FERMAT A NAGY TÉTEL - Pierre Fermat (francia jogász és részmunkaidős matematikus) kijelentése, hogy az X n + Y n = Z n diofantusi egyenletnek n>2 kitevőjével, ahol n = egész szám, nincs megoldása egész számok pozitív számok. A szerző szövege: "Lehetetlen egy kockát két kockára bontani, vagy egy bi-négyzetet két bi-négyzetre, vagy általában a kettőnél nagyobb hatványt két hatványra ugyanazzal a kitevővel."

"Fermat és tétele", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre 1636. március 29-én állt elő ezzel a tétellel. És körülbelül 29 év után meghalt. De ott kezdődött minden. Hiszen egy Wolfskel nevű gazdag német matematikus százezer márkát hagyott örökül annak, aki bemutatja Fermat tételének teljes bizonyítását! De a tétel körüli izgalom nemcsak ezzel, hanem a szakmai matematikai izgalommal is összefüggött. Fermat maga utalt a matematikai közösségnek arra, hogy ismeri a bizonyítékot – röviddel halála előtt, 1665-ben a következő bejegyzést hagyta az Alexandriai Diophantus „Arithmetic” című könyvének margójára: „Van egy nagyon csodálatos bizonyítékom, de ez túl nagy ahhoz, hogy a szántóföldre lehessen helyezni."

Ez a célzás (plusz természetesen pénzdíj) volt az, ami miatt a matematikusok sikertelenül elköltették legjobb évek(Amerikai tudósok számításai szerint erre összesen 543 évet fordítottak csak hivatásos matematikusok).

Valamikor (1901-ben) a Fermat-tételen végzett munka az „örökmozgó keresésével rokon munka” kétes hírnévre tett szert (még egy lekicsinylő kifejezés is volt – „fermatikusok”). És hirtelen, 1993. június 23-án, egy számelméleti matematikai konferencián Cambridge-ben, Andrew Wiles, a Princeton Egyetem (New Jersey, USA) angol matematikaprofesszora bejelentette, hogy végre bebizonyította Fermat!

A bizonyítás azonban nemcsak bonyolult volt, hanem nyilvánvalóan hibás is, ahogy Wiles-t kollégái is felhívták a figyelmet. Wiles professzor azonban egész életében arról álmodott, hogy bebizonyítja a tételt, így nem meglepő, hogy 1994 májusában bemutatta a tudományos közösségnek a bizonyítás új, javított változatát. Nem volt benne harmónia, szépség, és még mindig nagyon bonyolult volt - az a tény, hogy a matematikusok egy egész éve (!) elemezték ezt a bizonyítást, hogy megértsük, nem hibás-e, az önmagáért beszél!

De végül Wiles bizonyítékát helyesnek találták. De a matematikusok nem bocsátották meg Pierre Fermat-nak az aritmetikai célzást, és valójában hazugnak kezdték tartani. Valójában az első személy, aki megkérdőjelezte Fermat erkölcsi feddhetetlenségét, maga Andrew Wiles volt, aki megjegyezte, hogy "Fermatnak nem lehetett ilyen bizonyítéka. Ez a huszadik századi bizonyíték." Aztán a többi tudós között megerősödött az a vélemény, hogy Fermat "nem tudja más módon igazolni tételét, és Fermat nem tudja úgy bizonyítani, ahogyan Wiles, objektív okokból".

Valójában Fermat természetesen bebizonyíthatta, és kicsit később ezt a bizonyítékot újra megalkotják a New Analytical Encyclopedia elemzői. De – mik is ezek az „objektív okok”?
Valójában egyetlen ilyen ok van: azokban az években, amikor Fermat élt, nem jelenhetett meg Taniyama sejtése, amelyre Andrew Wiles építette a bizonyítását, mert a moduláris függvényeket, amelyekre Taniyama sejtése működik, csak a 19. század végén fedezték fel. .

Hogyan igazolta maga Wiles a tételt? A kérdés nem tétlen – ez fontos annak megértéséhez, hogy maga Fermat hogyan bizonyíthatta be tételét. Wiles a bizonyítását Taniyama sejtésének bizonyítékára építette, amelyet a 28 éves japán matematikus, Yutaka Taniyama 1955-ben terjesztett elő.

A sejtés így hangzik: "minden elliptikus görbe egy bizonyos moduláris formának felel meg." A régóta ismert elliptikus görbék kétdimenziós (síkon helyezkednek el), míg a moduláris függvények négydimenziós formájúak. Vagyis Taniyama hipotézise teljesen különböző fogalmakat kombinált - egyszerű lapos görbékkel és elképzelhetetlen négydimenziós formákkal. A hipotézisben a különböző dimenziós alakok összekapcsolásának ténye abszurdnak tűnt a tudósok számára, ezért 1955-ben nem tulajdonítottak neki jelentőséget.

1984 őszén azonban hirtelen újra eszébe jutott a "Taniyama-hipotézis", és nemcsak eszébe jutott, hanem lehetséges bizonyítását is összekapcsolták Fermat tételének bizonyításával! Ezt Gerhard Frey saarbrückeni matematikus tette, aki azt mondta a tudományos közösségnek, hogy "ha valaki be tudja bizonyítani Taniyama sejtését, akkor Fermat utolsó tétele bebizonyosodik".

Mit csinált Frey? A Fermat-egyenletet köbössé alakította, majd felhívta a figyelmet arra, hogy a Fermat-egyenlet köbössé alakításával kapott elliptikus görbe nem lehet moduláris. Taniyama sejtése azonban azt állította, hogy bármely elliptikus görbe lehet moduláris! Ennek megfelelően a Fermat-egyenletből felépített elliptikus görbe nem létezhet, ami azt jelenti, hogy nem létezhetnek teljes megoldások és Fermat-tétel, ami azt jelenti, hogy igaz. Nos, 1993-ban Andrew Wiles egyszerűen bebizonyította Taniyama sejtését, tehát Fermat tételét.

Fermat tétele azonban sokkal egyszerűbben bizonyítható, ugyanazon többdimenziós alapon, amelyet Taniyama és Frey is operált.

Kezdésként figyeljünk arra a feltételre, amelyet maga Pierre Fermat kötött ki - n>2. Miért volt szükség erre a feltételre? Igen, csak azért, mert n=2 esetén a közönséges Pitagorasz-tétel X 2 +Y 2 =Z 2 a Fermat-tétel speciális esetévé válik, amelynek végtelen számú egész megoldása van - 3,4,5; 5,12,13; 7.24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 és így tovább. Így a Pitagorasz-tétel kivételt jelent Fermat tétele alól.

De miért pont n=2 esetén fordul elő ilyen kivétel? Minden a helyére kerül, ha látja a kapcsolatot a fokszám (n=2) és magának az alakzatnak a dimenziója között. A Pitagorasz-háromszög egy kétdimenziós alakzat. Nem meglepő, hogy Z (azaz a hipotenúza) lábakkal (X és Y) fejezhető ki, amelyek lehetnek egész számok. A szög nagysága (90) lehetővé teszi, hogy a befogót vektornak tekintsük, a lábak pedig a tengelyeken elhelyezkedő és az origóból érkező vektorok. Ennek megfelelően lehetséges olyan kétdimenziós vektort kifejezni, amely nem fekszik egyik tengelyen sem, a rajtuk fekvő vektorokkal.

Most, ha a harmadik dimenzióba megyünk, és így n=3-ra, hogy kifejezzük 3d vektor, akkor nem lesz elegendő információ a két vektorról, ezért a Fermat-egyenletben Z-t legalább három taggal lehet kifejezni (három vektor a koordináta-rendszer három tengelyén fekszik).

Ha n=4, akkor legyen 4 tag, ha n=5, akkor legyen 5 tag, és így tovább. Ebben az esetben több mint elég teljes megoldás lesz. Például 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 és így tovább (más példákat is választhat n=3, n=4 és így tovább).

Mi következik mindebből? Ebből következik, hogy a Fermat-tételnek valóban nincs teljes megoldása n>2-re – de csak azért, mert maga az egyenlet hibás! Ugyanilyen sikerrel meg lehetne próbálni a paralelepipedon térfogatát a két élének hosszával kifejezni - persze ez lehetetlen (egész megoldásokat sosem találunk), de csak azért, mert meg lehet találni a paralelepipedon térfogatát. , ismernie kell mindhárom élének hosszát.

Amikor a híres matematikustól, David Gilberttől megkérdezték, mi a tudomány legfontosabb feladata most, azt válaszolta, hogy "legyet kell elkapni a Hold túlsó oldalán". Az ésszerű kérdésre: "Kinek kell?" így válaszolt: "Senkinek nincs rá szüksége. De gondoljon bele, hány fontos és összetett feladatot kell megoldania ahhoz, hogy ezt elérje."

Más szóval, Fermat (elsősorban jogász!) szellemes jogi viccet játszott az egész matematikai világgal, a probléma helytelen megfogalmazása alapján. Valójában azt javasolta, hogy a matematikusok találjanak választ arra, hogy miért nem élhet egy légy a Hold másik oldalán, és az aritmetika margójára csak azt akarta írni, hogy a Holdon egyszerűen nincs levegő, i.e. tételének nem lehet egész számú megoldása n>2-re, csak azért, mert n minden értékének meg kell felelnie bizonyos számú tagnak az egyenlete bal oldalán.

De ez csak vicc volt? Egyáltalán nem. Fermat zsenialitása éppen abban rejlik, hogy valójában ő volt az első, aki meglátta egy matematikai alakzat fokszáma és dimenziója közötti összefüggést – vagyis ami abszolút ekvivalens, az egyenlet bal oldalán lévő tagok száma között. Híres tételének éppen az volt az értelme, hogy ne csak nyomuljon matematikai világ ennek a kapcsolatnak az ötletére, hanem e kapcsolat létezésének bizonyítására is – intuitív módon érthetően, de matematikailag még nem alátámasztva.

Fermat, mint senki más, megértette, hogy a látszólag különböző objektumok közötti kapcsolat megteremtése rendkívül gyümölcsöző nemcsak a matematikában, hanem bármely tudományban is. Egy ilyen kapcsolat egy mély elvre mutat, amely mindkét tárgy mögött meghúzódik, és lehetővé teszi azok mélyebb megértését.

Például kezdetben a fizikusok az elektromosságot és a mágnesességet teljesen független jelenségnek tekintették, majd a 19. században az elméletalkotók és a kísérletezők rájöttek, hogy az elektromosság és a mágnesesség szorosan összefügg. Az eredmény az elektromosság és a mágnesesség mélyebb megértése volt. Elektromos áramok generál mágneses mezők, és a mágnesek elektromosságot indukálhatnak a mágnesek közelében lévő vezetőkben. Ez vezetett a dinamók és az elektromos motorok feltalálásához. Végül felfedezték, hogy a fény a mágneses és elektromos mezők összehangolt harmonikus rezgésének eredménye.

Fermat korának matematikája a tudás szigeteiből állt a tudatlanság tengerében. A geométerek az egyik szigeten az alakzatokat, a matematikusok pedig a valószínűségeket és a véletleneket tanulmányozták a másik szigeten. A geometria nyelve nagyon különbözött a valószínűségszámítás nyelvétől, és az algebrai terminológia idegen volt azok számára, akik csak a statisztikáról beszéltek. Sajnos korunk matematikája megközelítőleg ugyanazokból a szigetekből áll.

Farm volt az első, aki felismerte, hogy ezek a szigetek összefüggenek egymással. Híres tétele - Fermat NAGY TÉTELE - pedig ezt kiválóan megerősíti.

A 2-nél nagyobb n egész számok esetén az x n + y n = z n egyenletnek nincs nullától eltérő megoldása természetes számokban.

Valószínűleg emlékszel az iskolai időkből a Pitagorasz-tétel: egy derékszögű háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Emlékezhet a klasszikus derékszögű háromszögre is, amelynek oldalai 3:4:5 arányban állnak egymással. Ehhez a Pitagorasz-tétel így néz ki:

Ez egy példa az általánosított Pitagorasz-egyenlet nullától eltérő egész számokban történő megoldására n= 2. Fermat utolsó tétele (más néven "Fermat utolsó tétele" és "Fermat utolsó tétele") az az állítás, amely az értékekre n> 2 alak egyenlete x n + y n = z n a természetes számokban nincsenek nullától eltérő megoldások.

Fermat utolsó tételének története nagyon szórakoztató és tanulságos, és nem csak a matematikusok számára. Pierre de Fermat hozzájárult a matematika különböző területeinek fejlesztéséhez, de tudományos örökségének nagy részét csak posztumusz publikálták. A tény az, hogy Fermat számára a matematika valami hobbi volt, nem pedig szakmai elfoglaltság. Levelezést folytatott korának vezető matematikusaival, de nem törekedett munkáinak publikálására. Fermat tudományos írásai többnyire magánlevelezések és töredékes feljegyzések formájában találhatók meg, gyakran különféle könyvek margóján. A margón van (Diophantus ókori görög aritmetika második kötetének. - Jegyzet. fordító) röviddel a matematikus halála után az utódok felfedezték a híres tétel megfogalmazását és az utóiratot:

« Találtam erre egy igazán csodálatos bizonyítékot, de ezek a margók túl szűkek neki.».

Sajnos, úgy tűnik, Fermat soha nem foglalkozott azzal, hogy leírja a talált „csodálatos bizonyítékot”, és a leszármazottak több mint három évszázadon át sikertelenül keresték. Fermat különböző, sok meglepő kijelentést tartalmazó tudományos öröksége közül a Nagy Tétel volt az, amely makacsul ellenállt a megoldásnak.

Aki nem vette fel Fermat utolsó tételének bizonyítását – hiába! Egy másik nagy francia matematikus, René Descartes (René Descartes, 1596-1650) Fermat "dicsekvésnek", John Wallis angol matematikus (John Wallis, 1616-1703) pedig "átkozott franciának" nevezte. Fermat azonban maga mögött hagyta az esetre vonatkozó tételének bizonyítását n= 4. Bizonyítékkal arra n= 3-at a 18. századi nagy svájci-orosz matematikus, Leonard Euler (1707–83) oldotta meg, majd miután nem talált bizonyítékot n> 4, tréfásan felajánlotta, hogy átkutatja Fermat házát, hogy megtalálja az elveszett bizonyíték kulcsát. A 19. században a számelmélet új módszerei lehetővé tették az állítás bizonyítását sok 200-on belüli egész számra, de nem mindenre.

1908-ban 100 000 DM díjat alapítottak erre a feladatra. A nyereményalapot Paul Wolfskehl német iparosra hagyták, aki a legenda szerint öngyilkosságra készült, de annyira magával ragadta Fermat utolsó tétele, hogy meggondolta magát a halál mellett. A gépek, majd a számítógépek hozzáadásával az értékek sávja n egyre feljebb kezdett emelkedni - a második világháború elejére 617-re, 1954-ben 4001-re, 1976-ban 125 000-re. A 20. század végén a Los Alamos-i (Új-Mexikó, USA) katonai laboratóriumok legerősebb számítógépeit a Fermat-probléma háttérben történő megoldására programozták (hasonlóan a személyi számítógép képernyőkímélő módjához). Így sikerült kimutatni, hogy a tétel hihetetlenül nagy értékekre igaz x, y, zés n, de ez nem szolgálhat szigorú bizonyítékként, mivel az alábbi értékek bármelyike n vagy hármasikrek természetes számok megcáfolhatná a tétel egészét.

Végül 1994-ben az angol matematikus, Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, szül. 1953), miközben a Princetonban dolgozott, kiadta Fermat utolsó tételének bizonyítását, amelyet némi módosítás után kimerítőnek tekintettek. A bizonyítás több mint száz folyóiratoldalt vett igénybe, és a felsőbb matematika modern apparátusán alapult, amelyet nem Fermat korszakában fejlesztettek ki. Tehát mit értett Fermat azzal, hogy a könyv margójára üzenetet hagyott, hogy bizonyítékot talált? A legtöbb matematikus, akivel beszéltem ebben a témában, rámutatott, hogy az évszázadok során több mint elég helytelen bizonyítást találtak Fermat utolsó tételére, és valószínű, hogy maga Fermat is talált hasonló bizonyítékot, de nem látta a hibát. benne. Lehetséges azonban, hogy még mindig van néhány rövid és elegáns bizonyíték Fermat utolsó tételére, amelyet még senki sem talált meg. Csak egyet mondhatunk biztosan: ma már biztosan tudjuk, hogy a tétel igaz. Azt hiszem, a legtöbb matematikus fenntartás nélkül egyetértene Andrew Wiles-szal, aki megjegyezte a bizonyításával kapcsolatban: "Most végre megnyugszik az elmém."

Sok évvel ezelőtt levelet kaptam Taskentből Valerij Muratovtól, a kézírásból ítélve egy férfi serdülőkor, aki akkor a Kommuniszticseszkaja utcában lakott a 31. szám alatt. A srác eltökélte: "Azonnal a lényegre. Mennyit fogsz fizetni Fermat tételének bizonyításáért? Meg vagyok elégedve legalább 500 rubel. pénz..."

Elképesztő paradoxon: kevesen tudják, ki az a Fermat, mikor élt és mit csinált. Több kevesebb ember akár a legáltalánosabb kifejezésekkel is le tudja írni nagyszerű tételét. De mindenki tudja, hogy létezik valamiféle Fermat-tétel, aminek bizonyítása miatt az egész világ matematikusai több mint 300 éve küszködnek, de nem tudják bizonyítani!

Sok ambiciózus ember van, és maga a tudat, hogy van valami, amit mások nem tudnak megtenni, tovább ösztönzi ambíciójukat. Ezért a Nagy Tétel ezrei (!) bizonyítékai érkeztek és érkeztek világszerte akadémiákra, tudományos intézetekre, sőt újságok szerkesztőségeire is – ez az áltudományos amatőr teljesítmény példátlan és soha meg nem dőlt rekordja. Még egy kifejezés is létezik: „fermatikusok”, vagyis olyan emberek, akik megszállottan vágynak a Nagy Tétel bizonyítására, akik teljesen kimerítették a hivatásos matematikusokat munkájuk értékelésére vonatkozó igényekkel. A híres német matematikus, Edmund Landau még egy szabványt is készített, amely szerint azt válaszolta: "Hiba van az oldalon a Fermat-tétel bizonyításában ...", és végzős hallgatói leírták az oldalszámot. 1994 nyarán pedig az újságok szerte a világon valami egészen szenzációsról számolnak be: a Nagy Tétel bebizonyosodott!

Szóval, ki az a Fermat, mi a probléma lényege, és valóban megoldódott-e? Pierre Fermat 1601-ben született egy tímár családjában, gazdag és tekintélyes férfiú – második konzulként szolgált szülővárosában, Beaumontban – ez olyasmi, mint a polgármester asszisztense. Pierre először a ferences szerzeteseknél tanult, majd a toulouse-i jogi karon, ahol azután ügyvédi tevékenységet folytatott. Fermat érdeklődési köre azonban messze túlmutat a joggyakorlaton. Különösen érdekelte a klasszika-filológia, ismertek az ókori szerzők szövegeihez írt megjegyzései. A második szenvedély pedig a matematika.

A 17. században, ahogyan sok évvel később sem, nem volt ilyen szakma: matematikus. Ezért az akkori összes nagy matematikus „részmunkaidős” matematikus volt: Rene Descartes a hadseregben szolgált, Francois Viet ügyvéd, Francesco Cavalieri szerzetes. tudományos folyóiratok akkor nem volt, és a tudomány klasszikusa, Pierre Fermat egyetlen tudományos munkát sem publikált élete során. Volt egy meglehetősen szűk köre az "amatőröknek", akik különféle érdekes problémákat oldottak meg számukra, és erről leveleket írtak egymásnak, néha vitatkoztak (mint Fermat Descartes-szal), de alapvetően hasonló gondolkodásúak maradtak. Ők lettek az új matematika megalapítói, a ragyogó magvak vetői, amelyekből a modern matematikai tudás hatalmas fája kezdett kinőni, erősödni és elágazni.

Tehát Fermat ugyanaz az "amatőr" volt. Toulouse-ban, ahol 34 évig élt, mindenki ismerte, elsősorban a Nyomozói Kamara tanácsadójaként és tapasztalt ügyvédként. 30 évesen megnősült, három fia és két lánya született, néha üzleti utakra ment, és az egyik során 63 évesen hirtelen meghalt. Összes! Ennek az embernek, a Három testőr kortársának élete meglepően eseménytelen és kalandoktól mentes. A kalandok a Nagy Tétel részét képezték. Nem fogunk beszélni Fermat teljes matematikai örökségéről, és nehéz róla népszerű módon beszélni. Fogadd el a szavamat: nagyszerű és változatos ez az örökség. Az az állítás, hogy a Nagy Tétel munkája csúcsa, erősen vitatható. Csak hát a Nagy Tétel sorsa meglepően érdekes, és a matematika rejtelmeibe avatatlan emberek hatalmas világát mindig nem maga a tétel érdekelte, hanem minden, ami körülötte van...

Ennek az egész történetnek a gyökereit az ókorban kell keresni, amelyet Fermat annyira szeretett. Körülbelül a 3. században élt Alexandriában Diophantus görög matematikus, egy tudós, aki eredeti módon gondolkodott, a dobozon kívül gondolkodott és gondolatait a dobozon kívül fejezte ki. Számtanának 13 kötetéből csak 6 jutott el hozzánk.Fermat 20 éves korában jelent meg műveinek új fordítása. Fermat nagyon szerette Diophantust, és ezek az írások voltak a kézikönyve. A mezőire Fermat felírta Nagy tételét, amely a legegyszerűbb modern formájában így néz ki: az Xn + Yn = Zn egyenletnek nincs megoldása egész számokban n - 2-nél többre. (N = 2 esetén a megoldás kézenfekvő : Z2 + 42 = 52 ). Ugyanitt, a Diophantine-kötet margóján Fermat hozzáteszi: "Felfedeztem ezt az igazán csodálatos bizonyítékot, de ezek a margók túl szűkek számára."

Első pillantásra az apróság egyszerű, de amikor más matematikusok elkezdték bizonyítani ezt az "egyszerű" tételt, száz évig senkinek sem sikerült. Végül a nagy Leonhard Euler bebizonyította, hogy n = 4, majd 20 (!) év múlva - n = 3. És ismét sok évre elakadt a munka. A következő győzelmet a német Peter Dirichlet (1805–1859) és a francia Andrien Legendre (1752–1833) szerezte meg, akik elismerték, hogy Fermat-nak igaza volt n = 5-re. Aztán a francia Gabriel Lamet (1795–1870) ugyanezt tette. n = 7. Végül a múlt század közepén a német Ernst Kummer (1810-1893) bebizonyította a Nagy tételt minden 100-nál kisebb vagy azzal egyenlő n értékre. Sőt, olyan módszerekkel is bebizonyította. Fermat nem tudta, ami tovább erősítette a rejtély fátylát a Nagy Tétel körül.

Így kiderült, hogy „darabonként” bizonyítják Fermat tételét, de „teljesen” senkinek sem sikerült. Az újabb bizonyítási kísérletek csak az n értékeinek mennyiségi növekedéséhez vezettek. Mindenki megértette, hogy egy szakadéknyi munka elköltésével tetszőlegesen nagy n számra is be lehet bizonyítani a Nagy tételt, de Fermat bármilyen értékről beszélt ebből nagyobb, mint 2! Az „önkényesen nagy” és a „bármilyen” közötti különbségben összpontosult a probléma teljes jelentése.

Meg kell azonban jegyezni, hogy a Fermg-tétel bizonyítására tett kísérletek nem csupán afféle matematikai játszmák, egy komplex rebusz megoldása volt. A bizonyítások során új matematikai távlatok nyíltak meg, problémák merültek fel és oldódtak meg, amelyek a matematikai fa új ágaivá váltak. A nagy német matematikus, David Hilbert (1862-1943) a Nagy tételt példaként hozta fel arra, hogy "milyen ösztönző hatással lehet egy különleges és jelentéktelennek tűnő probléma a tudományra". Ugyanez a Fermat-tételen dolgozó Kummer maga bizonyította be azokat a tételeket, amelyek a számelmélet, az algebra és a függvényelmélet alapját képezték. A Nagy Tétel bizonyítása tehát nem sport, hanem igazi tudomány.

Telt-múlt az idő, és az elektronika a professzionális "fsrmatnts" segítségére lépett. Az új módszerek elektronikus agyát nem tudták feltalálni, de felgyorsultak. A 80-as évek eleje körül Fermat tételét számítógép segítségével igazolták 5500-nál kisebb vagy egyenlő n értékre. Fokozatosan ez a szám 100 000-re nőtt, de mindenki megértette, hogy az ilyen "felhalmozás" tiszta technológia kérdése, így semmit sem az elmének, sem a szívnek. Nem tudták bevenni a Nagy Tétel erődjét, és elkezdték keresni a körforgalmi manővereket.

Az 1980-as évek közepén a fiatal matematikus, G. Filettings bebizonyította az úgynevezett "Mordell-sejtést", amelyet egyébként szintén 61 éven keresztül egyik matematikus sem volt "elérhetetlen". Felmerült a remény, hogy most, úgymond "szárnyról támadva", Fermat tétele is megoldható. Ekkor azonban nem történt semmi. Gerhard Frei német matematikus 1986-ban új bizonyítási módszert javasolt Esseschében. Nem vállalom a szigorú magyarázatot, de nem matematikai, hanem általános emberi nyelven, valahogy így hangzik: ha meg vagyunk győződve arról, hogy valamelyik másik tétel bizonyítása Fermat-tétel közvetett, valamilyen módon átalakított bizonyítása, akkor tehát be fogjuk bizonyítani a Nagy tételt. Egy évvel később az amerikai Kenneth Ribet Berkeley-ből megmutatta, hogy Freynek igaza volt, és valóban, az egyik bizonyíték a másikra redukálható. Sok matematikus követte ezt az utat. különböző országok béke. Sokat tettünk Viktor Alekszandrovics Kolyvanov Nagy tételének bizonyítására. A bevehetetlen erőd háromszáz éves falai megremegtek. A matematikusok rájöttek, hogy ez nem tart sokáig.

1993 nyarán az ókori Cambridge-ben, az Isaac Newton Matematikai Tudományok Intézetében a világ 75 legjelentősebb matematikusa gyűlt össze, hogy megvitassák problémáikat. Köztük volt Andrew Wiles amerikai professzor is, a Princetoni Egyetemről, a számelmélet kiemelkedő szakembere. Mindenki tudta, hogy évek óta dolgozott a Nagy Tételen. Wiles három előadást tartott, és az utolsón, 1993. június 23-án, a legvégén a táblától elfordulva mosolyogva mondta:

Szerintem nem folytatom...

Eleinte halálos csend volt, majd taps. A teremben ülők elég képzettek voltak ahhoz, hogy megértsék: Fermat utolsó tétele bebizonyosodott! Mindenesetre a jelenlévők egyike sem talált hibát a fenti bizonyításban. A Newton Intézet igazgatóhelyettese, Peter Goddard ezt mondta újságíróknak:

„A legtöbb szakértő nem gondolta, hogy élete végéig megtudja. Ez századunk matematikájának egyik legnagyobb vívmánya...

Több hónap telt el, és nem érkezett semmilyen megjegyzés vagy tagadás. Igaz, Wiles nem publikálta a bizonyítékát, hanem csak munkatársai nagyon szűk körének küldte el munkájának úgynevezett lenyomatait, ami természetesen megakadályozza, hogy a matematikusok kommentálják ezt a tudományos szenzációt, és megértem Ludwig Dmitrievich Faddeev akadémikust, ki mondta:

- Mondhatom, hogy a szenzáció akkor történt, amikor a saját szememmel látom a bizonyítékot.

Faddeev úgy véli, hogy nagyon nagy a valószínűsége annak, hogy Wiles nyer.

„Apám, a számelmélet ismert szakembere például biztos volt abban, hogy a tétel bizonyításra kerül, de nem elemi eszközökkel” – tette hozzá.

Egy másik akadémikusunk, Viktor Pavlovics Maslov szkeptikusan fogadta a hírt, és úgy véli, hogy a Nagy Tétel bizonyítása egyáltalán nem aktuális matematikai probléma. Maszlov, az Alkalmazott Matematikai Tanács elnöke tudományos érdeklődését tekintve távol áll a "fermatikusoktól", és amikor azt mondja, hogy a Nagy Tétel teljes megoldása csak sportérdek, akkor meg lehet érteni. Azt azonban meg merem jegyezni, hogy a relevancia fogalma minden tudományban változó. 90 évvel ezelőtt valószínűleg Rutherfordnak is azt mondták: "Hát, hát, nos, a radioaktív bomlás elmélete... És mi van? Mi haszna van belőle? .."

A Nagy Tétel bizonyítására irányuló munka már sok matematikát adott, és remélhetőleg még többet.

„Amit Wiles tett, az más területekre fogja terelni a matematikusokat” – mondta Peter Goddard. - Ez inkább nem zárja le az egyik gondolatmenetet, hanem új kérdéseket vet fel, amelyekre választ kell adni ...

Mihail Iljics Zelikin, a Moszkvai Állami Egyetem professzora így magyarázta nekem a jelenlegi helyzetet:

Senki nem lát hibát Wiles munkájában. De ahhoz, hogy ez a munka tudományos ténnyé váljon, szükség van arra, hogy több neves matematikus önállóan ismételje meg ezt a bizonyítást és megerősítse annak helyességét. Ez elengedhetetlen feltétele annak, hogy a matematikai közösség elismerje Wiles munkáját...

Mennyi ideig tart ez?

Ezt a kérdést tettem fel a számelmélet egyik vezető szakemberünknek, Alekszej Nyikolajevics Parsinnak, a fizikai és matematikai tudományok doktorának.

Andrew Wiles-ra még sok idő áll...

A helyzet az, hogy 1907. szeptember 13-án P. Wolfskel német matematikus, aki a matematikusok túlnyomó többségével ellentétben gazdag ember volt, 100 ezer márkát hagyott örökül annak, aki a következő 100 évben bebizonyítja a Nagy tételt. A század elején a hagyatékból származó kamat a híres Getgangent Egyetem pénztárába került. Ebből a pénzből vezető matematikusokat hívtak meg előadásokra és tudományos munkára. Akkoriban az általam már említett David Hilbert volt a díjbizottság elnöke. A prémiumot nem akarta fizetni.

- Szerencsére - mondta a nagy matematikus -, úgy tűnik, hogy rajtam kívül nincs matematikusunk, aki képes lenne erre a feladatra, de soha nem merem megölni azt a libát, aki nekünk aranytojást toj. ”

A Wolfskel által megjelölt határidő – 2007 – előtt néhány év van hátra, és úgy tűnik, komoly veszély leselkedik „Hilbert csirkére”. De valójában nem a nyereményről van szó. A gondolatok kíváncsiságáról és az emberi kitartásról szól. Több mint háromszáz évig harcoltak, de mégis bizonyítottak!

És tovább. Számomra a legérdekesebb ebben az egész történetben: hogyan bizonyította maga Fermat Nagy Tételét? Hiszen minden mai matematikai trükk ismeretlen volt számára. És egyáltalán bebizonyította? Hiszen van egy verzió, amit úgy tűnt, ő bizonyított, de ő maga talált hibát, és ezért nem küldte el a bizonyításokat más matematikusoknak, hanem elfelejtette áthúzni a Diophantine-kötet margóján lévő bejegyzést. Ezért számomra úgy tűnik, hogy a Nagy Tétel bizonyítása nyilvánvalóan megtörtént, de Fermat tételének titka megmaradt, és nem valószínű, hogy valaha is felfedjük...

Talán Fermat akkor tévedett, de nem tévedett, amikor ezt írta: „Talán az utókor hálás lesz nekem, amiért megmutattam neki, hogy a régiek nem tudtak mindent, és ez behatolhat az utánam jövők tudatába. a fáklyát a fiainak..."

Nem valószínű, hogy szerkesztőségünk életében legalább egy év telt el anélkül, hogy Fermat-tételre jó tucat bizonyítást ne kapott volna. Most, a felette aratott „győzelem” után az áramlás alábbhagyott, de nem száradt ki.

Természetesen, hogy ne száradjon ki teljesen, közöljük ezt a cikket. És nem a magam védelmében – azt mondják, ezért hallgattunk el, mi magunk még nem érettünk meg ilyen összetett problémák megvitatására.

De ha tényleg bonyolultnak tűnik a cikk, akkor azonnal nézze meg a végét. Érezni kell majd, hogy a szenvedélyek átmenetileg lecsillapodtak, a tudománynak még nincs vége, hamarosan újabb tételek újabb bizonyítékai kerülnek a szerkesztőségbe.

Úgy tűnik, a 20. század nem volt hiábavaló. Először is az emberek egy hidrogénbomba felrobbantásával egy pillanatra létrehoztak egy második Napot. Aztán sétáltak a Holdon, és végül bebizonyították a hírhedt Fermat-tételt. E három csoda közül az első kettő mindenki ajkán van, mert óriásit okoztak társadalmi következményei. Éppen ellenkezőleg, a harmadik csoda egy másik tudományos játéknak tűnik - egyenrangú a relativitáselmélettel, kvantummechanikaés Gödel tétele az aritmetika hiányosságáról. A relativitáselmélet és a kvantumok azonban oda vezették a fizikusokat hidrogénbomba, és a matematikusok kutatása számítógépekkel töltötte meg világunkat. A 21. században is folytatódik ez a csodasorozat? Nyomon követhető-e a kapcsolat a következő tudományos játékok és a mindennapi életünk forradalmai között? Ez a kapcsolat lehetővé teszi számunkra, hogy sikeres előrejelzéseket adjunk? Próbáljuk megérteni ezt a Fermat-tétel példáján keresztül.

Kezdésnek jegyezzük meg, hogy sokkal később született, mint a természetes születési ideje. Végül is a Fermat-tétel első speciális esete az X 2 + Y 2 = Z 2 Pitagorasz-egyenlet, amely egy derékszögű háromszög oldalainak hosszára vonatkozik. Miután huszonöt évszázaddal ezelőtt bebizonyította ezt a képletet, Pythagoras azonnal feltette magának a kérdést: van-e a természetben sok olyan háromszög, amelyben mind a lábak, mind a hipotenusz egész hosszúságúak? Úgy tűnik, hogy az egyiptomiak csak egy ilyen háromszöget ismertek - oldalakkal (3, 4, 5). De nem nehéz más lehetőségeket találni: például (5, 12, 13) , (7, 24, 25) vagy (8, 15, 17) . Ezekben az esetekben a hipotenusz hosszának alakja (A 2 + B 2), ahol A és B különböző paritású koprímszámok. Ebben az esetben a lábak hossza egyenlő (A 2 - B 2) és 2AB.

Ezeket az összefüggéseket észrevéve Pythagoras könnyen bebizonyította, hogy a számok bármely hármasa (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) az X 2 + Y 2 \u003d Z egyenlet megoldása. 2, és beállít egy kölcsönösen egyszerű oldalhosszúságú téglalapot. Az is látható, hogy az ilyen típusú különböző hármasok száma végtelen. De a Pitagorasz-egyenlet minden megoldásának van ilyen formája? Pythagoras nem tudta sem bizonyítani, sem megcáfolni ezt a hipotézist, és ezt a problémát az utókorra hagyta anélkül, hogy felhívta volna rá a figyelmet. Ki akarja kiemelni a kudarcait? Ezek után úgy néz ki, mint az egész számok problémája derékszögű háromszögek hét évszázadon át a feledés homályában feküdt – mígnem egy új matematikai zseni, Diophantus megjelent Alexandriában.

Keveset tudunk róla, de egyértelmű, hogy nem volt olyan, mint Pythagoras. Királynak érezte magát a geometriában és még azon túl is – akár zenében, csillagászatban vagy politikában. Az első aritmetikai kapcsolat egy harmonikus hárfa oldalainak hossza között, az Univerzum első modellje bolygókat és csillagokat hordozó koncentrikus gömbökből, középen a Földdel, és végül az első tudósköztársaság az olaszországi Crotone városában. - ezek Püthagorasz személyes eredményei. Mit tudna ellenezni Diophantus az ilyen sikerekkel - a nagy Múzeum szerény kutatója, amely már régóta nem a városi tömeg büszkesége?

Csak egy dolog: jobb megértés ókori világ számok, amelyek törvényeit Pythagorasnak, Euklidésznek és Arkhimédésznek alig volt ideje átérezni. Figyeljük meg, hogy Diophantus még nem sajátította el a nagy számok írásának helyzetrendszerét, de tudta, mik a negatív számok, és valószínűleg sok órát töltött azon, hogy két negatív szám szorzata miért pozitív. Az egész számok világa először Diophantus előtt tárult fel egy különleges univerzumként, amely különbözik a csillagok, szegmensek vagy poliéderek világától. A tudósok fő foglalkozása ezen a világon az egyenletek megoldása, az igazi mester minden lehetséges megoldást megtalál, és bebizonyítja, hogy nincs más megoldás. Ezt tette Diophantus másodfokú egyenlet Pythagoras, majd arra gondolt: van legalább egy megoldásban hasonló X 3 + Y 3 = Z 3 köbegyenlet?

Diophantusnak nem sikerült ilyen megoldást találnia, de sikertelen volt az a kísérlete sem, hogy bebizonyítsa, hogy nincsenek megoldások. Ezért az „Aritmetika” című könyvben (ez volt a világ első számelméleti tankönyve) Diophantus részletesen elemezte a Pitagorasz-egyenletet, de egy szót sem utalt ennek az egyenletnek a lehetséges általánosításaira. De megtehette: végül is Diophantus volt az, aki először javasolta az egész számok hatványainak jelölését! De sajnos: a „feladatkönyv” fogalma idegen volt a hellén tudománytól és pedagógiától, a megoldatlan problémák listáinak közzététele pedig illetlen foglalkozásnak számított (csak Szókratész járt el másképp). Ha nem tudod megoldani a problémát - fogd be a szád! Diophantus elhallgatott, és ez a csend tizennégy évszázadon át tartott - egészen az újkor kezdetéig, amikor feléledt az érdeklődés az emberi gondolkodás folyamata iránt.

Aki nem fantáziált semmiről a 16-17. század fordulóján! A megunhatatlan Kepler számológép megpróbálta kitalálni a kapcsolatot a Nap és a bolygók távolsága között. Pythagoras kudarcot vallott. Kepler sikere azután következett be, hogy megtanulta a polinomok és más egyszerű függvények integrálását. Éppen ellenkezőleg, az álmodozó Descartes nem szerette a hosszú számításokat, de ő volt az, aki először a sík vagy a tér minden pontját számhalmazként mutatta be. Ez a merész modell az ábrákkal kapcsolatos bármely geometriai problémát az egyenletekkel kapcsolatos algebrai problémákra redukál – és fordítva. Például a Pitagorasz-egyenlet egész megoldásai egy kúp felületén lévő egész pontoknak felelnek meg. Az X 3 + Y 3 = Z 3 köbegyenletnek megfelelő felület bonyolultabbnak tűnik, geometriai tulajdonságai Pierre Fermat-nak semmit sem sugalltak, és új utakat kellett kiköveznie az egész számok vadjai között.

1636-ban Diophantus egy görög eredetiből éppen latinra fordított könyve egy fiatal toulouse-i ügyvéd kezébe került, véletlenül fennmaradt valami bizánci levéltárban, és az egyik római szökevény hozta Olaszországba a törökök idején. ROM. A Pitagorasz-egyenlet elegáns tárgyalását olvasva Fermat elgondolkodott: lehet-e ilyen megoldást találni, amely három négyzetszámból áll? Nem kis számok vannak ilyenek: ezt könnyű felsorolással ellenőrizni. Mi a helyzet a nagy döntésekkel? Számítógép nélkül Fermat nem tudott numerikus kísérletet végrehajtani. De észrevette, hogy az X 4 + Y 4 = Z 4 egyenlet minden "nagy" megoldásához meg lehet alkotni egy kisebb megoldást. Tehát két egész szám negyedik hatványának összege soha nem egyenlő a harmadik szám azonos hatványával! Mi a helyzet két kocka összegével?

A 4. fokozat sikerétől megihletett Fermat megpróbálta módosítani a 3. fokozat "leszállási módszerét" – és sikerült is. Kiderült, hogy lehetetlen két kis kockát összeállítani azokból az egyes kockákból, amelyekbe egy nagy, egész élhosszúságú kocka szétesett. A diadalmaskodó Fermat rövid feljegyzést tett Diophantus könyvének margójára, és levelet küldött Párizsba felfedezéséről szóló részletes jelentéssel. Választ azonban nem kapott – bár általában a fővárosi matematikusok gyorsan reagáltak magányos kollégájuk-riválisuk következő toulouse-i sikerére. mi a baj itt?

Egészen egyszerűen: a 17. század közepére az aritmetika kiment a divatból. A 16. századi olasz algebraisták nagy sikerei (amikor a 3. és 4. fokú polinomiális egyenleteket megoldották) nem váltak általános tudományos forradalom kezdetévé, mert nem tették lehetővé új, fényes problémák megoldását a szomszédos tudományterületeken. Nos, ha Kepler tisztán aritmetikával meg tudná tippelni a bolygók pályáját... De sajnos ehhez matematikai elemzésre volt szükség. Ez azt jelenti, hogy fejleszteni kell – egészen a matematikai módszerek teljes diadaláig a természettudományban! De az elemzés a geometriából nő ki, míg az aritmetika a tétlen jogászok és a számok és számok örökkévaló tudományának más szerelmesei játéktere marad.

Tehát Fermat aritmetikai sikerei időszerűtlennek bizonyultak, és nem értékelték őket. Ettől nem volt ideges: egy matematikus hírnevére először tárták fel előtte a differenciálszámítás, az analitikus geometria és a valószínűségszámítás tényeit. Fermat mindezen felfedezései azonnal bekerültek az új európai tudomány aranyalapjába, miközben a számelmélet további száz évre háttérbe szorult - mígnem Euler újjáélesztette.

A 18. századi „matematikusok királya” az elemzés minden alkalmazásában bajnok volt, de nem hanyagolta el az aritmetikát sem, hiszen az új elemzési módszerek váratlan tényekhez vezettek a számokkal kapcsolatban. Ki gondolta volna, hogy az inverz négyzetek végtelen összege (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) egyenlő π 2 /6-tal? Ki láthatta a hellének közül, hogy hasonló sorozatok lehetővé teszik a π szám irracionalitásának bizonyítását?

Az ilyen sikerek arra kényszerítették Eulert, hogy gondosan újraolvassa Fermat fennmaradt kéziratait (szerencsére a nagy francia fiának sikerült kiadnia azokat). Igaz, a „nagy tétel” bizonyítása a 3. fokra vonatkozóan nem maradt meg, de Euler könnyen helyreállította, csak a „leszállási módszerre” mutatva, és azonnal megpróbálta átvinni ezt a módszert a következő prímfokra - 5.

Nem volt ott! Euler érvelésében megjelent komplex számok, amit Fermatnak sikerült nem észrevennie (ilyen a szokásos sok felfedező). De az összetett egész számok faktorizálása kényes kérdés. Még Euler sem értette meg teljesen, és félretette a "Fermat-problémát", sietve befejezni fő munkáját - az "Elemzés alapjai" című tankönyvet, amelynek az volt a célja, hogy segítsen minden tehetséges fiatalembernek egy szinten állni Leibnizzel és Euler. A tankönyv kiadása 1770-ben fejeződött be Szentpéterváron. De Euler nem tért vissza Fermat tételéhez, biztos volt benne, hogy mindent, amit keze és elméje megérintett, az új tudományos fiatalság nem felejt el.

Így is történt: a francia Adrien Legendre lett Euler utódja a számelméletben. A 18. század végén befejezte a Fermat-tétel bizonyítását az 5. fokozatra – és bár a nagy prímhatványoknál megbukott, összeállított egy újabb számelméleti tankönyvet. Fiatal olvasói ugyanúgy felülmúlják a szerzőt, mint a Természetfilozófia matematikai alapelvei olvasói a nagy Newtont! Legendre nem volt párja Newtonnak vagy Eulernek, de két zseni volt az olvasói között: Carl Gauss és Evariste Galois.

A zsenik ilyen magas koncentrációját elősegítette a francia forradalom, amely az Értelem állami kultuszát hirdette meg. Ezt követően minden tehetséges tudós Kolumbusznak vagy Nagy Sándornak érezte magát, aki képes egy új világot felfedezni vagy meghódítani. Sokaknak sikerült, mert a XIX tudományos és műszaki haladás az emberiség fejlődésének fő mozgatója lett, és minden értelmes uralkodó (Napóleontól kezdve) tisztában volt ezzel.

Gauss karakterében közel állt Kolumbuszhoz. De ő (Newtonhoz hasonlóan) nem tudta, hogyan kell gyönyörű beszédekkel rabul ejteni az uralkodók vagy a hallgatók képzeletét, ezért ambícióit a tudományos fogalmak szférájára korlátozta. Itt azt csinálhatott, amit akart. Például a szög háromszakaszának ősi problémája valamiért nem oldható meg iránytűvel és egyenes éllel. A sík pontjait ábrázoló komplex számok segítségével Gauss ezt a problémát lefordítja az algebra nyelvére - és általános elméletet kap bizonyos geometriai konstrukciók megvalósíthatóságáról. Ezzel egy időben megjelent a szigorú bizonyítéka annak, hogy nem lehet körzővel és vonalzóval szabályos 7 vagy 9 gont megépíteni, és egy olyan szabályos 17 gon-os konstrukció, amit Hellas legbölcsebb geométerei meg is tettek. ne álmodjon.

Természetesen az ilyen siker nem adható meg hiába: új fogalmakat kell kitalálni, amelyek a dolog lényegét tükrözik. Newton három ilyen fogalmat vezetett be: fluxus (származék), fluent (integrál) és teljesítmény sorozat. Elegendők voltak a matematikai elemzés és az első elkészítéséhez tudományos modell a fizikai világ, beleértve a mechanikát és a csillagászatot is. Gauss három új fogalmat is bevezetett: vektortér, mező és gyűrű. Egy új algebra nőtt ki belőlük, alárendelve a görög aritmetikát és a Newton által megalkotott numerikus függvényelméletet. Maradt az Arisztotelész által megalkotott logika alárendelése az algebrának: akkor ebből az axiómakészletből számítások segítségével be lehetne bizonyítani bármely tudományos állítás levezethetőségét vagy levezethetetlenségét! Például Fermat tétele az aritmetika axiómáiból, vagy a párhuzamos egyenesekről szóló euklidészi posztulátum a planimetria más axiómáiból származik?

Gaussnak nem volt ideje megvalósítani ezt a merész álmát - bár messzire haladt, és sejtette az egzotikus (nem kommutatív) algebrák létezésének lehetőségét. Csak a merész orosz Nyikolaj Lobacsevszkijnek sikerült megépítenie az első nem euklideszi geometriát, az első nem kommutatív algebrát (Csoportelmélet) pedig a francia Evariste Galois irányította. És csak sokkal később Gauss halála után - 1872-ben - a fiatal német Felix Klein sejtette, hogy a lehetséges geometriák sokfélesége egy az egyben megfeleltetésbe hozható a lehetséges algebrák sokféleségével. Egyszerűen fogalmazva, minden geometriát a szimmetriacsoportja határoz meg – míg az általános algebra az összes lehetséges csoportot és azok tulajdonságait vizsgálja.

De a geometria és az algebra ilyen megértése sokkal később jött létre, és a Fermat-tétel elleni támadás Gauss életében folytatódott. Ő maga elhanyagolta Fermat tételét az elvből: nem a király dolga, hogy olyan egyéni problémákat oldjon meg, amelyek nem férnek bele tudományos elmélet! De Gauss tanítványai az új algebrájával és Newton és Euler klasszikus elemzésével felvértezve másként érveltek. Először is, Peter Dirichlet bebizonyította Fermat tételét a 7. fokra, az ezen egységfok gyökei által generált összetett egész számok gyűrűjének felhasználásával. Aztán Ernst Kummer kiterjesztette a Dirichlet-módszert MINDENRE egyszerű képességek(!) - így tűnt neki elhamarkodottnak, és diadalmaskodott. Ám hamarosan jött a kijózanodás: a bizonyítás csak akkor megy hibátlanul, ha a gyűrű minden eleme egyedileg prímtényezőkre bomlik! A közönséges egész számok esetében ezt a tényt már Eukleidész is tudta, de ennek szigorú bizonyítékát csak Gauss adta meg. De mi a helyzet az egész komplex számokkal?

A „legnagyobb huncutság elve” szerint előfordulhat és KELL egy kétértelmű faktorizáció! Amint Kummer megtanulta matematikai elemzési módszerekkel kiszámítani a kétértelműség mértékét, felfedezte ezt a piszkos trükköt a 23-as fokos gyűrűben. Gaussnak nem volt ideje, hogy megismerje az egzotikus kommutatív algebra e változatát, de Gauss tanítványai fejlődtek. egy másik piszkos trükk helyett egy új, gyönyörű Ideálelmélet. Igaz, ez nem sokat segített Fermat-probléma megoldásában: csak a természetes összetettsége vált világossá.

A 19. század során ez az ősi bálvány egyre több áldozatot követelt tisztelőitől új, összetett elméletek formájában. Nem meglepő, hogy a 20. század elejére a hívők elcsüggedtek és fellázadtak, és elutasították korábbi bálványukat. A "fermatista" szó pejoratív kifejezéssé vált a hivatásos matematikusok körében. És bár jelentős díjat osztottak ki Fermat tételének teljes bizonyításáért, pályázói többnyire magabiztos tudatlanok voltak. Az akkori legerősebb matematikusok - Poincaré és Hilbert - dacosan kerülték ezt a témát.

1900-ban Hilbert nem vette fel Fermat tételét a huszonhárom fő probléma listájába, amelyekkel a huszadik század matematikája szembesül. Igaz, sorozatukba belefoglalta a diofantini egyenletek megoldhatóságának általános problémáját. A célzás egyértelmű volt: kövesd Gauss és Galois példáját, alkoss általános elméleteket új matematikai objektumokról! Aztán egy szép (de előre nem kiszámítható) napon magától kiesik a régi szilánk.

Így járt el a nagy romantikus Henri Poincaré. Sok "örök" problémát figyelmen kívül hagyva, egész életében a matematika vagy a fizika különféle tárgyainak SZIMMETRIÁJAIT tanulmányozta: vagy egy komplex változó függvényeit, vagy az égitestek mozgási pályáit, vagy algebrai görbéket vagy sima sokaságokat (ezek görbe többdimenziós általánosításai vonalak). Tetteinek indítéka egyszerű volt: ha két különböző tárgy hasonló szimmetriájú, az azt jelenti, hogy belső kapcsolat van közöttük, amit még nem vagyunk képesek felfogni! Például a kétdimenziós geometriák mindegyikének (Euklidész, Lobacsevszkij vagy Riemann) megvan a saját szimmetriacsoportja, amely a síkon hat. De a sík pontjai komplex számok: ilyen módon bármely műveletet geometriai csoportátkerül a komplex funkciók határtalan világába. Lehetséges és szükséges a legszimmetrikusabb függvények tanulmányozása: AUTOMORF (amelyek az Euklidész csoport alá tartoznak) és MODULAR (amelyek a Lobacsevszkij csoport alá tartoznak)!

A síkban elliptikus görbék is vannak. Semmi közük az ellipszishez, hanem Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX formájú egyenletek adják őket, és ezért metszik egymást három pont. Ez a tény lehetővé teszi, hogy egy elliptikus görbe pontjai között szorzást vezessünk be - csoporttá alakítsuk. Ennek a csoportnak az algebrai szerkezete tükrözi a görbe geometriai tulajdonságait, esetleg a csoportja határozza meg egyedileg? Ezt a kérdést érdemes tanulmányozni, mivel egyes görbék esetében a számunkra érdekes csoport modulárisnak bizonyul, vagyis a Lobacsevszkij-geometriához kapcsolódik ...

Így érvelt Poincaré, elcsábítva Európa matematikai fiataljait, de a 20. század elején ezek a kísértések nem vezettek fényes tételekhez vagy hipotézisekhez. Hilbert felhívásával másképp alakult: tanulmányozzuk a diofantinuszi egyenletek egész együtthatós megoldásait! 1922-ben a fiatal amerikai Lewis Mordell sok megoldást kapcsolt egy ilyen egyenlethez (ez vektor tér egy bizonyos méretű) az ezen egyenlet által adott komplex görbe geometriai nemzetségével. Mordell arra a következtetésre jutott, hogy ha az egyenlet fokszáma kellően nagy (több mint kettő), akkor a megoldási tér dimenziója a görbe nemzetségében van kifejezve, ezért ez a dimenzió VÉGES. Ellenkezőleg - 2 erejéig a Pitagorasz-egyenletnek VÉGTELEN DIMENZIÓS megoldáscsaládja van!

Természetesen Mordell látta hipotézisének összefüggését Fermat tételével. Ha kiderül, hogy minden n > 2 fokra a Fermat-egyenlet teljes megoldásainak tere véges dimenziós, ez segít bebizonyítani, hogy ilyen megoldások egyáltalán nem léteznek! Mordell azonban nem látott módot hipotézisének bizonyítására – és bár hosszú életet élt, nem várta meg, hogy ez a hipotézis Faltings tételévé változzon. Ez 1983-ban történt, egy teljesen más korszakban, a sokaságok algebrai topológiájának nagy sikerei után.

Poincaré ezt a tudományt mintha véletlenül alkotta volna meg: tudni akarta, mi a háromdimenziós sokaság. Hiszen Riemann minden zárt felület szerkezetét kitalálta, és nagyon egyszerű választ kapott! Ha háromdimenziós vagy többdimenziós esetben nincs ilyen válasz, akkor ki kell találnia a sokaság algebrai invariánsainak rendszerét, amely meghatározza annak geometriai szerkezetét. A legjobb, ha az ilyen invariánsok bizonyos csoportok elemei – kommutatív vagy nem kommutatív.

Bármilyen furcsának is tűnik, Poincarénak ez a merész terve sikerült: 1950-től 1970-ig valósult meg, sok geométer és algebra erőfeszítésének köszönhetően. 1950-ig csendesen felhalmozódtak a sokféleség osztályozására szolgáló különféle módszerek, majd ezt követően az emberek és ötletek kritikus tömege gyűlt össze, és robbanás következett be, ami összemérhető a 17. századi matematikai elemzés feltalálásával. De az analitikus forradalom másfél évszázadon át tartott, kreatív életrajzok matematikusok négy generációja – Newtontól és Leibniztől Fourier-ig és Cauchy-ig. Éppen ellenkezőleg, a huszadik század topológiai forradalma húsz éven belül volt - köszönhetően egy nagy szám tagjai. Ezzel egy időben magabiztos fiatal matematikusok nagy generációja jelent meg, akik hirtelen munka nélkül maradtak történelmi hazájukban.

A hetvenes években a matematika és az elméleti fizika szomszédos területeire rohantak. Sokan több tucat egyetemen hoztak létre saját tudományos iskolát Európában és Amerikában. Sok különböző korú és nemzetiségű, eltérő képességű és hajlamú diák kering még e központok között, és mindenki szeretne híressé válni valamilyen felfedezésről. Ebben a zűrzavarban Mordell sejtése és Fermat tétele végül bebizonyosodott.

Az első fecske azonban, nem tudván sorsát, Japánban nőtt fel a háború utáni éhes és munkanélküli években. A fecske neve Yutaka Taniyama volt. 1955-ben ez a hős 28 éves lett, és úgy döntött (Goro Shimura és Takauji Tamagawa barátaival együtt), hogy újraéleszti a matematikai kutatást Japánban. Hol kezdjem? Természetesen a külföldi kollégáktól való elszigeteltség leküzdésével! Így 1955-ben három fiatal japán adott otthont Tokióban az első algebrai és számelméleti nemzetközi konferenciának. Láthatóan könnyebb volt ezt megtenni az amerikaiak által átnevelt Japánban, mint a Sztálin által lefagyasztott Oroszországban...

A díszvendégek között volt két francia hős: Andre Weil és Jean-Pierre Serre. Itt nagy szerencséjük volt a japánoknak: Weil a francia algebraisták elismert vezetője és a Bourbaki csoport tagja volt, a fiatal Serre pedig hasonló szerepet töltött be a topológusok között. A velük folytatott heves viták során a japán fiatalok feje repedt, elolvadt az agyuk, de végül olyan ötletek, tervek kristályosodtak ki, amelyek aligha születhettek volna más környezetben.

Egy napon Taniyama felkereste Weilt az elliptikus görbékről és a moduláris függvényekről szóló kérdéssel. A francia először nem értett semmit: Taniyama nem volt mestere az angol beszédnek. Aztán kiderült a dolog lényege, de Taniyamának nem sikerült pontos megfogalmazást adnia reményeinek. Weil csak annyit tudott válaszolni a fiatal japánnak, hogy ha nagyon szerencséje van az ihlet tekintetében, akkor valami értelmes dolog fog kinőni homályos hipotéziseiből. De míg a remény gyenge!

Nyilvánvaló, hogy Weil nem vette észre a mennyei tüzet Taniyama tekintetében. És volt tűz: úgy tűnik, egy pillanatra a néhai Poincaré hajthatatlan gondolata a japánokba költözött! Taniyama azt hitte, hogy minden elliptikus görbét moduláris függvények generálnak – pontosabban: „egy moduláris forma egységesíti”. Sajnos ez a pontos megfogalmazás jóval később született - Taniyama barátjával, Shimurával folytatott beszélgetéseiben. Aztán Taniyama depressziós rohamában öngyilkos lett... Hipotézise gazdája nélkül maradt: nem volt világos, hogyan bizonyítsák, hol teszteljék, és ezért sokáig senki sem vette komolyan. Az első válasz csak harminc évvel később érkezett – majdnem úgy, mint Fermat korszakában!

1983-ban megtört a jég, amikor a huszonhét éves német Gerd Faltings az egész világnak bejelentette: Mordell sejtése beigazolódott! A matematikusok őrködtek, de Faltings igazi német volt: hosszú és bonyolult bizonyításában nem voltak hiányosságok. Csak hát eljött az idő, felhalmozódtak a tények és a fogalmak – és most egy tehetséges algebrásznak tíz másik algebra eredményeire támaszkodva sikerült megoldania egy olyan problémát, amely hatvan éve várt a mesterre. Ez nem ritka a 20. századi matematikában. Érdemes felidézni a szekuláris kontinuum-problémát a halmazelméletben, Burnside két sejtését a csoportelméletben, vagy a Poincaré-sejtést a topológiában. Végül a számelméletben eljött az idő a régi termények betakarítására... Melyik csúcs lesz a következő a meghódított matematikusok sorozatában? Euler problémája, Riemann hipotézise vagy Fermat tétele összeomlik? Ez jó!

És most, két évvel Faltings feltárása után, egy másik ihletett matematikus jelent meg Németországban. Gerhard Freynek hívták, és valami különöset állított: Fermat tétele Taniyama sejtéséből származik! Sajnos Frey gondolatainak kifejezési stílusa inkább a szerencsétlen Taniyamára emlékeztetett, mint egyértelmű honfitársára, Faltingsra. Németországban senki sem értette Freyt, és a tengerentúlra ment - Princeton dicső városába, ahol Einstein után megszokták, hogy nem ilyen látogatók. Nem csoda, hogy Barry Mazur, egy sokoldalú topológus, a sima elosztók elleni közelmúltbeli roham egyik hőse fészkelte ott a fészket. És egy diák nőtt fel Mazur - Ken Ribet - mellett, aki ugyanolyan tapasztalt volt a topológia és az algebra bonyodalmaiban, de még mindig nem dicsőítette önmagát.

Amikor először hallotta Frey beszédeit, Ribet úgy döntött, hogy ez nonszensz és közel sci-fi (valószínűleg Weil is hasonlóan reagált Taniyama kinyilatkoztatásaira). De Ribet nem tudta elfelejteni ezt a „fantáziát”, és időnként mentálisan visszatért hozzá. Hat hónappal később Ribet úgy vélte, van valami értelmes Frey fantáziájában, és egy évvel később úgy döntött, hogy ő maga is majdnem be tudja bizonyítani Frey furcsa hipotézisét. De néhány "lyuk" maradt, és Ribet úgy döntött, hogy bevallja főnökének, Mazurnak. Figyelmesen hallgatta a diákot, és nyugodtan válaszolt: „Igen, mindent megtettél! Itt kell alkalmaznia a Ф transzformációt, itt - használja a B és K Lemmákat, és minden kifogástalan formát ölt! Így hát Ribet az ismeretlenségből a halhatatlanságba ugrott, egy katapultot használt Frey és Mazur személyében. Az igazat megvallva, mindegyiket – a néhai Taniyamával együtt – Fermat utolsó tételének bizonyítékának kell tekinteni.

De itt van a probléma: állításukat a Taniyama-hipotézisből vezették le, ami önmagában még nem bizonyított! Mi van, ha hűtlen? A matematikusok régóta tudják, hogy „hazugságból bármi következik”, ha Taniyama sejtése téves, akkor Ribet kifogástalan érvelése mit sem ér! Sürgősen be kell bizonyítanunk (vagy cáfolnunk kell) Taniyama sejtését – különben valaki, mint Faltings, másképp fogja bebizonyítani Fermat tételét. Hős lesz belőle!

Nem valószínű, hogy valaha is megtudjuk, hány fiatal vagy tapasztalt algebraista ugrott rá Fermat-tételre Faltings sikere vagy Ribet 1986-os győzelme után. Mindannyian igyekeztek titokban dolgozni, hogy kudarc esetén ne kerüljenek a „bábu”-fermatikusok közösségébe. Köztudott, hogy a legsikeresebb – a cambridge-i Andrew Wiles – csak 1993 elején érezte meg a győzelem ízét. Ez nem annyira örült, mint inkább megrémítette Wiles-t: mi van, ha a Taniyama-sejtés bizonyítéka hibát vagy hiányosságot mutat? Aztán tudományos hírneve elpusztult! Gondosan le kell írni a bizonyítást (de sok tucat oldal lesz!) És el kell halasztani hat hónapra vagy egy évre, hogy később hidegvérrel és aprólékosan újra lehessen olvasni... De mit ha valaki ez idő alatt közzéteszi a bizonyítékát? Ó baj...

Wiles azonban kettős módszert talált ki a bizonyíték gyors tesztelésére. Először is, megbíznia kell az egyik megbízható barátjában és kollégájában, és el kell neki mondania az érvelés teljes menetét. Kívülről minden hiba jobban látható! Másodszor, erről a témáról külön tanfolyamot kell felolvasni okos hallgatóknak és végzős hallgatóknak: ezek az okos emberek egyetlen oktatói hibát sem hagynak ki! Csak az utolsó pillanatig ne mondd el nekik a tanfolyam végső célját - különben az egész világ tudni fog róla! És persze ilyen közönséget kell keresnie Cambridge-től távol - jobb, ha nem is Angliában, hanem Amerikában ... Mi lehet jobb, mint a távoli Princeton?

Wiles 1993 tavaszán ment oda. Türelmes barátja, Niklas Katz, miután meghallgatta Wiles hosszú beszámolóját, számos hiányosságot talált benne, de mindegyik könnyen kijavítható. Ám a princetoni végzős hallgatók hamarosan megszöktek Wiles speciális tanfolyamáról, nem akarták követni az előadó szeszélyes gondolatát, aki elvezeti őket senki sem tudja, hova. Munkájának ilyen (nem különösebben mélyreható) áttekintése után Wiles úgy döntött, hogy ideje egy nagy csodát feltárni a világ előtt.

1993 júniusában egy újabb konferenciát tartottak Cambridge-ben, az "Iwasawa-elméletnek" - a számelmélet népszerű szekciójának - szentelték. Wiles úgy döntött, hogy bebizonyítja a Taniyama-sejtést, anélkül, hogy a legvégéig nyilvánosságra hozta volna a fő eredményt. A riport sokáig tartott, de sikeresen, fokozatosan elkezdtek özönleni az újságírók, akik megéreztek valamit. Végül megdördült a mennydörgés: Fermat tétele bebizonyosodott! Az általános örvendezést semmiféle kétség nem árnyékolta be: minden világosnak látszik... Ám két hónappal később Katz, miután elolvasta Wiles végső szövegét, újabb hiányosságot vett észre rajta. Az érvelés egy bizonyos átmenete az „Euler-rendszerre” támaszkodott – de amit Wiles épített, az nem volt ilyen rendszer!

Wiles ellenőrizte a szűk keresztmetszetet, és rájött, hogy itt tévedett. Még rosszabb: nem világos, mivel lehet pótolni a hibás érvelést! Ezt követték Wiles életének legsötétebb hónapjai. Korábban szabadon szintetizált egy példátlan bizonyítékot a rendelkezésre álló anyagból. Most egy szűk és világos feladathoz van kötve – anélkül, hogy biztos lenne abban, hogy van megoldása, és belátható időn belül képes lesz rá. A közelmúltban Frey nem tudott ellenállni ugyanennek a küzdelemnek - és most a nevét eltakarta a szerencsés Ribet neve, bár Frey sejtése helyesnek bizonyult. És mi lesz az ÉN sejtésemmel és az ÉN nevemmel?

Ez a kemény munka pontosan egy évig tartott. 1994 szeptemberében Wiles kész volt beismerni vereségét, és a Taniyama-hipotézist szerencsésebb utódokra hagyni. Miután meghozta ezt a döntést, lassan elkezdte újraolvasni a bizonyítást - elejétől a végéig, hallgatva az érvelés ritmusát, újra átélve a sikeres felfedezések örömét. Az „átkozott” helyre érve Wiles azonban nem hallott hamis hangot. Érvelésének menete továbbra is kifogástalan volt, és a hiba csak a mentális kép SZÓBELI leírásában merült fel? Ha itt nincs „Euler-rendszer”, akkor mi van itt elrejtve?

Hirtelen egy egyszerű gondolat jutott eszembe: az "Euler-rendszer" nem működik ott, ahol az Iwasawa-elmélet alkalmazható. Miért nem alkalmazzuk közvetlenül ezt az elméletet – szerencsére Wiles számára is közel áll és ismerős? És miért nem próbálta ki ezt a megközelítést a kezdetektől fogva, hanem elragadta valaki más elképzelése a problémáról? Wiles már nem emlékezett ezekre a részletekre – és ez használhatatlanná vált. Az Iwasawa elmélet keretein belül elvégezte a szükséges érvelést, és fél óra alatt minden kiderült! Így - egy év késéssel - bezárult Taniyama sejtésének bizonyításának utolsó hézaga is. A végső szöveget a leghíresebb matematikai folyóirat lektorainak egy csoportja kegyébe adta, egy évvel később kijelentették, hogy most már nincs hiba. Így 1995-ben Fermat utolsó sejtése háromszázhatvan évesen elhalt, és bevált tételsé vált, amely elkerülhetetlenül bekerül a számelméleti tankönyvekbe.

Összegezve a Fermat-tétel körüli három évszázados felhajtást, furcsa következtetést kell levonnunk: ez a hőseposz nem történhetett meg! Valójában a Pitagorasz-tétel egyszerű és fontos kapcsolatot fejez ki a vizuális természeti objektumok - a szegmensek hossza - között. De ugyanez nem mondható el Fermat-tételről. Inkább úgy néz ki, mint egy kulturális felépítmény tudományos alapon – mint egy teljesítmény északi sark Föld vagy repülés a Holdra. Emlékezzünk vissza, hogy mindkét bravúrt az írók már jóval a megvalósításuk előtt énekelték – még az ókorban, Eukleidész „Elemek” című művének megjelenése után, de Diophantus „Aritmetikájának” megjelenése előtt. Tehát akkor közszükséglet volt az efféle – legalábbis képzeletbeli – szellemi zsákmányokra! Korábban a helléneknek elegük volt Homérosz verseiből, ahogy száz évvel Fermat előtt a franciáknak is elegük volt a vallásos szenvedélyekből. De aztán alábbhagytak a vallásos szenvedélyek – és melléjük állt a tudomány.

Oroszországban az ilyen folyamatok százötven éve kezdődtek, amikor Turgenyev Jevgenyij Bazarovot Jevgenyij Oneginnel egy szintre állította. Igaz, az író Turgenyev rosszul értette Bazarov tudós cselekedeteinek indítékait, és nem merte elénekelni őket, de ezt Ivan Sechenov tudós és a felvilágosult újságíró, Jules Verne hamarosan megtette. A spontán tudományos és technológiai forradalomnak kulturális burokra van szüksége, hogy behatoljon a legtöbb ember elméjébe, és itt jön először a science fiction, majd a népszerű tudományos irodalom (beleértve a „Knowledge is Power” magazint).

Ugyanakkor egy konkrét tudományos téma egyáltalán nem fontos a nagyközönség számára, és még a hősök-előadók számára sem nagyon fontos. Így, miután hallott Peary és Cook Északi-sark eléréséről, Amundsen azonnal megváltoztatta már előkészített expedíciója célját - és hamarosan elérte a Déli-sarkot, egy hónappal Scott előtt. Később Jurij Gagarin sikeres Föld körülhajózása arra kényszerítette Kennedy elnököt, hogy az amerikai űrprogram korábbi célját drágábbra, de sokkal lenyűgözőbbre változtassa: embereket küldjön a Holdra.

Még korábban a belátó Hilbert a hallgatók naiv kérdésére válaszolva: „Melynek megoldása tudományos feladat most lenne a leghasznosabb? - válaszolta tréfásan: „Fogj legyet a Hold túlsó oldalán!” A zavart kérdésre: „Miért van erre szükség?” - ezt követi egy egyértelmű válasz: „ EZ senkinek sem kell! De gondolj ezekre tudományos módszerekés a technikai eszközöket, amelyeket fejlesztenünk kell egy ilyen probléma megoldásához - és még mennyi szép problémát fogunk megoldani az úton!

Pontosan ez történt a Fermat-tétellel. Euler figyelmen kívül hagyhatta.

Ebben az esetben valamilyen más probléma válik a matematikusok bálványává – talán a számelméletből is. Például Eratoszthenész problémája: véges vagy végtelen halmaz prímszámok-ikrek (például 11 ​​és 13, 17 és 19 és így tovább)? Vagy Euler problémája: minden páros szám két prímszám összege? Vagy: van-e algebrai összefüggés a π és az e számok között? Ezt a három problémát még nem sikerült megoldani, bár a 20. században a matematikusok közel kerültek a lényegük megértéséhez. De ez a század sok új, nem kevésbé érdekes problémát is felvetett, különösen a matematika és a fizika és a természettudomány más ágai metszéspontjában.

Hilbert még 1900-ban kiemelte ezek közül az egyiket: a matematikai fizika teljes axiómarendszerének létrehozását! Száz évvel később ez a probléma még korántsem megoldott, már csak azért is, mert a fizika matematikai eszközeinek arzenálja folyamatosan növekszik, és nem mindegyiknek van szigorú indoklása. De 1970 után az elméleti fizika két ágra szakadt. Az egyik (klasszikus) Newton kora óta a STABIL folyamatok modellezésével és előrejelzésével foglalkozik, a másik (újszülött) pedig az UNSTABIL folyamatok interakcióját és azok irányításának módjait próbálja formalizálni. Nyilvánvaló, hogy a fizika e két ágát külön kell axiomatizálni.

Az elsővel valószínűleg húsz-ötven év múlva foglalkoznak majd...

És mi hiányzik a fizika második ágából – abból, amelyik mindenféle evolúcióért felelős (beleértve a különös fraktálokat és furcsa attraktorokat, a biocenózisok ökológiáját és Gumiljov szenvedélyelméletét)? Ezt nem valószínű, hogy hamarosan megértjük. De a tudósok imádata az új bálványnak már tömegjelenséggé vált. Valószínűleg itt egy eposz bontakozik ki, amely Fermat tételének három évszázados életrajzához hasonlítható. Így a különböző tudományok metszéspontjában új bálványok születnek - hasonlóak a vallásosokhoz, de összetettebbek és dinamikusabbak ...

Úgy tűnik, az ember nem maradhat ember anélkül, hogy időről időre megdöntötte a régi bálványokat, és ne hozzon létre újakat - fájdalommal és örömmel! Pierre Fermat-nak szerencséje volt, hogy egy sorsdöntő pillanatban egy új bálvány születésének forró pontjához közel került – és sikerült személyiségének nyomát hagynia az újszülöttben. Egy ilyen sorsot lehet irigyelni, és nem bűn utánozni.

Szergej Szmirnov
"A tudás hatalom"