Példák lendület megmaradásának törvénye. A testrendszer mozgásának mértéke

5. előadás A rendszer lendülete (a rendszer lendülete).

Ez az előadás a következő kérdéseket fedi le:

1. A rendszer lendülete (a rendszer lendülete).

2. Tétel a lendület (impulzus) változásáról.

3. A lendület (impulzus) megmaradásának törvénye.

4. Lényege a rendszer mozgásának (impulzusának) mennyiségei.

5. Pillanattétel.

6. A mozgásmennyiségek főnyomatékának (impulzusának) megmaradásának törvénye.

Ezeknek a kérdéseknek a tanulmányozása szükséges a dinamikához oszcilláló mozgás mechanikai rendszer, a „Gépek és mechanizmusok elmélete” és „Gépalkatrészek” tudományágak problémáinak megoldására.

Korábbi előadásokon a mozgás meghatározásának módszerei anyagrendszer, amelyeket rendszerint másodrendű differenciálegyenletek megfogalmazására redukáltak. A megoldásuk pedig nem mindig volt egyszerű.

Ha új általánosított fogalmakat vezetünk be, amelyek a rendszer egészének tulajdonságait és mozgását jellemzik, akkor ezek a nehézségek gyakran megkerülhetők. Ide tartoznak a tömegközéppont és a fogalmak kinetikus energia, amelyek számunkra már ismertek, az anyagi rendszer lendülete és a lendületi pillanat fogalma.

Az ezen jellemzők változását meghatározó tételek lehetővé teszik, hogy teljesebb képet kapjunk egy anyagi rendszer mozgásáról.

A rendszer lendülete (a rendszer lendülete).

Lendület (a test lendülete) egy vektorfizikai mennyiség, amely egyenlő a testtömeg és sebességének szorzatával:

A lendület (momentum) egy test vagy testrendszer mozgásának egyik legalapvetőbb jellemzője.

Newton második törvényét más formában írjuk, figyelembe véve, hogy a gyorsulás Akkor ennélfogva

Az erő és a hatás idejének szorzata egyenlő a test lendületének növekedésével (1. ábra):

Hol van az erő impulzusa, amely azt mutatja, hogy az erő hatásának eredménye nem csak az értékétől, hanem a hatásának időtartamától is függ.

1. ábra

A rendszer mozgásának nagysága (impulzusa) a vektormennyiség , egyenlő a rendszer összes pontja mozgásmennyiségének (impulzusainak) geometriai összegével (fővektorával) (2. ábra):

A rajzból látható, hogy a rendszer pontjainak sebességétől függetlenül (kivéve, ha ezek a sebességek párhuzamosak) a vektor bármilyen értéket felvehet, és akár nullával is egyenlőnek bizonyulhat, ha a sokszögből megszerkesztjük. a vektorok bezáródnak. Következésképpen lehetetlen teljes mértékben megítélni a rendszer mozgásának természetét a nagysága alapján.

2. ábra

Keressünk egy képletet, amelynek segítségével sokkal könnyebb az érték kiszámítása, valamint a jelentésének megértése.

Az egyenlőségtől

ezt követi

Mindkét rész idő deriváltját vesszük, azt kapjuk

Innentől azt találjuk

azok. a rendszer mozgásának nagysága (impulzusa) egyenlő a teljes rendszer tömegének és tömegközéppontja sebességének szorzatával . Ez az eredmény különösen kényelmes a merev testek lendületének kiszámításakor.

A képletből látható, hogy ha a test (vagy rendszer) úgy mozog, hogy a tömegközéppont mozdulatlan marad, akkor a test lendülete nulla. Például a tömegközéppontján átmenő rögzített tengely körül forgó test impulzusa nulla lesz.

Ha a test mozgása összetett, akkor az érték nem jellemzi a mozgásnak a tömegközéppont körüli forgó részét. Például egy gördülő keréknél, függetlenül attól, hogy a kerék hogyan forog a tömegközéppontja körül Val vel.

És így, a mozgás mennyisége jellemzi csak előre mozgás rendszerek. Komplex mozgás esetén az érték a rendszer mozgásának csak a transzlációs részét jellemzi a tömegközépponttal együtt.

Tétel az impulzus (impulzus) változásáról.

Tekintsünk egy rendszert, amely a következőkből áll P anyagi pontok. Írjon ehhez a rendszerhez differenciál egyenletek mozgásokat, és szó szerint adja hozzá őket. Akkor kapjuk:

Utolsó összeg ingatlanonként belső erők egyenlő nullával. Kívül,

Végül megtaláljuk:

Az egyenlet a rendszer impulzusának (impulzusának) változására vonatkozó tételt differenciális formában fejezi ki: a rendszer mozgásmennyiségének (impulzusának) időbeli deriváltja egyenlő geometriai összeg a rendszerre ható összes külső erő .

Keressük a tétel egy másik kifejezését. Legyen t=0 pillanatban a rendszer lendülete egyenlő , és pillanatnyilag egyenlővé válik . Ezután az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk dtés integrálva a következőket kapjuk:

mivel a jobb oldali integrálok külső erők impulzusait adják.

Az egyenlet a rendszer impulzusváltozására vonatkozó tételt integrál formában fejezi ki: a rendszer mozgási mennyiségének változása egy bizonyos idő alatt megegyezik a rendszerre ugyanazon idő alatt ható külső erők impulzusainak összegével.

A koordinátatengelyekre történő vetítéseknél a következők lesznek:

Mutassuk meg az összefüggést a bizonyított tétel és a tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel között. Azóta ezt az értéket egyenlőségre cserélve és ezt figyelembe véve azt kapjuk, hogy .

Ezért a tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel és a rendszer lendületének változására vonatkozó tétel lényegében két különböző formák ugyanaz a tétel. A mozgás tanulmányozása során szilárd test(vagy testrendszerek), egyformán használhatjuk ezen formák bármelyikét.

A tétel gyakorlati értéke abban rejlik, hogy lehetővé teszi számunkra, hogy figyelmen kívül hagyjuk a korábban ismeretlen belső erőket (például a folyadékrészecskék egymásra ható nyomását).

A lendület megmaradásának törvénye (a lendület megmaradásának törvénye).

A rendszer lendületének változására vonatkozó tételből a következő fontos következtetések vonhatók le:

1) Legyen a zárt rendszerre ható külső erők összege nulla:

Ekkor az egyenletből az következik, hogy Q= =const. És így, ha a zárt rendszerre ható összes külső erő összege nulla, akkor a rendszer impulzusvektora (impulzus) állandó nagyságú és irányú lesz.

2) Legyenek a rendszerre ható külső erők olyanok, hogy valamilyen tengelyre vetületük összege (pl. Ökör) egyenlő nullával:

Ekkor az egyenletből az következik, hogy ebben az esetben Q x =const. És így, ha valamely tengelyre ható összes külső erő vetületének összege nulla, akkor a rendszer impulzusának (impulzusának) erre a tengelyére való vetülete állandó érték.

Ezek az eredmények kifejezik a rendszer impulzusmegmaradásának törvénye: a zárt rendszert alkotó testek kölcsönhatásának bármilyen jellege esetén ennek a rendszernek a teljes lendületének vektora állandóan állandó marad.

Ezekből következik, hogy a belső erők nem tudják megváltoztatni a rendszer teljes lendületét.

Egy elszigetelt rendszer teljes lendületének megmaradásának törvénye a természet egyetemes törvénye. Általánosabban, amikor a rendszer nyitott, ebből az következik, hogy a nyitott rendszer teljes lendülete nem marad állandó. Időegységenkénti változása egyenlő az összes külső erő geometriai összegével.

Nézzünk néhány példát:

a) Az adományozás vagy visszaállítás jelensége. Ha a puskát és a golyót egy rendszernek tekintjük, akkor a porgázok nyomása kilövéskor belső erő lesz. Ez az erő nem tudja megváltoztatni a rendszer teljes lendületét. De mivel a hajtógázok a lövedékre hatóan bizonyos mértékű előre irányuló mozgást adnak neki, egyidejűleg a puskát is ugyanannyi mozgást kell adniuk. ellentétes irány. Ez azt eredményezi, hogy a puska hátrafelé mozdul el, pl. úgynevezett visszatérés. Hasonló jelenség lép fel fegyverből való lövéskor (visszagurítás).

b) A légcsavar (propeller) működése. A propeller egy bizonyos tömegű levegőt (vagy vizet) tájékoztat a légcsavar tengelye mentén történő mozgásról, és ezt a tömeget visszadobja. Ha a kilökött tömeget és a repülőgépet (vagy hajót) egy rendszernek tekintjük, akkor a légcsavar és a közeg belső kölcsönhatási erői nem tudják megváltoztatni ennek a rendszernek a teljes lendületét. Ezért, amikor egy tömeg levegőt (víz) dobunk vissza, a repülőgép (vagy hajó) megkapja a megfelelő haladási sebességet úgy, hogy a vizsgált rendszer teljes impulzusa nullával egyenlő marad, mivel a mozgás megkezdése előtt nulla volt. .

Hasonló hatás érhető el az evezők vagy a lapátkerekek hatására.

ban ben) Sugárhajtás. A rakéta lövedékben (rakétában) az üzemanyag égéséből származó gáznemű termékek nagy sebességgel kilökődnek a rakéta farkán lévő lyukból (a sugárhajtómű fúvókájából). Az ebben az esetben ható nyomóerők belső erők lesznek, és nem tudják megváltoztatni a rakétarendszer teljes lendületét - az üzemanyag égéstermékeit. De mivel a kiáramló gázok bizonyos mértékű visszafelé irányuló mozgással rendelkeznek, a rakéta ennek megfelelő előrehaladási sebességet kap.

1. példa A síneken egy m 1 =10 tonna tömegű emelvény található, a peronra egy m 2 =5 tonna tömegű fegyvert rögzítenek, amelyről a sínek mentén lövést adnak le. A lövedék tömege m 3 =100 kg; kezdeti sebessége a fegyverhez képest v 0 =500 m/s. Határozza meg a platform sebességét a lövést követő első pillanatban, ha: 1) a platform álló helyzetben volt ( v= 0); 2) a platform nagy sebességgel mozgott v= 18 km/h, és a lövést a mozgása irányába adta le; 3) a platform nagy sebességgel mozgott v= 18 km/h, és a lövést a mozgási irányával ellentétes irányban adták le.

Döntés. A probléma megoldására a lendület megmaradásának törvényét használjuk, amely kimondja, hogy egy zárt rendszer impulzusa állandó marad.

Írjuk fel a fegyverből, fegyverből és lövedékből álló rendszer lendületét a lövés előtt () és utána (), aminek hatására ez a lendület megváltozik. Emlékezzünk vissza, hogy a rendszer teljes impulzusa a rendszerben lévő testek nyomatékának vektorösszege.

1) A rendszer impulzusa a lövés előtt

mert eleinte a platform a szerszámmal pihent ( v=0).

Lövés után a rendszer lendülete

A lendület megmaradásának törvénye szerint tehát

Ezt az egyenletet a kiválasztott tengelyre vetítjük x(3. ábra):

3. ábra

Figyeljünk a következő tényre. Tapasztalatból tudjuk, hogy egy lövés hatására a fegyverrel ellátott platform a lövéssel ellentétes irányba fog visszagurulni, így a vetítésnél ezt azonnal figyelembe tudjuk venni, ha a sebesség elé mínusz jelet teszünk. u platformok. Akkor kapunk

Bizonyos esetekben, amikor nem világos előre, hogy az objektum milyen irányba fog mozogni, feltételezzük, hogy a sebesség a tengely mentén irányul. x. Ebben az esetben a számítások kapott eredményének pozitív értéke megerősíti feltételezésünket, a negatív érték pedig azt jelzi, hogy a mozgás a választotttal ellentétes irányban történik.

2) Az impulzus megmaradásának törvénye abban az esetben, ha a platform nagy sebességgel mozog v\u003d 18 km/h \u003d 5 m/s, a következő alakú

A tengelyen lévő vetületekben x(4. ábra):

4. ábra

Figyeljünk arra, hogy az előző esethez hasonlóan figyelembe véve, hogy a lövés után az emelvény az ellenkező irányba indul el, hibát követtünk el, amit a kapott válaszban a mínusz jel is jelez. Ez azt jelenti, hogy a platform mozgási iránya változatlan marad, de a sebessége csökkent.

3) Az impulzusmegmaradási törvénynek a harmadik esetben a második esetre írthoz hasonló formája van, azaz.

azzal a különbséggel, hogy a tengelyre vetítéskor x(5. ábra), további jeleket kapunk a sebességre:

5. ábra

Így a platform az eredetinél nagyobb sebességgel ugyanabba az irányba fog mozogni.

2. példa Tehetetlenséggel sebességgel haladó vasúti peronon v, a pisztoly rögzített, amelynek csöve a platform mozgása felé irányul a horizonthoz képest α szögben (5.1. ábra). A fegyver lövést adott le, aminek következtében az emelvény sebessége a fegyverrel háromszorosára csökkent. Határozza meg a lövedék fegyverhez viszonyított sebességét, amikor kilép a csövéből. A lövedék tömege m 1, az emelvény tömege a fegyverrel m 2.

5.1. ábra

Döntés. A testrendszer „pisztollyal + lövedékkel ellátott platform” külső erőknek van kitéve - gravitáció és normál nyomás a sínek oldaláról, függőlegesen irányítva (a vízszintes súrlódási erők elhanyagolhatónak tekinthetők) és belső erő - a lövés során keletkező gázok nyomása. . Megjegyzendő, hogy kiégetéskor a normálnyomás ereje meghaladja a gravitációs erőt, eredőjük nem egyenlő nullával. Következésképpen tüzelésekor a rendszer impulzusának függőleges komponense nem marad meg, a lendület vízszintes összetevője változatlan marad.

Lássuk most, mi történik az ügyben egy nagy szám részecskék, azaz amikor a test sok részecskéből áll, amelyek között és kívülről sok erő hat. Természetesen már tudjuk, hogy bármely i-edik részecskére ható erő nyomatéka (azaz az i-edik részecskére, annak vállára ható erő szorzata) megegyezik a szögimpulzus változási sebességével. ez a részecske és az i-edik részecske mozgásának mennyiségi nyomatéka pedig megegyezik a részecske és vállának lendületének szorzatával. Tegyük fel, hogy összegeztük az összes részecske τ i erőnyomatékát, és ezt a τ erők össznyomatékának neveztük. Ennek az értéknek meg kell egyeznie az összes L i részecske impulzusösszegének változási sebességével. Ez az összeg egy új mennyiség definíciójaként fogható fel, amit L teljes szögimpulzusnak nevezünk. Ahogy egy test impulzusa egyenlő az alkotó részecskéi nyomatékainak összegével, a test szögimpulzusa is egyenlő az alkotó részecskéi nyomatékainak összegével. Így az L teljes impulzusnyomaték változási sebessége megegyezik az erők össznyomatékával

Megszokásból úgy tűnhet, hogy az erők teljes pillanata borzasztóan bonyolult dolog. Végül is figyelembe kell vennie minden belső és külső erőt. Ha azonban emlékezünk arra, hogy Newton törvénye szerint a cselekvés és a reakció erői nemcsak egyenlőek, hanem (ami különösen fontos!) ugyanazon az egyenes mentén, ellentétes irányban hat (nem mindegy, hogy Newton maga beszélt-e ezt vagy sem, implicite erre gondolt), akkor a két kölcsönhatásban lévő részecske közötti belső erő két momentumának egyenlőnek kell lennie egymással és ellentétes irányúnak kell lennie, mivel bármelyik tengelynél a válluk azonos lesz. Ezért az összes belső erőnyomaték kioltja egymást, és egy csodálatos tételt kapunk: a szögimpulzus bármely tengelyhez viszonyított változási sebessége megegyezik a külső erők ugyanazon tengelyhez viszonyított nyomatékával!

Tehát a kezünkbe került egy erőteljes mozgástétel nagy csapat részecskék, ami lehetővé teszi a mozgás általános tulajdonságainak tanulmányozását anélkül, hogy ismernénk a belső mechanizmusának részleteit. Ez a tétel bármely részecskehalmazra igaz, függetlenül attól, hogy szilárd anyagot alkotnak-e vagy sem.
Ennek a tételnek különösen fontos speciális esete a szögimpulzus megmaradásának törvénye, amely kimondja: ha egy részecskerendszerre nem hat külső erőnyomaték, akkor a szögimpulzusa állandó marad.
Tekintsünk egy nagyon fontos speciális esetet a részecskék halmazának, amikor szilárd testet alkotnak, vagyis olyan tárgyat, amelynek mindig van egy bizonyos alakja és geometriai mérete, és csak valamilyen tengely körül tud forogni. Egy ilyen objektum bármely része bármikor megtalálható

ugyanúgy a többi részei tekintetében. Most próbáljuk meg megtalálni a merev test teljes szögimpulzusát. Ha egy tömeg i-ed részecskéje egyenlő m i -vel, helyzete pedig (x i , y i), akkor a feladat ennek a részecske impulzusnyomatékának meghatározására redukálódik, mivel a teljes impulzusnyomaték egyenlő az összes impulzusnyomaték összegével. a testet alkotó olyan részecskék. Egy kör mentén mozgó pont esetében a szögimpulzus természetesen egyenlő a tömegének a sebesség és a forgástengely távolságának szorzatával, a sebesség pedig egyenlő a szögsebesség szorzatával távolság a tengelytől:

Összeadva L i-t az összes részecskére, megkapjuk

Ez a kifejezés nagyon hasonlít az impulzus képletéhez, amely egyenlő a tömeg és a sebesség szorzatával. Ebben az esetben a sebességet felváltja a szögsebesség, a tömeget pedig, mint látható, valami új érték, az úgynevezett tehetetlenségi nyomaték I. Ez az, ami a tömeg szerepét tölti be forgás közben! A (18.21) és (18.22) egyenletek azt mondják, hogy egy test forgási tehetetlensége nemcsak az alkotó részecskék tömegétől függ, hanem attól is, hogy milyen messze vannak a tengelytől. Tehát ha két testünk van egyenlő tömegű, de az egyikben a tömegek távolabb helyezkednek el a tengelytől, akkor nagyobb lesz a forgási tehetetlensége. Ez könnyen demonstrálható az 1. ábrán látható eszközzel. 18.4. Az M tömeg ebben az eszközben nem eshet túl gyorsan, mert egy nehéz rudat kell megfordítania. Először helyezzük az m tömegeket a forgástengely közelébe, és az M súly valahogyan felgyorsul. Miután azonban megváltoztattuk a tehetetlenségi nyomatékot az m tömegek tengelytől jóval távolabbi elhelyezésével, látni fogjuk, hogy az M súly sokkal lassabban gyorsul, mint korábban. Ez a forgás tehetetlenségének növekedése miatt következik be, ami fizikai jelentése a tehetetlenségi nyomaték az összes tömeg szorzatának és a forgástengelytől mért távolságuk négyzetének összege.
A tömeg és a tehetetlenségi nyomaték között jelentős különbség van, ami meglepő módon nyilvánul meg. A helyzet az, hogy egy tárgy tömege általában nem változik, míg a tehetetlenségi nyomaték könnyen megváltoztatható. Képzeld el, hogy egy asztalon állsz, amely súrlódás nélkül tud forogni, és kinyújtott karban tartod a súlyzókat, miközben te magad lassan forogsz. Könnyen megváltoztathatja a tehetetlenségi nyomatékot a karok hajlításával; miközben tömegünk változatlan marad. Ha mindezt megtesszük, akkor a szögimpulzus megmaradásának törvénye csodákat fog művelni, valami csodálatos fog történni. Ha a külső erők nyomatékai egyenlőek nullával, akkor a lendületi nyomaték egyenlő a tehetetlenségi nyomatékkal én 1-szerese a szögsebességnek ω 1, azaz a szögimpulzusod az én 1 ω 1 . Majd a karokat behajlítva ezzel a tehetetlenségi nyomatékot I 2 értékre csökkented. De mivel a szögimpulzus megmaradásának törvénye miatt az I ω szorzatnak változatlannak kell maradnia, akkor én 1 ω 1 egyenlőnek kell lennie I 2 ω 2 -vel. Tehát ha csökkenti a tehetetlenségi nyomatékot, akkor az Ön szögsebesség ennek következtében növekednie kell.

Lássuk most, mi történik nagyszámú részecske esetén, amikor a test sok részecskebõl áll, amelyek között és kívülrõl sok erõ hat. Természetesen már tudjuk, hogy a pillanatnyi erő ható bármely i-edik részecske(azaz az i-edik részecskére, annak vállára ható erő szorzata) egyenlő ennek a részecske szögimpulzusának és szögimpulzusának változási sebességével i-edik mozgalom részecske pedig egyenlő a részecske és vállának lendületének szorzatával. Tegyük fel most, hogy az összes részecske x i erőnyomatékait összegeztük, és ezt a τ erők össznyomatékának neveztük. Ennek az értéknek meg kell egyeznie az összes L i részecske impulzusösszegének változási sebességével. Ezt az összeget felfoghatjuk egy új mennyiség definíciójának, amit L teljes impulzusimpulzusnak nevezünk. Ahogyan egy test impulzusa egyenlő az alkotó részecskéi impulzusainak összegével, úgy a test impulzusimpulzusa is alkotó részecskéi momentumainak összegével is egyenlő. Így az L teljes impulzusnyomaték változási sebessége megegyezik az erők össznyomatékával.

Tehát kezünkbe került egy nagy részecskék kollektívájának mozgására vonatkozó erőteljes tétel, amely lehetővé teszi a mozgás általános tulajdonságainak tanulmányozását anélkül, hogy ismernénk a belső mechanizmusának részleteit. Ez a tétel bármely részecskehalmazra igaz, függetlenül attól, hogy szilárd anyagot alkotnak-e vagy sem.

Ennek a tételnek különösen fontos speciális esete a szögimpulzus megmaradásának törvénye, amely kimondja: ha egy részecskerendszerre nem hat külső erőnyomaték, akkor a szögimpulzusa állandó marad.

Tekintsünk egy nagyon fontos speciális esetet a részecskék halmazának, amikor szilárd testet alkotnak, vagyis olyan tárgyat, amelynek mindig van egy bizonyos alakja és geometriai mérete, és csak valamilyen tengely körül tud forogni. Egy ilyen tárgy bármely része bármikor ugyanúgy helyezkedik el, mint a többi része. Most próbáljuk meg megtalálni a merev test teljes szögimpulzusát. Ha tömeg i-edik részecske egyenlő m i -vel, helyzete pedig (x i , y i), akkor a probléma leredukálódik ennek a részecske impulzusnyomatékának meghatározására, mivel a teljes impulzusnyomaték egyenlő az összes ilyen részecske impulzusnyomatékának összegével. alkotják a testet. Egy kör mentén mozgó pont esetében a szögimpulzus természetesen egyenlő a tömegének a sebesség és a forgástengely távolságának szorzatával, a sebesség pedig egyenlő a szögsebesség szorzatával távolság a tengelytől:

A tömeg és a tehetetlenségi nyomaték között jelentős különbség van, ami meglepő módon nyilvánul meg. A helyzet az, hogy egy tárgy tömege általában nem változik, míg a tehetetlenségi nyomaték könnyen megváltoztatható. Képzeld el, hogy egy asztalon állsz, amely súrlódás nélkül tud forogni, és kinyújtott karban tartod a súlyzókat, miközben te magad lassan forogsz. Könnyen megváltoztathatja a tehetetlenségi nyomatékot a karok hajlításával; miközben tömegünk változatlan marad. Ha mindezt megtesszük, akkor a szögimpulzus megmaradásának törvénye csodákat fog művelni, valami csodálatos fog történni. Ha a külső erők nyomatékai egyenlők nullával, akkor az impulzusnyomaték egyenlő az ω 1 szögsebesség I 1 tehetetlenségi nyomatékával, azaz a nyomatékod egyenlő I 1 ω 1 -gyel. Majd a karokat behajlítva ezzel a tehetetlenségi nyomatékot I 2 értékre csökkented. De mivel a szögimpulzus megmaradásának törvénye miatt a /co szorzatnak változatlannak kell maradnia, akkor I 1 ω 1 egyenlőnek kell lennie I 2 ω 2 -vel. Tehát ha csökkenti a tehetetlenségi nyomatékot, akkor ennek eredményeként a szögsebességének növekednie kell.

Mozdulatai, i.e. érték .

Impulzus olyan vektormennyiség, amely irányában egybeesik a sebességvektorral.

A lendület mértékegysége az SI rendszerben: kg m/s .

Egy testrendszer impulzusa egyenlő a rendszerben lévő összes test impulzusainak vektorösszegével:

A lendület megmaradásának törvénye

Ha például további külső erők hatnak a kölcsönható testek rendszerére, akkor ebben az esetben érvényes az összefüggés, amelyet néha a lendületváltozás törvényének neveznek:

Zárt rendszerre (külső erők hiányában) érvényes a lendület megmaradásának törvénye:

A lendület megmaradásának törvénye megmagyarázhatja a visszarúgás jelenségét puskából vagy tüzérségi lövés közben. Valamint az impulzusmegmaradás törvénye az összes sugárhajtómű működési elvét alapozza meg.

A fizikai feladatok megoldásánál az impulzusmegmaradás törvényét alkalmazzák, amikor a mozgás minden részletének ismerete nem szükséges, de fontos a testek kölcsönhatásának eredménye. Ilyen problémák például a testek ütközésének vagy ütközésének problémái. Az impulzusmegmaradás törvényét változó tömegű testek, például hordozórakéták mozgásának mérlegelésekor alkalmazzák. Egy ilyen rakéta tömegének nagy része üzemanyag. A repülés aktív fázisában ez az üzemanyag kiég, és a rakéta tömege a pálya ezen részén gyorsan csökken. Az impulzusmegmaradás törvénye olyan esetekben is szükséges, amikor a fogalom nem alkalmazható. Nehéz elképzelni egy olyan helyzetet, amikor egy mozdulatlan test azonnal felgyorsul. A normál gyakorlatban a testek mindig felgyorsulnak és fokozatosan veszik fel a sebességet. Azonban az elektronok mozgása során és egyéb szubatomi részecskékállapotuk változása hirtelen következik be anélkül, hogy közbenső állapotokban maradnának. Ilyen esetekben klasszikus koncepció gyorsítás nem használható.

Példák problémamegoldásra

1. PÉLDA

Gyakorlat

Egy 100 kg tömegű lövedék, amely vízszintesen repül a vasúti pálya mentén 500 m/s sebességgel, 10 tonna tömegű homokkal találkozik egy vagonnal és abban elakad. Mekkora sebességet ér el az autó, ha 36 km/h sebességgel halad a lövedékkel ellentétes irányba?

Döntés

A vagon+lövedék rendszer zárt, így ebben az esetben a lendületmaradvány törvénye alkalmazható.

Készítsünk rajzot, jelezve a testek kölcsönhatás előtti és utáni állapotát.

A lövedék és a kocsi kölcsönhatásában, rugalmatlan hatás. A lendület megmaradásának törvénye ebben az esetben a következőképpen írható:

Az autó mozgási irányával egybeeső tengely irányát választva felírjuk ennek az egyenletnek a vetületét a koordinátatengelyre:

hol van az autó sebessége, miután egy lövedék eltalálta:

A mértékegységeket átváltjuk az SI rendszerre: t kg.

Számoljunk:

Válasz

A lövedék eltalálása után az autó 5 m/s sebességgel mozog.

2. PÉLDA

Gyakorlat

Egy m=10 kg tömegű lövedéknek v=200 m/s sebessége volt a felső pontban. Ezen a ponton két részre tört. Egy kisebb m 1 =3 kg tömegű rész v 1 =400 m/s sebességet kapott ugyanabban az irányban, a horizonthoz képest szögben. Milyen sebességgel és milyen irányba repül a lövedék nagy része?

Döntés

A lövedék röppályája parabola. A test sebessége mindig érintőlegesen irányul a pályára. A pálya tetején a lövedék sebessége párhuzamos a tengellyel.

Írjuk fel a lendületmegmaradás törvényét:

Térjünk át a vektorokról a skalárokra. Ehhez a vektoregyenlőség mindkét részét négyzetre emeljük, és a következő képleteket használjuk:

Ezt és azt is figyelembe véve megkapjuk a második töredék sebességét:

Számértékek behelyettesítése a kapott képletbe fizikai mennyiségek, kiszámítja:

A legtöbb lövedék repülési irányát a következők segítségével határozzuk meg:

A számértékeket behelyettesítve a képletbe, a következőt kapjuk:

Válasz

A lövedék nagy része 249 m / s sebességgel repül le, a vízszintes irányhoz képest szögben.

3. PÉLDA

Gyakorlat

A vonat tömege 3000 tonna, a súrlódási tényező 0,02. Mekkora legyen a gőzmozdony, hogy a vonat 2 perccel a mozgás megkezdése után 60 km/h sebességet vegyen fel.

Döntés

Mivel a vonatra (külső erő) hat, a rendszer nem tekinthető zártnak, és a lendület megmaradásának törvénye ebben az esetben nem állja meg a helyét.

Használjuk az impulzus változás törvényét:

Mivel a súrlódási erő mindig a test mozgásával ellentétes irányba irányul, az egyenlet koordinátatengelyre történő vetületében (a tengely iránya egybeesik a vonat mozgásának irányával), a súrlódási erő impulzusa egy mínusz jel:

1. Ha fő vektor A rendszer összes külső erőjének értéke nulla (), akkor a rendszer mozgásának nagysága és iránya állandó.

2. Ha a rendszer összes külső erőjének fővektorának vetülete bármely tengelyre egyenlő nullával (
), akkor a rendszer impulzusának erre a tengelyre való vetülete állandó érték.

Tétel a tömegközéppont mozgásáról.

Tétel A rendszer tömegközéppontja ugyanúgy mozog, mint egy anyagi pont, amelynek tömege megegyezik a teljes rendszer tömegével, ha a pontra hat a vizsgált mechanikai rendszerre ható összes külső erő.

, ennélfogva

A rendszer lendületének pillanata.

lendület pillanata anyagi pontrendszerek valami központról e rendszer egyes pontjainak ugyanazon középponthoz viszonyított impulzusainak vektorösszegének nevezzük

lendület pillanata anyagi pontrendszerek
valamilyen tengelyről
áthalad a központon , az impulzusvektor vetületének nevezzük
ezen a tengelyen
.

Merev test impulzusnyomatéka a forgástengelyhez viszonyítva merev test forgó mozgása során.

Számítsuk ki egy merev test forgástengelyéhez viszonyított impulzusimpulzusát!

A merev testnek a forgástengelyhez viszonyított szögnyomatéka a forgó mozgás során egyenlő a test szögsebességének és a forgástengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának szorzatával.

Tétel a rendszer impulzusimpulzusának változásáról.

Tétel. A rendszer impulzusimpulzusának időbeli deriváltja valamely középponthoz viszonyítva egyenlő a rendszerre ható külső erők ugyanazon középponthoz viszonyított nyomatékainak vektorösszegével.

(6.3)

Bizonyítás: A szögimpulzus változásának tétele for
pont így néz ki:

Tegyük össze az egészet egyenletek és kapjuk meg:

vagy
,

Q.E.D.

Tétel. A rendszer impulzusnyomatékának tetszőleges tengelyhez viszonyított időbeli deriváltja megegyezik a rendszerre ugyanazon tengelyre ható külső erők nyomatékainak vektorösszegével.

Ennek bizonyításához elegendő a (6.3) vektoregyenletet erre a tengelyre vetíteni. A tengelyhez
így fog kinézni:

(6.4)

A rendszer szögimpulzusának a tömegközépponthoz viszonyított változásáról szóló tétel. (nincs bizonyíték)

A rendszer tömegközéppontjával együtt előrehaladó tengelyeknél a rendszer szögimpulzusának a tömegközépponthoz viszonyított változására vonatkozó tétel ugyanazt az alakot tartja, mint egy rögzített középponthoz képest.

2. modul. Anyagszilárdság.

1. téma feszítés-kompresszió, csavarás, hajlítás.

Az alkalmazásból a vizsgált test (szerkezeti elemek) deformációi keletkeznek külső erő. Ebben az esetben a test részecskéi közötti távolság megváltozik, ami viszont a köztük lévő kölcsönös vonzási erők megváltozásához vezet. Ebből következően belső erőfeszítések vannak. Ebben az esetben a belső erőket az univerzális szakaszos módszerrel (vagy a vágási módszerrel) határozzuk meg.

Köztudott, hogy vannak külső és belső erők. A külső erők (terhelések) két különböző test kölcsönhatásának mennyiségi mérőszámai. Ide tartoznak a kötések reakciói. A belső erők egyazon test két, a metszet ellentétes oldalain elhelyezkedő, külső erők hatására létrejövő kölcsönhatás kvantitatív mértékei. A belső erők közvetlenül a deformálható testben keletkeznek.

Az 1. ábra egy egyensúlyi erőrendszert alkotó külső terhelés tetszőleges kombinációjával rendelkező rúd számítási sémáját mutatja:

Felülről lefelé: rugalmas test, bal oldali levágás, jobb levágás 1. ábra. Szakasz módszer.

Ebben az esetben a kötések reakcióit a szilárd test statikájának ismert egyensúlyi egyenletei határozzák meg:

ahol x 0, y 0, z 0 a tengelyek alapkoordináta-rendszere.

A gerendának egy tetszőleges A szakasz általi két részre vágása (1a. ábra) mind a két levágási rész egyensúlyi feltételeihez vezet (1.b, c. ábra). Itt ( S') és ( S"} - külső erők hatására fellépő belső erők a bal és jobb oldali levágási részekben.

A szellemileg levágott részek összeállításakor a test egyensúlyi állapotát a következő arány biztosítja:

Mivel a külső erők kezdeti rendszere (1) egyenlő nullával, a következőt kapjuk:

{S ’ } = – {S ” } (3)

Ez a feltétel megfelel a statika negyedik axiómájának, amely a hatás- és reakcióerők egyenlőségéről szól.

A tétel általános módszertanát felhasználva poinsot hozásáról önkényes rendszer erőket egy adott középpontra, és a tömegközéppontot választva referenciapólusnak, a szakaszokat DE " , pont Val vel " , belső erőrendszer a bal oldalra ( S ’ ) a fő vektorra és a belső erőfeszítések fő momentumára redukálódik. Hasonlóképpen történik a jobb oldali levágási résznél, ahol a metszet tömegközéppontjának helyzete DE"; pont határozza meg, ill Val vel"(1b., c. ábra).

Így a nyaláb bal feltételesen levágott részében fellépő belső erők rendszerének fővektora és főmomentuma egyenlő nagyságrenddel és ellentétes irányú a fővektorral és a fellépő belső erőrendszer főmomentumával. a jobb oldali feltételesen levágott részben.

A fővektor számértékeinek és a fő nyomatéknak a gerenda hossztengelye mentén történő eloszlásának grafikonja (epure), és mindenekelőtt előre meghatározza a szerkezetek szilárdságának, merevségének és megbízhatóságának konkrét kérdéseit.

Határozzuk meg a jellemző belső erők összetevőinek kialakulásának mechanizmusát egyszerű nézetek ellenállás: húzás-nyomás, nyírás, csavarás és hajlítás.

A vizsgált szakaszok tömegközéppontjaiban VAL VEL" vagy Val vel„Állítsuk be magunkat ennek megfelelően a bal oldalon (c", x", y, z") vagy jobbra (c", x", y, z) koordinátatengelyek rendszerei (1. b, c ábra), amelyek az alapkoordináta-rendszerrel ellentétben x, y, z"követőknek" fogjuk hívni. A kifejezés a funkcionális célnak köszönhető. Nevezetesen: az A szakasz helyzetének változásának követése (1a. ábra) annak feltételes elmozdulásával a gerenda hossztengelye mentén, például amikor: 0 x' 1 a, fejsze' 2 b stb., hol aés b- a gerenda vizsgált szakaszai határainak lineáris méretei.

Állítsuk be a fővektor vagy és a főnyomaték vetületeinek pozitív irányait a szervorendszer koordinátatengelyeire (1. b, c ábra):

(N ' , Q ' y , Q ' z ) (M ' x , M ' y , M ' z )
(N ” , Q ” y , Q ” z ) (M ” x , M ” y , M ” z )

Ebben az esetben a fővektor vetületeinek pozitív irányai és a belső erők főnyomatéka a szervo koordináta-rendszer tengelyére megfelelnek a statika szabályainak. elméleti mechanika: erőre - a tengely pozitív iránya mentén, nyomatékra - az óramutató járásával ellentétes forgás a tengely végéről nézve. Az alábbiak szerint vannak besorolva:

N x- normál erő, központi feszültség vagy összenyomás jele;

M x - belső nyomaték, csavarás során fordul elő;

K z , Q nál nél- keresztirányú vagy nyíróerők - nyírási alakváltozások jele,

M nál nél , M z- belső hajlítónyomatékok, hajlításnak felelnek meg.

A rúd bal és jobb mentálisan levágott részének összekapcsolása az azonos nevű belső erők összes összetevőjének abszolút értékben és ellentétes irányú egyenlőség jól ismert (3) elvéhez vezet, és az egyensúlyi feltételhez. a sáv meghatározása a következő:

A 3, 4, 5 összefüggések természetes következményeként a kapott feltétel szükséges ahhoz, hogy a belső erők hasonló összetevői párokban nullával egyenértékű erőalrendszereket alkossanak:

1. {N ’ , N ” } ~ 0 > N ’ = – N ”
2. {K ’ y , K ” y } ~ 0 > K ’ y = – K ” y
3. {K ’ z , K ” z } ~ 0 > K ’ z = – K ” z
4. {M ’ x , M ” x } ~ 0 > M ’ x = – M ” x
5. {M ’ y , M ” y } ~ 0 > M ’ y = – M ” y
6. {M ’ z , M ” z } ~ 0 > M ’ z = – M ” z

A statikailag meghatározható feladatokban a belső erők teljes száma (hat) egybeesik egy térbeli erőrendszer egyensúlyi egyenletek számával, és összefügg az egyik feltételesen levágott testrész egy másikhoz viszonyított lehetséges kölcsönös elmozdulásának számával.

A kívánt erőket a megfelelő egyenletek alapján határozzák meg a koordináta-tengelyek szervorendszerének bármely levágási részéhez. Tehát bármely levágott részhez a megfelelő egyensúlyi egyenletek a következőt öltik:

1. ix = N + P 1x + P 2x + … + P kx = 0 > N
2. iy = K y + P 1 év + P 2y + … + P ky = 0 > K y
3. iz = K + P 1z + P 2z + … + P kz = 0 > K z
4. x (P én) = M x + M x (P én) + … + M x (P k) = 0 > M x
5. y (P én) = M y + M y (P én) + … + M y (P k) = 0 > M y
6. z (P én) = M z + M z (P én) + … + M z (P k) = 0 > M z

Itt a koordinátarendszer kijelölésének egyszerűsége miatt c"x"y"z"és s"x"y"t" helyére egyetlen oxuz.