A matematikai modell meghatározása

A matematika különböző alkalmazásokban betöltött szerepét meghatározó fontos tényező, hogy a vizsgált objektum leglényegesebb jellemzőit és tulajdonságait a matematikai szimbólumok és összefüggések nyelvén le tudjuk írni. Az ilyen leírást matematikai modellezésnek vagy formalizálásnak nevezzük.

1. definíció.matematikai modell valóságos objektum (jelenség) annak leegyszerűsített, idealizált sémája, amelyet matematikai szimbólumok és műveletek (arányok) segítségével állítanak össze.

Egy adott gazdasági feladat (probléma) matematikai modelljének felépítéséhez ajánlatos a következő munkasort végrehajtani:

1. Ismert és ismeretlen értékek, valamint a meglévő feltételek és előfeltételek meghatározása (mi adott és mit kell megtalálni?);

2. Azonosítás kritikus tényezők Problémák;

3. A kezelt és nem menedzselt paraméterek azonosítása;

4. A modellelemek (paraméterek, változók) közötti kapcsolatok matematikai leírása egyenletek, egyenlőtlenségek, függvények és egyéb összefüggések segítségével, a vizsgált probléma tartalma alapján.

Figyelembe veszik a probléma ismert paramétereit a matematikai modelljéhez viszonyítva külső(előre adott, azaz a modell felépítése előtt). A közgazdasági irodalomban úgy hívják exogén változók. A kezdetben ismeretlen változók értéke a modell tanulmányozása eredményeként kerül kiszámításra, ezért a modellhez viszonyítva ezeket figyelembe veszik. belső. A közgazdasági irodalomban úgy hívják endogén változók.

A cél szempontjából meg lehet különböztetni leíró modellekés döntéshozatali modellek. Leíró modellek tükrözik a gazdasági tárgyak tartalmát és alapvető tulajdonságait mint olyanokat. Segítségükkel kiszámítják a gazdasági tényezők és mutatók számszerű értékeit.

A döntési modellek segítenek megtalálni a legjobb lehetőségeket a tervezett indikátorokhoz vagy vezetői döntésekhez. Közülük a legkevésbé bonyolultak a tervezési jellegű problémákat leíró (szimuláló) optimalizálási modellek, a legbonyolultabbak pedig az ütköző jellegű problémákat leíró játékmodellek, figyelembe véve a különböző érdekek metszéspontját. Ezek a modellek abban különböznek a leíró modellektől, hogy képesek kiválasztani a vezérlési paraméterek értékét (ami a leíró modelleknél nem így van).

Általános döntési fa

A matematikai közgazdaságtanban nehéz túlbecsülni a döntési modellek szerepét. A leggyakrabban azokat alkalmazzák, amelyek az optimális termeléstervezés, a korlátozott erőforrások racionális elosztásának, a gazdálkodó szervezetek hatékony tevékenységének kezdeti problémáit extrém problémákra, optimális szabályozási problémákra és játékproblémákra redukálják. Mi a általános szerkezet ilyen modellek?

Bármilyen döntési feladatot az jellemez, hogy bizonyos célokat követõ és erre bizonyos lehetõségekkel rendelkezõ személy vagy személyek jelen vannak. Ezért a döntéshozatali modell fő elemeinek azonosításához a következő kérdésekre kell válaszolni:

џ ki hozza meg a döntést?

џ Mik a döntéshozatal céljai?

џ Mi a döntéshozatal?

џ mi a készlet lehetőségek cél elérése?

џ milyen feltételek mellett születik a döntés?

Tehát előttünk áll egy bizonyos általános döntési feladat. Formális sémájának (modelljének) felépítéséhez általános jelölést vezetünk be.

levél N jelöli az összes döntéshozó fél halmazát. Hadd N=(1,2,...,n), azok. összesen n résztvevő van, amelyeket csak számok azonosítanak. Minden elemet döntéshozónak (DM) nevezünk. (például magánszemély, cég, nagy konszern tervező testülete, kormányok stb.).

Tegyük fel, hogy az egyes döntéshozók összes megvalósítható megoldásának (alternatíváinak, stratégiáinak) halmazát előzőleg tanulmányozták és matematikailag leírják (például egyenlőtlenségrendszer formájában). Jelöljük őket azzal x 1 , X 2 ,..., X n . Ezt követően az összes döntéshozó döntéshozatali folyamata a következő formális aktusra redukálódik: minden döntéshozó kiválaszt egy adott elemet a megengedhető döntési halmazából,..., . Az eredmény a kiválasztott megoldások x = (x1,...,xn) halmaza, amelyet helyzetnek nevezünk.

Az x helyzet értékeléséhez a döntéshozó által követett célok szempontjából függvényeket konstruálnak. f 1 ,..., f n (célfüggvényeknek vagy minőségi kritériumoknak nevezzük), amelyek minden helyzethez x numerikus pontszámot rendelnek f 1 (x),..., f n (x)(például az x helyzetben lévő cégek jövedelme, vagy költségei, stb.). Aztán a gól én A döntéshozó a következőképpen formalizálódik: válassza ki a saját megoldását, hogy egy adott helyzetben x = (x 1 ,...,X n ) szám f én (X) a lehető legnagyobb (vagy kicsi) legyen. Ennek a célnak az elérése azonban részben tőle függ, más befolyásoló felek jelenléte miatt általános helyzet x saját céljaik elérése érdekében. Az érdekek metszéspontjának (konfliktusnak) ez a ténye tükröződik abban, hogy a funkció f én kívül x én más változóktól függ x j (j i). Ezért a sok résztvevőt tartalmazó döntéshozatali modellekben a céljaikat másképpen kell formalizálni, mint a függvény értékeinek maximalizálását vagy minimalizálását. f én (X). Végül matematikailag leírjuk mindazokat a feltételeket, amelyek mellett a döntés megszületik. (a szabályozott és nem szabályozott változók közötti kapcsolatok leírása, véletlenszerű tényezők hatásának leírása, dinamikus jellemzők figyelembevétele stb.). Az egyszerűség kedvéért ezen feltételek összességét egyetlen szimbólum jelöli.

Így a döntési probléma általános sémája így nézhet ki:

A modell elemeinek megadásával (1.6.1.), azok jellemzőinek, tulajdonságainak megadásával a döntési modellek egyik vagy másik osztálya kapható. Tehát ha az (1.6.1.) N csak egy elemből áll (n=1),és az eredeti valós probléma összes feltétele és előfeltétele leírható ennek az egyetlen döntéshozónak a megvalósítható megoldásainak halmazaként, akkor az (1.6.1.)-ből megkapjuk az optimalizálási (extremális) probléma szerkezetét:< Х, f >. Ebben a sémában a döntéshozó tervező testületnek tekinthető. Ezzel a sémával kétféle extrém problémát írhat:

Ha egy extrém problémában kifejezetten figyelembe vesszük az időtényezőt, akkor azt optimális szabályozási problémának nevezzük. Ha n 2, akkor (1.6.1.) a döntési probléma általános sémája konfliktusos körülmények között, azaz olyan helyzetekben, ahol két vagy több fél érdekei metszéspontjai vannak.

A döntéshozónak gyakran nem egy, hanem több célja van. Ebben az esetben az (1)-ből egy sémát kapunk, ahol minden függvény f 1 (x),..., f n (x) ugyanazon az X halmazon definiálva. Az ilyen problémákat többcélú optimalizálási problémáknak nevezzük.

A döntéshozatali problémáknak vannak olyan osztályai, amelyek a céljuk alapján kapták a nevüket: sorbanállási rendszerek, készletkezelési problémák, hálózati és ütemezési problémák, megbízhatósági elmélet stb.

Ha az (1) modell elemei nem függnek kifejezetten az időtől, azaz a döntési folyamat egy pillanatnyi pont kiválasztására redukálódik egy adott halmazból, akkor a probléma ún. statikus. Ellenkező esetben, amikor a döntéshozatal egy többlépcsős diszkrét vagy időben folyamatos folyamat, a feladat ún. dinamikus. Ha a modellelemek (1) nem tartalmazzák Véletlen változókés valószínűségi jelenségek, akkor a problémát determinisztikusnak, egyébként - sztochasztikusnak nevezik.

A számítógépek szilárdan beépültek az életünkbe, és gyakorlatilag nincs az emberi tevékenységnek olyan területe, ahol ne használnák a számítógépeket. A számítógépeket ma már széles körben használják új gépek, új technológiai folyamatok létrehozásának és kutatásának folyamatában, valamint azok optimális lehetőségeinek felkutatásában; a gazdasági problémák megoldása során, a termelés különböző szintű tervezési és irányítási problémáinak megoldásakor. A rakétatechnikában, repülőgépgyártásban, hajógyártásban nagyméretű objektumok létrehozása, valamint gátak, hidak stb. tervezése általában lehetetlen számítógépek használata nélkül.

Ahhoz, hogy a számítógépet az alkalmazott feladatok megoldásában használhassuk, mindenekelőtt az alkalmazott feladatot „le kell fordítani” formális matematikai nyelvre, pl. egy valós tárgy, folyamat vagy rendszer esetében annak matematikai modell.

A "modell" szó a latin modusból (másolat, kép, körvonal) származik. A modellezés egy A objektum helyettesítése egy másik B objektummal. A lecserélt A objektumot eredetinek vagy modellező objektumnak, a B helyettesítőt pedig modellnek nevezzük. Más szavakkal, a modell az eredeti objektum objektum-helyettesítése, amely az eredeti bizonyos tulajdonságainak tanulmányozását biztosítja.

A szimuláció célja az egymással és a külső környezettel kölcsönhatásba lépő tárgyakkal kapcsolatos információk átvétele, feldolgozása, bemutatása és felhasználása; és a modell itt az objektum tulajdonságainak és viselkedési mintáinak megismerésére szolgál.

A modellezést széles körben alkalmazzák az emberi tevékenység különböző területein, különösen a tervezés és a menedzsment területén, ahol speciálisak a kapott információk alapján történő hatékony döntéshozatal folyamatai.

A modell mindig egy konkrét célt szem előtt tartva épül fel, amely befolyásolja, hogy egy objektív jelenség mely tulajdonságai jelentősek és melyek nem. A modell mintegy az objektív valóság kivetítése egy bizonyos nézőpontból. Néha, a céloktól függően, számos objektív valóság vetületet kaphat, amelyek konfliktusba kerülnek. Ez általában jellemző összetett rendszerek, amelyben minden vetítés kiválasztja azt, ami egy adott célhoz elengedhetetlen a nem lényegesek halmazából.

A modellezéselmélet egy olyan tudományág, amely az eredeti objektumok tulajdonságainak tanulmányozásának módjait vizsgálja más modellobjektumokkal való helyettesítés alapján. A hasonlóság elmélete alapozza meg a modellezés elméletét. A modellezés során abszolút hasonlóság nem következik be, és csak arra törekszik, hogy a modell kellően tükrözze az objektum működésének vizsgált oldalát. Abszolút hasonlóság csak akkor valósulhat meg, ha az egyik tárgyat egy másik, pontosan ugyanolyan objektum helyettesíti.

Minden modell két osztályba sorolható:

igazi,
ideál.

A valódi modellek viszont a következőkre oszthatók:

természetes,
fizikai,
matematikai.

Ideális modellek osztható:

vizuális,
ikonszerű,
matematikai.

A valódi teljes léptékű modellek valós tárgyak, folyamatok és rendszerek, amelyeken tudományos, műszaki és ipari kísérleteket végeznek.

Valódi fizikai modellek- ezek makettek, bábuk, reprodukálás fizikai tulajdonságok eredetiek (kinematikus, dinamikus, hidraulikus, termikus, elektromos, könnyű modellek).

Az igazi matematikai analóg, szerkezeti, geometriai, grafikus, digitális és kibernetikai modellek.

Ideális vizuális modellek a diagramok, térképek, rajzok, grafikonok, grafikonok, analógok, szerkezeti és geometriai minták.

Ideális jelmodellek a szimbólumok, ábécé, programozási nyelvek, rendezett jelölés, topológiai jelölés, hálózati ábrázolás.

Ideál matematikai modellek- ezek analitikus, funkcionális, szimulációs, kombinált modellek.

A fenti besorolásban egyes modellek kettős értelmezésűek (például analóg). Az összes modell, kivéve a teljes léptékű modelleket, összevonható a mentális modellek egy osztályába, hiszen az ember elvont gondolkodásának termékei.

Maradjunk az egyik leguniverzálisabb modellezési típusnál - a matematikán, amely a szimulált fizikai folyamatot matematikai összefüggésrendszerrel társítja, amelynek megoldása lehetővé teszi, hogy választ kapjon az objektum viselkedésére vonatkozó kérdésre anélkül, hogy létrehozná a modellt. fizikai modell, amely gyakran drágának és nem hatékonynak bizonyul.

Matematikai modellezés egy valós tárgy, folyamat vagy rendszer tanulmányozásának eszköze azok helyettesítésével matematikai modell, kényelmesebb a számítógép segítségével végzett kísérleti kutatáshoz.

Matematikai modell valós objektumok, folyamatok vagy rendszerek hozzávetőleges ábrázolása, kifejezve matematikai kifejezésekés megtartva az eredeti lényeges tulajdonságait. Matematikai modellek kvantitatív formában, logikai és matematikai konstrukciók segítségével írják le egy objektum, folyamat vagy rendszer főbb tulajdonságait, paramétereit, belső és külső kapcsolatait.

Egyelőre nincs szabványos terminológia, és nem is valószínű, hogy megjelenik, hiszen a matematikai modellezés teljes történetében nagyon nagyszámú tudósok foglalkoztak ezzel a témával.

A matematikai modellezést az emberi élet különböző területein használják. Mint például: matematika, biokémia, orvostudomány és így tovább.

A matematikai modell definíciója, amelyet A.D. Mishkis.

Vizsgáljuk meg egy bizonyos A objektum (objektum: rendszer, helyzet, jelenség, folyamat stb.) tulajdonságainak S összértékét. Miért építünk egy matematikai objektumot A "- egy aritmetikai relációt, egy geometriai ábrát, egy egyenletrendszert és így tovább, amelynek matematikai úton történő tanulmányozása választ ad az S tulajdonságaival kapcsolatos kérdésekre. Ebben az esetben az A" matematikai objektumot az A objektum matematikai modelljének nevezzük az S tulajdonságok halmaza tekintetében. A definícióból nemcsak az derül ki, hogy az A és A objektumok "más természetűek, hanem azt is, hogy Az A"-t nemcsak maga az eredeti A határozza meg, hanem a vizsgált S tulajdonságainak összessége is. Ha egy és ugyanazon A objektumon két vizsgálatot végzünk a tulajdonságainak két különböző S1 és S2 halmazára vonatkozóan, akkor a megfelelő matematikai modellek " és " A1 A2 teljesen eltérőek lehetnek. Ebből a tanulmányból következik az első tulajdonság matematikai modellek- pluralitásuk. Hangsúlyozzuk, hogy itt nemcsak a hierarchiájukhoz tartozó modellek sokaságát értjük, hanem a különféle rendszerek tanulmányozásának szükségessége által generált eredményt, ... S1 S2 tulajdonságait.

Például egy és ugyanazt a hatalmas gomolyfelhőt lefelé irányuló légáramlatok generálása szempontjából tekinthetjük, amelyek tovább oszlanak a föld felszínén, és mi széllökésnek érzékeljük a heves esőzés előtt. és a légkör nagy elektromos aktivitású zónájaként. Az objektum mindezen megnyilvánulása nagy veszélyt jelent a repülőgépek repülésére. A lefelé ívelés veszélyes a fel- és leszállási szakaszban, a repülőgép szárnyának földalatti erejének nagyságrendjének jelentős változása miatt (a szélsebesség irányának éles változása fejtől farokig). Az erős elektromos mezők légköri elektromos kisülést (villámlást) hozhat létre, amelynek a repülőgépre gyakorolt hatása a repülőgép fedélzetén lévő rádióelektronikai berendezések teljes vagy részleges meghibásodását okozhatja. Nyilvánvaló, hogy az első esetben az aerohidrodinamikai egyenleteket használjuk a modellhez, és a légáramlási sebességek területét vizsgáljuk (matematikai modell az S1 jellemzők halmazára vonatkozóan). A második esetben a felhő elektromos szerkezetét tanulmányozzuk, és elektrodinamikai modellt hozunk létre (az S2 jellemzők halmazára vonatkozóan).

A második, legfontosabb tulajdonság a matematikai modellek egysége. A megkülönböztető tény az, hogy a különböző valós rendszereknek vagy azok értelmes modelljeinek ugyanaz a matematikai modellje lehet.

A matematikai modellezés elméletében jelentős a modellépítés minden aspektusának folyamatos összehangolása a vizsgálat feladataival és célkitűzéseivel. Ezért kiemeljük a mechanikai rendszerek és folyamatok néhány olyan jellemzőjét, amelyek elengedhetetlenek a kutatáshoz.

Először is, az ilyen objektumokat meghatározó tényezőket mérhető mennyiségekként - paraméterekként - jellemezzük.

Másodszor, az ilyen modellek olyan egyenleteken alapulnak, amelyek leírják a természet (mechanika) alapvető törvényeit, amelyek nem igényelnek felülvizsgálatot és finomítást. Az általánosabbak elkészítéséhez használt egyedi jelenségek kész magánmodelljei is jól megfogalmazottak és a feltételek és az alkalmazási területek tekintetében jól leírtak.

Harmadszor, a mechanikai rendszerek és folyamatok modelljeinek fejlesztésében óriási akadály a megbízhatatlanok leírása ismert jellemzői objektum, funkcionális és numerikus egyaránt.

Negyedszer, az ilyen modellekre vonatkozó jelenlegi követelmények ahhoz vezetnek, hogy figyelembe kell venni egy objektum viselkedését befolyásoló számos tényezőt, nem csak azokat, amelyek az ismert természeti törvényekhez kapcsolódnak. Mindezek a tulajdonságok ahhoz vezetnek, hogy a mechanikai rendszerek és folyamatok modelljei elsősorban a matematikai modellek osztályába tartoznak.

A matematikai modellek az objektum matematikai leírásán alapulnak. NÁL NÉL matematikai leírás, természetesen mindenekelőtt az objektum paramétereinek összefüggései szerepelnek, ami jellemzi annak működési jellemzőit. Az ilyen kapcsolatokat a következőképpen ábrázolhatjuk:

2.1.1 ábra - Objektumparaméterek kapcsolatai

E típusok közül az első négynek van egy általános neve: analitikai függőségek.

A matematikai leírás nemcsak az objektum elemeinek és paramétereinek (szabályszerűségek és törvényszerűségek) kapcsolatát tartalmazza, hanem az objektum funkcionális és számszerű adatainak teljes készletét (jellemzők; kezdeti, perem-, végfeltételek; korlátozások), valamint mint módszerek a modell kimeneti paramétereinek számítására. Vagyis a matematikai leírás függvények, módszerek, számítási adatok teljes készlete, amely lehetővé teszi az eredmény elérését.

Előfordulhat azonban, hogy egy matematikai modell nem tartalmazza a matematikai leírás egy részét (leggyakrabban néhány kiindulási adatot), hanem ezen kívül a felépítéséhez használt összes feltételezés leírását, valamint a kezdeti és a kimeneti adatok átvitelére szolgáló algoritmusokat. modellt az eredetihez és fordítva, tartalmaznia kell.

2.1.2 ábra - A modell matematikai leírása

Az osztályozás kiegészítéseként a matematikai modellek az objektum jellegétől, a megoldandó feladatoktól és az alkalmazott módszerektől függően a következő típusokban különbözhetnek:

- számítás (algoritmusok, nomogramok, képletek, grafikonok, táblázatok);

– releváns (például: modell in szélcsatornaés a repülőgép tényleges repülése a légkörben);

– hasonló (arányos megfelelő paraméterek és azonos matematikai leírások);

- nemlineáris és lineáris (a fő paramétereket csak 0 és 1 hatványig tartalmazó függvényekkel vagy bármilyen függvénnyel írják le),

– nem álló és álló (időtől függő vagy független),

- diszkrét vagy folyamatos,

- sztochasztikus vagy determinisztikus (valószínűségi, egyértelmű vagy egzakt: sormodellek, szimuláció stb.),

- fuzzy és világos (példák homályos halmazokra: körülbelül 10; mély vagy sekély; jó vagy rossz).

Alapján történelmi eseményekÍgy történt, hogy a matematikai modellben néha csak egyet jelentenek különleges fajta olyan modellek, amelyek csak egy egyértelmű közvetlen matematikai leírást tartalmaznak számítási algoritmusok vagy analitikai függőségek formájában - vagyis egy determinisztikus matematikai modell, amelynek segítségével azonos kiindulási adatokkal csak egy és ugyanaz az eredmény érhető el. Széles körben elterjedtek azok a determinisztikus modellek, amelyek arányossági együtthatók segítségével teremtenek kapcsolatot az eredeti paramétereivel, amelyek mindegyike egyszerre egyenlő eggyel. Természetes, hogy egy ilyen modell által használt matematikai leírást magának az eredetinek a leírásának tekintjük - ez az állítás igaz: ebben az esetben a modellnek és az eredetinek egy közös matematikai leírása van. Ilyen látszólagos egyszerűség mellett a tapasztalatlan mérnök is már nem modellként, hanem eredetiként fogja fel a modellt. Egy ilyen matematikai modell azonban csak egy modell a mögötte rejlő összes egyszerűsítéssel, konvencióval, absztrakcióval és feltevéssel. A minőségi modellezés folyamatának "leegyszerűsítésére" vágynak, ami általában lehetetlen, mivel a modell vagy megfelel az eredetinek, vagy egyáltalán nem létezik. Az ezzel kapcsolatos hanyag hozzáállás az alkalmazott kutatásban sok téves következtetéshez vezet, és a kapott eredmények nem felelnek meg a dolgok valós állapotának.

A szimulációs modelleket a determinisztikus modellek antipódjaként mutatjuk be.

A szimulációs modellek (sztochasztikus) olyan eredetiek matematikai modelljei, amelyek egyes elemeire nincs matematikai leírás analitikus forma. A szimulációs modellek matematikai leírása véletlenszerű folyamatok (sztochasztikus) leírását tartalmazza. Ilyen leírásként az elosztási törvények különféle formáit mutatják be, amelyek alapján összeállíthatók statisztikai feldolgozás az eredeti megfigyelésének eredményei.

A szimulációs modellek matematikai leírása a jelenséget leíró valószínűségi változók eloszlási törvényein túl tartalmazhatja a valószínűségi változók összefüggéseinek leírását (például sorelméleti modellek segítségével), valamint statisztikai tesztalgoritmust ( Monte Carlo módszer elemi megvalósítására véletlenszerű események). Ebből következik, hogy a szimulációs modellek a valószínűségszámítás matematikai apparátusát használják: a matematikai statisztikát, a sorelméletet és a statisztikai tesztek módszerét.

Képzelj el egy repülőgépet: szárnyak, törzs, farok, mindez együtt – egy igazi hatalmas, hatalmas, egész repülőgép. És készíthetsz egy repülőgépmodellt, kicsi, de minden valódi, ugyanazok a szárnyak stb., de kompakt. Ilyen a matematikai modell is. Szöveges probléma van, nehézkes, meg lehet nézni, elolvasni, de nem egészen érteni, és még inkább nem világos, hogyan kell megoldani. De mi van akkor, ha egy nagy verbális problémából készítünk belőle egy kis modellt, egy matematikai modellt? Mit jelent a matematikai ? Tehát a matematikai jelölés szabályait és törvényeit alkalmazva alakítsa át a szöveget logikailag helyes ábrázolássá számok és számtani előjelek segítségével. Így, a matematikai modell egy valós helyzet matematikai nyelven történő megjelenítése.

Kezdjük egyszerűen: Szám több szám a. Szavak használata nélkül kell leírnunk, csak a matematika nyelvén. Ha több, akkor kiderül, hogy ha kivonjuk, akkor ezeknek a számoknak a különbsége egyenlő marad. Azok. vagy. Érted a lényeget?

Most már bonyolultabb, most lesz egy szöveg, amit meg kell próbálnod matematikai modell formájában bemutatni, amíg el nem olvasod, hogyan fogom csinálni, próbáld ki te is! Négy szám van: , és. Egy termék és még több termék és kétszer.

Mi történt?

Matematikai modell formájában ez így fog kinézni:

Azok. a termék kettő az egyhez kapcsolódik, de ez tovább egyszerűsíthető:

Nos, az egyszerű példákkal, azt hiszem, érted a lényeget. Térjünk át a teljes értékű feladatokra, amelyekben ezeket a matematikai modelleket is meg kell oldani! Itt a feladat.

Matematikai modell a gyakorlatban

1. feladat

Eső után a kút vízszintje emelkedhet. A fiú megméri a kis kavicsok kútba esésének idejét, és kiszámítja a víztől való távolságot egy képlet segítségével, ahol a távolság méterben és a zuhanás ideje másodpercben. Eső előtt a kavicsok lehullásának ideje s. Mennyivel kell emelkednie a vízszintnek eső után, hogy a mért idő s-re változzon? Válaszát fejezze ki méterben!

Ó Istenem! Milyen képletek, milyen kút, mi történik, mit kell tenni? Olvastam a gondolataidban? Nyugodj meg, az ilyen típusú feladatoknál még szörnyűbbek a körülmények, a legfontosabb, hogy ne feledd, hogy ebben a feladatban a képletek és a változók közötti kapcsolatok érdekelnek, és az, hogy mindez mit jelent, a legtöbb esetben nem túl fontos. Mit látsz itt hasznosnak? én személy szerint látom. E problémák megoldásának elve a következő: vegyünk minden ismert mennyiséget, és helyettesítsük azokat.De néha gondolkodni kell!

Az első tanácsomat követve, és az összes ismertet behelyettesítve az egyenletbe, a következőt kapjuk:

Én voltam az, aki behelyettesítettem a másodperc idejét, és megtaláltam azt a magasságot, amellyel a kő az eső előtt repült. És most eső után kell számolnunk, és meg kell találnunk a különbséget!

Most hallgassa meg a második tanácsot, és gondolja át, a kérdés tisztázza, "mennyit kell emelkednie a vízszintnek eső után, hogy a mért idő s-vel megváltozzon." Azonnal rá kell jönni, húúú, az eső után megemelkedik a vízszint, ami azt jelenti, hogy kevesebb az idő, amíg a kő vízszintre esik, és itt a díszes „hogy megváltozzon a mért idő” kifejezés. konkrét jelentéssel: az esési idő nem növekszik, hanem csökken a megadott másodpercekkel. Ez azt jelenti, hogy eső utáni dobás esetén csak c-t kell kivonnunk a kezdeti c időből, és megkapjuk az egyenletet arra a magasságra, amelyet a kő eső után repül:

És végül, hogy megtudja, mennyit kell emelkednie a vízszintnek eső után, hogy a mért idő s-vel változzon, csak le kell vonni a másodikat az esés első magasságából!

Azt a választ kapjuk: méterenként.

Amint látja, nincs semmi bonyolult, ami a legfontosabb, ne törődj túl sokat azzal, hogy egy ilyen érthetetlen és néha összetett egyenlet honnan származik a körülmények között, és mit jelent minden, ami benne van, fogadd el a szót, ezek az egyenletek többsége fizikából vettük, és ott a dzsungel rosszabb, mint az algebrában. Néha úgy tűnik számomra, hogy ezeket a feladatokat azért találták ki, hogy megfélemlítsék a hallgatót a vizsgán rengeteg bonyolult képlettel és kifejezéssel, és a legtöbb esetben szinte semmilyen tudást nem igényelnek. Csak figyelmesen olvassa el a feltételt, és helyettesítse be az ismert értékeket a képletben!

Itt van egy másik probléma, már nem a fizika, hanem a gazdaságelmélet világából, bár a matematikán kívüli tudományok ismerete itt megint nem szükséges.

2. feladat

A monopolvállalkozás termékei iránti kereslet mennyiségének (havi egység) függőségét az ártól (ezer rubel) a képlet adja meg

A cég havi bevételét (ezer rubelben) a képlet segítségével számítják ki. Határozza meg a legmagasabb árat, amelyen a havi bevétel legalább ezer rubel lesz. Adja meg a választ ezer rubelben.

Találd ki, mit csináljak most? Igen, elkezdem helyettesíteni azzal, amit tudunk, de még egyszer, még gondolkodnia kell egy kicsit. Menjünk a végétől, meg kell találnunk, melyiknél. Tehát van, ami egyenlő némelyikkel, megtaláljuk, hogy mi mással egyenlő, és egyenlő, és felírjuk. Amint látja, nem különösebben törődöm ezen mennyiségek jelentésével, csak a feltételekből nézem, hogy mi az, amivel egyenlő, ezt kell tennie. Térjünk vissza a feladathoz, már megvan, de mint emlékszel, egy két változós egyenletből egyik sem található, mit kell tenni? Igen, még mindig van egy fel nem használt részecske az állapotban. Itt már két egyenlet és két változó van, ami azt jelenti, hogy most mindkét változó megtalálható – remek!

Meg lehet oldani egy ilyen rendszert?

Behelyettesítéssel oldjuk meg, már kifejeztük, ami azt jelenti, hogy behelyettesítjük az első egyenletbe és egyszerűsítjük.

Kiderült, hogy itt van egy ilyen másodfokú egyenlet: , megoldjuk, a gyökök ilyenek, . A feladatban meg kell találni azt a legmagasabb árat, amelyen minden feltétel teljesül, amit a rendszer összeállításakor figyelembe vettünk. Ó, kiderült, ez volt az ára. Menő, így megtaláltuk az árakat: és. A legmagasabb ár, azt mondod? Oké, a legnagyobb közülük nyilván válaszként írjuk. Nos, nehéz? Szerintem nem, és nem is kell nagyon elmélyedni benne!

És itt van egy ijesztő fizika számodra, vagy inkább egy másik probléma:

3. feladat

A csillagok effektív hőmérsékletének meghatározásához a Stefan-Boltzmann törvényt használják, amely szerint hol van a csillag sugárzási ereje, egy állandó, a csillag felülete és a hőmérséklet. Ismeretes, hogy egy bizonyos csillag felülete egyenlő, és sugárzási ereje W-val egyenlő. Keresse meg ennek a csillagnak a hőmérsékletét Kelvin-fokban.

Hol világos? Igen, a feltétel azt mondja, hogy mi egyenlő azzal. Korábban azt javasoltam, hogy minden ismeretlent azonnal helyettesítsünk, de itt jobb, ha először a keresett ismeretlent fejezzük ki. Nézd, milyen egyszerű minden: van egy képlet, és abban ismertek, és (ez a görög "szigma" betű. Általában a fizikusok szeretik a görög betűket, szokják meg). A hőmérséklet nem ismert. Fejezzük ki képlet formájában. Hogyan kell csinálni, remélem tudod? Az ilyen feladatok a 9. osztályban a GIA számára általában a következőket adják:

Most a jobb oldalon lévő betűk helyett számokat kell helyettesíteni, és egyszerűsíteni:

Íme a válasz: Kelvin-fok! És milyen szörnyű feladat volt!

Továbbra is kínozzuk a fizika problémáit.

4. feladat

A feldobott labda talaj feletti magassága a törvény szerint változik, ahol a magasság méterben, a dobás óta eltelt idő másodpercben. Hány másodpercig lesz a labda legalább három méteres magasságban?

Ez volt az összes egyenlet, de itt meg kell határozni, hogy mennyi volt a labda legalább három méteres magasságban, ami azt jelenti, hogy magasságban van. Mit fogunk készíteni? Egyenlőtlenség, igen! Van egy függvényünk, ami leírja, hogyan repül a labda, ahol pontosan ugyanaz a magasság méterben, szükségünk van a magasságra. Eszközök

És most csak oldja meg az egyenlőtlenséget, ami a legfontosabb, ne felejtse el megváltoztatni az egyenlőtlenség jelét többről egyenlőre kisebbre vagy egyenlőre, amikor az egyenlőtlenség mindkét részével szoroz, hogy megszabaduljon az előtte lévő mínusztól.

Itt vannak a gyökerek, intervallumokat építünk az egyenlőtlenséghez:

Minket az az intervallum érdekel, ahol a mínuszjel van, mivel az egyenlőtlenség oda kerül negatív értékeket, ez től -ig mindkettőt beleértve. És most bekapcsoljuk az agyat, és alaposan átgondoljuk: az egyenlőtlenséghez egy egyenletet használtunk, ami leírja a labda repülését, az valahogy egy parabola mentén repül, pl. felszáll, elér egy csúcsot és leesik, hogyan lehet megérteni, hogy meddig lesz legalább méteres magasságban? 2 fordulópontot találtunk, i.e. azt a pillanatot, amikor méterek fölé szárnyal, és azt a pillanatot, amikor zuhanás közben eléri ugyanazt a jelet, ez a két pont a mi alakunkban az idő alakjában fejeződik ki, azaz. tudjuk, hogy a repülés melyik másodpercében lépett be a számunkra érdekes zónába (méter felett) és melyikbe hagyta el (a méteres jel alá esett). Hány másodpercig volt ebben a zónában? Logikus, hogy a zónából való kilépés idejét vesszük, és levonjuk belőle a zónába való belépés idejét. Ennek megfelelően: - ennyit volt a méter feletti zónában, ez a válasz.

Olyan szerencsés vagy, hogy ebben a témában a legtöbb példa a fizika feladatok kategóriájából vehető, úgyhogy fogj még egyet, az a végső, hát erőld meg magad, már nagyon kevés van hátra!

5. feladat

Egy bizonyos készülék fűtőeleme esetében kísérletileg megkaptuk a hőmérséklet-függést az üzemidőtől:

Hol van az idő percekben. Ismeretes, hogy a fűtőelem feletti hőmérsékleten a készülék elromolhat, ezért ki kell kapcsolni. Keresse meg a maximális időt a munka megkezdése után a készülék kikapcsolásához. Mondja ki válaszát percek alatt.

Egy jól bevált séma szerint járunk el, mindent, ami adott, először kiírunk:

Most vesszük a képletet, és egyenlővé tesszük azzal a hőmérsékleti értékkel, amelyre a készüléket a lehető legnagyobb mértékben fel lehet melegíteni, amíg ki nem ég, azaz:

Most a betűk helyett számokat cserélünk, ahol ismertek:

Amint látja, a készülék működése közbeni hőmérséklet leírása másodfokú egyenlet, ami azt jelenti, hogy egy parabola mentén oszlik el, azaz. a készülék egy bizonyos hőmérsékletre felmelegszik, majd lehűl. Válaszokat kaptunk, és ezért percenkénti fűtés alatt és alatt a hőmérséklet kritikus, de perc között még a határértéknél is magasabb!

Tehát egy perc múlva ki kell kapcsolnia a készüléket.

MATEMATIKAI MODELLEK. RÖVIDEN A FŐRŐL

Leggyakrabban matematikai modelleket használnak a fizikában: végül is valószínűleg több tucat fizikai képletet kellett megjegyeznie. A képlet egy helyzet matematikai ábrázolása.

Az OGE-n és az Egységes Államvizsgán éppen ebben a témában vannak feladatok. A USE-ban (profil) ez a 11-es feladat (korábban B12). Az OGE-ben - 20. számú feladat.

A megoldási séma nyilvánvaló:

1) A feltétel szövegéből „el kell különíteni” a hasznos információkat - amit a fizikai feladatokban az „Adott” szó alatt írunk. Ez a hasznos információ:

Képlet
Ismert fizikai mennyiségek.

Vagyis a képlet minden betűjéhez hozzá kell rendelni egy bizonyos számot.

2) Vegye ki az összes ismert mennyiséget, és cserélje be a képletbe. Az ismeretlen érték betűként marad. Most már csak meg kell oldania az egyenletet (általában meglehetősen egyszerű), és kész a válasz.

Legyél a YouClever tanulója,

Készüljön fel az OGE-re vagy a USE-ra a matematikában,

És korlátlan hozzáférést kap a YouClever oktatóanyaghoz...

Egyenletrendszerként, vagy számtani összefüggésként, ill geometriai formák, vagy mindkettő kombinációja, amelynek matematikai módszerekkel történő tanulmányozása választ ad a valós világ valamely tárgyának adott tulajdonsághalmazának tulajdonságairól feltett kérdésekre, mint matematikai összefüggések, egyenletek, egyenlőtlenségek halmazára, amelyek leírják a valóságot. a vizsgált folyamatban, tárgyban vagy rendszerben rejlő főbb minták.

Az automatizált vezérlőrendszerekben matematikai modellt használnak a vezérlő működési algoritmusának meghatározására. Ez az algoritmus határozza meg, hogy a vezérlőműveletet hogyan kell megváltoztatni a master változásától függően a vezérlési cél elérése érdekében.

Modell osztályozás

A modellek formális osztályozása

A modellek formális osztályozása az alkalmazott matematikai eszközök osztályozásán alapul. Gyakran dichotómiák formájában épül fel. Például a dichotómiák egyik népszerű halmaza:

stb. Minden megszerkesztett modell lineáris vagy nemlineáris, determinisztikus vagy sztochasztikus, ... Természetesen kevert típusok is lehetségesek: egy vonatkozásban koncentráltak (paraméterek tekintetében), elosztott modellek egy másikban stb.

Osztályozás az objektum ábrázolásának módja szerint

A formális osztályozás mellett a modellek különböznek az objektum ábrázolásában:

Strukturális vagy funkcionális modellek

A tudományban felállított modell-hipotéziseket nem lehet egyszer s mindenkorra bebizonyítani, csak cáfolatukról vagy meg nem cáfolásukról lehet beszélni a kísérlet eredményeként.

Ha az első típusú modellt felépítjük, akkor ez azt jelenti, hogy ideiglenesen igaznak ismeri el, és más problémákra lehet koncentrálni. Ez azonban nem lehet kutatási pont, hanem csak átmeneti szünet: az első típusú modell állapota csak átmeneti lehet.

Fenomenológiai modell

A második típus a fenomenológiai modell ( „Úgy teszünk, mintha…”), tartalmaz egy mechanizmust a jelenség leírására, bár ez a mechanizmus nem kellően meggyőző, a rendelkezésre álló adatokkal nem igazolható kellőképpen, vagy rosszul áll összhangban a tárgyról rendelkezésre álló elméletekkel és felhalmozott ismeretekkel. Ezért a fenomenológiai modellek átmeneti megoldások státusszal rendelkeznek. Úgy gondolják, hogy a válasz még mindig ismeretlen, és folytatni kell az "igazi mechanizmusok" keresését. Peierls például az elemi részecskék kalóriamodelljét és kvark modelljét utalja a második típushoz.

A modell szerepe a kutatásban idővel változhat, előfordulhat, hogy új adatok, elméletek megerősítik a fenomenológiai modelleket, és hipotézis státuszba kerülnek. Hasonlóképpen, az új ismeretek fokozatosan konfliktusba kerülhetnek az első típusú modellekkel-hipotézisekkel, és átvihetők a másodikba. Így a kvark modell fokozatosan a hipotézisek kategóriájába kerül; Az atomizmus a fizikában átmeneti megoldásként jelent meg, de a történelem folyamán átment az első típusba. De az étermodellek az 1-es típusból a 2-es típusba kerültek, és most már kívül esnek a tudományon.

Az egyszerűsítés ötlete nagyon népszerű a modellek építésénél. De az egyszerűsítés más. Peierls háromféle egyszerűsítést különböztet meg a modellezésben.

Közelítés

A harmadik modelltípus a közelítések ( „valamit nagyon nagynak vagy nagyon kicsinek tekintenek”). Ha lehetséges a vizsgált rendszert leíró egyenleteket felállítani, az nem jelenti azt, hogy azok akár számítógép segítségével is megoldhatók. Elterjedt technika ebben az esetben a közelítések alkalmazása (3. típusú modellek). Közöttük lineáris válaszmodellek. Az egyenleteket lineárisra cseréljük. Szabványos példa- Ohm törvénye.

gondolatkísérlet

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

ahol x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) a második származékát jelenti x (\displaystyle x) idő szerint: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

A kapott egyenlet leírja a vizsgált fizikai rendszer matematikai modelljét. Ezt a mintát "harmonikus oszcillátornak" nevezik.

A formális besorolás szerint ez a modell lineáris, determinisztikus, dinamikus, koncentrált, folytonos. Kialakítása során sok olyan feltételezéssel éltünk (a külső erők hiányáról, a súrlódás hiányáról, az eltérések kicsinyességéről stb.), amelyek a valóságban nem biztos, hogy teljesülnek.

A valósághoz képest ez leggyakrabban 4-es típusú modell. egyszerűsítés(„néhány részletet kihagyunk az egyértelműség kedvéért”), mivel néhány lényeges univerzális jellemző (például a disszipáció) kimarad. Valamilyen közelítéssel (mondjuk, ha a terhelés eltérése az egyensúlytól kicsi, kis súrlódás mellett, nem túl hosszú ideig és bizonyos egyéb feltételek mellett) egy ilyen modell leírja a valós mechanikus rendszer, mivel az elvetett tényezők elhanyagolható mértékben befolyásolják viselkedését. A modell azonban finomítható néhány ilyen tényező figyelembevételével. Ez egy új modellhez vezet, szélesebb (bár ismét korlátozott) hatókörrel.

A modell finomításával azonban a matematikai vizsgálat bonyolultsága jelentősen megnőhet, és gyakorlatilag használhatatlanná teheti a modellt. Gyakran egy egyszerűbb modell jobb és mélyebb feltárást tesz lehetővé. valódi rendszer mint bonyolultabb (és formailag „helyesebb”).

Ha a harmonikus oszcillátor modellt olyan objektumokra alkalmazzuk, amelyek távol állnak a fizikától, akkor ennek értelmes állapota eltérő lehet. Például, ha ezt a modellt biológiai populációkra alkalmazzuk, akkor nagy valószínűséggel a 6-os típusnak kell tulajdonítani hasonlat(„Csak néhány jellemzőt vegyünk figyelembe”).

Kemény és puha modellek

A harmonikus oszcillátor egy példa az úgynevezett "kemény" modellre. Egy valós fizikai rendszer erős idealizálásának eredményeként kapjuk meg. A harmonikus oszcillátor tulajdonságait kis perturbációk minőségileg megváltoztatják. Például, ha egy kis kifejezést adunk a jobb oldalra − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\pont (x)))(súrlódás) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- valamilyen kis paraméter), akkor exponenciálisan csillapított oszcillációkat kapunk, ha megváltoztatjuk a kiegészítő tag előjelét (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\pont (x)))) akkor a súrlódás szivattyúzásba megy át és az oszcillációs amplitúdó exponenciálisan megnő.

A merev modell alkalmazhatóságának kérdésének megoldásához meg kell értenünk, mennyire jelentősek azok a tényezők, amelyeket figyelmen kívül hagytunk. Vizsgálni kell a merev kis perturbációjával kapott lágy modelleket. Harmonikus oszcillátor esetén ezek például a következő egyenlettel adhatók meg:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\pont (x)))).

Itt f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\pont (x))))- valamilyen funkció, amely figyelembe tudja venni a súrlódási erőt vagy a rugó merevségi együtthatójának a nyújtásának mértékétől való függését. Egy függvény kifejezett formája f (\displaystyle f) minket jelenleg nem érdekel.

Ha bebizonyítjuk, hogy egy puha modell viselkedése alapvetően nem tér el a kemény modellétől (függetlenül a zavaró tényezők explicit formájától, ha azok elég kicsik), a probléma a kemény modell vizsgálatára redukálódik. Ellenkező esetben a merev modell vizsgálata során kapott eredmények alkalmazása további kutatásokat igényel.

Ha egy rendszer megőrzi minőségi viselkedését kis zavarás esetén is, szerkezetileg stabilnak mondjuk. A harmonikus oszcillátor egy példa a szerkezetileg instabil (nem durva) rendszerre. Ez a modell azonban felhasználható a folyamatok korlátozott időintervallumon keresztüli tanulmányozására.

A modellek egyetemessége

A legfontosabb matematikai modellek általában rendelkeznek a fontos tulajdonsággal egyetemesség: alapvetően eltérő valós jelenségek írhatók le ugyanazzal a matematikai modellel. Például a harmonikus oszcillátor nemcsak a rugóra ható terhelés viselkedését írja le, hanem más, gyakran teljesen eltérő jellegű rezgési folyamatokat is: az inga kis oszcillációit, a folyadékszint ingadozását U (\displaystyle U)-alakú ér vagy az áramerősség változása az oszcillációs körben. Így egy matematikai modell tanulmányozása során egyszerre tanulmányozzuk az általa leírt jelenségek egész osztályát. A matematikai modellek által a tudományos ismeretek különböző szegmenseiben kifejezett törvényszerűségeknek ez az izomorfizmusa vezette Ludwig von Bertalanffyt egy „általános rendszerelmélet” megalkotásához.

A matematikai modellezés direkt és inverz problémái

A matematikai modellezéssel számos probléma merül fel. Először is ki kell találni a modellezett tárgy alapsémáját, reprodukálni e tudomány idealizációinak keretei között. Így a vasúti kocsi különböző anyagokból készült lemezekből és bonyolultabb karosszériákból álló rendszerré változik, minden anyag szabványos mechanikai idealizálása (sűrűség, rugalmassági modulusok, szabványos szilárdsági jellemzők) van megadva, majd az út során egyenleteket készítenek. egyes részleteket elvetnek, mint jelentékteleneket, számításokat végeznek, összehasonlítják mérésekkel, finomítják a modellt stb. A matematikai modellezési technológiák fejlesztéséhez azonban hasznos ezt a folyamatot a fő alkotóelemekre bontani.

Hagyományosan a matematikai modellekkel kapcsolatos problémáknak két fő osztálya van: a direkt és az inverz.

Közvetlen probléma: a modell felépítését és minden paraméterét ismertnek tekintjük, a fő feladat a modell tanulmányozása, hogy hasznos ismereteket nyerjünk ki az objektumról. Milyen statikus terhelést tud elviselni a híd? Hogyan reagál a dinamikus terhelésre (például egy társaság katonák felvonulására, vagy egy vonat különböző sebességű áthaladására), hogyan fogja a repülőgép leküzdeni a hangfalat, szétesik-e a csapkodástól - ezek a közvetlen feladat tipikus példái. A helyes közvetlen probléma felállítása (a helyes kérdés feltevése) különleges jártasságot igényel. Ha nem teszik fel a megfelelő kérdéseket, a híd összeomolhat, még akkor is, ha a viselkedéséhez jó modellt építettek. Így 1879-ben az Egyesült Királyságban egy fém vasúti híd omlott össze a Firth of Tay-en, amelynek tervezői hídmodellt építettek, 20-szoros biztonsági ráhagyással számolták a hasznos teherre, de megfeledkeztek a folyamatosan fújó szelekről. azokat a helyeket. És másfél év után összeomlott.

A legegyszerűbb esetben (például egy oszcillátor egyenlet) a közvetlen probléma nagyon egyszerű, és ennek az egyenletnek egy explicit megoldására redukálódik.

Inverz probléma: sok lehetséges modell létezik, választania kell konkrét modell az objektumra vonatkozó további adatok alapján. Leggyakrabban a modell szerkezete ismert, és néhány ismeretlen paramétert meg kell határozni. további információállhat további empirikus adatokból, vagy az objektumra vonatkozó követelményekből ( tervezési feladat). További adatok az inverz probléma megoldási folyamatától függetlenül jöhetnek ( passzív megfigyelés) vagy egy speciálisan a megoldás során tervezett kísérlet eredménye ( aktív megfigyelés).

Egy inverz probléma virtuóz megoldásának egyik első példája a rendelkezésre álló adatok lehető legteljesebb felhasználásával Newton módszere volt, amellyel a megfigyelt csillapított rezgésekből rekonstruálták a súrlódási erőket.

Egy másik példa a matematikai statisztika. Ennek a tudománynak a feladata a megfigyelési és kísérleti adatok rögzítésére, leírására és elemzésére szolgáló módszerek kidolgozása, tömeges véletlenszerű jelenségek valószínűségi modelljének felépítése érdekében. Vagyis a lehetséges modellek halmazát valószínűségi modellek korlátozzák. Konkrét problémák esetén a modellkészlet korlátozottabb.

Számítógépes szimulációs rendszerek

A matematikai modellezés támogatására számítógépes matematikai rendszereket fejlesztettek ki, például Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim stb. Lehetővé teszik formális és blokkmodellek létrehozását egyszerű és összetett folyamatokról és eszközökről, valamint a modell paramétereinek egyszerű megváltoztatását közben. szimuláció. Blokkmodellek blokkokkal ábrázolják (leggyakrabban grafikusan), amelyek halmazát és kapcsolatát a modelldiagram adja meg.

További példák

Malthus modell

A Malthus által javasolt modell szerint a növekedési ütem arányos az aktuális népességszámmal, azaz a differenciálegyenlet írja le:

x ˙ = α x (\displaystyle (\pont (x))=\alpha x),

ahol α (\displaystyle \alpha )- valamilyen paraméter, amelyet a születési arány és a halálozási arány különbsége határoz meg. Ennek az egyenletnek a megoldása az exponenciális függvény x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Ha a születési arány meghaladja a halálozási arányt ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), a populáció mérete korlátlan és nagyon gyorsan növekszik. A valóságban ez a korlátozott erőforrások miatt nem valósulhat meg. Egy bizonyos kritikus populációméret elérésekor a modell megszűnik megfelelőnek lenni, mivel nem veszi figyelembe a korlátozott erőforrásokat. A Malthus-modell egy finomítása szolgálhat logisztikai modellként, amelyet a Verhulst-differenciálegyenlet ír le:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\megjelenítési stílus (\pont (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\jobbra)x),

hol van az "egyensúlyi" népességnagyság, amelynél a születési arányt pontosan kompenzálja a halálozási arány. A populáció mérete egy ilyen modellben az egyensúlyi érték felé hajlik x s (\displaystyle x_(s)), és ez a viselkedés szerkezetileg stabil.

ragadozó-zsákmány rendszer

Tegyük fel, hogy egy adott területen kétféle állat él: a nyulak (növényevő) és a rókák (nyúlevő). Legyen a nyulak száma x (\displaystyle x), a rókák száma y (\displaystyle y). A Malthus modellt használva a szükséges korrekciókkal, figyelembe véve a rókák nyulak evését, a következő rendszerhez jutunk, amely a nevet viseli Modelltálcák - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(esetek)(\pont (x))=(\alpha -cy)x\\(\pont (y) ))=(-\beta +dx)y\end(esetek)))

Ennek a rendszernek a viselkedése szerkezetileg nem stabil: a modell paramétereinek kismértékű megváltoztatása (például figyelembe véve a nyulak korlátozott erőforrásigényét) minőségi viselkedésbeli változáshoz vezethet.

Egyes paraméterértékeknél ez a rendszer egyensúlyi állapotú, amikor a nyulak és rókák száma állandó. Ettől az állapottól való eltérés a nyulak és rókák számának fokozatos ingadozásához vezet.

Az ellenkező helyzet is lehetséges, amikor az egyensúlyi helyzettől való kismértékű eltérés katasztrofális következményekkel jár, akár az egyik faj teljes kipusztulását is. Arra a kérdésre, hogy ezen forgatókönyvek közül melyik valósul meg, a Volterra-Lotka modell nem ad választ: itt további kutatásra van szükség.

Lásd még

Megjegyzések

"A valóság matematikai ábrázolása" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., A kibernetikai modellezés filozófiai kérdéseiről. M., Tudás, 1964.
Szovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Rendszermodellezés: Proc. egyetemek számára - 3. kiadás, átdolgozott. és további - M.: Feljebb. iskola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Szamarszkij A.A., Mihajlov A.P. Matematikai modellezés. Ötletek. Mód. Példák. - 2. kiadás, javítva. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
Myshkis A.D., A matematikai modellek elméletének elemei. - 3. kiadás, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A. G. Technológiai folyamatok modellezése: tankönyv / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Könnyű- és élelmiszeripar, 1984. - 344 p.
Rotach V.Ya. Az automatikus vezérlés elmélete. - 1. - M. : CJSC "MPEI Publishing House", 2008. - S. 333. - 9 p. - ISBN 978-5-383-00326-8.
Modellredukciós és durva szemcsésítési megközelítések többléptékű jelenségekhez(Angol) . Springer, Complexity sorozat, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4. Letöltve: 2013. június 18. Az eredetiből archiválva: 2013. június 18..
„Egy elméletet lineárisnak vagy nemlineárisnak tekintjük, attól függően, hogy milyen - lineáris vagy nemlineáris - matematikai apparátust, milyen - lineáris vagy nemlineáris - matematikai modelleket használ. ... az utóbbi tagadása nélkül. Egy modern fizikus, ha véletlenül újradefiniálna egy ilyen fontos entitást, mint a nemlinearitást, nagy valószínűséggel másként járna el, és a nemlinearitást preferálná, mint a két ellentét közül a fontosabbat és a közösebbet, a linearitást a „nem-nem-nearitás”-ként határozná meg. linearitás". Danilov Yu. A., Előadások a nemlineáris dinamikáról. Elemi bevezetés. Szinergetika: a múltból a jövőbe sorozat. Szerk.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
„A véges számú közönséges differenciálegyenlet által modellezett dinamikus rendszereket csomós vagy pontrendszereknek nevezzük. Leírásuk véges dimenziós fázistérrel történik, és véges számú szabadsági fok jellemzi őket. Egy és ugyanaz a rendszer különböző feltételek mellett koncentráltnak vagy elosztottnak tekinthető. Az elosztott rendszerek matematikai modelljei parciális differenciálegyenletek, integrálegyenletek ill közönséges egyenletek késleltetett érveléssel. Egy elosztott rendszer szabadságfokainak száma végtelen, állapotának meghatározásához végtelen számú adatra van szükség.
Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, 11. szám, p. 77-84.
„Az S rendszerben vizsgált folyamatok természetétől függően minden modellezési típus felosztható determinisztikusra és sztochasztikusra, statikusra és dinamikusra, diszkrétre, folytonosra és diszkrét-folytonosra. A determinisztikus modellezés determinisztikus folyamatokat jelenít meg, vagyis olyan folyamatokat, amelyekben feltételezik a véletlen befolyások hiányát; A sztochasztikus modellezés valószínűségi folyamatokat és eseményeket jelenít meg. … A statikus modellezés egy objektum viselkedésének leírására szolgál bármely időpontban, míg a dinamikus modellezés egy objektum időbeli viselkedését tükrözi. A diszkrét modellezés a diszkrétnek feltételezett folyamatok leírására szolgál, illetve a folyamatos modellezés lehetővé teszi a folyamatos folyamatok tükrözését a rendszerekben, a diszkrét-folytonos modellezést pedig olyan esetekben alkalmazzuk, amikor mind a diszkrét, mind a folyamatos folyamatok jelenlétét szeretnénk kiemelni.
Szovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Rendszermodellezés: Proc. egyetemek számára - 3. kiadás, átdolgozott. és további - M.: Feljebb. iskola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Általában a matematikai modell tükrözi a modellezett objektum szerkezetét (eszközét), ezen objektum összetevőinek a vizsgálat céljaihoz nélkülözhetetlen tulajdonságait és összefüggéseit; az ilyen modellt strukturálisnak nevezzük. Ha a modell csak azt tükrözi, hogy az objektum hogyan működik - például hogyan reagál a külső hatásokra -, akkor funkcionálisnak vagy átvitt értelemben fekete doboznak nevezzük. Kombinált modellek is lehetségesek. Myshkis A.D., A matematikai modellek elméletének elemei. - 3. kiadás, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 p.