A valószínűségi változó teljes jellemzője az eloszlás törvénye. A gyakorlatban a korlátozott kísérleti eredmények miatt nem mindig érhető el ilyen jellemző. Ezekben az esetekben az eloszlási törvények helyett a valószínűségi változók hozzávetőleges leírását alkalmazzuk, amelyet a nem véletlenszerű jellemzők minimális számának felhasználásával kapunk. Ezen jellemzők számának kicsinek kell lennie, de tükröznie kell az eloszlás legjelentősebb jellemzőit:
egy valószínűségi változó matematikai elvárása;
Diszperzió (nullarendű pillanat, 1.).
Az X diszkrét valószínűségi változó legegyszerűbb numerikus jellemzője az átlagérték: , ahol a valószínűségi változó átlagértéke; N a tesztek száma; - a valószínűségi változó értéke, amelyet N kísérletben vesz fel.
Egy diszkrét valószínűségi változó értékeinek terjedésének jellemzésére ebben a kísérletsorozatban a valószínűségi változó értékei és átlagértéke közötti különbség négyzetét használjuk: , ahol a valószínűségi változó statisztikai varianciája Х. átlagértéke körüli értékeket.
Ha a kísérletek eredményeit nem egy, hanem több valószínűségi változóval jellemezzük, akkor a figyelembe vett jellemzők mellett olyan mennyiségeket is bevezetünk, amelyek e valószínűségi változók közötti függőség mértékét jellemzik. Ilyen jellemzőként például ebben a kísérletsorozatban 2 x és y valószínűségi változó esetében a következő értéket vettük át: . Egyenlőség (4) statikus korrelációs momentum. A kísérletek számának növekedésével ennek az eseménynek az előfordulási gyakoriságának értéke megközelíti a valószínűséget. A számtani középérték pedig a matematikai elvárása szerint alakul: , ahol az érték előfordulási valószínűsége. Így egy X diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az összes lehetséges x értéke szorzata és ezen értékek előfordulási valószínűsége. , egy valószínűségi változó varianciája az ettől az értéktől való eltérés négyzetének matematikai elvárása a matematikai elvárásától. , ahol egy központosított valószínűségi változó, , . Korrelációs momentum: , ahol annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó x, y felvállalni az értékeket x i , y i, .
Folytonos valószínűségi változók esetén a matematikai elvárást, szórást és korrelációs momentumot a sűrűségen keresztül határozzuk meg: .
Független valószínűségi változók esetén: akkor , . A független valószínűségi változók (9) szerint tehát, ha két valószínűségi változó különbözik 0-tól, akkor ez kapcsolat fennállását jelzi ezen valószínűségi változók között. Azokat a véletlen változókat, amelyek esetében nem korrelációs valószínűségi változóknak nevezzük. nemcsak a mennyiségek függését, hanem azok szórását is jellemzi. Ha például az X vagy Y értékek egyike alig tér el a matematikai elvárásától, akkor a korrelációs momentum kicsi lesz, függetlenül attól, hogy ezek az értékek milyen mértékben függenek egymástól.
Ennek a hiányosságnak a kiküszöbölésére dimenzió nélküli karakterisztikát vezetünk be, amelyet korrelációs együtthatónak nevezünk: . Ha mechanikus értelmezést alkalmazunk, akkor az abszcisszát az ábra súlypontjaként, a diszperziót pedig a síkfigura tehetetlenségi nyomatékaként ábrázolhatjuk.
szórása 1 és elvárása 0.
Normalizált valószínűségi változó V egy adott X valószínűségi változó σ szórásához viszonyított aránya
Szórás a variancia négyzetgyöke
A V normalizált valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája X karakterisztikájával fejezhető ki a következőképpen:
MV=M(X)σ=1v, DV=1,
ahol v az eredeti X valószínűségi változó variációs együtthatója.
Az F V (x) eloszlásfüggvényhez és az f V (x) eloszlássűrűséghez a következőt kapjuk:
F V(x) = F(σx), f V(x) = σf(σx),
ahol F(x) az eredeti valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x, a f(x) a valószínűségi sűrűsége.
Korrelációs együttható.
Korrelációs együttható két valószínűségi változó változásának kölcsönös sztochasztikus hatásának mutatója. A korrelációs együttható -1 és +1 közötti értékeket vehet fel. Ha a modulo érték közelebb van az 1-hez, akkor ez erős kapcsolat jelenlétét jelenti, ha pedig közelebb van a 0-hoz, akkor nincs kapcsolat, vagy lényegében nem lineáris. Abszolút értékben eggyel egyenlő korrelációs együttható esetén funkcionális kapcsolatról (nevezetesen lineáris függésről) beszélünk, vagyis két mennyiség változása egy lineáris függvénnyel írható le.
A folyamat az ún sztochasztikus, ha olyan valószínűségi változókkal írják le, amelyek értéke idővel változik.
Pearson-féle korrelációs együttható.
A metrikus mennyiségeknél a Pearson-korrelációs együtthatót használjuk, amelynek pontos képletét Francis Hamilton származtatta. Legyen X és Y két, ugyanazon a valószínűségi téren definiált valószínűségi változó. Ezután a korrelációs együtthatójukat a következő képlet adja meg:
Csebisev egyenlőtlenségei.
Markov egyenlőtlensége.
Markov-egyenlőtlenség a valószínűségelméletben becslést ad annak valószínűségére, hogy egy valószínűségi változó abszolút értékben meghaladja a rögzített pozitív állandót, a matematikai elvárásait tekintve. Az így kapott becslés általában meglehetősen durva. Lehetővé teszi azonban, hogy egy bizonyos elképzelést kapjunk az eloszlásról, ha az utóbbi nem ismert kifejezetten.
Legyen egy valószínűségi változó definiálva egy valószínűségi téren, és a matematikai elvárása véges. Akkor
,
ahol a > 0.
Egyenlőtlenség Csebisev – Bieneme.
Ha E< ∞ (E – математическое ожидание), то для любого , справедливо
A nagy számok törvénye.
A nagy számok törvénye kimondja, hogy egy fix eloszlásból származó, kellően nagy véges minta tapasztalati átlaga (számtani átlaga) közel áll az adott eloszlás elméleti átlagához (várakozásához). A konvergencia típusától függően megkülönböztetjük a nagy számok gyenge törvényét, amikor a valószínűség konvergenciája megy végbe, és a nagy számok erős törvényét, amikor szinte mindenhol konvergencia megy végbe.
Mindig lesz annyi kísérlet, hogy bármilyen előre meghatározott valószínűség mellett valamely esemény előfordulási gyakorisága tetszőlegesen keveset fog eltérni annak valószínűségétől. A nagy számok törvényének általános jelentése az, hogy nagyszámú véletlenszerű tényező együttes hatása a véletlentől szinte független eredményre vezet.
A nagy számok gyenge törvénye.
Ekkor Sn P M(X).
A nagy számok erős törvénye.
Ekkor Sn→M(X) szinte biztos.
Az RV-nek megfelelő központosított valószínűségi változóx a valószínűségi változó közötti különbségnek nevezzük x és annak matematikai elvárása
A valószínűségi változót ún normalizálva ha varianciája 1. Egy központosított és normalizált valószínűségi változót nevezünk alapértelmezett.
Szabványos valószínűségi változó Z, amely a valószínűségi változónak felel meg x a következő képlet szerint található:
(1.24)
1.2.5. Egyéb numerikus jellemzők
Diszkrét SV divat x mint lehetséges érték x m, amelyekre
Divat folyamatos SWx valós számnak hívják M 0 (x), a valószínűségi eloszlási sűrűség maximális pontjaként definiálva f(x).
Így az SW mód x a legvalószínűbb értéke, ha ez az érték egyedi. Előfordulhat, hogy egy mód nem létezik, egyetlen értékkel rendelkezik (unimodális eloszlás), vagy több értékkel rendelkezik (multimodális eloszlás).
Folyamatos SW mediánjax valós számnak hívják M D (x) kielégíti a feltételt
Mivel ennek az egyenletnek sok gyökere lehet, a mediánt általában kétértelműen határozzák meg.
Kezdő pillanatm-th rendű SWx (ha létezik) valós számnak nevezzük m képlet határozza meg
(1.27)
Az m-edik rend központi momentuma SWx(ha létezik) számnak nevezzük m képlet határozza meg
(1.28)
SW matematikai elvárása x az első kezdeti momentum, a szórás pedig a második központi momentuma.
A magasabb rendek mozzanatai közül kiemelt jelentőséggel bírnak a 3. és 4. rend központi momentumai.
Aszimmetria együttható ("ferde") A(x)
mennyiségnek nevezzük 
A gördülési együttható ("hegyesség") E(x) SWx mennyiségnek nevezzük 
1.3. A diszkrét valószínűségi változók eloszlásának néhány törvénye
1.3.1. Geometriai eloszlás
Diszkrét SW x geometriai eloszlású, ha lehetséges értékei 0, 1, 2, …, m, … megfelelnek a képlettel számított valószínűségeknek
ahol 0< p< 1,q= 1 –p.
A gyakorlatban geometriai eloszlás akkor következik be, amikor több független kísérletet tesznek valamilyen eredmény elérésére. DEés egy esemény bekövetkezésének valószínűsége DE minden kísérletben P(A) =P. SW x a haszontalan próbálkozások száma (az első kísérletig, amelyben az esemény megjelenik DE), geometriai eloszlása van egy eloszlási sorozattal:
|
x én | ||||||
|
p én |
q 2 p |
q m p |
és numerikus jellemzők:
(1.30)
1.3.2. Hipergeometrikus eloszlás
Diszkrét SW x lehetséges értékekkel 0, 1, …, m, …,M paraméterekkel ellátott hipergeometrikus eloszlású N,M,n, ha
(1.31)
ahol M≤N,m ≤n,n≤N,m,n,N,M- egész számok.
A hipergeometrikus eloszlás a következő esetekben fordul elő: van N tárgyak, amelyek közül M rendelkeznek egy bizonyos tulajdonsággal. Elérhető N az objektumok véletlenszerűen kerülnek kiválasztásra n tárgyakat.
SW x – a megadott attribútummal rendelkező objektumok száma a kiválasztottak között a hipergeometriai törvény szerint oszlik el.
A hipergeometrikus eloszlást különösen a termékminőség-ellenőrzéssel kapcsolatos problémák megoldására használják.
A hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása:
(1.32)
matematikai elvárás a diszkrét valószínűségi változót az összes lehetséges értékének és valószínűségeinek szorzatának összegének nevezzük
Megjegyzés. A definícióból következik, hogy egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása nem véletlenszerű (konstans) változó.
Egy folytonos valószínűségi változó matematikai elvárása a képlettel számítható ki
M(X) = 
.
A matematikai elvárás megközelítőleg egyenlő(minél pontosabb, annál nagyobb a kísérletek száma) a valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlaga.
A matematikai várakozás tulajdonságai.
1. tulajdonság. Egy állandó érték matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval:
2. tulajdonság. Az állandó tényezőt ki lehet venni az elvárás jeléből:
3. tulajdonság. Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával:
M(XY)=M(X)*M(Y).
4. tulajdonság. Két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a feltételek matematikai elvárásainak összegével:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
12.1. Valószínűségi változó diszperziója és tulajdonságai.
A gyakorlatban gyakran meg kell találni egy valószínűségi változó szórását az átlagértéke körül. Például a tüzérségnél fontos tudni, hogy a lövedékek milyen közel esnek a célhoz, amelyet el kell találni.
Első pillantásra úgy tűnhet, hogy a szórás becslésének legegyszerűbb módja egy valószínűségi változó eltérésének összes lehetséges értékének kiszámítása, majd az átlagos érték meghatározása. Ez az út azonban nem ad semmit, mivel az eltérés átlagos értéke, azaz M bármely valószínűségi változó esetén nulla.
Ezért leggyakrabban a másik irányba mennek - a szórást használják a számításhoz.
diszperzió Egy valószínűségi változó (szórása) a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárása:
D(X) = M2.
A variancia kiszámításához gyakran célszerű a következő tételt használni.
Tétel. A diszperzió egyenlő az X valószínűségi változó négyzetének matematikai elvárása és a matematikai elvárás négyzete közötti különbséggel.
D (X) \u003d M (X 2) - 2.
Diszperziós tulajdonságok.
1. tulajdonság. Diszperziós állandóCegyenlő nullával:
2. tulajdonság. Egy állandó tényező a variancia előjelén túlra emelhető négyzetre emelve:
D(CX)=C2D(X).
3. tulajdonság. Két független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével:
D(X+Y) =D(X)+D(Y).
4. tulajdonság. Két független valószínűségi változó különbségének szórása egyenlő eltéréseik összegével:
D(X-Y) =D(X) +D(Y).
13.1. Normalizált valószínűségi változók.
szórása 1 és elvárása 0.
Normalizált valószínűségi változó V egy adott X valószínűségi változó σ szórásához viszonyított aránya
Szórás a variancia négyzetgyöke
A V normalizált valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája X karakterisztikájával fejezhető ki a következőképpen:
ahol v az eredeti X valószínűségi változó variációs együtthatója.
Az F V (x) eloszlásfüggvényhez és az f V (x) eloszlássűrűséghez a következőt kapjuk:
F V(x) =F(σx), f V(x) =σf(σx),
ahol F(x) az eredeti valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x, a f(x) a valószínűségi sűrűsége.
SZÓRÁSI JELLEMZŐK
A pozíció jellemzőitől - matematikai elvárás, medián, módus - térjünk át a valószínűségi változó terjedésének jellemzőire x. diszperzió D(X)= a 2, a szórás a és a variációs együttható v. A diszkrét valószínűségi változók varianciájának definícióját és tulajdonságait az előző fejezetben tárgyaltuk. Folyamatos valószínűségi változókhoz
A szórás az eltérés négyzetgyökének nem negatív értéke:
A variációs együttható a szórás és a matematikai elvárás aránya:
Variációs együttható – akkor alkalmazzák, amikor M(X)> O - a szórást relatív mértékegységben, míg a szórást abszolút mértékegységben méri.
6. példa Egyenletes eloszlású valószínűségi változóhoz x keresse meg a szórást, a szórást és a variációs együtthatót. A diszperzió a következő:
Változó helyettesítés 
lehetővé teszi a következő írást:
ahol Val vel = f - aU2.
Ezért a szórás az 
és a variációs együttható: 
VÉLETLENSZERŰ ÉRTÉKEK ÁTALAKULÁSAI
Minden valószínűségi változóhoz x definiáljon még három mennyiséget – középre igazítva Y, normalizálva Vés adott U. Központosított valószínűségi változó Y az adott valószínűségi változó közötti különbség xés annak matematikai elvárása M(X), azok. Y=X - M(X). Középpontos valószínűségi változó matematikai elvárása Y egyenlő 0-val, a variancia pedig az adott valószínűségi változó varianciája:
elosztási függvény Fy(x) központú valószínűségi változó Y az elosztási függvényhez kapcsolódik F(x) az eredeti valószínűségi változóból x hányados:
Ezen valószínűségi változók sűrűségére az egyenlőség
Normalizált valószínűségi változó V az adott valószínűségi változó aránya x szórására a, azaz. V = XIo. Normalizált valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája V jellemzőkkel fejeződik ki xÍgy:
ahol v az eredeti valószínűségi változó variációs együtthatója x. Az elosztási függvényhez Fv(x)és sűrűsége fv(x) normalizált valószínűségi változó V nekünk van:
ahol F(x)- az eredeti valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x; javítás) a valószínűségi sűrűsége.
Csökkentett valószínűségi változó U egy központosított és normalizált valószínűségi változó:
Csökkentett valószínűségi változóhoz
A normalizált, központosított és redukált valószínűségi változókat folyamatosan alkalmazzák mind az elméleti kutatásban, mind az algoritmusokban, szoftvertermékekben, szabályozási és műszaki, valamint oktató és módszertani dokumentációkban. Különösen azért, mert az egyenlőség M(U) = 0, D(lf) = 1 lehetővé teszi a módszerek alátámasztását, a tételek megfogalmazását és a számítási képletek egyszerűsítését.
Valószínűségi változók transzformációit és általánosabb tervet használnak. Tehát, ha U = aX + b, ahol aés b akkor néhány szám
7. példa Ha a= 1/G, b = -M(X)/G, akkor Y redukált valószínűségi változó, és a (8) képleteket (7) képletté alakítjuk.
Minden valószínűségi változóval x lehetőség van az Y valószínűségi változók Y = képlettel adott halmazának összekapcsolására Ó + b különféle a > 0 és b. Ezt a készletet ún pikkelynyíró család, valószínűségi változó által generált x. Elosztási funkciók Fy(x) az eloszlásfüggvény által generált eloszlások léptékeltolásos családját alkotják F(x). Y= helyett aX + b gyakran használt jelölés 
Szám Val vel eltolási paraméternek és számnak nevezzük d- skála paraméter. A (9) képlet azt mutatja x- egy bizonyos érték mérésének eredménye - K-be kerül - ugyanazon érték mérésének eredménye, ha a mérés kezdete egy pontra kerül Val vel, majd használja az új mértékegységet, in d szor nagyobb, mint a régi.
A léptékeltolásos család (9) esetében az eloszlás x szabványnak nevezik. Valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszerekben és egyéb alkalmazott kutatásokban a standard normális eloszlást, a standard Weibull-Gnedenko eloszlást, a standard gamma eloszlást alkalmazzák.
terjesztés stb. (lásd alább).
A valószínűségi változók egyéb transzformációit is használják. Például egy pozitív valószínűségi változóhoz x fontolgat Y = IgX, ahol IgX- egy szám decimális logaritmusa x. Egyenlőségi lánc
elosztási függvényeket kapcsol össze xés Y.