Logaritmikus egyenletek. Az egyszerűtől a bonyolultig.

Figyelem!
Vannak további
anyagok az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Mi az a logaritmikus egyenlet?

Ez egy logaritmusú egyenlet. Meg vagyok lepve, igaz?) Akkor pontosítok. Ez egy egyenlet, amelyben az ismeretlenek (x-ek) és a velük kapcsolatos kifejezések találhatók a logaritmusokon belül.És csak ott! Fontos.

Íme néhány példa logaritmikus egyenletek:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2-3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

Nos, érted... )

Jegyzet! A legkülönbözőbb X-es kifejezések találhatók kizárólag logaritmusokon belül. Ha hirtelen egy X jelenik meg valahol az egyenletben kívül, Például:

log 2 x = 3+x,

ez már vegyes típusú egyenlet lesz. Az ilyen egyenleteknek nincsenek egyértelmű szabályai a megoldásukra. Egyelőre nem vesszük figyelembe őket. Egyébként vannak olyan egyenletek, ahol a logaritmusokon belül csak számok. Például:

Mit mondhatnék? Szerencsés vagy, ha ezzel találkozol! Logaritmus számokkal az valami szám. Ez minden. Egy ilyen egyenlet megoldásához elég ismerni a logaritmus tulajdonságait. Speciális szabályok, kifejezetten megoldásra adaptált technikák ismerete logaritmikus egyenletek, itt nem kötelező.

Így, mi az a logaritmikus egyenlet- találtuk ki.

Hogyan lehet logaritmikus egyenleteket megoldani?

Megoldás logaritmikus egyenletek- A dolog valójában nem túl egyszerű. A rovatunk tehát egy négyes... Mindenféle kapcsolódó témában tisztességes tudás szükséges. Ezen túlmenően ezekben az egyenletekben van egy speciális jellemző is. És ez a tulajdonság annyira fontos, hogy nyugodtan nevezhetjük a logaritmikus egyenletek megoldásának fő problémájának. Ezzel a problémával vagyunk következő lecke Nézzük meg részletesen.

Egyelőre ne aggódj. A helyes úton megyünk az egyszerűtől a bonyolultig. Konkrét példák felhasználásával. A lényeg az, hogy elmélyülj az egyszerű dolgokban, és ne légy lusta követni a linkeket, okkal tettem oda... És minden sikerülni fog neked. Szükségszerűen.

Kezdjük a legelemibb, legegyszerűbb egyenletekkel. Megoldásukhoz tanácsos a logaritmus fogalma, de semmi több. Csak fogalmam sincs logaritmus, döntést hozni logaritmikus egyenletek – valahogy még kínosak is... Nagyon merész, mondhatnám).

A legegyszerűbb logaritmikus egyenletek.

Ezek a következő alakú egyenletek:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Megoldási folyamat bármilyen logaritmikus egyenlet a logaritmusokkal rendelkező egyenletről egy azok nélküli egyenletre való átmenetből áll. A legegyszerűbb egyenletekben ezt az átmenetet egy lépésben hajtják végre. Ezért a legegyszerűbbek.)

Az ilyen logaritmikus egyenletek pedig meglepően könnyen megoldhatók. Nézd meg magad.

Oldjuk meg az első példát:

log 3 x = log 3 9

Ennek a példának a megoldásához nem kell szinte semmit tudnod, igen... Pusztán intuíció!) Mire van szükségünk különösen nem tetszik ez a példa? Mi-micsoda... Nem szeretem a logaritmusokat! Jobb. Tehát szabaduljunk meg tőlük. Alaposan megnézzük a példát, és feltámad bennünk egy természetes vágy... Egyenesen ellenállhatatlan! Vegye ki és dobja ki a logaritmusokat. És ami jó, az az Tud csináld! A matematika megengedi. A logaritmusok eltűnnek a válasz:

Remek, igaz? Ezt mindig meg lehet (és kell) tenni. A logaritmusok ilyen módon történő kiküszöbölése a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának egyik fő módja. A matematikában ezt a műveletet ún potencírozás. Természetesen vannak szabályok az ilyen felszámolásra, de ezek kevés. Emlékezik:

Félelem nélkül kiküszöbölheti a logaritmusokat, ha:

a) ugyanazok a numerikus alapok

c) a balról jobbra haladó logaritmusok tiszták (együtthatók nélkül) és nagyszerű elszigeteltségben vannak.

Hadd tisztázzam az utolsó pontot. Az egyenletben mondjuk

log 3 x = 2 log 3 (3 x-1)

A logaritmusokat nem lehet eltávolítani. A jobb oldali kettő nem teszi lehetővé. Az együttható, tudod... A példában

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Az egyenlet potencírozása szintén lehetetlen. A bal oldalon nincs egyetlen logaritmus. Ketten vannak.

Röviden: eltávolíthatja a logaritmusokat, ha az egyenlet így néz ki, és csak így:

log a (.....) = log a (.....)

Zárójelben, ahol ellipszis van, ott lehet bármilyen kifejezést. Egyszerű, szuper összetett, mindenféle. Tök mindegy. A lényeg az, hogy a logaritmusok kiiktatása után maradjunk egyszerűbb egyenlet. Feltételezzük persze, hogy már tudja, hogyan kell logaritmus nélkül megoldani a lineáris, másodfokú, tört, exponenciális és egyéb egyenleteket.)

Most könnyedén megoldhatja a második példát:

napló 7 (2x-3) = log 7 x

Valójában ez a fejben dől el. Potencírozunk, kapunk:

Nos, nagyon nehéz?) Amint látja, logaritmikus az egyenlet megoldásának része az csak a logaritmusok kiküszöbölésében...És akkor jön a fennmaradó egyenlet megoldása nélkülük. Triviális ügy.

Oldjuk meg a harmadik példát:

log 7 (50x-1) = 2

Látjuk, hogy van egy logaritmus a bal oldalon:

Emlékezzünk arra, hogy ez a logaritmus egy olyan szám, amelyre az alapot fel kell emelni (azaz hétre), hogy szublogaritmikus kifejezést kapjunk, pl. (50x-1).

De ez a szám kettő! Az egyenlet szerint. Azaz:

Lényegében ennyi. Logaritmus eltűnt, Marad egy ártalmatlan egyenlet:

Ezt a logaritmikus egyenletet csak a logaritmus jelentése alapján oldottuk meg. Még mindig könnyebb kiküszöbölni a logaritmusokat?) Egyetértek. Egyébként ha kettőből csinálsz egy logaritmust, akkor ezt a példát kiküszöböléssel oldhatod meg. Bármely szám logaritmussá alakítható. Ráadásul úgy, ahogyan szükségünk van rá. Nagyon hasznos technika logaritmikus egyenletek és (főleg!) egyenlőtlenségek megoldásában.

Nem tudod, hogyan készíts egy számból logaritmust!? Ez rendben van. Az 555. szakasz részletesen leírja ezt a technikát. Elsajátíthatod és maximálisan használhatod! Nagymértékben csökkenti a hibák számát.

A negyedik egyenletet teljesen hasonló módon (definíció szerint) oldjuk meg:

Ez az.

Foglaljuk össze ezt a leckét. Megnéztük a legegyszerűbb logaritmikus egyenletek megoldását példákon keresztül. Ez nagyon fontos. És nem csak azért, mert ilyen egyenletek megjelennek a teszteken és vizsgákon. A helyzet az, hogy még a leggonoszabb és legbonyolultabb egyenletek is szükségszerűen a legegyszerűbbre redukálódnak!

Valójában a legegyszerűbb egyenletek jelentik a megoldás utolsó részét Bármi egyenletek. És ezt az utolsó részt szigorúan kell érteni! És tovább. Feltétlenül olvassa el ezt az oldalt a végéig. Van egy meglepetés...)

Most mi magunk döntünk. Úgymond jobbak leszünk...)

Keresse meg az egyenletek gyökerét (vagy a gyökök összegét, ha több van):

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

A válaszok (persze rendetlenségben): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Mi van, nem minden sikerül? Megtörténik. Ne aggódj! Az 555. szakasz világosan és részletesen magyarázza el mindezen példák megoldását. Ott biztosan rájössz. Hasznos gyakorlati technikákat is elsajátíthat.

Minden sikerült!? Minden példa az „egy maradt” szóra?) Gratulálunk!

Ideje felfedni előtted a keserű igazságot. E példák sikeres megoldása nem garantálja az összes többi logaritmikus egyenlet sikeres megoldását. Még a legegyszerűbbek is, mint ezek. Jaj.

A helyzet az, hogy bármely logaritmikus egyenlet megoldása (még a legelemibb is!) két egyenlő rész. Az egyenlet megoldása és az ODZ-vel való munka. Egy részt elsajátítottunk - magának az egyenletnek a megoldását. Nem olyan nehéz jobb?

Ehhez a leckéhez speciálisan olyan példákat választottam, amelyekben a DL semmilyen módon nem befolyásolja a választ. De nem mindenki olyan kedves, mint én, igaz?...)

Ezért feltétlenül el kell sajátítani a másik részt. ODZ. Ez a fő probléma a logaritmikus egyenletek megoldásában. És nem azért, mert nehéz – ez a rész még könnyebb, mint az első. Hanem azért, mert az emberek egyszerűen elfelejtik az ODZ-t. Vagy nem tudják. Vagy mindkettő). És kihullanak a semmiből...

A következő leckében ezzel a problémával fogunk foglalkozni. Akkor magabiztosan dönthet Bármi egyszerű logaritmikus egyenletek és a meglehetősen szilárd feladatok megközelítése.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Tudniillik a kifejezések hatványokkal való szorzásakor a kitevőik mindig összeadódnak (a b *a c = a b+c). Ezt a matematikai törvényt Arkhimédész vezette le, majd később, a 8. században Virasen matematikus készített egy táblázatot az egész kitevőkből. Ők voltak azok, akik a logaritmusok további felfedezését szolgálták. Szinte mindenhol találunk példákat ennek a függvénynek a használatára, ahol egyszerű összeadással kell leegyszerűsíteni a nehézkes szorzást. Ha 10 percet tölt ennek a cikknek a elolvasásával, elmagyarázzuk Önnek, mik azok a logaritmusok, és hogyan kell velük dolgozni. Egyszerű és érthető nyelven.

Definíció a matematikában

A logaritmus a következő formájú kifejezés: log a b=c, azaz bármely logaritmus nem negatív szám(vagyis bármilyen pozitív) „b” az „a” alapja alapján a „c” hatványa, amelyre az „a” alapot fel kell emelni, hogy végül megkapjuk a „b” értéket. Elemezzük a logaritmust példákon keresztül, mondjuk van egy log 2 kifejezés 8. Hogyan találjuk meg a választ? Nagyon egyszerű, olyan hatványt kell találnod, hogy 2-től a szükséges teljesítményig 8-at kapj. Néhány fejben végzett számítás után megkapjuk a 3-as számot! És ez igaz, mert a 2 a 3 hatványára 8-nak adja a választ.

A logaritmusok fajtái

Sok diák és diák számára ez a téma bonyolultnak és érthetetlennek tűnik, de valójában a logaritmusok nem olyan ijesztőek, a lényeg az, hogy megértsük általános jelentésüket, és emlékezzünk tulajdonságaikra és néhány szabályra. A logaritmikus kifejezéseknek három különböző típusa van:

1. Természetes logaritmus ln a, ahol az alap az Euler-szám (e = 2,7).
2. Tizedes a, ahol az alap 10.
3. Bármely b szám logaritmusa a>1 bázishoz.

Mindegyiket szabványos módon oldják meg, beleértve az egyszerűsítést, a redukciót és az azt követő redukciót egyetlen logaritmusra logaritmikus tételek segítségével. A logaritmusok helyes értékeinek megszerzéséhez emlékeznie kell tulajdonságaikra és a műveletek sorrendjére a megoldásuk során.

Szabályok és néhány korlátozás

A matematikában több olyan szabály-megkötés létezik, amelyeket axiómaként fogadnak el, vagyis nem vita tárgya, és ez az igazság. Például lehetetlen a számokat nullával osztani, és a negatív számok páros gyökét sem lehet kivonni. A logaritmusoknak is megvannak a saját szabályai, amelyek betartásával könnyedén megtanulhatod, hogyan kell dolgozni még hosszú és terjedelmes logaritmikus kifejezésekkel is:

• Az „a” alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál, és nem egyenlő 1-gyel, különben a kifejezés értelmét veszti, mert az „1” és a „0” bármilyen mértékben mindig megegyezik az értékükkel;
• ha a > 0, akkor a b >0, akkor kiderül, hogy „c”-nek is nagyobbnak kell lennie nullánál.

Hogyan lehet logaritmusokat megoldani?

Például az a feladat, hogy megtaláljuk a választ a 10 x = 100 egyenletre. Ez nagyon egyszerű, ki kell választani egy hatványt a tízes szám emelésével, amelyre 100-at kapunk. Ez természetesen 10 2 = 100.

Most ábrázoljuk ezt a kifejezést logaritmikus formában. Log 10 100 = 2-t kapunk. A logaritmusok megoldása során gyakorlatilag minden művelet konvergál, hogy megtalálja azt a hatványt, amelyhez be kell vezetni a logaritmus alapját, hogy megkapjuk adott szám.

Az ismeretlen fok értékének pontos meghatározásához meg kell tanulnia, hogyan kell dolgozni egy foktáblázattal. Ez így néz ki:

Amint látja, néhány kitevő intuitív módon kitalálható, ha rendelkezik technikai elmével és ismeri a szorzótáblát. Azonban azért nagy értékek szükség lesz egy foktáblázatra. Azok is használhatják, akik egyáltalán nem tudnak az összetett matematikai témákról. A bal oldali oszlop számokat tartalmaz (a bázis), a felső számsor annak a c hatványnak az értéke, amelyre az a számot emeljük. A metszéspontban a cellák azokat a számértékeket tartalmazzák, amelyek a választ jelentik (a c =b). Vegyük például a legelső 10-es számú cellát, és négyzetre emeljük, megkapjuk a 100-as értéket, amit a két cellánk metszéspontjában jelez. Minden olyan egyszerű és könnyű, hogy még a legigazabb humanista is megérti!

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Kiderül, hogy bizonyos feltételek mellett a kitevő a logaritmus. Ezért bármilyen matematikai numerikus kifejezés felírható logaritmikus egyenlőségként. Például a 3 4 =81 felírható 81 4-es 3-as bázis logaritmusaként (log 3 81 = 4). Mert negatív erőket a szabályok ugyanazok: 2 -5 = 1/32 logaritmusként írjuk, log 2 (1/32) = -5-öt kapunk. A matematika egyik legérdekesebb része a „logaritmusok” témája. Az alábbiakban példákat és megoldásokat tekintünk meg az egyenletekre, közvetlenül tulajdonságaik tanulmányozása után. Most nézzük meg, hogyan néznek ki az egyenlőtlenségek, és hogyan lehet megkülönböztetni őket az egyenletektől.

A következő kifejezést adjuk meg: log 2 (x-1) > 3 - ez logaritmikus egyenlőtlenség, mivel az ismeretlen „x” érték a logaritmikus előjel alatt van. És a kifejezésben is két mennyiséget hasonlítanak össze: a kívánt szám logaritmusa a kettőhöz nagyobb, mint a három.

A legfontosabb különbség a logaritmikus egyenletek és az egyenlőtlenségek között az, hogy a logaritmusos egyenletek (például a logaritmus 2 x = √9) egy vagy több konkrét számértéket tartalmaznak a válaszban, míg egy egyenlőtlenség megoldása során mindkét elfogadható tartományt. értékek és a pontok meghatározása ennek a függvénynek a megszakításával történik. Következésképpen a válasz nem egyedi számok egyszerű halmaza, mint az egyenletre adott válaszban, hanem folyamatos számsor vagy számhalmaz.

Alaptételek a logaritmusokról

A logaritmus értékeinek megtalálásával kapcsolatos primitív feladatok megoldása során előfordulhat, hogy tulajdonságai nem ismertek. Amikor azonban logaritmikus egyenletekről vagy egyenlőtlenségekről van szó, mindenekelőtt tisztán kell érteni és a gyakorlatban alkalmazni kell a logaritmus összes alapvető tulajdonságát. Az egyenletekre a későbbiekben példákat tekintünk meg; először nézzük meg részletesebben az egyes tulajdonságokat.

1. A fő azonosság így néz ki: a logaB =B. Csak akkor érvényes, ha a nagyobb, mint 0, nem egyenlő eggyel, és B nagyobb, mint nulla.
2. A szorzat logaritmusa ábrázolható a következő képlet: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Ebben az esetben a kötelező feltétel: d, s 1 és s 2 > 0; a≠1. Ezt a logaritmikus képletet példákkal és megoldással bizonyíthatja. Legyen log a s 1 = f 1 és log a s 2 = f 2, akkor a f1 = s 1, a f2 = s 2. Azt kapjuk, hogy s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (tulajdonságai fok ), majd definíció szerint: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, amit bizonyítani kellett.
3. A hányados logaritmusa így néz ki: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. A képlet formájú tétel a következő alakot ölti: log a q b n = n/q log a b.

Ezt a képletet „a logaritmus fokának tulajdonságának” nevezik. Hasonlít a közönséges fokok tulajdonságaira, és ez nem meglepő, mert minden matematika természetes posztulátumokon alapul. Nézzük a bizonyítékot.

Legyen log a b = t, kiderül, hogy a t =b. Ha mindkét részt m hatványra emeljük: a tn = b n ;

de mivel a tn = (a q) nt/q = b n, ezért log a q b n = (n*t)/t, majd log a q b n = n/q log a b. A tétel bizonyítást nyert.

Példák problémákra és egyenlőtlenségekre

A logaritmusokkal kapcsolatos leggyakoribb problémák az egyenletek és egyenlőtlenségek példái. Szinte minden feladatfüzetben megtalálhatók, és a matematika vizsgák kötelező részét is képezik. Az egyetemi felvételhez vagy az átvizsgáláshoz felvételi vizsgák matematikában tudnia kell, hogyan kell helyesen megoldani az ilyen feladatokat.

Sajnos nincs egyetlen terv vagy séma a logaritmus ismeretlen értékének megoldására és meghatározására, de bizonyos szabályokat minden matematikai egyenlőtlenségre vagy logaritmikus egyenletre alkalmazni lehet. Először is meg kell találnia, hogy a kifejezés leegyszerűsíthető-e vagy ahhoz vezethet-e Általános megjelenés. Leegyszerűsítheti a hosszú logaritmikus kifejezéseket, ha helyesen használja a tulajdonságaikat. Ismerkedjünk meg velük gyorsan.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál meg kell határoznunk, hogy milyen típusú logaritmusunk van: egy példakifejezés tartalmazhat természetes logaritmust vagy decimális logaritmust.

Itt vannak példák az ln100, ln1026. Megoldásuk abban rejlik, hogy meg kell határozniuk azt a teljesítményt, amelyre a 10-es alap 100, illetve 1026 lesz. A természetes logaritmusok megoldásához logaritmikus azonosságokat vagy azok tulajdonságait kell alkalmazni. Nézzünk példákat különféle típusú logaritmikus problémák megoldására.

A logaritmusképletek használata: példákkal és megoldásokkal

Tehát nézzünk példákat a logaritmusokkal kapcsolatos alaptételek használatára.

1. A szorzat logaritmusának tulajdonsága olyan feladatokban használható, ahol bővíteni kell nagyon fontos b számokat egyszerűbb tényezőkké. Például log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A válasz 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - mint látható, a logaritmus hatványának negyedik tulajdonságát felhasználva sikerült megoldanunk egy bonyolultnak tűnő és megoldhatatlan kifejezést. Csak az alapot kell figyelembe vennie, majd ki kell vennie a kitevő értékeket a logaritmus előjeléből.

Feladatok az egységes államvizsgáról

A felvételi vizsgákon gyakran megtalálhatók a logaritmusok, különösen sok logaritmikus probléma az egységes államvizsgán ( Államvizsga minden iskolaelhagyó számára). Ezek a feladatok jellemzően nemcsak az A részben (a vizsga legkönnyebb tesztrésze), hanem a C részben is (a legösszetettebb és legterjedelmesebb feladatok) is jelen vannak. A vizsga megköveteli a „Természetes logaritmusok” témakör pontos és tökéletes ismeretét.

A példákat és a problémák megoldásait a hivatalostól vettük Egységes államvizsga lehetőségek. Lássuk, hogyan oldják meg az ilyen feladatokat.

Adott log 2 (2x-1) = 4. Megoldás:
írjuk át a kifejezést, kicsit leegyszerűsítve log 2 (2x-1) = 2 2, a logaritmus definíciójával azt kapjuk, hogy 2x-1 = 2 4, tehát 2x = 17; x = 8,5.

• A legjobb az összes logaritmust ugyanarra az alapra redukálni, hogy a megoldás ne legyen nehézkes és zavaró.
• Minden logaritmus előjel alatti kifejezés pozitívnak van jelölve, ezért ha egy olyan kifejezés kitevőjét, amely a logaritmus előjele alatt van és annak bázisaként kivesszük szorzóként, a logaritmus alatt maradó kifejezésnek pozitívnak kell lennie.

Logaritmikus egyenlet egy egyenlet, amelyben az ismeretlen (x) és a vele együtt lévő kifejezések az előjel alatt vannak logaritmikus függvény. A logaritmikus egyenletek megoldása feltételezi, hogy már ismeri a és .
Hogyan lehet logaritmikus egyenleteket megoldani?

A legegyszerűbb egyenlet az log a x = b, ahol a és b néhány szám, x egy ismeretlen.
Logaritmikus egyenlet megoldása x = a b, feltéve, hogy: a > 0, a 1.

Megjegyzendő, hogy ha x valahol a logaritmuson kívül van, például log 2 x = x-2, akkor egy ilyen egyenletet már vegyesnek neveznek, és speciális megközelítésre van szükség a megoldásához.

Az ideális eset, ha olyan egyenlettel találkozunk, amelyben csak számok vannak a logaritmus előjele alatt, például x+2 = log 2 2. Itt elég a logaritmusok tulajdonságait ismerni a megoldáshoz. De ilyen szerencse nem gyakran fordul elő, ezért készülj fel nehezebb dolgokra.

De először kezdjük azzal egyszerű egyenletek. Megoldásukhoz ajánlatos a logaritmus nagyon általános ismerete.

Egyszerű logaritmikus egyenletek megoldása

Ide tartoznak a log 2 x = log 2 16 típusú egyenletek. Szabad szemmel láthatjuk, hogy a logaritmus előjelének kihagyásával x = 16-ot kapunk.

Egy bonyolultabb logaritmikus egyenlet megoldásához általában egy közönséges algebrai egyenlet megoldására vagy egy egyszerű logaritmikus egyenlet megoldására redukálunk log a x = b. A legegyszerűbb egyenletekben ez egy mozdulattal történik, ezért nevezzük őket a legegyszerűbbnek.

A logaritmusok eldobásának fenti módszere a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának egyik fő módja. A matematikában ezt a műveletet potenciálásnak nevezik. Az ilyen típusú műveletekre bizonyos szabályok vagy korlátozások vonatkoznak:

• A logaritmusoknak ugyanaz a numerikus alapja
• Az egyenlet mindkét oldalán a logaritmusok szabadok, azaz. együtthatók vagy más különféle kifejezések nélkül.

Tegyük fel, hogy a log 2 x = 2log 2 (1 - x) egyenletben a potenciálás nem alkalmazható - a jobb oldali 2 együttható nem engedi meg. A következő példában a log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) szintén nem felel meg az egyik megszorításnak – a bal oldalon két logaritmus található. Ha csak egy lenne, az egészen más lenne!

Általában csak akkor távolíthatja el a logaritmusokat, ha az egyenletnek a következő alakja van:

log a (...) = log a (...)

Abszolút bármilyen kifejezés zárójelbe tehető, ennek nincs hatása a potenciálási műveletre. A logaritmusok kiiktatása után pedig marad egy egyszerűbb egyenlet - lineáris, másodfokú, exponenciális stb., amit remélem, már tudod, hogyan kell megoldani.

Vegyünk egy másik példát:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Potenciót alkalmazunk, így kapjuk:

log 3 (2x-1) = 2

A logaritmus definíciója alapján, nevezetesen, hogy a logaritmus az a szám, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy olyan kifejezést kapjunk, amely a logaritmus előjele alatt van, azaz. (4x-1), kapjuk:

Ismét gyönyörű választ kaptunk. Itt a logaritmusok kiiktatása nélkül tettük, de itt is alkalmazható a potencírozás, mert tetszőleges számból készíthető logaritmus, pontosan abból, amilyenre szükségünk van. Ez a módszer nagyon hasznos a logaritmikus egyenletek és különösen az egyenlőtlenségek megoldásában.

Oldjuk meg a log 3 (2x-1) = 2 logaritmikus egyenletünket potenciálással:

Képzeljük el a 2-es számot logaritmusként, például ezt a log 3 9-et, mert 3 2 =9.

Ezután log 3 (2x-1) = log 3 9 és ismét ugyanazt az egyenletet kapjuk: 2x-1 = 9. Remélem, minden világos.

Tehát megvizsgáltuk, hogyan lehet megoldani a legegyszerűbb logaritmikus egyenleteket, amelyek valójában nagyon fontosak, mert logaritmikus egyenletek megoldása, még a legszörnyűbbek és legkicsavartabbak is, a végén mindig a legegyszerűbb egyenletek megoldásán múlik.

Mindenben, amit fent tettünk, szem elől tévesztettünk egy nagyon fontos pontot, amely a jövőben meghatározó szerepet fog játszani. A helyzet az, hogy bármely logaritmikus egyenlet megoldása, még a legelemibb is, két egyenlő részből áll. Az első maga az egyenlet megoldása, a második a megengedett értékek tartományával (APV) dolgozik. Pontosan ez az első rész, amit elsajátítottunk. A fenti példákban az ODZ semmilyen módon nem befolyásolja a választ, ezért nem vettük figyelembe.

Vegyünk egy másik példát:

log 3 (x 2-3) = log 3 (2x)

Külsőleg ez az egyenlet nem különbözik egy elemitől, amely nagyon sikeresen megoldható. De ez nem így van. Nem, persze megoldjuk, de nagy valószínűséggel hibásan, mert van benne egy kis les, amibe mind a C osztályosok, mind a kitűnő tanulók azonnal beleesnek. Nézzük meg közelebbről.

Tegyük fel, hogy meg kell találni az egyenlet gyökerét vagy a gyökök összegét, ha több van belőlük:

log 3 (x 2-3) = log 3 (2x)

Potenciót használunk, ez itt elfogadható. Ennek eredményeként a szokásosat kapjuk másodfokú egyenlet.

Az egyenlet gyökereinek megkeresése:

Kiderült, két gyökér.

Válasz: 3 és -1

Első pillantásra minden korrekt. De nézzük meg az eredményt, és cseréljük be az eredeti egyenletbe.

Kezdjük azzal, hogy x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Az ellenőrzés sikeres volt, most a sor x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Oké, állj! Kívülről minden tökéletes. Egy dolog - negatív számokból nincs logaritmus! Ez azt jelenti, hogy az x = -1 gyök nem alkalmas egyenletünk megoldására. És ezért a helyes válasz 3 lesz, nem 2, ahogy írtuk.

Az ODZ itt játszotta végzetes szerepét, amiről már megfeledkeztünk.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy az elfogadható értékek tartománya tartalmazza az x azon értékeit, amelyek megengedettek vagy értelmesek az eredeti példában.

ODZ nélkül bármely egyenlet bármely megoldása, még a teljesen helyes megoldása is lottóvá válik - 50/50.

Hogyan kaphatnánk el egy eleminek tűnő példa megoldásán? De pontosan a potencírozás pillanatában. A logaritmusok eltűntek, és velük együtt minden korlátozás.

Mi a teendő ebben az esetben? Megtagadja a logaritmusok kiiktatását? És teljesen megtagadja ennek az egyenletnek a megoldását?

Nem, olyanok vagyunk, mint az igazi hősök híres dal, tegyünk egy kitérőt!

Mielőtt elkezdenénk a logaritmikus egyenlet megoldását, felírjuk az ODZ-t. De ezek után bármit megtehetsz az egyenletünkkel, amit szíved akar. Miután megkaptuk a választ, egyszerűen kidobjuk azokat a gyökereket, amelyek nem szerepelnek az ODZ-ben, és leírjuk a végleges verziót.

Most döntsük el, hogyan rögzítsük az ODZ-t. Ehhez alaposan megvizsgáljuk az eredeti egyenletet, és megkeressük benne a gyanús helyeket, mint pl. x-szel való osztás, páros gyök stb. Amíg meg nem oldjuk az egyenletet, nem tudjuk, hogy x mivel egyenlő, de azt biztosan tudjuk, hogy azok az x-ek, amelyek behelyettesítésükkor 0-val osztanak vagy egy negatív szám négyzetgyökét adják, nyilvánvalóan nem alkalmasak válasznak. . Ezért az ilyen x elfogadhatatlan, míg a többi ODZ-t alkot.

Használjuk újra ugyanazt az egyenletet:

log 3 (x 2-3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2-3) = log 3 (2x)

Amint látja, nincs 0-val való osztás, négyzetgyök szintén nem, de vannak x-szel rendelkező kifejezések a logaritmus törzsében. Rögtön emlékezzünk arra, hogy a logaritmuson belüli kifejezésnek mindig >0-nak kell lennie. Ezt a feltételt ODZ formában írjuk:

Azok. Még nem oldottunk meg semmit, de már felírtunk egy kötelező feltételt a teljes szublogaritmikus kifejezésre. A göndör zárójel azt jelenti, hogy ezeknek a feltételeknek egyszerre kell igazodniuk.

Az ODZ le van írva, de meg kell oldani a keletkező egyenlőtlenségrendszert is, amit meg is fogunk tenni. Megkapjuk a választ x > v3. Most már biztosan tudjuk, melyik x nem felel meg nekünk. És akkor elkezdjük magát a logaritmikus egyenletet megoldani, amit fent tettünk.

Miután megkaptuk az x 1 = 3 és x 2 = -1 válaszokat, könnyen belátható, hogy csak az x1 = 3 felel meg nekünk, és ezt írjuk le végső válaszként.

A jövőre nézve nagyon fontos megjegyezni a következőket: bármely logaritmikus egyenletet 2 lépésben oldunk meg. Az első az egyenlet megoldása, a második az ODZ feltétel megoldása. Mindkét szakaszt egymástól függetlenül hajtják végre, és csak a válasz megírásakor hasonlítják össze, pl. dobj el mindent, ami felesleges, és írd le a helyes választ.

Az anyag megerősítéséhez erősen javasoljuk a videó megtekintését:

A videó további példákat mutat be a napló megoldására. egyenletek és az intervallummódszer kidolgozása a gyakorlatban.

Erre a kérdésre, hogyan kell megoldani a logaritmikus egyenleteket Ez minden most. Ha valamit eldönt a napló. Az egyenletek tisztázatlanok vagy érthetetlenek maradnak, írja meg kérdéseit a megjegyzésekben.

Megjegyzés: A Szociális Oktatási Akadémia (ASE) készen áll új hallgatók fogadására.

Hogyan lehet logaritmikus egyenletet megoldani? Ezt a kérdést sok iskolás felteszi, különösen az előestéjén letette az egységes államvizsgát matematika. Hiszen az Egységes állapotvizsgálat profil C1 feladatában logaritmikus egyenletekkel találkozhatunk.

Azt az egyenletet, amelyben az ismeretlen a logaritmusokon belül van, logaritmikusnak nevezzük. Ráadásul az ismeretlen mind a logaritmus argumentumában, mind az alapjában megtalálható.

Az ilyen egyenletek megoldásának többféle módja van. Ebben a cikkben egy könnyen érthető és megjegyezhető módszert fogunk megvizsgálni.

Egyenletek logaritmusos megoldása: 2 módszer példákkal

A logaritmikus egyenlet többféleképpen is megoldható. Leggyakrabban az iskolában azt tanítják, hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet a logaritmus definíciójával. Vagyis van egy egyenletünk a következő formában: Felidézzük a logaritmus definícióját, és a következőket kapjuk: Így egy egyszerű egyenletet kapunk, amelyet könnyen meg tudunk oldani.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál fontos megjegyezni a logaritmus definíciós tartományát, mert az f(x) argumentumnak nagyobbnak kell lennie nullánál. Ezért a logaritmikus egyenlet megoldása után mindig ellenőrizzük!

Nézzük meg, hogyan működik ez egy példán:

Használjuk a logaritmus definícióját, és kapjuk:

Most a legegyszerűbb egyenlet áll előttünk, amelyet nem nehéz megoldani:

Csináljunk egy ellenőrzést. Helyettesítsük be a talált X-et az eredeti egyenletbe: Mivel 3 2 = 9, az utolsó kifejezés helyes. Ezért x = 3 az egyenlet gyöke.

Válasz: x = 3

Fő hátránya ez a módszer A logaritmikus egyenletek megoldása az, hogy sok srác összekeveri, hogy pontosan mit is kell hatványra emelni. Azaz log a f(x) = b konvertálásakor sokan nem a-t emelik b hatványára, hanem b-t a hatványára. Egy ilyen bosszantó hiba megfoszthatja Önt az egységes államvizsga értékes pontjaitól.

Ezért mutatunk egy másik módot a logaritmikus egyenletek megoldására.

A logaritmikus egyenlet megoldásához olyan formára kell hoznunk, ahol az egyenlet jobb és bal oldalán is azonos alapú logaritmus van. Ez így néz ki:

Miután az egyenletet erre a formára redukáltuk, „áthúzhatjuk” a logaritmusokat, és megoldhatjuk az egyszerű egyenletet. Értsük meg egy példával.

Oldjuk meg újra ugyanazt az egyenletet, de most így: A bal oldalon van egy 2-es alapú logaritmus, ezért a logaritmus jobb oldalát át kell alakítanunk úgy, hogy az egy 2-es alapú logaritmust is tartalmazzon.

Ehhez idézzük fel a logaritmusok tulajdonságait. Az első tulajdonság, amire itt szükségünk van, a logaritmikus egység. Emlékeztessük őt: Vagyis a mi esetünkben: Vegyük az egyenletünk jobb oldalát, és kezdjük el átalakítani: Most a 2-t is be kell írnunk a logaritmikus kifejezésbe. Ehhez idézzük fel a logaritmus egy másik tulajdonságát:

Használjuk ezt a tulajdonságot a mi esetünkben, így kapjuk: Az egyenletünk jobb oldalát átalakítottuk a szükséges formára, és így kaptuk: Most az egyenlet bal és jobb oldalán azonos alapú logaritmusokat találunk, így áthúzhatjuk őket. Ennek eredményeként a következő egyenletet kapjuk:

Válasz: x = 3

Igen, ebben a módszerben több lépés van, mint a logaritmus definíciójával történő megoldásnál. De minden cselekvés logikus és következetes, aminek következtében kisebb az esély a hibákra. Ráadásul ez a módszer több lehetőséget biztosít bonyolultabb logaritmikus egyenletek megoldására is.

Nézzünk egy másik példát: Tehát az előző példához hasonlóan alkalmazzuk a logaritmusok tulajdonságait, és az egyenlet jobb oldalát a következőképpen alakítjuk át: A jobb oldal átalakítása után az egyenletünk a következő alakot ölti: Most áthúzhatjuk a logaritmusokat, és megkapjuk: Emlékezzünk a fokok tulajdonságaira:

Most nézzük meg: akkor az utolsó kifejezés helyes. Ezért x = 3 az egyenlet gyöke.

Válasz: x = 3

Egy másik példa logaritmikus egyenlet megoldására: Először transzformáljuk az egyenletünk bal oldalát. Itt az azonos bázisú logaritmusok összegét látjuk. Használjuk a logaritmusok összegének tulajdonságát, és kapjuk meg: Most transzformáljuk az egyenlet jobb oldalát: Az egyenlet jobb és bal oldalát transzformálva a következőt kapjuk: Most áthúzhatjuk a logaritmusokat:

Oldjuk meg ezt a másodfokú egyenletet, és keressük meg a diszkriminánst:

Ellenőrizzük, cseréljük be x 1 = 1-et az eredeti egyenletbe: Igaz, ezért x 1 = 1 az egyenlet gyöke.

Most helyettesítsük be x 2 = -5-öt az eredeti egyenletbe: Mivel a logaritmus argumentumnak pozitívnak kell lennie, a kifejezés nem igaz. Ezért x 2 = -5 egy idegen gyök.

Válasz: x = 1

Példa különböző alapú logaritmikus egyenlet megoldására

Fentebb olyan logaritmikus egyenleteket oldottunk meg, amelyekben azonos bázisú logaritmusok vettek részt. De mi a teendő, ha a logaritmusoknak más az alapja? Például,

Így van, a jobb és bal oldali logaritmusokat ugyanarra az alapra kell hozni!

Tehát nézzük a példánkat: Alakítsuk át az egyenletünk jobb oldalát:

Tudjuk, hogy 1/3 = 3 -1. Ismerjük a logaritmus tulajdonságát is, nevezetesen a kitevő eltávolítását a logaritmusból: Ezt a tudást alkalmazzuk és megkapjuk: De amíg az egyenlet jobb oldalán egy „-” jel van a logaritmus előtt, nincs jogunk áthúzni. A logaritmikus kifejezésbe be kell írni a „-” jelet. Ehhez a logaritmus másik tulajdonságát használjuk:

Ekkor a következőt kapjuk: Most az egyenlet jobb és bal oldalán azonos alapú logaritmusaink vannak, és áthúzhatjuk őket: Ellenőrizzük: Ha a jobb oldalt a logaritmus tulajdonságaival transzformáljuk, a következőt kapjuk: Igaz, ezért x = 4 az egyenlet gyöke.

Válasz: x = 4.

Példa változó alapú logaritmikus egyenlet megoldására

Fentebb példákat néztünk meg olyan logaritmikus egyenletek megoldására, amelyek bázisa állandó, pl. egy bizonyos értéket– 2, 3, ½... De a logaritmus alapja tartalmazhat X-et, akkor az ilyen alapot változónak nevezzük. Például log x +1 (x 2 +5x-5) = 2. Látjuk, hogy ebben az egyenletben a logaritmus alapja x+1. Hogyan lehet megoldani egy ilyen típusú egyenletet? Az előzőekkel megegyező elv szerint fogjuk megoldani. Azok. az egyenletünket úgy alakítjuk át, hogy a bal és a jobb oldalon azonos bázisú logaritmusok legyenek. Alakítsuk át az egyenlet jobb oldalát: Most az egyenlet jobb oldalán lévő logaritmusnak ugyanaz az alapja, mint a bal oldali logaritmusnak: Most áthúzhatjuk a logaritmusokat: De adott egyenlet nem ekvivalens az eredeti egyenlettel, mivel a definíciós tartományt nem veszik figyelembe. Írjuk fel a logaritmushoz kapcsolódó összes követelményt:

1. A logaritmus argumentumának nagyobbnak kell lennie nullánál, ezért:

2. A logaritmus alapjának nagyobbnak kell lennie 0-nál és nem lehet egyenlő eggyel, ezért:

Tegyük fel az összes követelményt a rendszerbe:

Ezt a követelményrendszert leegyszerűsíthetjük. Lásd x 2 +5x-5 nagyobb, mint nulla, és egyenlő (x + 1) 2-vel, ami viszont nagyobb nullánál. Ebből következően az x 2 + 5x-5 > 0 követelmény automatikusan teljesül, és nem kell megoldanunk. Ekkor rendszerünk a következőre redukálódik: Írjuk át a rendszerünket: Ezért rendszerünk a következő formában lesz: Most megoldjuk az egyenletünket: A jobb oldalon van az összeg négyzete: Ez a gyök kielégíti a követelményeinket, mivel 2 nagyobb, mint -1, és nem egyenlő 0-val. Ezért x = 2 az egyenletünk gyöke.

A teljes biztonság kedvéért ellenőrizhetjük, ha x = 2-t behelyettesítünk az eredeti egyenletbe:

Mert 3 2 =9, akkor az utolsó kifejezés helyes.

Válasz: x = 2

Hogyan ellenőrizhető

Ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a logaritmikus egyenletek megoldásánál figyelembe kell venni az elfogadható értékek tartományát. Így a logaritmus alapjának nagyobbnak kell lennie nullánál, és nem egyenlő eggyel. Az érvelésének pedig pozitívnak kell lennie, i.e. több mint nulla.

Ha az egyenletünk log a (f(x)) = log a (g(x)) alakú, akkor a következő korlátozásoknak kell teljesülniük:

A logaritmikus egyenlet megoldása után ellenőrizni kell. Ehhez be kell cserélni a kapott értéket az eredeti egyenletbe, és ki kell számítani. Ez egy kis időt vesz igénybe, de lehetővé teszi, hogy elkerülje, hogy idegen gyökereket írjon le a válaszban. Kár helyesen megoldani egy egyenletet, és ugyanakkor helytelenül leírni a választ!

Tehát most már tudja, hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet a logaritmus definíciójával és az egyenlet transzformációjával, amikor mindkét oldalnak azonos bázisú logaritmusa van, amit „áthúzhatunk”. A logaritmus tulajdonságainak kiváló ismerete, a definíciós tartomány figyelembe vétele és az ellenőrzés elvégzése a siker kulcsa a logaritmikus egyenletek megoldása során.

1. A megoldás szabványos – használjuk szorzási szabály 1-gyel:

Most eltávolítjuk a logaritmusokat:

Szorozzuk meg keresztben:

Vizsgálat

Illik!

Vizsgálat

És ide illik! Lehet, hogy tévedtem, és a gyökerek mindig megfelelőek? Nézzük a következő példát!

2. példa

Ábrázoljuk a hármast kedvenc módszerünkkel az űrlapon

A bal és a jobb oldalon a logaritmusok összegének képletét fogjuk használni.

3. példa

A megoldás hasonló a korábban tárgyalt példához: alakítsuk át a jobb oldali mértékegységet (hadd emlékeztessem Önöket arra, hogy - decimális logaritmus, vagy logaritmus az alaphoz), és hajtsunk végre műveleteket a bal és jobb oldali logaritmusok között:

Most távolítsuk el a bal és jobb oldali logaritmusokat:

\left((x) -2 \right)\left((x) -3 \right)=2

Vizsgálat:

Ismét mindkét bal oldali logaritmus definiálatlan, mivel negatív számokból származnak. Akkor ez nem gyökér.

azóta

Válasz:

Remélem, hogy az imént felhozott példák örökre leszoktatják az ellenőrzések kihagyásáról a logaritmikus egyenletek megoldása során. Szükséges!

Logaritmikus egyenlet változó bázissal

Most egy másik (kicsit bonyolultabb) típusú logaritmikus egyenletet szeretnék veletek megnézni. Ezek lesznek változó bázisú egyenletek.

Ezelőtt csak azokat az eseteket vettük figyelembe, ahol a bázisok állandóak voltak: stb. De semmi sem akadályozza meg, hogy például stb.

De ne félj! Ha a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során egy változó bázis elég sok kellemetlenséget okoz, akkor Ennek gyakorlatilag nincs hatása az egyenlet megoldásának bonyolultságára!Ítéld meg magad:

1. számú példa

A korábbiak szerint járunk el: alkalmazzuk a „szorzás eggyel” módszert a számra:

Ezután az eredeti egyenletet a következő alakra alakítjuk:

jelentkezni fogok négyzet különbség képlete:

Vizsgálat:

Milyen következtetést vonunk le? Rossz! A szám nem az egyenlet gyöke, mert a logaritmus alapja nem lehet negatív szám vagy egyenlő eggyel!

Válasz: .

Mint látható, az egyenletek esetében nincs alapvető különbség, hogy bázisaink változóak vagy sem. Ebben a tekintetben azt mondhatjuk, hogy döntsön logaritmikus egyenletáltalában sokkal könnyebb, mint egy logaritmikus egyenlőtlenséget megoldani!

Próbáljunk meg most egy másik „furcsa” példát megoldani.

2. példa

Úgy fogunk járni, mint mindig - a jobb oldalt logaritmussá alakítjuk, mint ez a trükkös:

Ekkor az eredeti logaritmikus egyenlet egyenértékű lesz ezzel az egyenlettel (bár ismét logaritmikus)

Ezt az egyenletet újra megoldom a négyzetek különbségével:

Először az elsőt oldjuk meg, a második nagyjából ugyanígy lesz megoldva:

Újra használható lesz "szorozni 1-gyel":

Hasonlóan a második egyenlethez:

Most jön a szórakoztató rész: az ellenőrzés. Kezdjük az első gyökérrel

A "nagy" logaritmus alapja egyenlő

Ezért nem gyökér.

Nézzük a második számot:

ez a szám az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz:

Szándékosan hoztam eleget összetett példa, hogy megmutassa, nem kell félnie a nagy és félelmetes logaritmusoktól.

Elég, ha ismersz néhány képletet (amelyeket fentebb már megadtam) és minden (majdnem) helyzetből megtalálhatod a kiutat!

Nos, megadtam neked a logaritmikus egyenletek megoldásának alapvető módszereit ("nem sallang" módszerek), amelyek lehetővé teszik a legtöbb példával való megbirkózást (elsősorban az egységes államvizsgán).

Most itt az ideje, hogy megmutassa, mit tanult. Próbálja meg saját maga megoldani a következőket logaritmikus egyenletek, majd összehasonlítjuk veled az eredményeket.

Hét példa önálló munkára

Az ebben a munkában tárgyalt technikák természetesen nem merítik ki a logaritmikus egyenletek megoldásának minden lehetséges módját.

Egyes esetekben nagyon kreatívnak kell lennünk, hogy kitaláljuk a módját, hogyan találjuk meg a trükkös egyenlet gyökereit.

Bármilyen bonyolult is a kezdeti egyenlet, ennek eredményeként olyan típusú egyenletre redukálódik, amelyet Ön és én most tanultunk megfejteni!

Válaszok példákra önálló munkához

1. Egy meglehetősen egyszerű feladat: használjuk a tulajdonságot:

alfejezetben:

Akkor kapjuk:

Ellenőrizzük:

(Ezt az átmenetet fentebb már elmagyaráztam neked)

Válasz: 9

2. Szintén semmi természetfölötti: nem akarok osztani, ezért a „mínuszos” kifejezést jobbra mozgatom: most balra és jobbra tízes logaritmus van, és megszabadulok tőlük:

Ellenőrzöm:

a logaritmus előjele alatti kifejezés nem lehet negatív, így nem a szám az egyenlet gyöke.

Vizsgálat

Válasz:

Itt egy kis munkát kell végeznünk: egyértelmű, hogy ismét a (nem nagyon hasznos?) képletet fogom használni:

Mit kell tennem a logaritmus összeadási képlet alkalmazása előtt? Igen, meg kell szabadulnom a szorzótól. Két módja van: az első, hogy közvetlenül beírja egy logaritmusba a képlet segítségével:

Ennek a módszernek elvileg létjogosultsága van, de mi a rossz benne? Rossz a forma kifejezésével foglalkozni (a „nem egész fokozat” mindig kellemetlen. Szóval mit tehetünk még? Hogyan lehet megszabadulni az ilyen „nem egész fokozattól”? Szorozzuk meg az egyenletünkkel:

Nos, most tegyük logaritmusba mindkét tényezőt:

akkor lecserélem a nullát erre

És végül megkapom:

Emlékszel, hogy hívják ezt a „nem szeretett” iskolai formulát? Ez kocka különbség! Talán ez egyértelműbb?

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a kockák különbsége a következőképpen van faktorálva:

és itt van még egy:

A mi helyzetünkhöz képest ez a következőket adja:

Az első egyenletnek van gyöke, de a másodiknak nincs gyöke (lásd magad!).

Rád bízom, hogy ellenőrizze saját maga, és győződjön meg arról, hogy a szám valójában az egyenletünk gyökere.

Az előző példához hasonlóan átírjuk

Ismét nem akarok kivonásokat (és további osztásokat), ezért az eredményül kapott kifejezést jobbra mozgatom:

Most eltávolítom a logaritmusokat a bal és a jobb oldalon:

Kaptunk egy irracionális egyenletet, amit remélem, már tudod, hogyan kell megoldani. Hadd emlékeztesselek arra, hogy mindkét oldalt négyzetbe helyezzük:

Most az a feladatod, hogy megbizonyosodj arról, hogy nem gyökér, hanem igen.

Válasz:

Minden átlátszó: a bal oldali logaritmusösszeg képletét alkalmazzuk:

majd eltávolítjuk a logaritmusokat mindkét oldalon:

Vizsgálat:

Válasz: ;

Minden nem is lehetne egyszerűbb: az egyenletet már redukáltuk a legegyszerűbb formájára. Nincs más dolgunk, mint egyenlíteni

Ellenőrizzük:

De ha a logaritmus alapja egyenlő:

És ez nem gyökér.

Válasz:

Ezt a példát desszertnek hagytam. Bár ebben sincs semmi túl bonyolult.

Képzeljük el a nullát

Akkor te és én megkapjuk ezt logaritmikus egyenlet:

És eltávolítjuk az első „bőrt” - a külső logaritmusokat.

Képzeljük el az egységet mint

Ekkor az egyenletünk a következő alakot veszi fel:

Most eltávolítjuk a „második bőrt”, és eljutunk a maghoz:

Ellenőrizzük:

Válasz: .

3 MÓDSZER A LOGARITMIKUS EGYENLETEK MEGOLDÁSÁRA. HALADÓ SZINT

Most, miután elolvasta a logaritmikus egyenletekről szóló első cikket, elsajátította a szükséges minimális ismereteket, amelyek a legegyszerűbb példák megoldásához szükségesek.

Most folytathatom az elemzést három módszer logaritmikus egyenletek megoldása:

• új változó bevezetésének módja (vagy csere)
• logaritmus módszer
• az új alapra való áttérés módja.

Első módszer- az egyik leggyakrabban használt a gyakorlatban. Megoldja a logaritmikus (és nem csak) egyenletek megoldásával kapcsolatos legtöbb „nehéz” problémát.

Második módszer vegyes exponenciális-logaritmikus egyenletek megoldására szolgál, végső soron a problémát egy jó helyettesítő változó kiválasztására redukálva (vagyis az első módszerre).

Harmadik módszer alkalmas néhány olyan egyenlet megoldására, amelyekben különböző bázisú logaritmusok fordulnak elő.

Az első módszerrel kezdem.

Új változó bevezetésének módja (4 példa)

Amint már a névből is értetted, ennek a módszernek az a lényege, hogy olyan változóváltást vezetsz be, hogy a logaritmikus egyenleted csodával határos módon olyanná alakul át, amelyet könnyen megoldhatsz.

Ennek a nagyon „leegyszerűsített egyenletnek” a megoldása után nem marad más hátra, mint tenni "fordított csere": vagyis visszatérni a lecseréltről a lecseréltre.

Illusztráljuk az imént elmondottakat egy nagyon egyszerű példával:

Ebben a példában a helyettesítés önmagát javasolja! Végül is világos, hogy ha helyettesítjük a következővel, akkor logaritmikus egyenletünk racionálissá válik:

Könnyen megoldható négyzetre redukálva:

(hogy a nevező véletlenül se álljon vissza nullára!)

Az eredményül kapott kifejezést leegyszerűsítve végül megkapjuk:

Most végezzük el a fordított helyettesítést: , akkor ebből következik, és ebből kapjuk

Most is, mint korábban, itt az ideje, hogy ellenőrizze:

Legyen az elején, mert akkor igaz!

Akkor most minden rendben van!

Így a számok az eredeti egyenletünk gyökerei.

Válasz: .

Íme egy másik példa nyilvánvaló cserével:

Sőt, azonnal cseréljük ki

akkor az eredeti logaritmikus egyenletünk másodfokúvá változik:

Fordított csere:

Ellenőrizze saját maga, győződjön meg arról, hogy ebben az esetben mindkét talált szám gyök.

Azt hiszem, megértette a fő gondolatot. Ez nem új, és nem csak a logaritmikus egyenletekre vonatkozik.

A másik dolog az, hogy néha meglehetősen nehéz azonnal „látni” a cserét. Ehhez némi tapasztalatra van szükség, amely némi erőfeszítés után megszerződik.

Addig is gyakorolja a következő példák megoldását:

Kész? Nézzük, mit kaptál:

Először oldjuk meg a második példát.

Csak azt mutatja be, hogy nem mindig lehet cserét végrehajtani, ahogy mondják, „fejjel”.

Először is egy kicsit átalakítanunk kell az egyenletünket: alkalmazzuk a logaritmusok különbségének képletét az első tört számlálójában, és vegyük fel a hatványt a második tört számlálójában.

Ezzel a következőket kapja:

Most nyilvánvalóvá vált a csere, nem? Készítsük el: .

Most hozzuk a törteket közös nevezőre, és egyszerűsítsük.

Akkor kapjuk:

Az utolsó egyenlet megoldása után megtalálja a gyökereit: hol.

Végezze el Ön is az ellenőrzést, és győződjön meg arról, hogy ezek valóban az eredeti egyenletünk gyökerei.

Most próbáljuk meg megoldani a harmadik egyenletet.

Nos, először is világos, hogy nem árt, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk. Nem árt, de az előnyök nyilvánvalóak.

Most csináljunk cserét. Kitaláltad, hogy mit fogunk lecserélni, igaz? Így van, mondjuk . Ekkor az egyenletünk a következő formában lesz:

(mindkét gyökér illik hozzánk!)

Most a fordított csere: , from, from. Eredeti egyenletünknek négy gyöke van! Győződjön meg róla, hogy a kapott értékeket helyettesítse be az egyenletbe. Leírjuk a választ:

Válasz: .

Azt hiszem, most már teljesen világos számodra a változó lecserélésének ötlete? Rendben, akkor ne álljunk meg itt, és folytassuk a logaritmikus egyenletek megoldásának másik módszerét: az új alapra való áttérés módja.

Az új bázisra való áttérés módja

Tekintsük a következő egyenletet:

Mit látunk? A két logaritmus állítólag „ellentétes” egymással. Mit kell csinálnunk? Minden egyszerű: csak két képlet egyikét kell alkalmaznunk:

Elvileg semmi sem akadályoz abban, hogy e két képlet valamelyikét használjam, de az egyenlet szerkezete miatt kényelmesebb lesz az elsőt használni: a második tagban megszabadulok a logaritmus változó alapjától. azzal helyettesítve. Most már könnyen belátható, hogy a feladat az előzőre redukálódott: a helyettesítő kiválasztása. Behelyettesítve a következő egyenletet kapom:

Innen. Mindössze annyit kell tennie, hogy behelyettesíti a talált számokat az eredeti egyenletbe, és meg kell győződnie arról, hogy ezek valójában gyökök.

Íme egy másik példa, ahol van értelme új alapítványra költözni:

Azonban, amint azt könnyen ellenőrizheti, ha Ön és én azonnal új alapozóra költözünk, az nem hozza meg a kívánt hatást. Mit kell tennünk ebben az esetben? Egyszerűsítsünk le mindent, amennyire csak lehet, aztán bármi történik.
Tehát azt szeretném elképzelni, hogyan, hogyan kell ezeket a hatványokat kivenni a logaritmusok elé, és kivenni az X négyzetét is az első logaritmusból. majd meglátjuk.

Ne feledd, az alappal sokkal nehezebb megbarátkozni, mint a logaritmus jele alatti kifejezéssel!

Ezt a szabályt követve helyettesítem a és -vel. Akkor kapok:

Nos, a következő lépések már ismerősek számodra. Cserélje ki és keresse a gyökereket!

Ennek eredményeként az eredeti egyenlet két gyökerét találja:

Itt az ideje, hogy megmutassa, mit tanult!

Először próbálja meg egyedül megoldani a következő (nem a legegyszerűbb) példákat:

1. Itt minden teljesen szabványos: megpróbálom az eredeti egyenletet olyanra redukálni, hogy a csere kényelmes legyen. Mi kell nekem ehhez? Először alakítsa át a bal oldali első kifejezést (a logaritmus előtt távolítsa el a kettő negyedik hatványát), és vegye ki a kettő hatványát a második logaritmus alapjából. Akkor kapok:

Már csak az első logaritmus „megfordítása” van hátra!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(a kényelem kedvéért a második logaritmust balról jobbra mozgattam az egyenletben)

A probléma majdnem megoldódott: lehet cserélni. A közös nevezőre redukálás után a következő egyenletet kapom:

A fordított helyettesítés után nem lesz nehéz kiszámítani, hogy:

Győződjön meg arról, hogy a kapott értékek az egyenletünk gyökerei.

2. Itt is megpróbálom az egyenletemet egy elfogadható helyettesítésre „illeszteni”. Melyik? Talán megfelelni fog nekem.

Tehát ne vesztegessük az időt, és kezdjük el az átalakulást!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Nos, most már nyugodtan cserélheti! Ekkor az új változóra vonatkozóan a következő egyenletet kapjuk:

Ahol. Ismételten meg kell győződni arról, hogy mindkét szám valóban gyökér-e.

3. Itt nem is azonnal nyilvánvaló, hogy mit fogunk cserélni. Egy dolog van aranyszabály - Ha nem tudod, mit csinálj, tedd meg, amit tudsz! Ezt fogom használni!

Most „megfordítom” az összes logaritmust, és az elsőre alkalmazom a különbség logaritmus képletét, az utolsó kettőre pedig az összeg logaritmust:

Itt használtam az (at) tényt és azt a tulajdonságot is, hogy egy logaritmusból hatványt veszünk ki. Nos, most alkalmazhatunk megfelelő cserét: . Biztos vagyok benne, hogy már tudja, hogyan kell racionális egyenleteket megoldani, még ez a szörnyű típus is. Ezért megengedem magamnak, hogy azonnal leírjam az eredményt:

Két egyenletet kell megoldani: . Az előző részben már megismerkedett az ilyen „majdnem legegyszerűbb” egyenletek megoldási módszereivel. Tehát mindjárt leírom a végső megoldásokat:

Győződjön meg arról, hogy ezek közül a számok közül csak kettő legyen az egyenletem gyökere! Mégpedig az, és, miközben nem gyökér!

Ez a példa egy kicsit trükkösebb, de megpróbálom megoldani anélkül, hogy egyáltalán folyamodnék a változók helyettesítéséhez! Csináljuk meg még egyszer, tegyük meg, amit tudunk: először a bal oldali logaritmust bővíthetjük egy arány logaritmusának képlete szerint, és zárójelben is tesszük a kettőt a logaritmus elé. A végén kapok:

Nos, most ugyanaz a képlet, amit már használtunk! Tehát rövidítsük le a jobb oldalt! Most csak egy kettő van ott! Menjünk rá egyet balról, és végül megkapjuk:

Ön már tudja, hogyan kell megoldani az ilyen egyenleteket. A gyökér nehézség nélkül megtalálható, és egyenlő. Emlékeztetlek, hogy ellenőrizd!

Nos, most, ahogy remélem, megtanultál olyan bonyolult problémákat megoldani, amelyeket nem tudsz „fejjel” leküzdeni! De a logaritmikus egyenletek még alattomosabbak lehetnek! Íme néhány példa:

Itt sajnos az előző megoldás nem ad kézzelfogható eredményt. Szerinted miért? Igen, itt már nincs logaritmus „viszonossága”. Természetesen ez a legáltalánosabb eset is megoldható, de már a következő képletet használjuk:

Ezt a képletet nem érdekli, hogy megvan-e az „ellentét” vagy sem. Felmerülhet a kérdés, miért válasszunk bázist? A válaszom az, hogy mindegy. A válasz végül nem ezen múlik. Hagyományosan a természetes vagy decimális logaritmus használatos. Bár ez nem fontos. Például decimálist fogok használni:

Ebben a formában választ hagyni teljes szégyen! Hadd írjam le először definíció szerint

Itt az ideje, hogy használjuk: a zárójelben - a fő logaritmikus azonosság, és azon kívül (a mértékig) - fordítsa az arányt egy logaritmusra: akkor végre megkapjuk ezt a „furcsát” válasz: .

További egyszerűsítések sajnos már nem állnak rendelkezésünkre.

Ellenőrizzük együtt:

Jobb! Egyébként emlékezz még egyszer, miből következik a lánc utolsó előtti egyenlősége!

Ennek a példának a megoldása elvileg le is redukálható egy új bázison alapuló logaritmusra való átállásra, de már meg kell félni, hogy mi lesz a végén. Próbáljunk meg valami ésszerűbbet tenni: alakítsuk át a bal oldalt a lehető legjobban.

Amúgy szerinted hogyan kaptam meg az utolsó bontást? Így van, alkalmaztam a dekompozíciós tételt másodfokú trinomikus tényezők alapján, nevezetesen:

Ha az egyenlet gyökerei, akkor:

Nos, most átírom az eredeti egyenletemet ebben a formában:

De képesek vagyunk egy ilyen probléma megoldására!

Tehát vezessünk be egy cserét.

Ekkor a kezdeti egyenletem a következő egyszerű formát ölti:

Gyökerei egyenlők: , akkor

Honnan származik ez az egyenlet? nincsenek gyökerei.

Nincs más dolgod, mint ellenőrizni!

Próbálja meg saját maga megoldani a következő egyenletet. Szánjon rá időt és legyen óvatos, akkor a szerencse az Ön oldalán lesz!

Kész? Lássuk, mit kaptunk.

Valójában a példa megoldása két lépésben történik:

1. Átalakítás

2. most a jobb oldalon van egy kifejezés, ami egyenlő a

Így az eredeti egyenletet a legegyszerűbbre redukáltuk:

A teszt azt mutatja, hogy ez a szám valóban az egyenlet gyökere.

Logaritmus módszer

És végül nagyon röviden megvitatom néhány megoldási módszert vegyes egyenletek. Természetesen nem vállalom, hogy minden vegyes egyenletet lefedjek, hanem a legegyszerűbbek megoldására mutatok be módszereket.

Például,

Egy ilyen egyenlet logaritmus módszerrel oldható meg. Mindössze annyit kell tennie, hogy felveszi mindkét oldal logaritmusát.

Nyilvánvaló, hogy mivel már van egy logaritmusunk az alaphoz, a logaritmust ugyanarra az alapra viszem:

Most kivonom az erőt a bal oldali kifejezésből:

és faktorizálja a kifejezést a négyzetek különbségi képletével:

Az ellenőrzés, mint mindig, a lelkiismeretedre hárul.

Próbálja meg Ön is megoldani a cikk utolsó példáját!

Ellenőrizzük: vegyük a logaritmust az egyenlet mindkét oldalának alapjába:

Kiveszem a bal oldali fokot és felosztom a jobb oldali összegképlet segítségével:

Az egyik gyökeret sejtjük: ez egy gyökér.

A megoldásnak szentelt cikkben exponenciális egyenletek, arról beszéltem, hogyan lehet egy polinomot elosztani egy „sarokkal” egy másikkal.

Itt kell osztanunk.

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

Ha lehetséges, végezze el az ellenőrzést saját maga (bár ebben az esetben, különösen az utolsó két gyökérrel, ez nem lesz könnyű).

LOGARITMIKUS EGYENLETEK. SZUPER SZINT

A már bemutatott anyagon kívül azt javaslom, hogy fontoljanak meg egy másik módot a logaritmusokat tartalmazó vegyes egyenletek megoldására, de itt olyan egyenleteket veszek figyelembe, nem oldható meg a korábban tárgyalt mindkét oldal logaritmusának felvételével. Ez a módszer mini-max neve van.

Mini-max módszer

Ez a módszer nemcsak vegyes egyenletek megoldására alkalmazható, hanem bizonyos egyenlőtlenségek megoldásánál is hasznosnak bizonyul.

Tehát először bemutatjuk a következő alapvető definíciókat, amelyek szükségesek a mini-max módszer alkalmazásához.

Egyszerű képek illusztrálják ezeket a meghatározásokat:

A bal oldali ábrán látható függvény monoton növekszik, a jobb oldalon pedig monoton csökken. Most térjünk rá a logaritmikus függvényre, ismert, hogy a következő igaz:

Az ábrán monoton növekvő és monoton csökkenő logaritmikus függvények láthatók.

Írjuk le közvetlenül mini-max módszer. Gondolom érted, milyen szavakból származik ez a név?

Így van, a minimum és maximum szavakból. Röviden a módszert a következőképpen ábrázolhatjuk:

Legfontosabb célunk ennek a nagyon állandónak a megtalálása, hogy tovább redukáljuk az egyenletet két egyszerűbbre.

Erre a célra a logaritmikus függvény fentebb megfogalmazott monotonitási tulajdonságai hasznosak lehetnek.

Most pedig nézzünk konkrét példákat:

1. Nézzük először a bal oldalt.

Létezik olyan logaritmus, amelynek alapja kevesebb. A fent megfogalmazott tétel szerint mi a függvény? Csökkenőben van. Ugyanakkor, ami azt jelenti. Másrészt a gyökér definíciója szerint: . Így az állandó megtalálható és egyenlő. Ekkor az eredeti egyenlet ekvivalens a rendszerrel:

Az első egyenletnek gyöke van, a másodiknak pedig: . És így, közös gyökér egyenlő, és ez a gyök lesz az eredeti egyenlet gyöke. Minden esetre ellenőrizze, hogy megbizonyosodjon róla.

Válasz:

Rögtön gondoljuk át, mi van itt írva?

értem általános szerkezet. Itt azt írja, hogy két négyzet összege nulla.

Mikor lehetséges?

Csak akkor, ha mindkét szám külön-külön egyenlő nullával. Ezután térjünk át a következő rendszerre:

Az első és a második egyenletnek nincs közös gyöke, akkor az eredeti egyenletnek nincs gyöke.

Válasz: nincsenek megoldások.

Nézzük először a jobb oldalt – ez egyszerűbb. A szinusz definíciója szerint:

Honnan, majd Ezért

Most térjünk vissza a bal oldalra: vegyük figyelembe a logaritmusjel alatti kifejezést:

Ha megpróbáljuk megtalálni az egyenlet gyökereit, az nem vezet pozitív eredményre. De ennek ellenére valahogy értékelnem kell ezt a kifejezést. Természetesen ismersz egy ilyen módszert egy teljes négyzet kiválasztása. itt fogom használni.

Mivel egy növekvő függvény, ebből az következik. És így,

Ekkor az eredeti egyenletünk ekvivalens a következő rendszerrel:

Nem tudom, ismered-e a megoldást vagy sem trigonometrikus egyenletek, tehát ezt teszem: megoldom az első egyenletet (legfeljebb két gyöke van), majd az eredményt behelyettesítem a másodikba:

(ellenőrizheti és megbizonyosodhat arról, hogy ez a szám a rendszer első egyenletének gyöke)

Most behelyettesítem a második egyenletbe:

Válasz:

Nos, most világossá vált számodra a mini-max módszer használatának technikája? Ezután próbálja meg saját maga megoldani a következő példát.

Kész? Ellenőrizzük:

A bal oldal két nemnegatív mennyiség (egység és modulus) összege, ezért a bal oldal nem kisebb egynél, és csak akkor egyenlő eggyel, ha

Ugyanakkor a jobb oldal két koszinusz (ami nem több, mint egy) szorzatának modulusa (azaz nullánál nagyobb), akkor:

Ekkor az eredeti egyenlet ekvivalens a rendszerrel:

Ismét javaslom az első egyenlet megoldását, és az eredményt a másodikkal helyettesíteni:

Ennek az egyenletnek nincs gyökere.

Ekkor az eredeti egyenletnek sincs gyöke.

Válasz: nincsenek megoldások.

RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL. 6 LOGARITMIKUS EGYENLETEK MEGOLDÁSÁNAK MÓDSZEREI

Logaritmikus egyenlet- egy egyenlet, amelyben az ismeretlen változók logaritmuson belül vannak.

A legegyszerűbb logaritmikus egyenlet a forma egyenlete.

Bármely logaritmikus egyenlet megoldásának folyamata abból áll, hogy a logaritmikus egyenletet a formára redukáljuk, és a logaritmusokat tartalmazó egyenletről a logaritmus nélküli egyenletre lépünk át: .

ODZ logaritmikus egyenlethez:

A logaritmikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei:

1 módszer. A logaritmus definícióját használva:

2. módszer. A logaritmus tulajdonságainak felhasználásával:

3. módszer.Új változó bevezetése (csere):

• a helyettesítés lehetővé teszi, hogy a logaritmikus egyenletet egyszerűbbre redukáljuk algebrai egyenlet t-hez képest.

4. módszerÁttérés új alapra:

5 módszer. Logaritmus:

• vegyük az egyenlet jobb és bal oldalának logaritmusát.

6 módszer. Mini-max:

Most hallani akarunk rólad...

A logaritmikus egyenletekről igyekeztünk a lehető legegyszerűbben és alaposabban írni.

Most rajtad a sor!

Írja meg, hogyan értékeli cikkünket? Tetszett neki?

Talán már tudja, hogyan kell logaritmikus egyenleteket megoldani?

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írj róla kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!