Equazioni logaritmiche. Dal semplice al complesso.

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Cos'è un'equazione logaritmica?

Questa è un'equazione con logaritmi. Sono sorpreso, vero?) Poi chiarirò. Questa è un'equazione in cui si trovano le incognite (x) e le espressioni con esse all'interno dei logaritmi. E solo lì! È importante.

Ecco alcuni esempi equazioni logaritmiche:

logaritmo 3 x = logaritmo 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

logaritmo x+1 (x2+3x-7) = 2

lg2(x+1)+10 = 11lg(x+1)

Beh, hai capito... )

Nota! Si trovano le espressioni più diverse con X esclusivamente all'interno dei logaritmi. Se, all'improvviso, appare una X da qualche parte nell'equazione al di fuori, Per esempio:

logaritmo2x = 3+x,

questa sarà già un'equazione di tipo misto. Tali equazioni non hanno regole chiare per risolverle. Non li prenderemo in considerazione per ora. A proposito, ci sono equazioni all'interno dei logaritmi solo numeri. Per esempio:

Cosa posso dire? Sei fortunato se ti imbatti in questo! Logaritmo con numeri è qualche numero.È tutto. È sufficiente conoscere le proprietà dei logaritmi per risolvere tale equazione. Conoscenza di regole speciali, tecniche adattate specificamente per la risoluzione equazioni logaritmiche, non richiesto qui.

COSÌ, cos'è un'equazione logaritmica- l'abbiamo capito.

Come risolvere le equazioni logaritmiche?

Soluzione equazioni logaritmiche- la cosa in realtà non è molto semplice. Quindi la nostra sezione è una quattro... È richiesta una discreta quantità di conoscenza su tutti i tipi di argomenti correlati. Inoltre, c'è una caratteristica speciale in queste equazioni. E questa caratteristica è così importante che può tranquillamente essere definita il problema principale nella risoluzione delle equazioni logaritmiche. Siamo con questo problema prossima lezione Esaminiamolo in dettaglio.

Per ora, non preoccuparti. Andremo nella direzione giusta dal semplice al complesso. Utilizzando esempi specifici. L'importante è approfondire le cose semplici e non essere pigro nel seguire i link, li ho messi lì per un motivo... E tutto funzionerà per te. Necessariamente.

Cominciamo con le equazioni più elementari e semplici. Per risolverli è consigliabile avere un'idea del logaritmo, ma niente di più. Non ne ho idea logaritmo, prendere una decisione logaritmico equazioni - in qualche modo anche imbarazzanti... Molto audace, direi).

Le più semplici equazioni logaritmiche.

Queste sono equazioni della forma:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. logaritmo 7 (50x-1) = 2

Processo risolutivo qualsiasi equazione logaritmica consiste nel passaggio da un'equazione con logaritmi a un'equazione senza di essi. Nelle equazioni più semplici questa transizione viene eseguita in un unico passaggio. Ecco perché sono i più semplici.)

E tali equazioni logaritmiche sono sorprendentemente facili da risolvere. Guarda tu stesso.

Risolviamo il primo esempio:

logaritmo 3 x = logaritmo 3 9

Per risolvere questo esempio, non è necessario sapere quasi nulla, sì... Pura intuizione!) Di cosa abbiamo bisogno particolarmente non ti piace questo esempio? Cosa-cosa... non mi piacciono i logaritmi! Giusto. Quindi liberiamocene. Osserviamo attentamente l'esempio e nasce in noi un desiderio naturale... Davvero irresistibile! Prendi e butta via del tutto i logaritmi. E la cosa buona è questo Potere Fare! La matematica lo consente. I logaritmi scompaiono la risposta è:

Fantastico, vero? Questo può (e dovrebbe) essere fatto sempre. Eliminare i logaritmi in questo modo è uno dei modi principali per risolvere equazioni e disuguaglianze logaritmiche. In matematica questa operazione si chiama potenziamento. Naturalmente esistono regole per tale liquidazione, ma sono poche. Ricordare:

Puoi eliminare i logaritmi senza alcun timore se hanno:

a) le stesse basi numeriche

c) i logaritmi da sinistra a destra sono puri (senza coefficienti) e sono in splendido isolamento.

Vorrei chiarire l'ultimo punto. Nell'equazione, diciamo

logaritmo 3x = 2logaritmo 3 (3x-1)

I logaritmi non possono essere rimossi. I due a destra non lo permettono. Il coefficiente, sai... Nell'esempio

log3x+log3 (x+1) = log3 (3+x)

È anche impossibile potenziare l’equazione. Non c'è un unico logaritmo sul lato sinistro. Ce ne sono due.

In breve, puoi rimuovere i logaritmi se l'equazione è così e solo così:

log a (.....) = log a (.....)

Tra parentesi, dove ci sono i puntini di sospensione, potrebbe esserci eventuali espressioni. Semplici, supercomplessi, di tutti i tipi. Qualunque cosa. La cosa importante è che, dopo aver eliminato i logaritmi, ci ritroviamo equazione più semplice. Si presuppone, ovviamente, che tu sappia già come risolvere equazioni lineari, quadratiche, frazionarie, esponenziali e altre equazioni senza logaritmi.)

Ora puoi risolvere facilmente il secondo esempio:

logaritmo 7 (2x-3) = logaritmo 7 x

In realtà, è deciso nella mente. Potenziamo, otteniamo:

Beh, è ​​molto difficile?) Come puoi vedere, logaritmico parte della soluzione dell'equazione è solo eliminando i logaritmi... E poi arriva la soluzione dell'equazione rimanente senza di loro. Una questione banale.

Risolviamo il terzo esempio:

log7 (50x-1) = 2

Vediamo che c'è un logaritmo a sinistra:

Ricordiamo che questo logaritmo è un numero a cui bisogna elevare la base (cioè sette) per ottenere un'espressione sublogaritmica, cioè (50x-1).

Ma questo numero è due! Secondo l'Eq. Questo è:

Questo è praticamente tutto. Logaritmo scomparso, Ciò che rimane è un’equazione innocua:

Abbiamo risolto questa equazione logaritmica basandoci solo sul significato del logaritmo. È ancora più semplice eliminare i logaritmi?) Sono d'accordo. A proposito, se crei un logaritmo da due, puoi risolvere questo esempio attraverso l'eliminazione. Qualsiasi numero può essere trasformato in un logaritmo. Inoltre, il modo in cui ne abbiamo bisogno. Una tecnica molto utile per risolvere equazioni logaritmiche e (soprattutto!) disuguaglianze.

Non sai come creare un logaritmo da un numero!? Va bene. La sezione 555 descrive questa tecnica in dettaglio. Puoi padroneggiarlo e usarlo al meglio! Riduce notevolmente il numero di errori.

La quarta equazione si risolve in modo del tutto simile (per definizione):

Questo è tutto.

Riassumiamo questa lezione. Abbiamo esaminato la soluzione delle equazioni logaritmiche più semplici utilizzando esempi. È molto importante. E non solo perché tali equazioni compaiono nei test e negli esami. Il fatto è che anche le equazioni più malvagie e complicate sono necessariamente ridotte alle più semplici!

In realtà, le equazioni più semplici sono la parte finale della soluzione Qualunque equazioni. E questa parte finale deve essere intesa rigorosamente! E inoltre. Assicurati di leggere questa pagina fino alla fine. C'è una sorpresa lì...)

Ora decidiamo da soli. Miglioriamo, per così dire...)

Trova la radice (o la somma delle radici, se ce ne sono più) delle equazioni:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

logaritmo 16 (0,5x-1,5) = 0,25

logaritmo 0,2 (3x-1) = -3

ln(e2+2x-3) = 2

logaritmo 2 (14x) = logaritmo 2 7 + 2

Risposte (allo sbando, ovviamente): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Cosa, non tutto funziona? Accade. Non preoccuparti! La sezione 555 spiega la soluzione di tutti questi esempi in modo chiaro e dettagliato. Lo capirai sicuramente lì fuori. Imparerai anche utili tecniche pratiche.

Tutto ha funzionato!? Tutti gli esempi di “uno rimasto”?) Congratulazioni!

È giunto il momento di rivelarti l'amara verità. La risoluzione riuscita di questi esempi non garantisce il successo nella risoluzione di tutte le altre equazioni logaritmiche. Anche quelli più semplici come questi. Ahimè.

Il fatto è che la soluzione di qualsiasi equazione logaritmica (anche la più elementare!) consiste in due parti uguali. Risolvere l'equazione e lavorare con ODZ. Abbiamo imparato una parte: risolvere l'equazione stessa. Non è così difficile Giusto?

Per questa lezione ho selezionato appositamente esempi in cui DL non influenza in alcun modo la risposta. Ma non tutti sono gentili come me, vero?...)

Pertanto, è imperativo padroneggiare l'altra parte. ODZ. Questo è il problema principale nella risoluzione delle equazioni logaritmiche. E non perché sia ​​difficile: questa parte è ancora più semplice della prima. Ma perché le persone semplicemente si dimenticano di ODZ. Oppure non lo sanno. O entrambi). E cadono all'improvviso...

Nella prossima lezione affronteremo questo problema. Quindi puoi decidere con sicurezza Qualunque semplici equazioni logaritmiche e si avvicinano a compiti abbastanza solidi.

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Come sai, quando si moltiplicano le espressioni per potenze, i loro esponenti si sommano sempre (a b *a c = a b+c). Questa legge matematica fu derivata da Archimede e più tardi, nell'VIII secolo, il matematico Virasen creò una tabella di esponenti interi. Sono stati loro a servire all'ulteriore scoperta dei logaritmi. Esempi di utilizzo di questa funzione possono essere trovati quasi ovunque sia necessario semplificare moltiplicazioni complesse mediante semplici addizioni. Se dedichi 10 minuti a leggere questo articolo, ti spiegheremo cosa sono i logaritmi e come lavorare con essi. In un linguaggio semplice e accessibile.

Definizione in matematica

Un logaritmo è un'espressione della seguente forma: log a b=c, cioè il logaritmo di qualsiasi numero non negativo(cioè qualsiasi positivo) “b” per la sua base “a” è considerata la potenza di “c” alla quale deve essere elevata la base “a” per ottenere alla fine il valore “b”. Analizziamo il logaritmo usando esempi, diciamo che c'è un'espressione log 2 8. Come trovare la risposta? È molto semplice, devi trovare una potenza tale che da 2 alla potenza richiesta ottieni 8. Dopo aver fatto alcuni calcoli a mente, otteniamo il numero 3! E questo è vero, perché 2 elevato a 3 dà la risposta come 8.

Tipi di logaritmi

Per molti alunni e studenti questo argomento sembra complicato e incomprensibile, ma in realtà i logaritmi non sono così spaventosi, l'importante è comprenderne il significato generale e ricordare le loro proprietà e alcune regole. Esistono tre tipi distinti di espressioni logaritmiche:

1. Logaritmo naturale ln a, dove la base è il numero di Eulero (e = 2,7).
2. Decimale a, dove la base è 10.
3. Logaritmo di qualsiasi numero b in base a>1.

Ciascuno di essi viene risolto in modo standard, inclusa la semplificazione, la riduzione e la successiva riduzione a un singolo logaritmo utilizzando teoremi logaritmici. Per ottenere i valori corretti dei logaritmi, dovresti ricordare le loro proprietà e la sequenza di azioni durante la loro risoluzione.

Regole e alcune restrizioni

In matematica esistono diverse regole-vincoli che vengono accettate come assiomi, cioè non sono oggetto di discussione e sono la verità. Ad esempio, è impossibile dividere i numeri per zero, ed è anche impossibile estrarre la radice pari dei numeri negativi. Anche i logaritmi hanno le loro regole, seguendo le quali puoi facilmente imparare a lavorare anche con espressioni logaritmiche lunghe e capienti:

• La base “a” deve essere sempre maggiore di zero, e non uguale a 1, altrimenti l'espressione perde di significato, perché “1” e “0” in qualunque misura sono sempre uguali ai loro valori;
• se a > 0, allora a b >0, risulta che anche “c” deve essere maggiore di zero.

Come risolvere i logaritmi?

Ad esempio, viene assegnato il compito di trovare la risposta all'equazione 10 x = 100. Questo è molto semplice, devi scegliere una potenza elevando il numero dieci a cui otteniamo 100. Questo, ovviamente, è 10 2 = 100.

Ora rappresentiamo questa espressione in forma logaritmica. Otteniamo log 10 100 = 2. Quando si risolvono i logaritmi, tutte le azioni praticamente convergono per trovare la potenza alla quale è necessario introdurre la base del logaritmo per ottenere dato numero.

Per determinare con precisione il valore di un grado sconosciuto, devi imparare come lavorare con una tabella dei gradi. Sembra questo:

Come puoi vedere, alcuni esponenti possono essere indovinati intuitivamente se hai una mente tecnica e conoscenza della tavola pitagorica. Tuttavia per grandi valori avrai bisogno di una tabella dei gradi. Può essere utilizzato anche da chi non sa nulla di argomenti matematici complessi. La colonna di sinistra contiene numeri (base a), la riga superiore di numeri è il valore della potenza c a cui viene elevato il numero a. All'intersezione, le celle contengono i valori numerici che costituiscono la risposta (a c = b). Prendiamo, ad esempio, la prima cella con il numero 10 e la eleviamo al quadrato, otteniamo il valore 100, che è indicato all'intersezione delle nostre due celle. Tutto è così semplice e facile che anche il più vero umanista capirà!

Equazioni e disuguaglianze

Si scopre che in determinate condizioni l'esponente è il logaritmo. Pertanto, qualsiasi espressione numerica matematica può essere scritta come un'uguaglianza logaritmica. Ad esempio, 3 4 =81 può essere scritto come il logaritmo in base 3 di 81 uguale a quattro (log 3 81 = 4). Per poteri negativi le regole sono le stesse: 2 -5 = 1/32 lo scriviamo come logaritmo, otteniamo log 2 (1/32) = -5. Una delle sezioni più affascinanti della matematica è il tema dei “logaritmi”. Di seguito esamineremo esempi e soluzioni di equazioni, subito dopo aver studiato le loro proprietà. Ora diamo un'occhiata a come appaiono le disuguaglianze e come distinguerle dalle equazioni.

È data la seguente espressione: log 2 (x-1) > 3 - è una disuguaglianza logaritmica, poiché il valore sconosciuto “x” è sotto il segno logaritmico. E anche nell'espressione si confrontano due quantità: il logaritmo del numero desiderato in base due è maggiore del numero tre.

La differenza più importante tra equazioni e disuguaglianze logaritmiche è che le equazioni con logaritmi (ad esempio, il logaritmo 2 x = √9) implicano uno o più valori numerici specifici nella risposta, mentre quando si risolve una disuguaglianza, sia l'intervallo di accettabilità i valori​​e i punti vengono determinati interrompendo questa funzione. Di conseguenza, la risposta non è un semplice insieme di singoli numeri, come nella risposta a un'equazione, ma una serie o insieme continuo di numeri.

Teoremi fondamentali sui logaritmi

Quando si risolvono compiti primitivi per trovare i valori del logaritmo, le sue proprietà potrebbero non essere note. Tuttavia, quando si tratta di equazioni o disequazioni logaritmiche, prima di tutto è necessario comprendere chiaramente e applicare nella pratica tutte le proprietà di base dei logaritmi. In seguito esamineremo esempi di equazioni; esaminiamo prima ciascuna proprietà in modo più dettagliato.

1. L'identità principale assomiglia a questa: a logaB =B. Si applica solo quando a è maggiore di 0, non uguale a uno, e B è maggiore di zero.
2. Il logaritmo del prodotto può essere rappresentato in la seguente formula: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. In questo caso la condizione obbligatoria è: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Puoi dare una dimostrazione di questa formula logaritmica, con esempi e soluzioni. Sia log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2, quindi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otteniamo che s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietà di gradi ), e quindi per definizione: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, che è ciò che doveva essere dimostrato.
3. Il logaritmo del quoziente è simile a questo: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Il teorema sotto forma di formula assume la seguente forma: log a q b n = n/q log a b.

Questa formula è chiamata “proprietà del grado del logaritmo”. Assomiglia alle proprietà dei gradi ordinari e non è sorprendente, perché tutta la matematica si basa su postulati naturali. Diamo un'occhiata alla prova.

Sia log a b = t, risulta a t = b. Se eleviamo entrambe le parti alla potenza m: a tn = b n ;

ma poiché a tn = (a q) nt/q = b n, quindi log a q b n = (n*t)/t, allora log a q b n = n/q log a b. Il teorema è stato dimostrato.

Esempi di problemi e disuguaglianze

I tipi più comuni di problemi sui logaritmi sono esempi di equazioni e disequazioni. Si trovano in quasi tutti i libri di problemi e sono anche una parte obbligatoria degli esami di matematica. Per l'ammissione all'università o il superamento esami di ammissione in matematica devi sapere come risolvere correttamente tali problemi.

Sfortunatamente, non esiste un unico piano o schema per risolvere e determinare il valore sconosciuto del logaritmo, ma alcune regole possono essere applicate a ciascuna disuguaglianza matematica o equazione logaritmica. Prima di tutto dovresti scoprire se l'espressione può essere semplificata o riconducibile a qualcosa aspetto generale. Puoi semplificare le espressioni logaritmiche lunghe se utilizzi correttamente le loro proprietà. Conosciamoli velocemente.

Quando risolviamo equazioni logaritmiche, dobbiamo determinare quale tipo di logaritmo abbiamo: un'espressione di esempio può contenere un logaritmo naturale o decimale.

Ecco gli esempi ln100, ln1026. La loro soluzione si riduce al fatto che devono determinare la potenza alla quale la base 10 sarà uguale a 100 e 1026, rispettivamente. Per risolvere i logaritmi naturali, è necessario applicare le identità logaritmiche o le loro proprietà. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di problemi logaritmici di vario tipo.

Come utilizzare le formule dei logaritmi: con esempi e soluzioni

Quindi, diamo un'occhiata agli esempi di utilizzo dei teoremi di base sui logaritmi.

1. La proprietà del logaritmo di un prodotto può essere utilizzata in attività in cui è necessario espandersi Grande importanza i numeri b in fattori più semplici. Ad esempio, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La risposta è 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - come puoi vedere, utilizzando la quarta proprietà della potenza del logaritmo, siamo riusciti a risolvere un'espressione apparentemente complessa e irrisolvibile. Devi solo fattorizzare la base e poi togliere i valori dell'esponente dal segno del logaritmo.

Compiti dell'Esame di Stato Unificato

I logaritmi si trovano spesso negli esami di ammissione, in particolare molti problemi logaritmici nell'Esame di Stato Unificato ( Esame di stato per tutti i diplomati). In genere, questi compiti sono presenti non solo nella parte A (la parte più semplice dell'esame), ma anche nella parte C (i compiti più complessi e voluminosi). L'esame richiede una conoscenza accurata e perfetta dell'argomento “Logaritmi naturali”.

Esempi e soluzioni ai problemi sono presi dal funzionario Opzioni dell'Esame di Stato Unificato. Vediamo come vengono risolti tali compiti.

Dato log 2 (2x-1) = 4. Soluzione:
riscriviamo l'espressione semplificandola un po' log 2 (2x-1) = 2 2, per definizione del logaritmo otteniamo che 2x-1 = 2 4, quindi 2x = 17; x = 8,5.

• È meglio ridurre tutti i logaritmi alla stessa base in modo che la soluzione non sia complicata e confusa.
• Tutte le espressioni sotto il segno del logaritmo sono indicate come positive, quindi, quando l'esponente di un'espressione che è sotto il segno del logaritmo e la cui base viene tolta come moltiplicatore, l'espressione che rimane sotto il logaritmo deve essere positiva.

Equazione logaritmicaè un'equazione in cui l'incognita (x) e le espressioni con essa sono sotto il segno funzione logaritmica. Per risolvere equazioni logaritmiche si presuppone che tu abbia già familiarità con e .
Come risolvere le equazioni logaritmiche?

L'equazione più semplice è logaritmo a x = b, dove aeb sono alcuni numeri, x è un'incognita.
Risoluzione di un'equazione logaritmicaè x = a b purché: a > 0, a 1.

Va notato che se x è da qualche parte al di fuori del logaritmo, ad esempio log 2 x = x-2, allora tale equazione è già chiamata mista e per risolverla è necessario un approccio speciale.

Il caso ideale è quando ci si imbatte in un'equazione in cui sotto il segno dei logaritmi ci sono solo numeri, ad esempio x+2 = log 2 2. Qui basta conoscere le proprietà dei logaritmi per risolverla. Ma tale fortuna non capita spesso, quindi preparati per cose più difficili.

Ma prima, cominciamo con semplici equazioni. Per risolverli è consigliabile avere una conoscenza molto generale del logaritmo.

Risoluzione di semplici equazioni logaritmiche

Queste includono equazioni del tipo log 2 x = log 2 16. Ad occhio nudo si può vedere che omettendo il segno del logaritmo si ottiene x = 16.

Per risolvere un'equazione logaritmica più complessa, di solito ci si riduce a risolvere un'equazione algebrica ordinaria o a risolvere una semplice equazione logaritmica log a x = b. Nelle equazioni più semplici ciò avviene in un unico movimento, motivo per cui sono dette le più semplici.

Il metodo sopra descritto per eliminare i logaritmi è uno dei modi principali per risolvere equazioni e disuguaglianze logaritmiche. In matematica questa operazione si chiama potenziamento. Esistono alcune regole o restrizioni per questo tipo di operazione:

• i logaritmi hanno le stesse basi numeriche
• I logaritmi in entrambi i membri dell'equazione sono liberi, cioè senza coefficienti o altre espressioni di vario genere.

Diciamo che nell'equazione log 2 x = 2log 2 (1 - x) il potenziamento non è applicabile - il coefficiente 2 a destra non lo consente. Nell'esempio seguente, anche log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) non soddisfa una delle restrizioni: ci sono due logaritmi a sinistra. Se ce ne fosse solo uno, sarebbe una questione completamente diversa!

In generale, puoi rimuovere i logaritmi solo se l'equazione ha la forma:

log a (...) = log a (...)

È possibile inserire tra parentesi qualsiasi espressione; ciò non ha alcun effetto sull'operazione di potenziamento. E dopo aver eliminato i logaritmi, rimarrà un'equazione più semplice: lineare, quadratica, esponenziale, ecc., Che, spero, tu sappia già come risolvere.

Facciamo un altro esempio:

logaritmo 3 (2x-5) = logaritmo 3 x

Applichiamo il potenziamento, otteniamo:

logaritmo 3 (2x-1) = 2

Basato sulla definizione di logaritmo, cioè che un logaritmo è il numero a cui bisogna elevare la base per ottenere un'espressione che sia sotto il segno del logaritmo, cioè (4x-1), otteniamo:

Ancora una volta abbiamo ricevuto una bellissima risposta. Qui abbiamo fatto senza eliminare i logaritmi, ma qui è applicabile anche il potenziamento, perché da qualsiasi numero si può ricavare un logaritmo, ed è esattamente quello di cui abbiamo bisogno. Questo metodo è molto utile per risolvere equazioni logaritmiche e soprattutto disuguaglianze.

Risolviamo la nostra equazione logaritmica log 3 (2x-1) = 2 utilizzando il potenziamento:

Immaginiamo il numero 2 come un logaritmo, ad esempio questo log 3 9, perché 3 2 =9.

Quindi log 3 (2x-1) = log 3 9 e di nuovo otteniamo la stessa equazione 2x-1 = 9. Spero che sia tutto chiaro.

Quindi abbiamo visto come risolvere le equazioni logaritmiche più semplici, che in realtà sono molto importanti, perché Risoluzione di equazioni logaritmiche, anche quelli più terribili e contorti, alla fine si riduce sempre a risolvere le equazioni più semplici.

In tutto quello che abbiamo fatto sopra, abbiamo perso di vista un punto molto importante, che giocherà un ruolo decisivo in futuro. Il fatto è che la soluzione di qualsiasi equazione logaritmica, anche la più elementare, è composta da due parti uguali. Il primo è la soluzione dell'equazione stessa, il secondo funziona con l'intervallo di valori consentiti (APV). Questa è esattamente la prima parte che abbiamo imparato. Negli esempi precedenti, ODZ non influisce in alcun modo sulla risposta, quindi non l'abbiamo considerato.

Facciamo un altro esempio:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Esternamente, questa equazione non è diversa da quella elementare, che può essere risolta con molto successo. Ma non è così. No, certo che lo risolveremo, ma molto probabilmente in modo errato, perché contiene una piccola imboscata, nella quale cadono immediatamente sia gli studenti di grado C che gli studenti eccellenti. Diamo uno sguardo più da vicino.

Diciamo che devi trovare la radice dell'equazione o la somma delle radici, se ce ne sono diverse:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Usiamo il potenziamento, qui è accettabile. Di conseguenza, otteniamo il solito equazione quadrata.

Trovare le radici dell'equazione:

Si sono rivelate due radici.

Risposta: 3 e -1

A prima vista è tutto corretto. Ma controlliamo il risultato e sostituiamolo nell'equazione originale.

Cominciamo con x 1 = 3:

ceppo 3 6 = ceppo 3 6

Il controllo ha avuto esito positivo, ora la coda è x 2 = -1:

logaritmo 3 (-2) = logaritmo 3 (-2)

Ok, fermati! All'esterno è tutto perfetto. Una cosa: non esistono logaritmi di numeri negativi! Ciò significa che la radice x = -1 non è adatta per risolvere la nostra equazione. E quindi la risposta corretta sarà 3, non 2, come abbiamo scritto.

È qui che l'ODZ ha giocato il suo ruolo fatale, di cui ci eravamo dimenticati.

Permettimi di ricordarti che l'intervallo di valori accettabili include i valori di x consentiti o che hanno senso per l'esempio originale.

Senza ODZ, qualsiasi soluzione, anche assolutamente corretta, di qualsiasi equazione si trasforma in una lotteria: 50/50.

Come potremmo essere sorpresi a risolvere un esempio apparentemente elementare? Ma proprio nel momento del potenziamento. I logaritmi sono scomparsi e con essi tutte le restrizioni.

Cosa fare in questo caso? Rifiutarsi di eliminare i logaritmi? E rifiutarsi completamente di risolvere questa equazione?

No, siamo proprio dei veri eroi da uno famosa canzone, facciamo una deviazione!

Prima di iniziare a risolvere qualsiasi equazione logaritmica, annoteremo l'ODZ. Ma dopo potrai fare tutto ciò che il tuo cuore desidera con la nostra equazione. Dopo aver ricevuto la risposta, eliminiamo semplicemente quelle radici che non sono incluse nel nostro ODZ e scriviamo la versione finale.

Ora decidiamo come registrare ODZ. Per fare ciò, esaminiamo attentamente l'equazione originale e cerchiamo punti sospetti al suo interno, come la divisione per x, la radice pari, ecc. Finché non abbiamo risolto l'equazione, non sappiamo a cosa è uguale x, ma sappiamo per certo che quegli x che, sostituiti, danno la divisione per 0 o la radice quadrata di un numero negativo, ovviamente non sono adatti come risposta . Pertanto tali x non sono accettabili, mentre il resto costituirà ODZ.

Usiamo di nuovo la stessa equazione:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Come puoi vedere, non c'è divisione per 0, radici quadrate inoltre no, ma ci sono espressioni con x nel corpo del logaritmo. Ricordiamo subito che l'espressione all'interno del logaritmo deve essere sempre >0. Scriviamo questa condizione sotto forma di ODZ:

Quelli. Non abbiamo ancora risolto nulla, ma abbiamo già scritto una condizione obbligatoria per l’intera espressione sublogaritmica. La parentesi graffa significa che queste condizioni devono essere vere contemporaneamente.

L’ODZ viene svalutato, ma è necessario anche risolvere il sistema di disuguaglianze che ne deriva, ed è ciò che faremo. Otteniamo la risposta x > v3. Ora sappiamo con certezza quale x non ci va bene. E poi iniziamo a risolvere l'equazione logaritmica stessa, che è quello che abbiamo fatto sopra.

Avendo ricevuto le risposte x 1 = 3 e x 2 = -1, è facile vedere che solo x1 = 3 ci va bene e lo scriviamo come risposta finale.

Per il futuro, è molto importante ricordare quanto segue: risolviamo qualsiasi equazione logaritmica in 2 fasi. Il primo è risolvere l'equazione stessa, il secondo è risolvere la condizione ODZ. Entrambe le fasi vengono eseguite indipendentemente l'una dall'altra e vengono confrontate solo durante la scrittura della risposta, ad es. scarta tutto ciò che non è necessario e scrivi la risposta corretta.

Per rafforzare il materiale, consigliamo vivamente di guardare il video:

Il video mostra altri esempi di risoluzione dei log. equazioni e mettere in pratica il metodo degli intervalli.

A questa domanda, come risolvere equazioni logaritmicheÈ tutto per ora. Se qualcosa viene deciso dal log. le equazioni rimangono poco chiare o incomprensibili, scrivete le vostre domande nei commenti.

Nota: l'Accademia di Educazione Sociale (ASE) è pronta ad accettare nuovi studenti.

Come risolvere un'equazione logaritmica? Questa domanda viene posta da molti scolari, soprattutto alla vigilia superamento dell'Esame di Stato Unificato matematica. Dopotutto, nell'attività C1 del profilo Unified State Examination, si possono incontrare equazioni logaritmiche.

Un'equazione in cui l'incognita è interna ai logaritmi è detta logaritmica. Inoltre l'incognita si trova sia nell'argomento del logaritmo che nella sua base.

Esistono diversi modi per risolvere tali equazioni. In questo articolo vedremo un metodo facile da capire e ricordare.

Come risolvere le equazioni con i logaritmi: 2 metodi con esempi

Esistono diversi modi per risolvere un'equazione logaritmica. Molto spesso a scuola insegnano come risolvere un'equazione logaritmica utilizzando la definizione di logaritmo. Abbiamo cioè un'equazione della forma: Ricordiamo la definizione di logaritmo e otteniamo quanto segue: Otteniamo quindi una semplice equazione che possiamo facilmente risolvere.

Quando si risolvono equazioni logaritmiche, è importante ricordare il dominio di definizione del logaritmo, perché l'argomento f(x) deve essere maggiore di zero. Ecco perché controlliamo sempre dopo aver risolto un'equazione logaritmica!

Vediamo come funziona con un esempio:

Usiamo la definizione di logaritmo e otteniamo:

Ora abbiamo davanti a noi l'equazione più semplice, che non è difficile da risolvere:

Facciamo un controllo. Sostituiamo la X trovata nell'equazione originale: Poiché 3 2 = 9, l'ultima espressione è corretta. Pertanto, x = 3 è la radice dell'equazione.

Risposta: x = 3

Principale svantaggio questo metodo risolvere equazioni logaritmiche è che molti ragazzi confondono cosa esattamente debba essere elevato a una potenza. Cioè, quando si converte log a f(x) = b, molti non elevano a alla potenza di b, ma piuttosto b alla potenza di a. Un errore così fastidioso può privarti di punti preziosi all'Esame di Stato Unificato.

Pertanto, mostreremo un altro modo per risolvere le equazioni logaritmiche.

Per risolvere un'equazione logaritmica, dobbiamo portarla a una forma in cui sia il lato destro che quello sinistro dell'equazione hanno logaritmi con le stesse basi. Sembra questo:

Una volta ridotta l'equazione a questa forma, possiamo “cancellare” i logaritmi e risolvere la semplice equazione. Capiamolo con un esempio.

Risolviamo di nuovo la stessa equazione, ma ora in questo modo: Sul lato sinistro abbiamo un logaritmo in base 2. Pertanto, dobbiamo trasformare il lato destro del logaritmo in modo che contenga anche un logaritmo in base 2.

Per fare ciò, ricorda le proprietà dei logaritmi. La prima proprietà di cui abbiamo bisogno qui è l'unità logaritmica. Ricordiamogli: Cioè, nel nostro caso: prendiamo il lato destro della nostra equazione e iniziamo a trasformarlo: Ora dobbiamo inserire anche 2 nell'espressione logaritmica. Per fare ciò, ricordiamo un'altra proprietà del logaritmo:

Usiamo questa proprietà nel nostro caso, otteniamo: Abbiamo trasformato il lato destro della nostra equazione nella forma che ci serviva e abbiamo ottenuto: Ora sui lati sinistro e destro dell'equazione abbiamo i logaritmi con le stesse basi, quindi possiamo cancellarli. Di conseguenza, otteniamo la seguente equazione:

Risposta: x = 3

Sì, ci sono più passaggi in questo metodo rispetto a quando si risolve utilizzando la definizione di logaritmo. Ma tutte le azioni sono logiche e coerenti, per cui ci sono meno possibilità di commettere errori. Inoltre, questo metodo offre maggiori opportunità per risolvere equazioni logaritmiche più complesse.

Diamo un'occhiata a un altro esempio: Quindi, come nell'esempio precedente, applichiamo le proprietà dei logaritmi e trasformiamo il lato destro dell'equazione come segue: Dopo aver trasformato il lato destro, la nostra equazione assume la seguente forma: Ora possiamo cancellare i logaritmi e otteniamo: Ricordiamo le proprietà dei gradi:

Adesso controlliamo: allora l'ultima espressione è corretta. Pertanto, x = 3 è la radice dell'equazione.

Risposta: x = 3

Un altro esempio di risoluzione di un'equazione logaritmica: trasformiamo prima il lato sinistro della nostra equazione. Qui vediamo la somma dei logaritmi con le stesse basi. Usiamo la proprietà della somma dei logaritmi e otteniamo: Ora trasformiamo il lato destro dell'equazione: Dopo aver trasformato i lati destro e sinistro dell'equazione, otteniamo: Ora possiamo cancellare i logaritmi:

Risolviamo questa equazione quadratica e troviamo il discriminante:

Controlliamo, sostituiamo x 1 = 1 nell'equazione originale: È vero, quindi x 1 = 1 è la radice dell'equazione.

Ora sostituiamo x 2 = -5 nell'equazione originale: Poiché l'argomento del logaritmo deve essere positivo, l'espressione non è vera. Pertanto x 2 = -5 è una radice estranea.

Risposta: x = 1

Un esempio di risoluzione di un'equazione logaritmica con basi diverse

Sopra, abbiamo risolto equazioni logaritmiche che coinvolgevano logaritmi con le stesse basi. Ma cosa fare se i logaritmi hanno basi diverse? Per esempio,

Esatto, devi portare i logaritmi sui lati destro e sinistro sulla stessa base!

Quindi diamo un'occhiata al nostro esempio: Trasformiamo il lato destro della nostra equazione:

Sappiamo che 1/3 = 3 -1. Conosciamo anche la proprietà del logaritmo, cioè la rimozione dell'esponente dal logaritmo: Applichiamo questa conoscenza e otteniamo: Ma finché abbiamo un segno “-” davanti al logaritmo sul lato destro dell’equazione, non abbiamo il diritto di cancellarli. È necessario inserire il segno “-” nell'espressione logaritmica. Per fare ciò, utilizzeremo un'altra proprietà del logaritmo:

Quindi otteniamo: Ora sui lati destro e sinistro dell'equazione abbiamo i logaritmi con le stesse basi e possiamo cancellarli: Controlliamo: Se trasformiamo il secondo membro sfruttando le proprietà del logaritmo, otteniamo: Vero, quindi x = 4 è la radice dell'equazione.

Risposta: x = 4.

Un esempio di risoluzione di un'equazione logaritmica con basi variabili

Sopra abbiamo visto esempi di risoluzione di equazioni logaritmiche le cui basi erano costanti, cioè un certo valore– 2, 3, ½... Ma la base del logaritmo può contenere X, allora tale base si chiamerà variabile. Ad esempio, log x +1 (x 2 +5x-5) = 2. Vediamo che la base del logaritmo in questa equazione è x+1. Come risolvere un'equazione di questo tipo? Lo risolveremo secondo lo stesso principio dei precedenti. Quelli. trasformeremo la nostra equazione in modo che a sinistra e a destra ci siano logaritmi con la stessa base. Trasformiamo il lato destro dell'equazione: Ora il logaritmo sul lato destro dell'equazione ha la stessa base del logaritmo sul lato sinistro: Ora possiamo cancellare i logaritmi: Ma data equazione non è equivalente all'equazione originale, poiché il dominio di definizione non viene preso in considerazione. Scriviamo tutti i requisiti relativi al logaritmo:

1. L'argomento logaritmo deve essere maggiore di zero, quindi:

2. La base del logaritmo deve essere maggiore di 0 e non deve essere uguale a uno, quindi:

Mettiamo tutti i requisiti nel sistema:

Possiamo semplificare questo sistema di requisiti. Vedi x 2 +5x-5 è maggiore di zero, ed è uguale a (x + 1) 2, che a sua volta è anch'esso maggiore di zero. Di conseguenza, il requisito x 2 + 5x-5 > 0 è soddisfatto automaticamente e non dobbiamo risolverlo. Quindi il nostro sistema sarà ridotto al seguente: Riscriviamo il nostro sistema: Pertanto il nostro sistema assumerà la seguente forma: Ora risolviamo la nostra equazione: A destra abbiamo il quadrato della somma: Questa radice soddisfa le nostre esigenze, poiché 2 è maggiore di -1 e non uguale a 0. Pertanto, x = 2 è la radice della nostra equazione.

Per essere completamente sicuri, possiamo verificare sostituendo x = 2 nell'equazione originale:

Perché 3 2 =9, allora l'ultima espressione è corretta.

Risposta: x = 2

Come controllare

Ancora una volta attiriamo la vostra attenzione sul fatto che quando si risolvono equazioni logaritmiche è necessario tenere conto dell'intervallo di valori accettabili. Pertanto la base del logaritmo deve essere maggiore di zero e non uguale a uno. E la sua argomentazione deve essere positiva, cioè più di zero.

Se la nostra equazione ha la forma log a (f(x)) = log a (g(x)), devono essere soddisfatte le seguenti restrizioni:

Dopo aver risolto un'equazione logaritmica, devi fare un controllo. Per fare ciò, è necessario sostituire il valore risultante nell'equazione originale e calcolarlo. Ciò richiederà un po' di tempo, ma ti consentirà di evitare di scrivere radici estranee nella risposta. È un vero peccato risolvere correttamente un’equazione e allo stesso tempo scrivere la risposta in modo errato!

Quindi ora sai come risolvere un'equazione logaritmica utilizzando la definizione di logaritmo e trasformando l'equazione quando entrambi i lati hanno logaritmi con le stesse basi, che possiamo "cancellare". Un'ottima conoscenza delle proprietà del logaritmo, tenendo conto del dominio di definizione e l'esecuzione della verifica è la chiave del successo nella risoluzione di equazioni logaritmiche.

1. La soluzione è standard: usiamola regola della moltiplicazione per 1:

Ora rimuoviamo i logaritmi:

Moltiplichiamo trasversalmente:

Visita medica

Si adatta!

Visita medica

E si adatta qui! Forse mi sbagliavo e le radici sono sempre adatte? Diamo un'occhiata al prossimo esempio!

Esempio n.2

Rappresentiamo la tripla utilizzando il nostro metodo preferito nella forma

A sinistra e a destra useremo la formula per la somma dei logaritmi.

Esempio n.3

La soluzione è simile all'esempio discusso in precedenza: trasformiamo l'unità a destra in (lascia che te lo ricordi: un logaritmo decimale o un logaritmo in base) ed eseguiamo operazioni tra i logaritmi a sinistra e a destra:

Ora rimuoviamo i logaritmi a sinistra e a destra:

\sinistra((x) -2 \destra)\sinistra((x) -3 \destra)=2

Visita medica:

Ancora una volta, entrambi i logaritmi a sinistra non sono definiti, poiché sono presi da numeri negativi. Allora non è una radice.

da allora

Risposta:

Spero che gli esempi appena forniti ti dissuaderanno per sempre dal saltare i controlli durante la risoluzione delle equazioni logaritmiche. È necessario!

Equazione logaritmica a base variabile

Ora vorrei esaminare con te un altro tipo di equazioni logaritmiche (leggermente più complesse). Questi saranno equazioni a base variabile.

Prima di ciò abbiamo considerato solo i casi in cui le basi erano costanti: ecc. Ma nulla vieta che siano alcune funzioni di, ad esempio, ecc.

Ma non aver paura! Se, quando si risolvono le disuguaglianze logaritmiche, una base variabile causa parecchi inconvenienti, allora Ciò non ha praticamente alcun effetto sulla complessità della risoluzione dell'equazione! Giudica tu stesso:

Esempio n. 1

Procediamo come prima: applichiamo il metodo “moltiplica per uno” al numero:

Quindi l'equazione originale viene trasformata nella forma:

Farò domanda formula della differenza quadrata:

Visita medica:

Quale conclusione traiamo? Sbagliato! Il numero non è la radice dell'equazione perché la base del logaritmo non può essere un numero negativo o uguale a uno!

Risposta: .

Come puoi vedere, nel caso delle equazioni non c'è differenza fondamentale se le nostre basi sono variabili o meno. A questo proposito possiamo dire che decide equazione logaritmica di solito molto più semplice che risolvere una disuguaglianza logaritmica!

Proviamo ora a risolvere un altro esempio “strano”.

Esempio n.2

Agiremo come sempre: trasformeremo il lato destro in un logaritmo, come questo complicato:

Quindi l'equazione logaritmica originale sarà equivalente a questa equazione (anche se di nuovo logaritmica)

Risolverò nuovamente questa equazione utilizzando la differenza dei quadrati:

Risolviamo prima il primo, il secondo verrà risolto più o meno allo stesso modo:

Utilizzerò di nuovo "moltiplicando per 1":

Allo stesso modo per la seconda equazione:

Ora arriva la parte divertente: la verifica. Cominciamo con la prima radice

La base del logaritmo "grande" è uguale a

Quindi non è una radice.

Controlliamo il secondo numero:

quel numero è la radice dell'equazione originale.

Risposta:

Ne ho portato intenzionalmente abbastanza esempio complesso, per dimostrarti che non dovresti aver paura dei logaritmi grandi e spaventosi.

Basta conoscere alcune formule (che ti ho già dato sopra) e puoi trovare una via d'uscita da ogni (quasi) situazione!

Bene, ti ho fornito i metodi di base per risolvere le equazioni logaritmiche (metodi "senza fronzoli"), che ti permetteranno di affrontare la maggior parte degli esempi (principalmente nell'esame di stato unificato).

Ora è il momento di mostrare ciò che hai imparato. Prova a risolvere tu stesso quanto segue equazioni logaritmiche, e poi confronteremo i risultati con te.

Sette esempi di lavoro indipendente

Le tecniche discusse in questo lavoro, ovviamente, non esauriscono tutti i modi possibili per risolvere le equazioni logaritmiche.

In alcuni casi, dobbiamo essere davvero creativi per trovare un modo per trovare le radici di un’equazione complicata.

Tuttavia, non importa quanto sia complessa l'equazione iniziale, di conseguenza si ridurrà a un'equazione del tipo che tu ed io abbiamo appena imparato a risolvere!

Risposte ad esempi di lavoro indipendente

1. Un compito abbastanza semplice: utilizziamo la proprietà:

nel sottraendo:

Quindi otteniamo:

Controlliamo:

(Ti ho già spiegato questa transizione sopra)

Risposta: 9

2. Inoltre niente di soprannaturale: non voglio dividere, quindi sposto il termine con il “meno” a destra: ora ho i logaritmi decimali a sinistra e a destra, e li elimino:

Sto controllando:

l'espressione sotto il segno del logaritmo non può essere negativa, quindi il numero non è la radice dell'equazione.

Visita medica

Risposta:

Qui occorre fare un piccolo lavoro: è chiaro che utilizzerò nuovamente la formula (non è molto utile?):

Cosa devo fare prima di applicare la formula dell'addizione dei logaritmi? Sì, devo eliminare il moltiplicatore. Esistono due modi: il primo è inserirlo direttamente in un logaritmo utilizzando la formula:

In linea di principio, questo metodo ha il diritto di esistere, ma cosa c’è di male? È brutto avere a che fare con un'espressione della forma (un "grado non intero" è sempre spiacevole. Allora cos'altro possiamo fare? Come possiamo sbarazzarci di tale "grado non intero"? Moltiplichiamo per la nostra equazione:

Bene, ora inseriamo entrambi i fattori nei logaritmi:

quindi sostituirò lo zero con

E infine ottengo:

Ricordi come si chiama questa formula scolastica “non amata”? Questo differenza cubica! Forse così è più chiaro?

Permettimi di ricordarti che la differenza dei cubi viene fattorizzata in questo modo:

ed eccone un altro per ogni evenienza:

In relazione alla nostra situazione, questo darà:

La prima equazione ha una radice, ma la seconda non ha radici (guarda tu stesso!).

Lascerò a te controllare tu stesso e assicurarti che il numero sia effettivamente la radice della nostra equazione.

Come nell'esempio precedente, riscriviamo

Anche in questo caso non voglio alcuna sottrazione (e successive divisioni) e quindi sposterò l’espressione risultante verso destra:

Ora rimuovo i logaritmi a sinistra e a destra:

Abbiamo un'equazione irrazionale, che spero tu sappia già come risolvere. Lascia che ti ricordi solo che eleviamo al quadrato entrambi i lati:

Il tuo compito ora è assicurarti che non sia una radice, ma lo sia.

Risposta:

Tutto è trasparente: applichiamo la formula per la somma dei logaritmi a sinistra:

quindi rimuoviamo i logaritmi su entrambi i membri:

Visita medica:

Risposta: ;

Non potrebbe essere più semplice: l’equazione è già stata ridotta alla sua forma più semplice. Tutto quello che dobbiamo fare è pareggiare

Controlliamo:

Ma quando la base dei logaritmi è uguale a:

E non è una radice.

Risposta:

Ho lasciato questo esempio per dessert. Anche se non c'è niente di molto complicato neanche in questo.

Immaginiamo zero come

Allora tu ed io otterremo questo equazione logaritmica:

E rimuoviamo la prima "pelle": logaritmi esterni.

Rappresentiamo l'unità come

Quindi la nostra equazione assumerà la forma:

Ora togliamo la “seconda pelle” e arriviamo al nocciolo:

Controlliamo:

Risposta: .

3 METODI PER RISOLVERE LE EQUAZIONI LOGARITMICHE. LIVELLO AVANZATO

Ora, dopo aver letto il primo articolo sulle equazioni logaritmiche, hai acquisito il minimo necessario di conoscenze necessarie per risolvere gli esempi più semplici.

Ora posso passare all'analisi ulteriore tre metodi risolvere equazioni logaritmiche:

• metodo di introduzione di una nuova variabile (o sostituzione)
• metodo logaritmico
• modalità di transizione verso una nuova fondazione.

Primo metodo- uno dei più utilizzati nella pratica. Risolve i problemi più “difficili” legati alla risoluzione di equazioni logaritmiche (e non solo).

Secondo metodo serve a risolvere equazioni miste esponenziale-logaritmiche, riducendo in definitiva il problema alla scelta di una buona variabile sostitutiva (cioè al primo metodo).

Terzo metodo adatto per risolvere alcune equazioni in cui si verificano logaritmi con basi diverse.

Inizierò esaminando il primo metodo.

Metodo per introdurre una nuova variabile (4 esempi)

Come hai già capito dal nome, l'essenza di questo metodo è introdurre un tale cambio di variabile che la tua equazione logaritmica si trasformerà miracolosamente in una che potrai facilmente risolvere.

Tutto ciò che ti resta da fare dopo aver risolto questa "equazione semplificata" è fare "sostituzione inversa": cioè ritornare dal sostituito al sostituito.

Illustriamo quanto appena detto con un esempio molto semplice:

In questo esempio, la sostituzione suggerisce se stessa! Dopotutto, è chiaro che se sostituiamo con, la nostra equazione logaritmica si trasformerà in un'equazione razionale:

Puoi risolverlo facilmente riducendolo a un quadrato:

(in modo che il denominatore non si azzeri accidentalmente!)

Semplificando l'espressione risultante, otteniamo finalmente:

Ora facciamo la sostituzione inversa: , da ciò segue e da otteniamo

Ora, come prima, è il momento di verificare:

Lascia che sia all’inizio, perché allora è vero!

Ora, dunque, è tutto corretto!

Pertanto, i numeri sono le radici della nostra equazione originale.

Risposta: .

Ecco un altro esempio con un'ovvia sostituzione:

Anzi, sostituiamolo subito

quindi la nostra equazione logaritmica originale si trasformerà in una quadratica:

Sostituzione inversa:

Controllalo tu stesso, assicurati che in questo caso entrambi i numeri che abbiamo trovato siano radici.

Penso che tu abbia capito l'idea principale. Non è nuovo e non si applica solo alle equazioni logaritmiche.

Un'altra cosa è che a volte è abbastanza difficile “vedere” immediatamente la sostituzione. Ciò richiede una certa esperienza, che ti arriverà dopo un certo sforzo da parte tua.

Nel frattempo, esercitati a risolvere i seguenti esempi:

Pronto? Controlliamo cosa hai ottenuto:

Risolviamo prima il secondo esempio.

Ti dimostra solo che non è sempre possibile effettuare una sostituzione, come si suol dire, "frontalmente".

Per prima cosa dobbiamo trasformare un po' la nostra equazione: applica la formula per la differenza dei logaritmi al numeratore della prima frazione e prendi la potenza al numeratore della seconda.

Così facendo riceverai:

Adesso la sostituzione è diventata ovvia, no? Facciamolo: .

Ora portiamo le frazioni a un denominatore comune e semplifichiamo.

Quindi otteniamo:

Dopo aver risolto l'ultima equazione, troverai le sue radici: dove.

Controlla tu stesso e assicurati che queste siano effettivamente le radici della nostra equazione originale.

Ora proviamo a risolvere la terza equazione.

Bene, prima di tutto, è chiaro che non ci farà male moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per. Non c’è alcun danno, ma i benefici sono evidenti.

Ora facciamo una sostituzione. Hai indovinato cosa sostituiremo, vero? Esatto, diciamo. Quindi la nostra equazione assumerà la seguente forma:

(entrambe le radici ci vanno bene!)

Ora la sostituzione inversa: , da, da. La nostra equazione originale ha ben quattro radici! Assicurati di ciò, sostituiamo i valori ottenuti nell'equazione. Scriviamo la risposta:

Risposta: .

Penso che ora l'idea di sostituire una variabile ti sia completamente chiara? Ok, allora non fermiamoci qui e passiamo a un altro metodo per risolvere le equazioni logaritmiche: modalità di transizione verso una nuova fondazione.

Metodo di transizione ad una nuova base

Consideriamo la seguente equazione:

Cosa vediamo? I due logaritmi sono presumibilmente “opposti” tra loro. Cosa dobbiamo fare? Tutto è semplice: basta ricorrere ad una delle due formule:

In linea di principio, nulla mi impedisce di utilizzare l'una o l'altra di queste due formule, ma data la struttura dell'equazione mi sarà più conveniente utilizzare la prima: eliminerò la base variabile del logaritmo nel secondo termine sostituendolo con. Ora è facile vedere che il compito si è ridotto a quello precedente: scegliere un sostituto. Sostituendo ottengo la seguente equazione:

Da qui. Tutto quello che devi fare è sostituire i numeri trovati nell'equazione originale e assicurarti che siano, effettivamente, radici.

Ecco un altro esempio in cui ha senso passare a una nuova fondazione:

Tuttavia, come puoi facilmente verificare, se tu ed io passiamo subito a un nuovo fondotinta, questo non darà l'effetto desiderato. Cosa dobbiamo fare in questo caso? Semplifichiamo il tutto il più possibile, e poi qualunque cosa accada.
Quindi quello che voglio fare è immaginare come togliere queste potenze dai logaritmi, e anche togliere il quadrato di X nel primo logaritmo. Vedremo più avanti.

Ricorda, può essere molto più difficile fare amicizia con la base che con l'espressione sotto il segno del logaritmo!

Seguendo questa regola, sostituirò con e con. Quindi otterrò:

Bene, i passaggi successivi ti sono già familiari. Sostituisci e cerca le radici!

Di conseguenza, troverai due radici dell'equazione originale:

È giunto il momento di mostrarti ciò che hai imparato!

Per prima cosa prova a risolvere da solo i seguenti esempi (non i più semplici):

1. Qui tutto è abbastanza standard: cercherò di ridurre la mia equazione originale in modo tale che la sostituzione sia conveniente. Di cosa ho bisogno per questo? Innanzitutto, trasforma la prima espressione a sinistra (rimuovi la quarta potenza di due prima del logaritmo) e rimuovi la potenza di due dalla base del secondo logaritmo. Quindi otterrò:

Non resta che “capovolgere” il primo logaritmo!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(per comodità, ho spostato il secondo logaritmo da sinistra a destra dell'equazione)

Il problema è quasi risolto: puoi effettuare una sostituzione. Dopo la riduzione a un denominatore comune, ottengo la seguente equazione:

Effettuata la sostituzione inversa non vi sarà difficile calcolare che:

Assicurati che i valori ottenuti siano le radici della nostra equazione.

2. Qui cercherò anche di “adattare” la mia equazione a una sostituzione accettabile. Quale? Forse mi andrà bene.

Quindi non perdiamo tempo e iniziamo a trasformarci!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Bene, ora puoi tranquillamente sostituirlo! Quindi, rispetto alla nuova variabile, otteniamo la seguente equazione:

Dove. Ancora una volta, ti lasciamo come esercizio assicurarti che entrambi questi numeri siano effettivamente radici.

3. Qui non è nemmeno immediatamente ovvio cosa sostituiremo. C'è una cosa regola d'oro - Se non sai cosa fare, fai quello che puoi! Questo è quello che userò!

Ora “girerò” tutti i logaritmi e applicherò la formula del logaritmo della differenza al primo e la somma del logaritmo agli ultimi due:

Qui ho usato anche il fatto che (at) e la proprietà di togliere una potenza da un logaritmo. Bene, ora possiamo applicare una sostituzione adeguata: . Sono sicuro che sai già come risolvere le equazioni razionali, anche quelle mostruose. Mi permetto quindi di trascrivere subito il risultato:

Resta da risolvere due equazioni: . Hai già familiarizzato con i metodi per risolvere queste equazioni "quasi più semplici" nella sezione precedente. Quindi scrivo subito le soluzioni finali:

Assicurati che solo due di questi numeri siano le radici della mia equazione! Vale a dire, lo è e, sebbene non sia una radice!

Questo esempio è un po' più complicato, tuttavia cercherò di risolverlo senza ricorrere alla sostituzione delle variabili! Facciamolo di nuovo, facciamo quello che possiamo: prima possiamo espandere il logaritmo a sinistra secondo la formula per il logaritmo di un rapporto, e anche mettere i due davanti al logaritmo tra parentesi. Alla fine otterrò:

Bene, ora la stessa formula che abbiamo già utilizzato! Quindi, accorciamo il lato destro! Ora c'è solo un diavolo lì! Spostiamocene uno da sinistra e finalmente otteniamo:

Sai già come risolvere tali equazioni. La radice si trova senza difficoltà, ed è uguale. Ti ricordo di controllare!

Bene, ora, come spero, hai imparato a risolvere problemi piuttosto complessi che non puoi superare “frontalmente”! Ma le equazioni logaritmiche possono essere ancora più insidiose! Ecco alcuni esempi:

Qui, ahimè, la soluzione precedente non darà risultati tangibili. Come pensi perché? Sì, qui non esiste più alcuna “reciprocità” dei logaritmi. Naturalmente anche questo caso più generale può essere risolto, ma utilizziamo già la seguente formula:

A questa formula non importa se hai l’”opposto” o meno. Potresti chiederti, perché scegliere una base? La mia risposta è che non ha importanza. La risposta alla fine non dipenderà da questo. Tradizionalmente viene utilizzato il logaritmo naturale o quello decimale. Anche se questo non è importante. Ad esempio, userò il decimale:

Lasciare una risposta in questo modulo è una completa vergogna! Vorrei prima scriverlo per definizione

Ora è il momento di usare: all'interno delle parentesi - l'identità logaritmica principale, e all'esterno (in gradi) - trasforma il rapporto in un logaritmo: quindi finalmente otteniamo questo "strano" risposta: .

Ulteriori semplificazioni, purtroppo, non sono più a nostra disposizione.

Verifichiamo insieme:

Giusto! A proposito, ricorda ancora una volta da cosa segue la penultima uguaglianza nella catena!

In linea di principio, la soluzione a questo esempio può anche essere ridotta al passaggio a un logaritmo basato su una nuova base, ma dovresti già avere paura di ciò che accadrà alla fine. Proviamo a fare qualcosa di più ragionevole: trasformare il lato sinistro nel miglior modo possibile.

A proposito, come pensi che abbia ottenuto l'ultima scomposizione? Esatto, ho applicato il teorema di scomposizione trinomio quadratico da fattori, vale a dire:

Se, sono le radici dell'equazione, allora:

Bene, ora riscriverò la mia equazione originale in questa forma:

Ma siamo perfettamente in grado di risolvere un problema del genere!

Quindi, introduciamo un sostituto.

Quindi la mia equazione iniziale assumerà questa semplice forma:

Le sue radici sono uguali a: , quindi

Da dove viene questa equazione? non ha radici.

Tutto quello che devi fare è controllare!

Prova a risolvere tu stesso la seguente equazione. Prenditi il ​​tuo tempo e fai attenzione, poi la fortuna sarà dalla tua parte!

Pronto? Vediamo cosa abbiamo ottenuto.

Infatti l’esempio si risolve in due passaggi:

1. Trasforma

2. ora a destra ho un'espressione uguale a

Pertanto, l’equazione originale è stata ridotta alla più semplice:

Il test mostra che questo numero è effettivamente la radice dell'equazione.

Metodo dei logaritmi

E infine, discuterò molto brevemente i metodi per risolverne alcuni equazioni miste. Naturalmente, non mi impegno a coprire tutte le equazioni miste, ma mostrerò i metodi per risolvere quelle più semplici.

Per esempio,

Tale equazione può essere risolta utilizzando il metodo dei logaritmi. Tutto quello che devi fare è prendere il logaritmo di entrambi i membri.

È chiaro che poiché abbiamo già un logaritmo in base, prenderò il logaritmo alla stessa base:

Ora toglierò forza all'espressione a sinistra:

e fattorizza l'espressione utilizzando la formula della differenza dei quadrati:

Controllare, come sempre, è sulla tua coscienza.

Prova a risolvere tu stesso l'ultimo esempio in questo articolo!

Controlliamo: prendi il logaritmo alla base di entrambi i membri dell'equazione:

Prendo il grado a sinistra e lo divido utilizzando la formula di somma a destra:

Indoviniamo una delle radici: è una radice.

Nell'articolo dedicato alla soluzione equazioni esponenziali, ho parlato di come dividere un polinomio per un “angolo” per un altro.

Qui dobbiamo dividere per.

Di conseguenza otteniamo:

Se possibile, effettuate voi stessi il controllo (anche se in questo caso, soprattutto con le ultime due radici, non sarà semplice).

EQUAZIONI LOGARITMICHE. LIVELLO SUPER

Oltre al materiale già presentato, suggerisco a te e io di considerare un altro modo per risolvere equazioni miste contenenti logaritmi, ma qui considererò le equazioni che non può essere risolto con il metodo precedentemente discusso di prendere i logaritmi di entrambi i membri. Questo metodo ha il nome mini-max.

Metodo Minimassimo

Questo metodo è applicabile non solo alla risoluzione di equazioni miste, ma risulta essere utile anche quando si risolvono alcune disuguaglianze.

Quindi, per prima cosa introduciamo le seguenti definizioni di base necessarie per applicare il metodo minimo-massimo.

Semplici immagini illustrano queste definizioni:

La funzione nella figura a sinistra è monotonicamente crescente, mentre quella a destra è monotonicamente decrescente. Passiamo ora alla funzione logaritmica, è noto che è vero quanto segue:

La figura mostra esempi di una funzione logaritmica monotonicamente crescente e monotonicamente decrescente.

Descriviamolo direttamente metodo minimo-massimo. Penso che tu capisca da quali parole deriva questo nome?

Esatto, dalle parole minimo e massimo. In breve il metodo può essere rappresentato come:

Il nostro obiettivo più importante è trovare questa costante per ridurre ulteriormente l'equazione a due equazioni più semplici.

A questo scopo possono essere utili le proprietà di monotonicità della funzione logaritmica sopra formulate.

Ora diamo un'occhiata ad esempi specifici:

1. Diamo prima un'occhiata al lato sinistro.

Esiste un logaritmo con base minore. Secondo il teorema sopra formulato, qual è la funzione? Sta diminuendo. Allo stesso tempo, il che significa. D'altra parte, per definizione di radice: . Pertanto, la costante è trovata ed è uguale. Allora l'equazione originale è equivalente al sistema:

La prima equazione ha radici e la seconda: . Così, radice comuneè uguale e questa radice sarà la radice dell'equazione originale. Per ogni evenienza, fai un controllo per essere sicuro.

Risposta:

Pensiamo subito a cosa c'è scritto qui?

Intendo struttura generale. Qui dice che la somma di due quadrati è zero.

Quando sarà possibile?

Solo quando entrambi questi numeri sono individualmente uguali a zero. Passiamo quindi al seguente sistema:

La prima e la seconda equazione non hanno radici comuni, quindi l'equazione originale non ha radici.

Risposta: nessuna soluzione.

Diamo prima un'occhiata al lato destro: è più semplice. Per definizione di seno:

Da dove, e poi Pertanto

Torniamo ora al lato sinistro: consideriamo l'espressione sotto il segno del logaritmo:

Cercare di trovare le radici di un'equazione non porterà a un risultato positivo. Tuttavia, devo in qualche modo valutare questa espressione. Ovviamente conosci un metodo come selezionando un quadrato completo. Lo userò qui.

Poiché è una funzione crescente, ne consegue che. Così,

Allora la nostra equazione originale è equivalente al seguente sistema:

Non so se conosci la soluzione oppure no equazioni trigonometriche, quindi farò così: risolverò la prima equazione (ha un massimo di due radici), e poi sostituirò il risultato nella seconda:

(puoi verificare e assicurarti che questo numero sia la radice della prima equazione del sistema)

Ora lo sostituirò nella seconda equazione:

Risposta:

Bene, ora la tecnica per utilizzare il metodo mini-max ti è diventata chiara? Quindi prova a risolvere tu stesso il seguente esempio.

Pronto? Controlliamo:

Il membro sinistro è la somma di due quantità non negative (unità e modulo) e quindi il membro sinistro non è inferiore a uno, ed è uguale a uno solo quando

Allo stesso tempo, il lato destro è il modulo (che significa maggiore di zero) del prodotto di due coseni (che significa non più di uno), quindi:

Allora l'equazione originale è equivalente al sistema:

Propongo nuovamente di risolvere la prima equazione e di sostituire il risultato nella seconda:

Questa equazione non ha radici.

Allora anche l'equazione originale non ha radici.

Risposta: non ci sono soluzioni.

BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI. 6 METODI PER RISOLVERE LE EQUAZIONI LOGARITMICHE

Equazione logaritmica- un'equazione in cui le incognite sono all'interno dei logaritmi.

L'equazione logaritmica più semplice è un'equazione della forma.

Il processo di risoluzione di qualsiasi equazione logaritmica si riduce alla riduzione dell'equazione logaritmica alla forma e al passaggio da un'equazione con logaritmi a un'equazione senza di essi: .

ODZ per un'equazione logaritmica:

Metodi di base per risolvere equazioni logaritmiche:

1 metodo. Utilizzando la definizione di logaritmo:

Metodo 2. Utilizzando le proprietà del logaritmo:

Metodo 3. Introduzione di una nuova variabile (sostituzione):

• la sostituzione ci consente di ridurre l'equazione logaritmica a una più semplice equazione algebrica rispetto a t.

Metodo 4 Transizione ad una nuova base:

5 metodo. Logaritmo:

• prendi il logaritmo dei lati destro e sinistro dell'equazione.

6 metodo. Minimo-massimo:

Ora vogliamo sentire la tua opinione...

Abbiamo cercato di scrivere nel modo più semplice e completo possibile sulle equazioni logaritmiche.

Ora è il tuo turno!

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