AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE
INSTITUȚIE DE ÎNVĂȚĂMÂNT DE STAT
ÎNVĂŢĂMÂNT PROFESIONAL SUPERIOR
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT VOLGOGRAD
INSTITUTUL TEHNOLOGIC KAMYSHINSKY (SUCURSALA)
DEPARTAMENTUL „DISCIPLINE TEHNICE GENERALE”
SUBSTENȚE ÎN DESFENTRU
ÎNtindere sau compresie
Instrucțiuni
RPK „politehnică”
Volgograd
2007
UDC 539. 3/.6 (07)
Studiu pilot distribuția tensiunilor în tensiune sau compresiune excentrică: Ghid / Comp. , ; Volgograd. stat tehnologie. un-t. - Volgograd, 2007. - 11 p.
Preparat în conformitate cu program de lucru la disciplina „Rezistența materialelor” și au scopul de a ajuta studenții care studiază în următoarele domenii: 140200.
Il. 5. Tab. 2. Bibliografie: 4 titluri.
Referent: dr., conferențiar
Publicat prin hotărâre a consiliului editorial și editorial
Universitatea Tehnică de Stat din Volgograd
Alcătuit de: Alexander Vladimirovici Belov, Natalia Georgievna Neumoina
Anatoli Alexandrovici Polivanov
STUDIU EXPERIMENTAL AL DISTRIBUȚIEI
SUBSTENȚE ÎN DESFENTRU
ÎNtindere sau compresie
Instrucțiuni
Templan 2007, poz. nr. 18.
Semnat pentru tipar Format 60×84 1/16.
Hârtie de foaie. Imprimare offset.
Conv. cuptor l. 0,69. Conv. ed. l. 0,56.
Tiraj 100 de exemplare. Comandă nu.
Universitatea Tehnică de Stat din Volgograd
400131 Volgograd, av. lor. , 28.
RPK „politehnică”
Universitatea Tehnică de Stat din Volgograd
400131 Volgograd, str. sovietic, 35.
© Volgogradsky
stat
tehnic
Universitatea 2007
LAB #10
Tema: Studiu experimental al distribuției tensiunilor în tensiune sau compresie excentrică.
Obiectiv: Determinați empiric mărimea tensiunilor normale în puncte date ale secțiunii transversale.
Cheltuirea timpului: 2 ore.
1. Informații teoretice scurte
 |
Tensiunea (compresia) excentrică a unei grinzi drepte apare dacă forța externă aplicată grinzii este îndreptată paralel cu axa longitudinală a acesteia, dar acționează la o anumită distanță de centrul de greutate al secțiunii transversale a grinzii (Fig. 1).
Compresia excentrică este o deformare complexă. Poate fi reprezentat ca un set de 3 deformari simple (caz general - vezi Fig. 1) sau 2 deformatii simple (caz special - vezi Fig. 2).
Caz general
Compresie excentrică | ||||
central | curba pură despre axa X | la |
caz special
Compresie excentrică | ||||
compresie centrală | încovoiere axială pură la |
Toate secțiunile transversale ale unei bare sub compresie excentrică sunt la fel de periculoase.
Trei factori de forță interni apar acolo simultan (caz general):
forță longitudinală N;
momentul încovoietor MX;
momentul încovoietor My,
și doi factori de forță interni (caz special):
forță longitudinală N;
momentul încovoietor MxȘi My.
Acest factor de forță intern corespunde numai solicitărilor normale, a căror mărime poate fi determinată prin formulele:
Unde DAR este aria secțiunii transversale a fasciculului ( m2);
X; Iy sunt principalele momente centrale de inerție ( m4).
Pentru o secțiune dreptunghiulară:
la X;
X este distanța de la punctul în care se determină solicitarea până la axă la.
Conform principiului independenței acțiunii forțelor, efortul în orice punct al secțiunii transversale în timpul compresiei excentrice este determinat de formulele:
, (3)
. (4)
Și cu tensiune excentrică:
. (5)
Semnul din fața fiecărui termen se alege în funcție de tipul de rezistență: semnul „+” corespunde tensiunii, „-” compresiunii.
Pentru a determina tensiunea în punctul de colț al secțiunii, se utilizează formula:
, (6)
Unde Wx, da- momentele de rezistenţă ale secţiunii transversale faţă de principală axele centrale inerția secțiunii transversale ( m3).
Pentru profile laminate: grindă în I, canal etc., momentele de rezistență sunt date în tabele.
DIV_ADBLOCK127">
În mod similar, se determină semnul tensiunii σmu. În acest caz, secțiunea este fixată de-a lungul axei la(vezi fig. 3 c).
2. Informatie scurta despre echipament și eșantion
Schema de testare
Cu mașina UMM-50. | Cu mașina R-10. |
|
|
Încercarea de tracțiune excentrică se efectuează pe o mașină UMM-50. Proba este o bandă de oțel cu secțiune transversală dreptunghiulară cu dimensiuni în´ h = 1,5 ´ 15 cm. Testul de compresie excentrică se efectuează pe o mașină de încercare la tracțiune. R-10. Eșantionul este un rack scurt I-beam. Numărul de profil 12 .
Descrierea mașinilor utilizate în această lucrare este dată în detaliu în manualul de executare munca de laborator № 1.
Ca echipamente de măsurare, sunt utilizate aici extensometrele și dispozitivul IDC-I, al cărui principiu de funcționare este descris în detaliu în manualul pentru efectuarea lucrărilor de laborator nr. 3.
3. Efectuarea lucrărilor de laborator
3.1. Pregătirea pentru experiment
1. Înregistrați în proces verbal scopul lucrării, informații despre echipamentul și materialul probelor testate.
2. Desenați o schemă de testare, introduceți dimensiunile eșantionului necesare în raport.
3. Determinați caracteristicile geometrice necesare:
pentru un dreptunghi conform formulelor (2);
pentru o grindă în I din masa de sortiment.
Determinați distanțele de la puncte date la axa X. Determinați maximul și valoarea minima forța F, precum și valoarea treptei de încărcare ΔF. Înregistrați sarcina în prima coloană a tabelului. unu.
(Notă: valoarea maximă a forței F se determină din pașaportul de instalare, ținând cont de factorul de concentrare a tensiunii, cu condiția ca valoarea tensiunii calculată să nu depășească limita de curgere a materialului eșantion.)
Calculați valoarea factorilor de forță interni:
N= F; Mx = F × y.
În funcție de schema de testare, calculați efortul normal în punctele indicate ale secțiunii transversale folosind formulele (5) sau (6). Scrieți valoarea tensiunii în coloana 3 a tabelului. 2.
3.2. partea experimentală
1. Efectuați un test, fixând citirile tuturor celor trei extensometre conform instrumentului IDC-I la valorile de sarcină date.
2. Numărul de măsurători pentru fiecare celulă de sarcină trebuie să fie de cel puțin cinci. Înregistrați datele în tabel. unu.
3.3. Prelucrarea datelor experimentale
1. Determinați incrementul citirilor fiecărei celule de sarcină
2. Determinați valoarea medie a incrementelor:
https://pandia.ru/text/78/445/images/image021_18.gif" width="121" height="40 src=">.
7. Trageți concluzii asupra lucrării.
Laboratorul #10
Subiect:
Obiectiv:
Definirea teoretică a tensiunilor
Determinarea experimentală a tensiunilor
tabelul 1
Sarcină- ka,F , kN | Citirile instrumentului și incrementele acestora |
|||||
Compararea rezultatelor teoretice și experimentale
masa 2
Stresul normal MPa | % discrepanță |
||
valori experimentale | valori teoretice |
||
σ eu | |||
σ II | |||
σ III |
Diagrame de tensiuni cu desenarea unei linii zero
concluzii
Lucrarea a fost realizată de student:
întrebări de test
1. Cum să obțineți deformare compresie excentrică (tensiune)?
2. În ce deformații simple constă deformația complexă de compresie (tension) excentrică?
3. Ce factori de forță interni apar în secțiunea transversală a unei grinzi comprimate excentric?
4. Cum se determină valoarea lor?
5. Ce secțiune a unui fascicul excentric comprimat este periculoasă?
6. Cum se determină mărimea tensiunilor din fiecare dintre factorii de forță interni în orice punct al secțiunii transversale?
7. Ce formule se folosesc pentru a determina momentele de inerție ale unei secțiuni dreptunghiulare în raport cu principalele axe centrale de inerție? Care sunt unitățile lor de măsură?
8. Cum se determină semnul de stres din factorii de forță interni în tensiune (compresie) decentrată?
9. Ce ipoteză stă la baza determinării tensiunilor în compresia excentrică? Formulează-l.
10. Formula pentru determinarea tensiunilor in orice punct al sectiunii transversale sub compresie excentrica.
BIBLIOGRAFIE
1. Materiale Feodosiev. M.: Editura MSTU, 2000 - 592c.
2. si altele.Rezistenta materialelor. Kiev: liceu, 1986. - 775p.
3. Materiale Stepin. M.: Şcoala superioară, 1988. - 367p.
4. Rezistenta materialelor. Atelier de laborator./, etc.M .: Dropia, 2004. - 352 p.
Al doilea caz practic important de adăugare a deformațiilor din încovoiere și din forțele longitudinale este așa-numita compresie sau tensiune excentrică cauzată numai de forțele longitudinale. Acest tip de deformare se obține atunci când asupra tijei acționează două forțe egale și direct opuse Rîndreptată în linie dreaptă AA, paralel cu axa tijei (Fig.3 a). Distanța punctului DAR din centrul de greutate al secțiunii OA=e numit excentricitatea.
Să considerăm mai întâi cazul compresiei excentrice, ca având o semnificație practică mai mare.
Sarcina noastră este să găsim cele mai mari solicitări în materialul tijei și să verificăm rezistența. Pentru a rezolva această problemă, aplicăm la puncte DESPRE două forțe egale și opuse R(Fig. 3 b). Acest lucru nu va perturba echilibrul tijei în ansamblu și nu va modifica tensiunile din secțiunile sale.
Forțe R, tăiat o dată, va determina compresia axială și perechile de forțe R, tăiat de două ori, va provoca momente pure de încovoiere. Schema de proiectare a tijei este prezentată în Fig. 3 c. Deoarece planul de acţiune al perechilor de îndoire OA poate să nu coincidă cu niciunul dintre planurile principale de inerție ale tijei, atunci în cazul general există o combinație de compresie longitudinală și îndoire oblică pură.
Deoarece sub compresiune axială și încovoiere pură tensiunile sunt aceleași în toate secțiunile, încercarea de rezistență poate fi efectuată pentru orice secțiune, cel puțin C-C (Fig. 3 b, c).
Să aruncăm partea superioară a tijei și să o lăsăm pe cea inferioară (Fig. 3d). Lasă topoarele OUȘi Oz vor fi principalele axe de inerție ale secțiunii.
Fig.3. a) schema de proiectare b) transformarea sarcinilor c) schema de proiectare dată d) mecanism de studiu al tensiunilor
Coordonatele punctului DAR, - punctele de intersecție ale dreptei de acțiune a forțelor R cu un plan de secțiune, - să fie și . Să fim de acord să alegem direcțiile pozitive ale axelor OUȘi Oz astfel încât punctul DAR era în primul cadran. Atunci vor fi pozitive.
Pentru a găsi cel mai periculos punct din secțiunea selectată, găsim stresul normal în orice punct ÎN cu coordonate zȘi la. Tensiunile din secțiunea C - C vor fi suma tensiunilor de compresiune axială de către forță R iar tensiunile din curbarea oblică pură în perechi cu momentul Re, Unde . Tensiuni de compresiune din forțele axiale Rîn orice punct sunt egale, unde este aria secțiunii transversale a tijei; în ceea ce priveşte încovoierea oblică, o vom înlocui cu acţiunea momentelor încovoietoare în planurile principale. Îndoirea în plan x Oiîn jurul axei neutre Oz va fi sunat de moment și va da la punct ÎN efort normal de compresiune
În mod similar, stresul normal la un punct ÎN de la îndoire în planul principal x Oz, cauzat de momentul , va fi compresiv și va fi exprimat prin formula.
Însumând tensiunile de la compresiune axială și două îndoiri plate și considerând tensiunile de compresiune ca fiind negative, obținem următoarea formulă pentru solicitarea în punctul ÎN:
| (1) |
Această formulă este potrivită pentru calcularea tensiunilor în orice punct al oricărei secțiuni a tijei, dar în loc de laȘi zînlocuiți coordonatele punctului relativ la axele principale cu semnele lor.
În cazul tensiunii excentrice, semnele tuturor componentelor tensiunii normale la punctul ÎN va fi inversat. Prin urmare, pentru a obține semnul corect de stres atât pentru compresia excentrică, cât și pentru tensiunea excentrică, este necesar, pe lângă semnele coordonatelor laȘi z, tine cont si de semnul fortei R; când este întins înainte de exprimare
ar trebui să fie un semn plus, cu compresie - un semn minus.
Formula rezultată poate primi o formă ușor diferită; scoateți multiplicatorul din paranteză; primim:
| (2) |
Iată și sunt razele de inerție ale secțiunii față de axele principale (reamintim că și ).
Pentru a găsi punctele cu cele mai mari solicitări, ar trebui să alegeți laȘi z pentru a ajunge la valoarea maximă. Variabilele din formulele (1) și (2) sunt ultimii doi termeni care reflectă efectul îndoirii. Și întrucât în timpul îndoirii cele mai mari solicitări se obțin în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră, aici, ca și în îndoirea oblică, este necesar să se găsească poziția axei neutre.
Să notăm coordonatele punctelor acestei drepte prin și ; întrucât în punctele axei neutre tensiunile normale sunt egale cu zero, atunci după înlocuirea valorilor în formula (2) și obținem:
| (3) |
Aceasta va fi ecuația axei neutre. Evident, am obținut ecuația unei drepte care nu trece prin centrul de greutate al secțiunii.
Pentru a construi această linie, cel mai simplu mod este să calculați segmentele tăiate de ea axele de coordonate. Să notăm aceste segmente și . Pentru a găsi segmentul interceptat pe axă OU, este necesar să punem în ecuația (3)
atunci obținem:
Dacă valorile și sunt pozitive, atunci segmentele și vor fi negative, adică axa neutră va fi situată pe cealaltă parte a centrului de greutate al secțiunii decât punctul DAR(Fig. 3d).
Axa neutră împarte secțiunea în două părți - comprimată și întinsă; în Fig. 3d, partea întinsă a secțiunii este umbrită. Trasând tangente paralele cu axa neutră la conturul secțiunii, obținem două puncte și , la care vor exista cele mai mari solicitări de compresiune și tracțiune.
Măsurarea coordonatelor laȘi z aceste puncte și înlocuind valorile lor în formula (1), calculăm valorile celor mai mari solicitări în punctele și:
Dacă materialul tijei rezistă în mod egal la tensiune și compresie, atunci starea de rezistență ia următoarea formă:
Pentru secțiuni transversale cu colțuri proeminente, în care ambele axe principale de inerție sunt axe de simetrie (dreptunghi, grindă I etc.) Prin urmare, formula este simplificată și avem
Dacă materialul tijei rezistă în mod inegal la tensiune și compresie, atunci este necesar să se verifice rezistența tijei atât în zonele întinse, cât și în cele comprimate.
Cu toate acestea, se poate întâmpla ca chiar și pentru astfel de materiale un singur test de rezistență să fie suficient. Din formulele (4) și (5) se poate observa că poziția punctului DAR aplicarea forţei şi poziţia axei neutre sunt legate: cu cât punctul este mai aproape DAR spre centrul secțiunii, cu cât valorile sunt mai mici și și segmentele mai mari și . Astfel, cu abordare puncte DAR până la centrul de greutate al axei neutre a secțiunii îndepărtat de la el și invers. Prin urmare, pentru unele poziții ale punctului DAR va trece axa neutră in afara secțiunea și întreaga secțiune vor funcționa pentru tensiuni de același semn. Evident, în acest caz este întotdeauna suficient să verificați rezistența materialului în punctul .
Să analizăm un caz practic important când o forță excentrică este aplicată unei tije cu secțiune dreptunghiulară (Fig. 4) R la punct DAR situată pe axa principală a secțiunii OU. Excentricitate OA egală e, dimensiunile secțiunii bȘi d. Aplicând formulele obținute mai sus, avem:
Fig.4. Diagrama de calcul a unei bare de secțiune dreptunghiulară.
Tensiune în orice punct ÎN egală
Tensiuni în toate punctele unei linii paralele cu axa Oz, sunt la fel. Poziția axei neutre este determinată de segmente
Axa neutră este paralelă cu axa Oz; punctele cu cele mai mari solicitări de tracțiune și compresiune sunt situate pe laturile 1–1 și 3–3.
Valorile și vor fi obținute dacă înlocuim în loc de la semnificațiile sale. Apoi
Cursul numărul 28. Miez de secțiune sub compresie excentrică
Atunci când proiectați tije din materiale care rezistă slab la tensiune (beton), este foarte de dorit să vă asigurați că întreaga secțiune funcționează numai în compresie. Acest lucru poate fi realizat fără a indica punctul de aplicare a forței R deplasați-vă prea departe de centrul de greutate al secțiunii, limitând excentricitatea.
Este de dorit ca proiectantul să știe dinainte ce fel de excentricitate poate fi permisă pentru tipul de secțiune selectat, fără a risca să provoace tensiuni de semne diferite în secțiunile tijei. Aici conceptul de așa-numitul miezul secțiunii. Acest termen denotă o zonă din jurul centrului de greutate al secțiunii, în interiorul căreia este posibil să se localizeze punctul de aplicare a forței P fără a provoca solicitări de diferite semne în secțiune.
Până la punct DAR este situat în interiorul miezului, axa neutră nu intersectează conturul secțiunii, totul se află de-a lungul unu parte a axei neutre și, prin urmare, funcționează numai pentru compresie. La ștergerea unui punct DAR din centrul de greutate al secțiunii, axa neutră se va apropia de contur; limita nucleului este determinată de faptul că atunci când punctul este situat DAR la această limită, axa neutră se apropie de secțiune și o atinge.
Fig.1. Combinații de poziție a forței de compresiune și linie neutră
Astfel, dacă mutam punctul DAR astfel încât axa neutră rulat de-a lungul conturului secțiunii fără a o traversa, apoi punctul A va ocoli limita nucleului secțiunii. Dacă conturul secțiunii are „jgheaburi”, atunci axa neutră se va rostogoli de-a lungul anvelopei conturului.
Pentru a obține conturul miezului, este necesar să se acorde axei neutre mai multe poziții tangente la conturul secțiunii, să se determine segmentele și pentru aceste poziții și să se calculeze coordonatele și punctele de aplicare a forței folosind formulele care decurg din cele cunoscute. dependențe:
acestea vor fi coordonatele punctelor conturului nucleului și .
La poligonal forma conturului secțiunii (Fig. 2), combinând secvențial axa neutră cu fiecare dintre laturile poligonului, vom determina coordonatele și punctele limitei miezului corespunzătoare acestor laturi prin segmente.
Când vă deplasați de la o parte a conturului secțiunii la cealaltă, axa neutră va fi rotiîn jurul vârfului care separă aceste părți; punctul de aplicare al forţei se va deplasa de-a lungul limitei nucleului dintre punctele deja obţinute. Determinați cum ar trebui să se miște forța R astfel încât axa neutră să treacă prin același punct tot timpul ÎN(,) s-ar roti în jurul lui. Înlocuind coordonatele acestui punct al axei neutre în ecuația cunoscută a axei neutre (linia), obținem:
Fig.2. Kernel de secțiune pentru forma secțiunii transversale poligonale
Astfel coordonatele și punctele de aplicare a forței R conectat liniar. La rotația axei neutre în jurul unui punct constant B, punctul A de aplicare a forței se deplasează în linie dreaptă.Înapoi, forță în mișcare Rîn linie dreaptă datorită rotaţiei axei neutre în jurul unui punct constant.
Figura 3 prezintă trei poziții ale punctului de aplicare a forței pe această linie dreaptă și, în consecință, trei poziții ale axei neutre. Astfel, cu o formă poligonală a conturului secțiunii, conturul miezului dintre punctele corespunzătoare laturilor poligonului va fi format din segmente de linii drepte.
Fig.3. Dinamica construcției nucleului secțiunii
Dacă conturul secțiunii este limitat complet sau parțial de linii curbe, atunci construcția limitei miezului se poate face prin puncte. Luați în considerare câteva exemple simple de construire a unui nucleu de secțiune.
Când se realizează această construcție pentru o secțiune transversală dreptunghiulară, folosim formulele obținute.
Pentru a determina limitele nucleului secțiunii la mutarea unui punct DAR de-a lungul axei OU găsiți valoarea la care axa neutră va lua poziția H101
Fig.4. construcția unui miez pentru o secțiune dreptunghiulară.
Pentru aceasta, forța trebuie să se deplaseze de-a lungul dreptei 1 - 2. În același mod, se poate dovedi că limitele rămase ale nucleului vor fi liniile 2-3, 3-4 și 4-1.
Astfel, pentru o secțiune dreptunghiulară, miezul va fi un romb cu diagonalele egale cu o treime partea corespunzătoare a secțiunii. Prin urmare, o secțiune dreptunghiulară, când forța este situată de-a lungul axei principale, lucrează pe solicitări de același semn, dacă punctul de aplicare al forței nu depășește treimea mijlocie laturile secțiunii.
Fig.5. Dinamica stresului se modifică atunci când se schimbă excentricitatea.
Diagramele de distribuție a tensiunilor normale pe o secțiune dreptunghiulară cu o excentricitate egală cu zero, mai mică, egală și mai mare de o șesime din lățimea secțiunii sunt prezentate în Fig.5.
Rețineți că pentru toate pozițiile de forță R efort la centrul de greutate al secțiunii (punctul Despre ABCD, descris lângă fasciculul I (Fig. 6a). În consecință, conturul miezului pentru un fascicul în I are forma unui romb, ca pentru un dreptunghi, dar cu dimensiuni diferite.
Pentru un canal, precum și pentru un fascicul în I, punctele 1, 2, 3, 4 ale conturului miezului (Fig. 6 b) corespund coincidenței axei neutre cu laturile dreptunghiului ABCD.
Cursul numărul 29. Acțiuni combinate de îndoire și torsiune a unei bare prismatice
Să studiem acest tip de deformare a tijei folosind exemplul de calcul al unui arbore cu secțiune transversală circulară (inelară) pentru acțiunea combinată de încovoiere și torsiune (Fig. 1).
Fig.1. Schema de calcul a unui arbore îndoit și răsucit
Tensiune excentrică Acest tip de încărcare a unei grinzi se numește, în care forțe externe acţionează de-a lungul axei longitudinale a grinzii, dar nu coincid cu aceasta (Fig. 8.4). Tensiunile sunt determinate folosind principiul independenței acțiunii forțelor. Întinderea excentrică este o combinație tensiune axialași îndoire oblică (în cazuri particulare - plată). Formula pentru tensiuni normale poate fi obținută ca suma algebrică a tensiunilor normale rezultate din fiecare tip de încărcare:Unde 
; 
;
y F, z F– coordonatele punctului de aplicare a forței F.
Pentru a determina punctele periculoase ale secțiunii, este necesar să găsim poziția dreptei neutre (n.l.) ca loc al punctelor la care tensiunile sunt egale cu zero.
.
Ecuația n.l. poate fi scris ca ecuația unei linii drepte în segmente:
Unde 
Și 
sunt segmente tăiate de n.l. pe axele de coordonate,
, sunt razele principale de inerție ale secțiunii.
Linia neutră împarte secțiunea transversală în zone cu tensiuni de tracțiune și compresiune. Diagrama tensiunilor normale este prezentată în fig. 8.4.
Dacă secțiunea este simetrică față de axele principale, atunci condiția de rezistență este scrisă pentru materialele plastice, în care [ s c] = [s p] = [s], la fel de
. (8.5)
Pentru materiale fragile cu [ s c]¹[ s p], starea de rezistență trebuie înregistrată separat pentru punctul periculos al secțiunii din zona de tensiune:
iar pentru punctul periculos al secțiunii din zona comprimată:
,
Unde z1, y 1Și z2, y2- coordonatele punctelor secțiunii cele mai îndepărtate de linia neutră în zonele întinse 1 și 2 comprimate ale secțiunii (Fig. 8.4).
Proprietăți de linie zero
1. Linia zero împarte întreaga secțiune în două zone - tensiune și compresie.
2. Linia zero este dreaptă, deoarece coordonatele x și y sunt în primul grad.
3. Linia zero nu trece prin origine (Fig. 8.4).
4. Dacă punctul de aplicare a forței se află pe inerția centrală principală a secțiunii, atunci linia zero corespunzătoare acesteia este perpendiculară pe această axă și trece pe cealaltă parte a originii (Fig. 8.5).
5. Dacă punctul de aplicare al forței se deplasează de-a lungul razei care iese din origine, atunci linia zero corespunzătoare acesteia se deplasează în spatele acesteia (Fig. 8.6):
n.lOrez. 8.5 Fig. 8.6
a) când punctul de aplicare a forței se deplasează de-a lungul fasciculului care emană de la origine de la zero la infinit (y F ®∞, z F ®∞), dar la ®0; dar z®0. Starea limită a acestui caz: linia zero va trece prin origine (îndoire);
b) când punctul de aplicare al forței (t. K) se deplasează de-a lungul fasciculului care emană de la origine de la infinit la zero (y F ® 0 și z F ® 0), dar y ®∞; dar z ®∞. Starea limitativă a acestui caz: linia zero este îndepărtată la infinit, iar corpul va experimenta o simplă întindere (compresie).
6. Dacă punctul de aplicare a forței (punctul K) se deplasează de-a lungul unei drepte care intersectează axele de coordonate, atunci în acest caz linia zero se va roti în jurul unui anumit centru situat în cadranul opus punctului K.
8.2.3. Nucleul secțiunii
Unele materiale (beton, zidărie) pot absorbi solicitări de întindere foarte mici, în timp ce altele (cum ar fi solul) nu pot rezista deloc la întindere. Astfel de materiale sunt utilizate pentru fabricarea elementelor structurale în care nu apar tensiuni de tracțiune și nu sunt utilizate pentru fabricarea elementelor de instrucție care suferă de îndoire, torsiune, tensiune centrală și excentrică.
Din aceste materiale pot fi realizate numai elemente comprimate central, în care nu apar solicitări de tracțiune, precum și elemente comprimate excentric, dacă în ele nu se formează solicitări de tracțiune. Acest lucru se întâmplă atunci când punctul de aplicare al forței de compresiune este situat în interiorul sau la marginea unei regiuni centrale a secțiunii transversale, numită miezul secțiunii.
Nucleul secțiunii o grindă se numește o zonă centrală, care are proprietatea că forța aplicată în oricare dintre punctele sale provoacă tensiuni de același semn în toate punctele secțiunii transversale a grinzii, de exemplu. linia zero nu trece prin secțiunea fasciculului.
Dacă punctul de aplicare al forței de compresiune este situat în afara miezului secțiunii, atunci în secțiunea transversală apar tensiuni de compresiune și de tracțiune. În acest caz, linia zero traversează secțiunea transversală a fasciculului.
Dacă forța este aplicată la limita miezului secțiunii, atunci linia zero atinge conturul secțiunii (într-un punct sau de-a lungul unei linii); la punctul de contact, tensiunile normale sunt egale cu zero.
La calculul excentric tije comprimate, realizat dintr-un material care percepe slab tensiunile de tracțiune, este important să se cunoască forma și dimensiunile miezului secțiunii. Aceasta permite, fără calcularea tensiunilor, să se stabilească dacă apar tensiuni de tracțiune în secțiunea transversală a grinzii (Fig. 8.7).
Din definiție rezultă că nucleul unei secțiuni este o zonă care se află în interiorul secțiunii în sine.
Pentru materialele fragile, trebuie aplicată o sarcină de compresiune în miezul secțiunii pentru a exclude zonele de tracțiune din secțiune (Fig. 8.7).
Pentru a construi miezul secțiunii, este necesar să combinați secvențial linia zero cu conturul secțiunii transversale, astfel încât linia zero să nu intersecteze secțiunea și, în același timp, să calculați punctul corespunzător.
aplicarea forţei de compresiune K cu
Orez. 8.7 dinami y FȘi z F dupa formulele:
; 
.
Punctele rezultate de aplicare a forței cu coordonate y F, z F trebuie conectate prin linii drepte. Zona delimitată de polilinia rezultată va fi nucleul secțiunii.
Secvența de construire a nucleului secțiunii
1. Determinați poziția centrului de greutate al secțiunii transversale și axelor centrale principale de inerție y și z, precum și valorile razelor de inerție pătrate i y , i z .
2. Afișați toate pozițiile posibile ale n.l. referitoare la conturul secțiunii.
3. Pentru fiecare post de n.l. definiți segmente AyȘi a z, tăiat de acesta de principalele axele centrale ale inerției y și z.
4. Pentru fiecare post de n.l. stabiliți coordonatele centrului de presiune y F, Și z F .
5. Centrele de presiune obținute sunt legate prin segmente de linie, în interiorul cărora va fi amplasat miezul secțiunii.
Torsiunea cu îndoire
Tipul de încărcare în care bara este supusă acțiunii de răsucire și momente de încovoiere în același timp se numește încovoiere cu torsiune.
Când calculăm, folosim principiul independenței acțiunii forțelor. Să determinăm tensiunile separat în timpul îndoirii și torsii (Fig. 8.8) .
La îndoire în secțiune transversală apar tensiuni normale, atingând o valoare maximă în fibrele cele mai exterioare
.
În timpul torsiunii în secțiune transversală, apar tensiuni de forfecare, atingând cea mai mare valoare în punctele secțiunii de lângă suprafața arborelui
.
| s |
| t |
| C |
| B |
| X |
| y |
| z |
| Orez. 8.9 |
| s |
| s |
| t |
| t |
| Orez. 8.10 |
| C |
| X |
| z |
| y |
| M |
| T |
| Orez. 8.8 |
Tensiunile normale și de forfecare ating simultan valoarea maximă în puncte DINȘi ÎN secţiunea arborelui (Fig. 8.9). Luați în considerare starea de stres la punctul respectiv DIN(Fig. 8.10). Se poate observa că paralelipipedul elementar selectat în jurul punctului DIN, este într-o stare de stres plană.
Prin urmare, pentru a testa rezistența, aplicăm una dintre ipotezele de rezistență.
Condiția de rezistență conform celei de-a treia ipoteze de rezistență (ipoteza celor mai mari solicitări de forfecare)
.
Dat fiind , 
, obținem starea rezistenței arborelui
. (8.6)
Dacă arborele se îndoaie în două planuri, atunci condiția de rezistență va fi
.
Folosind cea de-a patra ipoteză de putere (energetică).
,
după înlocuire sȘi t primim
. (8.7)
Întrebări pentru autoexaminare
1. Ce fel de îndoire se numește oblic?
2. Ce combinație de tipuri de îndoire este o îndoire oblică?
3. Ce formule sunt folosite pentru a determina tensiunile normale în secțiunile transversale ale unei grinzi în timpul îndoirii oblice?
4. Cum este poziția axei neutre în îndoire oblică?
5. Cum se determină punctele periculoase într-o secțiune cu îndoire oblică?
6. Cum se determină deplasările punctelor axei fasciculului în timpul îndoirii oblice?
7. Ce fel de rezistență complexă se numește tensiune excentrică (sau compresie)?
8. Ce formule sunt folosite pentru a determina tensiunile normale în secțiunile transversale ale tijei în timpul tensiunii și compresiei excentrice? Care este forma diagramei acestor tensiuni?
9. Cum se determină poziția axei neutre în tensiune și compresie excentrică? Notează formulele corespunzătoare.
10. Ce tensiuni apar în secțiunea transversală a grinzii la îndoire cu torsiune?
11. Cum sunt secțiunile periculoase ale unei grinzi rotunde în încovoiere cu torsiune?
12. Ce puncte ale unei secțiuni transversale circulare sunt periculoase la îndoire cu torsiune?
13. Ce stare de stres apare în aceste puncte?
Pentru a determina forțele interne, în secțiunile transversale ale grinzii în tensiune excentrică (compresiune), vom înlocui sistemul de forțe dat cu un sistem echivalent static de alte forțe. Pe baza principiului Saint-Venant, o astfel de înlocuire nu va provoca modificări ale condițiilor de încărcare și deformare a pieselor grinzii care sunt suficient de îndepărtate de locul de aplicare a forțelor.
Mai întâi, transferăm punctul de aplicare al forței pe axă și aplicăm în acest punct o forță egală cu forța, dar direcționată opus (Fig. 3.2). Pentru a lăsa o forță pe axă, este necesar să adăugați la acțiunea acesteia acțiunea unei perechi de forțe marcate cu două linii, sau un moment. În continuare, transferăm forța în centrul de greutate al secțiunii și în acest punct aplicăm o forță egală cu forța, dar direcționată opus (Fig. 3.2). Pentru a lăsa forța în centrul de greutate, la acțiunea sa trebuie adăugată încă o pereche de forțe, marcate cu cruci, sau un moment.
Astfel, acțiunea unei forțe aplicate excentric pe secțiune este echivalentă cu acțiunea combinată a unei forțe aplicate central și a două momente externe concentrate u.
Folosind metoda secțiunilor, este ușor de stabilit că în toate secțiunile transversale ale unei grinzi întinse (comprimate) excentric, acționează următorii factori de forță interni: o forță longitudinală și două momente încovoietoare și (Fig. 3.3).
Determinăm tensiunile în secțiunile transversale ale grinzii folosind principiul independenței acțiunii forțelor. Din toți factorii de forță interni, în secțiunile transversale apar tensiuni normale. Semnele de stres sunt stabilite în funcție de natura deformațiilor: plus - tensiune, minus - compresie. Să aranjam semnele de stres din fiecare dintre factorii de forță interni în punctele, intersecția axelor și cu conturul secțiunii transversale (Fig. 3.3). Din forța longitudinală în toate punctele, secțiunile sunt aceleași și pozitive; din momentul în punctul de stres - plus, în punctul - minus, la puncte și, pentru că axa este în acest caz linia neutră; din momentul în punctul de stres - plus, în punctul - minus, la puncte și, pentru că axa în acest caz este linia neutră.
Tensiunea totală în punctul cu coordonatele și va fi egală cu:
Punctul cel mai încărcat dintr-o secțiune cu formă liberă este punctul cel mai îndepărtat de linia neutră. În acest sens, problemele legate de determinarea poziției liniei neutre sunt de mare importanță.
Determinarea poziţiei liniei neutre
Poziția liniei neutre poate fi determinată folosind formula (3.1), echivalând tensiunile normale cu zero
unde și sunt coordonatele unui punct situat pe linia neutră.
Ultima expresie poate fi convertită folosind formulele pentru razele de rotație: și. Apoi
Ecuația (3.2) arată că linia neutră în tensiune excentrică (compresie) este o dreaptă care nu trece prin origine (centrul de greutate al secțiunii transversale).
Desenați această linie prin două puncte pe axele de coordonate(Fig. 3.4). Fie punctul 1 să se afle pe axă, apoi coordonatele sale vor fi și, iar punctul 2 - pe axă, apoi coordonatele sale vor fi și (pe baza ecuației (3.2)).
Dacă coordonatele punctului de aplicare a forței (pol) sunt pozitive, atunci coordonatele punctelor 1 și 2 sunt negative și invers. Astfel, polul și linia neutră sunt situate pe părți opuse ale originii.
Determinarea poziției liniei neutre vă permite să identificați punctele periculoase din secțiune, de exemplu. puncte în care preiau solicitările normale cele mai mari valori. Pentru a face acest lucru, construiți tangente la conturul secțiunii, paralele cu linia neutră. Punctele de contact și vor fi periculoase (Fig. 3.4).
Condițiile de rezistență pentru punctele periculoase depind de proprietățile materialului din care este făcută fasciculul. Întrucât un material fragil are proprietăți diferite în tensiune și compresiune - rezistă slab la tracțiune și la compresiune bună, condițiile de rezistență sunt pentru două puncte: unde acționează tensiunile maxime de tracțiune (t.) și maxime compresive (t.) (Fig. 3.4).
Pentru un material plastic care rezistă în mod egal atât la tensiune, cât și la compresie, se face o condiție de rezistență pentru punctul de secțiune transversală în care tensiunile normale sunt maxime în valoare absolută. În cazul nostru, un astfel de punct este un punct în care acţionează accentele de acelaşi semn.
Conceptul de secțiune de bază
La construirea unei linii neutre (Fig. 3.4), s-au determinat coordonatele punctelor 1 și 2, prin care a fost trasată
Coordonatele punctelor situate pe linia neutră depind de poziția punctului (polului) de aplicare a forței cu coordonatele. Dacă coordonatele polului scad, i.e. stâlpul se apropie de centrul de greutate al secțiunii, apoi cresc, adică. linia neutră se poate extinde dincolo de secțiune sau atinge conturul secțiunii. În acest caz, în secțiune vor avea loc tensiuni de același semn.
Se numește zona de aplicare a forțelor longitudinale, care în acest caz provoacă tensiuni de același semn în secțiunea transversală nucleul secțiunii.
Problema determinării miezului secțiunii este cea mai relevantă pentru elementele structurale din material casant care funcționează în compresie excentrică, pentru a se obține doar tensiuni de compresiune în secțiune transversală, deoarece materialul fragil rezistă slab la deformarea la tracțiune. Pentru a face acest lucru, este necesar să se stabilească un număr de poziții ale liniei neutre, trasând-o prin punctele limită ale conturului și să se calculeze coordonatele punctelor corespunzătoare de aplicare a forței, conform formulelor care urmează din (3.5).
Amplasarea geometrică a punctelor calculate în acest fel va determina conturul miezului secțiunii. Pe fig. 3.6 prezintă exemple de nucleu de secțiune pentru forme comune.
Luați în considerare un exemplu de calcule pentru tensiune-compresie decentrată.
Exemplul 3.1. O bandă de oțel cu o lățime de = 10 cm și o grosime de = 1 cm, întinsă central prin forțe de = 70 kN, are o fantă cu lățimea de = 3 cm (Fig. 3.6). Determinați cele mai mari tensiuni normale din secțiune, fără a ține cont de concentrațiile de tensiuni. Cât de lată ar fi fanta pentru aceeași cantitate de forță de tracțiune dacă ar fi situată la mijlocul lățimii benzii?
Soluţie. Cu o fantă asimetrică, centrul de greutate al secțiunii slăbite se deplasează de la linia de acțiune a forței la dreapta și apare tensiunea decentrată. Pentru a determina poziția centrului de greutate (), reprezentăm secțiunea slăbită ca un dreptunghi mare cu dimensiuni (figura I) din care se îndepărtează un dreptunghi mic cu dimensiuni (figura II). Pentru axa originală, luăm axa.
În acest caz, în secțiune transversală apar doi factori de forță interni: forța longitudinală și momentul încovoietor.
Pentru a determina punctul periculos, plasăm semnele de stres pe laturile laterale ale secțiunii transversale (Fig. 3.6). Din forța longitudinală în toate punctele secțiunii, există tensiuni pozitive (de tracțiune). Din momentul încovoietor, tensiunile de tracțiune (semnul plus) au loc în stânga axei, iar tensiunile de compresiune (semnul minus) în dreapta.
Astfel, tensiunile normale maxime apar în așa-numitul.
unde este aria secțiunii slăbite, egală cu =7 cm 2;
Momentul de inerție al secțiunii slăbite în jurul axei centrale principale
Distanța de la linia neutră () până la punctul cel mai îndepărtat (t.)
Ca urmare, tensiunile normale maxime vor fi egale cu
Cu o lățime a fantei simetrice, apare doar tensiune
Calculul barelor în compresie-tensiune excentric
Exemplul 1
Scurt din fontă tija este comprimată de o forță longitudinală F= 600 kN aplicat la punct ÎN.
Necesar:
1. Determinați poziția liniei neutre;
2. Calculați cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele mai mari tensiuni de compresiune.
Soluţie.
1. Desenați secțiunea la scară.
2. Determinați poziția axelor centrale principale. Secțiunea are o axă de simetrie, deci axa Y vă putem arăta chiar acum.
3. Determinați poziția centrului de greutate al figurii (figura este formată din două pătrate). Alegem un sistem de coordonate auxiliar arbitrar.
x 1 C 1 Y– sistem de coordonate auxiliar;
determinați coordonatele punctelor DIN 1 și DIN 2 în sistem x 1 C 1 Y.
DAR 1 , DAR 2 este aria primului și, respectiv, al doilea pătrat.
A \u003d A 1 - A 2 este aria întregii figuri.
DAR 1 = b 2 \u003d 2500 cm 2
DIN (X c = 0; la c = -5,89) - poziția centrului de greutate în sistemul de coordonate auxiliar x 1 C 1 Y.
Axă X trageți perpendicular pe axă Y printr-un punct DIN.
Deoarece secțiunea este simetrică, atunci XC Y este principalul sistem central de coordonate.
4. Să se determine momentele centrale de inerție principale și pătratele razelor principale ale secțiunii.
Unde dar 1 \u003d 5,89 cm - distanța dintre axe XȘi X 1 ;
dar 2 \u003d 5,89 + 17,68 \u003d 23,57 - distanța dintre axe XȘi X 2 .
5. Determinați coordonatele punctului ÎN(punctele de aplicare a forței) în sistemul de coordonate central principal x cu Su cu.
6. Determinați poziția liniei neutre.
,
Unde X N, la N - coordonatele punctelor dreptei neutre.
În această sarcină
Linia neutră trece prin punctul ( X N=0;la N = 11,36) paralel cu axa X din.
7. În această problemă, asupra tijei acționează o forță de compresiune, deci tensiunile normale în orice punct al secțiunii transversale vor fi determinate de formula
Unde X y sunt coordonatele punctului în care se calculează tensiunile.
8. Cele mai mari tensiuni de compresiune se realizează la punct ÎN. Acesta este punctul cel mai îndepărtat de linia neutră din regiunea de compresie.
Cele mai mari tensiuni de tracțiune se realizează în puncte LAȘi Ly K = la L = 23,57 cm.
Răspuns:
, 
Exemplul 2
Construiți un nucleu de secțiune.
Soluţie.
1. Determinați tipul de contur al miezului secțiunii.
2. Determinăm numărul de vârfuri ale poligonului obținut în interiorul conturului (adică numărul de tangente limită la secțiunea tijei). 6 tangente limită - 6 vârfuri.
3. Determinați poziția axelor centrale principale. Secțiunea are o axă orizontală de simetrie, deci axa " X Putem arăta imediat. XOY 0 - sistem de coordonate auxiliar (axa " Y 0 „cheltuim arbitrar).
Secțiunea constă din două forme simple (dreptunghi și pătrat). Determinați coordonatele centrelor de greutate DIN 1 și DIN 2 într-un sistem de coordonate arbitrar XOY 0 .
Centrul de greutate al dreptunghiului.
Centrul de greutate al pătratului.
Aria dreptunghiului.
Suprafata patrata.
(deoarece DIN 1 și DIN 2 se află pe axă).
Centrul de greutate al întregii secțiuni în sistemul de coordonate XOY 0 are coordonate DIN(0,015; 0). (Vom arăta în desen).
Axă Y trageți perpendicular pe axă Y 0 prin centrul de greutate DIN.
Deoarece secțiunea este simetrică, axa de simetrie și axa perpendiculară pe aceasta, trecând prin centrul de greutate, formează principalul sistem de coordonate central.
X Y sunt principalele axe centrale ale secţiunii.
4. Determinăm caracteristicile geometrice ale secțiunii în raport cu axele centrale principale.
Calculăm principalele momente centrale de inerție J x și J y .
Momentele centrale principale de inerție ale unui dreptunghi.
Momentele centrale principale de inerție ale unui pătrat.
(Aici au fost folosite formule pentru a determina momentele de inerție în jurul axelor paralele. Momente axiale inerția unei secțiuni plane față de axe arbitrare X 1 și la 1 paralel cu axele centrale XȘi la, determinat de formule
;
Unde dar,b– distanta intre axe XȘi X 1 , laȘi la 1 , DAR- arie a secțiunii transversale. se accepta ca X y– axele centrale, adică axele care trec prin centrul de greutate DIN secţiune plană).
Calculați pătratele razelor principale de inerție
5. Determinați vârfurile miezului secțiunii.
Fie cunoscută poziția liniei neutre. Este necesar să se determine coordonatele punctului de aplicare a forței.
1. Luați în considerare poziția liniei neutre 1 - 1.
Utilizați proprietatea liniei neutre. Deoarece linia neutră 1-1 este paralelă cu axa Y, apoi punctul de aplicare al forței eu 1 este pe axă X, adică la F=0.
X N - abscisa punctului dreptei neutre 1 - 1 (distanța de la punct DIN la linia neutră 1 - 1).
2. Luați în considerare poziția liniei neutre 2 - 2.
Luați două puncte ale liniei neutre 2 - 2 (este mai bine să alegeți puncte în care puteți calcula cu ușurință coordonatele)
ÎN(-0,615; 0,3) și D(-0,015; 0,6)
Înlocuiți coordonatele punctelor ÎN Și Dîn ecuația liniei neutre.
(1)
(2)
Să rezolvăm sistemul de ecuații (1) - (2)
Din prima ecuație
(3)
Înlocuiți (3) în (2)
3. Luați în considerare poziția liniei neutre 3 - 3.
Utilizați proprietatea liniei neutre. Deoarece linia neutră 3 - 3 este paralelă cu axa X, apoi punctul de aplicare al forței eu 3 este pe axă Y, adică X F =0.
la N - ordonata punctului dreptei neutre 3 - 3 (distanța de la punct DIN la linia neutră 3 - 3).
4. Luați în considerare poziția liniei neutre 4 - 4.
Utilizați proprietatea liniei neutre. Deoarece linia neutră 4 - 4 este paralelă cu axa Y, apoi punctul de aplicare al forței eu 4 este pe axă X, adică la F = 0.
Exemplu3 .
O tijă rigidă este încărcată cu două forțe - de tracțiune și de compresiune (Fig. 1). Lanseta este realizata dintr-un material casant cu caracteristici si . Secțiunea transversală a tijei este simetrică și are forma și dimensiunile corespunzătoare Fig. 2.
Necesar:
1) găsiți sarcina admisibilă asupra tijei din condiția de rezistență, dacă raportul forțelor de compresiune și tracțiune
2) construiți nucleul secțiunii.
Fig.1Fig.2
Soluţie.
Poziția principalelor axe centrale de inerție și momentele de inerție în jurul acestor axe ale unei secțiuni date au fost găsite mai devreme (a se vedea secțiunea " Caracteristici geometrice secțiuni plate"). Să găsim forțele interne într-o secțiune arbitrară a tijei:
Pentru a determina poziția punctelor periculoase, construim o linie neutră. Ecuația liniei neutre 
în această problemă are forma
De aici găsim segmentele tăiate de linia neutră pe axe și . Daca atunci
iar dacă, atunci
Linia neutră este prezentată în fig. 3.
Fig.3
Desenați tangente la conturul secțiunii, paralele cu linia neutră. Punctele 1 și 1 sunt periculoase ¢
(vezi Fig. 3), cea mai îndepărtată de linia neutră. Pentru un material fragil, punctul cu tensiuni maxime de tracțiune este mai periculos, adică. punctul 1. Aflați tensiunea în acest punct prin înlocuirea în formulă 
coordonatele punctului 1:
Starea de rezistență la punctul 1 Or
De aici puteți găsi valoarea de sarcină admisă (nu uitați să înlocuiți corect unitățile de măsură. Multiplicator inainte F pîn acest exemplu are dimensiunea cm -2).
În concluzie, este necesar să ne asigurăm că la punctul 1 ¢ , care în acest exemplu este mai îndepărtat de axa neutră decât punctul 1, și în care acționează solicitările de compresiune, este îndeplinită și condiția de rezistență, adică.
Acum să construim nucleul secțiunii. Amplasăm stâlpii în colțurile exterioare ale secțiunii. Având în vedere simetria secțiunii, este suficient să plasați polii în trei puncte: 1, 2 și 3 (vezi Fig. 3). Înlocuirea în formule; coordonatele polilor, găsim segmentele tăiate prin linii neutre pe axe și . Dacă polul este în punctul 1, atunci coordonatele acestuia 
Și
Linia neutră 1–1 corespunzătoare stâlpului din punctul 1 este prezentată în fig. 3. La fel, construim linii neutre 2-2 si 3-3, corespunzatoare polilor 2 si 3. La construirea unei linii neutre, asigurati-va ca aceasta se desfasoara in cadranul opus celui in care se afla polul. Zona umbrită în Fig. 3 este nucleul secțiunii. Pentru control din fig. 3 arată elipsa de inerție. Miezul secțiunii trebuie să fie în interiorul elipsei de inerție, fără a o traversa nicăieri.
Exemplul 4
O tijă cu o secțiune asimetrică este comprimată de o forță aplicată într-un punct DAR (Fig. 1). Secțiunea transversală are forma și dimensiunile prezentate în fig. 2. Materialul tijei este casant.
Necesar:
1) găsiți sarcina admisibilă care satisface condiția de rezistență;
2) construiți nucleul secțiunii.
Soluţie.
În primul rând, este necesar să se determine momentele și razele de inerție ale secțiunii transversale în raport cu axele centrale principale. Această parte a soluției problemei este dată în secțiunea „Caracteristicile geometrice ale secțiunilor plate”. Pe fig. 1 prezintă principalele axe centrale de inerție ale secțiunii , , a cărei poziție a fost găsită anterior. În sistemul axelor centrale Y ,Z(Fig. 2) coordonatele punctului de aplicare a forței DAR , . Calculați coordonatele punctului DARîn sistemul de axe centrale principale după formule
.
Fig.1Fig.2
Pentru a determina poziția punctelor periculoase, vom construi o linie neutră folosind formulele ; . Raze de inerție, găsite mai devreme.
Să așezăm aceste segmente de-a lungul axelor principale și să trasăm o linie neutră prin punctele obținute (vezi Fig. 3).
Fig.3
Puncte periculoase, de ex. punctele cele mai îndepărtate de axa neutră vor fi punctele 1 și 3 (vezi Fig. 3). La punctul 1 acționează cea mai mare tensiune de întindere. Scriem condiția de rezistență în acest moment folosind formula 
:
Să înlocuim coordonatele punctului periculos 1 din axele principale în condiția de rezistență, calculându-le folosind formulele
sau prin măsurarea pe un desen desenat la scară, 
Apoi, din condiția de rezistență la punctul 1, puteți găsi valoarea de sarcină admisă:
.
Pentru valoarea găsită a sarcinii admisibile, este necesar să se asigure că condiția de rezistență este îndeplinită și la punctul 3, care este mai departe îndepărtat de linia neutră și în care acționează solicitarea de compresiune. Pentru a determina tensiunea la punctul 3, înlocuim coordonatele acestui punct în formulă
.
Această tensiune nu trebuie să depășească . Dacă condiția de rezistență în punctul cu solicitări de compresiune maxime nu este îndeplinită, este necesar să se găsească din nou valoarea sarcinii admisibile din condiția de rezistență în acest punct.
În concluzie, construim nucleul secțiunii. Amplasăm stâlpii în colțurile exterioare ale secțiunii, adică. la punctele 1, 2, 3, 4, 5 (vezi fig. 3). Punctul 4, situat pe conturul cadranului cercului, a fost obținut astfel. Tăierea interiorului punct de colt, trasăm o linie tangentă la conturul secțiunii (linia punctată în Fig. 3). Punctul 4 este punctul în care această linie atinge cadranul cercului. Găsim secvenţial poziţia liniilor neutre corespunzătoare polilor în punctele indicate, găsind segmentele tăiate de liniile neutre pe axele , , după formulele ; .De exemplu, dacă polul este în punctul 1, atunci înlocuind în ; coordonatele punctului 1 (), găsiți
Deoarece este mult mai mare, aceasta înseamnă că linia neutră 1–1 este practic paralelă cu axa. Trasăm segmentul pe o scară de-a lungul axei și desenăm o linie dreaptă 1–1 paralelă cu axa (vezi Fig. 3). În mod similar, construim linii neutre corespunzătoare polilor aflați în alte puncte. Miezul secțiunii (zona umbrită) este prezentat în fig. 3. Rețineți că conturul miezului secțiunii dintre liniile neutre 4–4 și 5–5 este conturat de-a lungul unei curbe, deoarece trecerea polului de la punctul 4 la punctul 5 nu are loc în linie dreaptă. Pe fig. 3 prezintă și elipsa de inerție a secțiunii, construită anterior.
Exemplul 5
Pe un fascicul cu o secțiune transversală dată într-un punct D la capătul superior există o forță de compresiune longitudinală R=300 kN (vezi figura). Este necesar să găsiți poziția liniei zero, să determinați cele mai mari tensiuni (de tracțiune și compresiune) și să construiți miezul secțiunii.
Soluţie:
1. Găsirea poziției principalelor axe centrale de inerție și determinarea ariei secțiunii transversale
Deoarece secțiunea transversală a grinzii (Fig. 1) are două axe de simetrie, iar acestea trec întotdeauna prin centrul de greutate al secțiunii și sunt principalele, apoi principalele axe centrale ale secțiunii X cu si la c va coincide cu aceste axe de simetrie.
Centrul de greutate al secțiunii DINîn acest caz, nu este necesar să se determine, deoarece coincide cu centrul geometric al secțiunii.
Aria secțiunii transversale a fasciculului este egală cu:
2. Determinarea momentelor centrale de inerție principale și a razelor principale de inerție
Momentele de inerție sunt determinate de formulele:
Calculăm pătratele razelor principale de inerție:
3. Determinarea poziţiei liniei zero
Segmentele tăiate de linia zero pe principalele axe centrale de inerție sunt determinate de formulele:
Unde x p=2,3 cm și y r\u003d 2 cm - coordonatele punctului de aplicare a forței R(punctul P Fig.11). Lăsând deoparte segmentele și respectiv pe axe x sȘi tu s si trasand o dreapta prin capetele lor, obtinem o linie de sectiune zero, pe care tensiunile normale sunt egale cu zero (). În figura 1, această linie este marcată cu n -n.
4. Determinarea celor mai mari tensiuni de compresiune și tracțiune și construirea unei diagrame de tensiuni
Punctul D , ale căror coordonate X D =5,25 cm și la D\u003d 5 cm, cea mai îndepărtată de linia zero din zona comprimată a secțiunii, prin urmare, cele mai mari tensiuni de compresiune apar în ea și sunt determinate de formula
Cele mai mari tensiuni de tracțiune apar în punctul K, care are coordonate x k= -5,25 cm, la k= -5 cm.
Pe baza valorilor obținute și construim o diagramă a tensiunilor normale (vezi Fig. 11).
5. Construcția miezului secțiunii
Pentru a construi miezul secțiunii, având în vedere că secțiunea este simetrică, luați în considerare două poziții ale tangentei la conturul secțiunii I-I și II-II (vezi fig. 1).
Segmente tăiate de tangenta I -I
pe axele de coordonate sunt egale cu: 
Coordonatele punctului de limita 1 al miezului secțiunii sunt determinate de formulele:
Tangenta II-II taie segmentele = 5,25 cm, = ¥ .
Coordonatele punctului limită 2 :
Coordonatele punctelor de limită ale celei de-a doua jumătate a miezului secțiunii pot să nu fie determinate, deoarece secțiunea fasciculului este simetrică. Ținând cont de aceasta pentru tangentele III -III și IV -IV, coordonatele punctelor de limită 3 Și 4 va fi:
= 0; = 15,2× 10 -3 m;
=23,0× 10 -3 m = 0.
Conectând punctele 1, 2, 3 și 4 în serie cu linii drepte, obținem miezul secțiunii (Fig. 1).
Exemplul 6
În secțiunea indicată în figură și aparținând unei coloane comprimate excentric, determinați punctele cele mai periculoase și solicitările din acestea. Forța de compresiune F= 200 kN = 20 t aplicat la punct A.
Soluţie.
Deoarece axele X și Y sunt axele de simetrie, ele sunt principalele axe centrale.
Cele mai periculoase puncte vor fi punctele în care maxim normal tensiune, iar acestea sunt punctele cele mai îndepărtate de linia zero. Prin urmare, trebuie să determinăm mai întâi poziția liniei zero. Scriem ecuația dreptei zero.
În cazul nostru, coordonatele punctului de aplicare a forței sunt după cum urmează (vezi Fig.):
= - 90 mm = - 0,09 m;
= - 60 mm = - 0,06 m.
Pătratele razelor de inerție și sunt definite după cum urmează:
aici și - momentele axiale de inerție în jurul axelor centrale principale X și Y.
Determinarea momentelor axiale de inerție. Pentru secțiunea noastră vom avea:
M4;
M4.
Suprafața întregii secțiuni va fi egală cu:
M 2,
și apoi pătratele razelor de inerție:
m2;
m 2.
Folosind formulele, determinăm segmentele pe care linia zero le taie pe axe XȘi Y:
m;
m.
Să lăsăm deoparte aceste segmente pe axele de coordonate, obținem punctele în care linia zero traversează axele de coordonate. Tragem o linie dreaptă prin aceste puncte (vezi Fig.). Vedem că punctele cele mai îndepărtate - acesta este punctul B din zona tensiunilor negative și punctul D din zona tensiunilor pozitive.
Să determinăm tensiunile în aceste puncte:
;
Pe baza desenului (vezi fig.) obținem:
= - 0,12 m; = - 0,03 m.
= –5,39× 10 4 kN / m 2 \u003d - 53,9 MPa.
;
0,12 m; = 0,03 m.
1,86× 10 4 kN / m 2 \u003d 18,6 MPa.
Exemplul 7
Scurt din fontăo tijă a cărei secțiune transversală este prezentată în figură este comprimată de o forță longitudinală F, aplicat la punct DAR.
Necesar:
1) calculați cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele mai mari tensiuni de compresiune din secțiune transversală, exprimând magnitudinea acestor tensiuni prin Fși dimensiunile secțiunii; dar= 40 mm, b= 60 mm;
2) găsiți sarcina admisă F la dimensiunile secțiunii transversale date și solicitările admisibile pentru fontă pentru compresiune = 100 MPa și pentru întindere = 30 MPa.
Soluţie.
S-a menționat mai sus că caracteristicile geometrice din formulele de calcul sunt luate în raport cu principalele axe centrale, așa că vom determina centrul de greutate al secțiunii. Axă X este o axă de simetrie și, prin urmare, trece prin centrul de greutate, așa că trebuie doar să găsim locația sa pe această axă. Să împărțim secțiunea în două componente (1 și 2) și să selectăm axele auxiliare. DIN 1 și DIN 2 în aceste axe.
Vom avea DIN 1 (0,0); DIN 2 (0,04; 0), atunci:
m;
Deci în topoare X y 1 centrul de greutate al întregii secțiuni are coordonate DIN (0,0133; 0). Desenăm o axă prin centrul de greutate al secțiunii Y perpendicular pe axa X. Axa X și Y și vor fi principalele axe centrale ale secțiunii.
Să determinăm poziția liniei zero.
Forțați coordonatele punctului de aplicare (puncte DAR) va fi după cum urmează: \u003d (0,02–0,0133) + 0,04 \u003d 0,0467 m; = 0,06 m;
m 4,
m 4,
unde = 0,0133 m;
m 2.
m 2, 
m2;
și tăiați segmentele de axa neutră pe axele principale de inerție X și respectiv Y:
Puneți deoparte pe axă X, și pe axă Yși trageți o linie zero prin punctele obținute (vezi Fig.). Vedem că punctele cele mai îndepărtate ale secțiunii de linia zero - acesta este ideea DARîn zona şi punctul comprimat ÎNîn zona extinsă. Coordonatele acestor puncte sunt următoarele: DAR(0,0467; 0,06); ÎN(-0,0333; -0,12). Să determinăm tensiunile în aceste puncte, exprimându-le în termeni de F.
Tensiune punctuală DAR nu trebuie să depășească efortul de compresiune admisibil , și tensiunea în punct ÎN nu trebuie să depășească efortul de întindere admisibil, de ex. trebuie indeplinite conditii:
, ,
sau
(dar),
(b).
De la (a): 
din (b): 
Pentru a satisface simultan condiția de rezistență atât în zonele întinse, cât și în cele comprimate ale coloanei, trebuie să luăm ca sarcină admisă cea mai mică dintre cele două primite, adică. = 103 kN.
Exemplul 8
Scurt din fontă o tijă cu secțiune transversală dreptunghiulară, prezentată în figură, este comprimată de o forță longitudinală F, aplicat la punct DAR.
Necesar:
1) calculați cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele mai mari tensiuni de compresiune din secțiunea transversală, exprimând mărimea acestor tensiuni prin Fși dimensiunile secțiunii;
2) găsiți sarcina admisă F la dimensiunile secțiunii transversale date și la tensiunile admisibile pentru fontă în compresiune 
si la tractiune 
.
Soluţie.
Să determinăm poziția liniei zero. Pentru a face acest lucru, folosim formulele
Coordonatele punctului de aplicare a forței (punctul A) vor fi următoarele:
Pătratele razelor de inerție sunt determinate de formulele:
Determinați segmentele pe care linia zero le taie pe axe XȘi la.
Puneți deoparte pe axă X – X 0 și pe axă la – la 0 și trageți o linie zero prin punctele obținute n – n(vezi fig.). Vedem că punctele cele mai îndepărtate ale secțiunii sunt punctul A din zona comprimată și punctul B din zona întinsă. Coordonatele acestor puncte sunt următoarele: A (0,04; 0,06), B (–0,04; –0,06). Să determinăm mărimea tensiunii în aceste puncte, exprimându-le în termeni de forță F:
Tensiunea din punctul A nu trebuie să depășească efortul de compresiune admisibil, iar tensiunea din punctul B nu trebuie să depășească efortul de întindere admisibil, de exemplu. condiția trebuie îndeplinită
De la prima expresie, valoarea F
Sarcina este cea mai mică dintre cele două găsite, adică. = 567 kn.
Exemplul 9
O tijă scurtă din fontă cu secțiunea transversală prezentată în fig. dar, este comprimat de o forță longitudinală P, aplicat la punct A. Determinați cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele mai mari tensiuni de compresiune în secțiunea transversală a tijei, exprimându-le în termeni de forță Pși dimensiunile secțiunii transversale, cm, cm Găsiți sarcina admisă la tensiunile admisibile date pentru material pentru compresie kN / cm 2 și pentru tensiune kN / cm 2.
Soluţie.
Forța care acționează asupra tijei P pe lângă compresie, îndoaie tija în raport cu axele centrale principale XȘi y. Momentele încovoietoare sunt, respectiv, egale:
unde cm și cm sunt coordonatele punctului de aplicare a forței P(coordonatele punctului A).
Tensiuni normale la un moment dat cu coordonate XȘi yorice secțiunea transversală a tijei sunt determinate de formula
,
Unde F este aria și și sunt razele de rotație ale secțiunii transversale.
1. Determinați caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale a tijei.
Aria secțiunii transversale a tijei este:
Principalele momente centrale de inerție sunt determinate după cum urmează.
Calcularea momentului de inerție Total secțiune despre axă X, împărțiți întreaga figură într-un dreptunghi cu lățime și înălțime și două dreptunghiuri cu lățime și înălțime, astfel încât axa X a fost esențial pentru toate aceste trei figuri. Apoi
.
Pentru a calcula momentul de inerție al întregii secțiuni în jurul axei y hai să împărțim întreaga figură puțin diferit: un dreptunghi cu lățime și înălțime și două dreptunghiuri cu lățime și înălțime, astfel încât acum axa y a fost esențial pentru toate aceste trei figuri. obține
.
Pătratele razelor de inerție sunt:
; 
.
2. Determinați poziția liniei zero.
Segmentele și , tăiate de linia zero din axele de coordonate, sunt egale cu:
cm ; 
cm.
Arată linia zero N-Nîn fig. b. Linia zero împarte secțiunea transversală în două regiuni, dintre care una este în tensiune, iar cealaltă este în compresie. Figura 1, b întins zona secțiunii transversale a tijei de către noi umbrite.
3. Calculați cel mai mare întinderea Voltaj.
Are loc la puncte 6 Și 7 , adică în punctele cele mai îndepărtate de linia zero. Valoarea acestei tensiuni, calculată, de exemplu, pentru un punct 6 este egal cu:
4. Calculați cel mai mare compresiv Voltaj.
Are loc la puncte 2 Și 3 , de asemenea, cel mai îndepărtat de linia zero. Valoarea acestei tensiuni, calculată, de exemplu, pentru un punct 2 , este egal cu:
5. Determinați sarcina admisibilă din condiția rezistenței la tracțiune:
kN/cm2; 
kN.
6. Determinați sarcina admisibilă din condiția rezistenței la compresiune:
kN/cm2; 
kN.
Exemplul 10
O coloană scurtă, a cărei secțiune transversală este prezentată în Fig. 1, este comprimată de o forță longitudinală F= 200 kN aplicat la punct LA. Dimensiunile secțiunii a= 40 cm b= 16 cm Rezistența estimată la tracțiune a materialului Rt = 3 MPa, pentru compresie R cu = 30 MPa .
Necesar:
1. Găsiți poziția liniei zero.
2. Calculați cele mai mari tensiuni de compresiune și tracțiune și construiți o diagramă a tensiunilor. Dați o concluzie despre rezistența coloanei.
3. Determinați capacitatea portantă de proiectare (sarcina de proiectare) F max pentru dimensiunile secțiunilor date.
4. Construiți miezul secțiunii.
Fig.1
Soluţie.
1. Determinarea coordonatelor centrului de greutate al secțiunii.
Secțiunea transversală a stâlpului are o axă de simetrie X s, prin urmare, centrul de greutate se află pe această axă și pentru a găsi coordonatele x s raportat la axa mică Y o (vezi Fig. 1) împărțim secțiunea complexă în trei dreptunghiuri
2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii.
Pentru a calcula principalul momente centrale de inerție, folosim relația dintre momentele de inerție cu deplasarea paralelă a axelor.
Determinați pătratele razelor de inerție
coordonatele punctului de aplicare a forței F
3. Poziția liniei zero
Găsite segmente tăiate pe axele de coordonate pe care le desenăm linia zero (vezi fig. 2).
4. Determinarea celor mai mari tensiuni de compresiune si tractiune. Diagramă .
Punctele cele mai îndepărtate de linia zero: ÎN(-60; 16)ȘiD(60; -32). Subliniază în aceste puncte periculoase cu coordonate X Dan , y Dan nu trebuie să depășească rezistența de proiectare corespunzătoare
.
Tensiune la tracțiune
Stresul compresiv
Rezistența coloanei este garantată.
Conform rezultatelor calculului tensiunii și din fig. 2 diagramă construită .
5. Calculul capacității portante calculate a coloanei Fmax .
Deoarece, la o valoare dată a forței de compresiune, rezistența materialului stâlpului este semnificativ subutilizată, găsim valoarea maximă a sarcinii externe prin echivalarea tensiunilor maxime. s tȘi s c rezistenta calculata.
În sfârșit alegem valoare mai mica Fmax = 425,8 kN, oferind rezistență atât zonelor în secțiune transversală întinse, cât și comprimate.
Fig.2
6. Construcția miezului secțiunii.
Pentru a obține conturul miezului secțiunii, este necesar să se ia în considerare toate pozițiile posibile ale tangentelor la conturul secțiunii și, presupunând că aceste tangente sunt linii zero, să se calculeze coordonatele punctelor limită ale miezului în raport cu principalele axe centrale ale secţiunii. Apoi conectând aceste puncte, obținem conturul miezului secțiunii.
Tangenta 1-1: y o = 32 cm,
.
Tangenta 2-2: , 
.
Tangenta 3-3: , 
.
Tangenta 4-4: 
; ;
;
;
;
.
Tangenta 5-5: ; 
.
Tangenta 6-6: ; 
;
Exemplul 11 .
La punctul P Forța de compresiune pe coloană dreptunghiulară aplicată P(vezi fig.). Determinați tensiunile normale maxime și minime.
Soluţie.
Tensiunea normală sub compresie excentrică este determinată de formula:
În sarcina noastră 
Moment de inerție, zonă 
,
prin urmare 
Pe linia neutră. Deci ecuația ei
Punctele cele mai îndepărtate de axa neutră sunt punctele AȘi B:
la punct AȘi
la punct BȘi
Dacă materialul rezistă în mod diferit la tensiune și compresie, atunci ar trebui să se întocmească două ecuații de rezistență:
Exemplul 12.
Găsiți sarcina admisă pentru grinda prezentată în figură, dacă rezistențele de proiectare ale materialului grinzii pentru tensiune și compresie sunt egale Radm,t= 20 MPa; Adm , cu= 100 MPa.
Soluţie. Scriem condiția de rezistență pentru punctele cele mai solicitate din orice secțiune a grinzii, deoarece toate secțiunile sunt la fel de periculoase:
Să rescriem aceste condiții, ținând cont de faptul că
și apoi
Și 
De aici determinăm valorile sarcinilor admisibile.