Primjeri zakona održanja impulsa. Količina pokreta tjelesnog sistema

Predavanje 5. Moment kretanja sistema (moment impulsa sistema).

Ovo predavanje pokriva sljedeća pitanja:

1. Moment kretanja sistema (moment momenta sistema).

2. Teorema o promjeni količine gibanja (momenta).

3. Zakon održanja količine gibanja (momenta).

4. Glavna tačka količine kretanja (momenta) sistema.

5. Teorema momenata.

6. Zakon održanja glavnog momenta veličina kretanja (momenta).

Proučavanje ovih pitanja je neophodno za dinamiku oscilatorno kretanje mehanički sistem, za rješavanje zadataka iz disciplina "Teorija mašina i mehanizama" i "Mašinski dijelovi".

U prethodnim predavanjima metode za određivanje kretanja materijalni sistem, koji su se sveli na formulaciju diferencijalnih jednadžbi, po pravilu, drugog reda. A njihovo rješenje nije uvijek bilo lako.

Ako uvedemo nove generalizovane koncepte koji karakterišu svojstva i kretanje sistema kao celine, onda se ove poteškoće često mogu zaobići. To uključuje koncepte centra mase i kinetička energija, koji su nam već poznati, pojmovi količine gibanja materijalnog sistema i momenta količine kretanja.

Teoreme koje određuju promjenu ovih karakteristika omogućavaju da se dobije potpunija slika o kretanju materijalnog sistema.

Zamah sistema (momentum sistema).

Momentum (zamah tijela) je vektorska fizička veličina jednaka proizvodu tjelesne mase i njegove brzine:

Moment (momentum) je jedna od najosnovnijih karakteristika kretanja tijela ili sistema tijela.

Drugi Newtonov zakon pišemo u drugačijem obliku, uzimajući u obzir da je ubrzanje Tada Shodno tome

Umnožak sile i vremena njenog djelovanja jednak je priraštaju količine gibanja tijela (slika 1):

Gdje je impuls sile, što pokazuje da rezultat djelovanja sile ne ovisi samo o njenoj vrijednosti, već i o trajanju njenog djelovanja.

Fig.1

Količina kretanja sistema (moment) je vektorska veličina , jednako geometrijskom zbroju (glavnom vektoru) količina kretanja (impulsa) svih tačaka sistema (sl.2):

Iz crteža se može vidjeti da, bez obzira na brzine tačaka sistema (osim ako su te brzine paralelne), vektor može poprimiti bilo koju vrijednost, pa čak i biti jednak nuli kada je poligon konstruiran iz vektori se zatvaraju. Shodno tome, nemoguće je u potpunosti suditi o prirodi kretanja sistema prema njegovoj veličini.

Fig.2

Nađimo formulu uz pomoć koje je mnogo lakše izračunati vrijednost, kao i razumjeti njeno značenje.

Od jednakosti

sledi to

Uzimajući vremensku derivaciju oba dijela, dobijamo

Odavde to nalazimo

one. količina kretanja (moment) sistema jednaka je proizvodu mase cijelog sistema i brzine njegovog centra mase . Ovaj rezultat je posebno pogodan za korištenje pri izračunavanju momenta kretanja krutih tijela.

Iz formule se može vidjeti da ako se tijelo (ili sistem) kreće tako da centar mase ostaje nepomičan, tada je impuls tijela nula. Na primjer, impuls tijela koje rotira oko fiksne ose koja prolazi kroz njegovo središte mase bit će nula.

Ako je kretanje tijela složeno, tada vrijednost neće karakterizirati rotacijski dio kretanja oko centra mase. Na primjer, za točak koji se kotrlja, bez obzira na to kako se točak rotira oko svog centra mase OD.

Na ovaj način, samo količina kretanja karakteriše kretanje napred sistemi. U slučaju složenog kretanja, vrijednost karakteriše samo translatorni dio kretanja sistema zajedno sa centrom mase.

Teorema o promjeni impulsa (momenta).

Zamislite sistem koji se sastoji od P materijalne tačke. Sastavite za ovaj sistem diferencijalne jednadžbe kretanja i dodavati ih pojam po pojam. Tada dobijamo:

Posljednja suma po nekretnini unutrašnje sile jednako nuli. osim toga,

Konačno nalazimo:

Jednačina izražava teoremu o promjeni količine gibanja (momenta) sistema u diferencijalnom obliku: vremenski izvod količine kretanja (momenta) sistema jednak je geometrijski zbir sve vanjske sile koje djeluju na sistem .

Nađimo još jedan izraz teoreme. Neka je u trenutku t=0 impuls sistema jednak , i trenutno postaje jednako . Zatim množite obje strane jednakosti sa dt i integracijom dobijamo:

pošto integrali na desnoj strani daju impulse vanjskih sila.

Jednačina izražava teoremu o promjeni impulsa sistema u integralnom obliku: promjena količine kretanja sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa vanjskih sila koje djeluju na sistem u istom vremenskom periodu.

U projekcijama na koordinatne ose imaćemo:

Istaknimo vezu između dokazane teoreme i teoreme o kretanju centra mase. Od tada, zamjenjujući ovu vrijednost u jednakost i uzimajući u obzir da , dobivamo .

Dakle, teorema o kretanju centra mase i teorema o promjeni količine gibanja sistema su, u suštini, dvije različite forme istu teoremu. Prilikom proučavanja pokreta čvrsto telo(ili sistema tijela), jednako se može koristiti bilo koji od ovih oblika.

Praktična vrijednost teoreme leži u činjenici da nam omogućava da iz razmatranja isključimo ranije nepoznate unutrašnje sile (na primjer, sile pritiska jedne na drugu čestica fluida).

Zakon održanja impulsa (zakon održanja impulsa).

Iz teoreme o promjeni impulsa sistema mogu se dobiti sljedeće važne posljedice:

1) Neka je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na zatvoreni sistem nula:

Tada iz jednačine slijedi da je Q= =const. Na ovaj način, ako je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na zatvoreni sistem jednak nuli, tada će vektor količine gibanja (momenta) sistema biti konstantan po veličini i smjeru.

2) Neka vanjske sile koje djeluju na sistem budu takve da je zbir njihovih projekcija na neku osu (npr. Ox) je jednako nuli:

Tada iz jednačine slijedi da je u ovom slučaju Q x =const. Na ovaj način, ako je zbir projekcija svih vanjskih sila koje djeluju na neku osu jednak nuli, tada je projekcija količine gibanja (momenta) sistema na ovu osu konstantna vrijednost.

Ovi rezultati izražavaju zakon održanja impulsa sistema: za bilo koju prirodu interakcije tela koja formiraju zatvoreni sistem, vektor ukupnog momenta ovog sistema ostaje konstantan sve vreme.

Iz njih slijedi da unutrašnje sile ne mogu promijeniti ukupni zamah sistema.

Zakon održanja ukupnog momenta izolovanog sistema je univerzalni zakon prirode. Općenito, kada je sistem otvoren, slijedi da ukupni zamah otvorenog sistema ne ostaje konstantan. Njegova promjena u jedinici vremena jednaka je geometrijskom zbiru svih vanjskih sila.

Pogledajmo neke primjere:

a) Fenomen darivanja ili vraćanja. Ako pušku i metak posmatramo kao jedan sistem, onda će pritisak barutnih gasova pri ispaljivanju biti unutrašnja sila. Ova sila ne može promijeniti ukupni impuls sistema. Ali budući da pogonski plinovi, djelujući na metak, daju mu određenu količinu kretanja usmjerenu naprijed, oni istovremeno moraju dati pušci istu količinu kretanja u obrnuti smjer. To će uzrokovati da se puška pomjeri unazad, tj. takozvani povratak. Slična pojava se javlja i pri pucanju iz pištolja (povratak).

b) Rad propelera (propelera). Propeler obaveštava određenu masu vazduha (ili vode) o kretanju duž ose propelera, odbacujući ovu masu nazad. Ako izbačenu masu i avion (ili brod) posmatramo kao jedan sistem, onda interakcijske sile propelera i medija kao unutrašnje ne mogu promijeniti ukupni impuls ovog sistema. Prema tome, kada se masa vazduha (vode) odbaci nazad, avion (ili brod) dobija odgovarajuću brzinu napred, tako da ukupni impuls sistema koji se razmatra ostaje jednak nuli, pošto je bio nula pre početka kretanja .

Sličan učinak postiže se djelovanjem vesala ili lopatica.

u) Mlazni pogon. U raketnom projektilu (raketi), plinoviti produkti sagorijevanja goriva se velikom brzinom izbacuju iz rupe na repu rakete (iz mlaznice mlaznog motora). Sile pritiska koje djeluju u ovom slučaju bit će unutrašnje sile, koje ne mogu promijeniti ukupni impuls raketnog sistema - produkti sagorijevanja goriva. Ali pošto gasovi koji izlaze imaju određenu količinu kretanja usmerenu unazad, raketa dobija odgovarajuću brzinu napred.

Primjer 1 Na šinama je platforma mase m 1 =10 tona, a na platformi je pričvršćen top mase m 2 = 5 tona iz kojeg se ispaljuje hitac duž šina. Težina projektila m 3 =100 kg; njegova početna brzina u odnosu na top v 0 =500 m/s. Pronađite brzinu platforme u prvom trenutku nakon hitca, ako: 1) platforma miruje ( v= 0); 2) platforma se kretala brzinom v= 18 km/h, a hitac je ispaljen u pravcu njegovog kretanja; 3) platforma se kretala brzinom v= 18 km/h, a hitac je ispaljen u smjeru suprotnom od smjera njegovog kretanja.

Rješenje. Za rješavanje problema koristimo zakon održanja količine gibanja, koji kaže da impuls zatvorenog sistema ostaje konstantan.

Zapišimo impuls sistema, koji se sastoji od pištolja, pištolja i projektila, prije metka () i poslije njega (), zbog čega se ovaj impuls mijenja. Podsjetimo da je ukupni impuls sistema vektorski zbir impulsa tijela uključenih u sistem.

1) Impuls sistema prije metka

jer prvo, platforma sa odmaranim alatom ( v=0).

Nakon udarca, zamah sistema

Prema zakonu održanja impulsa, dakle,

Projiciramo ovu jednačinu na odabranu osu X(sl.3):

Fig.3

Obratimo pažnju na sljedeću činjenicu. Iz iskustva znamo da će se kao rezultat hica platforma sa puškom otkotrljati u smjeru suprotnom od hica, tako da pri projektovanju to možemo odmah uzeti u obzir stavljajući znak minus ispred brzine u platforme. Onda ćemo dobiti

U nekim slučajevima, kada nije unaprijed jasno u kojem smjeru će se objekt kretati, pretpostavljamo da je brzina usmjerena duž ose X. U ovom slučaju, pozitivna vrijednost dobivenog rezultata proračuna potvrdit će našu pretpostavku, a negativna vrijednost će ukazati da se kretanje odvija u suprotnom smjeru od odabranog.

2) Zakon održanja količine kretanja u slučaju kada se platforma kreće brzinom v\u003d 18 km / h \u003d 5 m / s, ima oblik

U projekcijama na osi X(sl.4):

Fig.4

Obratimo pažnju na činjenicu da smo, uzimajući u obzir, kao iu prethodnom slučaju, da će se platforma nakon udarca početi kretati u suprotnom smjeru, napravili grešku, na što ukazuje znak minus u primljenom odgovoru. To znači da je smjer kretanja platforme ostao isti, ali je njena brzina smanjena.

3) Zakon održanja impulsa u trećem slučaju ima oblik sličan onom koji je napisan za drugi slučaj, tj.

sa jedinom razlikom da kada se projektuje na osu X(slika 5), dobijamo druge znakove za brzine:

Sl.5

Dakle, platforma će se kretati u istom smjeru brzinom većom od prvobitne.

Primjer 2 Na željezničkoj platformi koja se kreće brzinom po inerciji v, pištolj je fiksiran, čija je cijev usmjerena prema kretanju platforme pod uglom α prema horizontu (slika 5.1). Pištolj je ispalio hitac, zbog čega se brzina platforme s pištoljem smanjila tri puta. Pronađite brzinu projektila u odnosu na pištolj pri izlasku iz cijevi. Masa projektila je m 1 , masa platforme sa topom je m 2 .

Sl.5.1

Rješenje. Sistem tela "platforma sa pištoljom + projektil" podleže spoljnim silama - gravitaciji i normalnom pritisku sa strane šine, usmerenom okomito (horizontalne sile trenja se mogu smatrati zanemarljivim) i unutrašnjoj sili - pritisku gasova nastalih tokom pucao. Treba napomenuti da kada se ispali, sila normalnog pritiska prelazi silu gravitacije, njihova rezultanta nije jednaka nuli. Prema tome, kada se ispali, vertikalna komponenta impulsa sistema se ne čuva, horizontalna komponenta momentaće ostati nepromijenjena.

Pogledajmo sada šta se dešava u slučaju veliki brojčestice, tj. kada se tijelo sastoji od mnogo čestica s mnogo sila koje djeluju između njih i izvana. Naravno, već znamo da je moment sile koja djeluje na bilo koju i-tu česticu (tj. proizvod sile koja djeluje na i-tu česticu, na njeno rame) jednak brzini promjene ugaonog momenta ova čestica, a moment količine kretanja i-te čestice, zauzvrat, jednak je proizvodu količine gibanja čestice i njenog ramena. Pretpostavimo sada da smo sabrali momente sila τ i svih čestica i to nazvali ukupnim momentom sila τ . Ova vrijednost mora biti jednaka brzini promjene sume impulsa svih čestica L i . Ovaj zbir se može uzeti kao definicija nove veličine, koju ćemo nazvati ukupnim ugaonim momentom L . Kao što je impuls tijela jednak zbiru impulsa njegovih sastavnih čestica, ugaoni impuls tijela je također jednak zbiru momenata njegovih sastavnih čestica. Dakle, brzina promjene ukupnog momenta momenta L jednaka je ukupnom momentu sila

Iz navike se može činiti da je pun moment sila užasno komplikovana stvar. Na kraju krajeva, morate uzeti u obzir sve unutrašnje i vanjske sile. Međutim, ako se prisjetimo da su, prema Newtonovom zakonu, sile akcije i reakcije ne samo jednake, već (što je posebno važno!) djeluju duž iste prave u suprotnim smjerovima (nije bitno da li je sam Newton govorio o ovo ili ne, on je to implicitno mislio), tada dva momenta unutrašnjih sila između dviju interakcijskih čestica moraju biti jednaki jedan drugom i usmjereni suprotno, jer će za bilo koju osu njihova ramena biti ista. Stoga se svi unutrašnji momenti sila međusobno poništavaju i dobija se divna teorema: brzina promjene ugaonog momenta u odnosu na bilo koju osu jednaka je momentu vanjskih sila u odnosu na istu osu!

Dakle, dobili smo moćnu teoremu o kretanju veliki timčestice, što nam omogućava da proučavamo opšta svojstva kretanja bez poznavanja detalja njegovog unutrašnjeg mehanizma. Ova teorema je tačna za bilo koji skup čestica, bez obzira da li čine čvrstu površinu ili ne.
Posebno važan poseban slučaj ove teoreme je zakon održanja ugaonog momenta, koji kaže: ako na sistem čestica ne djeluju vanjski momenti sila, tada njegov ugaoni moment ostaje konstantan.
Razmotrimo jedan vrlo važan poseban slučaj skupa čestica kada formiraju čvrsto tijelo, odnosno objekt koji uvijek ima određeni oblik i geometrijsku veličinu, a može se rotirati samo oko neke ose. Bilo koji dio takvog objekta u bilo kojem trenutku se nalazi

na isti način u odnosu na ostale njegove dijelove. Pokušajmo sada pronaći ukupni ugaoni moment krutog tijela. Ako masa i-ta njena čestica je jednaka mi , a njena pozicija je (xi , yi), tada se problem svodi na određivanje momenta količine gibanja ove čestice, pošto je ukupan moment količine gibanja jednak zbroju momenata momenta svih takve čestice koje formiraju tijelo. Za tačku koja se kreće duž kružnice, ugaoni moment je, naravno, jednak proizvodu njene mase puta brzine i udaljenosti do ose rotacije, a brzina je, zauzvrat, jednaka ugaonoj brzini pomnoženoj sa udaljenost do ose:

Zbrajanjem L i za sve čestice dobijamo

Ovaj izraz je vrlo sličan formuli za impuls, koji je jednak proizvodu mase i brzine. U ovom slučaju, brzina se zamjenjuje ugaonom brzinom, a masa, kao što vidite, zamjenjuje se nekom novom vrijednošću, koja se zove moment inercije I. To je ono što igra ulogu mase prilikom rotacije! Jednačine (18.21) i (18.22) nam govore da inercija rotacije tijela ne zavisi samo od masa njegovih sastavnih čestica, već i od toga koliko su one udaljene od ose. Dakle, ako imamo dva tijela jednaka masa, ali u jednom od njih mase se nalaze dalje od ose, tada će njegova rotirajuća inercija biti veća. Ovo se lako demonstrira sa uređajem prikazanim na Sl. 18.4. Masa M u ovoj spravi ne može pasti prebrzo jer mora okrenuti tešku šipku. Postavimo prvo mase m blizu ose rotacije, a težina M će se nekako ubrzati. Međutim, nakon što promijenimo moment inercije postavljanjem masa m mnogo dalje od ose, vidjet ćemo da se težina M ubrzava mnogo sporije nego prije. To se događa zbog povećanja inercije rotacije, što je fizičko značenje moment inercije je zbir proizvoda svih masa i kvadrata njihovih udaljenosti od ose rotacije.
Postoji značajna razlika između mase i momenta inercije, koja se manifestuje na iznenađujući način. Činjenica je da se masa objekta obično ne mijenja, dok se moment inercije lako mijenja. Zamislite da stojite na stolu koji se može rotirati bez trenja, i držite bučice u ispruženim rukama, dok se sami polako rotirate. Moment inercije možete lako promijeniti savijanjem ruku; dok naša masa ostaje ista. Kada sve ovo uradimo, onda će zakon održanja ugaonog momenta učiniti čuda, desiće se nešto neverovatno. Ako su momenti vanjskih sila jednaki nuli, tada je moment impulsa jednak momentu inercije I 1 puta veća od ugaone brzine ω 1 , tj. vaš ugaoni moment je I 1 ω 1 . Zatim savijajući ruke, time ste smanjili moment inercije na vrijednost I 2 . Ali budući da, zbog zakona održanja ugaonog momenta, proizvod I ω mora ostati isti, tada I 1 ω 1 mora biti jednako I 2 ω 2 . Dakle, ako smanjite moment inercije, onda vaš ugaona brzina kao rezultat treba povećati.

Pogledajmo sada šta se dešava u slučaju velikog broja čestica, tj. kada se telo sastoji od mnogo čestica sa mnogo sila koje deluju između njih i izvana. Naravno, već znamo da je trenutak sile koji djeluje na bilo koji i-ta čestica(tj. proizvod sile koja djeluje na i-tu česticu, na njeno rame) jednak je brzini promjene ugaonog momenta ove čestice i ugaonog momenta i-ti pokretčestica je, zauzvrat, jednaka proizvodu impulsa čestice i njenog ramena. Pretpostavimo sada da smo sabrali momente sila x i svih čestica i to nazvali ukupnim momentom sila τ. Ova vrijednost mora biti jednaka brzini promjene sume impulsa svih čestica L i . Ovaj zbir se može uzeti kao definicija nove veličine, koju ćemo nazvati ukupnim ugaonim momentom L. Kao što je impuls tijela jednak zbiru impulsa njegovih sastavnih čestica, ugaoni moment tijela je takođe jednak zbiru momenata njegovih sastavnih čestica. Dakle, brzina promjene ukupnog momenta momenta L jednaka je ukupnom momentu sila.

Dakle, dobili smo moćnu teoremu o kretanju velikog skupa čestica, koja nam omogućava da proučavamo opšta svojstva kretanja bez poznavanja detalja njegovog unutrašnjeg mehanizma. Ova teorema je tačna za bilo koji skup čestica, bez obzira da li čine čvrstu površinu ili ne.

Posebno važan poseban slučaj ove teoreme je zakon održanja ugaonog momenta, koji kaže: ako na sistem čestica ne djeluju vanjski momenti sila, tada njegov ugaoni moment ostaje konstantan.

Razmotrimo jedan vrlo važan poseban slučaj skupa čestica kada formiraju čvrsto tijelo, odnosno objekt koji uvijek ima određeni oblik i geometrijsku veličinu i može se rotirati samo oko neke ose. Bilo koji dio takvog objekta u bilo kojem trenutku nalazi se na isti način u odnosu na njegove druge dijelove. Pokušajmo sada pronaći ukupni ugaoni moment krutog tijela. Ako masa i-ta čestica jednak je mi , a njegov položaj je (xi , yi), onda se problem svodi na određivanje momenta količine gibanja ove čestice, budući da je ukupan moment količine gibanja jednak zbroju momenata količine gibanja svih takvih čestica formiranje tela. Za tačku koja se kreće duž kružnice, ugaoni moment je, naravno, jednak proizvodu njene mase puta brzine i udaljenosti do ose rotacije, a brzina je, zauzvrat, jednaka ugaonoj brzini pomnoženoj sa udaljenost do ose:

Postoji značajna razlika između mase i momenta inercije, koja se manifestuje na iznenađujući način. Činjenica je da se masa objekta obično ne mijenja, dok se moment inercije lako mijenja. Zamislite da stojite na stolu koji se može rotirati bez trenja, i držite bučice u ispruženim rukama, dok se sami polako rotirate. Moment inercije možete lako promijeniti savijanjem ruku; dok naša masa ostaje ista. Kada sve ovo uradimo, onda će zakon održanja ugaonog momenta učiniti čuda, desiće se nešto neverovatno. Ako su momenti vanjskih sila jednaki nuli, tada je moment zamaha jednak momentu inercije I 1 puta ugaonoj brzini ω 1, tj. vaš moment impulsa je jednak I 1 ω 1 . Zatim savijajući ruke, time ste smanjili moment inercije na vrijednost I 2 . Ali pošto, zbog zakona održanja ugaonog momenta, proizvod /co mora ostati isti, onda I 1 ω 1 mora biti jednak I 2 ω 2 . Dakle, ako smanjite moment inercije, tada bi se vaša kutna brzina trebala povećati kao rezultat.

Njegovi pokreti, tj. vrijednost .

Puls je vektorska veličina koja se u smjeru poklapa s vektorom brzine.

Jedinica momenta u SI sistemu: kg m/s .

Impuls sistema tijela jednak je vektorskom zbiru impulsa svih tijela uključenih u sistem:

Zakon održanja impulsa

Ako dodatne vanjske sile djeluju na sistem tijela u interakciji, na primjer, tada je u ovom slučaju važeći odnos koji se ponekad naziva i zakon promjene količine kretanja:

Za zatvoreni sistem (u nedostatku vanjskih sila) vrijedi zakon održanja količine kretanja:

Djelovanje zakona održanja impulsa može objasniti fenomen trzaja pri pucanju iz puške ili artiljerijskom gađanju. Također, djelovanje zakona održanja količine gibanja je u osnovi principa rada svih mlaznih motora.

Prilikom rješavanja fizičkih problema koristi se zakon održanja količine kretanja kada nije potrebno poznavanje svih detalja kretanja, ali je važan rezultat interakcije tijela. Takvi problemi, na primjer, su problemi udara ili sudara tijela. Zakon održanja impulsa koristi se kada se razmatra kretanje tijela promjenljive mase, kao što su lansirne rakete. Većina mase takve rakete je gorivo. U aktivnoj fazi leta ovo gorivo izgara, a masa rakete na ovom dijelu putanje brzo opada. Također, zakon održanja impulsa je neophodan u slučajevima kada je koncept neprimjenjiv. Teško je zamisliti situaciju u kojoj nepomično tijelo trenutno postiže određenu brzinu. U normalnoj praksi, tijela uvijek ubrzavaju i postepeno povećavaju brzinu. Međutim, tokom kretanja elektrona i dr subatomske čestice promjena njihovog stanja se događa naglo bez zadržavanja u srednjim stanjima. U takvim slučajevima klasični koncept ubrzanje se ne može koristiti.

Primjeri rješavanja problema

PRIMJER 1

Zadatak

Projektil mase 100 kg, koji leti horizontalno duž željezničke pruge brzinom od 500 m/s, pogađa vagon sa pijeskom mase 10 tona i zaglavljuje se u njemu. Koju će brzinu postići automobil ako se kreće brzinom od 36 km/h u smjeru suprotnom od projektila?

Rješenje

Sistem vagon+projektil je zatvoren, pa se u ovom slučaju može primijeniti zakon održanja impulsa.

Napravimo crtež koji pokazuje stanje tijela prije i nakon interakcije.

U interakciji projektila i vagona, neelastični udar. Zakon održanja impulsa u ovom slučaju će se napisati kao:

Odabirom smjera osi koji se poklapa sa smjerom kretanja automobila, zapisujemo projekciju ove jednadžbe na koordinatnu osu:

gdje je brzina automobila nakon što ga projektil pogodi:

Jedinice pretvaramo u SI sistem: t kg.

Izračunajmo:

Odgovori

Nakon što pogodi projektil, automobil će se kretati brzinom od 5 m/s.

PRIMJER 2

Zadatak

Projektil mase m=10 kg imao je brzinu v=200 m/s u gornjoj tački. U ovom trenutku se raspao na dva dijela. Manji dio mase m 1 =3 kg dobio je brzinu v 1 =400 m/s u istom smjeru pod uglom prema horizontu. Kojom brzinom i u kom smjeru će letjeti većina projektila?

Rješenje

Putanja projektila je parabola. Brzina tijela je uvijek usmjerena tangencijalno na putanju. Na vrhu putanje, brzina projektila je paralelna s osi.

Napišimo zakon održanja impulsa:

Prijeđimo s vektora na skalare. Da bismo to učinili, kvadriramo oba dijela vektorske jednakosti i koristimo formule za:

S obzirom na to i također da , nalazimo brzinu drugog fragmenta:

Zamjena numeričkih vrijednosti u rezultirajuću formulu fizičke veličine, izračunati:

Smjer leta većine projektila određuje se pomoću:

Zamjenom numeričkih vrijednosti u formulu, dobijamo:

Odgovori

Većina projektila će letjeti brzinom od 249 m/s prema dolje pod uglom u odnosu na horizontalni smjer.

PRIMJER 3

Zadatak

Masa voza je 3000 tona, koeficijent trenja 0,02. Kolika bi trebala biti veličina parne lokomotive da bi vlak postigao brzinu od 60 km/h 2 minute nakon početka kretanja.

Rješenje

Budući da na voz djeluje (spoljna sila), sistem se ne može smatrati zatvorenim, a zakon održanja količine kretanja u ovom slučaju ne vrijedi.

Upotrijebimo zakon promjene impulsa:

Kako je sila trenja uvijek usmjerena u smjeru suprotnom kretanju tijela, u projekciji jednadžbe na koordinatnu osu (smjer ose se poklapa sa smjerom kretanja vlaka), impuls sile trenja će ući sa znak minus:

1. Ako glavni vektor svih vanjskih sila sistema jednaka je nuli (), tada je količina kretanja sistema konstantna po veličini i smjeru.

2. Ako je projekcija glavnog vektora svih vanjskih sila sistema na bilo koju osu jednaka nuli (
), tada je projekcija količine kretanja sistema na ovu osu konstantna vrijednost.

Teorema o kretanju centra masa.

Teorema Centar mase sistema kreće se na isti način kao i materijalna tačka, čija je masa jednaka masi čitavog sistema, ako na tačku deluju sve spoljne sile primenjene na razmatrani mehanički sistem.

, Shodno tome

Moment impulsa sistema.

moment momenta sistemi materijalnih tačaka o nekom centru naziva se vektorski zbir momenata momenta kretanja pojedinih tačaka ovog sistema u odnosu na isti centar

moment momenta sistemi materijalnih tačaka
oko neke ose
prolazeći kroz centar , naziva se projekcija vektora momenta
na ovoj osovini
.

Moment impulsa krutog tijela u odnosu na osu rotacije za vrijeme rotacionog kretanja krutog tijela.

Izračunajmo ugaoni moment krutog tijela u odnosu na os rotacije.

Ugaoni moment krutog tijela u odnosu na os rotacije za vrijeme rotacionog kretanja jednak je proizvodu ugaone brzine tijela i njegovog momenta inercije u odnosu na os rotacije.

Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema.

Teorema. Vremenski izvod ugaonog momenta sistema, uzet u odnosu na neki centar, jednak je vektorskom zbiru momenata spoljnih sila koje deluju na sistem u odnosu na isti centar.

(6.3)

Dokaz: Teorema o promjeni ugaonog momenta za
bodovi izgledaju ovako:

Hajde da sve to spojimo jednadžbe i dobiju:

ili
,

Q.E.D.

Teorema. Vremenski izvod momenta količine kretanja sistema, uzet u odnosu na bilo koju osu, jednak je vektorskom zbiru momenata vanjskih sila koje djeluju na sistem u odnosu na istu osu.

Da bismo to dokazali, dovoljno je projektirati vektorsku jednačinu (6.3) na ovu osu. Za osovinu
to će izgledati ovako:

(6.4)

Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema u odnosu na centar mase. (bez dokaza)

Za ose koje se kreću napred zajedno sa centrom mase sistema, teorema o promeni ugaonog momenta sistema u odnosu na centar mase zadržava isti oblik kao u odnosu na fiksni centar.

Modul 2. Čvrstoća materijala.

Tema 1 zatezanje-kompresija, torzija, savijanje.

Deformacije razmatranog tijela (konstruktivnih elemenata) proizlaze iz primjene spoljna sila. U tom slučaju se mijenjaju udaljenosti između čestica tijela, što zauzvrat dovodi do promjene sila međusobnog privlačenja između njih. Otuda, kao posledica, postoje unutrašnji napori. U ovom slučaju se unutrašnje sile određuju metodom univerzalnog presjeka (ili metodom rezanja).

Poznato je da postoje spoljne sile i unutrašnje sile. Vanjske sile (opterećenja) su kvantitativna mjera interakcije dvaju različitih tijela. To uključuje reakcije u vezama. Unutrašnje sile su kvantitativna mjera interakcije dvaju dijelova istog tijela koja se nalaze na suprotnim stranama presjeka i uzrokovana djelovanjem vanjskih sila. Unutrašnje sile nastaju direktno u deformabilnom tijelu.

Slika 1 prikazuje shemu proračuna šipke sa proizvoljnom kombinacijom vanjskog opterećenja koja formira ravnotežni sistem sila:

Od vrha do dna: elastično tijelo, lijevo odsječeno, desno odsječeno Fig.1. Metoda preseka.

U ovom slučaju, reakcije veza određuju se iz poznatih jednačina ravnoteže statike čvrstog tijela:

gdje je x 0 , y 0 , z 0 osnovni koordinatni sistem osa.

Mentalno presecanje grede na dva dela proizvoljnim presekom A (slika 1 a) dovodi do uslova ravnoteže za svaki od dva presečna dela (sl. 1 b, c). ovdje ( s') I ( S"} - unutrašnje sile koje nastaju, respektivno, u lijevom i desnom odsječenom dijelu uslijed djelovanja vanjskih sila.

Prilikom sastavljanja mentalno odsječenih dijelova, ravnotežno stanje tijela osigurava se omjerom:

Pošto je početni sistem vanjskih sila (1) ekvivalentan nuli, dobijamo:

{S ’ } = – {S ” } (3)

Ovaj uvjet odgovara četvrtom aksiomu statike o jednakosti sila djelovanja i reakcije.

Koristeći opštu metodologiju teoreme poinsot o dovođenju proizvoljan sistem sile na dato središte i odabirom centra mase kao referentnog pola, presjeka ALI " , tačka OD " , sistem unutrašnjih sila za lijevu stranu ( S ’ ) svodi se na glavni vektor i glavni momenat unutrašnjih napora. Slično se radi i za desni odsječeni dio, gdje je položaj centra mase presjeka ALI"; određuje se, odnosno, točkom OD(sl. 1 b, c).

Dakle, glavni vektor i glavni moment sistema unutrašnjih sila koji nastaju u lijevom uslovno odsječenom dijelu grede jednaki su po veličini i suprotni u smjeru od glavnog vektora i glavnog momenta sistema unutrašnjih sila koje nastaju u desnom uslovno odsečenom delu.

Grafikon (epure) raspodjele numeričkih vrijednosti glavnog vektora i glavnog momenta duž uzdužne osi grede i unaprijed određuju specifična pitanja čvrstoće, krutosti i pouzdanosti konstrukcija.

Odredimo mehanizam formiranja komponenti unutrašnjih sila koje karakterišu jednostavni pogledi otpornost: napetost-kompresija, smicanje, torzija i savijanje.

U centrima mase proučavanih sekcija OD" ili OD„Postavimo se u skladu s tim lijevo (c", x", y", z") ili desno (c", x", y", z”) sistema koordinatnih osa (sl. 1 b, c), koji za razliku od osnovnog koordinatnog sistema x, y, z zvaćemo "sljedbenici". Termin je zbog njihove funkcionalne svrhe. Naime: praćenje promjene položaja presjeka A (slika 1 a) sa njegovim uslovnim pomakom duž uzdužne ose grede, na primjer, kada: 0 x' 1 a, sjekira' 2 b itd., gde ali I b- linearne dimenzije granica proučavanih presjeka grede.

Postavimo pozitivne smjerove projekcija glavnog vektora ili i glavnog momenta ili na koordinatne ose servo sistema (sl. 1 b, c):

(N’, Q’ y, Q’ z) (M’ x, M’ y, M’ z)
(N ” , Q ” y , Q ” z ) (M ” x , M ” y , M ” z )

U ovom slučaju pozitivni pravci projekcija glavnog vektora i glavnog momenta unutrašnjih sila na osu servo koordinatnog sistema odgovaraju pravilima statike u teorijske mehanike: za silu - duž pozitivnog smjera ose, za moment - rotaciju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kada se gleda s kraja ose. Klasificiraju se na sljedeći način:

N x- normalna sila, znak centralne napetosti ili kompresije;

M x - unutrašnji moment, nastaje tokom torzije;

Q z , Q at- poprečne ili posmične sile - znak posmične deformacije,

M at , M z- unutrašnji momenti savijanja, odgovaraju savijanju.

Povezanost lijevog i desnog mentalno odsječenih dijelova šipke dovodi do poznatog (3) principa jednakosti u apsolutnoj vrijednosti i suprotnog smjera svih komponenti istoimenih unutrašnjih sila, te uvjeta ravnoteže traka je definisana kao:

Kao prirodna posledica relacija 3,4,5, dobijeni uslov je neophodan da bi slične komponente unutrašnjih sila formirale u parovima podsisteme sila ekvivalentne nuli:

1. {N ’ , N ” } ~ 0 > N ’ = – N ”
2. {Q ’ y , Q ” y } ~ 0 > Q ’ y = – Q ” y
3. {Q ’ z , Q ” z } ~ 0 > Q ’ z = – Q ” z
4. {M ’ x , M ” x } ~ 0 > M ’ x = – M ” x
5. {M ’ y , M ” y } ~ 0 > M ’ y = – M ” y
6. {M ’ z , M ” z } ~ 0 > M ’ z = – M ” z

Ukupan broj unutrašnjih sila (šest) u statički odredivim problemima poklapa se sa brojem jednačina ravnoteže za prostorni sistem sila i povezan je sa brojem mogućih međusobnih pomeranja jednog uslovno odsečenog dela tela u odnosu na drugi.

Željene sile se određuju iz odgovarajućih jednačina za bilo koji od presječnih dijelova u servo sistemu koordinatnih osa. Dakle, za bilo koji granični dio, odgovarajuće jednačine ravnoteže imaju oblik;

1. ix = N + P 1x + P 2x + … + P kx = 0 > N
2. iy = Q y + P 1g + P 2g + … + P ky = 0 > Q y
3. iz = Q + P 1z + P 2z + … + P kz = 0 > Q z
4. x (P i) = M x + M x (P i) + … + M x (P k) = 0 > M x
5. y (P i) = M y + M y (P i) + … + M y (P k) = 0 > M y
6. z (P i) = M z + M z (P i) + … + M z (P k) = 0 > M z

Ovdje, radi jednostavnosti označavanja koordinatnog sistema c"x"y"z" I s"x"y"t" zamijenjen jednim oxuz.