transcendentalni broj je kompleksan broj koji nije algebarski, odnosno nije korijen bilo kojeg polinoma različitog od nule sa racionalni koeficijenti.

Postojanje transcendentalnih brojeva prvi je ustanovio J. Liouville 1844. godine; on je također napravio prve primjere takvih brojeva. Liouville je primijetio da se alebrajski brojevi ne mogu aproksimirati "suviše dobro" racionalnim brojevima. Naime, Liouvilleova teorema kaže da ako je algebarski broj korijen polinoma stepena s racionalnim koeficijentima, onda za bilo koji racionalni broj vrijedi nejednakost

gdje konstanta zavisi samo od . Ova izjava implicira dovoljan znak transcendencije: ako je broj takav da za bilo koju konstantu postoji beskonačan skup racionalnih brojeva koji zadovoljavaju nejednakosti

to je transcendentno. Kasnije su takvi brojevi nazvani Liouville brojevi. Primjer takvog broja je

Još jedan dokaz o postojanju transcendentnih brojeva dobio je G. Kantor 1874. godine na osnovu teorije skupova koju je stvorio. Cantor je dokazao da je skup prebrojiv algebarski brojevi i nebrojiv skup realni brojevi, odakle slijedi da je skup transcendentnih brojeva neprebrojiv. Međutim, za razliku od Liouvilleovog dokaza, ovi argumenti nam ne dozvoljavaju da damo primjer barem jednog takvog broja.

Liouvilleov rad je pokrenuo čitavu granu teorije transcendentnih brojeva - teoriju aproksimacije algebarskih brojeva racionalnim ili, općenito, algebarskim brojevima. Liouvilleova teorema je ojačana i generalizirana u radovima mnogih matematičara. To je omogućilo konstruiranje novih primjera transcendentnih brojeva. Dakle, K. Mahler je pokazao da ako je nekonstantan polinom koji uzima cijele nenegativne vrijednosti za sve prirodne brojeve, onda je za bilo koji prirodan broj, gdje je zapis broja u brojevnom sistemu sa bazom, transcendentan , ali nije Liouvilleov broj. Na primjer, za i dobijamo sljedeći elegantni rezultat: broj

transcendentan, ali nije Liuvilov broj.

Godine 1873. Sh. Hermite je, koristeći druge ideje, dokazao transcendenciju Napierovog broja (baza prirodnog logaritma):

Razvijajući Hermiteove ideje, F. Lindemann je 1882. dokazao transcendenciju broja, čime je okončan drevni problem kvadrature kruga: pomoću šestara i ravnala nemoguće je konstruirati kvadrat jednak u veličine (tj. iste površine) na dati krug. Općenito, Lindemann je pokazao da je, za bilo koji algebarski broj, transcendentalan. Ekvivalentna formulacija: za bilo koji algebarski broj osim i, njegov prirodni logaritam je transcendentalni broj.

1900. godine, na kongresu matematičara u Parizu, D. Hilbert, među 23 neriješena matematička problema, ističe sljedeće, koje je u privatnom obliku formulirao L. Euler:

Neka bude I su algebarski brojevi, i transcendentan? Konkretno, da li su brojevi transcendentni? I?

Ovaj problem se može preformulisati u sljedećem obliku, bliskom Ojlerovoj originalnoj formulaciji:

Neka bude I su algebarski brojevi osim i, štaviše, omjer njihovih prirodnih logaritama iracionalno. Hoće li broj transcendentan?

Prvo djelomično rješenje problema dobio je 1929. A. O. Gel'fond, koji je posebno dokazao transcendenciju broja. Godine 1930. R. O. Kuzmin je poboljšao Gelfondovu metodu, a posebno je uspio dokazati transcendentnost broja. Kompletno rješenje Ojler-Hilbertov problem (u afirmativnom smislu) su 1934. nezavisno dobili A. O. Gelfond i T. Schneider.

A. Baker je 1966. generalizovao teoreme Lindemanna i Gelfond-Šnajdera, dokazujući, posebno, transcendenciju proizvoda proizvoljnog konačnog broja brojeva oblika i sa algebarskim pod prirodnim ograničenjima.

Godine 1996 Yu.V. Nesterenko je dokazao algebarsku nezavisnost vrijednosti Eisensteinove serije i, posebno, brojeva u. To znači transcendiranje bilo kojeg broja oblika gdje je nenula racionalna funkcija sa algebarskim koeficijentima. Na primjer, zbir niza će biti transcendentalan

Godine 1929-1930. K. Mahler je u nizu radova predložio novu metodu za dokazivanje transcendencije vrijednosti analitičkih funkcija koje zadovoljavaju funkcionalne jednadžbe određenog tipa (naknadno su takve funkcije nazvane Mahlerove funkcije).

Metode teorije transcendentnih brojeva našle su primenu u drugim granama matematike, posebno u teoriji Diofantovih jednačina.

koji nam je, za a = 1, poslužio za određivanje sume geometrijska progresija. Uz pretpostavku da je Gaussova teorema dokazana, pretpostavljamo da je a = a 1 korijen jednadžbe (17), tako da

	) = a n + a		a n−1			a n−2		a 1 + a

Oduzimanjem ovog izraza od f(x) i preuređivanjem pojmova, dobijamo identitet

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1 ).

(21) Koristeći sada formulu (20), možemo izdvojiti faktor x − a 1 iz svakog člana i zatim ga izvaditi iz zagrade, a stepen polinoma preostalog u zagradi će već postati jedan manji. Ponovo preuredimo termine, dobijamo identitet

f(x) = (x − a1 )g(x),

gdje je g(x) polinom stepena n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Izračunavanje koeficijenata označenih sa b nas ovdje ne zanima.) Primijenimo isti argument dalje na polinom g(x). Prema Gaussovom teoremu, postoji korijen a2 jednadžbe g(x) = 0, tako da

g(x) = (x − a2 )h(x),

gdje je h(x) novi polinom stepena već n − 2. Ponavljanje ovih argumenata n − 1 puta (naravno, primjena principa matematička indukcija), na kraju dolazimo do dekompozicije

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ).

Identitet (22) implicira ne samo da kompleksni brojevi a1, a2,

An su korijeni jednačine (17), ali i činjenica da jednačina (17) nema drugih korijena. Zaista, kada bi broj y bio korijen jednadžbe (17), onda bi iz (22) slijedilo

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Ali vidjeli smo (str. 115) da je to djelo kompleksni brojevi je nula ako i samo ako je jedan od faktora nula. Dakle, jedan od faktora y − ar je jednak 0, tj. y = ar, što je trebalo utvrditi.

§ 6.

1. Definicija i pitanja postojanja. Algebarski broj je bilo koji broj x, realan ili imaginaran, koji zadovoljava neke algebarska jednačina vrsta

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6= 0),

130 MATEMATIČKI NUMERIČKI SISTEM pog. II

gdje su brojevi ai cijeli brojevi. Tako, na primjer, broj 2 je algebarski, jer zadovoljava jednačinu

x2 − 2 = 0.

Na isti način, bilo koji korijen bilo koje jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima trećeg, četvrtog, petog, bilo kojeg stepena, i bez obzira da li je izražen ili ne u radikalima, je algebarski broj. Koncept algebarskog broja je prirodna generalizacija pojma racionalnog broja, koji odgovara posebnom slučaju n = 1.

Nije svaki realan broj algebarski. Ovo slijedi iz sljedeće Cantorove teoreme: skup svih algebarskih brojeva je prebrojiv. Pošto je skup svih realnih brojeva nebrojiv, nužno moraju postojati realni brojevi koji nisu algebarski.

Naznačimo jednu od metoda za ponovno izračunavanje skupa algebarskih brojeva. Svaka jednadžba oblika (1) povezana je s pozitivnim cijelim brojem

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | +n,

koju ćemo, radi sažetosti, nazvati "visinom" jednačine. Za svaku fiksnu vrijednost n postoji samo konačan broj jednačina oblika (1) sa visinom h. Svaka od ovih jednačina ima najviše n korijena. Stoga može postojati samo konačan broj algebarskih brojeva generiranih jednadžbama visine h; stoga, svi algebarski brojevi mogu biti raspoređeni u obliku niza, navodeći prvo one generirane jednadžbama visine 1, zatim one visine 2, itd.

Ovaj dokaz da je skup algebarskih brojeva prebrojiv utvrđuje postojanje realnih brojeva koji nisu algebarski. Takvi brojevi se nazivaju transcendentalnim (od latinskog transcendere - proći, nadmašiti); Ojler im je dao ovo ime jer "premašuju moć algebarskih metoda".

Cantorov dokaz postojanja transcendentnih brojeva nije konstruktivan. Teoretski gledano, transcendentalni broj bi se mogao konstruisati dijagonalnim postupkom koji se izvodi na imaginarnoj listi decimalnih proširenja svih algebarskih brojeva; ali takav postupak je lišen ikakvog praktična vrijednost i ne bi dovelo do broja čije proširenje u decimalni (ili neki drugi) razlomak zapravo može biti zapisano. Najzanimljiviji problemi povezani s transcendentalnim brojevima leže u dokazivanju da su određeni, konkretni brojevi(ovo uključuje brojeve p i e, o kojima vidi str. 319–322) su transcendentni.

ALGEBRSKI I TRANSCENDENTNI BROJEVI

**2. Liouvilleova teorema i konstrukcija transcendentnih brojeva. Dokaz postojanja transcendentnih brojeva i prije Cantora dao je J. Liouville (1809–1862). To omogućava da se zapravo konstruišu primjeri takvih brojeva. Liouvilleov dokaz je teži od Cantorovog, i to nije iznenađujuće, budući da je konstruiranje primjera, općenito govoreći, teže nego dokazivanje postojanja. U predstavljanju Liouvilleovog dokaza u nastavku, imamo na umu samo obučenog čitaoca, iako je poznavanje elementarne matematike potpuno dovoljno za razumijevanje dokaza.

Kao što je Liouville otkrio, iracionalni algebarski brojevi imaju svojstvo da se ne mogu aproksimirati racionalnim brojevima do vrlo visokog stepena tačnosti, osim ako se imenioci aproksimirajućih razlomaka ne uzmu izuzetno veliki.

Pretpostavimo da broj z zadovoljava algebarsku jednačinu sa cjelobrojnim koeficijentima

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = 0 (an 6= 0),

ali ne zadovoljava istu jednačinu nižeg stepena. Onda

recimo da je sam x algebarski broj stepena n. Na primjer,

broj z = 2 je algebarski broj stepena 2, pošto zadovoljava jednačinu x2 − 2 = 0√ stepena 2, ali ne zadovoljava jednačinu prvog stepena; broj z = 3 2 je stepena 3, pošto zadovoljava jednačinu x3 − 2 = 0, ali ne (kao što ćemo pokazati u poglavlju III) ne zadovoljava jednačinu nižeg stepena. Algebarski broj stepena n > 1

ne može biti racionalan, jer racionalni broj z = p q zadovoljava

zadovoljava jednačinu qx − p = 0 stepena 1. Svaki iracionalni broj z može se aproksimirati sa bilo kojim stepenom tačnosti korišćenjem racionalnog broja; to znači da uvijek možete specificirati niz racionalnih brojeva

p1, p2, . . .

q 1 q 2

sa neograničeno rastućim imeniocima, što ima svojstvo

to

p r → z. qr

Liouvilleova teorema kaže: kakav god da je algebarski broj z stepena n > 1, on se ne može aproksimirati racionalnim

dovoljno veliki imenioci, nejednakost

z−p q			> q n1 +1 .

MATEMATIČKI BROJEVNI SISTEM

Daćemo dokaz ove teoreme, ali prvo ćemo pokazati kako se ona može koristiti za konstruisanje transcendentnih brojeva. Uzmite u obzir broj

z = a1 10−1! + a2 10−2! + a3 10−3! + . . . + am · 10−m! + . . . == 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 . . . ,

gdje ai označava proizvoljne cifre od 1 do 9 (najlakše bi bilo postaviti sve ai jednake 1), a simbol n!, kao i obično (vidi str. 36), označava 1 · 2 · . . . n. Karakteristično svojstvo decimalnog proširenja takvog broja je da se grupe nula koje brzo rastu u dužini izmjenjuju u njemu s pojedinačnim znamenkama koje nisu nule. Označimo sa zm konačni decimalni razlomak koji se dobije uzimanjem svih članova do am · 10−m! u proširenju. inkluzivno. Tada dobijamo nejednakost

Pretpostavimo da bi z bio algebarski broj stepena n. Zatim, postavljajući u Liouvillovoj nejednakosti (3) p q = zm = 10 p m! , moramo imati

|z - zm | > 10(n+1)m!

za dovoljno velike vrijednosti m. Poređenje posljednje nejednakosti sa nejednakošću (4) daje

10(n+1)m!		10(m+1)!			10(m+1)!−1

odakle slijedi (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 za dovoljno veliko m. Ali to ne vrijedi za vrijednosti m veće od n (neka se čitatelj potrudi da pruži detaljan dokaz ove tvrdnje). Došli smo do kontradikcije. Dakle, broj z je transcendentalan.

Ostaje dokazati Liouvilleovu teoremu. Pretpostavimo da je z algebarski broj stepena n > 1 koji zadovoljava jednadžbu (1), tako da

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Podijelimo oba dijela sa zm − z i koristimo algebarsku formulu

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

dobijamo:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2 ) + . . .
	zm − z
		An (zm n−1 + . . . + zn−1 ). (6)

ALGEBRSKI I TRANSCENDENTNI BROJEVI

Pošto zm teži z, onda će se za dovoljno veliko m racionalni broj zm razlikovati od z za manje od jedan. Stoga, za dovoljno veliko m, možemo napraviti sljedeću grubu procjenu:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

osim toga, broj M desno je konstantan, jer se z ne mijenja tokom dokaza. Hajde da sada izaberemo m toliko veliko

razlomak z m = p m ima imenilac q m bio veći od M; onda qm

|z - zm | >	|f(zm )|			|f(zm )|

|f(zm )| =							-qn
							1 p + . . . +a
Racionalni broj zm =			ne može biti korijen jednačine

pošto bi tada bilo moguće izdvojiti faktor (x − zm ) iz polinoma f(x), i, prema tome, z bi zadovoljio jednačinu stepena nižeg od n. Dakle, f(zm ) 6= 0. Ali brojilac na desnoj strani jednakosti (9) je cijeli broj i stoga je po apsolutnoj vrijednosti najmanje jedan. Dakle, poređenje relacija (8) i (9) implicira nejednakost

|z - zm | >
					qn+1

što je upravo sadržaj naznačene teoreme.

Tokom proteklih nekoliko decenija, istraživanja o mogućnosti aproksimacije algebarskih brojeva racionalnim su mnogo dalje napredovala. Na primjer, norveški matematičar A. Thue (1863–1922) je otkrio da se u Liouvilleovoj nejednakosti (3) eksponent n + 1 može zamijeniti manjim eksponentom n 2 + 1.

K. L. Siegel je pokazao da je moguće uzeti i manje (još manje

za veći n) eksponent 2 n.

Transcendentalni brojevi su oduvijek bili tema koja privlači pažnju matematičara. Ali sve do relativno novijeg vremena, među brojkama koje su same po sebi interesantne, vrlo malo se znalo čiji se transcendentalni karakter može utvrditi. (Transcendencija broja p, o kojoj će biti reči u poglavlju III, podrazumeva nemogućnost kvadriranja kruga lenjirom i šestarom.) U svom govoru na Pariskom međunarodnom kongresu matematičara 1900. godine, David Hilbert je predložio trideset matematičkih

ALGEBRA SKUPOVA

problemi koji dopuštaju jednostavnu formulaciju, neki čak i prilično elementarni i popularni, od kojih ne samo da nisu riješeni, već su se čak činili sposobnim riješiti pomoću matematike tog doba. Ovi "Hilbertovi problemi" imali su snažno stimulativno dejstvo tokom narednog perioda u razvoju matematike. Gotovo svi su rješavani malo po malo, a u mnogim slučajevima njihovo rješavanje je bilo povezano sa jasnim napretkom u razvoju opštijih i dubljih metoda. Jedan problem koji se činio prilično beznadežan je bio

dokaz da je broj

je transcendentan (ili barem iracionalan). Tri decenije nije bilo ni nagoveštaja takvog pristupa pitanju sa bilo čije strane koji bi otvorio nadu u uspeh. Konačno, Siegel i, nezavisno od njega, mladi ruski matematičar A. Gelfond otkrili su nove metode za dokazivanje transcendencije mnogih

brojevi koji su bitni u matematici. Konkretno, postavljeno je

transcendencija ne samo Hilbertovog broja 2 2 , već i prilično opsežne klase brojeva oblika ab , gdje je a algebarski broj različit od 0 i 1, a b je iracionalni algebarski broj.

DODATAK POGLAVLJU II

Algebra skupova

1. Opća teorija. Koncept klase, ili zbirke, ili skupa objekata jedan je od najosnovnijih u matematici. Skup je definisan nekim svojstvom (“atributom”) A, koje svaki predmet koji se razmatra mora imati ili ne mora imati; oni objekti koji imaju svojstvo A formiraju skup A. Dakle, ako uzmemo u obzir cijele brojeve i svojstvo A je "da bude prost", tada se odgovarajući skup A sastoji od svih prostih brojeva 2, 3, 5, 7, . . .

Matematička teorija skupova polazi od činjenice da se novi skupovi mogu formirati iz skupova uz pomoć određenih operacija (kao što se novi brojevi dobijaju iz brojeva operacijama sabiranja i množenja). Proučavanje operacija nad skupovima je predmet "algebre skupova", koja ima mnogo zajedničkog sa običnom numeričkom algebrom, iako se na neki način razlikuje od nje. Činjenica da se algebarske metode mogu primijeniti na proučavanje nenumeričkih objekata, kao što su skupovi, je ilustrativna.

ALGEBRA SKUPOVA

pokazuje veliku opštost ideja moderne matematike. Nedavno je postalo jasno da algebra skupova baca Novi svijet na mnoga područja matematike, na primjer, teoriju mjere i teoriju vjerovatnoće; također je koristan u sistematizaciji matematičkih koncepata i razjašnjavanju njihovih logičkih veza.

U nastavku ću označiti određeni stalni skup objekata čija je priroda indiferentna, a koje možemo nazvati univerzalnim skupom (ili univerzumom rasuđivanja), i

A, B, C, . . . postojaće neki podskupovi od I. Ako je I kolekcija svih prirodni brojevi, tada A, recimo, može označiti skup svih parnih brojeva, B skup svih neparnih brojeva, C skup svih prostih brojeva, itd. Ako I označava skup svih tačaka na ravni, onda A može biti skup tačaka unutar nekog pa kruga, B - skup tačaka unutar drugog kruga, itd. Zgodno nam je da uključimo samo I kao "podskup", kao i "prazan" skup koji ne sadrži nikakve elemente . Cilj koji teži takvom vještačkom proširenju je očuvanje stava da svakom svojstvu A odgovara određeni skup elemenata iz I koji imaju ovo svojstvo. Ako je A univerzalno važeće svojstvo, kao što je prikazano (u slučaju brojeva) svojstvom zadovoljavanja trivijalne jednakosti x = x, tada će odgovarajući podskup od I biti sam I, budući da svaki element ima ovo svojstvo; s druge strane, ako je A neka vrsta interno kontradiktornog svojstva (kao x 6= x), tada odgovarajući podskup uopće ne sadrži nikakve elemente, on je "prazan" i označen je simbolom.

Kažemo da je skup A podskup skupa B, ukratko, "A je uključeno u B", ili "B sadrži A" ako u skupu A nema elementa koji ne bi bio i u skupu B. Ova relacija odgovara notaciji

A B, ili B A.

Na primjer, skup A svih cijelih brojeva djeljivih sa 10 je podskup skupa B svih cijelih brojeva djeljivih sa 5, pošto je svaki broj djeljiv sa 10 također djeljiv sa 5. Relacija AB ne isključuje relaciju B A. Ako i bilo kako bilo, onda

To znači da je svaki element od A također element od B, i obrnuto, tako da skupovi A i B sadrže potpuno iste elemente.

Relacija A B između skupova u mnogo čemu liči na relaciju a 6 b između brojeva. Posebno napominjemo sljedeće

ALGEBRA SKUPOVA

sljedeća svojstva ovog omjera:

1) A A.

2) Ako su A B i B A, onda je A = B.

3) Ako su A B i B C, onda A C.

Iz tog razloga, A B relacija se ponekad naziva "relacija reda". Glavna razlika između relacije koja se razmatra i relacije a 6 b između brojeva je u tome što se između bilo koja dva data (realna) broja a i b nužno provodi barem jedna od relacija a 6 b ili b 6 a, dok se za relacija AB između skupova slična izjava je lažna. Na primjer, ako je A skup koji se sastoji od brojeva 1, 2, 3,

a B je skup koji se sastoji od brojeva 2, 3, 4,

tada ne vrijedi ni relacija A B ni relacija B A. Iz tog razloga kažemo da su podskupovi A, B, C, . . . skupovi I su "djelimično uređeni", dok su realni brojevi a, b, c, . . .

formiraju "dobro uređen" skup.

Uzgred, primijetite da iz definicije relacije A B slijedi da, bez obzira na podskup A skupa I,

Svojstvo 4) može izgledati pomalo paradoksalno, ali ako razmislite, logično striktno odgovara tačnom značenju definicije znaka. Zaista, relacija A bi bila samo narušena

in u slučaju da je prazan skup sadržavao element koji ne bi bio sadržan u A; ali pošto prazan skup uopšte ne sadrži elemente, to ne može biti, šta god A bilo.

Sada definiramo dvije operacije na skupovima koji formalno imaju mnoga algebarska svojstva sabiranja i množenja brojeva, iako su po svom unutrašnjem sadržaju potpuno različite od ovih aritmetičke operacije. Neka su A i B neka dva skupa. Unija, ili "logički zbir", A i B se shvata kao skup koji se sastoji od onih elemenata koji su sadržani ili u A ili

in B (uključujući one elemente koji su sadržani i u A i B). Ovaj skup je označen A + B. 1 "Presjek" ili "logički proizvod" A i B se podrazumijeva kao skup koji se sastoji od onih elemenata koji su sadržani i u A i u B. Ovaj skup je označen AB.2

Među važnim algebarskim svojstvima operacija A + B i AB navodimo sljedeće. Čitalac će moći provjeriti njihovu valjanost na osnovu definicije samih operacija:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B)(A + C).
	Relacija A B je ekvivalentna svakoj od dvije relacije

Provjera svih ovih zakona je stvar najelementarnije logike. Na primjer, pravilo 10) kaže da je skup elemenata sadržanih u A ili A samo skup A; pravilo 12) kaže da se skup onih elemenata koji su sadržani u A i istovremeno sadržani ili u B ili u C poklapa sa skupom elemenata koji su ili sadržani istovremeno u A i B, ili su sadržani istovremeno u A i C Logičko rezoniranje korišteno u dokazima ove vrste pravila je prikladno ilustrovano ako se složimo da predstavljamo skupove A, B, C, . . . u obliku nekih figura u avionu i bit ćemo vrlo oprezni da ne propustimo nijednu od logičkih mogućnosti koje se pojavljuju kada je prisutnost u pitanju zajednički elementi dva skupa ili, obrnuto, prisustvo u jednom skupu elemenata koji nisu sadržani u drugom.

ALGEBRA SKUPOVA

Čitalac je nesumnjivo skrenuo pažnju na činjenicu da su zakoni 6), 7), 8), 9) i 12) spolja identični sa dobro poznatim komutativnim, asocijativnim i distributivnim zakonima obične algebre. Iz ovoga slijedi da sva pravila obične algebre koja slijede iz ovih zakona vrijede i u algebri skupova. Naprotiv, zakoni 10), 11) i 13) nemaju analoga u običnoj algebri i daju algebri skupova jednostavniju strukturu. Na primjer, binomna formula u algebri skupova svodi se na najjednostavniju jednakost

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

što proizilazi iz zakona 11). Zakoni 14), 15) i 17) kažu da su svojstva skupova i I u odnosu na operacije ujedinjenja i presjeka skupova vrlo slična svojstvima brojeva 0 i 1 u odnosu na operacije numeričkih operacija sabiranje i množenje. Ali zakon 16) nema analoga u numeričkoj algebri.

Ostaje definirati još jednu operaciju u algebri skupova. Neka je A neki podskup univerzalnog skupa I. Tada je komplement od A u I skup svih elemenata iz I koji nisu sadržani u A. Za ovaj skup uvodimo oznaku A0 . Dakle, ako je I skup svih prirodnih brojeva, a A skup svih prostih brojeva, onda je A0 skup svih kompozitni brojevi i broj 1. Operacija prijelaza iz A u A0, koja nema analogiju u običnoj algebri, ima sljedeća svojstva:

	A + A0 = I.		AA0 = .
	0 = I.		I0 = .

23) A 00 = A.

24) Relacija A B je ekvivalentna relaciji B 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0 .

Provjeru ovih svojstava opet prepuštamo čitaocu.

Zakoni 1)–26) leže u osnovi algebre skupova. Imaju izvanredno svojstvo "dualnosti" u sljedećem smislu:

Ako u jednom od zakona 1)–26) zamijenimo odgovarajući

(u svakom njihovom pojavljivanju), onda je rezultat opet jedan od istih zakona. Na primjer, zakon 6) prelazi u zakon 7), 12) - u 13), 17) - u 16), itd. Iz toga slijedi da svaka teorema koja se može izvesti iz zakona 1)–26) odgovara drugoj, teoremi "dualan" prema njemu, koji se od prvog dobija pomoću naznačenih permutacija simbola. Zaista, od dokaza

ch. II ALGEBRA SKUPOVA 139

prve teoreme sastoji se od uzastopne primjene (u različitim fazama obrazloženja) nekih od zakona 1-26), tada će primjena "dualnih" zakona u odgovarajućim fazama predstavljati dokaz "dvostruke" teoreme . (Za sličnu "dvojnost" u geometriji, vidjeti Poglavlje IV.)

2. Primjena na matematičku logiku. Provera zakona algebre skupova zasnivala se na analizi logičkog značenja relacije A B i operacija A + B, AB i A0 . Sada možemo preokrenuti ovaj proces i smatrati zakone 1)–26) osnovom za "algebru logike". Recimo preciznije: onaj dio logike koji se tiče skupova, odnosno, što je u suštini isto, svojstava objekata koji se razmatraju, može se svesti na formalni algebarski sistem zasnovan na zakonima 1)–26). Logički "uslovni univerzum" definira skup I; svako svojstvo A definira skup A koji se sastoji od onih objekata u I koji imaju to svojstvo. Jasna su pravila za prevođenje obične logičke terminologije u skupni jezik

sljedeći primjeri:
"ni A ni B"			(A + B)0 , ili, što je isto, A0 B0
"Nije tačno da i A i B"			(AB)0 , ili, što je isto, A0 + B0
je B", ili
"Ako A, onda B"
"Iz A slijedi B"
"Neki A je B"
"Ne A je B"			AB=
"Neko A nije B"			AB0 6=
"Ne postoji A"

U smislu algebre skupova, silogizam "Barbara", koji znači "ako je svako A B i svako B C, onda je svako A C", poprima jednostavan oblik:

3) Ako su A B i B C, onda je A C.

Slično, "zakon kontradikcije", koji kaže da "objekat ne može istovremeno imati i ne imati neko svojstvo", piše se kao:

20) AA 0 = ,

ali piše "zakon isključene sredine", koji kaže da "objekat mora imati ili ne imati neko svojstvo":

19) A + A 0 = I.

ALGEBRA SKUPOVA

Dakle, onaj dio logike, koji se može izraziti u terminima simbola, +, · i 0 , može se tretirati kao formalni algebarski sistem, podložan zakonima 1)–26). Zasnovano na fuziji logičke analize matematike i matematička analiza logika je stvorila novu disciplinu – matematičku logiku, koja je trenutno u procesu naglog razvoja.

Sa aksiomatske tačke gledišta, izvanredna činjenica da se iskazi 1)–26), zajedno sa svim ostalim teoremama algebre skupova, mogu logički izvesti iz sljedeće tri jednakosti:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Iz toga slijedi da se algebra skupova može konstruirati kao čisto deduktivna teorija, poput Euklidove geometrije, na osnovu ove tri tvrdnje koje se uzimaju kao aksiomi. Ako su ovi aksiomi prihvaćeni, tada se operacija AB i relacija A B definiraju u terminima A + B i A0:

	označava skup (A0 + B0 )0 ,
	B znači da je A + B = B.

Potpuno drugačiji primjer matematičkog sistema u kojem su zadovoljeni svi formalni zakoni algebre skupova dat je sistemom od osam brojeva 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: ovdje a + b označava , by

po definiciji, najmanji zajednički višekratnik a i b, ab je najveći zajednički djelitelj a i b, a b je izjava "b je djeljivo sa a", a a0 je broj 30 a. su-

Postojanje takvih primjera dovelo je do proučavanja općih algebarskih sistema koji zadovoljavaju zakone 27). Takvi sistemi se nazivaju "Booleove algebre" po Georgeu Booleu (1815–1864), engleskom matematičaru i logičaru, čija se knjiga Istraživanje zakona mišljenja pojavila 1854.

3. Jedna od primjena na teoriju vjerovatnoće. Algebra skupova je usko povezana sa teorijom verovatnoće i omogućava vam da je pogledate u novom svetlu. Razmotrimo najjednostavniji primjer: zamislimo eksperiment s konačnim brojem mogućih ishoda, koji se svi smatraju "jednako mogućim". Eksperiment bi se, na primjer, mogao sastojati u nasumičnom izvlačenju karte iz dobro promiješanog punog špila. Ako skup svih ishoda eksperimenta označimo sa I, a A označava neki podskup od I, tada je vjerovatnoća da će ishod eksperimenta biti u podskupu A definirana kao omjer

p(A) = broj elemenata A . broj elemenata I

ALGEBRA SKUPOVA

Ako se dogovorimo da broj elemenata u nekom skupu A označimo sa n(A), onda se posljednja jednakost može dati oblik

U našem primjeru, uz pretpostavku da je A podskup klubova, dobijamo
n(A) = 13, n(I) = 52 i p(A) =

Ideje algebre skupova nalaze se u proračunu vjerovatnoća kada je potrebno, znajući vjerovatnoće nekih skupova, izračunati vjerovatnoće drugih. Na primjer, s obzirom na vjerovatnoće p(A), p(B) i p(AB), možemo izračunati vjerovatnoću p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

To neće biti teško dokazati. Imamo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

budući da se elementi koji se nalaze istovremeno u A i B, tj. elementi AB, broje dva puta kada se računa zbir n(A) + n(B), i, prema tome, potrebno je oduzeti n(AB) od ovog zbira u nalog za izračunavanje n(A + B) je napravljen ispravno. Zatim podijelimo obje strane jednakosti sa n(I), dobijamo relaciju (2).

Zanimljivija formula dobija se ako govorimo o tri skupa A, B, C iz I. Koristeći relaciju (2) imamo

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Zakon (12) iz prethodnog stava nam daje (A + B)C = AC + BC. Ovo implicira:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Zamjenom vrijednosti p[(A + B)C] i vrijednosti p(A + B) preuzete iz (2) u relaciju dobijenu ranije, dolazimo do formule koja nam je potrebna:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Kao primjer, razmotrite sljedeći eksperiment. Tri broja 1, 2, 3 su napisana bilo kojim redom. Kolika je vjerovatnoća da će barem jedna od cifara biti na ispravnom (u smislu numeracije) mjestu? Neka je A skup permutacija u kojem je broj 1 na prvom mjestu, B je skup permutacija u kojem je broj 2 na drugom mjestu, C je skup permutacija u kojem je broj 3 na trećem mjesto. Moramo izračunati p(A + B + C). To je jasno

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

zaista, ako je bilo koja cifra na pravom mjestu, tada postoje dvije mogućnosti za preuređenje preostale dvije cifre od ukupno 3 · 2 · 1 = 6 mogućih permutacija tri cifre. dalje,

Vježba. Izvedite odgovarajuću formulu za p(A + B + C + D) i primijenite je na eksperiment koji će uključivati ​​4 znamenke. Odgovarajuća vjerovatnoća je 5 8 = 0,6250.

Opća formula za uniju n skupova je

p(A1 + A2 + . . . + An ) =
	p(Ai ) −
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 . . . An ), (4)
gdje simboli				označavaju zbrajanje svih mogućih

kombinacije koje sadrže jedan, dva, tri, . . . , (n − 1) slova iz A1 , A2 , . . .

an. Ova formula se može uspostaviti matematičkom indukcijom – baš kao što je formula (3) izvedena iz formule (2).

Iz formule (4) možemo zaključiti da ako je n znamenki 1, 2, 3, . . . , n su napisane bilo kojim redoslijedom, tada je vjerovatnoća da će barem jedna od cifara biti na ispravnom mjestu jednaka

pn = 1

gdje posljednjem članu prethodi znak + ili −, ovisno o tome da li je n paran ili neparan. Konkretno, za n = 5 ova vjerovatnoća je jednaka

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

U VIII poglavlju ćemo vidjeti da kada n ide u beskonačnost, izraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

teži granici 1 e , čija vrijednost, sa pet decimala,

jednako 0,36788. Kako je iz formule (5) jasno da je pn = 1 − Sn, odatle slijedi da pri n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Ilya Shchurov

Matematičar Ilja Ščurov decimalni razlomci, transcendencija i iracionalnost Pi.

Kako je "jedan" pomogao u izgradnji prvih gradova i velikih imperija? Kako ste inspirisali izuzetne umove čovečanstva? Kakvu je ulogu imala u nastanku novca? Kako je "jedan" ujedinjen sa nulom da vlada savremeni svet? Istorija jedinice je neraskidivo povezana sa istorijom evropske civilizacije. Terry Jones kreće na šaljivo putovanje kako bi sastavio nevjerovatnu priču o našem prostom broju. Uz pomoć kompjuterske grafike u ovom programu, jedinica oživljava na razne načine. Iz istorije jedinice postaje jasno odakle dolaze moderni brojevi i kako nas je pronalazak nule spasio od potrebe da danas koristimo rimske brojeve.

Jacques Cesiano

O Diofantu znamo malo. Čini se da je živio u Aleksandriji. Nijedan grčki matematičar ga ne spominje pre 4. veka, pa je verovatno živeo sredinom 3. veka. Najvažnije Diofantovo djelo, "Aritmetika" (Ἀριθμητικά), dogodilo se na početku 13 "knjiga" (βιβλία), odnosno poglavlja. Danas ih imamo 10, i to: 6 u grčkom tekstu i 4 druga u srednjovekovnom arapskom prevodu, čije je mesto u sredini grčkih knjiga: knjige I-III na grčkom, IV-VII na arapskom, VIII-X. na grčkom. Diofantova „Aritmetika“ je prvenstveno zbirka zadataka, ukupno oko 260. Istina, nema teorije; postoje samo opšta uputstva u uvodu knjige, a konkretne napomene u nekim problemima kada je to potrebno. "Aritmetika" već ima karakteristike algebarske rasprave. Prvo Diofant uživa različiti znakovi, da izrazi nepoznanicu i njene moći, takođe neke kalkulacije; kao i sav algebarski simbolizam srednjeg vijeka, njegov simbolizam dolazi od matematičkih riječi. Zatim, Diofant objašnjava kako riješiti problem na algebarski način. Ali Diofantovi problemi nisu algebarski u uobičajenom smislu, jer se skoro svi svode na rješavanje neodređene jednačine ili sistema takvih jednačina.

George Shabat

Program predmeta: Istorija. Prve ocjene. Problem samjerljivosti obima kruga sa njegovim prečnikom. Beskonačni nizovi, proizvodi i drugi izrazi za π. Konvergencija i njen kvalitet. Izrazi koji sadrže π. Sekvence koje brzo konvergiraju na π. Savremene metode izračunavanje π uz pomoć kompjutera. O iracionalnosti i transcendentnosti π i nekih drugih brojeva. Za razumijevanje kursa nije potrebno nikakvo predznanje.

Naučnici sa Univerziteta u Oksfordu su izjavili da se najranija poznata upotreba broja 0 za označavanje odsustva vrednosti mesta (kao kod broja 101) nalazi u tekstu indijskog Bakhšali rukopisa.

Vasily Pispanen

Ko nije igrao igru ​​"imenuj najveći broj" kao dijete? Već je teško zamisliti milione, trilione i druge "-one" u umu, ali pokušaćemo da razaznamo "mastodonta" u matematici - Grahamov broj.

Victor Kleptsyn

Realni broj može se proizvoljno precizno aproksimirati racionalnim brojevima. I koliko se takva aproksimacija može uporediti sa svojom složenošću? Na primjer, razbijanje decimalnog zapisa broja x at k-ta cifra nakon decimalnog zareza dobijamo aproksimaciju x≈a/10^k sa greškom reda 1/10^k. I općenito, fiksiranjem nazivnika q aproksimirajućeg razlomka, definitivno možemo dobiti aproksimaciju s greškom reda 1/q. I može li se to bolje uraditi? Poznata aproksimacija π≈22/7 daje grešku reda 1/1000, što je očito mnogo bolje nego što bi se moglo očekivati. I zašto? Jesmo li sretni što π ima takvu aproksimaciju? Ispostavilo se da za bilo koje iracionalan broj postoji beskonačno mnogo razlomaka p/q koji ga aproksimiraju bolje od 1/q^2. To je ono što kaže Dirichletova teorema - a mi ćemo započeti kurs sa malo nestandardnim dokazom.

Godine 1980. Ginisova knjiga rekorda je ponovila Gardnerove tvrdnje, dodatno podstaći interesovanje javnosti za ovaj broj. Grahamov broj je nezamisliv broj puta veći od drugih dobro poznatih veliki brojevi, kao što su googol, googolplex, pa čak i više od Skewesovog i Moserovog broja. Zapravo, cijeli svemir koji se može promatrati je premalen da bi mogao sadržavati običan decimalni prikaz Grahamovog broja.

Dmitry Anosov

Predavanja čita Anosov Dmitrij Viktorovič, doktor fizičko-matematičkih nauka, profesor, akademik Ruske akademije nauka. Ljetna škola"Moderna matematika", Dubna. 16-18. jula 2002

Nemoguće je tačno odgovoriti na ovo pitanje jer numeričke serije nema gornju granicu. Dakle, bilo kojem broju dovoljno je samo dodati jedan da dobijete još veći broj. Iako su sami brojevi beskonačni, oni nemaju mnogo vlastitih imena, jer se većina njih zadovoljava imenima sastavljenim od manjih brojeva. Jasno je da u konačnom nizu brojeva koje je čovječanstvo dodijelilo svojim imenom, mora ih biti najveći broj. Ali kako se to zove i čemu je jednako? Pokušajmo to shvatiti i u isto vrijeme otkriti do kakvih su velikih brojeva matematičari došli.

Broj je pozvan algebarski, ako je korijen nekog polinoma s cijelim koeficijentima

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(tj. korijen jednadžbe a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, gdje a n, a n-1, ..., a 1, a 0 --- cijeli brojevi, n 1, a 0).

Skup algebarskih brojeva će biti označen slovom .

Lako je vidjeti da je svaki racionalni broj algebarski. Zaista, to je korijen jednadžbe qx-p=0 sa cjelobrojnim koeficijentima a 1 =q I a 0 =-p. dakle, .

Međutim, nisu svi algebarski brojevi racionalni: na primjer, broj je korijen jednadžbe x 2 -2=0, dakle, je algebarski broj.

Dugo vrijeme ostalo je neriješeno važno pitanje za matematiku: Postoje li nealgebarski realni brojevi ? Tek 1844. Liouville je dao prvi primjer transcendentnog (tj. nealgebarskog) broja.

Konstrukcija ovog broja i dokaz njegove transcendentnosti su veoma teški. Mnogo je lakše dokazati teoremu postojanja za transcendentne brojeve koristeći razmatranja o ekvivalentnosti i neekvivalentnosti numeričkih skupova.

Naime, dokazujemo da je skup algebarskih brojeva prebrojiv. Zatim, pošto je skup svih realnih brojeva neprebrojiv, ustanovićemo postojanje nealgebarskih brojeva.

Konstruirajmo jedan-na-jedan korespondenciju između i neki podskup . Ovo će značiti to - naravno ili izbrojivo. Ali pošto , onda beskonačan, a samim tim i prebrojiv.

Neka je neki algebarski broj. Razmotrimo sve polinome s cjelobrojnim koeficijentima čiji je korijen , i odaberi među njima polinom P minimalni stepen (tj. neće postojati korijen bilo kojeg polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima manjeg stepena).

Na primjer, za racionalni broj takav polinom ima stepen 1, a za broj ima stepen 2.

Podijelite sve koeficijente polinoma P na njihov najveći zajednički djelitelj. Dobijamo polinom čiji su koeficijenti međusobno prosti u agregatu (njihov najveći zajednički djelitelj je 1). Konačno, ako je vodeći koeficijent a n negativan, množimo sve koeficijente polinoma sa -1 .

Rezultirajući polinom (tj. polinom s cijelim koeficijentima čiji je korijen broj, koji ima najmanji mogući stepen, koeficijent koeficijenta i pozitivan vodeći koeficijent) naziva se minimalni polinom brojevi.

Može se dokazati da je takav polinom jednoznačno definiran: svaki algebarski broj ima tačno jedan minimalni polinom.

Broj realnih korijena polinoma nije veći od njegovog stepena. Dakle, moguće je nabrojati (na primjer, uzlaznim redom) sve korijene takvog polinoma.

Sada je svaki algebarski broj potpuno određen njegovim minimalnim polinomom (tj. skupom njegovih koeficijenata) i brojem koji ovaj polinom razlikuje od drugih korijena: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Dakle, svakom algebarskom broju smo dodijelili konačan skup cijelih brojeva, a ovaj skup je jedinstveno obnovljen (to jest, različiti skupovi odgovaraju različitim brojevima).

Hajde da sve numerišemo uzlaznim redom primarni brojevi(lako je pokazati da ih ima beskonačno mnogo). Dobijamo beskonačan niz (p k): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Sada skup cijelih brojeva (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) može se upariti

(ovaj broj je pozitivan i racionalan, ali ne uvijek prirodan, jer među brojevima a 0, a 1, ..., a n-1, može biti negativan). Imajte na umu da je ovaj broj nesvodljiv razlomak, budući da su prosti faktori uključeni u proširenja brojnika i nazivnika različiti. Imajte na umu da su dva nesvodljiva razlomka s pozitivnim brojiocima i nazivnicima jednaka ako i samo ako su im oba brojila jednaka i imenioci jednaki.

Razmotrite sada kroz mapiranje:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Budući da smo različitim algebarskim brojevima dodijelili različite skupove cijelih brojeva i različitim skupovima --- drugačije racionalni brojevi, onda smo tako uspostavili korespondenciju jedan-na-jedan između skupa i neki podskup . Dakle, skup algebarskih brojeva je prebrojiv.

Pošto je skup realnih brojeva nebrojiv, dokazali smo postojanje nealgebarskih brojeva.

Međutim, teorema postojanja ne pokazuje kako odrediti da li dati broj algebarski. A ovo pitanje je ponekad veoma važno za matematiku.