnosu na dvije paralelne ose (slika 6.7), povezane ovisnostima

1. Za statičke momente inercije

konačno,

2. Za aksijalne momente inercije

dakle,

Ako je os z zatim prolazi kroz težište preseka

Od svih momenata inercije oko paralelnih osa, aksijalni moment inercije ima najmanju vrijednost oko ose koja prolazi kroz težište presjeka.

Isto za osovinu

Kada os y prolazi kroz težište preseka

3. Za centrifugalne momente inercije dobijamo

Konačno možemo pisati

U slučaju kada je početak koordinatnog sistema yz je u centru gravitacije preseka, dobijamo

U slučaju kada su jedna ili obje ose osi simetrije,

6.7. Promjena momenata inercije pri okretanju osi

Neka su dati momenti inercije presjeka u odnosu na koordinatne ose zy.

Potrebno je odrediti momente inercije istog presjeka u odnosu na osi rotirane pod određenim uglom u odnosu na koordinatni sistem zy(Sl. 6.8).

Ugao se smatra pozitivnim ako se stari koordinatni sistem treba rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu da bi se pomaknuo na novi (za desnoruki Kartezijanski pravokutni koordinatni sistem). Novo i staro zy koordinatni sistemi su povezani zavisnostima koje slede sa Sl. 6.8:

1. Definirajmo izraze za aksijalne momente inercije u odnosu na ose novog koordinatnog sistema:

Slično u odnosu na osu

Ako zbrojimo vrijednosti momenata inercije oko osa i, dobijemo

to jest, kada se osi rotiraju, zbir aksijalnih momenata inercije je konstantna vrijednost.

2. Izvedimo formule za centrifugalne momente inercije.

.

6.8. Glavni momenti inercije. Glavne osi inercije

Ekstremne vrijednosti aksijalnih momenata inercije presjeka nazivaju se glavnim momentima inercije.

Dvije međusobno okomite ose, oko kojih aksijalni momenti inercije imaju ekstremne vrijednosti, nazivaju se glavne osi inercije.

Da bismo pronašli glavne momente inercije i položaj glavnih osi inercije, određujemo prvi izvod u odnosu na ugao momenta inercije, određen formulom (6.27)

Izjednačimo ovaj rezultat sa nulom:

gdje je ugao za koji koordinatne ose treba rotirati y I z tako da se poklapaju sa glavnim osovinama.

Upoređujući izraze (6.30) i (6.31), možemo to utvrditi

,

Posljedično, u odnosu na glavne osi inercije, centrifugalni moment inercije je nula.

Međusobno okomite ose, od kojih se jedna ili obje poklapaju sa osama simetrije presjeka, uvijek su glavne osi inercije.

Rešimo jednačinu (6.31) za ugao:

.

Ako je >0, tada je za određivanje položaja jedne od glavnih osi inercije za desni (lijevi) kartezijanski pravokutni koordinatni sistem potrebna os z okrenite pod uglom protiv smjera rotacije (u smjeru rotacije) u smjeru kazaljke na satu. Ako<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz okrenite pod uglom u smjeru rotacije (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) u smjeru kazaljke na satu.

Maksimalna os uvijek čini manji ugao u odnosu na osi ( y ili z), u odnosu na koji aksijalni moment inercije ima veću vrijednost (slika 6.9).

Maksimalna os je usmjerena pod uglom prema axis(), if() i nalazi se u parnim (neparnim) četvrtima osi, if().

Odredimo glavne momente inercije i. Koristeći formule iz trigonometrije koje povezuju funkcije,,,sa funkcijama,,iz formule (6.27) dobijamo

,

Promjene u momentima inercije štapa pri paralelnom translaciji osi.

Uz statičke momente, razmotrite sljedeća tri integrala:

Gdje, kao i ranije, x i y označavaju trenutne koordinate elementarne površine dF u proizvoljnom koordinatnom sistemu xOy. Prva 2 integrala se nazivaju aksijalni momenti inercije presjeka u odnosu na ose x i y, respektivno. Treći integral se zove centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na x, y. Aksijalni momenti su uvijek pozitivni, jer Površina dF se smatra pozitivnom. Centrifugalni moment inercije može biti pozitivan ili negativan, ovisno o položaju presjeka u odnosu na osi x, y.

Izvedemo formule za pretvaranje momenata inercije pri paralelnom prevođenju osa. (vidi sliku). Pretpostavit ćemo da su nam dati momenti inercije i statički momenti oko x 1 i y 1 osa. Potrebno je odrediti momente oko x2 i y2 osi.

Zamjenjujući ovdje x 2 =x 1 -a i y 2 =y 1 -b Nalazimo

Otvarajući zagrade, imamo.

Ako su osi x 1 i y 1 centralne, tada je S x 1 = S y 1 =0 i rezultirajući izrazi su pojednostavljeni:

Kada se osi prenose paralelno (ako je jedna od osi središnja), aksijalni momenti inercije se mijenjaju za iznos jednak umnošku površine poprečnog presjeka i kvadrata udaljenosti između osa.

Razmotrimo određivanje momenata inercije ravne figure (slika) u odnosu na $(Z_1)$ i $(Y_1)$ ose sa poznatim momentima inercije u odnosu na $X$ i $Y$ osi.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

gdje je $(S_x)$ - statički moment figure oko ose $X$.

Slično u odnosu na $(Y_1)$ osu

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Centrifugalni moment inercije oko $(X_1)$ i $(Y_1)$ osi

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a) ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A (ydA) + ab\int\limits_A (dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Najčešće se koristi prijelaz sa centralnih osa (pravilnih osa ravne figure) na proizvoljne, paralelne. Tada je $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, pošto su ose $X$ i $Y$ centralne. Konačno imamo

Gdje, - sopstveni momenti inercije, odnosno momenti inercije oko sopstvenih centralnih ose;

$a$, $b$ - udaljenosti od centralnih osa do razmatranih;

$A$ je površina figure.

Treba napomenuti da se prilikom određivanja centrifugalnog momenta inercije u količinama $a$ i $b$ mora uzeti u obzir predznak, odnosno oni su u suštini koordinate težišta figure u osama ispod razmatranje. Prilikom određivanja aksijalnih momenata inercije, ove veličine se zamjenjuju po modulu (kao udaljenosti), budući da i dalje rastu na kvadrat.

Koristeći formule za paralelno prevođenje, moguć je prijelaz sa centralnih osa na proizvoljne ose, ili obrnuto- od proizvoljnih centralnih osa. Prvi prijelaz se izvodi sa znakom "+". Drugi prijelaz se izvodi sa znakom "- ".

Primjeri korištenja prelaznih formula između paralelnih osa

Pravokutni presjek

Odredimo centralne momente inercije pravougaonika za poznate momente inercije oko $Z$ i $Y$ osa.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

Slično $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

Trouglasti presjek

Odredimo centralne momente inercije trougla sa poznatim momentom inercije u odnosu na bazu $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

.

Trokut ima drugačiju konfiguraciju u odnosu na središnju osu $(Y_c)$, pa razmotrite sljedeće. Moment inercije cijele figure u odnosu na osu $(Y_c)$ jednak je zbiru momenta inercije trokuta $ABD$ u odnosu na osu $(Y_c)$ i momenta inercije $ CBD$ trokut u odnosu na osu $(Y_c)$, tj

.

Određivanje momenta inercije kompozitnog presjeka

Smatramo da je dio sastavljen od pojedinačnih elemenata čije su geometrijske karakteristike poznate. Površina, statički moment i momenti inercije kompozitne figure jednaki su zbiru odgovarajućih karakteristika njihovih komponenti. Ako se presjek može formirati rezanjem jedne figure od druge, geometrijske karakteristike izrezane figure se oduzimaju. Na primjer, momenti inercije kompozitne figure prikazane na Sl. će se odrediti na sljedeći način

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12) )) = 72\,300$ cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \desno) = 1\,490\,000$cm 4

Osi koje prolaze kroz težište ravne figure nazivaju se centralne ose.
Moment inercije oko centralne ose naziva se centralni moment inercije.

Teorema

Moment inercije oko bilo koje ose jednak je zbroju momenta inercije oko središnje ose koja je paralelna s ovom i umnožaka površine figure i kvadrata udaljenosti između osi.

Da bismo dokazali ovu teoremu, razmotrimo proizvoljnu ravan figuru čija je površina jednaka A , centar gravitacije se nalazi u tački WITH , i centralni moment inercije oko ose x će Ix .
Izračunajmo moment inercije figure u odnosu na određenu osu x 1 , paralelno sa središnjom osom i udaljeno od nje na udaljenosti A (pirinač).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Analizirajući rezultirajuću formulu, napominjemo da je prvi član aksijalni moment inercije u odnosu na središnju os, drugi član je statički moment površine ove figure u odnosu na središnju os (dakle, jednak je nula), a treći član nakon integracije može se predstaviti kao proizvod a 2 A , tj. kao rezultat dobijamo formulu:

I x1 = I x + a 2 A- teorema je dokazana.

Na osnovu teoreme možemo zaključiti da od niza paralelnih osa, aksijalni moment inercije ravne figure će biti najmanji u odnosu na centralnu osu .

Glavne ose i glavni momenti inercije

Zamislimo ravnu figuru čiji su momenti inercije u odnosu na koordinatne ose Ix I I y , a polarni moment inercije u odnosu na ishodište jednak je I ρ . Kako je ranije utvrđeno,

I x + I y = I ρ.

Ako se koordinatne ose rotiraju u svojoj ravni oko ishodišta koordinata, tada će polarni moment inercije ostati nepromijenjen, a aksijalni momenti će se promijeniti, dok će njihov zbir ostati konstantan. Kako je zbroj varijabli konstantan, jedna od njih opada, a druga raste, i obrnuto.
Shodno tome, na određenom položaju osi, jedan od aksijalnih momenata će dostići maksimalnu vrijednost, a drugi - minimalnu.

Osi oko kojih momenti inercije imaju minimalne i maksimalne vrijednosti nazivaju se glavne osi inercije.
Moment inercije oko glavne ose naziva se glavnim momentom inercije.

Ako glavna osa prolazi kroz težište figure, ona se naziva glavnom središnjom osom, a moment inercije oko takve ose naziva se glavnim središnjim momentom inercije.
Možemo zaključiti da ako je figura simetrična u odnosu na bilo koju os, onda će ta os uvijek biti jedna od glavnih središnjih osi inercije ove figure.

Centrifugalni moment inercije

Centrifugalni moment inercije ravne figure je zbir proizvoda elementarnih površina uzetih na cijeloj površini i udaljenosti do dvije međusobno okomite ose:

I xy = Σ xy dA,

Gdje x , y - udaljenosti od lokacije dA na osovine x I y .
Centrifugalni moment inercije može biti pozitivan, negativan ili nula.

Centrifugalni moment inercije uključen je u formule za određivanje položaja glavnih osi asimetričnih presjeka.
Standardne tablice profila sadrže karakteristiku tzv radijus rotacije presjeka , izračunato po formulama:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (u daljem tekstu znak"√"- korijenski znak)

Gdje I x , I y - aksijalni momenti inercije presjeka u odnosu na centralne ose; A - površina poprečnog presjeka.
Ova geometrijska karakteristika se koristi u proučavanju ekscentrične napetosti ili kompresije, kao i uzdužnog savijanja.

Torziona deformacija

Osnovni pojmovi o torziji. Torzija okrugle grede.

Torzija je vrsta deformacije kod koje se u bilo kojem poprečnom presjeku grede javlja samo obrtni moment, odnosno faktor sile koji uzrokuje kružno pomicanje presjeka u odnosu na osu okomitu na ovaj presjek, ili sprječava takvo kretanje. Drugim riječima, torzijske deformacije nastaju ako se par ili parovi sila primjenjuju na ravnu gredu u ravninama okomitim na njegovu os.
Momenti ovih parova sila nazivaju se uvijanjem ili rotacijom. Moment je označen sa T .
Ova definicija konvencionalno dijeli faktore sile torzijske deformacije na vanjske (torzioni, moment T ) i unutrašnji (momenti M cr ).

U mašinama i mehanizmima, okrugla ili cevasta vratila su najčešće izložena torziji, pa se za takve jedinice i delove najčešće vrše proračuni čvrstoće i krutosti.

Razmotrite torziju kružnog cilindričnog vratila.
Zamislite gumenu cilindričnu osovinu u kojoj je jedan od krajeva čvrsto fiksiran, a na površini se nalazi mreža uzdužnih linija i poprečnih krugova. Primijenit ćemo nekoliko sila na slobodni kraj osovine, okomito na os ove osovine, tj. zakrenuti ćemo ga duž ose. Ako pažljivo ispitate linije mreže na površini osovine, primijetit ćete da:
- osovina osovine, koja se naziva torziona os, ostat će ravna;
- prečnici krugova će ostati isti, a razmak između susjednih krugova neće se promijeniti;
- uzdužne linije na osovini će se pretvoriti u spiralne linije.

Iz ovoga možemo zaključiti da prilikom torzije okrugle cilindrične grede (osovine) vrijedi hipoteza o ravnim presjecima, a također možemo pretpostaviti da polumjeri kružnica ostaju ravni tijekom deformacije (jer se njihovi promjeri nisu promijenili). A budući da u dijelovima osovine nema uzdužnih sila, razmak između njih se održava.

Slijedom toga, torzijska deformacija okrugle osovine sastoji se od rotacije poprečnih presjeka jedan u odnosu na drugi oko torzijske osi, a njihovi uglovi rotacije su direktno proporcionalni udaljenostima od fiksnog presjeka - što je bilo koji presjek dalje od fiksnog kraja osovine, što je veći ugao u odnosu na osovinu osovine koju uvija.
Za svaki dio osovine, kut rotacije jednak je kutu uvrtanja dijela osovine zatvorenog između ovog dijela i brtve (fiksni kraj).


Ugao ( pirinač. 1) rotacija slobodnog kraja osovine (krajnjeg preseka) naziva se puni ugao uvijanja cilindrične grede (osovine).
Relativni ugao zaokreta φ 0 naziva se omjer uglova torzije φ 1 na daljinu l 1 od date sekcije do ugradnje (fiksne sekcije).
Ako je cilindrična greda (osovina) duga l ima konstantan poprečni presjek i opterećen je torzijskim momentom na slobodnom kraju (tj. sastoji se od homogenog geometrijskog presjeka), tada je tačna sljedeća tvrdnja:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konst - vrijednost je konstantna.

Ako uzmemo u obzir tanak sloj na površini gornje gumene cilindrične šipke ( pirinač. 1), ograničena ćelijom mreže cdef , tada primjećujemo da se ova ćelija tokom deformacije iskrivljuje, a njena strana, udaljena od fiksnog presjeka, pomiče se prema uvrtanju grede, zauzimajući položaj cde 1 f 1 .

Treba napomenuti da se slična slika uočava i tijekom posmične deformacije, samo što se u ovom slučaju površina deformira zbog translacijskog pomicanja presjeka jedan u odnosu na drugi, a ne zbog rotacijskog kretanja, kao kod torzijske deformacije. Na osnovu ovoga možemo zaključiti da prilikom torzije u poprečnim presjecima nastaju samo tangencijalne unutrašnje sile (naponi) koje formiraju moment.

Dakle, moment je rezultujući moment u odnosu na os grede unutrašnjih tangencijalnih sila koje djeluju u poprečnom presjeku.

Neka se zna i Ix, Iy, Ixy. Nacrtajmo novu os x 1, y 1 paralelnu sa xy osi.

I odredimo moment inercije istog presjeka u odnosu na nove ose.

X 1 = x-a; y 1 =y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

Ako os x prolazi kroz težište presjeka, tada je statički moment Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Slično novoj y 1 osi, imat ćemo formulu I y 1 = Iy + a 2 A

Centrifugalni moment inercije oko novih osa

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

Ako xy ose prolaze kroz centar gravitacije presjeka, tada je Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Ako je presjek simetričan, barem jedna od centralnih osa se poklapa sa osom simetrije, tada je Ixy =0, što znači Ix 1 y 1 = abA

Promjena momenata inercije pri okretanju osi.

Neka su poznati aksijalni momenti inercije oko xy osi.

Novi xy koordinatni sistem dobijamo rotacijom starog sistema za ugao (a > 0), ako je rotacija u suprotnom smeru kazaljke na satu.

Uspostavimo odnos između starih i novih koordinata lokacije

y 1 =ab = ac – bc = ab- de

iz trougla acd:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

iz trougla oed:

de/od =sin α dc = od*sin α

Zamijenimo ove vrijednosti u izraz za y

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

Isto tako

x 1 = x cos α + y sin α.

Izračunajmo aksijalni moment inercije u odnosu na novu osu x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Slično, Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Dodajmo lijevu i desnu stranu rezultirajućih izraza:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Zbir aksijalnih momenata inercije tokom rotacije se ne mijenja.

Odredimo centrifugalni moment inercije u odnosu na nove ose. Zamislimo vrijednosti x 1 ,y 1 .

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Glavni momenti i glavne osi inercije.

Glavni momenti inercije nazivaju se ekstremnim vrijednostima.

Osi oko kojih su dobijene ekstremne vrijednosti nazivaju se glavne osi inercije. Oni su uvijek međusobno okomiti.

Centrifugalni moment inercije u odnosu na glavne ose uvijek je jednak 0. Pošto je poznato da u presjeku postoji osa simetrije, centrifugalni moment je jednak 0, što znači da je osa simetrije glavna osa. Ako uzmemo prvi izvod izraza I x 1, a zatim ga izjednačimo sa "0", dobićemo vrijednost ugla = koji odgovara položaju glavnih osi inercije.

tan2 α 0 = -

Ako je α 0 >0, tada se za određeni položaj glavnih osa stara os mora rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Jedna od glavnih osa je max, a druga min. U ovom slučaju, max os uvijek odgovara manjem kutu s onom slučajnom osom u odnosu na koju ima veći aksijalni moment inercije. Ekstremne vrijednosti aksijalnog momenta inercije određene su formulom:

Poglavlje 2. Osnovni pojmovi o čvrstoći materijala. Ciljevi i metode.

Prilikom projektovanja različitih konstrukcija potrebno je riješiti različita pitanja čvrstoće, krutosti i stabilnosti.

Snaga– sposobnost datog tijela da izdrži različita opterećenja bez razaranja.

Krutost– sposobnost konstrukcije da apsorbuje opterećenja bez velikih deformacija (pomeranja). Preliminarne dozvoljene vrijednosti deformacije regulirane su građevinskim propisima i propisima (SNIP).

Održivost

Razmotrite kompresiju fleksibilne šipke

Ako se opterećenje postepeno povećava, šipka će se prvo skratiti. Kada sila F dostigne određenu kritičnu vrijednost, šipka će se izvijati. - apsolutno skraćivanje.

U ovom slučaju, štap se ne sruši, već oštro mijenja svoj oblik. Ova pojava se naziva gubitkom stabilnosti i dovodi do uništenja.

Sopromat– to su osnove nauke o čvrstoći, krutosti i stabilnosti inženjerskih konstrukcija. Materijali za čvrstoću koriste metode teorijske mehanike, fizike i matematike. Za razliku od teorijske mehanike, otpor čvrstoće uzima u obzir promjene veličine i oblika tijela pod utjecajem opterećenja i temperature.