Kétféle paraboloid létezik: elliptikus és hiperbolikus.
Elliptikus paraboloid felületet nevezünk, amelyet valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben az egyenlet határoz meg
Az elliptikus paraboloid végtelen domború tál alakú. Két egymásra merőleges szimmetriasíkja van. Azt a pontot, amelyhez az origó igazodik, az elliptikus paraboloid csúcsának nevezzük; a p és q számokat paramétereinek nevezzük.
A hiperbolikus paraboloid az egyenlet által meghatározott felület
Hiperbolikus paraboloid nyereg alakja van. Két egymásra merőleges szimmetriasíkja van. Azt a pontot, amelyhez az origó igazodik, a hiperbolikus paraboloid csúcsának nevezzük; számok Rés q paramétereinek nevezzük.
8.4. gyakorlat. Tekintsük a forma hiperbolikus paraboloidjának felépítését
Legyen szükség a paraboloid egy olyan részének megszerkesztésére, amely a következő tartományokban található: xО[–3; 3], nál nélО[–2; 2] D=0,5 lépéssel mindkét változó esetében.
Teljesítmény. Először meg kell oldania az egyenletet a változóhoz képest z. A példában
Vezessük be a változó értékeit x oszlopba DE. Ehhez a cellában A1írjon be egy karaktert X. A cellába A2 az argumentum első értéke kerül megadásra - a tartomány bal határa (–3). A cellába A3- az argumentum második értéke - a tartomány bal határa plusz az építési lépés (–2,5). Ezután egy cellablokk kiválasztásával A2:AZ, az automatikus kiegészítéssel megkapjuk az argumentum összes értékét (a blokk jobb alsó sarkán túlnyúlunk a cellába A14).
Változó értékek nál nél sorba állítani 1 . Ehhez a cellában AZ 1-BEN a változó első értéke kerül megadásra - a tartomány bal határa (–2). A cellába C1- a változó második értéke - a tartomány bal határa plusz a szerkesztési lépés (- 1,5). Ezután egy cellablokk kiválasztásával B1:C1, az automatikus kiegészítéssel megkapjuk az argumentum összes értékét (a blokk jobb alsó sarkán túlnyúlunk a cellába J1).
Ezután írja be a változó értékeit z. Ehhez a táblázat kurzorát egy cellába kell helyezni IN 2és írja be a - = képletet $A2^2/18 -B$1^2/8, majd nyomja meg a gombot Belép. Egy cellában IN 2 Megjelenik 0. Most ki kell másolnia a függvényt a cellából IN 2. Ehhez az automatikus kiegészítéssel (jobbra húzással) másolja be először ezt a képletet a tartományba B2:J2, amely után (lehúzással) - a tartományba Q2:J14.
Ennek eredményeként a tartományban Q2:J14 megjelenik a hiperbolikus paraboloid ponttáblázata.
Diagram felépítése az eszköztáron Alapértelmezett gombot kell megnyomni Diagram varázsló. A megjelenő párbeszédpanelen Chart Wizard (4/1. lépés): Diagram típusa adja meg a diagram típusát - Felület, és nézd meg - Huzal (átlátszó) felület(jobb felső diagram a jobb oldali ablakban). Ezután megnyomjuk a gombot További a párbeszédpanelen.
A megjelenő párbeszédpanelen Diagram varázsló (4/2. lépés): Adatforrás diagramok esetén ki kell választania a lapot Hatótávolság adatok és a terepen Hatótávolság adja meg az adatintervallumot az egérrel Q2:J14.
Ezután meg kell adnia a sorokban vagy oszlopokban az adatsorokat. Ez határozza meg a tengelyek tájolását xés y. A példában a kapcsoló Sorok be az oszlopok helyzetére állított egérmutató segítségével.
Válassza ki a Sor fület és a mezőt X-tengely címkék adja meg az aláírások körét. Ehhez aktiválja ezt a mezőt az egérmutatóval kattintva, és adja meg a tengelycímkék tartományát X -A2:A14.
Adja meg a tengelycímkék értékeit y. Ehhez a munkaterületen Sor válassza ki az első bejegyzést 1. sorés a munkamező aktiválásával Név egérmutatót, írja be a változó első értékét y: -2. Aztán a mezőn Sor válassza ki a második bejegyzést 2. sorés a munkaterületen Névírja be a változó második értékét y: -1,5.Így ismételjük az utolsó bejegyzésig - 9. sor.
A szükséges bejegyzések megjelenése után kattintson a gombra. További.
A harmadik ablakban meg kell adni a diagram címét és a tengelyek nevét. Ehhez válassza ki a lapot Címek az egérmutatóval rákattintva. Aztán a munkaterületen Diagram neveírja be a nevet a billentyűzetről: Hiperbolikus paraboloid. Ezután ugyanígy lépjen be a munkamezőkbe X tengely (kategóriák),Y-tengely (adatsor)és Z-tengely (értékek) releváns címek: x, yés z.
A hiperbolikus paraboloid is a másodrendű felületekhez tartozik. Ez a felület nem érhető el olyan algoritmus alkalmazásával, amely valamilyen egyenes fix tengely körüli elforgatását használja.
Egy speciális modellt használnak a hiperbolikus paraboloid megszerkesztésére. Ez a modell két parabolát tartalmaz, amelyek két egymásra merőleges síkban helyezkednek el.
Legyen az I parabola egy síkban és rögzítve legyen. Parabola II vállalja összetett mozgás:
▫ kezdeti helyzete egybeesik a síkkal 
, és a parabola csúcsa egybeesik az origóval: 
=(0,0,0);
▫ akkor ez a parabola megmozdul párhuzamos átvitel, és a teteje 
az I. parabolával egybeeső pályát készít;
▫ a II. parabola két különböző kezdeti helyzetét veszik figyelembe: az egyik - a parabola ágai felfelé, a második - az ágak lefelé.
Írjuk fel az egyenleteket: az első I parabolához: 
- változatlan; a második parabola II: 
– kezdeti helyzet, mozgásegyenlet: 
Könnyű belátni, hogy a lényeg 
koordinátái vannak: 
. Mivel szükséges egy pont mozgástörvényének megjelenítése 
: ez a pont az I. parabolához tartozik, akkor a következő összefüggéseknek mindig teljesülniük kell: 
=
és 
.
A modell geometriai jellemzőiből jól látható, hogy a mozgó parabola söpör valamilyen felület. Ebben az esetben a II. parabola által leírt felület egyenlete a következő:
vagy → 
. (1)
A kapott felület alakja a paraméterek előjeleinek eloszlásától függ 
. Két eset lehetséges:
egy). A mennyiségek jelei pés q egybeesik: az I. és a II. parabola a sík ugyanazon oldalán található OXY. Fogadjuk el: p = a 2 és q = b 2 . Ekkor megkapjuk az ismert felület egyenletét:
→
elliptikus paraboloid
. (2)
2). A mennyiségek jelei pés q különbözik: az I. és II. parabola a sík ellentétes oldalán található OXY. Hadd p = a 2 és q = - b 2 . Most megkapjuk a felületi egyenletet:
→hiperbolikus paraboloid
. (3)
Nem nehéz elképzelni a (3) egyenlettel meghatározott felület geometriai alakját, ha felidézzük a mozgásban részt vevő két parabola kölcsönhatásának kinematikai modelljét.
Az ábrán az I. parabola feltételesen piros színnel látható, csak a felület origó környéke látható. Tekintettel arra, hogy a felület alakja kifejezetten a lovassági nyeregre utal, ezt a környéket gyakran nevezik - nyereg .
A fizikában a folyamatok stabilitásának tanulmányozásakor az egyensúly típusait vezetik be: stabil - lyuk, lefelé konvex, instabil - felfelé domború felület és közbenső - nyereg. A harmadik típusú egyensúlyt instabil egyensúlynak is nevezik, és csak a piros vonalon (I. parabola) lehetséges az egyensúly.
§ 4. Hengeres felületek.
A forgásfelületek figyelembevételekor a legegyszerűbb hengeres felületet határoztuk meg - egy forgáshengert, azaz egy körhengert.
Az elemi geometriában a hengert analógiával határozzuk meg közös meghatározás prizmák. Ez elég összetett:
▫ legyen egy lapos sokszögünk a térben 
-ként jelölve 
, és a sokszög egybeesik vele 
-ként jelölve 
;
▫ sokszögre vonatkozik 
mozgás párhuzamos fordítás: pontok 
egy adott iránnyal párhuzamos pályák mentén mozog 
;
▫ ha abbahagyja a sokszög mozgatását 
, majd a síkja 
párhuzamos a síkkal 
;
▫ a prizma felületét úgy nevezzük: sokszögek halmaza 
,
– okokból
prizmák és paralelogrammák 
,
,...
– oldalfelület
prizmák.
NÁL NÉL 
a prizma elemi definícióját fogjuk használni a prizma és felülete általánosabb definíciójának megalkotásához, nevezetesen megkülönböztetjük:
▫ a korlátlan prizma élekkel határolt poliéderes test 
,
,... és ezen élek közötti síkok;
▫ a korlátozott prizma élekkel határolt poliéderes test 
,
,... és paralelogrammák 
,
,...; ennek a prizmának az oldalfelülete paralelogrammák halmaza 
,
,...; prizma alapjai - sokszögek halmaza 
,
.
Legyen egy korlátlan prizmája: 
,
,... Metszük ezt a prizmát egy tetszőleges síkkal 
. Metszük ugyanazt a prizmát egy másik síkkal 
. A szakaszban egy sokszöget kapunk 
. Általában feltételezzük, hogy a repülőgép 
nem párhuzamos a síkkal 
. Ez azt jelenti, hogy a prizma nem a sokszög párhuzamos fordításával készült 
.
A prizma javasolt felépítése nem csak egyenes és ferde prizmákat tartalmaz, hanem csonkolt prizmákat is.
Az analitikai geometriában a hengeres felületeket olyan általánosan fogjuk megérteni, hogy egy korlátlan henger speciális esetként korlátlan prizmát tartalmaz: csak azt kell feltételezni, hogy egy sokszöget tetszőleges, nem feltétlenül zárt vonallal lehet helyettesíteni. útmutató
henger. Irány 
hívott alkotó
henger.
Az elmondottakból az következik, hogy egy hengeres felület meghatározásához egy vezérvonalat és a generatrix irányát kell beállítani.
A hengeres felületeket a 2. rendű síkgörbék alapján kapjuk, szolgálva útmutatók számára generáló .
A hengeres felületek tanulmányozásának kezdeti szakaszában egyszerűsítő feltételezéseket teszünk:
▫ a hengeres felület megvezetése mindig az egyik koordinátasíkban legyen;
▫ generatrix iránya 
egybeesik az egyik koordinátatengellyel, azaz merőleges arra a síkra, amelyben a vezetőt meghatároztuk.
Az elfogadott korlátozások nem vezetnek az általánosság elvesztéséhez, hiszen a síkszelvények megválasztása miatt ez továbbra is lehetséges 
és 
tetszőleges geometriai formák építése: egyenes, ferde, csonka hengerek.
Elliptikus henger .
Vegyük az ellipszist a henger vezetőjének 
:
, amely a koordinátasíkban található 
: elliptikus henger.
hiperbolikus henger .
:
, és a generatrix iránya határozza meg a tengelyt 
. Ebben az esetben a hengeregyenlet maga az egyenes 
: hiperbolikus henger.
parabola henger .
Vegyük a hiperbolát a henger vezetőjének 
:
koordinátasíkban található 
, és a generatrix iránya határozza meg a tengelyt 
. Ebben az esetben a hengeregyenlet maga az egyenes 
: parabola henger.
Megjegyzés: figyelembe véve a hengeres felületek egyenleteinek megalkotásának általános szabályait, valamint az elliptikus, hiperbolikus és parabolikus hengerek bemutatott konkrét példáit, megjegyezzük: henger felépítése bármely más generátorhoz, az elfogadott egyszerűsítési feltételek mellett, nem szabad okoz nehézséget!
Fontolja meg most többet általános szerződési feltételek hengeres felületek egyenleteinek szerkesztése:
▫ a hengeres felület megvezetése tetszőleges térsíkban helyezkedik el 
;
▫ generatrix iránya 
az elfogadott koordinátarendszerben önkényesen.
Az elfogadott feltételeket az ábra mutatja.
▫ hengeres felületvezető 
tetszőleges síkban található 
tér 
;
▫ koordinátarendszer 
koordinátarendszerből kapjuk 
párhuzamos átvitel;
▫ vezetőállás 
repülőn 
a legelőnyösebb: egy 2. rendű görbe esetén feltételezzük, hogy a koordináták origója 
egybeesik központ
a vizsgált görbe szimmetriája;
▫ generatrix iránya 
tetszőleges (bármelyik módon megadható: vektoros, közvetlen stb.).
A következőkben feltételezzük, hogy a koordinátarendszerek 
és 
mérkőzés. Ez azt jelenti, hogy a párhuzamos transzlációt tükröző hengeres felületek felépítésére szolgáló általános algoritmus 1. lépése: 
→
, korábban végzett.
Emlékezzünk vissza egy egyszerű példán keresztül, hogy általános esetben hogyan vesszük figyelembe a párhuzamos átvitelt.
6. példa–13
: Koordinátarendszerben 
mint: 
=0. Írja be ennek az útmutatónak az egyenletét a rendszerbe 
.
Megoldás:
egy). Jelöljön egy tetszőleges pontot 
: rendszerben 
hogyan 
, és a rendszerben 
hogyan 
.
2). Írjuk fel a vektoregyenlőséget: 
=
+
. Koordináta formában ezt így írhatjuk fel: 
=
+
. Vagy a következő formában: 
=
–
, vagy: 
=.
3). Írjuk fel a hengervezető egyenletet 
koordinátarendszerben 
:
Válasz: az útmutató transzformált egyenlete: =0.
Tehát feltételezzük, hogy a hengervezetőt ábrázoló görbe középpontja mindig a koordinátarendszer origójában található 
repülőn 
.
Rizs. NÁL NÉL . Alaprajz henger építésekor.
Tegyünk még egy olyan feltevést, amely leegyszerűsíti a hengeres felület megalkotásának utolsó lépéseit. A koordináta-rendszer elforgatásának köszönhetően könnyen kombinálható a tengely iránya 
koordinátarendszerek 
normál repülővel 
, és a tengelyek irányai 
és 
a vezető szimmetriatengelyeivel 
, akkor ezt feltételezzük a vezető kezdeti pozíciójaként 
van egy görbénk, amely a síkban helyezkedik el 
, és az egyik szimmetriatengelye egybeesik a tengellyel 
, a második pedig a tengellyel 
.
Megjegyzés: mivel a párhuzamos transzláció és a művelet rögzített tengelye körüli forgatás műveletek végrehajtása meglehetősen egyszerű, ezért a megfogalmazott feltételezések a legáltalánosabb esetben nem szűkítik a kidolgozott hengeres felület felépítésére szolgáló algoritmus alkalmazhatóságát!
Láttuk, hogy hengeres felület megalkotásakor abban az esetben, ha a vezető 
a síkban található 
, és a generatrix párhuzamos a tengellyel 
, elegendő csak az útmutatót meghatározni 
.
Mivel egy hengeres felület egyedileg meghatározható, ha a felület metszetében kapott tetszőleges vonalat tetszőleges síkkal adjuk meg, a probléma megoldására a következő általános algoritmust alkalmazzuk:
1
▫
. Legyen a generatrix iránya 
hengeres felületet a vektor adja meg 
. Tervezzünk útmutatót 
egyenlettel megadva: 
=0, a generatrix irányára merőleges síkra 
, vagyis a repülőn 
. Ennek eredményeként a hengeres felület a koordinátarendszerben lesz megadva 
egyenlet: 
=0.
2
▫
a tengely körül 
a sarkon 
: szög jelentése 
kompatibilis a rendszerrel 
, és a kúpos felület egyenlete a következő egyenletté alakul: 
=0.
3
▫
. Alkalmazza a koordinátarendszer elforgatását 
a tengely körül 
a sarkon 
: szög jelentése 
elég jól látható az ábrából. Az elforgatás eredményeként a koordinátarendszer 
kompatibilis a rendszerrel 
, és a kúpos felület egyenlete átalakul 
=0. Ez egy hengeres felület egyenlete, amelyhez útmutatót adtak 
és generatrix 
koordinátarendszerben 
.
Az alábbi példa az írott algoritmus megvalósítását és az ilyen problémák számítási nehézségeit szemlélteti.
6. példa–14
: Koordinátarendszerben 
adott a hengervezető egyenlete 
mint: 
=9. Írjon fel egyenletet egy hengerre, amelynek generátorai párhuzamosak a vektorral! 
=(2,–3,4).
R 
megoldás:
egy). Tervezzük meg a henger vezetőjét egy merőleges síkban 
. Ismeretes, hogy egy ilyen transzformáció egy adott kört ellipszissé alakít, amelynek tengelyei: 
=9, és kicsi 
=
.
Ez az ábra egy síkban meghatározott kör kialakítását szemlélteti 
a koordinátasíkra 
.
2). A kör vetítésének eredménye egy ellipszis: 
=1, vagy 
. A mi esetünkben ez: 
, ahol 
=
=
.
3
). Tehát egy hengerfelület egyenlete a koordinátarendszerben 
kapott. Mivel a feladat feltétele szerint ennek a hengernek az egyenletével kell rendelkeznünk a koordinátarendszerben 
, akkor marad egy koordináta-transzformáció alkalmazása, amely lefordítja a koordináta-rendszert 
a koordinátarendszerhez 
, a hengeregyenlettel együtt: 
változókkal kifejezett egyenletté 
.
négy). Használjuk alapvető ábrát, és írja le a feladat megoldásához szükséges összes trigonometrikus értéket:
=
=
,
=
=
,
=
=
.
5). Írjuk fel a koordináták transzformációjának képleteit a rendszerből való átmenetben 
a rendszerhez 
:
(NÁL NÉL)
6). Írjuk fel a koordináták transzformációjának képleteit a rendszerből való átmenetben 
a rendszerhez 
:
(TÓL TŐL)
7). Változók helyettesítése 
a (B) rendszerből a (C) rendszerbe, és figyelembe véve a használt trigonometrikus függvények értékeit is, írjuk:
=
=
.
=
=
.
nyolc). Marad a talált értékek helyettesítése 
és 
a hengervezető egyenletbe 
:
koordinátarendszerben 
. Befejezése után gondosan
minden algebrai transzformáció esetén megkapjuk a kúpfelület egyenletét a koordinátarendszerben 
:
=0.
Válasz: kúp egyenlet: =0.
6. példa–15
: Koordinátarendszerben 
adott a hengervezető egyenlete 
mint: 
=9,
=1. Írjon fel egyenletet egy hengerre, amelynek generátorai párhuzamosak a vektorral! 
=(2,–3,4).
Megoldás:
egy). Könnyen belátható, hogy ez a példa csak annyiban tér el az előzőtől, hogy a segédvonal párhuzamosan 1-el feljebb került.
2). Ez azt jelenti, hogy a (B) relációban a következőket kell venni: 
=
-egy. A (C) rendszer kifejezéseit figyelembe véve javítjuk a változó bejegyzését 
:
=
.
3). A változás könnyen figyelembe vehető, ha kijavítja az előző példában szereplő henger egyenletének végső rekordját:
Válasz: kúp egyenlet: =0.
Megjegyzés: könnyen belátható, hogy a koordinátarendszerek többszöri transzformációinál a hengeres felületekkel kapcsolatos problémáknál a fő nehézség az pontosság és kitartás algebrai maratonokon: éljen a sok szenvedő hazánkban elfogadott oktatási rendszer!
A parabola érintőjének bizonyított tulajdonsága nagyon fontos, hiszen ebből az következik, hogy a sugarak egy homorú parabolatükör fókuszából indulnak ki, vagyis olyan tükörből, amelynek felülete a parabola körüli forgásából származik. tengelyét egy párhuzamos sugár, nevezetesen a tükör párhuzamos tengelye veri vissza (ábra).
A parabola tükrök ezt a tulajdonságát keresőlámpák építésénél, bármilyen autó fényszórójában, valamint tükörteleszkópokban használják. Sőt, az utóbbi esetben éppen ellenkezőleg, az égitestből érkező sugarak; közel párhuzamosan koncentrálódnak a távcsőtükör fókuszpontja közelében, és mivel a lámpatest különböző pontjaiból érkező sugarak jórészt nem párhuzamosak, ezért a fókusz közelében, különböző pontokon koncentrálódnak, így a világítótest képe keletkezik. a fókusz közelében minél nagyobb, annál nagyobb a parabola fókusztávolsága. Ezt a képet már mikroszkópon (teleszkópokuláron) keresztül nézik. Szigorúan véve csak a tükör tengelyével szigorúan párhuzamos sugarakat gyűjtjük egy pontban (fókuszban), míg a tükör tengelyével szöget bezáró párhuzamos sugarakat csak majdnem egy pontban gyűjtjük össze, és annál távolabb. ez a pont a fókuszból van, a kép homályosabb. Ez a körülmény korlátozza a "teleszkóp látóterét".
Legyen a belső felülete - egy tükörfelület - egy parabola tükör, amelyet az OS tengellyel párhuzamos fénysugár megvilágít. Minden, az y tengellyel párhuzamos nyaláb visszaverődés után az y tengely egy pontjában metszi egymást (F fókusz). A parabolikus teleszkópok tervezése ezen a tulajdonságon alapul. A távoli csillagok sugarai párhuzamos nyaláb formájában érkeznek hozzánk. Egy parabola távcső elkészítésével és egy fényképező lemez fókuszába helyezésével lehetőséget kapunk a csillagból érkező fényjel felerősítésére.
Ugyanez az elv a parabolaantenna létrehozásának alapja, amely lehetővé teszi a rádiójelek erősítését. Ha azonban egy parabola tükör fókuszába fényforrást helyezünk, akkor a tükör felületéről való visszaverődés után az ebből a forrásból érkező sugarak nem szóródnak szét, hanem a tengellyel párhuzamos keskeny nyalábba gyűlnek össze. a tükörből. Ezt a tényt keresőlámpák és lámpák, különféle projektorok gyártásában használják, amelyek tükrei paraboloidok formájában készülnek.
A parabola tükör fent említett optikai tulajdonságát tükörteleszkópok, különféle napkollektoros fűtési rendszerek és keresőlámpák készítésekor használják fel. Ha egy parabolatükör fókuszába egy erős pontszerű fényforrást helyezünk, sűrű, a tükör tengelyével párhuzamos visszavert sugarakat kapunk.
Amikor egy parabola a tengelye körül forog, egy alakot kapunk, amelyet paraboloidnak nevezünk. Ha a paraboloid belső felülete tükrös, és sugárnyaláb irányul rá, párhuzamos tengely a parabola szimmetriája, akkor a visszavert sugarak egy pontban összegyűlnek, amit fókusznak nevezünk. Ugyanakkor, ha a fényforrást fókuszba helyezzük, akkor a paraboloid tükörfelületéről visszaverődő sugarak párhuzamosak és nem szóródnak szét.
Az első tulajdonság lehetővé teszi magas hőmérséklet elérését a paraboloid fókuszában. A legenda szerint ezt az ingatlant az ókori görög tudós, Arkhimédész (Kr. e. 287-212) használta. A rómaiak elleni háborúban Szirakúza védelme során parabolatükrök rendszerét építette, amely lehetővé tette a visszavert napsugarakat a római hajókra fókuszálni. Emiatt a parabolatükrök gócjainál olyan magasnak bizonyult a hőmérséklet, hogy a hajókon tűz ütött ki, és azok kiégtek.
A második tulajdonságot például keresőlámpák és autófényszórók gyártásához használják.
Hiperbola
4. A hiperbola definíciója egy egyszerű módot ad arra, hogy folytonos mozgásban építsük fel: vegyünk két szálat, amelyek hosszkülönbsége 2a, és ezek egyik végét rögzítsük az F és F pontokhoz. Ha a másik két végét összefogjuk kezével, és egy ceruza hegyével vezesse végig a szálakat, ügyelve arra, hogy a szálak a papírhoz nyomódjanak, megnyúljanak és összeérjenek, a húzóponttól kezdve a végek találkozásáig a pont megrajzolja az egyik a hiperbola ágai (minél nagyobb, annál hosszabbak a szálak) (ábra).
Az F" és F pontok szerepének felcserélésével egy másik ág egy részét kapjuk.
Például, a "Második rend görbéi" témában a következő probléma merülhet fel:
Egy feladat. Két A és B vasútállomás s km távolságra van egymástól. Bármely M pontra a rakomány az A állomásról közvetlen közúti szállítással (az első útvonalon), vagy a következővel szállítható vasúti a B állomásra, és onnan autókkal (második út). A vasúti tarifa (1 km-enként 1 tonna szállítási ár) m rubel, a közúti szállítás díja n rubel, n > m, a be- és kirakodási díj k rubel. Határozza meg a hatásterületet vasútállomás B, azaz az a terület, ahová az A állomásról olcsóbb az árut vegyesen - vasúton, majd közúton szállítani, i. határozza meg azoknak a pontoknak a helyét, amelyek számára a második út jövedelmezőbb, mint az első.
Megoldás. Jelölje AM = r , BM = r , akkor a szállítás (szállítás és be- és kirakodás) költsége az AM útvonalon egyenlő nr + k, az ABM útvonalon történő szállítás költsége pedig ms + 2k + nг . Ekkor azok az M pontok, amelyekre mindkét költség egyenlő, kielégítik az nr + k = ms + 2k + ng egyenletet, vagy
ms + k = nr - ng
r - g \u003d \u003d const\u003e O,
ezért a régiót határoló egyenes a | hiperbola egyik ága r - r | = konst. Ettől a hiperbolától az A pont azonos oldalán fekvő sík összes pontjára az első út az előnyösebb, a másik oldalon lévő pontoknál pedig a második, így a hiperbola ága körvonalazza a hiperbola hatásterületét. B állomás.
Ennek a feladatnak a változata.
Két A és B pályaudvar l km-re található egymástól. A rakomány M pontba az A állomásról akár közvetlen közúti szállítással, akár vasúton B állomásra szállítható, onnan pedig személygépkocsikkal (49. ábra). Ugyanakkor a vasúti tarifa (1 tonna 1 km-enkénti szállítás ára) m rubel, a be- és kirakodás költsége k rubel (1 tonnánként), a közúti szállítás díja pedig n rubel (n > m). Határozzuk meg a B pályaudvar ún. befolyási zónáját, vagyis azt a zónát, ahová vegyesen: vasúton, majd közúton olcsóbban lehet A-ból árut szállítani.
Megoldás. 1 tonna rakomány szállítási költsége az AM útvonalon r n, ahol r = AM, az ABM útvonalon pedig 1m + k + r n lesz. Meg kell oldanunk az r n 1m+ k+ r n kettős egyenlőtlenséget, és meg kell határoznunk, hogy az (x, y) síkon azok a pontok hogyan oszlanak el, ahova olcsóbb az árut akár az első, akár a második úton szállítani.
Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely e két zóna határát képezi, vagyis azon pontok lokuszát, amelyekre mindkét út "egyformán előnyös":
r n = 1m+ k+ r n
Ebből a feltételből kapjuk az r - r = = const.
Ezért az elválasztó vonal egy hiperbola. Ennek a hiperbolának minden külső pontja esetén az első út az előnyösebb, a belső pontok esetében pedig a második. Ezért a hiperbola a B állomás befolyási zónáját fogja körvonalazni. A hiperbola második ága az A állomás hatászónáját (a rakományt a B állomásról szállítják). Keressük meg hiperbolánk paramétereit. Nagytengelye 2a = , a fókuszok (amelyek az A és B állomások) közötti távolság ebben az esetben 2c = l.
Így e probléma lehetőségének feltétele, amelyet az a reláció határoz meg< с, будет
Ez a feladatösszeköti az absztraktot geometriai koncepció közlekedési és gazdasági problémát okozó hiperbolák.
A kívánt ponthely a B pontot tartalmazó hiperbola jobb oldali ágán belül található pontok halmaza.
6. Tudom " Mezőgazdasági gépek» A lejtőn üzemelő traktorok stabilitását mutató fontos teljesítményjellemzők a dőlésszög és a dőlésszög.
Az egyszerűség kedvéért egy kerekes traktort fogunk fontolóra venni. Az a felület, amelyen a traktor dolgozik (legalább egy kellően kis része), síknak (mozgássíknak) tekinthető. A traktor hossztengelye az első és a hátsó tengely felezőpontját összekötő egyenes vonalnak a mozgássíkra való vetülete. A keresztirányú henger szöge a hossztengelyre merőleges és a mozgás síkjában fekvő egyenes vízszintes síkjával bezárt szög.
A „Vonalok és síkok a térben” témakör tanulmányozása során a matematika során a következő feladatokat vesszük figyelembe:
a) Határozza meg a lejtőn mozgó traktor hosszirányú dőlésszögét, ha ismert a lejtőszög és a traktor pályájának a hossziránytól való eltérési szöge!
b) A traktor keresztirányú gördülésének határszöge a lejtő legnagyobb megengedett dőlésszöge, amelyen a traktor felborulás nélkül tud állni. Milyen traktorparamétereket elég tudni a korlátozó dőlésszög meghatározásához; hogyan lehet ezt megtalálni
sarok?
7. Az építőipari berendezésekben az egyenes vonalú generátorok jelenlétét használják. E tény gyakorlati alkalmazásának alapítója a híres orosz mérnök, Vlagyimir Grigorjevics Shukhov (1853-1939). V. G. Shukhov fémgerendákból álló, egyenes vonalú generátorok mentén elhelyezett árbocokat, tornyokat és támasztékokat épített a forradalom egylapos hiperboloidja. Az ilyen szerkezetek nagy szilárdsága, könnyedséggel, alacsony gyártási költséggel és eleganciával kombinálva biztosítja széles körű alkalmazásukat a modern építőiparban.
8. A SZABAD MEREV TEST MOZGÁS TÖRVÉNYEI
Mert szabad test mindenféle mozgás egyformán lehetséges, de ez nem jelenti azt, hogy egy szabad test mozgása rendezetlen, nem vonatkozik rá semmilyen törvény; ellenkezőleg, egy merev test transzlációs mozgását, függetlenül annak külső alakjától, a tömegközéppont törvénye korlátozza, és egyetlen pont mozgására redukálja, a forgó mozgást pedig az úgynevezett főtengelyek. a tehetetlenség vagy tehetetlenségi ellipszoid. Tehát a szabad térbe dobott bot, vagy a válogatóból kirepülő gabona stb. egyetlen pontként (tömegközéppontként) halad előre, és ugyanakkor forog a tömegközéppont körül. Általában mikor előre mozgás bármilyen merev test, függetlenül az alakjától, vagy egy összetett gép, helyettesíthető egyetlen ponttal (tömegközépponttal), forgóval pedig tehetetlenségi ellipszoiddal , amelynek sugárvektorai egyenlőek a ---val, ahol / ennek a testnek az ellipszoid középpontján átmenő tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatéka.
Ha forgás közben a test tehetetlenségi nyomatéka valamilyen okból megváltozik, akkor ennek megfelelően változik a forgási sebesség is. Például a fej feletti ugrás során az akrobaták labdává zsugorodnak össze, amitől a test tehetetlenségi nyomatéka csökken, a forgási sebesség pedig nő, ami az ugrás sikeréhez szükséges. Ugyanígy csúszáskor az emberek oldalra nyújtják a karjukat, ami növeli a tehetetlenségi nyomatékot és csökkenti a forgási sebességet. Ugyanígy az aratógép tehetetlenségi nyomatéka a függőleges tengely körül változó, ahogy a vízszintes tengely körül forog.
Ellipszoid- felület be háromdimenziós tér, amelyet a gömb három egymásra merőleges tengely mentén történő deformációjával kapunk. Egy ellipszoid kanonikus egyenlete in Derékszögű koordináták, egybeesik az ellipszoid deformációs tengelyeivel: .
Az a, b, c mennyiségeket az ellipszoid féltengelyeinek nevezzük. Az ellipszoidot testnek is nevezik, a felület korlátozza ellipszoid. Az ellipszoid a másodrendű felületek egyik lehetséges formája.
Abban az esetben, ha egy féltengelypár azonos hosszúságú, az ellipszoidot úgy kaphatjuk meg, hogy az ellipszist az egyik tengelye körül forgatjuk. Az ilyen ellipszoidot forgásellipszoidnak vagy szferoidnak nevezzük.
Egy ellipszoid, pontosabban, mint egy gömb, tükrözi a Föld idealizált felszínét.
Ellipszoid térfogat:.
A forgásellipszoid felülete:
Hiperboloid- ez egy háromdimenziós térbeli másodrendű felület, amelyet derékszögű koordinátákkal ad meg a - (egylapos hiperboloid) egyenlet, ahol a és b valós féltengelyek, c pedig a képzeletbeli féltengely; vagy - (kétlapos hiperboloid), ahol a és b a képzeletbeli féltengely, c pedig a valós féltengely.
Ha a = b, akkor egy ilyen felületet fordulathiperboloidnak nevezünk. Egy lapos fordulathiperboloidot kaphatunk, ha egy hiperbolát a képzeletbeli tengelye körül forgatunk, egy kétlaposat a valódi tengelye körül. A forradalom kétlapos hiperboloidja egyben a P pontok helye is, a távolságok különbségének modulusa, ahonnan két adott pontokat A és B állandó: | AP−BP | = konst. Ebben az esetben A-t és B-t a hiperboloid gócainak nevezzük.
Az egylapos hiperboloid kétszeresen szabályozott felület; ha ez a fordulat hiperboloidja, akkor azt úgy kaphatjuk meg, hogy egy egyenest egy másik egyenes körül forgatunk, amely metszi.
Paraboloid a másodrendű felülettípus. A paraboloid egy nyitott, nem központi (azaz szimmetriaközéppont nélküli) másodrendű felületként jellemezhető.
Kanonikus egyenletek paraboloid derékszögű koordinátákkal:
· ha a és b előjele megegyezik, akkor a paraboloidot elliptikusnak nevezzük.
ha a és b eltérő jel, akkor a paraboloidot hiperbolikusnak nevezzük.
Ha az egyik együttható nulla, akkor a paraboloidot parabolahengernek nevezzük.
ü egy elliptikus paraboloid, ahol a és b azonos előjelű. A felületet párhuzamos parabolák, felfelé irányuló ágakkal írják le, amelyek csúcsai egy parabolát írnak le, ágakkal szintén felfelé. Ha a = b, akkor az elliptikus paraboloid egy olyan forgásfelület, amelyet egy parabola az adott parabola csúcsán átmenő függőleges tengely körüli forgása alkot.
ü hiperbolikus paraboloid.