Esempi di legge di conservazione della quantità di moto. Quantità di moto di un sistema di corpi

Lezione 5. Momento del sistema (momento del sistema).

Questa lezione tratta i seguenti argomenti:

1. La quantità di movimento del sistema (impulso del sistema).

2. Teorema sulla variazione della quantità di moto (momento).

3. Legge di conservazione della quantità di moto (momento).

4. Il momento principale delle quantità di movimento (impulso) del sistema.

5. Teorema dei momenti.

6. La legge di conservazione del momento principale della quantità di moto (impulso).

Lo studio di questi problemi è necessario per la dinamica movimento oscillatorio sistema meccanico, per la risoluzione di problemi nelle discipline “Teoria delle macchine e dei meccanismi” e “Parti di macchine”.

Le lezioni precedenti hanno delineato i metodi per determinare il movimento sistema materiale, che equivaleva alla compilazione di equazioni differenziali, solitamente del secondo ordine. E la loro soluzione non è stata sempre semplice.

Se introduciamo nuovi concetti generalizzati che caratterizzano le proprietà e il movimento del sistema nel suo insieme, queste difficoltà possono spesso essere aggirate. Questi includono i concetti di centro di massa e energia cinetica, che ci sono già familiari, i concetti di quantità di moto di un sistema materiale e momento angolare.

I teoremi che determinano i cambiamenti in queste caratteristiche ci permettono di ottenere una comprensione più completa del movimento di un sistema materiale.

La quantità di movimento del sistema (impulso del sistema).

Quantità di movimento (impulso corporeo)– grandezza fisica vettoriale pari al prodotto della massa di un corpo per la sua velocità:

L'impulso (quantità di movimento) è una delle caratteristiche fondamentali del movimento di un corpo o di un sistema di corpi.

Scriviamo la II legge di Newton in una forma diversa, tenendo conto di quell'accelerazione Quindi quindi

Il prodotto di una forza per il tempo della sua azione è uguale all'incremento della quantità di moto del corpo (Fig. 1):

Dov'è l'impulso della forza, il che dimostra che il risultato della forza dipende non solo dal suo valore, ma anche dalla durata della sua azione.

Fig. 1

La quantità di movimento del sistema (impulso) sarà chiamata quantità vettoriale , pari alla somma geometrica (vettore principale) delle quantità di movimento (impulsi) di tutti i punti del sistema (Fig.2):

Dal disegno risulta chiaro che, indipendentemente dai valori delle velocità dei punti del sistema (a meno che tali velocità non siano parallele), il vettore può assumere qualsiasi valore e risultare addirittura pari a zero quando il poligono costruito dai vettori si chiude. Di conseguenza, la natura del movimento del sistema non può essere pienamente giudicata in base alla sua grandezza.

Fig.2

Troviamo una formula che renda molto più semplice calcolare il valore e comprenderne anche il significato.

Dall'uguaglianza

segue quello

Prendendo la derivata temporale di entrambi i membri, otteniamo

Da qui lo troviamo

quelli. la quantità di moto (momento) del sistema è uguale al prodotto della massa dell'intero sistema per la velocità del suo centro di massa . Questo risultato è particolarmente utile da utilizzare quando si calcolano le quantità di movimento dei corpi rigidi.

Dalla formula è chiaro che se un corpo (o un sistema) si muove in modo tale che il centro di massa rimanga immobile, allora la quantità di moto del corpo è zero. Ad esempio, la quantità di movimento di un corpo che ruota attorno asse fisso passante per il suo centro di massa sarà pari a zero.

Se il movimento del corpo è complesso, il valore non caratterizzerà la parte rotazionale del movimento attorno al centro di massa. Ad esempio, per una ruota che rotola, indipendentemente da come la ruota ruota attorno al suo centro di massa CON.

Così, la quantità di movimento caratterizza solo movimento in avanti sistemi. Nel moto complesso la grandezza caratterizza solo la parte traslatoria del moto del sistema insieme al centro di massa.

Teorema sulla variazione della quantità di moto (momento).

Consideriamo un sistema composto da P punti materiali. Componiamo per questo sistema equazioni differenziali movimenti e sommarli termine per termine. Quindi otteniamo:

Ultimo importo per immobile forze interne uguale a zero. Oltretutto,

Infine troviamo:

L'equazione esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto (momento) del sistema in forma differenziale: la derivata rispetto al tempo della quantità di movimento (impulso) del sistema è uguale a somma geometrica tutte le forze esterne che agiscono sul sistema .

Troviamo un'altra espressione per il teorema. Supponiamo che al momento t=0 la quantità di movimento del sistema sia uguale a , e al momento diventa uguale. Quindi, moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza per dt e integrando otteniamo:

poiché gli integrali a destra danno impulsi di forze esterne.

L'equazione esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale: la variazione della quantità di moto del sistema in un certo periodo di tempo è uguale alla somma degli impulsi delle forze esterne che agiscono sul sistema nello stesso periodo di tempo.

Nelle proiezioni sugli assi coordinati avremo:

Segnaliamo la connessione tra il teorema dimostrato e il teorema sul moto del centro di massa. Da allora, sostituendo questo valore nell'uguaglianza e tenendo conto di ciò, otteniamo .

Di conseguenza il teorema sul moto del centro di massa e il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema sono essenzialmente due forme diverse lo stesso teorema. Nei casi in cui si studia il movimento solido(o sistemi di corpi), puoi ugualmente utilizzare una qualsiasi di queste forme.

Il valore pratico del teorema sta nel fatto che consente di escludere dalla considerazione forze interne precedentemente sconosciute (ad esempio, la forza di pressione delle particelle liquide l'una sull'altra).

Legge di conservazione della quantità di moto (legge di conservazione della quantità di moto).

Dal teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema si possono ricavare i seguenti importanti corollari:

1) Sia uguale a zero la somma di tutte le forze esterne che agiscono su un sistema chiuso:

Quindi dall'equazione segue che Q= =cost. Così, se la somma di tutte le forze esterne che agiscono su un sistema chiuso è uguale a zero, allora il vettore della quantità di moto (momento) del sistema sarà costante in grandezza e direzione.

2) Supponiamo che le forze esterne agenti sul sistema siano tali che la somma delle loro proiezioni su qualche asse (ad es OH) è uguale a zero:

Dall'equazione segue quindi che Q x =cost. Così, se la somma delle proiezioni di tutte le forze esterne agenti su qualsiasi asse è uguale a zero, allora la proiezione della quantità di movimento (momento) del sistema su questo asse è un valore costante.

Questi risultati esprimono legge di conservazione della quantità di moto del sistema: per qualsiasi natura di interazione tra corpi che formano un sistema chiuso, il vettore della quantità di moto totale di questo sistema rimane sempre costante.

Ne consegue che le forze interne non possono modificare la quantità totale di movimento del sistema.

La legge di conservazione della quantità di moto totale di un sistema isolato è una legge universale della natura. Nel caso più generale, quando il sistema non è chiuso, ne consegue che la quantità di moto totale del sistema aperto non rimane costante. La sua variazione per unità di tempo è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

a) Il fenomeno del rinculo o del rinculo. Se consideriamo il fucile e il proiettile come un unico sistema, la pressione dei gas in polvere durante uno sparo sarà una forza interna. Questa forza non può modificare la quantità di moto totale del sistema. Ma poiché i gas in polvere, agendo sulla palla, le impartiscono un certo movimento diretto in avanti, devono contemporaneamente impartire al fucile la stessa quantità di movimento in avanti. direzione inversa. Ciò farà sì che il fucile si muova all'indietro, ad es. il cosiddetto ritorno. Un fenomeno simile si verifica quando si spara con una pistola (rollback).

b) Funzionamento dell'elica (elica). L'elica imprime movimento ad una certa massa d'aria (o acqua) lungo l'asse dell'elica, respingendo questa massa. Se consideriamo la massa lanciata e l'aereo (o la nave) come un unico sistema, allora le forze di interazione tra l'elica e l'ambiente, come quelle interne, non possono modificare la quantità totale di movimento di questo sistema. Pertanto, quando una massa d'aria (acqua) viene respinta, l'aereo (o la nave) riceve una corrispondente velocità di avanzamento, tale che la quantità totale di movimento del sistema in esame rimarrà uguale a zero, poiché era zero prima del iniziò il movimento.

Un effetto simile si ottiene mediante l'azione di remi o ruote a pale.

V) Propulsione a jet. In un razzo, i prodotti gassosi della combustione del carburante vengono espulsi ad alta velocità da un'apertura nella coda del razzo (dall'ugello del motore a reazione). Le forze di pressione che agiscono in questo caso saranno forze interne e non possono modificare la quantità totale di movimento del sistema a razzo: i prodotti della combustione del carburante. Ma poiché i gas in fuga hanno un certo movimento diretto all'indietro, il razzo riceve una corrispondente velocità in avanti.

Esempio 1. Sulle rotaie si trova una piattaforma del peso di m 1 = 10 tonnellate, sulla quale è montato un cannone del peso di m 2 = 5 tonnellate, da cui si spara lungo le rotaie. Massa del proiettile m 3 =100 kg; la sua velocità iniziale rispetto alla pistola v 0 =500 m/s. Trovare la velocità della piattaforma nel primo istante dopo lo sparo, se: 1) la piattaforma era immobile ( v= 0); 2) la piattaforma si muoveva velocemente v= 18 km/he il colpo è stato sparato nella direzione del suo movimento; 3) la piattaforma si muoveva velocemente v= 18 km/he il colpo è stato sparato nella direzione opposta a quella del suo movimento.

Soluzione. Per risolvere il problema utilizzeremo la legge di conservazione della quantità di moto, la quale afferma che la quantità di moto di un sistema chiuso rimane costante.

Scriviamo l'impulso di un sistema costituito da un cannone, una pistola e un proiettile, prima dello sparo () e dopo (), a seguito del quale questo impulso cambia. Ricordiamo che la quantità di moto totale del sistema è la somma vettoriale delle quantità di moto dei corpi compresi nel sistema.

1) Impulso del sistema prima del tiro

Perché Inizialmente la piattaforma con la pistola era ferma ( v=0).

Dopo lo sparo, l'impulso del sistema

Per la legge di conservazione della quantità di moto, quindi,

Proiettiamo questa equazione sull'asse selezionato X(Fig.3):

Fig.3

Prestiamo attenzione al fatto seguente. Per esperienza sappiamo che a seguito di uno sparo la piattaforma con la pistola rotolerà nella direzione opposta allo sparo, quindi in fase di proiezione possiamo immediatamente tenerne conto ponendo un segno meno davanti alla velocità tu piattaforme. Allora otterremo

In molti casi, quando non è chiaro in anticipo in quale direzione si muoverà l'oggetto, assumiamo che la velocità sia diretta lungo l'asse X. In questo caso, un valore positivo del risultato del calcolo risultante confermerà la nostra ipotesi e un valore negativo indicherà che il movimento avviene nella direzione opposta a quella scelta.

2) La legge di conservazione della quantità di moto nel caso in cui la piattaforma si muova velocemente v=18 km/h = 5 m/s, ha la forma

Nelle proiezioni sull'asse X(Fig.4):

Fig.4

Prestiamo attenzione al fatto che, avendo calcolato, come nel caso precedente, che la piattaforma dopo lo sparo avrebbe cominciato a muoversi nella direzione opposta, ci siamo sbagliati, come indicato dal segno meno nella risposta ricevuta. Ciò significa che la direzione di movimento della piattaforma è rimasta la stessa, ma la sua velocità è diminuita.

3) La legge di conservazione della quantità di moto nel terzo caso ha una forma simile a quella scritta per il secondo caso, cioè

con l'unica differenza che quando proiettato sull'asse X(Fig. 5), otteniamo altri segni per le velocità:

Fig.5

Pertanto, la piattaforma si muoverà nella stessa direzione ad una velocità maggiore di quella originale.

Esempio 2. Su una piattaforma ferroviaria che si muove per inerzia a velocità v, viene rinforzata la pistola, la cui canna è diretta verso il movimento della piattaforma con un angolo α rispetto all'orizzonte (Fig. 5.1). La pistola ha sparato, facendo diminuire di tre volte la velocità della piattaforma con la pistola. Trova la velocità del proiettile rispetto alla pistola quando lascia la canna. La massa del proiettile è m 1, la massa della piattaforma con la pistola è m 2.

Fig.5.1

Soluzione. Il sistema di corpi “piattaforma con pistola + proiettile” è soggetto a forze esterne - gravità e pressione normale delle rotaie, dirette verticalmente (le forze di attrito orizzontali possono essere considerate trascurabili) e una forza interna - pressione dei gas formati durante lo sparo. Va tenuto presente che quando si spara, la forza della pressione normale supera la forza di gravità, la loro risultante non è uguale a zero. Di conseguenza, durante l’attivazione, la componente verticale della quantità di moto del sistema non si conserva, componente dell'impulso orizzontale rimarrà invariato.

Vediamo ora cosa succede nel caso grande quantità particelle, cioè quando un corpo è costituito da molte particelle con molte forze che agiscono tra loro e dall'esterno. Naturalmente, sappiamo già che il momento della forza che agisce su qualsiasi i-esima particella (cioè il prodotto della forza che agisce sulla i-esima particella sulla sua spalla) è uguale alla velocità di variazione del momento angolare di questa particella, e il momento della quantità di movimento della i-esima particella è a sua volta uguale al prodotto della quantità di moto della particella per la sua spalla. Supponiamo ora di aver sommato i momenti delle forze τ i di tutte le particelle e di chiamarlo momento totale delle forze τ. Questo valore deve essere uguale alla velocità di variazione della somma del momento angolare di tutte le particelle Li. Questa somma può essere utilizzata per determinare una nuova quantità, che chiameremo momento angolare totale L. Proprio come l'impulso del corpo pari alla somma momenti angolari delle particelle costituenti, anche il momento angolare del corpo è uguale alla somma dei momenti angolari delle particelle costituenti. Pertanto, la velocità di variazione del momento totale della quantità di moto L è uguale al momento totale della forza

Non abituato a ciò, può sembrare che il momento totale della forza sia una cosa terribilmente complicata. Dopotutto, tutte le forze interne ed esterne devono essere prese in considerazione. Tuttavia, se ricordiamo che secondo la legge di Newton, le forze di azione e reazione non solo sono uguali, ma (il che è particolarmente importante!) agiscono lungo la stessa retta in direzioni opposte (non importa se lo stesso Newton ha detto questo o no, intendeva implicitamente questo), allora i due momenti delle forze interne tra due particelle interagenti devono essere uguali tra loro e diretti in modo opposto, poiché per qualsiasi asse le loro spalle saranno le stesse. Pertanto, tutti i momenti interni delle forze si annullano a vicenda e si ottiene un meraviglioso teorema: la velocità di variazione del momento angolare rispetto a qualsiasi asse è uguale al momento delle forze esterne rispetto allo stesso asse!

Abbiamo quindi tra le mani un potente teorema sul movimento grande squadra particelle, che ci permette di studiare proprietà generali movimento senza conoscere i dettagli del suo meccanismo interno. Questo teorema è vero per qualsiasi insieme di particelle, indipendentemente dal fatto che formino o meno un solido.
Un caso particolare particolarmente importante di questo teorema è la legge di conservazione del momento angolare, la quale afferma che se un sistema di particelle non è influenzato da alcun momento di forza esterno, il suo momento angolare rimane costante.
Consideriamo un caso speciale molto importante di un insieme di particelle, quando formano un corpo solido, cioè un oggetto che ha sempre una certa forma e dimensione geometrica e può ruotare solo attorno a un certo asse. Qualsiasi parte di tale oggetto in qualsiasi momento si trova

allo stesso modo rispetto alle altre sue parti. Cerchiamo ora di trovare il momento angolare totale di un corpo rigido. Se i-esima messa la sua particella è uguale a mi e la sua posizione è (xi, y i), quindi il problema si riduce a determinare il momento angolare di questa particella, poiché il momento angolare totale è uguale alla somma del momento angolare di tutte queste particelle che formano il corpo. Per un punto che si muove lungo una circonferenza, il momento angolare è, ovviamente, uguale al prodotto della sua massa per la velocità e la distanza dall'asse di rotazione, e la velocità a sua volta è uguale alla velocità angolare moltiplicata per la distanza all'asse:

Sommando Li per tutte le particelle, otteniamo

Questa espressione è molto simile alla formula della quantità di moto, che è uguale alla massa per la velocità. In questo caso, la velocità viene sostituita dalla velocità angolare e la massa, come puoi vedere, viene sostituita da un nuovo valore chiamato momento di inerzia I. Questo è ciò che gioca il ruolo della massa durante la rotazione! Le equazioni (18.21) e (18.22) ci dicono che l'inerzia di rotazione di un corpo dipende non solo dalle masse delle sue particelle costituenti, ma anche dalla loro distanza dall'asse. Quindi se abbiamo due corpi massa uguale, ma in uno di essi le masse si trovano più lontano dall'asse, quindi la sua inerzia rotazionale sarà maggiore. Ciò può essere facilmente dimostrato con il dispositivo mostrato in FIG. 18.4. La massa M in questo dispositivo non può cadere troppo velocemente perché deve ruotare l'asta pesante. Posizioniamo prima le masse m vicino all'asse di rotazione e il peso M accelererà in qualche modo. Tuttavia, dopo aver modificato il momento d'inerzia posizionando le masse m molto più lontano dall'asse, vediamo che il peso M accelera molto più lentamente di prima. Ciò accade a causa di un aumento dell'inerzia rotazionale, che è significato fisico momento d'inerzia - la somma dei prodotti di tutte le masse per i quadrati delle loro distanze dall'asse di rotazione.
Esiste una differenza significativa tra massa e momento d'inerzia, che si manifesta in modi sorprendenti. Il fatto è che la massa dell'oggetto di solito non cambia, mentre il momento d'inerzia è facile da cambiare. Immagina di stare su un tavolo che può ruotare senza attrito, tenendo i manubri tra le braccia tese mentre giri lentamente. Puoi facilmente modificare il momento di inerzia piegando le braccia; allo stesso tempo, la nostra massa rimarrà la stessa. Quando faremo tutto questo, la legge di conservazione del momento angolare farà miracoli, accadrà qualcosa di straordinario. Se i momenti delle forze esterne sono uguali a zero, allora il momento della quantità di moto è uguale al momento d'inerzia IO 1 volta la velocità angolare ω 1, cioè il tuo momento angolare è uguale a IO 1ω1. Piegando quindi le braccia, hai ridotto il momento d'inerzia al valore I 2. Ma poiché, per la legge di conservazione del momento angolare, il prodotto I ω deve rimanere lo stesso, allora IO 1 ω 1 deve essere uguale a I 2 ω 2. Quindi se riduci il momento di inerzia, allora il tuo velocità angolare di conseguenza dovrebbe aumentare.

Vediamo ora cosa succede nel caso di un gran numero di particelle, cioè quando il corpo è formato da tante particelle tra le quali agiscono molte forze dall'esterno. Naturalmente, sappiamo già che il momento della forza che agisce su qualsiasi i-esima particella(cioè, il prodotto della forza che agisce sulla i-esima particella e sulla sua spalla) è uguale alla velocità di variazione del momento angolare di questa particella e del momento angolare i-esima particella a sua volta è uguale al prodotto della quantità di moto della particella per la sua spalla. Supponiamo ora di aver sommato i momenti delle forze xi di tutte le particelle e di chiamarlo momento totale delle forze τ. Questo valore deve essere uguale alla velocità di variazione della somma del momento angolare di tutte le particelle Li. Questa somma può essere presa come la definizione di una nuova quantità, che chiameremo momento angolare totale L. Proprio come la quantità di moto di un corpo è uguale alla somma delle quantità di moto delle sue particelle costituenti, il momento angolare di un corpo è pari anch'esso alla somma dei momenti angolari delle sue particelle costituenti. Pertanto, la velocità di variazione del momento angolare totale L è uguale alla coppia totale.

Se non ci sei abituato, può sembrare che il momento di forza totale sia una cosa terribilmente complicata. Dopotutto, tutte le forze interne ed esterne devono essere prese in considerazione. Tuttavia, se ricordiamo che secondo la legge di Newton, le forze di azione e reazione non solo sono uguali, ma (il che è particolarmente importante!) agiscono lungo la stessa retta in direzioni opposte (non importa se lo stesso Newton ha detto questo o no, intendeva implicitamente questo), allora i due momenti delle forze interne tra due particelle interagenti devono essere uguali tra loro e diretti in modo opposto, poiché per qualsiasi asse le loro spalle saranno le stesse. Pertanto, tutti i momenti interni delle forze si annullano a vicenda e si ottiene un meraviglioso teorema: la velocità di variazione del momento angolare rispetto a qualsiasi asse è uguale al momento delle forze esterne rispetto allo stesso asse!

Quindi, abbiamo tra le mani un potente teorema sul movimento di un vasto gruppo di particelle, che ci consente di studiare le proprietà generali del movimento senza conoscere i dettagli del suo meccanismo interno. Questo teorema è vero per qualsiasi insieme di particelle, indipendentemente dal fatto che formino o meno un solido.

Un caso particolare particolarmente importante di questo teorema è la legge di conservazione del momento angolare, la quale afferma che se un sistema di particelle non è influenzato da alcun momento di forza esterno, il suo momento angolare rimane costante.

Consideriamo un caso speciale molto importante di un insieme di particelle, quando formano un corpo rigido, cioè un oggetto che ha sempre una certa forma e dimensione geometrica e può ruotare solo attorno a un certo asse. Qualsiasi parte di tale oggetto in qualsiasi momento si trova allo stesso modo rispetto alle sue altre parti. Cerchiamo ora di trovare il momento angolare totale di un corpo rigido. Se la massa della particella i-esima è mi e la sua posizione è (xi, y i), allora il problema si riduce a determinare il momento angolare di questa particella, poiché il momento angolare totale è uguale alla somma del momento angolare di tutte queste particelle che formano il corpo. Per un punto che si muove lungo una circonferenza, il momento angolare è, ovviamente, uguale al prodotto della sua massa per la velocità e la distanza dall'asse di rotazione, e la velocità a sua volta è uguale alla velocità angolare moltiplicata per la distanza all'asse:

Esiste una differenza significativa tra massa e momento d'inerzia, che si manifesta in modi sorprendenti. Il fatto è che la massa dell'oggetto di solito non cambia, mentre il momento d'inerzia è facile da cambiare. Immagina di stare su un tavolo che può ruotare senza attrito, tenendo i manubri tra le braccia tese mentre giri lentamente. Puoi facilmente modificare il momento di inerzia piegando le braccia; allo stesso tempo, la nostra massa rimarrà la stessa. Quando faremo tutto questo, la legge di conservazione del momento angolare farà miracoli, accadrà qualcosa di straordinario. Se i momenti delle forze esterne sono zero, allora il momento angolare è uguale al momento d'inerzia I 1 moltiplicato per la velocità angolare ω 1, cioè il tuo momento angolare è uguale a I 1 ω 1. Piegando quindi le braccia, hai ridotto il momento d'inerzia al valore I 2. Ma poiché per la legge di conservazione del momento angolare il prodotto /co deve rimanere lo stesso, allora I 1 ω 1 deve essere uguale a I 2 ω 2. Quindi se diminuisci il tuo momento di inerzia, la tua velocità angolare dovrebbe aumentare di conseguenza.

I suoi movimenti, ad es. misurare .

Impulsoè una quantità vettoriale che coincide in direzione con il vettore velocità.

Unità SI di impulso: kg m/s .

La quantità di moto di un sistema di corpi è uguale alla somma vettoriale delle quantità di moto di tutti i corpi compresi nel sistema:

Legge di conservazione della quantità di moto

Se, ad esempio, sul sistema di corpi interagenti agiscono anche forze esterne, allora in questo caso è valida la relazione, che a volte viene chiamata legge della variazione della quantità di moto:

Per un sistema chiuso (in assenza di forze esterne), vale la legge di conservazione della quantità di moto:

L'azione della legge di conservazione della quantità di moto può spiegare il fenomeno del rinculo quando si spara con un fucile o durante il tiro con l'artiglieria. Inoltre, la legge di conservazione della quantità di moto è alla base del principio di funzionamento di tutti i motori a reazione.

Quando si risolvono problemi fisici, la legge di conservazione della quantità di moto viene utilizzata quando non è richiesta la conoscenza di tutti i dettagli del movimento, ma il risultato dell'interazione dei corpi è importante. Tali problemi, ad esempio, riguardano l'impatto o la collisione di corpi. La legge di conservazione della quantità di moto viene utilizzata quando si considera il movimento di corpi di massa variabile come i veicoli di lancio. La maggior parte della massa di un tale razzo è costituita da carburante. Durante la fase attiva del volo, questo carburante si brucia e la massa del razzo in questa parte della traiettoria diminuisce rapidamente. Inoltre, la legge di conservazione della quantità di moto è necessaria nei casi in cui il concetto non è applicabile. È difficile immaginare una situazione in cui un corpo fermo acquisisca istantaneamente una certa velocità. Nella pratica normale, i corpi accelerano sempre e guadagnano velocità gradualmente. Tuttavia, con il movimento di elettroni e altro particelle subatomiche il cambiamento del loro stato avviene bruscamente senza sostare in stati intermedi. In tali casi concetto classico Non è possibile utilizzare "Accelerazione".

Esempi di risoluzione dei problemi

ESEMPIO 1

Esercizio

Un proiettile del peso di 100 kg, volando orizzontalmente lungo un binario ferroviario alla velocità di 500 m/s, colpisce un'auto contenente sabbia del peso di 10 tonnellate e vi rimane incastrata. Quale velocità raggiungerà l'auto se si muovesse alla velocità di 36 km/h nella direzione opposta al movimento del proiettile?

Soluzione

Il sistema macchina+proiettile è chiuso, quindi in questo caso si può applicare la legge di conservazione della quantità di moto.

Facciamo un disegno, indicando lo stato dei corpi prima e dopo l'interazione.

Quando il proiettile e l'auto interagiscono, impatto anelastico. La legge di conservazione della quantità di moto in questo caso sarà scritta come:

Scegliendo la direzione dell'asse in modo che coincida con la direzione del movimento dell'auto, scriviamo la proiezione di questa equazione sull'asse delle coordinate:

da dove viene la velocità dell'auto dopo che un proiettile l'ha colpita:

Convertiamo le unità nel sistema SI: t kg.

Calcoliamo:

Risposta

Dopo che il proiettile ha colpito, l'auto si muoverà ad una velocità di 5 m/s.

ESEMPIO 2

Esercizio

Un proiettile del peso di m=10 kg aveva nel punto più alto una velocità v=200 m/s. A questo punto si è spezzato in due parti. La parte più piccola con una massa m 1 = 3 kg ha ricevuto una velocità v 1 = 400 m/s nella stessa direzione ad angolo rispetto all'orizzontale. A quale velocità e in quale direzione volerà la maggior parte del proiettile?

Soluzione

La traiettoria del proiettile è una parabola. La velocità del corpo è sempre diretta tangenzialmente alla traiettoria. Nel punto più alto della traiettoria la velocità del proiettile è parallela all'asse.

Scriviamo la legge di conservazione della quantità di moto:

Passiamo dai vettori alle quantità scalari. Per fare ciò, eleviamo al quadrato entrambi i lati dell'uguaglianza del vettore e utilizziamo le formule per:

Tenendo conto di quello , e anche di quello , troviamo la velocità del secondo frammento:

Sostituendo i valori numerici nella formula risultante quantità fisiche, calcoliamo:

Determiniamo la direzione di volo della maggior parte del proiettile utilizzando:

Sostituendo i valori numerici nella formula, otteniamo:

Risposta

La maggior parte del proiettile volerà verso il basso ad una velocità di 249 m/s ad angolo rispetto alla direzione orizzontale.

ESEMPIO 3

Esercizio

La massa del treno è di 3000 tonnellate e il coefficiente di attrito è 0,02. Che tipo di locomotiva deve essere affinché il treno raggiunga la velocità di 60 km/h 2 minuti dopo l'inizio del movimento?

Soluzione

Poiché sul treno agisce (una forza esterna), il sistema non può essere considerato chiuso e in questo caso la legge di conservazione della quantità di moto non è soddisfatta.

Usiamo la legge della variazione della quantità di moto:

Poiché la forza di attrito è sempre diretta nella direzione opposta al movimento del corpo, l'impulso della forza di attrito entrerà nella proiezione dell'equazione sull'asse coordinato (la direzione dell'asse coincide con la direzione di movimento del treno) con un segno “meno”:

1. Se vettore principale di tutte le forze esterne del sistema è uguale a zero (), quindi la quantità di movimento del sistema è costante in grandezza e direzione.

2. Se la proiezione del vettore principale di tutte le forze esterne del sistema su qualsiasi asse è uguale a zero (
), allora la proiezione della quantità di moto del sistema su questo asse è un valore costante.

Teorema sul moto del centro di massa.

Teorema Il centro di massa del sistema si muove allo stesso modo di un punto materiale, la cui massa è uguale alla massa dell'intero sistema, se sul punto agiscono tutte le forze esterne applicate al sistema meccanico in questione.

, quindi

Momento del sistema.

Quantità di moto sistemi di punti materiali rispetto a qualche centro è la somma vettoriale del momento angolare dei singoli punti di questo sistema rispetto allo stesso centro

Quantità di moto sistemi di punti materiali
rispetto a qualsiasi asse
passando per il centro , è detta proiezione del vettore quantità di moto
a questo asse
.

Il momento della quantità di moto di un corpo rigido rispetto all'asse di rotazione durante il movimento rotatorio di un corpo rigido.

Calcoliamo il momento angolare di un corpo rigido rispetto all'asse di rotazione.

Il momento della quantità di moto di un corpo rigido rispetto all'asse di rotazione durante il movimento rotatorio è uguale al prodotto della velocità angolare del corpo per il suo momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione.

Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema.

Teorema. La derivata temporale del momento della quantità di moto del sistema, presa rispetto ad un centro, è uguale alla somma vettoriale dei momenti delle forze esterne che agiscono sul sistema rispetto allo stesso centro.

(6.3)

Dimostrazione: Teorema sulla variazione del momento angolare per
i punti assomigliano a:

Sommiamo tutto equazioni e otteniamo:

O
,

Q.E.D.

Teorema. La derivata temporale del momento della quantità di moto del sistema, presa rispetto a un qualsiasi asse, è uguale alla somma vettoriale dei momenti delle forze esterne agenti sul sistema rispetto allo stesso asse.

Per dimostrarlo è sufficiente proiettare su tale asse l'equazione vettoriale (6.3). Per asse
sarà simile a questo:.

(6.4)

Il teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema rispetto al centro di massa. (nessuna prova)

Per gli assi che si muovono traslatoriamente insieme al centro di massa del sistema, il teorema sulla variazione del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa mantiene la stessa forma rispetto a un centro stazionario.

Modulo 2. Resistenza dei materiali.

Argomento 1: tensione-compressione, torsione, flessione.

Le deformazioni della carrozzeria (elementi strutturali) in esame derivano dall'applicazione forza esterna. In questo caso, le distanze tra le particelle del corpo cambiano, il che a sua volta porta ad un cambiamento nelle forze di reciproca attrazione tra di loro. Quindi, di conseguenza, sorgono sforzi interni. In questo caso, le forze interne sono determinate mediante il metodo universale delle sezioni (o metodo di taglio).

È noto che esistono forze esterne e forze interne. Le forze esterne (carichi) sono una misura quantitativa dell'interazione di due corpi diversi. Questi includono anche le reazioni nelle connessioni. Le forze interne sono una misura quantitativa dell'interazione di due parti di un corpo situate sui lati opposti della sezione e causate dall'azione di forze esterne. Le forze interne nascono direttamente nel corpo deformabile.

La Figura 1 mostra lo schema di progetto di una trave con una combinazione arbitraria di carico esterno che forma un sistema di forze di equilibrio:

Dall'alto al basso: corpo elastico, parte tagliata sinistra, parte tagliata destra Fig. 1. Metodo della sezione.

In questo caso, le reazioni di legame sono determinate dalle note equazioni di equilibrio della statica di un corpo solido:

dove x 0, y 0, z 0 è il sistema di coordinate di base degli assi.

Tagliare mentalmente una trave in due parti con una sezione arbitraria A (Fig. 1 a) porta a condizioni di equilibrio per ciascuna delle due parti tagliate (Fig. 1 b, c). Qui ( S') E ( S"} - forze interne che si verificano rispettivamente nelle parti tagliate sinistra e destra a causa dell'azione di forze esterne.

Quando si compongono parti mentalmente tagliate, la condizione di equilibrio corporeo è assicurata dalla relazione:

Poiché il sistema iniziale di forze esterne (1) è equivalente a zero, otteniamo:

{S ’ } = – {S ” } (3)

Questa condizione corrisponde al quarto assioma della statica sull'uguaglianza delle forze di azione e reazione.

Utilizzando la metodologia generale del teorema Poisot riguardo al portare sistema arbitrario forze ad un dato centro e scegliendo il centro di massa come polo di riduzione, le sezioni UN " , punto CON " , sistema di forze interne per il lato sinistro ( S ’ ) riduciamo al vettore principale e al momento principale degli sforzi interni. Lo stesso viene fatto per la parte tagliata destra, dove si trova la posizione del baricentro della sezione UN";è determinato, rispettivamente, dal punto CON" (Fig. 1b,c).

Pertanto, il vettore principale e il momento principale del sistema di forze interne che si verificano nella parte sinistra della trave condizionatamente tagliata sono uguali in grandezza e opposti nella direzione al vettore principale e al momento principale del sistema di forze interne che si verificano nella parte destra condizionatamente tagliata.

Il grafico (diagramma) della distribuzione dei valori numerici del vettore principale e del momento principale lungo l'asse longitudinale della trave determina, innanzitutto, problemi specifici di resistenza, rigidità e affidabilità delle strutture.

Determiniamo il meccanismo per la formazione delle componenti degli sforzi interni che caratterizzano tipi semplici resistenza: tensione-compressione, taglio, torsione e flessione.

Ai centri di massa delle sezioni oggetto di studio CON" O CON" chiediamo di conseguenza a sinistra (c", x", y", z") o destra (c", x", y", z") sistemi assi coordinati(Fig. 1 b, c), che, a differenza del sistema di coordinate di base x, y, z Li chiameremo “seguaci”. Il termine è dovuto al loro scopo funzionale. Vale a dire: tracciamento dei cambiamenti nella posizione della sezione A (Fig. 1 a) quando è spostata condizionatamente lungo l'asse longitudinale della trave, ad esempio quando: 0x' 1 un'ascia' 2 B ecc., dove UN E B- dimensioni lineari dei confini delle sezioni studiate del legno.

Impostiamo le direzioni positive delle proiezioni del vettore principale o del momento principale o degli assi delle coordinate del sistema di tracciamento (Fig. 1 b, c):

(N ’ , Q ’ y , Q ’ z ) (M ’ x , M ’ y , M ’ z )
(N”, Q” y, Q” z) (M” x, M” y, M” z)

In questo caso, le direzioni positive delle proiezioni del vettore principale e del momento principale delle forze interne sull'asse del sistema di coordinate di tracciamento corrispondono alle regole della statica in meccanica teorica: per forza - lungo la direzione positiva dell'asse, per momento - rotazione in senso antiorario se osservato dall'estremità dell'asse. Sono classificati come segue:

N X - forza normale, segno di tensione o compressione centrale;

M X - coppia interna, si verifica durante la torsione;

Q z ,Q A- forze trasversali o di taglio – segno di deformazioni di taglio,

M A , M z- momenti flettenti interni, corrispondenti alla flessione.

La connessione delle parti sinistra e destra mentalmente tagliate della trave porta al noto (3) principio di uguaglianza in grandezza e direzione opposta di tutte le componenti con lo stesso nome delle forze interne e alla condizione per l'equilibrio della trave il raggio è definito come:

Come naturale conseguenza delle relazioni 3,4,5, la condizione risultante è necessaria affinché le stesse componenti delle forze interne formino sottosistemi di forze equivalenti a zero a coppie:

1. {N ’ , N ” } ~ 0 > N ’ = – N ”
2. {Q ’ sì , Q ” sì } ~ 0 > Q ’ sì = – Q ” sì
3. {Q ’ z , Q ” z } ~ 0 > Q ’ z = – Q ” z
4. {M ’ X , M ” X } ~ 0 > M ’ X = – M ” X
5. {M ’ sì , M ” sì } ~ 0 > M ’ sì = – M ” sì
6. {M ’ z , M ” z } ~ 0 > M ’ z = – M ” z

Il numero totale di forze interne (sei) in problemi staticamente definibili coincide con il numero di equazioni di equilibrio per un sistema spaziale di forze ed è associato al numero di possibili movimenti reciproci di una parte condizionatamente isolata del corpo rispetto a un'altra .

Le forze richieste sono determinate dalle equazioni corrispondenti per qualsiasi parte tagliata nel sistema di tracciamento degli assi di coordinate. Pertanto, per ogni parte tagliata, le corrispondenti equazioni di equilibrio assumono la forma;

1. ix = N + P 1x + P 2x + … + P kx = 0 > N
2. sì = Q sì + P 1 anno + P 2 anni + … + P ky = 0 > Q sì
3. cioè = Q + P 1z + P 2z + … + P kz = 0 > Q z
4. X (P io) = M X + M X (P io) + … + M X (P K) = 0 > M X
5. sì (P io) = M sì + M sì (P io) + … + M sì (P K) = 0 > M sì
6. z (P io) = M z + M z (P io) + … + M z (P K) = 0 > M z

Qui, per semplicità di notazione del sistema di coordinate c"x"y"z" E c"x"y"t" sostituito da uno singolo ossiz.