Izv. egyetemek "PND", v. 15, No. 1, 2007 UDC 517.9
LORENTZ ATTRACTOR NYÍRÁSI ÁRAMLÁSOKBAN
A.M. Mukhamedov
A folytonos közeg kaotikus dinamikájának korábban javasolt modelljének keretein belül egy Lorentz-típusú attraktornak megfelelő áramlási sebesség-ingadozások háromdimenziós rezsimje valósul meg. A megoldás a rétegelt elosztó háromdimenziós esetre redukált geometriáját meghatározó szerkezetek halmaza, amelyet a közegáramlási sebességek pulzációi alkotnak. Maga a Lorentz-attraktor dinamikája a sebesség-ingadozások időfüggésének formájában nyilvánul meg az átlagos áramlás áramvonalai mentén.
Mint ismeretes, a determinisztikus káosz egyik klasszikus példája, az alkalmazott hidrodinamikai kutatások eredményeként felfedezett Lorentz-attraktor még nem reprodukálódott kellőképpen a meglévő turbulens mechanika formalizmusában. A szerző munkáiban megfogalmazódott egy hipotézis, miszerint ennek a problémának a klasszikus hidrodinamikai megoldása elvileg nem érhető el, és egy ilyen következtetés igazolását javasolták. Azon a megértésen alapult, hogy a kaotikus dinamika attraktormodelljei befolyásolják a folytonos közeg mezoszkópikus mozgási szintjét, és ez a szint nem szerepel a klasszikus Navier-Stokes egyenletekben. Ez vezetett ahhoz a javaslathoz, hogy a Lorentz-attraktor problémájának megoldási lehetőségeit bővítsék további mezostruktúrák explicit bevonásával a hidrodinamika matematikai formalizmusába, amelyek ezen elmélet apparátusát túlmutatják a Navier-Stokes egyenletekkel végzett klasszikus műveletek keretein.
Jelenleg a folytonos médiumok dinamikájának attraktor rezsimjei olyan modellek keretein belül épülnek fel, amelyek a folytonos közeg mozgásának messzemenő absztrakciói, szinte anélkül, hogy a mechanikai kölcsönhatások a környezet részecskéi egymással. Egyes esetekben ezek az absztrakciók a beágyazott Hilbert-terek hierarchiájában működő evolúciós típusú operátorok tulajdonságait tükrözik. Más esetekben a véges dimenziós rendszerek dinamikáját tükrözik, amelyek reprodukálják a környezet állapotainak változásait, de ebben az esetben mindegyik állapotot valójában csak a megfelelő fázissokaság egy pontja reprezentálja. Az ilyen modellezés nem felel meg a hidromechanika alkalmazott céljának, amely az összes lényeges szerkezetet közvetlenül, azaz a folytonos közeg által elfoglalt térben megköveteli. Ha figyelembe vesszük az elméleti és kísérleti adatok mellett szóló érveket
Egy ilyen ábrázolás megléte, akkor az attraktorok reprodukálása a környezet tér-idő jellemzőinek dinamikájával összefüggésben sürgető igénynek tűnik.
Ebben a cikkben a Lorentz attraktort a modellben javasolt turbulens dinamika keretein belül konstruáljuk meg. E modell szerint a turbulens rezsimek fázisterei a hidrodinamikai mennyiségek fluktuációiból származó sugarak rétegződései. A fluktuáló kötegek geometriáját eleve önkényesnek feltételezzük, amelyet a megfelelő kaotikus rezsimek modellezett jellemzői határoznak meg. A modellezés fő célja egy kaotikus struktúra, amely a közegben lévő pontok mozgásának instabil pályáinak komplexuma. Feltételezzük, hogy minden kialakult turbulens rezsim egy jól meghatározott kaotikus struktúrának felel meg. Egy kaotikus struktúra pályáján azonosították őket egy nem integrálható (nem holonom) Pfaff-típusú eloszlás integrálgörbéinek halmazával, amelyet dinamikus változók fluktuációinak kötegén határoztak meg.
jellemző tulajdonság A javasolt modell egy közeg mozgásának Lagrange-féle leírása, amely általános esetben nem redukálódik le az Euler-változók mozgásának leírására. Ugyanakkor kiderült, hogy Lagrange leírása bámulatosan alkalmazkodott ahhoz, hogy tükrözze a furcsa attraktorokkal rendelkező rendszerek dinamikáját. Az Euler-paradigma merev megszorításai helyett Lagrange leírása sokkal lágyabb feltételeket támaszt, amelyek a megfelelő nemholonom eloszlások geometriai objektumainak meghatározására szolgálnak. A modellezés hangsúlyának ilyen változása lehetővé teszi a különböző attraktorok reprodukálását a részecskenyalábok dinamikájában kontinuum közegben.
1. Állítsuk fel a hárommódusú rezsim pulzációi dinamikájának egyenleteit
(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)
ahol xk és yz alkotják a pulzációk rétegződésének térbeli és dinamikus koordinátáit, az mkk(x, yt)(xk és Ar(x, yt)M objektumok pedig meghatározzák a rezsim intermódusú kölcsönhatásainak természetét. és maga az (1) egyenlet tekinthető a dinamikus koordináták térbeli koordináták és idő szerinti deriváltjainak kialakításának szabályainak, amelyeket valós turbulens evolúció határoz meg. geometriai érzék Ezen objektumok közül az, hogy a pulzálási kötegben egy belső kapcsolódási objektumot, illetve egy függőleges vektormezőt határoznak meg.
Tegyük fel, hogy a fent bemutatott dinamikus koordináták a közeg áramlási sebességének ingadozását jelentik, vagyis a közeg aktuális sebessége a képlet szerint kiterjeszthető az átlagos áramlás és fluktuációk sebességmezőjébe.
u (x, y) = u0 (x) + y. (2)
A tömeg- és impulzusmérleg egyenleteket a standard folytonossági egyenlet és a Navier-Stokes egyenlet formájában vesszük
Chr + udi. (négy)
Ez a rendszer Az egyenletek még nem teljesek, mivel a (4) egyenlet tartalmazza a nyomást, amely egy termodinamikai változó, amelynek dinamikája általános esetben túlmutat a kinematika keretein. A nyomásingadozások leírásához új dinamikus koordinátákra van szükség, ami növeli a megfelelő turbulens mozgási rendszer leírásához szükséges szabadsági fokok számát. Bevezetünk egy új dinamikus változót, melynek jelentése nyomásingadozás, vagyis veszünk
p(x,y)= po(x) + y4. (5)
Így a folyamatos közeg mozgásának megjelenítéséhez szükséges dinamikus koordináták kezdeti halmaza négydimenziós.
A Lorentz-rendszer dinamikájához hasonló dinamikájú háromdimenziós rendszerré redukálás lehetősége abban rejlik, hogy a nyomás gradiens formájában lép be a (4) egyenletbe. Ebből következik, hogy a sebességingadozások háromdimenziós dinamikájára való redukálása akkor hajtható végre, ha a (4) egyenletbe belépő nyomásgradiens csak az első három dinamikus koordinátát tartalmazza. Ehhez elegendő megkövetelni, hogy a dinamikai egyenletekben a negyedik koordinátára
dy4 + wj (x, y) dxk = A4 (x, y) dt (6)
a w4(x,yj)dxk kapcsolatformák együtthatói csak az első három dinamikus koordinátától függtek. Vegyük észre, hogy a háromdimenziós rendszer instabilnak bizonyulhat egy teljesebb leírás szempontjából, amely magában foglalja a szabadság összes gerjesztett fokának figyelembevételét. Mindazonáltal arra szorítkozunk, hogy pontosan ezt az a priori lehetséges dinamikát modellezzük.
Tekintsük a (3), (4) mérlegegyenletek által az (1) dinamikus egyenletben szereplő wk(x,yj)dxk és Ai(x,yj)dt ismeretlen mennyiségek kifejezéseire vonatkozó feltételeket. Ehhez behelyettesítjük (2) és (5) helyett (3) és (4), és az (1) és (6) egyenleteket használjuk. Az eredményül kapott kifejezések egyszerűsítése érdekében feltételezzük, hogy az xk térbeli koordináták derékszögűek. Ebben az esetben nem lehet különbséget tenni a felső és alsó indexek között, emelni és csökkenteni őket, ha szükséges a kovariáns kifejezések írásához. Ezután a következő egyenleteket kapjuk az (1) egyenlet együtthatóira:
dkuk - wj = 0, (7)
Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (nyolc)
ahol a Dj = dj - wk^y jelölés kerül bevezetésre.
Az alábbiakhoz konkretizáljuk a probléma megfogalmazását. Olyan rendszert fogunk megvizsgálni, amelynek átlagos sebességmezeje egy egyszerű nyírás áramlását írja le
uk = Ax3à\. (9)
Emellett feltételezéseket teszünk a szálas pulzációs tér geometriájára vonatkozóan. Feltételezzük, hogy a köteg össze van kötve lineáris függvény dinamikus koordinátákban, azaz w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). Ebben az esetben a (8) egyenletből azonnal következik, hogy a második objektum dinamikus koordinátáiban polinomiális szerkezetet kap. Ugyanis a függőleges vektormező dinamikus koordinátákban másodrendű polinommá válik, azaz.
Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.
Így az ismeretlen függvények, amelyek meghatározzák a vizsgált hárommódusú rezsim pulzációs dinamikájának egyenletét, a waak(x), Ar0(x), Ark(x) és A3k(x) együtthatók. (3) és (4) egyenlet. Megjegyezzük, hogy a (4) egyenlet lényegében a függőleges együtthatók meghatározására redukálódik vektor mező, míg a kapcsolódási együtthatók megválasztásának csak a (3) folytonossági egyenlet szab határt. Ez az egyenlet jelentős önkényességet hagy maga után a konnektivitási együtthatók meghatározásakor, így a fluktuációs dinamika térszerkezetének modellezésének szélessége konzisztens a választott átlagos áramlással.
2. Tekintsük egy Lorentz típusú attraktor beszerzésének lehetőségét ebben a feladatban. Ebből a célból mindenekelőtt a tényleges sebességértékek kiterjesztését tárgyaljuk átlagsebesség a hullámzás pedig körülbelül átlagos.
A lüktetések jelentése szerint időátlaguk nullával egyenlő, azaz.
(y)t - 0. (10)
Ugyanakkor a pulzációt a tényleges sebességértékek átlagos értéktől való eltéréseként határozzák meg. Ha az átlagos áramlást adottnak tételezzük fel, akkor a feljegyzett körülmény nem teszi lehetővé, hogy a káosz modellegyenletévé válasszuk tetszőleges rendszer kaotikus dinamikájú egyenletek. Ahhoz, hogy a modellegyenletrendszer változóit valós hidromechanikai mennyiségek pulzációinak tekintsük, a (10) feltételeknek teljesülniük kell. Ha (10) nem teljesül, akkor ez a pulzációs dinamikában el nem számolt sodródást jelent. Ennek megfelelően az elfogadott modellrendszer nem konzisztens sem a figyelembe vett ható tényezőkkel, sem a megengedett átlagos áramlás szerkezetével.
Továbbá az (1) egyenlet általános esetben egy nem teljesen integrálható Pfaff-típusú rendszer. Ennek az egyenletnek a nem integrálhatósága alapvetően fontos, ami megfelel a turbulens mozgásra jellemző tulajdonságnak. Ugyanis a mozgás során minden makroszkopikusan kicsi turbulens képződmény, részecskék, lepkék, gömböcskék elvesztik egyéniségüket. Ezt a tulajdonságot az (1) egyenlet nem integrálhatósága veszi figyelembe. Lényegében az (1) egy folytonos közeg által alkotott kontinuum pontjainak lehetséges mozgási pályáinak együttesét írja le. Ezek a pályák az ingadozások kötegében vannak meghatározva. A folytonos közeg által elfoglalt térre való vetületeik meghatározzák a fluktuációk alakulásának dinamikáját a megfelelő térbeli görbék mentén. Megjegyzendő, hogy az utóbbi tetszőlegesen választható, meghatározva annak lehetőségét, hogy a fluktuációk dinamikáját bármilyen térbeli görbe mentén figyelembe vegyük.
Tekintsük a határozottság kedvéért a fluktuációk dinamikáját az átlagos áramlás áramvonalai mentén. Ekkor a következő dinamikus egyenleteink vannak:
xr = u0, (11)
y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)
Mielőtt megvizsgálnánk ezt a rendszert, átalakítjuk dimenzió nélküli változókra. Ehhez az eredeti (4) egyenletben a viszkozitási együttható helyett bevezetjük
Reynolds szám. Ezután cserélje ki a számtól való kifejezett függőséget
<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)
A változók feletti aláhúzás elhagyásával (12)-ből kapjuk
y \u003d DiO - és! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)
Elemezzük (13). Megjegyzendő, hogy a használt modell fejlett turbulenciát feltételez, vagyis a Reynolds-számot kellően nagynak kell tekinteni. Ekkor, ha a dimenzió nélküli mennyiségek egységnagyságrendűek, akkor a (13) szerinti valós méretmennyiségek jelzik a dinamika megnyilvánulásának léptékét. A (13) pontból különösen az következik, hogy a térbeli léptékek kicsinek bizonyulnak. Az alkalmazott modellt tehát mindenekelőtt a turbulens keveredési folyamatok modelljének kell tekinteni egy folytonos közeg mezoszkópikus felbontási szintjén.
Térjünk most át a (11) és (12) elemzésére. Könnyen belátható, hogy a választott átlagos áramláshoz a (11) egyenletnek egyszerű integráljai vannak. A megfelelő középáram áramvonal-egyenletek az x1 koordinátatengellyel párhuzamos egyenesek. A térbeli koordinátákat kiküszöbölve, a (12)-ből általános esetben egy nem autonóm differenciálegyenlet-rendszert kapunk. Ebben az esetben, ha a konnektivitási együtthatók és a nyomásgradiens nem függ az x1 koordinátától, akkor a (14) rendszer autonóm lesz, amely paraméterként tartalmazza a fennmaradó x2 és x3 térbeli koordinátákat. Ebben az esetben valódi út nyílik a térben inhomogén kvázi-stacionárius pulzációs dinamika közvetlen modellezésére. Az alábbiakban egy ilyen szimulációra mutatunk be példát.
A bekezdés végén megjegyezzük, hogy a Pfaff-rendszer (1), (6) által adott nemholonom eloszlás megjelenése annak a feltevésnek a következménye, hogy állandó erős turbulencia állapotában a lehetséges mozgási pályák osztálya. a közeg részecskéi stabil képződmény. Ennek az új stabilitásnak a szükséges feltétele a pontok mozgási pályáinak instabilitásának követelménye, ami viszont a Reynolds-szám nagy értékeit jelenti. Alaptalan az a kísérlet, hogy a megközelítést az Re szám kis értékeire tegyék.
3. Térjünk rá egy olyan példa felépítésére, amelyben a sebesség ingadozásait az átlagos áramlás pályái mentén egy Lorentz-típusú kanonikus rendszer írja le. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy minden kapcsolódási együttható állandó. Ebben az esetben olyan dinamikát kapunk, amely az átlagos áramlás áramvonalai mentén térben homogén, de tetszőleges vonalak mentén térben nem homogén. Ezt a feltevést kvázi-homogén közelítésnek nevezzük.
Feladatunk az, hogy a (14) egyenletnek megadjuk a kanonikus Lorentz-rendszer alakját. Ennek első látható akadálya a dinamikus koordináták és a megfelelő változók azonosításának bizonytalansága
a kanonikus rendszerből. Feltételezve, hogy az intermódusú kölcsönhatások különféle mechanizmusai lehetővé teszik ezen azonosítások bármelyikének szimulálását, a következő lehetőséget választjuk. Legyen a (14) egyenlet szerkezete a következő:
y1 = a(-y1 + y2), (15)
y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)
y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)
ahol kifejezetten ki van emelve a szabályos kifejezés, amelyet a 2. pontban elmondottaknak megfelelően ki kell zárni a lüktetések kifejezéséből.
x \u003d o (-x + y), y \u003d rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (tizennyolc)
Ehhez feltételezzük, hogy a (18) rendszer változóira léteznek időátlagok. Ennek a rendszernek a transzformációk tekintetében fennálló invarianciája alapján
x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)
természetes, hogy az első két változó átlagának nullának kell lennie. Aztán a helyettesítés
x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)
a (18)-ban megadja a (15) - (17) egyenletrendszert.
Ebben a tekintetben megjegyezzük, hogy a Lorentz-rendszer paramétereinek különböző értékeire megoldások lehetségesek az első két változó nulla és nem nulla átlagértékeivel is. Ezt szem előtt tartva a későbbi megfontolásunkat e lehetőségek közül az elsőre korlátozzuk. Ezenkívül megjegyezzük, hogy a helyettesítés (20) akkor is végrehajtható, ha a harmadik kifejezésben (20) szereplő kifejezés nem az időátlag jelentését jelenti. Ebben az esetben a későbbi értelmezéshez szükség lehet az átlagolási eljárás új meghatározására. Általános esetben a megfelelő definíció megköveteli a vizsgált jelenségek időskálájának finomítását. Nyilvánvaló, hogy az ilyen újradefiniálásokhoz mind a kezdeti adatok, mind a rendszerparaméterek változásai részletesebb figyelembevételét igénylik. A kaotikus attraktorok kölcsönhatásának jól ismert hatása megmutatja, hogy milyen kétértelműségek merülhetnek fel a mozgási paraméterek kis változásaira vonatkozó átlagok meghatározásakor.
Térjünk vissza a mérlegelésünkhöz. A (15)-(17) és (14) rendszer együtthatóit összevetve azt kapjuk, hogy
(DiO - u£dki0 - c/ro) =
(-3]u0 + - dkyu] + u^) =
V -U (g)) (-o
g - (g) -1 0 V 0 0 -y
Ezen kívül (7)-től van
dk u0 = 0, 0.
Tekintsük (21) és (24). A (9) kifejezést helyettesítve könnyen belátható, hogy a (24) azonos módon teljesül, a (21) pedig csak az átlagos nyomásgradiens meghatározására redukálódik. Ebben az esetben a gradiens az átlagos áramlási sebességre merőlegesnek bizonyul, ami a Lorentz-kanonikus rendszer változóinak és a sebesség ingadozási komponenseinek választott azonosításának következménye.
Térjünk át a (23) és (25) egyenletekre. A (23)-ból egyértékű kifejezéseket kapunk a kapcsolódási objektum alsó index-szimmetrikus összetevőihez. Az antiszimmetrikus részt a (25)-ből bizonyos önkényesen határozzuk meg. Ezen egyenletek általános megoldását a következő kifejezés adja:
/ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \
eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)
Térjünk rá a fennmaradó (22) egyenletre. Ez a mátrixegyenlet 9 másodfokú algebrai egyenletből álló rendszer
b2 - c(p + /) +
ae - bp + Yur \u003d r - (r),
eb - a/ + o43 = 0,
ae - bp + b + 1021 = o,
C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,
Ec + ab + u43 = 0,
A/ + eb + a - A + u31 = 0,
Ec + ab + u42 = 0,
Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.
Az ismeretlen benne 6 kapcsolódási együttható (26), a nyomástenzor 9 komponense, 1 az átlagsebesség értékét meghatározó együttható és a Lorentz-rendszer 3 paramétere. Ebből következik, hogy ennek a rendszernek a megoldása jelentős paraméteres önkényességgel van meghatározva. A vizsgált háromdimenziós rezsimben a nyomásgradiens ω > 4r tenzora tetszőleges, és konkretizálása miatt lehetővé válik a kívánt dinamika szimulációja bármely, előre rögzített kapcsolódási együttható választása esetén. Többdimenziós rezsimek esetén a nyomástenzor összetevői egy teljesebb egyenletrendszerben szerepelnek, amely figyelembe veszi az összes gerjesztett szabadságfok dinamikáját. Ebben az esetben a nyomástenzor már nem lehet önkényes. Ebben a tekintetben érdekes a nyomástenzor meghatározásának különféle konkrét lehetőségeit megvizsgálni, feltételezve, hogy a fizikailag ésszerű feltevések teljesebb, többdimenziós dinamikát figyelembe vevő egyenletekben találják meg reprezentációikat. Feltételezzük, hogy a nyomásgradiens tenzor átlós az y2 koordinátának megfelelő nulla komponenssel. Ebben az esetben a (22) pontos analitikai megoldása a következő:
o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)
K - a t Ka, K - a AK
a = A, b = a - K, c = - - .1, p = -, f = - K, e = - - -. (28)
Tekintsük a kapott (27), (28) megoldást. Az átlagos áramsebesség gradiens nagyságát meghatározó A, r, a, y mennyiségek és a Lorentz-modellrendszer három paramétere tetszőleges maradt benne. Az összes többi mozgásjellemzőt a fenti mennyiségkészlet függvényében fejezzük ki. Ezen mennyiségek bizonyos értékeinek kiválasztásával változtatható a pulzáció dinamikája, és a (26), (27) képletek segítségével megtalálhatja a kapcsolódási objektum összetevőinek megfelelő értékeit. Ha figyelembe vesszük, hogy minden objektum meghatározza a lüktetések kölcsönhatásainak jellegét, akkor lehetővé válik maguknak a különböző típusú kölcsönhatásoknak a variálása. Különösen a nyomástenzor komponensek nagyságának változtatására. Meg kell jegyezni, hogy bizonyos esetekben ezek az alkatrészek azonosan nullára fordíthatók. A (27), (28) megoldások jellemzője, hogy lehetetlen a nyomástenzor komponenseit nullára fordítani, miközben a rendszerparaméterek azon értékeinek tartományában maradnak, amelyeknél a Lorentz-dinamika felmerül. (Ez azonban teljesen lehetséges azon paraméterértékek tartományában, amelyeknél a pulzációs dinamika szabályos.)
Tegyünk néhány becslést. A modellrendszer paraméterei feleljenek meg a Lorentz-attraktornak a = 10, r = 28, y = 8/3 paraméterekkel. Ebben az esetben a számítások azt mutatják, hogy a pulzációk jellemző ideje t ~ 0,7. A számított b = 0 + 50 időintervallumon belül a pulzációs értékek az y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 és y3 = -23,2 + 23,7 intervallumokhoz tartoznak.
Hasonlítsuk össze a sebességingadozások és az átlagos sebességgradiens abszolút értékét. A (13)-ból az következik, hogy a pulzációkat úgy kapjuk, hogy a relatív értékeket elosztjuk az l/d számmal, miközben az átlagsebesség gradiens változatlan marad. Vegyünk tehát a sebességgradiensnek egy nagyságrendi egységnyi értéket
A ~ 1. Ekkor Re=2000 értéknél, azaz alsó kritikus értéknél a pulzációkra a gradiens értékének 50%-ának megfelelő nagyságrendet kapunk. Re=40000 esetén a sebességingadozások csak az elfogadott átlagos sebességgradiens érték 10%-át érik el. Ez azt mutatja, hogy az átlagsebesség és a pulzációk közötti ésszerű arányok csak az Re számok bizonyos tartományában biztosíthatók.
4. A közegben lévő pontok mozgásának vizsgálatakor új adatok derülnek ki. A kvázi-homogén közelítésben a Lorentz-dinamika esetében a pontok mozgásegyenletei a következő alakúak:
r-(z) -l 0 0 0 -Y
Aox3 -A(r - (z))x3
Ez a rendszer lineárisnak bizonyul állandó együtthatókkal. Általános megoldása könnyen elérhető elemi integrációval. Ezért csak a pontok mozgási pályáinak minőségi jellemzőit jegyezzük meg. A mozgási sebességek karakterisztikus egyenletéből azt találjuk, hogy két negatív és egy pozitív gyöke van. Így a tér minden pontjában két nyomó- és egy húzási irányt különböztetünk meg. A dinamikának ezek a jellemzői invariáns jellemzők, amelyek segítségével osztályozhatók az azonos átlagos sebességű áramlásoknak megfelelő attraktorok.
A (29) és (30) rendszer általános megoldásából következik, hogy a közegpontok lehetséges elmozdulásai az átlagos áramlási áramvonalakra keresztirányban nem korlátozottak. Ugyanis szabályos sodródás lép fel az x3 tengelyre vetítésben. Ebben az esetben a középáram áramvonalaira merőlegesen mozgó pontok a nagy sebességek tartományába esnek. Ebben az esetben az Re szám növekszik, ami az ingadozások relatív nagyságának csökkenéséhez vezet. Az elvégzett kvázi-homogén közelítés keretében ez a hatás a fluktuációk relatív csökkenéséhez, végső soron azok ingadozásokká való degenerálódásához vezet.
Bibliográfiai lista
1. Mukhamedov A.M. Turbulens modellek: problémák és megoldások //17 IMACS Congress, Paper T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.
2. Mukhamedov A.M. A turbulencia mérőelmélete felé // Káosz, szolitonok és fraktálok. 2006. évf. 29. 253. o.
3. Ruelle D., Takens F. A turbulencia természetéről // Commun. Math. Phys. 1971. évf. 20. 167. o.
4. Babin A.V., Vishik M.I. Evolúciós egyenletek vonzerői. M.: Nauka, 1989. 296 p.
5. Mandelbrot B. A természet fraktálgeometriája. szabad ember. San Francisco, 1982.
6. Benzi Rpaladin G., Parisi G., Vulpiani A. A teljesen kifejlett turbulencia és kaotikus rendszerek multifraktál természetéről // J. Phys. A. 1984. 17. évf. P.3521.
7 Elnaschie M.S. A Feynman-útintegrálok és az E-végtelenség elmélete a kétrés Gedanken-kísérletből // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulations. 2005. évf. 6. (4) bekezdése alapján. 335. o.
8. Mukhamedov A.M. Ensemble rezimes of turbulence in shear flows // Bulletin of KSTU im. A. N. Tupolev. 2003, 3. sz. S. 36.
9. Judovics V.I. A Lorentz-rendszer határciklusainak aszimptotikája nagy Rayleigh-számokhoz // VINITI. 07/31/78. 2611-78 sz.
10. Anishchenko V.S. Komplex rezgések egyszerű rendszerekben. M.: Nauka, 1990. 312 p.
11. Loitsyansky L.G. Folyadék és gáz mechanikája. M.: Nauka, 1987. 840 p.
Kazany Állami Egyetem Érkezett: 2006. január 23
Műszaki Egyetem Átdolgozva 2006.08.15
LORENZ ATTRACTOR AZ EGYSZERŰ VÁLTÁS ÁRAMLÁSÁBAN
A kontinuum közeg kaotikus dinamikájának szimulációjára korábban megadott modell keretében a Lorenz attraktort ábrázoltuk. A szimulációt azon struktúrák segítségével adjuk meg, amelyek egy szálköteg geometriáját határozzák meg, amelyhez a sebesség pulzálások háromdimenziós rezsimje társul. A Lorenz-dinamika a pulzációk időfüggéseként jelenik meg az átlagos áramlás mentén.
Mukhamedov Alfarid Mavievich - Kazanyban született (1953). Diplomát szerzett a Kazany Állami Egyetem Fizikai Karán, a Gravitáció és Relativitáselmélet Tanszékén (1976). A Kazany Állami Műszaki Egyetem Elméleti és Alkalmazott Mechanikai Tanszékének doktorandusza, V.I. A. N. Tupolev. 12 cikk szerzője ebben a témában, valamint a "Matematika tudományos keresése és módszertana" című monográfia (Kazan: KSTU Publishing House, 2005, G. D. Tarzimanova társszerzője). Tudományos érdeklődési kör - a kaotikus dinamika matematikai modelljei, a szálas sokaságok geometriája, a modern matematika módszertana.
a rendszer megoldása at r=24,06
a rendszer megoldása at r=28 — valójában ez a Lorentz-attraktor
a rendszer megoldása at r=100 - látható az önrezgések módja a rendszerben
A konvekció problémájában a modell akkor merül fel, ha az áramlási sebességet és a hőmérsékletet kétdimenziós Fourier-sorokká bővítjük, majd ezeket az első-második harmonikus pontossággal "levágják". Ezenkívül a hidrodinamikai egyenlet redukált teljes rendszere a Boussinesq-közelítésben van felírva. A sorozat kivágása bizonyos mértékig indokolt, hiszen Soltzman munkájában kimutatta, hogy a legtöbb felharmonikus viselkedésében nincsenek érdekes jellemzők.
Alkalmazhatóság és a valóságnak való megfelelés
Jelöljük meg az egyenletrendszerben szereplő változók és paraméterek fizikai jelentését az említett problémákkal kapcsolatban.
- Konvekció lapos rétegben. Itt x felelős a vízaknák forgási sebességéért, yés z- a hőmérséklet vízszintes és függőleges eloszlásához, r- normalizált Rayleigh-szám, σ - Prandtl-szám (a kinematikai viszkozitási együttható és a termikus diffúziós együttható aránya), b információkat tartalmaz a konvektív cella geometriájáról.
- Konvekció zárt hurokban. Itt x- áramlási sebesség, y- a hőmérséklet eltérése az átlagtól a hurok alsó pontjától 90°-kal távolabbi pontban, z- ugyanaz, de az alsó ponton. A hőellátás a legalacsonyabb ponton történik.
- A vízikerék forgása. Megfontolandó egy olyan kerék problémája, amelynek a peremén az alján lyukas kosarak vannak rögzítve. A kerék teteje szimmetrikusan folyamatos vízáram folyik a forgástengely körül. A feladat egyenértékű az előzővel, „fejjel lefelé”, a hőmérsékletet a perem mentén lévő kosarakban lévő víztömeg eloszlásának sűrűségével helyettesítve.
- egymódusú lézer. Itt x a hullámok amplitúdója a lézerüregben, y- polarizáció, z- a lakosság energiaszintjének inverziója, bés σ az inverziós és a térrelaxációs együtthatónak a polarizációs relaxációs együtthatóhoz viszonyított aránya, r- szivattyúzás intenzitása.
Érdemes kiemelni, hogy a konvekció problémájára alkalmazva a Lorentz-modell egy nagyon durva közelítés, nagyon távol áll a valóságtól. Többé-kevésbé megfelelő egyezés létezik a szabályos rezsimek tartományában, ahol a stabil megoldások minőségileg tükrözik az egyenletesen forgó konvektív tekercsek (Bénard cellák) kísérletileg megfigyelt képét. A modellben rejlő kaotikus rezsim nem írja le a turbulens konvekciót az eredeti trigonometrikus sorozat jelentős vágása miatt.
Érdekes a modell lényegesen nagyobb pontossága néhány módosításával, amelyet különösen a függőleges irányú vibrációnak vagy változó hőhatásoknak kitett réteg konvekciójának leírására használnak. A külső körülmények ilyen változásai az egyenletekben szereplő együtthatók modulációjához vezetnek. Ebben az esetben a hőmérséklet és a sebesség nagyfrekvenciás Fourier-komponensei jelentősen elnyomódnak, javítva a Lorentz-modell és a valós rendszer közötti egyezést.
Figyelemre méltó Lorenz szerencséje a paraméterérték kiválasztásában r (\displaystyle r), mivel a rendszer csak 24,74-nél nagyobb értékek esetén érkezik a furcsa attraktorhoz, kisebb értékeknél a viselkedés teljesen más.
Rendszermegoldás viselkedése
Tekintsük a Lorentz-rendszer megoldásának viselkedésében bekövetkezett változásokat az r paraméter különböző értékeihez. A cikk illusztrációi a (10,10,10) és (-10,-10,10) kezdeti koordinátákkal rendelkező pontok numerikus szimulációjának eredményeit mutatják be. A modellezés az alábbi, Fortran nyelven írt programmal történt, a kapott táblázatok szerint ábrázolva - a Fortran gyenge grafikus képességei miatt a Compaq Array Viewer segítségével.
- r<1 - a koordináták origója az attraktor, nincs más stabil pont.
- 1<r<13,927 - a pályák spirálisan közelednek (ez csillapított oszcillációk jelenlétének felel meg) két ponthoz, amelyek helyzetét a képletek határozzák meg:
( x = ± b (r − 1) y = ± b (r − 1) z = r − 1 (\displaystyle (\begin(esetek)x=\pm (\sqrt (b(r-1)))\ \y=\pm (\sqrt (b(r-1)))\\z=r-1\end(esetek)))
Ezek a pontok határozzák meg a stacionárius konvekciós állapot állapotait, amikor a rétegben forgó folyadéktekercsekből álló szerkezet alakul ki.
- r≈13,927 - ha a pálya elhagyja az origót, akkor az egyik stabil pont körül teljes körforgást végrehajtva visszatér a kiindulási ponthoz - két homoklinikai hurok jelenik meg. koncepció homoklinikai pálya azt jelenti, hogy kijön és ugyanabba az egyensúlyi helyzetbe kerül.
- r>13,927 - Iránytól függően a pálya két stabil pont egyikébe érkezik. A homoklinikai hurkok instabil határciklusokká regenerálódnak, és létrejön egy bonyolultan elrendezett pályák családja is, amely nem attraktor, hanem éppen ellenkezőleg, taszítja magától a pályákat. Néha, analógia alapján, ezt a szerkezetet "furcsa riasztónak" nevezik (eng. taszítani- taszít).
- r≈24,06 - a pályák már nem vezetnek stabil pontokhoz, hanem aszimptotikusan közelítenek az instabil határciklusokhoz - megjelenik a tulajdonképpeni Lorentz-attraktor. Mindazonáltal mindkét stabil pont az értékekig megmarad r≈24,74.
A paraméter nagy értékei esetén a pálya komoly változásokon megy keresztül. Shilnikov és Kaplan megmutatta, hogy nagyon nagy r a rendszer önoszcillációs üzemmódba lép, és ha a paramétert csökkentjük, az oszcillációs periódus megkettőzésének sorozatán keresztül a káoszba való átmenet figyelhető meg.
Modell jelentősége
A Lorenz-modell valódi fizikai példája a kaotikus viselkedésű dinamikus rendszereknek, ellentétben a különféle mesterségesen felépített leképezésekkel ("fűrészfog", "ponyva", baker-transzformáció, Feigenbaum-leképezés stb.).
A Lorenz rendszer viselkedését szimuláló programok
Borland C#beleértve
adatok = táblázat [ A következővel: [( N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1), NestList [ Modul [( x, y, z, x1, y1, z1), (x) , y , z ) = # ; x1 = x + a (- x + y ) dt ; y1 = y + (b x - y - z x ) dt ; z1 = z + (- c z + x y ) dt ; (x1, y1, z1)] &, (3,051522, 1,582542, 15,62388), N]], (j, 0, 5)]; Graphics3D @ MapIndexed [( Színárnyalat [ 0.1 First [ # 2 ]], Point [ # 1 ]) & , data ]
JavaScript és HTML5< html > < body > < canvas height = "500" width = "500" id = "cnv" > < script >var cnv = dokumentum. getElementById("cnv"); var cx = cnv . getContext("2d"); var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1; vardt = 0,0001 ; var a = 5, b = 15, c = 1; var h = parseInt(cnv . getAttribute("height" )); var w = parseInt(cnv . getAttribute("width" )); var id = cx . createImageData(w , h ); varrd = Math . kerek; var idx = 0 ; i = 1000000 ; míg (i -- ) ( x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + ( - c * z + x * y ) * dt , x = x1 , y = y1 , z = z1 , idx = 4 * (rd (19,3 * (y - x * 0,292893 ) + 320 ) + rd (- 11 * (z + x * 0,292893 ) ) + 392 ) * w );id .data [ idx + 3 ] = 255 ; ) cx . putImageData(id , 0 , 0 );
absztrakt
Szakterület szerint: matematika
„ Lorentz attraktor“
Lorentz attraktor
a rendszer megoldása atr =0,3
a rendszer megoldása atr =1,8
a rendszer megoldása atr =3,7
a rendszer megoldása atr =10
a rendszer megoldása atr =16
a rendszer megoldása atr =24,06
a rendszer megoldása atr =28 — valójában ez a Lorentz-attraktor
a rendszer megoldása atr =100 - látható az önrezgések módja a rendszerben
Lorentz attraktor (angolról.vonzani - vonz) invariáns halmaz egy háromdimenziós sima , amely bizonyos összetett topológiai szerkezettel rendelkezik és aszimptotikusan stabil, azt és az összes pályát valamilyen szomszédságból hajlamos nál nél (innen ered a neve).
A Lorentz-attraktort numerikus kísérletekben találták meg, amelyek egy nemlineáris rendszer pályáinak viselkedését vizsgálták:
a következő paraméterértékekkel: σ=10,r =28, b =8/3. Ezt a rendszert először, mint az első nem triviális rendszert vezették be a tengervíz lapos rétegben való problémájára, ami motiválta a σ értékeinek megválasztását,r ésb , de más fizikai kérdésekben és modellekben is felmerül:
konvekció zárt hurokban;
a vízikerék forgása;
egymódusú modell;
disszipatív inerciális nemlinearitással.
Kezdeti hidrodinamikai egyenletrendszer:
ahol - áramlási sebesség, - folyadék hőmérséklet, - a felső határ hőmérséklete (az alsó, ), - sűrűség, - nyomás, - gravitáció, - illetve kinematikai.
A konvekció problémájában a modell akkor merül fel, amikor az áramlási sebességet és hőmérsékletet kétdimenziósra bontjuk, és ezek későbbi „levágásai” az első-második harmonikusokig. Ezenkívül az adott teljes egyenletrendszert -ben írják fel. A sorok kivágása bizonyos mértékig indokolt, hiszen Soltzman munkáiban kimutatta, hogy a legtöbb felharmonikus viselkedésében nincsenek érdekes sajátosságok.
Alkalmazhatóság és a valóságnak való megfelelés
Jelöljük meg az egyenletrendszerben szereplő változók és paraméterek fizikai jelentését az említett problémákkal kapcsolatban.
Konvekció lapos rétegben. Ittx felelős a vízaknák forgási sebességéért,y ész - a hőmérséklet vízszintes és függőleges eloszlásához,r - normalizált , σ - (a kinematikai együttható és az együttható aránya),b információkat tartalmaz a konvektív cella geometriájáról.
Konvekció zárt hurokban. Ittx - áramlási sebesség,y - a hőmérséklet eltérése az átlagtól a hurok alsó pontjától 90°-kal távolabbi pontban,z - ugyanaz, de az alsó ponton. A hőellátás a legalacsonyabb ponton történik.
A vízikerék forgása. Megfontolandó egy olyan kerék problémája, amelynek a peremén az alján lyukas kosarak vannak rögzítve. A kerék tetejeszimmetrikusan folyamatos vízáram folyik a forgástengely körül. A feladat egyenértékű az előzővel, „fejjel lefelé”, a hőmérsékletet a perem mentén lévő kosarakban lévő víztömeg eloszlásának sűrűségével helyettesítve.
egymódusú lézer. Ittx - a lézer hullámainak amplitúdója,y - , z - populációinverzió,b és σ az inverziós és a téregyütthatónak a polarizációs relaxációs együtthatóhoz viszonyított aránya,r - intenzitás.
Érdemes kiemelni, hogy a konvekció problémájára alkalmazva a Lorentz-modell egy nagyon durva közelítés, nagyon távol áll a valóságtól. Többé-kevésbé megfelelő egyezés létezik a szabályos rezsimek tartományában, ahol a stabil megoldások minőségileg tükrözik az egyenletesen forgó konvektív hengerek kísérletileg megfigyelt képét (). A modellben rejlő kaotikus rezsim nem írja le a turbulens konvekciót az eredeti trigonometrikus sorozat jelentős vágása miatt.
Érdekes a modell lényegesen nagyobb pontossága néhány módosításával, amelyet különösen a függőleges irányú vibrációnak vagy változó hőhatásoknak kitett réteg konvekciójának leírására használnak. A külső körülmények ilyen változásai az egyenletekben szereplő együtthatók modulációjához vezetnek. Ebben az esetben a hőmérséklet és a sebesség nagyfrekvenciás Fourier-komponensei jelentősen elnyomódnak, javítva a Lorentz-modell és a valós rendszer közötti egyezést.
Figyelemre méltó Lorenz szerencséje a paraméterérték kiválasztásában , mivel a rendszer csak a 24,74-nél nagyobb értékeknél működik, kisebb értékeknél teljesen más a viselkedés.
Rendszermegoldás viselkedése
Tekintsük a Lorentz-rendszer megoldásának viselkedésében bekövetkezett változásokat az r paraméter különböző értékeihez. A cikk illusztrációi a (10,10,10) és (-10,-10,10) kezdeti koordinátákkal rendelkező pontok numerikus szimulációjának eredményeit mutatják be. A modellezés az alábbi nyelven írt programmal, a kapott táblázatok szerinti ábrázolással történt - a Fortran gyenge grafikus képességei miatt a Compaq Array Viewer segítségével.
r <1 - a koordináták origója az attraktor, nincs más stabil pont.
1< r <13,927 - a pályák spirálisan közelednek (ez csillapított oszcillációk jelenlétének felel meg) két ponthoz, amelyek helyzetét a képletek határozzák meg:
Ezek a pontok határozzák meg a stacionárius konvekciós állapot állapotait, amikor a rétegben forgó folyadéktekercsekből álló szerkezet alakul ki.
r ≈13,927 - ha a pálya elhagyja az origót, akkor az egyik stabil pont körül teljes körforgást végrehajtva visszatér a kiindulási ponthoz - két homoklinikai hurok keletkezik. koncepcióhomoklinikai pálya azt jelenti, hogy kijön és ugyanabba az egyensúlyi helyzetbe kerül.
r >13,927 - Iránytól függően a pálya két stabil pont egyikébe érkezik. A homoklinikai hurkok instabil határciklusokká regenerálódnak, és létrejön egy bonyolultan elrendezett pályák családja is, amely nem attraktor, hanem éppen ellenkezőleg, taszítja magától a pályákat. Néha analógia alapján ezt a szerkezetet "furcsa riasztónak" nevezik (Eng.taszítani - taszít).
r ≈24,06 - a pályák már nem vezetnek stabil pontokhoz, hanem aszimptotikusan közelítenek az instabil határciklusokhoz - megjelenik a tulajdonképpeni Lorentz-attraktor. Mindazonáltal mindkét stabil pont az értékekig megmaradr ≈24,74.
A paraméter nagy értékei esetén a pálya komoly változásokon megy keresztül. Shilnikov és Kaplan megmutatta, hogy nagyon nagyr a rendszer önoszcillációs üzemmódba lép, és ha a paramétert csökkentjük, az oszcillációs periódus megkettőzésének sorozatán keresztül a káoszba való átmenet figyelhető meg.
Modell jelentősége
A Lorentz-modell valódi fizikai példa kaotikus viselkedéssel, ellentétben a különféle mesterségesen megszerkesztett leképezésekkel ( , stb.).
A Lorenz rendszer viselkedését szimuláló programok
Borland C
#beleértve
#beleértve
void main()
dupla x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
dupla dt = 0,0001;
int a = 5, b = 15, c = 1;
int gd=DETECT, gm;
initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
do(
X1 = x + a*(-x+y)*dt;
Y1 = y+ (b*x-y-z*x)*dt;
Z1 = z+ (-c*z+x*y)*dt;
X=x1; y=y1; z = z1;
Putpixel((int)(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
(int) (-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
) while (!kbhit());
closegraph();
Mathematica
adatok = táblázat[
A következővel: [(N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1),
NestList &,
(3,051522, 1,582542, 15,62388), N
(j, 0, 5)];
[e-mail védett][(Hue], Point[#1]) &, data]
Borland Pascal
Program Lorenz;
CRT-t, grafikont használ;
Const
dt = 0,0001;
a = 5;
b = 15;
c = 1;
Var
gd, gm: Integer;
x1, y1, z1, x, y, z: Valós;
Kezdődik
gd:=Érzékelés;
InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");
x:= 3,051522;
y: = 1,582542;
z: = 15,62388;
Bár nem nyomja meg a gombot, kezdje el
x1:= x + a*(-x+y)*dt;
y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1:=z+(-c*z+x*y)*dt;
x:= x1;
y:= y1;
z:= z1;
PutPixel(Kerek(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
kerek (-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
vége;
Grafikon bezárása;
ReadKey;
vége.
FORTRAN
program LorenzSystem
valós,paraméter::sigma=10
valós,paraméter::r=28
valós,paraméter::b=2,666666
valós,paraméter::dt=.01
egész szám,paraméter::n=1000
valódi x,y,z
open(1,file="eredmény.txt",form="formázott",status="csere",action="write")
x=10;y=10;z=10.
doi=1,n,1
x1=x+szigma*(y-x)*dt
y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
z1=z+(x*y-b*z)*dt
x=x1
y=y1
z=z1
írd (1,*)x,y,z
vége do
nyomtat *"Kész"
bezárni (1)
LorenzSystem program vége
QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")
DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 EGYEDÜL
DIM a, b, c EGÉSZ SZÁMNAK
x = 3,051522: y = 1,582542: z = 15,62388: dt = 0,0001
a=5; b=15; c=1
12. KÉPERNYŐ
NYOMTATÁS "A kilépéshez nyomja meg az Esc billentyűt"
MIközben INKEY$<>CHR $ (27)
x1 = x + a * (-x + y) * dt
y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
x=x1
y = y1
z = z1
PSET ((19,3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
IRÁNYÍT
VÉGE
JavaScript és HTML5
var cnv = document.getElementById("cnv");
var cx = cnv.getContext("2d");
var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
vardt = 0,0001;
var a = 5, b = 15, c = 1;
var h = parseInt(cnv.getAttribute("height"));
var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));
var id = cx.createImageData(w, h);
varrd = Math.round;
var idx = 0;
i=1000000; miközben én--) (
x1 = x + a*(-x+y)*dt;
y1 = y+ (b*x-y-z*x)*dt;
z1 = z+ (-c*z+x*y)*dt;
x = x1; y=y1; z = z1;
idx=4*(rd(19,3*(y - x*0,292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0,292893) + 392)*w);
id.data = 255;
cx.putImageData(id, 0, 0);
IDL
PRO Lorenz
n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.
HA i=0.,n-2. DO r=r + [ a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0,0001
diagram,19,3*(r[*,1]-r[*,0]*0,292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0,292893)+392.
VÉGE
Irodalom
Kuznetsov S.P. , 3. előadás. Lorentz-rendszer; 4. előadás. A Lorentz-rendszer dinamikája. // - M.: Fizmatlit, 2001.
Saltzman B . A véges amplitúdó nélküli konvekció, mint kezdeti érték probléma. // Légkörtudományi folyóirat, 1962. 7. szám - p. 329-341.
Lorenz E . Determinisztikus nem periodikus mozgás // Furcsa attraktorok. - M., 1981. - S. 88-116.
Engedély: ingyenes.
Változat: 1.1.0.0.
annotáció: látható a Lorentz-rendszer elemzésére szolgáló program, amely lehetővé teszi olyan rendszerállapotok megfigyelését, mint egy stabil attraktor, két instabil attraktor, egy fókusz, egy homoklinikai hurok stabil és instabil fókuszokkal, egy Lorentz-attraktor, egy határciklus és egy megduplázott határciklus.
Letöltés: ZIP (programarchívum) .
Kulcsszavak: Lorentz-attraktor, Lorentz-rendszer, Lorentz-differenciálegyenlet-rendszer tanulmányozása, Matlab Lorentz-attraktor, Lorentz-rendszer vizsgálata, c++ Lorentz-attraktor, pillangóeffektus, homoklinikai hurok, Lorentz-fázis-portré, Lorentz-rendszer fázisportréja, Lorentz-fázistér, Lorentz-rendszer megoldása, Lorentz furcsa attraktor , Lorenz pillangó, homoklinikai pálya, homoklinikai szerkezet, kaotikus megoldás, Edward Lorentz.
A Lorentz-rendszer nemlineáris autonóm differenciálegyenletek háromdimenziós rendszere. A dinamikus rendszert Edward Lorenz vizsgálta 1963-ban. A fő ok, amiért ekkora érdeklődést váltott ki a Lorentz-egyenletrendszer, a kaotikus viselkedése. Az egyenletrendszert a következőképpen írjuk fel
ahol q, r, b > 0. A rendszer integrálása eredményeként a következő törvényszerűségek derültek ki.
r>0 és r esetén<1 система имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Любое начальное состояние приближается к началу координат при t стремящемся к бесконечности (рис.1).
Rizs. egy. Stabil attraktor, r>0 és r<1
Ha r közel van 1-hez, kritikus lassulás következik be. Ha r nagyobb, mint 1, az első bifurkáció következik be. A koordináták origója elveszti stabilitását, és két attraktor ágazik ki belőle (2. ábra), mind globálisan, mind lokálisan stabilak.
Rizs. 2.Két stabil attraktor, r>1
Abban az esetben, ha r<1,345 точки равновесия представляются узлами (рис.3), а при r>1,345 - gócok (4. ábra).
Rizs. 3. Két csomópont, r=1,3
Rizs. négy. Két fókusz, r=10
Ahogy r 13,926-ra nő, az origóból kiinduló két instabil pálya visszatér az origóba, mivel t a végtelenbe hajlik, és megszűnik globális attraktornak lenni.
R=13,927 esetén a lényeg oszcilláló mozgások egyik környékről a másikra és vissza. Ezt a viselkedést metastabil káosznak vagy homoklinikai huroknak nevezik (5. ábra).
Rizs. 5. Homoklinikus hurok, r=13,927
R>13,927 esetén az iránytól függően a pálya két stabil pont egyikéhez érkezik. A homoklinikai hurkok instabil határciklusokká születnek újjá, és komplexen felépített trajektóriák családja is kialakul, ami nem attraktor. A homoklinikai pályák bifurkációja két instabil ciklus kialakulásával (6. ábra).
Rizs. 6.Két instabil ciklus, r>13,927
R=24,06 értéknél a pályák nem vezetnek stabil pontokhoz, hanem aszimptotikusan közelítenek az instabil határciklusokhoz - megjelenik a tényleges Lorentz-attraktor (7. ábra).
Rizs. 7.Lorentz attraktor, r=24,06
r>24,06 esetén újabb bifurkáció lép fel. Mindazonáltal mindkét stabil pont r=24,74-ig megmarad.
R=24,74-nél a Hopf bifurkáció inverziója következik be, amikor r>24,74 „furcsa attraktor” marad (8. ábra).
Rizs. nyolc.Lorentz furcsa attraktor, r>24,74
Az r 100-ra történő növekedése esetén önoszcillációs rezsim figyelhető meg (9. ábra).
Rizs. 9.Önoszcilláló üzemmód, r=100
Ahogy r 225-re növekszik, a ciklus megkettőző bifurkációinak kaszkádja következik be (10. ábra).
Rizs. tíz.Ciklusduplázás, r=225
Rizs. tizenegy.Két aszimmetrikus periodikus megoldás, r=300
Nagy r értékek esetén szimmetrikus ciklus van a rendszerben (12. ábra).
Rizs. 12.Szimmetrikus ciklus, r=400
A Turbo C ++ fejlesztői környezetben megvalósított "Lorenz - Lorentz rendszer tanulmányozási programja" program lehetővé teszi a Lorenz rendszer szimulálását. A fázisportrék és a megoldások t időtől való függésének grafikonja a harmadrendű Runge-Kutta módszeren alapul. A program felületét a 13. ábra mutatja.
Rizs. 13.
A Lorenz rendszer viselkedésének modellezése a Lorenz programmal a következő lépésekből áll (14. ábra):
- határozza meg a kezdeti koordinátákat (x0,y0,z0);
- állítsa be a h integrációs lépést és az i iterációk számát;
- állítsa be a q, r, b együtthatók értékét;
- (opcionálisan) állítsa be a "Részletek" jelzőt a megoldás részleteinek megtekintéséhez;
- nyomja meg a "Számítás" gombot;
- (nem kötelező) kattintson duplán a kapott képekre, hogy a vágólapra másolja őket.
Rizs. tizennégy.
Példák a Lorentz rendszer viselkedésének Lorenz programmal történő modellezésére a 15. ábrán láthatók.
Rizs. tizenöt.
Irodalom
- Arkhangelsky A.Ya. Programozás C++ Builderben. – M.: Binom-Press, 2010. – 1304 p.
- Kiryanov D. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. - Szentpétervár: BHV-Petersburg, 2012. - 432 p.
- Arnold V.I. Rendes differenciál egyenletek. – M.: MTsNMO, 2012. – 344 p.
Programok listája
- MassTextReplacer - szövegfájlok tömeges megváltoztatására szolgáló program ;
- Lorenz - a Lorentz-rendszer tanulmányozására szolgáló program;