Newton interpolációs képletei. Newton interpolációs képletei Newton-módszer interpolációs példái

Küldje el a jó munkát a tudásbázis egyszerű. Használja az alábbi űrlapot

Azok a hallgatók, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik tanulmányaikban és munkájuk során használják fel a tudásbázist, nagyon hálásak lesznek Önnek.

közzétett http://www.allbest.ru/

Moszkva Állami Egyetem Műszerek és informatika Sergiev Posad Branch

Absztrakt a témában:

Newton interpolációs képletei

Készítette: Brevchik Taisiya Jurjevna

EF-2 csoport 2. éves hallgatója

1. Bemutatkozás

2. Newton első interpolációs képlete

3. Newton második interpolációs képlete

Következtetés

Bibliográfia

Bevezetés

Interpoláció, interpoláció - a számítási matematikában egy módja annak, hogy egy mennyiség köztes értékeit megtaláljuk egy létező diszkrét ismert értékkészletből.

A tudományos és mérnöki számításokkal foglalkozók közül sokan gyakran empirikusan vagy véletlenszerű mintavétellel nyert értékkészletekkel dolgoznak. Általában ezen halmazok alapján olyan függvényt kell alkotni, amelyre más kapott értékek nagy pontossággal eshetnek. Az ilyen feladatot közelítésnek nevezzük. Az interpoláció egy olyan közelítés, amelyben a megszerkesztett függvény görbéje pontosan átmegy a rendelkezésre álló adatpontokon.

Az interpolációhoz közeli probléma is van, ami abból áll, hogy néhányat közelítünk összetett funkció egy másik, egyszerűbb funkció. Ha egy függvény túl bonyolult a produktív számításokhoz, akkor több ponton is megpróbálhatjuk kiszámolni az értékét, és ezekből egyszerűbb függvényt építeni, azaz interpolálni.

Természetesen az egyszerűsített függvény használata nem teszi lehetővé ugyanazt a pontos eredményt, mint amit az eredeti függvény adna. Egyes problémaosztályokban azonban a számítások egyszerűsége és sebessége meghaladhatja az eredményből eredő hibát.

Meg kell említenünk egy teljesen másfajta matematikai interpolációt is, amelyet "operátor interpolációnak" neveznek.

Az operátor-interpolációval foglalkozó klasszikus művek közé tartozik a Riesz-Thorin-tétel és a Marcinkiewicz-tétel, amelyek sok más munka alapját képezik.

Tekintsünk egy nem egybeeső pontok () rendszerét egy bizonyos területről. A függvény értékeit csak ezeken a pontokon ismerjük:

Az interpoláció problémája, hogy egy adott függvényosztályból olyan függvényt találjunk, amely

A pontokat interpolációs csomópontoknak, összességüket pedig interpolációs rácsnak nevezzük.

A párokat adatpontoknak vagy alappontoknak nevezzük.

A "szomszédos" értékek közötti különbség az interpolációs rács lépése. Változó és állandó is lehet.

A függvény egy interpoláló függvény vagy interpoláns.

1. Newton első interpolációs képlete

1. A feladat leírása. Adjuk meg a független változó egyenlő távolságú értékeinek értékeit a függvényhez: , ahol - interpolációs lépés. Legfeljebb fokszámú polinomot kell választani, a pontokban lévő értékeket véve

Feltételek (1) egyenértékűek

Newton interpolációs polinomja úgy néz ki, mint a:

Könnyen belátható, hogy a (2) polinom teljes mértékben kielégíti a feladat követelményeit. Valójában egyrészt a polinom foka nem magasabb, másrészt

Vegye figyelembe, hogy a (2) képlet Taylor-sorozattá alakul a függvényhez:

Mert gyakorlati használat A Newton-féle interpolációs képletet (2) általában valamelyest átalakított formában írják fel. Ehhez egy új változót vezetünk be a képlet szerint; akkor kapjuk:

ahol képviseli lépések száma a pont eléréséhez szükséges, a pontból jön. Ez a végső megjelenés Newton interpolációs képlete.

A (3) képlet előnyös a függvény interpolálására a kezdeti érték közelében , ahol abszolút értékben kicsi.

Ha a függvényértékek korlátlan táblázatát adjuk meg, akkor a (3) interpolációs képletben tetszőleges szám lehet. A gyakorlatban ebben az esetben a számot úgy választják meg, hogy a különbség adott pontossággal állandó legyen. Az argumentum bármely táblaértéke kiindulási értéknek tekinthető.

Ha a függvényértékek táblázata véges, akkor a szám korlátozott, nevezetesen: nem lehet több szám függvényértékek, eggyel csökkentve.

Vegye figyelembe, hogy Newton első interpolációs képletének alkalmazásakor célszerű egy vízszintes különbségtáblázatot használni, mivel kívánt értékeket A függvénykülönbségek a táblázat megfelelő vízszintes sorában találhatók.

2. Példa. Egy lépéssel készítsünk Newton-interpolációs polinomot a táblázat által megadott függvényre

A kapott polinom előrejelzést tesz lehetővé. Megfelelő pontosságot érünk el, ha például egy interpolációs feladatot oldunk meg.. A pontosság csökken, ha például egy extrapolációs feladatot old meg.

2. Newton második interpolációs képlete

Newton első interpolációs képlete gyakorlatilag kényelmetlen a táblázat csomópontjaihoz közeli függvény interpolálásához. Ebben az esetben általában az .

Feladatleírás . Legyen egy függvényérték sorozatunk

az argumentum egyenlő távolságú értékei esetén, ahol az interpolációs lépés. A következő alakú polinomot készítjük:

vagy az általánosított hatványt használva a következőket kapjuk:

Aztán amikor az egyenlőség teljesül, megkapjuk

Helyettesítsük be ezeket az értékeket az (1) képletbe. Aztán végre, Newton második interpolációs képlete úgy néz ki, mint a:

Vezessünk be egy kényelmesebb jelölést a (2) képlethez. Akkor hagyd

Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a (2) képletbe, a következőt kapjuk:

Ez a normál megjelenés Newton második interpolációs képlete. A függvény értékeinek hozzávetőleges kiszámításához a következőket feltételezzük:

Mind az első, mind a második Newton-interpolációs képlet használható egy függvény extrapolálására, azaz a táblázaton kívül eső argumentumértékek függvényértékeinek megkeresésére.

Ha és közel van, akkor célszerű Newton első interpolációs képletét használni, majd. Ha a és közel van, akkor kényelmesebb Newton második interpolációs képletét használni.

Ezért gyakran használják Newton első interpolációs képletét előre interpolációés extrapolálva vissza, és Newton második interpolációs képlete, éppen ellenkezőleg, for interpoláció visszaés extrapoláció előre.

Vegye figyelembe, hogy az extrapolációs művelet általában kevésbé pontos, mint a szó szűk értelmében vett interpolációs művelet.

Példa. Egy lépéssel készítsünk Newton-interpolációs polinomot a táblázat által megadott függvényre

Következtetés

interpoláció newton extrapolációs képlet

A számítási matematikában lényeges szerepet játszik a függvények interpolációja, i. egy másik (általában egyszerűbb) függvény adott függvényének felépítése, amelynek értékei bizonyos számú ponton egybeesnek az adott függvény értékeivel. Ráadásul az interpolációnak gyakorlati és elméleti jelentősége is van. A gyakorlatban gyakran felmerül a probléma a helyreállítással folyamatos funkció táblázatos értékei szerint, amelyeket például valamilyen kísérlet során kaptunk. Számos függvény kiszámításához hatékonynak bizonyul polinomokkal vagy tört racionális függvényekkel közelíteni. Az interpoláció elméletét a numerikus integráló kvadratúra képletek felépítésében és tanulmányozásában alkalmazzák, differenciál- és integrálegyenletek megoldási módszereinek megszerzésére.

Bibliográfia

1. V.V. Ivanov. Számítógépes számítási módszerek. Használati útmutató. "Naukova Dumka" kiadó. Kijev. 1986.

2. N.S. Bakhvalov, N.P. Zsidkov, G.M. Kobelkov. Numerikus módszerek. Kiadó "Alapismeretek laboratóriuma". 2003.

3. I.S. Berezin, N.P. Zsidkov. Számítási módszerek. Szerk. FizMatLit. Moszkva. 1962.

4. K. De Bor. Gyakorlati útmutató a spline-ekhez. Kiadó "Rádió és kommunikáció". Moszkva. 1985.

5. J. Forsyth, M. Malcolm, K. Moler. Matematikai számítások gépi módszerei. "Mir" kiadó. Moszkva. 1980.

Az Allbest.ru oldalon található

...

Hasonló dokumentumok

Az első és a második Newton-interpolációs képlet alkalmazása. Függvényértékek keresése olyan pontokon, amelyek nem táblázatosak. A Newton-képlet használata nem egyenlő távolságra lévő pontokra. Függvény értékének meghatározása Aitken interpolációs sémájával.

laboratóriumi munka, hozzáadva 2013.10.14

Johann Carl Friedrich Gauss minden idők legnagyobb matematikusa. Gauss interpolációs képletek, amelyek közelítő kifejezést adnak az y=f(x) függvényre interpoláció segítségével. A Gauss-képletek alkalmazási területei. A Newton-féle interpolációs képletek fő hátrányai.

teszt, hozzáadva: 2014.12.06

Függvény interpolációja az intervallum közepe közelében fekvő pontban. Gauss interpolációs képletei. Stirling-képlet, mint a Gauss-féle interpolációs képletek számtani átlaga. A köbös spline úgy működik, mint matematikai modell vékony rúd.

bemutató, hozzáadva: 2013.04.18

Folyamatos és pontközelítés. Lagrange és Newton interpolációs polinomjai. Globális interpolációs hiba, másodfokú függés. Legkisebb négyzet alakú módszer. Tapasztalati képletek kiválasztása. Darabonkénti állandó és darabonkénti lineáris interpoláció.

szakdolgozat, hozzáadva 2014.03.14

Akkordok és iterációk módszerei, Newton-szabály. Lagrange, Newton és Hermite interpolációs képletei. Egy függvény pont másodfokú közelítése. Numerikus differenciálás és integráció. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása.

előadások tanfolyama, hozzáadva 2012.02.11

Interpoláció megvalósítása Newton-polinom segítségével. A gyök értékének pontosítása adott intervallumon három iterációval és a számítási hiba megtalálása. Newton, Sampson és Euler módszereinek alkalmazása a feladatok megoldásában. Függvény deriváltjának kiszámítása.

ellenőrzési munka, hozzáadva 2011.02.06

A számítási matematikában a függvények interpolációja alapvető szerepet játszik. Lagrange képlet. Interpoláció az Aitken-séma szerint. Newton-interpolációs képletek egyenlő távolságú csomópontokhoz. Newton-képlet osztott különbségekkel. Spline interpoláció.

ellenőrzési munka, hozzáadva 2011.01.05

A derivált számítása definíciója alapján, véges különbségek felhasználásával és Newton első interpolációs képlete alapján. Lagrange interpolációs polinomok és alkalmazásuk numerikus differenciálás. Runge-Kutta módszer (negyedrendű).

absztrakt, hozzáadva: 2011.06.03

Kіntsі vіznіtsі іrіznih okryadkіv. Falling között a kintsevy kiskereskedők és funkciók. Diszkrét és folyamatos elemzés. A kiskereskedelem felosztásának megértése. Newton interpolációs képlete. Lagrange és Newton képletek összehasonlítása. Interpoláció egyenlő távolságú csomópontokhoz.

teszt, hozzáadva: 2014.02.06

Adott függvény négy pontján áthaladó Lagrange és Newton interpolációs polinomok keresése, hatványábrázolásaik összehasonlítása. A nemlineáris megoldása differenciálegyenlet Euler módszere. Algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Newton első interpolációs képlete gyakorlatilag kényelmetlen a táblázat csomópontjaihoz közeli függvény interpolálásához. Ebben az esetben általában az .

Feladatleírás . Legyen egy függvényérték sorozatunk

az argumentum egyenlő távolságú értékei esetén, ahol az interpolációs lépés. A következő alakú polinomot készítjük:

vagy az általánosított hatványt használva a következőket kapjuk:

Aztán amikor az egyenlőség teljesül, megkapjuk

Helyettesítsük be ezeket az értékeket az (1) képletbe. Aztán végre, Newton második interpolációs képleteúgy néz ki, mint a:

Vezessünk be egy kényelmesebb jelölést a (2) képlethez. Akkor hagyd

Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a (2) képletbe, a következőt kapjuk:

Ez a normál megjelenés Newton második interpolációs képlete. A függvény értékeinek hozzávetőleges kiszámításához a következőket feltételezzük:

Ha és közel van, akkor célszerű Newton első interpolációs képletét használni, majd. Ha a és közel van, akkor kényelmesebb Newton második interpolációs képletét használni.

Vegye figyelembe, hogy az extrapolációs művelet általában kevésbé pontos, mint a szó szűk értelmében vett interpolációs művelet.

Példa. Egy lépéssel készítsünk Newton-interpolációs polinomot a táblázat által megadott függvényre

Döntés. Összeállítunk egy táblázatot a különbségekről (1. táblázat). Mivel a harmadrendű különbségek gyakorlatilag állandóak, a (3) képletben beállítjuk Elfogadva a következőket kapjuk:

Ez a kívánt Newton-interpolációs polinom.

Asztal 1


	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

annotáció

Magyarázó jegyzet lejáratú papírok Az "Egy változó függvényének interpolációja Newton-módszerrel" tartalmazza a bevezetőt, a feladat elemzését a bemeneti és kimeneti adatok leírásával, az irodalmi források áttekintését, a számítási matematika matematikai modelljének és módszereinek leírását, a számítási matematika magyarázatait. algoritmus, programszöveg, utasítások. Az "Informatika" tudományág tanulmányozása során a dolgozat írásához különféle irodalmi forrásokat használtak, amelyeket ebben a dokumentumban sorolunk fel. Ez a kurzus egy olyan programot mutat be, amely egy Newton-módszerrel megadott táblázatfüggvény interpolálására szolgál. A strukturált programozás módszerét alkalmazta a program írásának és hibakeresésének megkönnyítésére, valamint láthatóságának és olvashatóságának növelésére. A munka megírásának célja az volt, hogy gyakorlati ismereteket szerezzenek és megszilárdítsák az algoritmusok különféle módszerekkel történő fejlesztését. A bemutatott program Pascal programozási nyelven van megvalósítva. A magyarázó jegyzet 25 lapot tartalmaz, amelyek két ábrát, a program szövegét, valamint a program és az algoritmus leírását tartalmazzák.

Bevezetés

Munkakör elemzése

A probléma matematikai modellje

Newton képlet függvény programozás

Szakirodalmi áttekintés

Program fejlesztése az algoritmus sémája szerint

Útmutató a program használatához

Program szövege

Kiinduló adatok és a teszteset megoldásának eredménye

Következtetés

A felhasznált források listája

Bevezetés

Modern fejlődés a fizika és a technika szorosan összefügg az elektronikus számítógépek (számítógépek) használatával. Jelenleg a számítógépek számos intézet és tervezőiroda általános felszerelésévé váltak. Ez lehetővé tette, hogy a különféle struktúrák vagy folyamatok legegyszerűbb számításaitól és értékeléseitől a munka egy új szakaszába lépjünk - részletesen matematikai modellezés(számítógépes kísérlet), amely jelentősen csökkenti a teljes körű kísérletek szükségességét, és bizonyos esetekben helyettesítheti azokat.

A fizikai és műszaki problémák tanulmányozása során felmerülő összetett számítási problémák számos elemi feladatra oszthatók, mint például integrálszámítás, differenciálegyenlet megoldása stb. Sok elemi probléma egyszerű és jól tanulmányozott. Ezekre a problémákra már kidolgoztak numerikus megoldási módszereket, amelyek megoldására gyakran szabványos programok is léteznek számítógépen. Vannak meglehetősen összetett elemi feladatok is; Az ilyen problémák megoldására szolgáló módszereket jelenleg intenzíven fejlesztik.

Ebben a tekintetben egy modern szakember a felsőoktatás nem csak magas szint szakterületük profiljának megfelelő képzést, hanem jól ismerni is matematikai módszerek mérnöki problémák megoldása, fókusz a felhasználásra Számítástechnika, gyakorlatilag elsajátítja a számítógépen végzett munka alapelveit.

Munkakör elemzése

Bemeneti adatként a következőket használták:

1. Csomópontok száma.

2. Táblázatos függvényértékek.

Kimeneti adatok, pl. a program eredménye:

1. Táblázatban definiált függvény értékei köztes értékekben.

2. Polinom gráf.

A probléma matematikai modellje

A tanfolyam elvégzése során a következő matematikai modellt választottuk:

Függvények interpolációja és közelítése.

1. A probléma megfogalmazása.

A numerikus elemzés egyik fő problémája a függvényinterpoláció problémája. Gyakran helyre kell állítani

egy szakasz összes értékére, ha annak értékei ismertek ennek a szakasznak néhány véges számú pontjában. Ezeket az értékeket valamilyen természetes kísérlet során végzett megfigyelések (mérések) vagy számítások eredményeként találhatjuk meg. Ezenkívül kiderülhet, hogy a függvényt egy képlet adja meg, és értékeinek kiszámítása ezzel a képlettel nagyon munkaigényes, ezért kívánatos egy egyszerűbb (kevésbé fáradságos kiszámítású) képlet a függvényhez. amely lehetővé tenné a vizsgált függvény hozzávetőleges értékének megfelelő pontosságú meghatározását a szakasz bármely pontján. Ennek eredményeként a következő matematikai probléma merül fel.

Hagyjuk és 'szegmentáljuk

egy rácsot

csomópontjai pedig a függvény értékeit tartalmazzák

, egyenlő .

Szükséges egy interpoláns felépítése - egy függvény

, amely egybeesik a rács csomópontjainál található függvénnyel: .

Az interpoláció fő célja, hogy gyors (gazdaságos) algoritmust kapjunk az értékek kiszámításához

az adattáblázatban nem szereplő értékekre.

2. Interpoláció Newton szerint

Adott egy táblázatfüggvény:

én
0
1
2
..	..	..
n

, (1)

Pontok koordinátákkal

csomópontoknak vagy csomópontoknak nevezzük.

A táblázatfüggvény csomópontjainak száma N=n+1.

Meg kell találni ennek a függvénynek az értékét egy közbenső pontban, pl.

, és . A probléma megoldására interpolációs polinomot használnak.

A Newton-képlet szerinti interpolációs polinom alakja:

ahol n a polinom foka,

A Newton-féle interpolációs képlet lehetővé teszi az interpolációs polinom kifejezését

az egyik csomópont értékén és a csomópontok fölé épített függvény osztott különbségein keresztül.

Először megadjuk a szükséges információkat a felosztott különbségekről.

Engedje be csomókat

a függvényértékek ismertek

. Tételezzük fel, hogy a , pontok között nincsenek egybeeső pontok. Az elsőrendű osztott különbségek a , , relációk.

Figyelembe vesszük a szomszédos csomópontok által alkotott osztott különbségeket, azaz a kifejezéseket

Meglehetősen elterjedt interpolációs módszer a Newton-módszer. Ennek a módszernek az interpolációs polinomja:

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0) (x-x 1) + ... + a n (x-x 0) (x-x 1)...(x-x n-1).

A probléma az, hogy megtaláljuk a P n (x) polinom a i együtthatóit. Az együtthatók az egyenletből származnak:

P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,

lehetővé teszi a rendszer írását:

a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) = y 2;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0) (x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n ;

A véges különbség módszerét használjuk. Ha az x i csomópontokat szabályos h időközönként adjuk meg, azaz.

x i+1 - x i = h,

akkor általános esetben x i = x 0 + i×h, ahol i = 1, 2, ..., n. Az utolsó kifejezés lehetővé teszi, hogy a megoldandó egyenletet formába hozzuk

y 1 \u003d a 0 + a 1 × h;

y 2 = a 0 + a 1 (2 óra) + a 2 (2 óra) óra;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y i = a 0 + a 1 × i × h + a 2 × i × h [(i-1) h] + ... + a i × i! × h i ,

honnan kapjuk az együtthatókat

ahol Dу 0 az első véges különbség.

Folytatva a számításokat, a következőket kapjuk:

ahol D 2 y 0 a második véges különbség, ami a különbségek különbsége. Az a i együttható a következőképpen ábrázolható:

Az a i együtthatók talált értékeit megadva P n (x) értékéhez, megkapjuk a Newton-interpolációs polinomot:

Alakítsuk át a képletet, amelyre bevezetünk egy új változót, ahol q az x pontból az x 0 pontból elmozdulva az x pont eléréséhez szükséges lépések száma. Az átalakítások után a következőket kapjuk:

Az eredményül kapott képlet Newton első interpolációs képleteként vagy Newton előremutató interpolációs képleteként ismert. Előnyös, ha az y = f(x) függvényt az x – x 0 kezdőérték közelében interpoláljuk, ahol q abszolút értékben kicsi.

Ha az interpolációs polinomot így írjuk:

akkor hasonló módon megkaphatja a második Newton-interpolációs képletet, vagy Newton-képletet a "visszafelé" interpolációhoz:

Általában egy táblázat végéhez közeli függvény interpolálására használják.

A téma tanulmányozásakor emlékeznünk kell arra, hogy az interpolációs polinomok egybeesnek adott funkciót f(x) az interpolációs csomópontokon és más pontokon általános esetben eltérő lesz. A jelzett hiba megadja a módszer hibáját. Az interpolációs módszer hibáját a maradék tag határozza meg, amely megegyezik a Lagrange és Newton képletekkel, és amely lehetővé teszi az abszolút hiba következő becslését:

Ha az interpolációt ugyanazzal a lépéssel végezzük, akkor a maradék tag képlete módosul. Különösen az "előre" és a "hátra" interpolálásakor a Newton-képlet szerint, az R(x) kifejezés némileg eltér egymástól.

A kapott képletet elemezve látható, hogy az R(x) hiba egy állandóig két tényező szorzata, amelyek közül az egyik, az f (n+1) (x), ahol x benne van, attól függ, hogy az f(x) és függvény tulajdonságai nem szabályozhatók, de a másik nagysága,

kizárólag az interpolációs csomópontok megválasztása határozza meg.

Ha ezeknek a csomópontoknak az elrendezése sikertelen, a modul felső korlátja |R(x)| elég nagy lehet. Ezért felmerül a probléma az x i interpolációs csomópontok legracionálisabb megválasztásával (adott számú n csomópont esetén), hogy a P n+1 (x) polinom legyen a legkisebb.

4. előadás

1. Véges különbségek
2. Első interpolációs képlet
Newton
3. Második interpolációs képlet
Newton
4. Interpolációs hibák

1. rendű véges különbségek

Ha az y = f(x) interpolált függvényt ben definiáljuk
egyenlő távolságra lévő csomópontok, így xi = x0 + i∙h, ahol h a táblázat lépése, és
i = 0, 1, … n, akkor képletek használhatók az interpolációhoz
Newton véges különbségek felhasználásával.
Az első rend véges különbsége az yi különbség
= yi+1 - yi, ahol
yi+1=f(xi+h) és yi=f(xi). A megadott funkcióhoz
táblázatos (n+1) csomóponton, i = 0, 1, 2, …, n, véges különbségek
Az első sorrend a 0, 1, 2,…, n - 1 pontokon számítható:
y 0 y1 y 0 ,
y1 y 2 y1,
.......................
yn 1 yn yn 1.

A magasabb rendűek véges különbségei

Az elsőrendű véges különbségek felhasználásával lehet
kapjuk meg a 2yi = yi+1 - yi másodrendű véges különbségeket:
2 y 0 y1 y 0;
2 y1 y 2 y1;
..........................
2 é n 2 é n 1 é n 2 .
Az i can számú csomópont k-edik sorrendjének véges különbségei
a különbségekkel (k-1) kell kiszámítani:
k yi k 1yi 1k 1yi
Az értékeken keresztül bármilyen véges különbség kiszámítható
funkciók az interpolációs csomópontokban, például:
2 y 0 y1 y 0 (y 2 y1) (y1 y 0) y 2 2y1 y 0.

Véges különbség táblázat

x
y
Δy
∆2y
∆3év
x0
y0 Δy0 = y1 – y0 Δ2y0 = Δy1 – Δy0 Δ3y0 = Δ2y1 – Δ2y0
x1 = x0 + h
y1 Δy1 = y2 – y1 Δ2y1 = Δy2 – Δy1
x2 = x0 + 2h
y2 Δy2 = y3 – y2
x3 = x0 + 3h
y3

A végső különbségek nagysága szerint lehet
csináld
következtetés
ról ről
fokozat
interpoláció
polinom,
leírva
táblázatos
adott
funkció.
Ha egy
számára
táblázatok
val vel
egyenletesen elosztva
csomók
végső
k-edik rendbeli különbségek állandóak ill
akkor arányosak egy adott hibával
függvény polinommal ábrázolható
k-edik fokozat.

Véges különbségek és a polinom mértéke

Tekintsünk például egy véges különbségtáblázatot
y polinom = x2 – 3x + 2.
0
y
-0.16
2y
0.08
3 év
0
1.2
-0.16
-0.08
0.08
0
1.4
-0.24
0
0.08
1.6
-0.24
0.08
1.8
-0.16
x
y
1.0
A harmadrendű véges különbségek nullák, és minden
a másodrendű végső különbségek azonosak és egyenlők 0,08. Ez
azt mondja, hogy egy táblázatban megadott függvény lehet
2. fokú polinommal kell ábrázolni (várt eredmény,
figyelembe véve a táblázat beszerzésének módját).

Legyen az y = f(x) függvény n+1 egyenlő távolságra lévő xi csomóponton definiálva, i = 0, 1,
2,…n a h lépéssel. Meg kell találni a Pn(x) interpolációs polinomot
n fokozat, amely megfelel a feltételnek:
Pn(xi) = yi, i =0, 1, 2, …,n .
Egy interpolációs polinomot a következő formában fogunk keresni:
Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1),
ahol ai, i = 0, 1, 2,…n olyan ismeretlen együtthatók, amelyek nem függenek a csomópontoktól
interpoláció. Keressük meg ezeket az együtthatókat az interpolációs feltételekből.
Legyen x = x0, akkor Pn(x0) = y0 = a0. Ezért a0 = y0.
Legyen x = x1, akkor Pn(x1) = y1 = a0 + a1(x1 - x0) = y0 + a1(x1 - x0), innen
a1
y1 y0 y0
.
x1 x0
h
Most legyen x = x2, majd:
Pn (x 2) y 2 a0 a1 (x 2 - x 0) a2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) y 0
y 0
2h a2 2h2.
h
Ebből a kifejezésből a2-t kifejezve a következőket kapjuk:
y 2 2 y0 y0 y 2 2(y1 y0) y0 y 2 2y1 y 0 2 y 0
a2
.
2 óra 2
2 óra 2
2 óra 2
2 óra 2

Newton első interpolációs képlete

Folytatva a helyettesítéseket, bármely kifejezésre kaphatunk kifejezést
együttható i számmal:
én y 0
ai
,
én! Szia
i 0,1,...,n.
Az együtthatók talált értékeit behelyettesítve az eredeti kifejezésbe,
megkapjuk Newton első interpolációs képletét:
y0
2 y0
n y 0
Pn (x) y0
(xx0)
(xx0) (xx1) ...
(x x 0)...(x x n 1).
1!h
2!h2
n!hn
A képlet azt mutatja, hogy a táblázat felső sorát használja
véges különbségek (4. dia). A képlet is
egymás után növelve a polinom mértékét a hozzáadással
egymást követő kifejezések. Ez lehetővé teszi az eredmény finomítását anélkül
a már figyelembe vett feltételek újraszámítása.

Newton első interpolációs képlete

Newton első interpolációs képlete a következőképpen írható fel
kompaktabb és egyszerűbb szoftver megvalósítás forma.
Jelölve
q
xx0
,
h
x x 0 qh
és az űrlap egyszerű transzformációinak végrehajtása:
x x 1 x x 0 óra
q1;
h
h
x xn
xx2
q n 1,
q2;.....;
h
h
megkapjuk Newton első interpolációs képletét, kifejezve
az ismeretlen q-hoz képest:
n y 0
2 y0
q(q 1)...(q n 1).
q(q1)...
Pn (x) Pn (x0 hq) y0 y0q
n!
2!

10. Newton első interpolációs képlete

A képletben használt magasabb rendű véges különbségek
Newton, általában egy nagy hiba társul a hibákhoz
kerekítés közeli értékek kivonásakor. Ezért a vonatkozó
a képlet feltételeiben is nagy a hiba. Csökkenteni
hozzájárulásuk az összeghez, vagyis ahhoz végeredmény, végre kell hajtani
feltétel |q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится
a táblázat első két csomópontja között: x0< x < x1. По этой причине
interpolációt Newton első képletével nevezzük
interpoláció a táblázat elején vagy előre interpoláció.

interpoláció Newton első interpolációs képlete úgy
a következő nézet:
P1(x) y0 y0q.
P2 (x) y 0 y 0 q 2 y 0
q(q1)
.
2

11. Példa Newton első interpolációs képletére

mint a 6. dián látható példában. Meg kell találni egy közelítő értéket
a függvény értéke az x = 1,1 pontban másodfokúval
interpoláció Newton első képletével.
x
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2 év 3 év
0.08 0
0.08 0
0.08
Táblázat lépés h = 0,2
q = (x – x0)/h = 0,5
q(q1)
2
0.5(0.5 1)
0 (0.16) 0.5 0.08
0.09
2
P2 (x) y 0 Δy 0 q Δ 2 y 0
Az eredmény egyezik
polinom érték
y = x2 – 3x + 2, ebből
asztal kapott

12. Az első Newton-interpolációs képlet számítási algoritmusának vázlata

13. Newton második interpolációs képlete

Newton második képlete hasonló tulajdonságokkal rendelkezik
az asztal jobb oldalához képest. Építéséhez használja
alakú polinom:
Pn(x) = a0 + a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) + … + an(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1),
ahol ai, i = 0, 1, 2, … n az interpolációs csomópontoktól független együtthatók.
Az ai együtthatók meghatározásához felváltva fogjuk
helyettesítő interpolációs csomópontok. Ha x = xn Pn(xn) = yn, ezért
a0 = yn.
x = xn-1 esetén Pn(xn-1) = yn-1 = a0 + a1(xn-1-xn) = yn + a1(xn-1-xn),
ahol
a1
yn 1 yn yn 1 yn 1
.
xn 1 xn xn xn 1
h

14. Newton második interpolációs képlete

Folytatva a helyettesítéseket, minden együtthatóra kifejezést kapunk
polinom és Newton második interpolációs képlete:
n y 0
yn 1
2 yn 2
Pn(x)yn
(xxn)
(xxn) (xxn 1)
(xxn)...(xx1).
2
n
1!h
2!h
n!h
A képlet azt mutatja, hogy a táblázat alsó átlóját használja
véges különbségek (4. dia). Mint Newton első képletében, az összeadás
egymást követő ciklusok a fokozat egymás utáni növekedéséhez vezetnek
polinom, amely lehetővé teszi az eredmény finomítását anélkül, hogy már újraszámolná
feltételeket figyelembe véve.
A jelölés bevezetésével: q
x xn
,
h
x xn hq
és egyszerű transzformációk elvégzése után megkapjuk a második interpolációt
Newton-képlet a q helyettesítési változóra vonatkozóan kifejezve:
n y 0
2 yn 2
Pn (x) yn yn 1q
q(q1)...
q(q 1)...(q n 1).
2!
n!

15. Newton második interpolációs képlete

Ugyanazok az okok miatt, mint Newton első képlete esetében, azért
a számítási hiba csökkentéséhez szükséges, hogy a feltétel
|q|< 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится между
a táblázat utolsó két csomópontja: xn-1< x < xn. По этой причине
interpolációt Newton második képletével nevezzük
interpoláció a táblázat végén vagy visszafelé interpoláció.
A lineáris (n=1) és a kvadratikus (n=2) speciális eseteire
interpoláció Newton második interpolációs képlete veszi
a következő nézet:
P1 (x) y n y n 1q
2 év n 2
P2 (x) y n y n 1 q
q(q1)
2!

16. Példa Newton második interpolációs képletére

Adja meg az f(x) interpolált függvényt ugyanaz a táblázat,
mint a 11. dián látható példában. Meg kell találni egy közelítő értéket
függvény értéke az x pontban = 1,7 másodfokúval
interpoláció Newton második képletével.
x
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2 év 3 év
0.08 0
0.08 0
0.08
Táblázat lépés h = 0,2
q = (x – xn)/h = -0,5
Az eredmény egyezik
polinom érték
y = x2 - 3x + 2, innen
kapott
asztal
q(q1)
2
0.5(0.5 1)
0.16 0.08 (0.5) 0.08
0.21
2
P2 (x) y n Δy n 1 q Δ 2 y n 2

17. A második Newton-interpolációs képlet szerinti számítási algoritmus vázlata

18. Interpolációs hibák

Interpolációs függvény a közötti pontokban
interpolációs csomópontok helyettesítik az interpolációt
hozzávetőlegesen működik:
f(x) = F(x) + R(x), ahol R(x) a hiba
interpoláció.
A hiba becsléséhez rendelkezni kell
kell néhány információ
interpolált f(x) függvény. Tegyünk úgy, mintha
f(x) az összeset tartalmazó szegmensen van definiálva
az xi csomópontok, és a -hoz tartozó x esetén minden megtalálható
származékok f"(x), f""(x), … f(n+1)(x)-ig (n+1)
rendeléssel együtt.

19. Interpolációs hibák

Azután

20. Interpolációs csomópontok kiválasztása a Lagrange-formulával

Egy polinom rögzített fokához:
x*
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x
A fokozat egymást követő emelésével
polinom
x*
x4
x2
x0
x1
x3
x5
x

21. Az interpolációs hiba gyakorlati becslése a Lagrange-formulával

A gyakorlatban értékelés maximális érték az (n+1)-edik származéka
Az Mn+1 sorrend a Lagrange-képlet használatakor ritkán lehetséges,
és ezért közelítő hibabecslést használjon
R n (x) f(x) Ln (x) Ln 1 (x) Ln (x) ,
ahol n a használt csomópontok száma.
A fenti képletből következik, hogy a hiba becsléséhez
Az n-edik fokú Lagrange-polinommal való interpoláció szükséges
ezenkívül számítsuk ki a polinom (n+1)-edik fok értékét. Ha egy
a megengedett interpolációs hiba adott, az összeset összeadva szükséges
új csomópontok, növeljük a polinom mértékét a moduloig
különbség az |Ln+1(x)-Ln(x)| polinom utolsó két értéke között nem
kisebb lesz a beállított értéknél.

22. A Lagrange-formula szerinti interpolációs algoritmus vázlata adott pontossággal

23. A Newton-féle interpolációs formulák hibáinak becslése

Az interpolációhoz
vegye fel az alábbi űrlapot.
Newton 1. képlete:
R n (x) h
n 1
képletek
Newton
becslések
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
Newton 2. képlete:
R n (x) h
n 1
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
hibákat

24. A Newton-féle interpolációs formulák hibáinak gyakorlati becslése

Newton interpolációs képletek használatakor a mennyiség
f(n+1)(ξ) közelítőleg megbecsülhető a véges különbségek értékéből:
f
(n 1)
n 1
Δy0
() n 1
h
és ebben az esetben a hibabecslési képletek a következőket kapják
Kilátás:
Newton 1. képlete:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!
Newton 2. képlete:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δy0
(n 1)!

25. Interpoláció Newton-képletekkel adott pontossággal

Összehasonlítva ezeket a képleteket képletekkel
Newton, ezt meg lehet becsülni
polinom interpolációs hibák
n-edik fokozathoz további csomópontot kell venni
és számítsuk ki az (n+1)-edik fok tagot.
Ha a megengedett hiba be van állítva
ε interpoláció, akkor egymás után szükséges
új csomópontok hozzáadása, és ennek megfelelően
új kifejezések, a fokozat növelése
interpolációs polinom ig
amíg a következő tag kisebb lesz, mint ε.