Keresztkorrelációs függvény(VKF) a korrelációs tulajdonságok becslése két véletlenszerű folyamat és a két szelvényen végzett terepi megfigyelésekkel, két nyomon stb.
A VKF kiszámítása a következő képlettel történik:
(4.7)
ahol n az egyes megvalósítások pontjainak száma, azaz. minden profilhoz, útvonalhoz stb.
És - a megfigyelt adatok átlagos értéke ezekre a profilokra, nyomokra.
Ha az átlagértékek nullával egyenlőek: a (4.7) képlet egyszerűsödik
(4.8)
Nál nél m=0, a CCF értéke megegyezik az azonos nevű megfigyelési diszkrétek mezőértékeinek szorzatával a profilok, nyomok stb.
A VKF értéke egyenlő az egy mintával eltolt mezőértékek szorzatával. Ebben az esetben azt feltételezzük, hogy az egy diszkrét eltolás balra a következő profiltól, azaz. , az előzőhöz képest, i.e. , pozitív torzításnak felel meg, azaz. , és a jobbra eltolás megfelel az értékének.
Mivel at és at megszorozzuk különböző jelentések mezőben, ellentétben az ACF számításával, akkor a VKF nem páros függvény, azaz. .
A VKF értéke megegyezik a már két diszkréttel eltolt mezőértékek szorzatával, és így tovább.
A gyakorlatban gyakran használják a normalizált CCF-et (4.8)
ahol és az első és második nyomprofil mezőértékeinek szórása.
A VKF a geofizikai adatok feldolgozásának három fő problémájának megoldásában talált alkalmazást:
1) A jel korrelációs tulajdonságainak értékelése a profilok, utak közötti korrelálatlan interferencia és a jel alakjának profilról profilra (útról útvonalra) való kismértékű változása mellett, amit a gyakorlatban általában megtesznek, mivel a A profilok közötti távolság úgy van megválasztva, hogy a jelek korrelációban legyenek a profilok között, és ellenkezőleg, az interferencia nem korrelál. A szeizmikus felmérések során a geofon távolságokat úgy választják meg, hogy a szabálytalan zajhullámok ne legyenek korrelációban a szomszédos nyomok között. Ebben az esetben a VKF egyenlő lesz
azok. ha a hullámformák egybeesnek, az utolsó összeg egyenlő lesz a jel ACF-jével.
Ezért a CCF megbízhatóbban becsüli meg a jel korrelációs tulajdonságait az ACF-hez képest.
2) A jelütés becslése a CCF pozitív szélsőségeiből. A pozitív VKF szélsőségek a profilok, nyomok közötti jelkorreláció jelenlétét jelzik, mivel az argumentum értéke, amelynél a VKF szélsőértéket elérjük, megfelel a következő profilon lévő jeleltolódásnak az előző profilon lévő pozíciójához képest. Így a CCF pozitív szélsőértékének értéke határozza meg a jel profilról profilra való eltolódását, ami a jelütés becsléséhez vezet.
Különböző ütések jelei (anomáliái) esetén a VKF-nek két vagy több pozitív extrémája van.
A 4.2,a ábra a megfigyelések eredményeit mutatja fizikai mezőöt profil és ezeknek a megfigyeléseknek megfelelő VKF grafikonok mentén, amelyek szerint a jelek becsapódását határozzák meg, megfelelve azok profilról profilra való két diszkrét eltolódásának.
Két jel interferenciája esetén a 4.2, b ábrán látható módon két pozitív szélsőértéket rögzítünk és -ben, ami továbbá az adatok több profilra történő összegzésekor a jel ütés irányában lehetővé teszi azok egyértelmű elkülönítését. a felmérési területen.
Végül, a CCF szélsőségeinek éles eltolódása bármely profilpárnál a szomszédos profilpárok szélsőségeihez képest lehetővé teszi a CCF használatát a terepi eloszlás eltéréseinek kiemelésére, amint az a 4.2c ábrán látható. A geofizikai felmérési szelvények ütéséhez közel eső töréseket általában a VKF extrémák ilyen eltolódása alapján térképezik fel.
A szeizmikus rekordok feldolgozása során a szomszédos nyomok adatai közötti CCF konstrukció becslést ad a teljes statikus és kinematikai korrekcióra, amelyet a CCF pozitív extrémumának abszcisszája határoz meg. Kinematikai ismeretekkel, i.e. Az időszelvény sebességi jellemzői alapján nem nehéz meghatározni a statikus korrekció értékét.
Az autokorrelációs függvények tulajdonságai
Autokorrelációs függvények játszanak nagy szerepet véletlenszerű folyamatok ábrázolásában és véletlenszerű bemeneti jelekkel működő rendszerek elemzésében. Ezért bemutatjuk a stacionárius folyamatok autokorrelációs függvényeinek néhány tulajdonságát.
1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).
2. R x (t) = R x (-t). Az autokorrelációs függvény páros függvény. A függvény grafikonjának ez a szimmetriatulajdonsága rendkívül hasznos az autokorrelációs függvény számításakor, mivel ez azt jelenti, hogy csak pozitív t-re lehet számításokat végezni, a szimmetria tulajdonság segítségével pedig negatív t-t lehet meghatározni.
3.½Rx(t)½£ Rx(0). Legmagasabb érték az autokorrelációs függvény általában t = 0-ra veszi fel.
Példa. Egy véletlenszerű folyamatban X(t) = A Coswt, ahol A egy valószínűségi változó a következő jellemzőkkel: M(A) = 0, D(A) = s 2, keresse meg M(X), D(X) és R x (t1,t2).
Megoldás. Találjuk ki várható értékés a véletlenszerű folyamat varianciája:
M(X) = M(A Coswt) = Coswt × M(A) = 0,
D (X) \u003d M ((A Coswt-0) 2) \u003d M (A 2) Cos 2 wt \u003d s 2 Cos 2 wt.
Most keressük meg az autokorrelációs függvényt
R x (t 1, t 2) \u003d M (A Coswt 1 × A Coswt 2) \u003d
M(A 2) Coswt 1 × Coswt 2 = s 2 Coswt 1 × Coswt 2 .
A rendszer bemeneti X(t) és kimeneti Y(t) véletlen jelei egy kétdimenziós vektoros véletlenszerű folyamatnak tekinthetők, mutassuk be ennek a folyamatnak a numerikus jellemzőit.
Egy vektoros véletlenszerű folyamat matematikai elvárása és varianciája a komponenseinek matematikai elvárása és varianciája:
Bemutatjuk a vektorfolyamat korrelációs függvényét egy másodrendű mátrix segítségével:
ahol R xy (t 1 , t 2) az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok keresztkorrelációs függvénye, az alábbiak szerint definiálva
A keresztkorrelációs függvény definíciójából az következik, hogy
R xy (t 1, t 2) \u003d R yx (t 2, t 1).
Két véletlenszerű folyamat normalizált keresztkorrelációs függvénye X(t), Y(t) a függvény
Meghatározás. Ha az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok kölcsönös korrelációs függvénye nulla:
akkor a véletlenszerű folyamatokat korrelálatlannak nevezzük.
Az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok összegére az autokorrelációs függvény egyenlő
R x + y (t 1 , t 2) = R x (t 1 , t 2) + R xy (t 1 , t 2) + R yx (t 1 , t 2) + R y (t 1 , t 2 ).
Az X(t) és Y(t) nem korrelált véletlenszerű folyamatok esetén a véletlen folyamatok összegének autokorrelációs függvénye egyenlő az autokorrelációs függvények összegével
R x+y (t 1 , t 2) = R x (t 1 , t 2) + R y (t 1 , t 2),
és ezért a véletlenszerű folyamatok összegének szórása egyenlő a szórások összegével:
D x + y (t) = D x (t) + D y (t).
Ha ahol X 1 (t), ..., X n (t) nem korrelált véletlenszerű folyamatok, akkor
Különféle átalakítások véletlenszerű folyamatokkal történő végrehajtása során gyakran célszerű azokat összetett formában írni.
Az összetett véletlenszerű folyamat a forma véletlenszerű folyamata
Z(t) = X(t) + i Y(t),
ahol X(t) , Y(t) valós véletlenszerű folyamatok.
Egy összetett véletlenszerű folyamat matematikai elvárása, korrelációs függvénye és varianciája a következőképpen definiálható:
M(Z) = M(X) + i M(Y),
ahol a * jel összetett ragozást jelöl;
Példa. Legyen egy véletlenszerű folyamat, ahol w egy állandó érték, itt A és j független valószínűségi változók, és M(A) = m A, D(A) = s 2, és j egyenletes eloszlású valószínűségi változó az intervallumon. Határozza meg a Z(t) összetett véletlenfolyamat matematikai elvárását, korrelációs függvényét és varianciáját!
Megoldás. Keressük meg a matematikai elvárást:
A j valószínűségi változó egyenletes eloszlását az intervallumon felhasználva megkaptuk
A Z(t) véletlenszerű folyamat autokorrelációs függvénye az
Ezért van
D z (t 1) \u003d R z (t 1, t 1) \u003d s 2 + m A 2.
A kapott eredményekből az következik, hogy a Z(t) véletlenszerű folyamat tág értelemben stacionárius.
A jelek kölcsönös korrelációs függvényei
Keresztkorrelációs függvény A különböző jelek (CCF) értéke (cross-correlation function, CCF) leírja két jel alakjának hasonlóságának mértékét, és kölcsönös megegyezés egymáshoz képest a koordináta mentén (független változó). Az autokorrelációs függvény (6.1) képletét két különböző s(t) és u(t) jelre általánosítva a következőt kapjuk skaláris szorzat jelek:
B su (t) =s(t) u(t+t) dt. (6.14)
A jelek kölcsönös korrelációja jellemzi a jelenségek bizonyos korrelációját és fizikai folyamatok Ezek a jelek jelenítik meg, és e kapcsolat „stabilitásának” mércéül szolgálhat a jelek különböző eszközökben történő külön feldolgozása esetén. Véges energiájú jelek esetén a CCF is véges, míg:
|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,
ami a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenségből és a jelnormák függetlenségéből következik a koordináták eltolódásától.
Ha megváltoztatjuk a t = t-t változót a (6.2.1) képletben, a következőt kapjuk:
B su (t) \u003d s (t-t) u (t) dt \u003d u (t) s (t-t) dt \u003d B us (-t).
Ez azt jelenti, hogy a CCF nem teljesíti a B su (t) ¹ B su (-t) paritási feltételt, és a CCF értékeknek nem kell maximumot elérniük t = 0-nál.
Ez jól látható az ábrán. 6.6, ahol két egyforma jelet adunk a 0.5 és 1.5 pontokban lévő középpontokkal. A (6.14) képlettel történő számítás t értékének fokozatos növelésével az s2(t) jel egymást követő balra tolódásait jelenti az időtengely mentén (s1(t) minden egyes értékére az s2 értékei (t+t) az integránsszorzás). t=0-nál a jelek ortogonálisak, és a B 12 (t) értéke 0. A maximum B 12 (t) akkor figyelhető meg, ha az s2(t) jelet t=1 értékkel balra toljuk, ekkor az s1(t) és s2(t+t) jelek teljesen egyesülnek.
Rizs. 6.6. Jelek és VKF
A (6.14) és (6.14") képlet szerinti CCF azonos értékei figyelhetők meg a jelek azonos kölcsönös helyzeténél: amikor az u(t) jelet s(t)-hez viszonyítva egy t intervallummal eltoljuk a jobb az y tengely mentén és az s(t ) jel az u(t) jelhez képest balra, azaz B su (t) = B us (-t).
ábrán A 6.7. ábra példákat mutat be a CCF-re egy s(t) téglalap alakú jelre és két azonos háromszögjelre, u(t) és v(t). Minden jelnek azonos a T időtartama, míg a v(t) jelet a T/2 intervallummal toljuk előre.
Rizs. 6.7. Jelek keresztkovariancia-függvényei
Az s(t) és u(t) jelek időbeli elhelyezkedését tekintve megegyeznek, és a jel "átfedési" területe maximum t=0-nál van, amit a B su függvény rögzít. Ugyanakkor a B su függvény élesen aszimmetrikus, mivel egy aszimmetrikus u(t) jelforma esetén szimmetrikus s(t) alakzat esetén (a jelek középpontjához viszonyítva) a jel "átfedési" területe eltérően változik attól függően az eltolódás irányáról (t előjele nulláról növekvő t értékkel). Ha az u(t) jel kezdeti helyzetét az ordináta tengelye mentén balra toljuk (az s(t) jel előtt - v(t) jel) a VKF alak változatlan marad, és ugyanazzal az eltolással jobbra tolódik. érték - a B sv függvény az ábrán. 6.7. Ha a (6.14) függvények kifejezéseit felcseréljük, akkor az új B vs függvény a B sv tükörfüggvény lesz t=0 függvényében.
Ezeket a jellemzőket figyelembe véve a teljes CCF-et általában külön számítják ki a pozitív és negatív késésekre:
B su (t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t)=u(t)s(t+t)dt. (6,14")
Küldje el a jó munkát a tudásbázis egyszerű. Használja az alábbi űrlapot
Azok a hallgatók, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik tanulmányaikban és munkájuk során használják fel a tudásbázist, nagyon hálásak lesznek Önnek.
közzétett http://www.allbest.ru/
közzétett http://www.allbest.ru/
korrelációs függvény. Kölcsönös korrelációs függvény. Lineáris transzformáció véletlenszerű folyamat
1. Korrelációs függvény
A véletlenszerű jelek tanulmányozásában széles körben alkalmazzák a véletlenszerű folyamatok elméletét, amely a másodrendűnél nem magasabb nyomatékok felhasználásán alapul. Ezt az elméletet korrelációs elméletnek nevezik.
Meghatározás. Az X(t) véletlenfolyamat R x (t 1 ,t 2) korrelációs függvénye a központosított véletlen folyamat korrelációs momentuma két t = t 1 és t = t 2 szakaszban:
A korrelációs függvény rendelkezik a korrelációs momentum összes tulajdonságával. Gyakran a korrelációs függvény helyett az x (t 1 ,t 2) normalizált korrelációs függvényt veszik figyelembe:
amely mérettelen.
A következőkben csak a központosított véletlenszerű folyamatokat fogjuk figyelembe venni. Ha a folyamat nem középre van állítva, akkor ez külön ki lesz írva.
Az X(t) véletlenszerű folyamat R x (t 1 ,t 2) korrelációs függvényét autokorrelációs függvénynek is nevezik.
Stacionárius folyamatoknál (tágabb és szűkebb értelemben) az autokorrelációs függvény alakja
R x (t 1 , t 2) = R x (0, t 2 - t 1) = R x () ,
ahol = t 2 - t 1.
Az időbeli autokorrelációs függvényt az alábbiak szerint is meghatározhatja
ahol az X(t) központú véletlenszerű folyamat megvalósítása. Ergodikus folyamatokra = R x ().
Az alábbiakban az autokorrelációs függvény tipikus diagramja látható
2. Az autokorrelációs függvények tulajdonságai
Az autokorrelációs függvények fontos szerepet játszanak a véletlenszerű folyamatok ábrázolásában és a véletlenszerű bemeneti jelekkel működő rendszerek elemzésében. Ezért bemutatjuk a stacionárius folyamatok autokorrelációs függvényeinek néhány tulajdonságát.
1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).
2. R x () = R x (-). Az autokorrelációs függvény páros függvény. Egy függvény grafikonjának ez a szimmetriatulajdonsága rendkívül hasznos az autokorrelációs függvény számításakor, mivel ez azt jelenti, hogy csak pozitívra, negatívra pedig a szimmetria tulajdonság segítségével lehet számításokat végezni.
3.R x () R x (0). Az autokorrelációs függvény legmagasabb értéke általában = 0.
Példa. Egy véletlenszerű folyamatban X(t) = A költség, ahol A egy valószínűségi változó a következő jellemzőkkel: M(A) = 0, D(A) = 2, keresse meg M(X), D(X) és R x ( t 1 , t2).
Megoldás. Határozzuk meg a véletlenszerű folyamat matematikai elvárását és varianciáját:
M(X) = M(A költség) = költség M(A) = 0,
D (X) \u003d M ((A költség-0) 2) \u003d M (A 2) Cos 2 t \u003d 2 Cos 2 t.
Most keressük meg az autokorrelációs függvényt
R x (t 1, t 2) \u003d M (A költség 1 A költség 2) \u003d
M(A 2) 1. költség 2. költség = 2. költség 1. költség 2. költség.
3. Keresztkorrelációs függvény
A rendszer bemeneti X(t) és kimeneti Y(t) véletlen jelei egy kétdimenziós vektoros véletlenszerű folyamatnak tekinthetők, mutassuk be ennek a folyamatnak a numerikus jellemzőit.
Egy vektoros véletlenszerű folyamat matematikai elvárása és varianciája a komponenseinek matematikai elvárása és varianciája:
Bemutatjuk a vektorfolyamat korrelációs függvényét egy másodrendű mátrix segítségével:
ahol R xy (t 1 , t 2) az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok keresztkorrelációs függvénye, az alábbiak szerint definiálva
A keresztkorrelációs függvény definíciójából az következik, hogy
R xy (t 1, t 2) \u003d R yx (t 2, t 1).
Két véletlenszerű folyamat normalizált keresztkorrelációs függvénye X(t), Y(t) a függvény
Meghatározás. Ha az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok kölcsönös korrelációs függvénye nulla:
akkor a véletlenszerű folyamatokat korrelálatlannak nevezzük.
Az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok összegére az autokorrelációs függvény egyenlő
R x + y (t 1 , t 2) = R x (t 1 , t 2) + R xy (t 1 , t 2) + R yx (t 1 , t 2) + R y (t 1 , t 2 ).
Az X(t) és Y(t) nem korrelált véletlenszerű folyamatok esetén a véletlen folyamatok összegének autokorrelációs függvénye egyenlő az autokorrelációs függvények összegével
R x+y (t 1 , t 2) = R x (t 1 , t 2) + R y (t 1 , t 2),
és ezért a véletlenszerű folyamatok összegének szórása egyenlő a szórások összegével:
D x + y (t) = D x (t) + D y (t).
Ha ahol X 1 (t), ..., X n (t) nem korrelált véletlenszerű folyamatok, akkor
Különféle átalakítások véletlenszerű folyamatokkal történő végrehajtása során gyakran célszerű azokat összetett formában írni.
Az összetett véletlenszerű folyamat a forma véletlenszerű folyamata
Z(t) = X(t) + i Y(t),
ahol X(t) , Y(t) valós véletlenszerű folyamatok.
Egy összetett véletlenszerű folyamat matematikai elvárása, korrelációs függvénye és varianciája a következőképpen definiálható:
M(Z) = M(X) + i M(Y),
ahol a * jel összetett ragozást jelöl;
Példa. Legyen egy véletlenszerű folyamat, ahol állandó érték, itt A és független valószínűségi változók, és M(A) = m A, D(A) = 2, és egyenletes eloszlású valószínűségi változó az intervallumon. Határozza meg a Z(t) összetett véletlenfolyamat matematikai elvárását, korrelációs függvényét és varianciáját!
Megoldás. Keressük meg a matematikai elvárást:
Egy valószínűségi változó egyenletes eloszlását használva az intervallumon, megkaptuk
A Z(t) véletlenszerű folyamat autokorrelációs függvénye az
Ezért van
D z (t 1) = R z (t 1, t 1) = 2 + m A 2 .
A kapott eredményekből az következik, hogy a Z(t) véletlenszerű folyamat tág értelemben stacionárius.
4. Lineáris transzformációvéletlenszerű folyamat
A rádiótechnika számos gyakorlati problémájának megoldása során meg kell határozni egy véletlenszerű folyamat jellemzőit a lineáris rendszer kimenetén. A lineáris rendszer lineáris műveleteket hajt végre a bemeneti véletlenszerű folyamaton. Ez azt jelenti, hogy ha egy X(t) véletlenszerű folyamat érkezik a rendszer bemenetére, akkor a kimeneten ez a folyamat véletlenszerű folyamattá alakul.
Y(t) = A ,
ahol A egy operátor (transzformáció), amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
A [ 1 X 1 (t) + 2 X 2 (t)] = 1 A + 2 .
Itt vannak az állandók.
Példák a lineáris operátorokra
Nem véletlen f(t) függvénnyel való szorzás operátora:
Y(t) = A = f(t)X(t).
Határozzuk meg az Y(t) véletlen folyamat matematikai elvárását és autokorrelációs függvényét:
m y (t) = M(Y(t)) = M(f(t) X(t)) = f(t) M(X(t)),
Megkülönböztető operátor:
A származékot határként ábrázolva
és a várakozási műveletet az egyenlőség jobb és bal oldalára alkalmazva azt kapjuk
Integrációs operátor:
Az integrált integrálösszegként ábrázoljuk
és erre az egyenlőségre alkalmazzuk az elvárási műveletet. Akkor van
Egy véletlenszerű folyamat autokorrelációs függvénye könnyen meghatározható:
5. Fourier transzformáció
Amikor különféle lineáris rendszerek A Fourier és Laplace transzformációkat széles körben használják, amelyek meglehetősen egyszerűvé teszik a szükséges számítások elvégzését. Ennek az egyszerűsítésnek a fő oka az, hogy a rendszer időtartománybeli elemzésénél használt konvolúciós eljárást felváltják a szokásos frekvencia-jellemzők és az elemzésben használt frekvencia-függvények szorzása a frekvenciatartományban.
Tegyük fel, hogy van egy (nem véletlenszerű, az idő függvénye) f(t) jelünk voltban mérve. Akkor
Az f(t) jel Fourier-transzformációja (néha a Fourier-transzformáció alatt az F*() konjugált értéket értjük), amely dimenzióval rendelkezik, és meghatározza a csillapítatlan harmonikus komponensek relatív amplitúdóit és fázisait. Így a Fourier-transzformációban az amplitúdóviszony jellemzi az amplitúdók frekvenciaeloszlási sűrűségét, és ezért meghatározza a spektrum energiaeloszlását. Bármely oszcillációs folyamat spektruma olyan függvény, amely leírja a harmonikusok amplitúdóinak eloszlását különböző frekvenciákon. A spektrum megmutatja, hogy egy adott folyamatban milyen frekvenciájú rezgések uralkodnak, és milyen a belső szerkezete.
A Fourier-transzformációra kidolgoztak egy elméletet, melynek lényege röviden a következő.
Bevezetésre kerül az L 2 (-,) tér - a négyzetes összegezhető függvények tere, vagyis olyan függvények, amelyekre
Ha f(t) egy jel, akkor ez a feltétel azt jelenti, hogy ennek a jelnek a teljesítménye véges.
készpénz. Minden f L 2 (-,) függvényhez van egy határ a függvény átlagának
T-nél és ezt a határt jelöljük
ahol F() L 2 (-,). Létezik inverz transzformáció is
Két Fourier transzformációhoz
kielégíti az általánosított Parseval-egyenlőséget:
Konkrétan a szokásos Parseval-egyenlőséget kapjuk
6. Stacionárius véletlenszerű folyamat spektrális sűrűsége
A Fourier-transzformáció közvetlen alkalmazása az x(t) véletlenszerű folyamat megvalósítására nem alkalmazható, mivel ez a transzformáció nem létezik. Ahhoz, hogy a Fourier-transzformációt egy stacionárius (központú) véletlenszerű folyamat elemzésében használhassuk, a folyamat megvalósítását úgy kell módosítani, hogy a Fourier-transzformáció minden implementációhoz létezzen. Az egyik ilyen módszer egy X T (t) csonka folyamat bevezetése:
Ez a csonkolt folyamat kielégíti a Fourier-transzformáció meglétére vonatkozó követelményt bármely megvalósításhoz, hiszen
Ez az összefüggés azt jelenti, hogy az X T (t) véletlenszerű folyamat bármely megvalósítására teljesül. Most a csonka folyamathoz bevezethetjük a Fourier-transzformációt, ami ezen keresztül bármely megvalósításának Fourier-transzformációját jelenti:
Az alábbiak célja annak bizonyítása, hogy a határértékben T-ben létezik, még ha nem is létezik, valamilyen realizációhoz Fourier-transzformáció.
A bizonyítás első lépése a Parseval-egyenlőség alkalmazása:
vegye észre, az
(2)
Most átlagoljuk az (1) egyenlőség bal oldalát időben, hogy megkapjuk a véletlenszerű folyamat átlagos hatványát
A kapott egyenlőség bal oldala az X T (t) függvény effektív értékének négyzete. Ezenkívül egy ergodikus folyamatra T-nél ez az érték megközelíti az M(X 2 (t)) véletlenszerű folyamat középnégyzetének értékét.
A (3) relációban lehetetlen átlépni a T-nél lévő határértékhez, mivel az nem létezik.
Ezért először ennek az egyenlőségnek a bal és jobb részének matematikai elvárását vesszük
és írd át, irányítva T. Akkor
Stacionárius folyamatokhoz
Ezért megkapjuk a kapcsolatot
Érték
a véletlenszerű folyamat spektrális sűrűségének nevezzük. Kiemeljük, hogy a realizációs halmaz (az együttes felett) átlagolási művelet végrehajtása után érvényes a határértékre való áttérés T-nél Ha X(t) feszültség, akkor ([X] = B), S x () mérete ) a (4)-nek megfelelően meghatározza ennek a feszültségnek az átlagos négyzetét, azaz.
A spektrális sűrűség vizuálisabb fizikai értelmezése adható az átlagos teljesítmény elemzésével. Ha X(t) egy 1 ohmos ellenálláson átfolyó ingadozó feszültség vagy áram, akkor M(X 2) az ezen ellenállás által disszipált átlagos teljesítmény.
A spektrális sűrűség az 1 Hz-es sávszélességen belül koncentrált átlagos teljesítményként értelmezhető.
Ennek következtében a spektrális sűrűséget gyakran teljesítménysűrűség-spektrumnak nevezik.
Egy véletlen folyamat kétoldali spektrális sűrűségéből át lehet lépni egy egyoldalúra, ahol általában az f frekvencia jelenik meg. Ebből a célból írunk
az első integrálban pedig = 2f, a másodikban pedig - = - 2f beállítással változtatunk.
Mivel a (2) összefüggés alapján az S x () = S x (-) függvény, azaz páros függvény, akkor
Az integrált ebben a relációban integrálösszegként ábrázoljuk
ahol D k a véletlenszerű folyamat varianciája a k-adik harmonikuson. Innen azt kapjuk, hogy G x (f) = D k /f k - a k-adik harmonikus szórása (teljesítménye) az f k frekvenciasávra vonatkoztatva, vagyis a véletlenszerű folyamat diszperziójának (teljesítményének) spektrális sűrűsége. .
Példa. Egy stacionárius véletlen folyamatnak kétoldali spektrális sűrűsége van
Határozza meg az 1 ohmos ellenállás által disszipált átlagos folyamatteljesítményt -4 és 4 közötti tartományban.
Megoldás Átlagos teljesítmény Az M(X 2 (t)) folyamat a megadott tartományban:
autokorrelációs függvény véletlenszerű folyamat
A rádiótechnikában gyakran használják a "fehér zaj" fogalmát. A "fehér zaj" alatt egy stacionárius véletlenszerű folyamatot szokás érteni, amelynek spektrális sűrűsége minden frekvencián állandó. A „fehér zaj” kifejezés átvitt értelemben a fénnyel való analógiát hangsúlyozza, amelyben a látható frekvenciatartományon belül az összes spektrális komponens intenzitása megközelítőleg azonos. A fehér zaj egy olyan folyamat matematikai modellje, amely valójában nem létezik a természetben, mivel ereje egyenlő a végtelennel. Ez azonban egy kényelmes modell olyan rendszerek szélessávú véletlenszerű folyamatainak leírására, amelyek sávszélességében a spektrum állandónak tekinthető.
Kiemelt az Allbesten
Hasonló dokumentumok
Építés és tanulás matematikai modell véletlenszerű stacionárius ergodikus folyamat valószínűségi jellemzőkkel: várakozás és variancia. Az empirikus adatok változásának dinamikáját ábrázoló grafikonok és eloszlási hisztogramok készítése minden mintára.
szakdolgozat, hozzáadva 2012.03.18
A hagyományos Fourier-transzformáció hátrányai. Ablak, diszkrét transzformáció, ablakfüggvények és típusaik. Folyamatos wavelet transzformáció, anya wavelet. A jel többléptékű elemzése és dekompozíciója különböző ortonormális alapokon.
szakdolgozat, hozzáadva 2009.10.23
Az állandó véletlenszerű folyamat kiszámításának eljárása a vezérlőrendszerben. A rendszer nemlineáris részének statisztikai linearizálása. A matematikai elvárás, a hibajel szórásának kiszámítása. Egyenletek megoldása és függőségek felépítése.
teszt, hozzáadva 2012.02.23
A játék alsó és felső árának meghatározása, a kifizetési mátrix segítségével. A játéknak van nyeregpontja? Lineáris programozás geometriai feladatának megoldása. Véletlenszerű folyamat állapotgráfjának felépítése. Valószínűségkorlátozás egy adott rendszerre.
teszt, hozzáadva: 2011.02.04
A feszesség mértéke és a jellemzők közötti kapcsolat irányának jellege. Páros lineáris korrelációs függés, korrelációs-regressziós elemzése. Egy előjel-tényező és egy előjel-eredmény kapcsolatának vizsgálata, Chaddock-skála.
képzési kézikönyv, hozzáadva: 2010.11.15
Átviteli funkció nyílt hurkú rendszer "LA-SAU". A kívánt LAH vágási frekvenciájának kiválasztása és felépítése. Korrekciós hivatkozás szintézise. A tranziens folyamat számítása zárt korrigált és nem korrigált automatikus vezérlőrendszerre.
szakdolgozat, hozzáadva 2012.12.10
Egy véletlenszerű perturbáció heteroszkedaszticitása: fő okok és következmények. Vizsgálatok a heteroszkedaszticitás meglétére vagy hiányára. Spearman rangkorrelációs tesztje. Goldfed-Quandt teszt. Glaser teszt. Mennyiségi jellemzők zavar vektor.
absztrakt, hozzáadva: 2015.01.06
Az autoregresszív modell felépítésének elvei, szakaszai, főbb előnyei. Az autoregresszív folyamat spektruma, megtalálásának képlete. Véletlenszerű folyamat spektrális becslését jellemző paraméterek. Karakterisztikus egyenlet autoregresszív modellek.
teszt, hozzáadva: 2010.11.10
Általános tulajdonságok valamint a korrelációs együttható meghatározásának eljárása, értékelésének módszertana és szakaszai. Az autokorrelációs függvények leírása. A Durbin-Watson-kritérium lényege. Példák gyakorlati számításokra az "Autokorrelációs függvény" Excel makró használatával.
szakdolgozat, hozzáadva 2010.07.03
Pozitív és negatív rendszerek Visszacsatolás. A rendszer saját dinamikus tulajdonságai. Szabványos jel egyszerű alak. Mértékegység lépés funkció. Átmeneti ütemterv. Az időállandó értéke. Hasznos jelek megőrzése.
A matematikai elvárás és variancia a véletlenszerű folyamatok fontos jellemzői, de nem adnak kellő képet arról, hogy egy véletlenszerű folyamat egyedi megvalósításai milyen karakterűek lesznek. Ez látható a 2. ábrából. 9.3, amely két véletlenszerű folyamat megvalósítását mutatja be, amelyek szerkezetükben teljesen eltérőek, bár van
ugyanazok a matematikai elvárások és varianciaértékek. ábra szaggatott vonalai. A 9.3 a véletlenszerű folyamatok értékeit mutatja.
ábrán látható folyamat. A 9.3, a, az egyik szakaszról a másikra viszonylag zökkenőmentesen halad, és a folyamat az 1. ábrán. A 9.3, b szakaszonként erős variabilitást mutat, ezért a szakaszok közötti statisztikai kapcsolat az első esetben nagyobb, mint a második esetben, de ez sem matematikai várakozással, sem szórással nem állapítható meg.
Egy véletlenszerű folyamat belső szerkezetének bizonyos mértékig jellemzésére, azaz egy véletlenszerű folyamat különböző időpontokban mért értékei közötti kapcsolat figyelembevételére, vagy más szóval, hogy figyelembe vegyük a mértéket Egy véletlenszerű folyamat változékonyságára vonatkozóan be kell vezetni a véletlenszerű folyamat korrelációs (autokorrelációs) függvényének fogalmát.
Egy véletlenszerű folyamat korrelációs függvénye két argumentum nem véletlenszerű függvényének nevezzük, amely az argumentumok tetszőlegesen választott értékpárjaira (időpontokra) egyenlő két argumentum szorzatának matematikai elvárásával. Véletlen változók a véletlenszerű folyamat megfelelő szakaszai:
ahol a kétdimenziós valószínűségi sűrűség; - központosított véletlenszerű folyamat; - véletlenszerű folyamat matematikai elvárása (átlagértéke).
A különféle véletlenszerű folyamatokat, attól függően, hogy statisztikai jellemzőik hogyan változnak az idő múlásával, stacionárius és nem stacionárius folyamatokra oszthatók. Külön a szűk értelemben vett stacionaritás és a tág értelemben vett stacionaritás.
Szűk értelemben stacionárius véletlenszerű folyamatnak nevezzük, ha annak n-dimenziós eloszlásfüggvényei és a valószínűségi sűrűsége nem függ az összes pont eltolódásától
Az időtengely mentén ugyanennyivel, azaz.
Ez azt jelenti, hogy két folyamat bármelyikre azonos statisztikai tulajdonságokkal rendelkezik, azaz egy stacionárius véletlen folyamat statisztikai jellemzői időben változatlanok.
A stacionárius véletlen folyamat egyfajta analógja az állandó folyamatnak determinisztikus rendszerek. Bármely átmeneti folyamat nem stacioner.
Stacionárius tág értelemben véletlenszerű folyamatnak nevezzük, amelynek matematikai elvárása állandó:
és a korrelációs függvény csak egy változótól függ - az argumentumok különbségeitől, míg a korrelációs függvényt jelöljük
A szűk értelemben vett folyamatok szükségszerűen tág értelemben stacionáriusak; ennek a fordítottja azonban általában nem igaz.
A tág értelemben vett stacionárius véletlenszerű folyamat fogalmát akkor vezetjük be, ha csak a matematikai elvárást és a korrelációs függvényt használjuk egy véletlen folyamat statisztikai jellemzőiként. A véletlenszerű folyamatok elméletének azt a részét, amely egy véletlenszerű folyamat tulajdonságait írja le matematikai várakozási és korrelációs függvényein keresztül, korrelációelméletnek nevezzük.
Egy véletlenszerű folyamathoz normális törvény Az eloszlások, az átlag és a korrelációs függvény teljes mértékben meghatározza annak n-dimenziós valószínűségi sűrűségét.
Ezért a normális véletlenszerű folyamatok esetében a tág és szűk értelemben vett stacionaritás fogalma egybeesik.
A stacionárius folyamatok elmélete a legteljesebben kidolgozott, és számos gyakorlati esetben viszonylag egyszerűvé teszi a számítások elvégzését. Ezért esetenként célszerű a stacionaritás feltételezése azokra az esetekre is, amikor a véletlenszerű folyamatnak, bár nem stacioner, nincs ideje megváltoztatni a jelek statisztikai jellemzőit a rendszer működésének figyelembe vett időintervallumában. A következőkben, hacsak másképp nem jelezzük, a tág értelemben vett véletlenszerű folyamatokat fogjuk figyelembe venni.
A tágabb értelemben stacionárius véletlenszerű folyamatok vizsgálatakor korlátozhatjuk magunkat arra, hogy csak azokat a folyamatokat vegyük figyelembe, amelyek matematikai elvárása (átlagértéke) egyenlő nullával, azaz mivel egy nem nulla matematikai elvárású véletlenszerű folyamatot ábrázolunk összegként. nulla matematikai elvárással és a folyamat elvárásával megegyező nem véletlenszerű állandó (reguláris) értékű folyamaté (lásd a 9.6. pontot alább).
A korrelációs függvény kifejezéséhez
A véletlenszerű folyamatok elméletében az átlagértékek két fogalmát használják. Az átlagérték első fogalma a halmaz feletti átlagérték (vagy matematikai elvárás), amelyet az egyidejűleg megvalósuló véletlen folyamatok halmaza feletti megfigyelés alapján határoznak meg. A halmaz átlagértékét általában egy hullámos vonal jelöli a véletlenszerű függvényt leíró kifejezés felett:
Általában a halmaz átlagértéke az idő függvénye
Az átlag egy másik fogalma az időköz, amelyet egy véletlenszerű folyamat időbeli egy adott esetének megfigyelésével határoznak meg.
egy kellően hosszú idő T. Az átlagos időértéket a megfelelő kifejezés feletti egyenes jelzi véletlenszerű függvényés a képlet határozza meg:
ha ez a határ létezik.
Az átlagos időbeli érték általában eltérő a halmaz egyedi megvalósításainál, amelyek meghatározzák a véletlenszerű folyamatot. Általánosságban elmondható, hogy ugyanazon véletlenszerű folyamat esetében a beállított átlag és az időátlag eltérő. Van azonban a stacionárius véletlenszerű folyamatoknak egy osztálya, az úgynevezett ergodikus, amelyeknél a halmaz átlaga egyenlő az időbeli átlaggal, azaz.
Egy ergodikus stacionárius véletlenszerű folyamat korrelációs függvénye korlátlanul csökken a modulusban
Figyelembe kell azonban venni, hogy nem minden stacionárius véletlen folyamat ergodikus, például egy véletlenszerű folyamat, amelynek minden megvalósítása időben állandó (9.4. ábra), stacionárius, de nem ergodikus. Ebben az esetben az egy implementációból és több implementáció feldolgozása eredményeként meghatározott átlagértékek nem egyeznek. Egy és ugyanaz a véletlenszerű folyamat általános esetben lehet egyes statisztikai jellemzők tekintetében ergodikus, mások tekintetében nem ergodikus. A továbbiakban azt feltételezzük, hogy az ergodikitási feltételek minden statisztikai jellemző tekintetében teljesülnek.
Az ergodikus tulajdonság nagyon nagy gyakorlati érték. Egyes objektumok statisztikai tulajdonságainak meghatározásához, ha egy tetszőlegesen kiválasztott időpontban nehéz egyidejű megfigyelésüket elvégezni (például ha van egy prototípus), akkor ez helyettesíthető egy objektum hosszú távú megfigyelésével. . Más szóval, az ergodikus véletlen különálló megvalósítása
A végtelen időintervallumon folyó folyamat teljesen meghatározza az egész véletlenszerű folyamatot végtelen megvalósításaival. Szigorúan véve ez a tény támasztja alá az alábbiakban ismertetett módszert egy stacionárius véletlen folyamat korrelációs függvényének kísérleti meghatározására egy megvalósításból.
Amint az a (9.25)-ből látható, a korrelációs függvény a halmaz átlagértéke. Az ergodikus véletlenszerű folyamatok esetében a korrelációs függvény a szorzat időátlagaként definiálható, azaz.
ahol - véletlenszerű folyamat bármely megvalósítása; x a (9.28) által meghatározott időbeli átlagérték.
Ha a véletlen folyamat átlagértéke nulla, akkor
Az ergodicitás tulajdonsága alapján szórható [lásd. (9.19)] a központosított véletlen folyamat négyzetének időátlagaként definiálható, azaz.
A (9.30) és (9.32) kifejezéseket összehasonlítva nagyon fontos összefüggés állapítható meg a variancia és a korrelációs függvény között - egy stacionárius véletlen folyamat varianciája megegyezik a korrelációs függvény kezdeti értékével:
A (9.33)-ból látható, hogy egy stacionárius véletlenszerű folyamat varianciája állandó, ezért a szórása is állandó:
Két véletlenszerű folyamat kapcsolatának statisztikai tulajdonságai egy keresztkorrelációs függvénnyel jellemezhetők, amely az argumentumok tetszőlegesen választott értékpárjaira egyenlő
Az ergodikus véletlen folyamatokhoz (9.35) helyett írhatunk
hol vannak stacionárius véletlen folyamatok bármely realizációja, ill.
A kölcsönös korrelációs függvény két véletlenszerű folyamat kölcsönös statisztikai összefüggését jellemzi különböző időpontokban, egymástól időintervallumban elválasztva. Az érték ugyanabban az időpontban jellemzi ezt a kapcsolatot.
A (9.36)-ból az következik
Ha a véletlenszerű folyamatok statisztikailag nem kapcsolódnak egymáshoz, és nulla az átlagértékük, akkor a kölcsönös korrelációs függvényük mindegyikre nulla. Az a fordított következtetés azonban, hogy ha a kölcsönös korrelációs függvény nulla, akkor a folyamatok függetlenek, csak egyedi esetekben (főleg normál eloszlási törvényű folyamatoknál) tehető le, míg a fordított törvénynek nincs általános ereje. .
Vegye figyelembe, hogy a korrelációs függvények nem véletlenszerű (szabályos) időfüggvényekre is számíthatók. Ha azonban egy reguláris függvény korrelációs függvényéről beszélnek, akkor ez egyszerűen egy formális eredmény
alkalmazása a művelet integrállal kifejezett szabályos függvényére:
Mutassuk be a korrelációs függvények néhány alapvető tulajdonságát
1. A korrelációs függvény kezdeti értéke [lásd. (9.33)] egyenlő a véletlenszerű folyamat varianciájával:
2. A korrelációs függvény értéke egyikre sem haladhatja meg a kezdeti értékét, azaz.
Ennek bizonyításához vegyük figyelembe a nyilvánvaló egyenlőtlenséget, amely magában foglalja
Megtaláljuk az átlagos értékeket az idő függvényében az utolsó egyenlőtlenség mindkét részéből:
Így megkapjuk az egyenlőtlenséget
3. A korrelációs függvény páros függvény, azaz.
Ez már a korrelációs függvény definíciójából következik. Igazán,
ezért a grafikonon a korrelációs függvény mindig szimmetrikus az y tengelyre.
4. A véletlen folyamatok összegének korrelációs függvényét a kifejezés határozza meg
hol vannak a kölcsönös korrelációs függvények
Igazán,
5. Egy konstans érték korrelációs függvénye egyenlő ennek az állandó értéknek a négyzetével (9.5. ábra, a), ami a korrelációs függvény definíciójából következik:
6. Egy periodikus függvény korrelációs függvénye például egy koszinuszhullám (9-5. ábra, 5), azaz.
ugyanolyan frekvenciájú, mint a fáziseltolódástól független
Ennek bizonyítására megjegyezzük, hogy a periodikus függvények korrelációs függvényeinek megtalálásakor a következő egyenlőséget használhatjuk:
hol van a függvény periódusa
Az utolsó egyenlőséget úgy kapjuk meg, hogy a -T-től T-ig terjedő határértékekkel rendelkező integrált T-ben helyettesítjük a -tól -ig terjedő határértékekkel rendelkező egyedi integrálok összegével, és az integrandusok periodicitását felhasználva.
Akkor a fentieket figyelembe véve azt kapjuk
7. Az időfüggvény korrelációs függvénye, Fourier-sorral bővítve:
Rizs. 9.5 (lásd a szkennelést)
a fentiek alapján a következő formája van:
8. Egy stacionárius véletlenszerű folyamat tipikus korrelációs függvénye az 1. ábrán látható alakkal rendelkezik. 9.6. Ez a következő analitikai kifejezéssel közelíthető meg:
A növekedéssel a kapcsolat gyengül, és a korrelációs függvény csökken. ábrán A 9.5, b, c ábrákon például két korrelációs függvény és egy véletlenszerű folyamat két megfelelő megvalósítása látható. Könnyen belátható, hogy a véletlenszerű folyamatnak megfelelő korrelációs függvény többvel finom szerkezet, gyorsabban csökken Más szóval minél magasabb frekvenciák vannak jelen egy véletlenszerű folyamatban, annál gyorsabban csökken a megfelelő korrelációs függvény.
Néha vannak olyan korrelációs függvények, amelyek az analitikus kifejezéssel közelíthetők
hol van a diszperzió; - csillapítási paraméter; - rezonancia frekvencia.
Az ilyen típusú korrelációs függvények például véletlenszerű folyamatokat tartalmaznak, mint például légköri turbulencia, radarjel-gyengülés, célszögvillogás stb. A (9.45) és (9.46) kifejezéseket gyakran használják a kísérleti adatfeldolgozás eredményeként kapott korrelációs függvények közelítésére. .
9. Egy stacionárius véletlen folyamat korrelációs függvénye, amelyre egy frekvenciájú periodikus komponens van szuperponálva, szintén tartalmazni fog egy azonos frekvenciájú periodikus komponenst.
Ez a körülmény felhasználható a véletlenszerű folyamatok "rejtett periodicitásának" kimutatására, amely véletlenszerű folyamatok végrehajtásának egyedi rekordjainál első pillantásra nem észlelhető.
ábra egy olyan folyamat korrelációs függvényének közelítő képe, amely a véletlenszerű komponensen kívül egy periodikus komponenst is tartalmaz. 9.7, ahol a véletlen komponensnek megfelelő korrelációs függvény van feltüntetve. A látens periodikus komponens feltárása érdekében (ilyen probléma merül fel például akkor, ha egy kis hasznos jelet izolálnak egy nagy zaj hátterében), a legjobb a korrelációs függvény meghatározása nagy értékek esetén, amikor a véletlen jel már viszonylag gyengén korrelál, és a véletlenszerű komponensnek kevés hatása van a korrelációs függvény formájára.