MOMENTUM TORQUE(kinetički moment, ugaoni moment, orbitalni moment, ugaoni moment) je jedan od dinamičkih karakteristike kretanja materijalna tačka ili mehanički. sistemi; posebno igra važnu ulogu prilikom proučavanja rotacije. pokret. Što se tiče momenta sile, M. c.d. se razlikuje u odnosu na centar (tačku) i u odnosu na osu.

M. c. d. materijalne tačke u odnosu na centar O jednaki vektorski proizvod radijus-vektor r tačka povučena iz centra O, na njen broj pokreta mv, tj. k 0 = [r mu] ili drugim oznakama k 0 = r mu. M. k. d. kz materijalna tačka oko z-ose koja prolazi kroz centar O, jednaka je projekciji vektora k 0 za ovu osu. Za izračunavanje M.c.d. tačke, svi f-ly dati za izračun su važeći moment sile, ako zamijenimo vektor F (ili njegove projekcije) vektora mu(ili njegove projekcije). Promjena tačke M. c. d. nastaje pod djelovanjem trenutka m 0 (F ) primijenjena sila. Priroda ove promjene određena je jednadžbom dk/dt = m 0 (F ), što je posljedica glavnog zakon dinamike. Kada m 0 (F ) = 0, što se, na primjer, odvija za centar. sile, M. c. d. tačke u odnosu na centar O ostaje konstantan; tačka se kreće duž ravne krive i njen radijus vektor opisuje jednake površine u bilo kojim jednakim vremenskim intervalima. Ovaj rezultat je važan za nebesku mehaniku (usp. Keplerovi zakoni), kao i za teoriju kosmičkog kretanja. letjeti. uređaja, satelita itd.

Za mehanički sistema, uvodi se koncept glavnog M. c.d. (ili kinetičkog momenta) sistema u odnosu na centar O, jednako geom. zbir M. c. d. svih tačaka sistema u odnosu na isti centar:

Vector K 0 se može odrediti njegovim projekcijama na međusobno okomite ose Oxyz. Količine K x , K y , K z, su istovremeno i glavni M. c.d. sistema u odnosu na odgovarajuće ose. Za tijelo koje rotira oko fiksne ose z od ang. brzine w, ove veličine su: K x = -I xz w, K y \u003d -I yz w, Kz = Iz w, gdje Iz- aksijalni, a I xz I I yz - centrifugalni momenti inercija. Ako se tijelo kreće oko fiksne tačke O, zatim za njega u projekcijama na glavne osi inercije povučene u tački O, će K x =- I x w x , K y = 1 g w y, Kz = Iz w z, gdje I x , 1 y, I z- momenti inercije u odnosu na Ch. sjekire; w x, w y, w z- projekcija trenutnog ugla. brzina w na ovim osovinama. Od f-l je vidljiv da je smjer vektora K 0 je isti smjer w samo kada se tijelo okreće oko jednog od svojih poglavlja. (za poen O) osi inercije. U ovom slučaju K 0 = Iw, gdje I- moment inercije tijela u odnosu na ovu Ch. sjekire.

Promjena glavnog M. do. d. sistema nastaje samo kao rezultat eksternog. utiče i zavisi od Ch. momenat M e 0 eksterno snage; ova zavisnost je određena jednačinom d K 0 /dt= M e 0 (jednačina momenata). Za razliku od slučaja kretanja jedne tačke, jednadžba momenata za sistem nije posljedica jednačine broja kretanja, a obje ove jednačine se mogu koristiti za proučavanje kretanja sistema u isto vrijeme. Samo uz pomoć jednačine momenata, kretanje sistema (tijela) može se u potpunosti odrediti samo u slučaju čisto rotacije. kretanje (oko fiksne ose ili tačke). Ako je Ch. moment ext. sile u odnosu na - n. centar ili osa je jednaka nuli, tada glavni M.c.d. sistema u odnosu na ovaj centar ili osu ostaje konstantan, tj. važi zakon održanja M.c.d. (vidi.

• 1. Algebarski moment momenta oko centra. Algebarski O-- skalarna vrijednost, uzeta sa predznakom (+) ili (-) i jednaka je proizvodu modula impulsa m na daljinu h(okomito) iz ovog centra na liniju duž koje je vektor usmjeren m:
• 2. Vektorski ugaoni moment u odnosu na centar.

Vector ugaoni moment materijalne tačke u odnosu na neki centar O -- vektor primijenjen u ovom centru i usmjeren okomito na ravan vektora m I u smjeru iz kojeg se može vidjeti kretanje točke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Ova definicija zadovoljava vektorsku jednakost

moment momenta materijalna tačka oko neke ose z naziva se skalarna vrijednost uzeta sa predznakom (+) ili (-) i jednaka je proizvodu modula vektorske projekcije količina kretanja u ravni koja je okomita na ovu osu, na okomitu h, spušteno od tačke preseka ose sa ravninom do prave duž koje je usmerena naznačena projekcija:

zamah mehanički sistem u odnosu na centar i osu

1. Kinetički moment u odnosu na centar.

zamah ili glavni moment impulsa mehaničkog sistema u odnosu na neki centar naziva se geometrijski zbir momenata količina kretanja svih materijalnih tačaka sistema u odnosu na isti centar.

2. Kinetički moment oko ose.

Ugaoni moment ili glavni moment količine gibanja mehaničkog sistema u odnosu na neku osu je algebarski zbir količine gibanja svih materijalnih tačaka sistema u odnosu na istu osu.

3. Momentum čvrsto telo, rotirajući oko fiksne z-ose sa ugaonom brzinom.

Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke u odnosu na centar i osu

1. Teorema momenata u odnosu na centar.

Derivat u vremenu od momenta količine gibanja materijalne tačke u odnosu na neki fiksni centar jednak je momentu sile koja djeluje na tačku u odnosu na isto središte

2. Teorema o momentima oko ose.

Derivat u vremenu od momenta količine gibanja materijalne tačke u odnosu na neku osu jednako je momentu sile koja djeluje na tačku, u odnosu na istu osu

Promjena teorema ugaoni moment mehanički sistem u odnosu na centar i osu

Teorema momenata o centru.

Derivat u vremenu od ugaonog momenta mehaničkog sistema u odnosu na neki fiksni centar jednak je geometrijskom zbiru momenata svih vanjskih sila koje djeluju na sistem u odnosu na isti centar;

Posljedica. Ako je glavni moment vanjskih sila u odnosu na neki centar jednak nuli, tada se ugaoni moment sistema u odnosu na ovo središte ne mijenja (zakon održanja ugaonog momenta).

2. Teorema o momentima oko ose.

Derivat u vremenu od ugaonog momenta mehaničkog sistema u odnosu na neku fiksnu osu jednak je zbiru momenata svih vanjskih sila koje djeluju na sistem u odnosu na ovu osu

Posljedica. Ako je glavni moment vanjskih sila oko neke ose jednak nuli, tada se kinetički moment sistema oko ove ose ne mijenja.

Na primjer = 0, onda L z = konst.

Rad i snaga snaga

Prisilni rad je skalarna mjera djelovanja sile.

1. Elementarni rad sile.

Osnovno rad sile je beskonačno mala skalarna veličina jednaka tačkasti proizvod vektora sile na vektor beskonačno malog pomaka tačke primene sile: ; - prirast radijus-vektora tačka primene sile, čiji je hodograf putanja ove tačke. Elementarni pomak tačke duž putanje se poklapaju sa zbog svoje malenkosti. Zbog toga

ako onda dA > 0; ako, onda dA = 0;ako , onda dA< 0.

2. Analitički izraz za elementarni rad.

Zamislite vektore I d kroz njihove projekcije na osi Kartezijanske koordinate:

, . Uzmi (4.40)

3. Rad sile na konačnom pomaku jednak je integralnom zbiru elementarni radovi na ovom potezu

Ako je sila konstantna i tačka njene primene se kreće pravolinijski,

4. Rad gravitacije. Koristimo formulu: Fx = Fy = 0; Fz=-G=-mg;

gdje h- pomeranje tačke primene sile okomito prema dole (visina).

Prilikom pomicanja tačke primjene gravitacije prema gore A 12 = -mgh(tačka M 1 -- na dnu, M 2 - gore).

dakle, . Rad gravitacije ne zavisi od oblika putanje. Kada se krećete po zatvorenoj stazi ( M 2 je isto kao M 1 ) rad je nula.

5. Rad elastične sile opruge.

Opruga se proteže samo duž ose X:

F y = F z = O, F x = = -sh;

gdje je vrijednost deformacije opruge.

Prilikom pomicanja tačke primjene sile iz donjeg položaja u gornji položaj, smjer sile i smjer kretanja su isti, tada

Dakle, rad elastične sile

Rad snaga na konačnom pomjeranju; Ako je = const, onda

gdje je konačni ugao rotacije; , gdje P -- broj okretaja tijela oko ose.

Kinetička energija materijalne tačke i mehaničkog sistema. Königova teorema

Kinetička energija- skalarna mjera mehaničko kretanje.

Kinetička energija materijalne tačke - skalarna pozitivna vrijednost jednaka polovini umnoška mase tačke i kvadrata njene brzine,

Kinetička energija mehaničkog sistema -- aritmetički zbir kinetičkih energija svih materijalnih tačaka ovog sistema:

Kinetička energija sistema koji se sastoji od P međusobno povezana tijela jednaka je aritmetičkom zbiru kinetičkih energija svih tijela ovog sistema:

Königova teorema

Kinetička energija mehaničkog sistema u opštem slučaju njegovog kretanja jednako je zbiru kinetičke energije kretanja sistema zajedno sa centrom mase i kinetičke energije sistema dok se kreće u odnosu na centar mase:

gdje Vkc- brzina k- th tačke sistema u odnosu na centar mase.

Kinetička energija krutog tijela u različitim kretanjima

Progresivni pokret.

Rotacija tijela oko fiksne ose . ,gdje -- moment inercije tijela oko ose rotacije.

3. Ravnoparalelno kretanje. , gdje je moment inercije ravne figure oko ose koja prolazi kroz centar mase.

Sa ravnim pokretom kinetička energija tijela je zbir kinetičke energije kretanje napred tijela brzinom centra mase i kinetička energija rotacionog kretanja oko ose koja prolazi kroz centar mase, ;

Teorema o promjeni kinetičke energije materijalne tačke

Teorema u diferencijalnom obliku.

Diferencijal iz kinetičke energije materijalne tačke jednaka je elementarnom radu sile koja djeluje na tačku,

Teorema u integralnom (konačnom) obliku.

Promjena Kinetička energija materijalne tačke pri nekom pomaku jednaka je radu sile koja djeluje na tačku pri istom pomaku.

Teorema o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema

Teorema u diferencijalnom obliku.

Diferencijal iz kinetičke energije mehaničkog sistema jednaka je zbiru elementarnih radova spoljašnjih i unutrašnje sile djelujući na sistem.

Teorema u integralnom (konačnom) obliku.

Promjena Kinetička energija mehaničkog sistema pri nekom pomaku jednaka je zbiru rada spoljašnjih i unutrašnjih sila primenjenih na sistem pri istom pomaku. ; Za sistem krutih tijela = 0 (prema svojstvu unutrašnjih sila). Onda

Zakon održanja mehaničke energije materijalne tačke i mehaničkog sistema

Ako je materijal tačka ili mehanički sistem su samo konzervativne sile, tada u bilo kojoj poziciji tačke ili sistema, zbir kinetičkih i potencijalne energije ostaje konstantan.

Za materijalnu tačku

Za mehanički sistem T+ P= konst

gdje T+ P -- ukupna mehanička energija sistema.

Dinamika krutog tijela

Diferencijalne jednadžbe kretanja krutog tijela

Ove jednačine se mogu dobiti iz opštih teorema dinamike mehaničkog sistema.

1. Jednačine translacionog kretanja tijela - iz teoreme o kretanju centra mase mehaničkog sistema U projekcijama na ose kartezijanskih koordinata

2. Jednačina rotacije krutog tijela oko fiksne ose - iz teoreme o promjeni kinetičkog momenta mehaničkog sistema u odnosu na osu, na primjer, u odnosu na osu

Od kinetičkog momenta L z kruto tijelo oko ose, onda ako

Pošto ili, onda se jednačina može napisati u obliku ili, oblik jednačine zavisi od toga šta treba odrediti u određenom problemu.

Diferencijalne jednadžbe ravan-paralele Kretanja krutog tijela su skup jednadžbi progresivan kretanje ravne figure zajedno sa centrom mase i rotacijski kretanje oko ose koja prolazi kroz centar mase:

fizičko klatno

fizičko klatno naziva se kruto tijelo koje rotira oko horizontalne ose koja ne prolazi kroz centar mase tijela, a kreće se pod utjecajem gravitacije.

Diferencijalna jednadžba rotacije

U slučaju malih fluktuacija.

Onda gde

Rješenje ove homogene jednadžbe.

Neka u t=0 Onda

-- jednadžba harmonijskih oscilacija.

Period oscilacije klatna

Smanjena dužina fizičko klatno je dužina takvog matematičkog klatna, čiji je period oscilovanja jednak periodu oscilovanja fizičkog klatna.

Moment momenta moment momenta

(kinetički moment, ugaoni moment, ugaoni moment), mera mehaničkog kretanja tela ili sistema tela u odnosu na bilo koji centar (tačku) ili osu. Za izračunavanje momenta impulsa K materijalna tačka (telo), važe iste formule kao i za izračunavanje momenta sile, ako vektor sile u njima zamenimo vektorom momenta mv, tj. K = [r· mv], gdje r- udaljenost do ose rotacije. Zbir momenata impulsa svih tačaka sistema oko centra (ose) naziva se glavnim momentom količine gibanja sistema (kinetički moment) oko ovog centra (ose). Kod rotacionog kretanja krutog tijela, glavni moment količine kretanja oko ose rotacije z Iz na ugaonu brzinu ω tijela, tj. Kz = Izω.

MOMENTUM TORQUE

MOMENT KRETANJA (kinetički moment, ugaoni moment, ugaoni moment), mera mehaničkog kretanja tela ili sistema tela u odnosu na bilo koji centar (tačku) ili osu. Za izračunavanje momenta impulsa TO materijalna tačka (telo) važe iste formule kao i za izračunavanje momenta sile (cm. TRENUTAK MOĆI), ako vektor sile u njima zamijenimo vektorom momenta mv, posebno K 0 = [r· mv]. Zbir momenata impulsa svih tačaka sistema oko centra (ose) naziva se glavnim momentom količine gibanja sistema (kinetički moment) oko ovog centra (ose). Kod rotacionog kretanja krutog tijela, glavni moment količine kretanja oko ose rotacije z tijelo se izražava umnoškom momenta inercije (cm. MOMENT INERCIJE) I z na ugaonu brzinu w tijela, tj. TO Z= I zw.

enciklopedijski rječnik . 2009 .

Pogledajte šta je "moment zamaha" u drugim rječnicima:

- (kinetički moment, ugaoni moment), jedna od mjera mehaničke. kretanje materijalne tačke ili sistema. M. to. igra posebno važnu ulogu u proučavanju rotacije. pokret. Što se tiče momenta sile, postoje M. c. d. u odnosu na centar (tačku) i ... ... Physical Encyclopedia

- (kinetički moment, ugaoni moment, ugaoni moment), mera mehaničkog kretanja tela ili sistema tela u odnosu na bilo koji centar (tačku) ili osu. Za izračunavanje momenta količine kretanja K materijalne tačke (tijela), isti ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Ugaoni moment (kinetički moment, ugaoni moment, orbitalni moment, ugaoni moment) karakteriše količinu rotacionog kretanja. Vrijednost koja ovisi o tome koliko se masa rotira, kako je raspoređena u odnosu na osu ... ... Wikipedia

moment momenta- kinetički moment, jedna od mjera mehaničkog kretanja materijalne tačke ili sistema. Ugaoni moment ima posebno važnu ulogu u proučavanju rotacionog kretanja. Što se tiče momenta sile, razlikuje se trenutak ... ... Enciklopedijski rečnik metalurgije

moment momenta- judesio kiekio momentas statusas T sritis Standardizacija i metrologija apibrėžtis Dydis, lygus dalelės padėties vektoriaus iš tam tikro taško į dalelę ir jos judesio kiekio vektorinei sandaugai, t. y. L = rp; čia L – judesio kiekio momento… …

moment momenta- judesio kiekio momentas statusas T sritis Standardizacija i metrologija apibrėžtis Materialiojo taško arba dalelės spindulio vektoriaus ir judesio kiekio vektorinė sandauga. Dažniausiai apibūdina sukamąjį judesį taško arba ašies, iš kurios yra… … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

moment momenta- judesio kiekio momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ugaoni moment; moment momenta; moment rotacije vok. Drehimpuls, m; Impulsni moment, n; Moment rotacije, n rus. ugaoni moment, m; ugaoni moment, m; ugaoni moment … Fizikos terminų žodynas

Kinetički moment, jedna od mjera mehaničkog kretanja materijalne tačke ili sistema. Posebno važnu ulogu igra M. K. D. u proučavanju rotacionog kretanja (vidi. rotaciono kretanje). Što se tiče momenta sile (vidi Moment sile), ... ... Veliki sovjetska enciklopedija

- (kinetički moment, ugaoni moment, ugaoni moment), mjera mehaničke. kretanje tijela ili sistema tijela u odnosu na k.l. centar (tačka) ili glavni. Za izračunavanje M. c. d. K materijalne tačke (tijela) vrijede iste formule kao i za izračunavanje trenutka ... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Isto kao i ugaoni moment... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

Knjige

• Spisi, Karl Marx. Drugi tom Dela K. Marxa i F. Engelsa sadrži radove napisane od septembra 1844. do februara 1846. godine. Krajem avgusta 1844. godine, Marx i Engels su se sastali u Parizu, ...
• Teorijska mehanika. Dinamika metalnih konstrukcija, V. N. Shinkin. Glavna teorijska i praktična pitanja dinamike materijalni sistem i analitičke mehanike na teme: geometrija masa, dinamika materijalnog sistema i čvrsta tela...

Moment impulsa materijalne tačke u odnosu na neki centar O jednak je vektorskom proizvodu poluprečnik-vektora pokretne tačke i količine gibanja, tj.

Očigledno je da je modul ugaonog momenta jednak

gdje je rame vektora v u odnosu na centar O (Sl. 167).

Projektovanjem vektorske jednakosti (153) na koordinatne ose koje prolaze kroz centar O, dobijamo formule za momente momenta kretanja materijalne tačke oko ovih osa:

U vektorskom obliku, teorema momenta gibanja izražava se na sljedeći način: vremenski izvod momenta količine gibanja materijalne tačke u odnosu na neki fiksni centar O jednak je momentu sile koja djeluje u odnosu na isto središte, tj.

Projektovanje vektorske jednakosti (156) na bilo koju od koordinatne ose prolazeći kroz centar O, dobijamo jednačinu koja izražava istu teoremu u skalarnom obliku:

tj., vremenski izvod ugaonog momenta materijalne tačke u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak je momentu delujuće sile u odnosu na istu osu.

Ova teorema je od velike važnosti u rješavanju problema u slučaju da se tačka kreće pod djelovanjem centralne sile.Središnja sila je takva sila čija linija djelovanja cijelo vrijeme prolazi kroz istu tačku koja se naziva središte ove sile. Ako se materijalna tačka kreće pod dejstvom centralne sile F sa centrom u tački O, onda

i stoga . Dakle, ugaoni moment u ovom slučaju ostaje konstantan po veličini i smjeru. Iz toga slijedi da materijalna tačka pod djelovanjem centralne sile opisuje ravnu krivu koja se nalazi u ravni koja prolazi kroz centar sile.

Ako je poznata putanja koju tačka opisuje pod dejstvom centralne sile, onda se, koristeći teoremu o momentu količine gibanja, može pronaći ova sila kao funkcija udaljenosti od tačke do centra sile.

Zaista, pošto moment momenta momenta u odnosu na centar sile ostaje konstantan, onda, označavajući h krak vektora u odnosu na centar sile, imamo:

(158)

Da bi se odredila ova konstanta, mora biti poznata brzina tačke u nekoj tački putanje. S druge strane, imamo (Sl. 168):

gdje je polumjer zakrivljenosti putanje, je ugao između radijus vektora tačke i tangente na putanju u ovoj tački.

Dakle, imamo dvije jednačine (158) i (159) sa dvije nepoznate v i F; preostale količine uključene u ove jednačine, tj. koje su elementi date putanje, lako se mogu pronaći. Dakle, može se naći v i F kao funkcije .

Primer 129. Tačka M opisuje elipsu pod dejstvom centralne sile F (Sl. 169). Brzina na vrhu A je . Nađite brzinu na vrhu B ako i .

Rješenje. Pošto u ovom slučaju

Primer 130. Tačka M mase opisuje kružnicu poluprečnika a, privučena tačkom A ovog kruga (sl. 170).

U početnom trenutku, tačka je u poziciji B i ima brzinu . Odrediti brzinu v tačke i silu privlačenja F kao funkciju radijus vektora .

Moment tačke i mehanički sistem

Rice. 3.14

Jedna od dinamičkih karakteristika kretanja materijalne tačke i mehaničkog sistema je kinetički moment ili moment impulsa.

Za materijalnu tačku, kinetički moment u odnosu na bilo koji centar O naziva se momentom momenta tačke u odnosu na ovo središte (slika 3.14),

Ugaoni moment materijalne tačke u odnosu na osu je projekcija na ovu osu ugaonog momenta tačke u odnosu na bilo koji centar na ovoj osi:

Ugaoni moment mehaničkog sistema u odnosu na centar O je geometrijski zbir kinetičkih momenata svih tačaka sistema u odnosu na isti centar (slika 3.15):

(3.20)

Kinetički moment se primjenjuje na tačku O prema kojoj se obračunava.

Ako projektujemo (3.20) na ose Kartezijanski sistem koordinate, tada dobijamo projekcije ugaonog momenta na ove ose, odnosno kinetičke momente u odnosu na koordinatne ose:

Odredimo ugaoni moment tijela u odnosu na njegovu fiksnu os rotacije z(Sl. 3.16).

Prema formulama (3.21), imamo

Ali kada se tijelo rotira ugaonom brzinom w, brzinom i zamah tačke okomito na segment dk i leži u ravni okomitoj na os rotacije Oz, Shodno tome,

Rice. 3.15

Rice. 3.16

Za cijelo tijelo:

gdje Jz je moment inercije oko ose rotacije.

Posljedično, kinetički moment krutog tijela oko ose rotacije jednak je proizvodu momenta inercije tijela oko date ose i ugaone brzine tijela.

2. Teorema o promjeni ugaonog momenta
mehanički sistem

Ugaoni moment sistema u odnosu na fiksni centar O(Sl. 3.15)

Uzmite derivaciju vremena s lijeve i desne strane ove jednakosti:

(3.22)

Mi to uzimamo u obzir tada izraz (3.22) poprima oblik

Ili, s obzirom na to

- zbir momenata vanjskih sila oko centra O, konačno imamo:

(3.23)

Jednakost (3.23) izražava teoremu o promjeni ugaonog momenta.

Teorema o promjeni kinetičkog momenta. Vremenski izvod ugaonog momenta mehaničkog sistema u odnosu na fiksni centar jednak je glavnom momentu spoljnih sila sistema u odnosu na isti centar.

Projektujući jednakost (3.23) na fiksne ose kartezijanskih koordinata, dobijamo teoremu o projekcijama na ove ose:

Iz (3.23) slijedi da ako je glavni moment vanjskih sila u odnosu na neki fiksni centar jednak nuli, tada kinetički moment u odnosu na ovo središte ostaje konstantan, tj. ako

(3.24)

Ako je zbroj momenata vanjskih sila sistema u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak nuli, tada odgovarajuća projekcija ugaonog momenta ostaje konstantna,

(3.25)

Tvrdnje (3.24) i (3.25) predstavljaju zakon održanja ugaonog momenta sistema.

Dobijamo teoremu o promjeni ugaonog momenta sistema tako što za tačku pri izračunavanju ugaonog momenta odaberemo tačku A, krećući se brzinom u odnosu na inercijski referentni sistem

Ugaoni moment sistema u odnosu na tačku A(Sl. 3.17)

Rice. 3.17

jer onda

S obzirom na to gdje je brzina centra mase sistema, dobijamo

Izračunajte vremenski izvod ugaonog momenta

U rezultirajućem izrazu:

Kombinujući drugi i treći termin, i uzimajući to u obzir

konačno dobijamo

Ako se tačka poklapa sa centrom mase sistema C, onda i teorema postaje

one. ima isti oblik kao za fiksnu tačku O.

3. Diferencijalna jednačina rotacije krutog tijela
oko fiksne ose

Neka kruto tijelo rotira oko fiksne ose Az(Sl. 3.18) pod dejstvom sistema spoljnih sila
Zapisujemo jednačinu teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema u projekciji na osu rotacije:

Rice. 3.18

Za slučaj rotacije krutog tijela oko fiksne ose:

gdje Jz je konstantni moment inercije oko ose rotacije; w je ugaona brzina.

S obzirom na ovo, dobijamo:

Ako uvedemo ugao rotacije tijela j, onda, uzimajući u obzir jednakost imamo

(3.26)

Izraz (3.26) je diferencijalna jednadžba rotacija krutog tijela oko fiksne ose.

4. Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema
u relativnom kretanju u odnosu na centar mase

Za proučavanje mehaničkog sistema biramo fiksni koordinatni sistem Ox 1 y 1 z 1 i mobilni Cxyz počevši od centra mase C, krećući se naprijed (sl. 3.19).

Iz vektorskog trougla:

Rice. 3.19

Razlikujući ovu jednakost s obzirom na vrijeme, dobijamo

ili

gdje je apsolutna brzina tačke M k, - apsolutna brzina centra mase OD,
- relativna brzina tačke M k, jer

Zamah oko boda O

Zamjenom vrijednosti i , dobijamo

U ovom izrazu: je masa sistema; ;

je ugaoni moment sistema u odnosu na centar mase za relativno kretanje u koordinatnom sistemu Sxyz.

Zamah poprima oblik

Teorema o promjeni ugaonog momenta u odnosu na tačku O ima oblik

Zamijenite vrijednosti i dobijamo

Hajde da transformišemo ovaj izraz uzimajući u obzir to

ili

Ova formula izražava teoremu o promeni ugaonog momenta sistema u odnosu na centar mase za relativno kretanje sistema u odnosu na koordinatni sistem koji se kreće translaciono sa centrom mase. Formulisan je na isti način kao da je centar mase fiksna tačka.