3. példa: Az automatikus szűrő segítségével válassza ki az 5433-as számú csoportban tanuló diákokat C betűvel kezdődő vezetéknévvel.

Szekvenálás

1. Másolja át az adatbázist (30. ábra) a 3. lapra.

2. Vezetéknév.

3. Válasszon ki egy elemet a listábólSzövegszűrők → Egyéni szűrő. A megjelenő ablakban Egyéni automatikus szűrő válassza ki a kiválasztási feltételt, amely -vel kezdődik, a szemközti mezőbe írja be a kívánt betűt (ellenőrizze, hogy az elrendezés oroszul van-e). Nyomja meg az OK gombot.

4. Nyissa meg a legördülő listát egy oszlopban csoportszám.

5. Válassza ki a kívánt számot.

Rekordok szűrése adatbázisban speciális szűrővel

Speciális szűrő lehetővé teszi a sorok keresését összetettebb feltételekkel, mint az egyéni automatikus szűrők. A speciális szűrő feltétel intervallumot használ az adatok szűrésére.

Speciális szűrő használatakor a feltételeket megadó oszlopok nevei a forrástábla alá másolódnak. A kiválasztási feltételeket az oszlopnevek alatt kell megadni. A szűrő alkalmazása után csak azok a sorok jeleníthetők meg a képernyőn, amelyek megfelelnek a megadott feltételeknek, és a szűrt adatok átmásolhatók egy másik lapra vagy ugyanazon munkalap másik területére.

4. példa: Válassza ki az összes olyan tanulót az 5433-as csoportból, akinek a GPA értéke nagyobb vagy egyenlő, mint 4,5.

Szekvenálás

1. Másolja át az adatbázist (30. ábra) a 4. lapra.

2. Oszlopnevek másolása Csoportszám és átlagpontszám

az eredeti táblázat alatti területre. Az oszlopnevek alatt adja meg a szükséges kiválasztási feltételeket (32. ábra)

Rizs. 32. Excel ablak speciális szűrővel

2. A Rendezés eszköztár Adatok lapján

és szűrés közben válassza a Speciális lehetőséget. Megjelenik egy párbeszédpanel (33. ábra), amelyben megadják az adattartományokat.

Rizs. 33. Speciális szűrőablak

A beviteli mezőben eredeti tartomány megadja a forrásadatbázist tartalmazó intervallumot. Esetünkben az A1-től I9-ig terjedő cellák tartománya van kiválasztva.

A beviteli mezőben Feltételek köre a munkalapon a cellák egy intervalluma kerül kiválasztásra, amely tartalmazza a szükséges feltételeket (C12:D13).

A beviteli mezőbe helyezze az eredményt a tartományba azt az intervallumot jelzi, amelyben a feltételeknek megfelelő sorok másolásra kerülnek

elméletek. Esetünkben a kritériumterület alatt egy cella látható, például A16. Ez a mező csak akkor érhető el, ha a rádiógomb be van jelölve. Másolja az eredményt egy másik helyre.

Jelölőnégyzet Csak egyedi rekordok csak nem ismétlődő sorok megjelenítésére készült.

Az eredményül kapott táblázat, amely megfelel a szűrési feltételeknek, az 1. ábrán látható. 34.

Rizs. 34. Excel ablak szűrési eredményekkel

1. Hozzon létre saját adatbázist, amelyben a rekordok száma legalább 15, az oszlopok száma pedig legalább 6. Például az adatbázisÜgyfelek listája (35. ábra).

2. Alkalmazzon három automatikus szűrőt az adatbázisra (külön lapokon). A kritériumok számának legalább kettőnek kell lennie.

3. Alkalmazzon három speciális szűrőt az adatbázisrekordokra, amelyek mindegyike legalább két feltételt tartalmaz. Helyezzen minden speciális szűrőt egy lapra az eredeti táblázat alá.

Rizs. 35. Excel ablak Ügyféllista adatbázissal

5. LAB

Függvények numerikus differenciálása és egyszerű elemzése

Munka célja: Végig vizsgálni a függvényt, megtanulni meghatározni a kritikus pontot.

A matematika tanfolyamából ismert, hogy a derivált képlet általában így néz ki:

f "(x) = lim
∆x0

ahol Δx az argumentum növekménye; x egy nullára hajló szám. A derivált segítségével meghatározhatja a függvény kritikus pontjait - minimumokat, maximumokat vagy inflexiókat. Ha egy függvény deriváltjának értéke bármely x értéknél egyenlő nullával, akkor ennél az x értéknél a függvénynek van egy kritikus pontja.

1. példa: Az f x = x 2 + 2x 3 függvény az x 5;5 intervallumon van definiálva. Fedezze fel az f(x) függvény viselkedését.

Szekvenálás

1. Legyen Δx = 0,00001. Az A1 cellába írja be: šDx=Ÿ (36. ábra). Jelölje ki a D betűt, kattintson a jobb gombbal a kiválasztott betűre, válassza a Cellák formázását. A Font lapon válassza ki a Szimbólum betűtípust. A D betűből a görög ѓў betű lesz. A cellában az igazítás jobbra is elvégezhető. A B1 cellába írja be a 0,00001 értéket.

2. Az A2-től F2-ig terjedő cellákban rendezze el a táblázat fejlécét, az ábra szerint. 36.

3. A harmadik sortól kezdődő A oszlop x értéket fog tartalmazni. Az A3-tól A13-ig terjedő cellákba írja be a -5 és 5 közötti értékeket.

4. A B3 cellába írja be az =A3^2+2*A3-3 képletet, és bontsa ki x végső értékre (a 13. sorig).

5. Egy függvény deriváltjának meghatározásához és értékeinek egy adott intervallumon belüli kiszámításához egy közteset kell készíteni

pontos számításokat. A C3 cellába írja be az x argumentum összegének képletét és növekményét Δx. A képlet a következő: =A3+$B$1 . Nyújtsa az értékét az x argumentum végső értékére.

Rizs. 36. Excel ablak a függvény viselkedésének tanulmányozásával

6. A D3 cellába írja be a =C3^2+2*C3-3 képletet, amely az x Δx argumentumból számítja ki az f függvény értékét. Nyújtsa ki a kapott értéket az argumentum végértékére.

7. Az E3 cellába írja be az (1) derivált képletet, feltéve, hogy f x értékei B3-ban, f x + Δx értékei D3-ban vannak.

A képlet így fog kinézni: =(D3-B3)/$B$1 .

8. Határozza meg a függvény viselkedését egy adott intervallumon (növekszik, csökken, vagy van kritikus pont). Ehhez egy képletet kell írni az F3 cellába, amely meghatározza a függvény viselkedését. A képlet három feltételt tartalmaz:

		f" (x)< 0	- a funkció csökken;
		f" (x) > 0	- a funkció növekszik;
		f"(x)=0	– van egy kritikus pont* .

9. Készítsen gráfokat az f x és f "(x) értékekhez. A grafikon (37. ábra) azt mutatja, hogy ha a függvény deriváltjának értéke nulla, akkor a függvénynek ezen a helyen van egy kritikus pontja.

* A túl nagy számítási hiba miatt előfordulhat, hogy f "(x) értéke nem egyenlő 0-val. De ezt a helyzetet még mindig le kell írni.

Rizs. 37. Egy függvény viselkedésének vizsgálatának diagramja

Önálló munkához szükséges feladatok

Az f(x) függvény az x intervallumon van definiálva. Fedezze fel az f(x) függvény viselkedését. Készítsen diagramokat.

			2x2						X [ 4 ;4 ]
								X [ 5 ;5 ]
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ]
	f(x)=x					X [ 2 ;3 ]
				x 2 + 7

6. LAB

Egy függvény grafikonjának érintőjének szerkesztése

Munka célja: Elsajátítani az x 0 pontban lévő függvény grafikonjának érintője egyenletének értékeinek kiszámítását.

Az y = f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenlete a pontban

1. példa: Az y = x 2 + 2x 3 függvényt az x [ 5; 5 ] . Szerkesszük meg a függvény grafikonjának érintőjét az x 0 = 1 pontban.

Sorrend:

1. Számszerűen különböztesse meg ezt a függvényt (lásd Laboratóriumi munka 5. szám). A kiindulási adatok táblázata az ábrán látható. 38.

Rizs. 38. Kiindulási adatok táblázata

2. Határozza meg a helyét a táblázatban x , x 0 , f (x 0 ) és f "(x 0 ) . Nyilvánvalóan az x értékek a következőből lesznek

A oszlop, a harmadik sortól kezdve (38. ábra). Ha x 0 = 1, akkor az A9 cella x 0-ként fog működni. Ennek megfelelően az f függvény értéke az x 0 pontban a B9 cellában van, az f értéke pedig" (x 0 )

- az E9 cellában.

3. Az F oszlopban kiszámítjuk az f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenletét. Az (1) egyenlet kiszámításakor szükséges, hogy az x 0, f (x 0) és f "(x 0) értékek ne változzanak. Ezért írásban

Az A9, B9 és E9 cellák címzéséhez abszolút hivatkozásokat kell használnia ezekre a cellákra. A cellákat a š$Ÿ jellel rögzítjük. A cellák így fognak kinézni: $A$9 , $B$9 és $E$9 .

Rizs. 39. Az f(x) függvény grafikonja és a gráf érintője az x=1 pontban

Önálló munkához szükséges feladatok

Az f(x) függvény az x intervallumon van definiálva. Számítsa ki az érintőegyenletet! Szerkesszünk érintőt egy függvény gráfjához in adott pont.

			2x2						X [4;4], x0 = 1
								X [5;5], x0
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2, x [2;4], x0 = 0
	f(x)=x					X [2;3], x0
				x 2 + 7

1. Vedeneeva, E. A. Excel 2007 függvények és képletek. Felhasználói könyvtár / E. A. Vedeneeva. - Szentpétervár: Péter, 2008. - 384 p.

2. Sviridova, M. Yu. Táblázatok Excel / M. Yu. Sviridova. - M.: Academia, 2008. - 144 p.

3. Serogodsky, V. V. Grafikonok, számítások és adatelemzés

ban ben Excel 2007 / V. V. Szerogodszkij, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. Druzhinin. - M.: Tudomány és technika, 2009. - 336 p.

Ismeretes, hogy egy függvény deriváltja egy adott pontban numerikus közelítő módszerekkel számítható ki a véges különbség képlet segítségével. A véges különbségekkel írt x k pontban egy változó függvény deriváltjának kiszámítására szolgáló kifejezés a következő alakú:

ahol Δх egy nagyon kicsi véges érték.

Megfelelően kis Δx értékekkel elfogadható pontossággal meg lehet kapni a függvény deriváltjának értékét egy ponton. A derivált MS Excelben való kiszámításához a fenti képletet fogjuk használni. Tekintsük a derivált kiszámításának technológiáját a példa segítségével.

1.18. példa Keresse meg az y \u003d 2x 3 + x 2 függvény deriváltját az x \u003d 3 pontban. Vegye figyelembe, hogy a redukált függvény deriváltja az x \u003d 3 pontban, az analitikai módszerrel kiszámítva, 60 - erre az értékre lesz szükségünk a numerikus módszer kiszámításával kapott eredmény ellenőrzéséhez.

A derivált számítási feladat egy táblázatkezelőben kétféleképpen oldható meg.

Megoldás az első módon

Írjuk be az adott funkcionális függés jobb oldalának képletét a munkalap cellájába, például a B2 cellába az ábrán látható módon, utalva arra a cellára, ahol az x érték fog elhelyezkedni, pl. A2,

2*A2^3+A2^2.

Állítsuk be az x=3 pont szomszédságát kellően kicsire, például a bal oldali x k =2,9999999, a jobb oldali x k +1 =3,00000001 értékre, és írjuk be ezeket az értékeket az A2 cellába és A3, ill. A C2 cellába írja be a derivált kiszámításához szükséges képletet = (B3-B2) / (A3-A2).

A számítás eredményeként a C2 cellában megjelenik a derivált hozzávetőleges értéke adott funkciót az x=3 pontban, melynek értéke 60, ami megfelel az analitikusan kapott eredménynek (1.24. ábra).

Megoldás a második módon

Írjuk be az argumentum adott, 3-mal egyenlő értékét az A2 munkalap cellájába, a B2 cellában az argumentum kellően kis növekményét jelezzük - (1E - 9), a C2 cellába írjuk be a képletet a derivált kiszámítása

=(2*(A2+B2)^3+(A2+B2)^2-(2*A2^3+A2^2))/B2.

A gomb megnyomása után a számítás eredményét 60 0000 kapjuk.

Mint látható, az eredmény ugyanaz, mint az első módszernél. Az adott második módszer előnyösebb olyan esetekben, amikor az argumentum adott értékeihez a derivált függvény értéktáblázatát kell összeállítani.

Egy függvény lokális szélsőértékének kiszámítása

Emlékezzünk vissza, hogy az Y=f(x) függvény extrémuma x = x k értékkel rendelkezik, ha a függvény deriváltja ebben a pontban nulla.

Ha az f(x) függvény folytonos az [a, b] szakaszon, és ezen a szakaszon belül van helyi extrémum, megtalálhatja az Excel Solve bővítmény segítségével.

Tekintsük a függvény szélsőértékének megtalálásának sorrendjét a példa segítségével

Példa 1.19 Adott egy y \u003d x 2 + x + 2 elválaszthatatlan függvény, amelynek szélsőértékét (minimális értékét) a [-2; 2].

Döntés

A munkalap A3 cellájába írjon be tetszőleges számot, amely egy adott szegmenshez tartozik, ez a cella tartalmazza az x értéket.

A B3 cellába írjon be egy képletet, amely meghatározza az adott funkcionális függőség. Ebben a képletben az x változó helyett az A3 cellára kell hivatkozni: =A3^2+A3+2.

Hajtsuk végre a Szerviz/Megoldás keresése menüparancsot.

A megnyíló párbeszédpanelen Megoldás keresése, a Célcella beállítása mezőben adja meg a képletet tartalmazó cella címét (B3), állítsa be a kapcsolót Minimális érték, a Cellák módosítása mezőben adja meg az x-A3 változót tartalmazó cella címét.

Adjunk hozzá két kényszert a megfelelő mezőhöz: A3 >= - 2 és A3<=2 (рис. 1.25).

Kattintson a Paraméterek gombra, és a megnyíló megoldáskeresési paraméterek párbeszédablakban állítsa be a relatív számítási hibát és az iterációk limitjét.

Kattintson a Futtatás gombra. Az A3 cellában kiszámításra kerül a függvény x argumentumának értéke, amelynél a minimális értéket veszi fel, a B3 cellában pedig a függvény minimális értékét.

Az A3 cellában végzett számítások eredményeként megkapjuk a független változó értékét, amelynél a függvény a legkisebb értéket veszi fel -0,5, a B3 cellában pedig a minimális értéket, amely 1,75.

Készítsünk grafikont egy adott függvényről, és győződjünk meg arról, hogy az egyenlet megoldása megvan, ugye.

Jegyzet. Egy adott esetben, amikor a vizsgált technológiával lokális szélsőértéket találunk, olyan értéket kaphatunk, amely nem szélsőség, hanem egyszerűen a függvény minimuma vagy maximuma az argumentum adott tartományában.

Ezért további ellenőrzésre van szükség, pl. a függvény deriváltjának kiszámítása a talált pontban.

A fenti technológiával egy függvény adott pontban történő deriváltjának numerikus kiszámításához ellenőrizzük, hogy a talált x = -0,5 pont az y = x 2 + x + 2 függvény szélsőpontja-e. A megoldást az ábra mutatja. .

Mint látható, a talált pont deriváltja egyenlő nullával, ezért a függvény talált értéke a szélső értéke.

1.20. példa Meg kell találni az argumentum értékeit a [-1; 1], amelyre az y = x 2 + x + 2 függvénynek szélsőértéke van.

Döntés

Az adott függvényt 0,2 lépéssel táblázatba foglaljuk.

A derivált kiszámításához a fenti módszerek közül a másodikat használva kiszámítjuk az y \u003d f (x + dx) függvény értékeit.

Számítsuk ki a derivált értékeit az argumentum minden táblázatos értékéhez.

A függvény deriváltjainak pontokban kapott értékeit elemezve azt találjuk, hogy a derivált az argumentum értékeinek intervallumában előjelet vált (-0,6; -0,4), ezért ebben van egy szélsőpont. intervallum. Ezenkívül vegye figyelembe, hogy a derivált előjele mínuszról pluszra változik, ezért a szélsőpont a függvény minimuma.

Eszköz alkalmazása Paraméter kiválasztása vagy Keresés megoldások az Y(x) = 0 egyenlet megoldására

x-re vonatkoztatva kiszámítjuk annak az argumentumnak a pontos értékét, amelynél az eredeti függvény extra értéket vesz fel (-0,5) (1.26. ábra).

A vizsgált függvény deriváltjának kapott értéke ben pont x \u003d -0,5 nulla, ezért ezen a ponton a függvénynek van egy szélsősége.

Numerikus differenciálás

5. sz

A derivált közelítő kiszámításának problémája olyan esetekben merülhet fel, amikor a vizsgált függvény analitikai kifejezése ismeretlen. A függvény megadható táblázatban, vagy csak a függvény grafikonja ismert, amelyet például a folyamatparaméterek érzékelőinek leolvasása eredményeként kapunk.

Előfordulhat, hogy bizonyos problémák számítógépen történő megoldása során a számítások nehézkessége miatt kényelmesebb lehet a származékokat numerikus módszerrel kiszámítani, mint analitikus módszerrel. Ebben az esetben természetesen indokolni kell az alkalmazott numerikus módszert, azaz meg kell győződni arról, hogy a numerikus módszer hibája elfogadható határokon belül van.

A differenciálegyenletek megoldásának egyik hatékony módszere a differenciálmódszer, amikor a kívánt függvény helyett annak értékeinek táblázatát veszik figyelembe bizonyos pontokon, miközben a deriváltokat megközelítőleg különbségi képletekkel helyettesítik.

Legyen ismert a függvény grafikonja y = f(x) a szegmensen [ a,b].Egy függvény deriváltjának grafikonját készítheti, emlékezve annak geometriai jelentésére. Használjuk azt a tényt, hogy a függvény deriváltja a pontban x egyenlő a grafikonjának ezen a ponton lévő érintőjének x tengelyének dőlésszögének érintőjével.

Ha egy x = x 0, találd meg nál nél 0 = f(x 0) a grafikon segítségével, majd rajzoljon egy érintőt AB pontban lévő függvény grafikonjára ( x 0 , y 0) (5.1. ábra). Rajzolj az érintővel párhuzamos egyenest AB,át a ponton (-1, 0), és keresse meg a pontot nál nél 1 metszéspontja az y tengellyel. Aztán az érték nál nél 1 egyenlő az x tengely érintőjének meredekségének érintőjével, azaz a függvény deriváltjával f(x) azon a ponton x 0:

nál nél 1 = = tg α = f ¢ ( x 0), és pont M 0 (x 0 , nál nél 1) a derivált gráfjához tartozik.

A derivált gráfjának felépítéséhez fel kell osztani a [ a,b] több részre, pontokkal x i, majd minden ponthoz grafikusan megszerkesztjük a derivált értékét, és a kapott pontokat minták segítségével sima görbével kössük össze.

ábrán Az 5.2 öt pont felépítését mutatja be M 1, M 2 ,... , M 5 és a derivált grafikonja.

Algoritmus a derivált gráfjának elkészítéséhez:

1. Építünk érintőt a függvény grafikonjára nál nél= f(x)azon a ponton ( x 1 ,f(x 1)); a (-1, 0) pontból párhuzamosan a () pontban lévő érintővel x 1 ,f(x 1)) húzz egy egyenest, amíg az y tengellyel nem metszi; ez a metszéspont adja a derivált értékét f ¢ ( x 1) Pont felépítése M 1 (x 1 , f ¢ ( x 1)).

2. Hasonlóképpen megszerkesztjük a fennmaradó pontokat M 2 ,M 3 , M 4 és M 5 .

3. Csatlakoztassa a pontokat M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ,M 5 sima görbe.

M 4

A kapott görbe a derivált grafikonja.

A derivált meghatározására szolgáló grafikus módszer pontossága alacsony. Ennek a módszernek a leírását csak oktatási céllal adjuk meg.

Megjegyzés. Ha a derivált gráfjának felépítésére szolgáló algoritmusban a (-1, 0) pont helyett a (-) pontot vesszük -l,0), hol l> 0, akkor a grafikon egy másik léptékben lesz ábrázolva az y tengely mentén.

5 . 2 .Különbség képletek

a) Különbség képletek közönséges származékokhoz

A derivált közelítő számításának különbségi képleteit maga a derivált definíciója javasolja. Legyen a függvény értékei a pontokban x iáltal jelölve y i:

y i= f(x i),x i = a+ ih,i = 0, 1, ... , n; h=

Tekintsük a pontok egyenletes eloszlását a [ a, b]. A derivált pontok hozzávetőleges kiszámításához x i a következőket használhatja különbségi képletek , vagy különbségi származékok .

Mivel az (5.1) reláció határa at h® 0 egyenlő a pont jobboldali deriváltjával x i, akkor ezt a relációt néha nevezik jobb különbségi derivált azon a ponton x i.Hasonló okból az (5.2) relációt hívjuk bal különbségi derivált azon a ponton x i.Az (5.3) relációt hívjuk központi különbségi derivált azon a ponton x i.

Becsüljük meg az (5.1)–(5.3) különbségi képletek hibáját, feltételezve, hogy a függvény f(x) Taylor sorozattá bővül a pont közelében x i:

f(x)= f(x i)+ . (5.4)

Beállítás (5.4) x= x i+ h vagy x = x i- h, kapunk

Ha az (5.5) és (5.6) kiterjesztést közvetlenül behelyettesítjük az (5.10) képletbe, megkaphatjuk a függvény második deriváltja és a függőséget különbségi képlet a másodrendű deriválthoz .

Hogyan segíthet az Excel egy függvény deriváltjának kiszámításában? Ha a függvényt egyenlet adja meg, akkor az analitikus differenciálás és a képlet megszerzése után az Excel segít gyorsan kiszámítani a derivált értékeit a felhasználót érdeklő argumentumértékek esetén.

Ha a függvényt gyakorlati mérésekkel kapjuk meg és táblázatos értékekben adjuk meg, akkor az Excel ebben az esetben jelentősebb segítséget tud nyújtani a numerikus differenciálás, majd az eredmények utólagos feldolgozása, elemzése során.

A gyakorlatban a mechanikában (egy objektum sebességének és gyorsulásának meghatározásakor a rendelkezésre álló út és idő méréseiből) és a hőtechnikában (a hőátadás kiszámításakor) is felmerülhet a numerikus differenciálás módszerével történő derivált kiszámításának problémája. idő). Erre például kutak fúrásakor is szükség lehet a fúró által áthaladó talajréteg sűrűségének elemzéséhez, számos ballisztikai probléma megoldásakor stb.

Hasonló helyzet áll fenn a komplexen terhelt gerendák kiszámításának „fordított” problémájában, amikor meg kívánjuk találni a ható terhelések értékét az elhajlásokból.

A cikk második részében, egy „élő” példával, megvizsgáljuk a derivált kiszámítását a numerikus differenciálás hozzávetőleges képletével, véges különbségek kifejezéseivel, és megértjük a kérdést - lehetséges deriváltak véges különbségekkel való közelítését használva a szelvényekben ható terhelések meghatározása a gerenda kihajlásaiból?

Minimum elmélet.

A derivált határozza meg a folyamatot időben vagy térben leíró függvény változási sebességét.

A függvénypontban bekövetkezett változás és a változó változásának arányának határát, mivel a változó változása nullára hajlik, a folytonos függvény deriváltjának nevezzük.

y ' (x) \u003d lim (Δy / Δx) nál nél ∆x→0

Egy függvény deriváltjának geometriai jelentése egy pontban a meredekség érintője az adott pontban lévő függvény grafikonjának érintőjének x tengelyéhez.

tg (α)=Δy/Δx

Ha a függvény diszkrét (táblázatos), akkor véges különbségek segítségével meghatározzuk deriváltjának közelítő értékét egy pontban.

y' (x ) i ≈(Δy /Δx )én=(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )

A véges különbségeket azért nevezzük, mert meghatározott, mérhető, véges értékük van, ellentétben a nullára vagy végtelenre hajló mennyiségekkel.

Az alábbi táblázat számos olyan képletet mutat be, amelyek hasznosak lesznek a táblázatfüggvények numerikus megkülönböztetésében.

A központi különbségi képletek általában pontosabb eredményeket adnak, de gyakran nem alkalmazhatók az értéktartományok szélén. Ezekben az esetekben hasznosak a bal és jobb oldali véges különbségek közelítései.

A másodrendű derivált számítása a nyalábszakaszokban a nyomatékszámítás példájával az ismert lehajlásokból.

Adott:

A két párosított acél (St3) 30M I-gerendából készült, 8 méter hosszú, szélein csuklós támasztékú gerendán 1 méteres lépéssel 7 menet van megtámasztva. A gerenda középső részéhez egy platform felszereléssel van rögzítve. Feltehetően a bevonatból a tartókon keresztül a gerendára ható erő minden ponton azonos, és egyenlő F1. A felfüggesztett platformnak súlya van 2*F2és két ponton rögzítve van a gerendához.

Feltételezzük, hogy a gerenda a terhelések alkalmazása előtt abszolút egyenes volt, terhelés után pedig a rugalmas alakváltozások zónájában van.

Az alábbi ábra a probléma számítási sémáját mutatja és általános forma diagram.

A következő képernyőkép az eredeti adatokat mutatja.

Becsült kezdeti adatok:

3. Az I-beam 30M futósúlya:

γ =50,2 kg/m

A gerenda szakasz két I-gerendából áll:

n=2

A gerenda fajsúlya:

q = γ * n * g = 50,2 * 2 * 9,81 / 1000 \u003d 0,985 N / mm

5. A 30M I-gerenda szakasz tehetetlenségi nyomatéka:

I x1 =95 000 000 mm 4

A gerenda összetett szakaszának tehetetlenségi nyomatéka:

I x \u003d I x 1 * n = 95 000 000 * 2 \u003d 190 000 000 mm 4

10. Mivel a gerenda a közepe körül szimmetrikusan van terhelve, mindkét támasz reakciója megegyezik és egyenlő a teljes terhelés felével:

R \u003d (q * z max + 8 * F 1 + 2 * F 2) / 2 \u003d (0,985 * 8000 + 8 * 9000 + 2 * 50 000) / 2 \u003d 85 440 N

A számítás a gerenda önsúlyát veszi figyelembe!

Feladat:

Keresse meg a hajlítási nyomaték értékeket Mxi gerenda metszetekben analitikusan az anyagok ellenállási képleteivel és a számított eltérítési vonal numerikus differenciálási módszerével. Hasonlítsa össze és elemezze a kapott eredményeket.

Döntés:

Első lépésként kiszámítjuk a nyíróerőket Excelben. Q y, hajlító pillanatok M x, forgási szögek U x gerenda és eltérítési tengelyek V x az anyagok klasszikus szilárdsági képlete szerint minden szakaszon lépcsővel h. (Bár a következőkben elvileg nem lesz szükségünk az erők és szögek értékeire.)

A számítási eredmények az I5-L54 cellákban találhatók. Az alábbi képernyőképen a táblázat fele látható, mivel a második részben szereplő értékek tükröződnek, vagy hasonlóak a megjelenített értékekhez.

A számításokhoz használt képletek megtekinthetők.

Tehát ismerjük a nyomatékok és az elhajlások pontos értékeit.

Az elméletből tudjuk, hogy:

A forgásszög az elhajlás első deriváltja U=V'.

A pillanat az elhajlás második deriváltja M=V''.

Az erő az elhajlás harmadik deriváltja Q=V'''.

Tegyük fel, hogy a pontos elhajlások oszlopát nem analitikus számítással, hanem valós gerendán végzett méréssel kapjuk, és más adatunk már nincs. Kiszámítjuk az eltérítések pontos értékeinek második deriváltját a (6) képlet segítségével a cikk előző szakaszának táblázatából, és a numerikus differenciálás módszerével megtaláljuk a nyomatékok értékeit.

M xi \u003d V y ’’ ≈ ((V i +1 -2 * V i + V i -1 ) / h 2) * E * I x

A számítások eredményét az M5-M54 cellákban látjuk.

A szilárdsági anyag analitikai képleteivel kiszámított nyomatékok pontos értékei, figyelembe véve a gerenda súlyát, kissé eltérnek a származékok kiszámításához használt közelítő képletektől. A pillanatok nagyon pontosan vannak meghatározva, ítélve relatív hibák százalékban számolva az N5-N54 cellákban.

ε \u003d (M x -V y ’’) / M x * 100%

A feladat megoldva. A második derivált számítását közelítő képlettel végeztük el centrális véges különbségek felhasználásával, és kiváló eredményt kaptunk.

Tudva pontos az elhajlások értékei numerikus differenciálással nagy pontossággal meghatározhatók a szelvényekben ható nyomatékokban és meghatározzák a gerenda terhelési mértékét!

Azonban...

Sajnos a gyakorlatban nem szabad ilyet gondolni könnyű megkapni komplexen terhelt gerendák lehajlásának szükséges nagy pontosságú mérései!

Az a tény, hogy az elhajlásméréseket ~1 µm pontossággal kell elvégezni, és igyekezni kell minimalizálni a mérési lépést h, "nullára irányítva", bár ez nem biztos, hogy segít elkerülni a hibákat.

Gyakran a mérési lépés csökkenése az elhajlásmérés jelentős hibáival abszurd eredményekhez vezethet. Nagyon óvatosnak kell lenni a numerikus megkülönböztetésnél, hogy elkerüljük a végzetes hibákat.

Ma már vannak olyan eszközök - lézeres interferométerek, amelyek nagy sebességet, stabilitást és mérési pontosságot biztosítanak akár 1 mikronig, programozottan kiszűrik a zajt, és még sok más programozható, de ára több mint 300 000 dollár ...

Nézzük meg, mi történik, ha egyszerűen két tizedesjegyre kerekítjük a példánkból származó pontos eltérítési értékeket - vagyis századmilliméterre, és a szakaszokban újraszámítjuk a momentumokat ugyanazzal a képlettel a derivált kiszámításához.

Ha korábban a maximális hiba nem haladta meg a 0,7%-ot, most (a én=4) meghaladja a 23%-ot, bár a legveszélyesebb szakaszon továbbra is elfogadható ( ε 21=1,813%).

A véges különbségeket használó deriváltak kiszámításának figyelembe vett numerikus módszere mellett lehetséges (és gyakran szükséges) egy másik módszer alkalmazása - hatványpolinommal végzett mérések és a deriváltok analitikus keresése, majd a kapott eredmények különböző módon történő összehasonlítása. De meg kell érteni, hogy a közelítő hatványpolinom differenciálása végső soron egy közelítő módszer is, amely alapvetően a közelítés pontosságának mértékétől függ.

A kezdeti adatokat - a mérési eredményeket - a legtöbb esetben a számításokban való felhasználás előtt fel kell dolgozni, eltávolítva a logikai sorozatból kimaradt értékeket.

A derivált numerikus módszerekkel történő kiszámítását mindig nagyon körültekintően kell elvégezni!

Kedves olvasók, a cikk alatti speciális blokkban helyezzék el véleményeiket és megjegyzéseiket a cikkről.

Ha tájékoztatást szeretne kapni a blogon megjelenő új cikkekről, iratkozzon fel a hirdetményekre az oldal tetején vagy közvetlenül a cikk után található ablakban.

kérdez TISZTELETT a szerző munkája töltsön le egy fájlt egy példával ELŐFIZETÉS UTÁN cikkhirdetésekre.

Sok mérnöki probléma gyakran megköveteli a derivatívák kiszámítását. Ha van egy képlet, ami leírja a folyamatot, akkor nincs nehézség: vesszük a képletet és kiszámoljuk a deriváltot, ahogy az iskolában tanítottuk, különböző pontokon megkeressük a derivált értékeit, és ennyi. A nehézség talán csak ebben rejlik, hogy ne felejtsük el, hogyan kell kiszámítani a származékokat. De mi van akkor, ha csak néhány száz vagy ezer sornyi adatunk van, és nincs képlet? A gyakorlatban legtöbbször pontosan ez történik. Két módot ajánlok.

Az első az, hogy közelítjük a pontkészletünket standard funkció Excel, azaz kiválasztjuk azt a függvényt, amelyik a legjobban passzol a pontjainkhoz (Excelben ez lineáris függvény, logaritmikus, exponenciális, polinom és hatvány). A második út a numerikus differenciálás, amelyhez csak képletek megadásának képességére lesz szükségünk.

Emlékezzünk vissza, mi a származék általában:

Az f (x) függvény deriváltja az x pontban a függvény x pontban lévő Δf növekménye és az argumentum Δx növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik:

Használjuk tehát ezt a tudást: egyszerűen az argumentumnövekmény nagyon kis értékeit fogjuk fel a derivált kiszámításához, pl. Δx.

Annak érdekében, hogy megtaláljuk a derivált hozzávetőleges értékét azokban a pontokban, amelyekre szükségünk van (és pontjaink az ε deformáció mértékének különböző értékei), a következőket teheti. Nézzük meg újra a derivált definícióját, és nézzük meg, hogy a Δε argumentum kis lépéseivel (vagyis a deformáció mértékének kis növekményeivel, amelyeket a tesztelés során rögzítünk) helyettesíthetjük a valós derivált értékét a pontban. x 0 (f'(x 0)=dy/dx (x 0)) a Δy / Δx \u003d (f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx arányhoz.

Vagyis ez történik:

f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx (1)

Ennek a deriváltnak minden pontban kiszámításához két szomszédos pontot használunk: az elsőt ε 0 koordinátával a vízszintes tengely mentén, a másodikat pedig x 0 + Δx koordinátával, azaz. az egyik - a származék, amelyben kiszámítjuk, és az, amelyik a helyesebb. Az így kiszámított derivált ún különbségi derivált jobbra (előre) lépésselΔ x.

Megtehetjük az ellenkezőjét is, ha a másik két szomszédos pontot vesszük: x 0 - Δx és x 0, azaz a számunkra érdekeset és a balra esőt. Megkapjuk a számítási képletet különbségi derivált balra (hátra) lépéssel -Δ x.

f'(x 0) ≈(f (x 0) - f (x 0 - Δx)) / Δx (2)

Az előző képletek „bal” és „jobb” voltak, és van egy másik képlet, amely lehetővé teszi a számítást központi különbségi derivált 2 Δx lépéssel, és amely leggyakrabban a numerikus megkülönböztetésre használják:

f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0 - Δx)) / 2Δx (3)

A képlet ellenőrzéséhez vegyünk egy egyszerű példát az y=x 3 ismert függvénnyel. Excelben készítünk egy táblázatot két oszlopból: x és y, majd a rendelkezésre álló pontok felhasználásával grafikont készítünk.

Az y=x 3 függvény deriváltja y=3x 2, melynek grafikonja, i.e. parabolát, képleteink segítségével kell megkapnunk.

Próbáljuk meg kiszámítani a központi különbségi derivált értékeit az x pontokban. Ezért. A táblázatunk második sorának cellájába töltjük ki a (3) képletünket, azaz. a következő képlet excelben:

Most egy grafikont készítünk az x már meglévő értékeinek és a központi különbség deriváltjának kapott értékeinek felhasználásával:

És itt van a mi kis piros parabolánk! Tehát a képlet működik!

Nos, most áttérhetünk egy konkrét mérnöki problémára, amelyről a cikk elején volt szó - a dσ/dε változásának megállapítására növekvő igénybevétel mellett. A "feszültség-nyúlás" görbe σ=f (ε) első deriváltját a külföldi szakirodalom "edzési sebességnek" (strain hardening rate), a miénkben pedig "keményedési tényezőnek" nevezik. A tesztelés eredményeként tehát van egy adattömbünk, amely két oszlopból áll: az egyik ε alakváltozási értékekkel, a másik pedig σ feszültségértékekkel MPa-ban. Vegyük az 1035 acél vagy a 40G acél hideg alakváltozását (lásd az acélok analógjai táblázatát) 20°C-on.

C	Mn	P	S	Si	N
0.36	0.69	0.025	0.032	0.27	0.004

Íme a görbénk a „valós feszültség – valódi feszültség” σ-ε koordinátáiban:

Ugyanúgy járunk el, mint az előző példában, és a következő görbét kapjuk:

Ez a kikeményedés sebességének változása az alakváltozás során. Hogy mi legyen vele, az egy külön kérdés.