Oko svoje ose možete dobiti običnu eliptičku. To je šupljina izometrijsko tijelo, čiji su presjeci elipse i parabole. Eliptični paraboloid je dat kao:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Svi glavni dijelovi paraboloida su parabole. Prilikom rezanja XOZ i YOZ ravni dobijaju se samo parabole. Ako nacrtamo okomit presjek u odnosu na Xoy avion, možete dobiti elipsu. Štaviše, presjeci, koji su parabole, dati su jednadžbama oblika:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Presjeci elipse dati su drugim jednadžbama:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Eliptični paraboloid sa a=b pretvara se u paraboloid okretanja. Konstrukcija paraboloida ima niz nekih karakteristika koje treba uzeti u obzir. Započnite operaciju tako što ćete pripremiti osnovu - crtež grafa funkcije.

Da biste počeli graditi paraboloid, prvo morate izgraditi parabolu. Nacrtajte parabolu u ravni Oxz kao što je prikazano. Dajte budućem paraboloidu određenu visinu. Da biste to učinili, nacrtajte ravnu liniju tako da dodiruje gornje točke parabole i paralelna je s osi Ox. Zatim nacrtajte parabolu u ravni Yoz i nacrtajte pravu liniju. Dobit ćete dvije paraboloidne ravni okomite jedna na drugu. Nakon toga, u ravnini Xoy, napravite paralelogram koji će vam pomoći da nacrtate elipsu. Upišite elipsu u ovaj paralelogram tako da dodiruje sve njegove strane. Nakon ovih transformacija, obrišite paralelogram i ostaje trodimenzionalna slika paraboloida.

Postoji i hiperbolički paraboloid koji je više konkavni nego eliptični. Njegovi dijelovi također imaju parabole i, u nekim slučajevima, hiperbole. Glavni dijelovi duž Oxz i Oyz, poput onih kod eliptičnog paraboloida, su parabole. One su date jednadžbama oblika:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Ako nacrtate dio oko ose Oxy, možete dobiti hiperbolu. Prilikom konstruiranja hiperboličkog paraboloida, vodite se sljedećom jednadžbom:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - jednadžba hiperboličkog paraboloida

U početku konstruirajte fiksnu parabolu u Oxz ravnini. Nacrtajte pokretnu parabolu u ravni Oyza. Nakon toga postavite visinu paraboloida h. Da biste to učinili, označite dvije tačke na fiksnoj paraboli, koje će biti vrhovi još dvije pokretne parabole. Zatim nacrtajte drugi O"x"y" koordinatni sistem za iscrtavanje hiperbole. Centar ovog koordinatnog sistema treba da se poklapa sa visinom paraboloida. Nakon svih konstrukcija, nacrtajte one dvije pokretne parabole navedene gore tako da dodiruju krajnje tačke Rezultat je hiperbolički paraboloid.

Visina paraboloida može se odrediti formulom

Zapremina paraboloida koji dodiruje dno jednaka je polovini zapremine cilindra sa poluprečnikom osnove R i visinom H, ista zapremina zauzima prostor W’ ispod paraboloida (slika 4.5a)

Sl.4.5. Omjer volumena u paraboloidu koji dodiruje dno.

Wp - zapremina paraboloida, W' - zapremina ispod paraboloida, Hp - visina paraboloida

Sl.4.6. Odnos zapremina u paraboloidu koji dodiruju ivice cilindra Hp je visina paraboloida., R je poluprečnik posude, Wzh je zapremina ispod visine tečnosti u posudi pre početka rotacije, z 0 je položaj vrha paraboloida, H je visina tekućine u posudi prije početka rotacije.

Na slici 4.6a, nivo tečnosti u cilindru pre početka rotacije H. Zapremina tečnosti Wf pre i posle rotacije je očuvana i jednaka je zbiru zapremine Wc cilindra visine z 0 plus zapremine tečnosti ispod paraboloida, što je jednako zapremini paraboloida Wp visine Hp

Ako paraboloid dodirne gornju ivicu cilindra, visina tečnosti u cilindru pre početka rotacije H deli visinu paraboloida Hp na dva jednaka dela, donja tačka (vrh) paraboloida se nalazi u odnosu na baza (sl. 4.6c)

Osim toga, visina H dijeli paraboloid na dva dijela (slika 4.6c), čiji su volumeni jednaki W 2 \u003d W 1. Iz jednakosti zapremina paraboličnog prstena W 2 i paraboličke čaše W 1, sl.4.6c

Kada površina paraboloida pređe dno posude (slika 4.7) W 1 = W 2 = 0,5 W prstena

Slika 4.7 Zapremine i visine kada površina paraboloida prelazi dno cilindra

Visine na Sl.4.6

zapremine na Sl.4.6.

Položaj slobodne površine u posudi

Sl.4.8. Tri slučaja relativnog mirovanja tokom rotacije

1. Ako je posuda otvorena, Po = Ratm (slika 4.8a). Vrh paraboloida tokom rotacije pada ispod početnog nivoa-H, a ivice se uzdižu iznad početnog nivoa, položaj vrha

2. Ako je posuda potpuno napunjena, pokrivena poklopcem, nema slobodnu površinu, nalazi se pod viškom pritiska Po> Ratm, pre rotacije, površina (P.P.), na kojoj će Po = Ratm biti iznad nivoa poklopac na visini h 0i = M / ρg, H 1 \u003d H + M / ρg.

3. Ako je posuda puna, nalazi se pod vakuumom Ro<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotacija sa velikom ugaonom brzinom (slika 4.9)

Kada se posuda sa tečnošću okreće velikom ugaonom brzinom, gravitacija se može zanemariti u poređenju sa centrifugalnim silama. Zakon promjene tlaka u tekućini može se dobiti iz formule

(4.22),

Ravne površine formiraju cilindre sa zajedničkom osom oko koje se posuda rotira. Ako posuda nije potpuno napunjena prije početka rotacije, tlak P 0 će djelovati na radijus r = r0 , umjesto izraza (4.22) imaćemo

gdje uzimamo g(z 0 - z) = 0,

Rice. 4.9 Položaj okretnih površina u odsustvu gravitacije.

Radijus unutrašnje površine sa poznatim H i h

Elipsoid je površina čija je jednadžba u nekom pravokutniku Kartezijanski sistem koordinate Oxyz imaju oblik gdje je a ^ b ^ c > 0. Da bismo saznali kako izgleda elipsoid, postupimo na sljedeći način. Uzmimo elipsu na Oxz ravni i zarotirajmo je oko ose Oz (slika 46). 46 Rezultirajuća površina Elipsoid. Hiperboloidi. Paraboloidi. Cilindri i konus drugog reda. - elipsoid revolucije - već daje ideju o tome kako elipsoid radi opšti pogled. Da bi se dobila njegova jednadžba, dovoljno je elipsoid okretanja ravnomjerno stisnuti duž ose Oy sa koeficijentom J ^ !, t.s. zamijeniti y u njegovoj jednadžbi sa Jt/5). 10.2. Hiperboloidi Rotiranje hiperbole fl i! \u003d a2 c2 1 oko ose Oz (slika 47), dobijamo površinu koja se naziva hiperboloid okretanja sa jednim slojem. Njegova jednadžba je *2 + y; dobijen na isti način kao u slučaju elipsoida revolucije. 5) Elipsoid okretanja može se dobiti ravnomjernim sabijanjem sfere +yJ + *J = n" duž ose Oz sa koeficijentom ~ ^ 1. Ravnomjernim sabijanjem ove površine duž ose Oy sa koeficijentom 2 ^ 1 , dobijamo hiperboloid od jednog lista općeg oblika.Njegova jednadžba je elipsoid.Hiperboloidi Paraboloidi Cilindri i konus drugog reda se dobijaju na isti način kao u slučaju elipsoida o kojem je gore raspravljano.Rotacijom konjugirane hiperbole oko Osi Oz, dobijamo dvolistni hiperboloid okretanja (slika 48) Njegova jednadžba je a2 C2 Ravnomernim sabijanjem ove površine duž ose Oy sa koeficijentom 2 ^ 1, dolazimo do hiperboloida sa dva lista Općenitog oblika. Zamjenom y sa -y, dobijamo njegovu jednačinu rotacije duž ose Oy sa koeficijentom yj* ^ 1, dobijamo eliptični paraboloid. Njegova jednadžba se dobija iz jednačine paraboloida rotacije zamjenom If, tada dobijamo paraboloid oblika prikazanog na sl. 50.10.4. Hiperbolički paraboloid Hiperbolički paraboloid je površina čija jednačina u nekom pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu Oxyz ima oblik proučavane površine, a promenom konfiguracije rezultirajućih ravnih krivulja dolazi se do zaključka o strukturi same površine. Počnimo sa presecima ravnima z = h = const, paralelno koordinatnu ravan Ohu. Za h > 0 dobijamo hiperbole za h - konjugirane hiperbole, a za - par pravih. Imajte na umu da su ove prave asimptote za sve hiperbole (tj. za bilo koje h Φ 0). Projicirajmo rezultirajuće krive na Oxy ravan. Dobijamo sljedeću sliku (sl. 51). Već ovo razmatranje nam omogućava da izvučemo zaključak o sedlastoj strukturi površine koja se razmatra (Sl. 52). Sl.51 Sl.52 Razmotrimo sada presjeke ravninama. Zamijenivši površinu y sa L u jednačini, dobijamo jednačine parabola (Sl.53). Slična se slika javlja prilikom seciranja zadata površina ravni U ovom slučaju se dobijaju i parabole čije su grane usmjerene prema dolje (a ne prema gore, kao za presjek ravninama y = h) (slika 54). Komentar. Koristeći metodu preseka, može se razumeti struktura svih prethodno razmatranih površina drugog reda. Međutim, rotiranjem krivulja drugog reda, a zatim ih ravnomjernim stiskanjem, može se lakše i mnogo brže doći do razumijevanja njihove strukture. Ostale površine drugog reda su u suštini već razmotrene. To su cilindri: eliptinski hiperbolični Sl. 56 i parabolični i konus drugog reda, čija se ideja može dobiti ili rotacijom para linija koje se sijeku oko ose Oz i naknadnom kontrakcijom, ili metodom presjeka. Naravno, u oba slučaja dobijamo da površina koja se proučava ima oblik prikazan na Sl. 59. a) izračunati koordinate trikova; , . b) izračunati ekscentricitet; . c) napisati jednačine asimptota i direktrisa; d) napišite jednačinu konjugirane hiperbole i izračunajte njen ekscentricitet. 2. Compose kanonska jednačina parabole ako je rastojanje od fokusa do temena jednako 3. 3. Napišite jednačinu tangente na elipsu ^ + = 1 veto tačka M(4, 3). 4. Odredite vrstu i lokaciju krive date jednadžbom: Odgovori su elipsa, glavna osa je paralelna sa elipsoidom. Hiperboloidi. Paraboloidi. Cilindri i konus drugog reda. Axes Ox; b) centar hiperbole O (-1,2), ugaoni koeficijent realne ose X je 3; c) parabola Y2 = , vrh (3, 2), vektor osi usmjeren prema udubljenosti parabole jednak je (-2, -1); d) hiperbola sa centrom, asimptote su paralelne sa koordinatnim osa; e) par pravih koje se seku f) par paralelnih pravih

Dokazano svojstvo tangente na parabolu je veoma važno, jer iz njega proizilazi da zrake koje izlaze iz fokusa konkavnog paraboličkog ogledala, odnosno takvog ogledala, čija se površina dobija rotacijom parabole oko njegove ose, reflektuju se paralelnim snopom, odnosno paralelnom osom ogledala (sl.).

Ovo svojstvo paraboličkih ogledala koristi se u konstrukciji reflektora, u farovima bilo kojeg automobila, kao i u ogledalskim teleskopima. Štaviše, u poslednjem slučaju, naprotiv, zraci koji dolaze iz nebeskog tela; skoro paralelne, koncentrisane su blizu fokusa ogledala teleskopa, a pošto su zraci koji dolaze iz različitih tačaka svetiljke dosta neparalelni, koncentrisani su blizu fokusa u različitim tačkama, tako da se dobija slika svetila. blizu fokusa, što je veća, veća je žižna daljina parabole. Ova slika se već gleda kroz mikroskop (teleskopski okular). Strogo govoreći, u jednoj tački (u fokusu) sakupljaju se samo zraci koji su striktno paralelni osi ogledala, dok se paralelni zraci koji idu pod uglom u odnosu na osu ogledala sakupljaju samo u jednoj tački, a što dalje ova tačka je iz fokusa, slika je mutnija. Ova okolnost ograničava "vidno polje teleskopa".

Neka njegova unutrašnja površina - površina ogledala - bude parabolično ogledalo osvijetljeno snopom svjetlosnih zraka paralelno osi OS. Svi snopovi paralelni sa y-osom, nakon refleksije, će se preseći u jednoj tački y-ose (fokus F). Dizajn paraboličkih teleskopa zasnovan je na ovoj osobini. Zraci udaljenih zvijezda dolaze do nas u obliku paralelnog snopa. Izradom paraboličnog teleskopa i postavljanjem fotografske ploče u njegov fokus, dobijamo priliku da pojačamo svjetlosni signal koji dolazi od zvijezde.

Isti princip je u osnovi stvaranja parabolične antene, koja omogućava pojačavanje radio signala. Ako se, međutim, izvor svjetlosti postavi u fokus paraboličnog zrcala, tada se, nakon odbijanja od površine ogledala, zraci koji dolaze iz ovog izvora neće raspršiti, već će se skupiti u uski snop paralelan osi. ogledala. Ova činjenica se koristi u proizvodnji reflektora i lampiona, raznih projektora, čija su ogledala izrađena u obliku paraboloida.

Optičko svojstvo paraboličnog ogledala koje je gore navedeno koristi se u stvaranju zrcalnih teleskopa, raznih instalacija za solarno grijanje i reflektora. Postavljanjem snažnog točkastog izvora svjetlosti u fokus paraboličnog ogledala, dobijamo gust tok reflektovanih zraka paralelan osi ogledala.

Kada parabola rotira oko svoje ose, dobija se figura koja se naziva paraboloid. Ako se unutrašnja površina paraboloida napravi ogledalom i na nju se usmjeri snop zraka, paralelna osa simetrija parabole, tada će se reflektovani zraci skupiti u jednoj tački, koja se zove fokus. U isto vrijeme, ako se izvor svjetlosti postavi u fokus, tada će zraci reflektirani od zrcalne površine paraboloida biti paralelni i neće se raspršiti.

Prvo svojstvo omogućava postizanje visoke temperature u fokusu paraboloida. Prema legendi, ovo svojstvo je koristio starogrčki naučnik Arhimed (287-212 pne). Tokom odbrane Sirakuze u ratu protiv Rimljana izgradio je sistem paraboličkih ogledala, koji je omogućio fokusiranje reflektovanih sunčevih zraka na rimske brodove. Kao rezultat toga, temperatura u žarištima paraboličkih ogledala pokazala se toliko visokom da je na brodovima izbio požar i oni su izgorjeli.

Drugo svojstvo koristi se, na primjer, u proizvodnji reflektora i farova za automobile.

Hiperbola

4. Definicija hiperbole nam daje jednostavan način da je izgradimo u neprekidnom kretanju: uzmimo dvije niti čija je razlika dužina 2a, i pričvrstimo jedan kraj ovih niti na tačke F" i F. Ako druga dva kraja držite zajedno sa rukom i vrhom olovke vozite po nitima, vodeći računa da se konci pritisnu na papir, rastegnuti i dodiruju, počevši od tačke crtanja do spoja krajeva, tačka će nacrtati deo jednog od grane hiperbole (što su veće, duži su niti) (sl.).

Zamijenom uloga tačaka F" i F dobijamo dio druge grane.

Na primjer, na temu "Krivulje 2. reda" možete razmotriti sljedeći problem:

Zadatak. Dvije željezničke stanice A i B su jedna od druge udaljene s km. Do bilo koje tačke M, teret se može dostaviti sa stanice A bilo direktnim drumskim transportom (prva ruta), ili putem željeznica do stanice B, a odatle automobilima (drugi put). Željeznička tarifa (prijevozna cijena od 1 tone po 1 km) je m rubalja, tarifa za drumski prijevoz je n rublja, n > m, tarifa za utovar i istovar je k rubalja. Definišite oblast uticaja zeljeznicka stanica B, odnosno područje u koje je jeftinije isporučiti robu sa stanice A mješovito – željeznicom, a zatim drumskim putem, tj. odrediti lokus tačaka za koje je drugi put isplativiji od prvog.

Odluka. Označimo AM = r , BM = r , tada je trošak isporuke (transport i utovar i istovar) na putu AM jednak nr + k, a trošak isporuke na putu ABM jednak ms + 2k + ng . Tada tačke M, za koje su oba troška jednaka, zadovoljavaju jednačinu nr + k = ms + 2k + ng , ili

ms + k = nr - ng

r - g \u003d \u003d const\u003e O,

dakle, linija koja omeđuje regiju je jedna od grana hiperbole | r - r | = konst. Za sve tačke ravni koje leže na istoj strani tačke A iz ove hiperbole, prvi put je povoljan, a za tačke koje leže na drugoj strani, drugi, pa grana hiperbole ocrtava oblast uticaja stanica B.

Varijanta ovog zadatka.

Dvije željezničke stanice A i B nalaze se na udaljenosti od l km jedna od druge. Teret se može dopremiti do tačke M sa stanice A direktnim drumskim transportom ili železnicom do stanice B, a odatle automobilima (Sl. 49). Istovremeno, željeznička tarifa (cijena prevoza 1 tone po 1 km) iznosi m rubalja, troškovi utovara i istovara k rubalja (po 1 toni), a tarifa za drumski prevoz je n rubalja (n > m). Definirajmo takozvanu zonu uticaja željezničke stanice B, odnosno zonu u koju je jeftinije dopremati robu iz A na mješoviti način: željeznicom pa cestom.

Odluka. Cijena isporuke 1 tone tereta na AM ruti je r n, gdje je r = AM, a duž ABM rute će biti jednaka 1m + k + r n. Trebamo riješiti dvostruku nejednakost r n 1m+ k+ r n i odrediti kako su raspoređene tačke na (x, y) ravni, kojima je jeftinije isporučiti robu ili prvim ili drugim putem.

Nađimo jednačinu prave koja čini granicu između ove dvije zone, odnosno lokus tačaka za koje su obje putanje "jednako povoljne":

r n = 1m+ k+ r n

Iz ovog uslova dobijamo r - r = = const.

Dakle, linija razdvajanja je hiperbola. Za sve vanjske tačke ove hiperbole prvi put je povoljan, a za unutrašnje tačke drugi. Dakle, hiperbola će ocrtati zonu uticaja stanice B. Druga grana hiperbole će ocrtati zonu uticaja stanice A (tovar se isporučuje sa stanice B). Nađimo parametre naše hiperbole. Njegova glavna os je 2a = , a rastojanje između žarišta (a to su stanice A i B) u ovom slučaju je 2c = l.

Dakle, uslov za mogućnost ovog problema, određen relacijom a< с, будет

Ovaj zadatak povezuje apstraktno geometrijski koncept hiperbole sa transportnim i ekonomskim problemom.

Željeno mjesto tačaka je skup tačaka koje leže unutar desne grane hiperbole koja sadrži tačku B.

6. Znam " Poljoprivredne mašine» Važne karakteristike performansi traktora koji radi na nagibu, koje pokazuju njegovu stabilnost, su ugao nagiba i ugao kotrljanja.

Radi jednostavnosti, razmotrit ćemo traktor na kotačima. Površina na kojoj traktor radi (barem njen dovoljno mali dio) može se smatrati ravninom (ravninom kretanja). Uzdužna os traktora je projekcija prave linije koja povezuje sredine prednje i stražnje osovine na ravan kretanja. Ugao poprečnog valjka je ugao koji sa horizontalnom ravninom formira prava linija okomita na uzdužnu osu i koja leži u ravni kretanja.

Prilikom proučavanja teme "Prave i ravni u prostoru" u okviru matematike razmatramo sljedeće zadatke:

a) Odrediti ugao uzdužnog nagiba traktora koji se kreće duž kosine, ako su poznati ugao nagiba i ugao odstupanja putanje traktora od uzdužnog pravca.

b) Granični ugao poprečnog kotrljanja traktora je najveći dozvoljeni ugao nagiba nagiba, preko kojeg traktor može stajati bez prevrtanja. Koje parametre traktora je dovoljno znati da bi se odredio granični ugao kotrljanja; kako ovo pronaći
injekcija?

7. Prisutnost pravolinijskih generatricija se koristi u građevinskoj opremi. Osnivač praktične primene ove činjenice je poznati ruski inženjer Vladimir Grigorijevič Šuhov (1853-1939). V. G. Shukhov je izveo konstrukciju jarbola, tornjeva i nosača, sastavljenih od metalnih greda, smještenih duž pravolinijskih generatora jednolisni hiperboloid revolucije. Visoka čvrstoća takvih konstrukcija, u kombinaciji s lakoćom, niskim troškovima proizvodnje i elegancijom, osigurava njihovu široku primjenu u modernoj gradnji.

8. ZAKONI KRETANJA SLOBODNOG KRUTOG TIJELA

Za slobodno telo sve vrste kretanja su podjednako moguće, ali to ne znači da je kretanje slobodnog tijela neuredno, da ne podliježe nikakvim zakonima; naprotiv, translacijsko kretanje krutog tijela, bez obzira na njegov vanjski oblik, ograničeno je zakonom centra mase i svodi se na kretanje jedne tačke, a rotacijsko kretanje na tzv. glavne ose. inercije ili elipsoid inercije. Dakle, štap bačen u slobodan prostor, ili zrno koje izleti iz sortirnice, itd., kreće se naprijed kao jedna tačka (centar mase), a istovremeno rotira oko centra mase. Generalno, kada kretanje napred svako kruto tijelo, bez obzira na oblik, ili složenu mašinu može se zamijeniti jednom tačkom (centrom mase), a rotacijskom elipsoidom inercije , čiji su radijus vektori jednaki --, gdje je / moment inercije ovog tijela u odnosu na ose koje prolaze kroz centar elipsoida.

Ako se moment inercije tijela iz nekog razloga promijeni tokom rotacije, tada će se u skladu s tim promijeniti i brzina rotacije. Na primjer, pri skoku preko glave akrobati se skupljaju u loptu, što uzrokuje smanjenje momenta inercije tijela i povećanje brzine rotacije, što je neophodno za uspjeh skoka. Na isti način, prilikom klizanja, ljudi ispruže ruke u stranu, što povećava moment inercije i smanjuje brzinu rotacije. Na isti način, moment inercije grabulja žetelice oko vertikalne ose je promjenjiv pri rotaciji oko horizontalne ose.

Hiperbolički paraboloid također pripada površinama drugog reda. Ova površina se ne može dobiti primjenom algoritma koji koristi rotaciju neke linije oko fiksne ose.

Za konstruiranje hiperboličkog paraboloida koristi se poseban model. Ovaj model uključuje dvije parabole smještene u dvije međusobno okomite ravni.

Neka parabola I leži u ravni i neka je fiksirana. Parabola II se obavezuje složeno kretanje:

▫ njegov početni položaj se poklapa sa ravninom
, a vrh parabole se poklapa sa ishodištem: =(0,0,0);

▫ tada se ova parabola kreće paralelni transfer, i njegov vrh
pravi putanju koja se poklapa sa parabolom I;

▫ razmatraju se dva različita početna položaja parabole II: jedan - grane parabole prema gore, drugi - grane prema dolje.

Zapišimo jednačine: za prvu parabolu I:
- nepromijenjena; za drugu parabolu II:
– početni položaj, jednačina kretanja:
Lako je uočiti u čemu je poenta
ima koordinate:
. Pošto je potrebno prikazati zakon kretanja tačke
: ova tačka pripada paraboli I, tada moraju uvijek biti zadovoljene sljedeće relacije: =
i
.

Iz geometrijskih karakteristika modela, lako je uočiti da je pokretna parabola sweeps neke površine. U ovom slučaju, jednadžba površine opisane parabolom II ima oblik:

ili →
. (1)

Oblik rezultirajuće površine ovisi o raspodjeli predznaka parametara
. Moguća su dva slučaja:

jedan). Znakovi količina str i q poklapaju: parabole I i II nalaze se na istoj strani ravni OXY. prihvatimo: str = a 2 i q = b 2 . Tada dobijamo jednačinu poznate površine:

→ eliptični paraboloid . (2)

2). Znakovi količina str i q različito: parabole I i II nalaze se na suprotnim stranama ravnine OXY. Neka bude str = a 2 i q = - b 2 . Sada dobijamo jednačinu površine:

→hiperbolički paraboloid . (3)

Nije teško zamisliti geometrijski oblik površine definirane jednadžbom (3) ako se prisjetimo kinematičkog modela interakcije dvije parabole uključene u kretanje.

Na slici je parabola I uslovno prikazana crvenom bojom. Prikazana je samo okolina površine na početku. Zbog činjenice da oblik površine ekspresivno aludira na konjičko sedlo, ovaj kvart se često naziva - sedlo .

U fizici, kada se proučava stabilnost procesa, uvode se vrste ravnoteže: stabilna - rupa, konveksna prema dolje, nestabilna - površina konveksna prema gore i srednja - sedlo. Ravnoteža trećeg tipa se takođe naziva nestabilnom ravnotežom, a ravnoteža je moguća samo na crvenoj liniji (parabola I).

§ 4. Cilindrične površine.

Pri razmatranju okretnih površina definisali smo najjednostavniju cilindričnu površinu - cilindar okretanja, odnosno kružni cilindar.

U elementarnoj geometriji, cilindar se definiše po analogiji sa uobičajena definicija prizme. Prilično je složen:

▫ neka imamo ravan poligon u prostoru
- označeno kao , a poligon se poklapa s njim
- označeno kao
;

▫ primijeniti na poligon
kretanje paralelno prevođenje: tačke
kreću se duž putanja paralelnih sa datim smjerom ;

▫ ako prestanete pomicati poligon
, zatim njegovu ravan
paralelno sa ravninom ;

▫ površina prizme se naziva: skup poligona ,
– osnove prizme i paralelogrami
,
,... – bočna površina prizme.

AT koristićemo elementarnu definiciju prizme da konstruišemo opštiju definiciju prizme i njene površine, naime, razlikovati ćemo:

▫ neograničena prizma je poliedarsko tijelo omeđeno ivicama ,,... i ravni između ovih ivica;

▫ ograničena prizma je poliedarsko tijelo omeđeno ivicama ,,... i paralelogrami
,
,...; bočna površina ove prizme je skup paralelograma
,
,...; osnove prizme - skup poligona ,
.

Hajde da imamo neograničenu prizmu: ,,... Presijecimo ovu prizmu proizvoljnom ravni . Presijecimo istu prizmu drugom ravni
. U sekciji dobijamo poligon
. Generalno, pretpostavljamo da je avion
nije paralelno sa ravninom . To znači da prizma nije izgrađena paralelnim prevođenjem poligona .

Predložena konstrukcija prizme uključuje ne samo ravne i nagnute prizme, već i sve krnje prizme.

U analitičkoj geometriji, shvatit ćemo cilindrične površine na takav generaliziran način da neograničeni cilindar uključuje neograničenu prizmu kao poseban slučaj: treba samo pretpostaviti da se poligon može zamijeniti proizvoljnom linijom, ne nužno zatvorenom - vodič cilindar. Smjer pozvao generatrix cilindar.

Iz svega rečenog proizilazi da je za definiranje cilindrične površine potrebno postaviti vodeću liniju i smjer generatrise.

Cilindrične površine su dobijene na osnovu ravnih krivulja 2. reda, por vodiči za generiranje .

U početnoj fazi proučavanja cilindričnih površina, napravit ćemo pojednostavljujuće pretpostavke:

▫ neka se vodilica cilindrične površine uvijek nalazi u jednoj od koordinatnih ravnina;

▫ smjer generatrike poklapa se sa jednom od koordinatnih osa, odnosno okomito na ravan u kojoj je definisana vodilica.

Prihvaćena ograničenja ne dovode do gubitka općenitosti, jer je to i dalje moguće zbog izbora presjeka po ravninama i
graditi proizvoljne geometrijske oblike: ravne, nagnute, skraćene cilindre.

Eliptični cilindar .

Uzmimo elipsu kao vodilicu cilindra :
, koji se nalazi u koordinatnoj ravni

Dodatna oprema: eliptični cilindar.

hiperbolički cilindar .

:

, a smjer generatrise određuje os
. U ovom slučaju, jednačina cilindra je sama linija Motor: hiperbolni cilindar.

parabolični cilindar .

Neka se hiperbola uzme kao vodilica cilindra :
nalazi u koordinatnoj ravni
, a smjer generatrise određuje os
. U ovom slučaju, jednačina cilindra je sama linija Dodatna oprema: parabolični cilindar.

Komentar: uzimajući u obzir opća pravila za konstruiranje jednadžbi cilindričnih površina, kao i prikazane konkretne primjere eliptičkih, hiperboličkih i paraboličkih cilindara, napominjemo: konstrukcija cilindra za bilo koju drugu generatricu, za prihvaćene uslove pojednostavljivanja, ne bi trebala izazvati bilo kakve poteškoće!

Razmotrite sada više opštih uslova konstruisanje jednadžbi cilindričnih površina:

▫ vodilica cilindrične površine nalazi se u proizvoljnoj ravni prostora
;

▫ smjer generatrike u prihvaćenom koordinatnom sistemu proizvoljno.

Prihvaćeni uslovi su prikazani na slici.

▫ cilindrična površinska vodilica nalazi u proizvoljnoj ravni svemir
;

▫ koordinatni sistem
dobijeno iz koordinatnog sistema
paralelni prijenos;

▫ položaj vodiča u avionu najpoželjnije: za krivulju 2. reda pretpostavit ćemo da je ishodište koordinata poklapa se sa centar simetrija krive koja se razmatra;

▫ smjer generatrike proizvoljan (može se specificirati na bilo koji od načina: vektorski, direktni, itd.).

U nastavku ćemo pretpostaviti da su koordinatni sistemi
i
match. To znači da je 1. korak općeg algoritma za konstrukciju cilindričnih površina, koji odražava paralelno prevođenje:
→
, prethodno izvedena.

Prisjetimo se kako se paralelni prijenos uzima u obzir u općem slučaju razmatranjem jednostavnog primjera.

Primjer 6–13 : U koordinatnom sistemu
kao:
=0. Upišite jednačinu ovog vodiča u sistem
.

Odluka:

jedan). Označite proizvoljnu tačku
: u sistemu
as
, iu sistemu
as
.

2). Napišimo vektorsku jednakost:
=
+
. U koordinatnom obliku, ovo se može napisati kao:
=
+
. Ili u obliku:
=
–
, ili:
=.

3). Napišimo jednačinu za vođenje cilindra u koordinatnom sistemu
:

Odgovor: transformirana jednadžba vodiča: =0.

Dakle, pretpostavićemo da je centar krive koja predstavlja vodilicu cilindra uvek lociran na početku koordinatnog sistema
u avionu .

Rice. AT . Osnovni crtež pri izgradnji cilindra.

Hajde da napravimo još jednu pretpostavku koja pojednostavljuje završne korake konstruisanja cilindrične površine. Pošto se koristi rotacija koordinatnog sistema, lako je kombinovati smer ose
koordinatni sistemi
sa ravnim normalnim , i smjerovi osi
i
sa osovinama simetrije vodilice , tada ćemo to pretpostaviti kao početni položaj vodilice imamo krivu koja se nalazi u ravni
, a jedna od njegovih osa simetrije se poklapa sa osom
, a drugi sa osom
.

Komentar: budući da je izvođenje operacija paralelne translacije i rotacije oko fiksne ose operacije prilično jednostavno, date pretpostavke ne sužavaju primenljivost razvijenog algoritma za konstruisanje cilindrične površine u najopštijem slučaju!

To smo vidjeli pri konstrukciji cilindrične površine u slučaju kada je vodilica nalazi u avionu
, a generatrisa je paralelna s osi
, dovoljno je definirati samo vodič .

Budući da se cilindrična površina može jednoznačno odrediti specificiranjem bilo koje linije dobijene u presjeku ove površine proizvoljnom ravninom, usvojit ćemo sljedeći opći algoritam za rješavanje problema:

1 ▫ . Neka je smjer generatrike cilindrična površina je data vektorom . Idemo dizajnirati vodič dato jednacinom:
=0, na ravan okomitu na pravac generatrise , odnosno u avionu
. Kao rezultat, cilindrična površina će biti specificirana u koordinatnom sistemu
jednadžba:
=0.

2 ▫
oko ose
na uglu
: značenje ugla
kompatibilan sa sistemom
, a jednadžba stožaste površine transformira se u jednačinu:
=0.

3 ▫ . Primijeniti rotaciju koordinatnog sistema
oko ose
na uglu
: značenje ugla sasvim jasno sa slike. Kao rezultat rotacije, koordinatni sistem
kompatibilan sa sistemom
, a jednadžba konusne površine se transformira u
=0. Ovo je jednadžba cilindrične površine za koju je dat vodič i generatrisa u koordinatnom sistemu
.

Primjer ispod ilustruje implementaciju pisanog algoritma i računske poteškoće takvih problema.

Primjer 6–14 : U koordinatnom sistemu
s obzirom na jednadžbu vodilice cilindra kao:
=9. Napišite jednačinu za cilindar čiji su generatori paralelni vektoru =(2,–3,4).

R
rješenje:

jedan). Dizajnirajmo vodilicu cilindra u ravni okomitoj na . Poznato je da takva transformacija pretvara dati krug u elipsu, čije su osi: =9, i mali =
.

Ova slika ilustruje dizajn kružnice definisane u ravni
na koordinatnu ravan
.

2). Rezultat projektovanja kružnice je elipsa:
=1, ili
. U našem slučaju, ovo je:
, gdje
==.

3
). Dakle, jednačina cilindrične površine u koordinatnom sistemu
primljeno. Pošto, prema uslovu zadatka, moramo imati jednačinu ovog cilindra u koordinatnom sistemu
, onda ostaje primijeniti transformaciju koordinata koja prevodi koordinatni sistem
na koordinatni sistem
, zajedno sa jednadžbom cilindra:
u jednačinu izraženu u terminima varijabli
.

4). Hajde da koristimo osnovni sliku, i zapišite sve trigonometrijske vrijednosti potrebne za rješavanje problema:

==,
==,
==.

5). Napišimo formule za transformaciju koordinata u prijelazu iz sistema
sistemu
:
(AT)

6). Napišimo formule za transformaciju koordinata u prijelazu iz sistema
sistemu
:
(SA)

7). Zamjena varijabli
od sistema (B) do sistema (C), a također uzimajući u obzir vrijednosti korištenih trigonometrijskih funkcija, pišemo:

=
=
.

=
=
.

osam). Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti i u jednadžbu vodilice cilindra :
u koordinatnom sistemu
. Nakon završetka pažljivo svim algebarskim transformacijama, dobijamo jednačinu konusne površine u koordinatnom sistemu
: =0.

Odgovor: jednačina konusa: =0.

Primjer 6–15 : U koordinatnom sistemu
s obzirom na jednadžbu vodilice cilindra kao:
=9, =1. Napišite jednačinu za cilindar čiji su generatori paralelni vektoru =(2,–3,4).

Odluka:

jedan). Lako je vidjeti da se ovaj primjer razlikuje od prethodnog samo po tome što je vodilica pomjerena paralelno za 1 nagore.

2). To znači da u relacijama (B) treba uzeti: =-jedan. Uzimajući u obzir izraze sistema (C), korigujemo unos za promenljivu :

=
.

3). Promjena se lako uzima u obzir ispravljanjem konačnog zapisa jednadžbe za cilindar iz prethodnog primjera:

Odgovor: jednačina konusa: =0.

Komentar: lako je vidjeti da je glavna poteškoća u višestrukim transformacijama koordinatnih sistema u problemima s cilindričnim površinama tačnost i izdržljivost na algebarskim maratonima: živio obrazovni sistem usvojen u našoj napaćenoj zemlji!