Postoje dvije vrste paraboloida: eliptični i hiperbolični.

Eliptični paraboloid naziva se površina, koja je u nekom sistemu kartezijanskih pravougaonih koordinata određena jednačinom

Eliptični paraboloid ima oblik beskonačne konveksne posude. Ima dvije međusobno okomite ravni simetrije. Tačka sa kojom je poravnato ishodište naziva se vrh eliptičnog paraboloida; brojevi p i q se nazivaju njegovim parametrima.

Hiperbolički paraboloid je površina definirana jednadžbom

Hiperbolički paraboloid ima oblik sedla. Ima dvije međusobno okomite ravni simetrije. Tačka sa kojom je poravnato ishodište naziva se vrh hiperboličkog paraboloida; brojevi R i q nazivaju se njegovi parametri.

Vježba 8.4. Razmotrimo konstrukciju hiperboličkog paraboloida oblika

Neka je potrebno konstruirati dio paraboloida koji leži u rasponima: x O[–3; 3], at O[–2; 2] sa korakom D=0,5 za obje varijable.

Performanse. Prvo morate riješiti jednačinu s obzirom na varijablu z. U primjeru

Hajde da predstavimo vrednosti varijable X u kolonu ALI. Da biste to učinili, u ćeliji A1 unesite znak X. Na ćeliju A2 unosi se prva vrijednost argumenta - lijeva granica opsega (–3). Na ćeliju A3- druga vrijednost argumenta - lijeva granica opsega plus korak konstrukcije (–2,5). Zatim, odabirom bloka ćelija A2:AZ, automatskim dovršavanjem dobijamo sve vrijednosti argumenta (protežemo se izvan donjeg desnog ugla bloka do ćelije A14).

Varijabilne vrijednosti at staviti u red 1 . Da biste to učinili, u ćeliji U 1 upisuje se prva vrijednost varijable - lijeva granica opsega (–2). Na ćeliju C1- druga vrijednost varijable - lijeva granica opsega plus korak konstrukcije (– 1,5). Zatim, odabirom bloka ćelija B1:C1, automatskim dovršavanjem dobijamo sve vrijednosti argumenta (protežemo se izvan donjeg desnog ugla bloka do ćelije J1).

Zatim unesite vrijednosti varijable z. Da biste to učinili, kursor tabele mora biti postavljen u ćeliju U 2 i unesite formulu - = $A2^2/18 -B$1^2/8, zatim pritisnite tipku Enter. U ćeliji U 2 pojavljuje se 0. Sada morate kopirati funkciju iz ćelije U 2. Da biste to učinili, autodovršavanje (prevucite prstom udesno) prvo kopirajte ovu formulu u raspon B2:J2, nakon čega (prevlačenjem prema dolje) - do raspona P2:J14.

Kao rezultat toga, u rasponu P2:J14 pojavljuje se tabela tačaka hiperboličkog paraboloida.

Za izradu grafikona na traci sa alatkama Standard dugme mora biti pritisnuto Čarobnjak za karte. U dijaloškom okviru koji se pojavljuje Čarobnjak za grafikone (Korak 1 od 4): Vrsta grafikona navedite tip grafikona - Površina, i pogledajte - Žičana (prozirna) površina(gornji desni dijagram u desnom prozoru). Zatim pritisnemo dugme Dalje u dijaloškom okviru.

U dijaloškom okviru koji se pojavljuje Čarobnjak za grafikone (korak 2 od 4): Izvor podataka grafikone, morate odabrati karticu Domet podataka i na terenu Domet odredite interval podataka pomoću miša P2:J14.

Zatim morate navesti u redovima ili kolonama u kojima se nalaze serije podataka. Ovo će odrediti orijentaciju osi X i y. U primjeru, prekidač Redovi unutra uz pomoć pokazivača miša postaviti na poziciju kolona.

Odaberite karticu Red i u polju Oznake osi X specificirati opseg potpisa. Da biste to učinili, aktivirajte ovo polje klikom na njega pokazivačem miša i unesite raspon oznaka osa X -A2:A14.

Unesite vrijednosti oznaka osa y. Da biste to učinili, u radnom polju Red odaberite prvi unos Red 1 i aktiviranjem radnog polja Ime pokazivač miša, unesite prvu vrijednost varijable y: -2. Zatim na terenu Red izaberite drugi unos Red 2 i na radnom polju Ime unesite drugu vrijednost varijable y: -1.5. Ponavljamo na ovaj način do zadnjeg unosa - Red 9.

Nakon što se pojave potrebni unosi, kliknite na dugme. Dalje.

U trećem prozoru potrebno je unijeti naslov grafikona i nazive osi. Da biste to učinili, odaberite karticu Naslovi klikom na njega pokazivačem miša. Zatim na radnom polju Chart Title unesite ime sa tastature: Hiperbolički paraboloid. Zatim na isti način uđite u radna polja X os (kategorije),Y-osa (serija podataka) i Z-os (vrijednosti) relevantni naslovi: x, y i z.

Hiperbolički paraboloid također pripada površinama drugog reda. Ova površina se ne može dobiti primjenom algoritma koji koristi rotaciju neke linije oko fiksne ose.

Za konstruiranje hiperboličkog paraboloida koristi se poseban model. Ovaj model uključuje dvije parabole smještene u dvije međusobno okomite ravni.

Neka parabola I leži u ravni i neka je fiksirana. Parabola II se obavezuje složeno kretanje:

▫ njegov početni položaj se poklapa sa ravninom
, a vrh parabole se poklapa sa ishodištem: =(0,0,0);

▫ tada se ova parabola kreće paralelni transfer, i njegov vrh
pravi putanju koja se poklapa sa parabolom I;

▫ razmatraju se dva različita početna položaja parabole II: jedan - grane parabole prema gore, drugi - grane prema dolje.

Zapišimo jednačine: za prvu parabolu I:
- nepromijenjena; za drugu parabolu II:
– početni položaj, jednačina kretanja:
Lako je uočiti u čemu je poenta
ima koordinate:
. Pošto je potrebno prikazati zakon kretanja tačke
: ova tačka pripada paraboli I, tada moraju uvijek biti zadovoljene sljedeće relacije: =
i
.

Iz geometrijskih karakteristika modela, lako je uočiti da je pokretna parabola sweeps neke površine. U ovom slučaju, jednadžba površine opisane parabolom II ima oblik:

ili→
. (1)

Oblik rezultirajuće površine ovisi o raspodjeli predznaka parametara
. Moguća su dva slučaja:

jedan). Znakovi količina str i q poklapaju: parabole I i II nalaze se na istoj strani ravni OXY. prihvatimo: str = a 2 i q = b 2 . Tada dobijamo jednačinu poznate površine:

→ eliptični paraboloid . (2)

2). Znakovi količina str i q različito: parabole I i II nalaze se na suprotnim stranama ravnine OXY. Neka str = a 2 i q = - b 2 . Sada dobijamo jednačinu površine:

→hiperbolički paraboloid . (3)

Nije teško zamisliti geometrijski oblik površine definirane jednadžbom (3) ako se prisjetimo kinematičkog modela interakcije dvije parabole uključene u kretanje.

Na slici je parabola I uslovno prikazana crvenom bojom. Prikazana je samo okolina površine na početku. Zbog činjenice da oblik površine ekspresivno aludira na konjičko sedlo, ovaj kvart se često naziva - sedlo .

U fizici, kada se proučava stabilnost procesa, uvode se vrste ravnoteže: stabilna - rupa, konveksna prema dolje, nestabilna - površina konveksna prema gore i srednja - sedlo. Ravnoteža trećeg tipa se takođe naziva nestabilnom ravnotežom, a ravnoteža je moguća samo na crvenoj liniji (parabola I).

§ 4. Cilindrične površine.

Pri razmatranju okretnih površina definisali smo najjednostavniju cilindričnu površinu - cilindar okretanja, odnosno kružni cilindar.

U elementarnoj geometriji, cilindar se definiše po analogiji sa uobičajena definicija prizme. Prilično je složen:

▫ neka imamo ravan poligon u prostoru
- označeno kao , a poligon se poklapa s njim
- označeno kao
;

▫ primijeniti na poligon
kretanje paralelno prevođenje: tačke
kreću se duž putanja paralelnih sa datim smjerom ;

▫ ako prestanete pomicati poligon
, zatim njegovu ravan
paralelno sa ravninom ;

▫ površina prizme se naziva: skup poligona ,
– osnove prizme i paralelogrami
,
,... – bočna površina prizme.

AT koristićemo elementarnu definiciju prizme da konstruišemo opštiju definiciju prizme i njene površine, naime, razlikovati ćemo:

▫ neograničena prizma je poliedarsko tijelo omeđeno ivicama ,,... i ravni između ovih ivica;

▫ ograničena prizma je poliedarsko tijelo omeđeno ivicama ,,... i paralelogrami
,
,...; bočna površina ove prizme je skup paralelograma
,
,...; osnove prizme - skup poligona ,
.

Hajde da imamo neograničenu prizmu: ,,... Presijecimo ovu prizmu proizvoljnom ravni . Presijecimo istu prizmu drugom ravni
. U sekciji dobijamo poligon
. Generalno, pretpostavljamo da je avion
nije paralelno sa ravninom . To znači da prizma nije izgrađena paralelnim prevođenjem poligona .

Predložena konstrukcija prizme uključuje ne samo ravne i nagnute prizme, već i sve krnje prizme.

U analitičkoj geometriji, shvatit ćemo cilindrične površine na takav generaliziran način da neograničeni cilindar uključuje neograničenu prizmu kao poseban slučaj: treba samo pretpostaviti da se poligon može zamijeniti proizvoljnom linijom, ne nužno zatvorenom - vodič cilindar. Smjer pozvao generatrix cilindar.

Iz svega rečenog proizilazi da je za određivanje cilindrične površine potrebno postaviti vodeću liniju i smjer generatrise.

Cilindrične površine su dobijene na osnovu ravnih krivulja 2. reda, por vodiči za generiranje .

U početnoj fazi proučavanja cilindričnih površina, napravit ćemo pojednostavljujuće pretpostavke:

▫ neka se vodilica cilindrične površine uvijek nalazi u jednoj od koordinatnih ravnina;

▫ smjer generatrike poklapa se sa jednom od koordinatnih osa, odnosno okomito na ravan u kojoj je definisana vodilica.

Prihvaćena ograničenja ne dovode do gubitka općenitosti, jer je to i dalje moguće zbog izbora presjeka po ravninama i
graditi proizvoljne geometrijske oblike: ravne, nagnute, skraćene cilindre.

Eliptični cilindar .

Uzmimo elipsu kao vodilicu cilindra :
, koji se nalazi u koordinatnoj ravni

Dodatna oprema: eliptični cilindar.

hiperbolički cilindar .

:

, a smjer generatrise određuje os
. U ovom slučaju, jednačina cilindra je sama linija Motor: hiperbolni cilindar.

parabolični cilindar .

Neka se hiperbola uzme kao vodilica cilindra :
nalazi u koordinatnoj ravni
, a smjer generatrise određuje os
. U ovom slučaju, jednačina cilindra je sama linija Dodatna oprema: parabolični cilindar.

Komentar: uzimajući u obzir opća pravila za konstruiranje jednadžbi cilindričnih površina, kao i prikazane konkretne primjere eliptičkih, hiperboličkih i paraboličkih cilindara, napominjemo: konstrukcija cilindra za bilo koju drugu generatricu, za prihvaćene uslove pojednostavljivanja, ne bi trebala izazvati bilo kakve poteškoće!

Razmotrite sada više opštih uslova konstruisanje jednadžbi cilindričnih površina:

▫ vodilica cilindrične površine nalazi se u proizvoljnoj ravni prostora
;

▫ smjer generatrike u prihvaćenom koordinatnom sistemu proizvoljno.

Prihvaćeni uslovi su prikazani na slici.

▫ cilindrična površinska vodilica nalazi u proizvoljnoj ravni prostor
;

▫ koordinatni sistem
dobijeno iz koordinatnog sistema
paralelni prijenos;

▫ položaj vodiča u avionu najpoželjnije: za krivulju 2. reda pretpostavit ćemo da je ishodište koordinata poklapa se sa centar simetrija krive koja se razmatra;

▫ smjer generatrike proizvoljan (može se specificirati na bilo koji od načina: vektorski, direktni, itd.).

U nastavku ćemo pretpostaviti da su koordinatni sistemi
i
match. To znači da je 1. korak općeg algoritma za konstrukciju cilindričnih površina, koji odražava paralelno prevođenje:
→
, prethodno izvedena.

Prisjetimo se kako se paralelni prijenos uzima u obzir u općem slučaju razmatranjem jednostavnog primjera.

Primjer 6–13 : U koordinatnom sistemu
kao:
=0. Upišite jednačinu ovog vodiča u sistem
.

Rješenje:

jedan). Označite proizvoljnu tačku
: u sistemu
kako
, iu sistemu
kako
.

2). Napišimo vektorsku jednakost:
=
+
. U koordinatnom obliku, ovo se može napisati kao:
=
+
. Ili u obliku:
=
–
, ili:
=.

3). Napišimo jednačinu za vođenje cilindra u koordinatnom sistemu
:

Odgovor: transformirana jednadžba vodiča: =0.

Dakle, pretpostavićemo da je centar krive koja predstavlja vodilicu cilindra uvek lociran na početku koordinatnog sistema
u avionu .

Rice. AT . Osnovni crtež pri izgradnji cilindra.

Hajde da napravimo još jednu pretpostavku koja pojednostavljuje završne korake konstruisanja cilindrične površine. Pošto se koristi rotacija koordinatnog sistema, lako je kombinovati smer ose
koordinatni sistemi
sa ravnim normalnim , i smjerovi osi
i
sa osovinama simetrije vodilice , tada ćemo to pretpostaviti kao početni položaj vodilice imamo krivu koja se nalazi u ravni
, a jedna od njegovih osa simetrije se poklapa sa osom
, a drugi sa osom
.

Komentar: budući da je izvođenje operacija paralelne translacije i rotacije oko fiksne ose operacije prilično jednostavno, date pretpostavke ne sužavaju primenljivost razvijenog algoritma za konstruisanje cilindrične površine u najopštijem slučaju!

To smo vidjeli pri konstrukciji cilindrične površine u slučaju kada je vodilica nalazi u avionu
, a generatrisa je paralelna s osi
, dovoljno je definirati samo vodič .

Budući da se cilindrična površina može jednoznačno odrediti specificiranjem bilo koje linije dobijene u presjeku ove površine proizvoljnom ravninom, usvojit ćemo sljedeći opći algoritam za rješavanje problema:

1 ▫ . Neka je smjer generatrike cilindrična površina je data vektorom . Idemo dizajnirati vodič dato jednacinom:
=0, na ravan okomitu na pravac generatrise , odnosno u avionu
. Kao rezultat, cilindrična površina će biti specificirana u koordinatnom sistemu
jednadžba:
=0.

2 ▫
oko ose
na uglu
: značenje ugla
kompatibilan sa sistemom
, a jednadžba stožaste površine transformira se u jednačinu:
=0.

3 ▫ . Primijeniti rotaciju koordinatnog sistema
oko ose
na uglu
: značenje ugla sasvim jasno sa slike. Kao rezultat rotacije, koordinatni sistem
kompatibilan sa sistemom
, a jednadžba konusne površine se transformira u
=0. Ovo je jednadžba cilindrične površine za koju je dat vodič i generatrisa u koordinatnom sistemu
.

Primjer ispod ilustruje implementaciju pisanog algoritma i računske poteškoće takvih problema.

Primjer 6–14 : U koordinatnom sistemu
s obzirom na jednadžbu vodilice cilindra kao:
=9. Napišite jednačinu za cilindar čiji su generatori paralelni vektoru =(2,–3,4).

R
rješenje:

jedan). Dizajnirajmo vodilicu cilindra u ravni okomitoj na . Poznato je da takva transformacija pretvara dati krug u elipsu, čije su osi: =9, i mali =
.

Ova slika ilustruje dizajn kružnice definisane u ravni
na koordinatnu ravan
.

2). Rezultat projektovanja kružnice je elipsa:
=1, ili
. U našem slučaju, ovo je:
, gdje
==.

3
). Dakle, jednačina cilindrične površine u koordinatnom sistemu
primljeno. Pošto, prema uslovu zadatka, moramo imati jednačinu ovog cilindra u koordinatnom sistemu
, onda ostaje primijeniti transformaciju koordinata koja prevodi koordinatni sistem
na koordinatni sistem
, zajedno sa jednadžbom cilindra:
u jednačinu izraženu u terminima varijabli
.

četiri). Hajde da koristimo osnovni sliku, i zapišite sve trigonometrijske vrijednosti potrebne za rješavanje problema:

==,
==,
==.

5). Napišimo formule za transformaciju koordinata u prijelazu iz sistema
sistemu
:
(AT)

6). Napišimo formule za transformaciju koordinata u prijelazu iz sistema
sistemu
:
(OD)

7). Zamjena varijabli
od sistema (B) do sistema (C), a također uzimajući u obzir vrijednosti korištenih trigonometrijskih funkcija, pišemo:

=
=
.

=
=
.

osam). Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti i u jednadžbu vodilice cilindra :
u koordinatnom sistemu
. Nakon završetka pažljivo svim algebarskim transformacijama, dobijamo jednačinu konusne površine u koordinatnom sistemu
: =0.

Odgovor: jednačina konusa: =0.

Primjer 6–15 : U koordinatnom sistemu
s obzirom na jednadžbu vodilice cilindra kao:
=9, =1. Napišite jednačinu za cilindar čiji su generatori paralelni vektoru =(2,–3,4).

Rješenje:

jedan). Lako je vidjeti da se ovaj primjer razlikuje od prethodnog samo po tome što je vodilica pomjerena paralelno za 1 nagore.

2). To znači da u relacijama (B) treba uzeti: =-jedan. Uzimajući u obzir izraze sistema (C), korigujemo unos za promenljivu :

=
.

3). Promjena se lako uzima u obzir ispravljanjem konačnog zapisa jednadžbe za cilindar iz prethodnog primjera:

Odgovor: jednačina konusa: =0.

Komentar: lako je vidjeti da je glavna poteškoća u višestrukim transformacijama koordinatnih sistema u problemima s cilindričnim površinama tačnost i izdržljivost na algebarskim maratonima: živio obrazovni sistem usvojen u našoj napaćenoj zemlji!

Dokazano svojstvo tangente na parabolu je veoma važno, jer iz njega proizilazi da zrake koje izlaze iz fokusa konkavnog paraboličkog ogledala, odnosno takvog ogledala, čija se površina dobija rotacijom parabole oko njegove ose, reflektuju se paralelnim snopom, odnosno paralelnom osom ogledala (sl.).

Ovo svojstvo paraboličkih ogledala koristi se u konstrukciji reflektora, u farovima bilo kojeg automobila, kao i u zrcalnim teleskopima. Štaviše, u poslednjem slučaju, naprotiv, zraci koji dolaze iz nebeskog tela; skoro paralelne, koncentrisane su blizu fokusa ogledala teleskopa, a pošto su zraci koji dolaze iz različitih tačaka svetiljke dosta neparalelni, koncentrisani su blizu fokusa u različitim tačkama, tako da se dobija slika svetila. blizu fokusa, što je veća, veća je žižna daljina parabole. Ova slika se već gleda kroz mikroskop (teleskopski okular). Strogo govoreći, u jednoj tački (u fokusu) sakupljaju se samo zraci koji su striktno paralelni osi ogledala, dok se paralelni zraci koji idu pod uglom u odnosu na osu ogledala sakupljaju samo u jednoj tački, a što dalje ova tačka je iz fokusa, slika je mutnija. Ova okolnost ograničava "vidno polje teleskopa".

Neka njegova unutrašnja površina - površina ogledala - bude parabolično ogledalo osvijetljeno snopom svjetlosnih zraka paralelno osi OS. Svi snopovi paralelni sa y-osom, nakon refleksije, će se preseći u jednoj tački y-ose (fokus F). Dizajn paraboličkih teleskopa zasnovan je na ovoj osobini. Zraci udaljenih zvijezda dolaze do nas u obliku paralelnog snopa. Izradom paraboličnog teleskopa i postavljanjem fotografske ploče u njegov fokus, dobijamo priliku da pojačamo svjetlosni signal koji dolazi od zvijezde.

Isti princip je u osnovi stvaranja parabolične antene, koja omogućava pojačavanje radio signala. Ako se, međutim, izvor svjetlosti postavi u fokus paraboličnog zrcala, tada se, nakon odbijanja od površine ogledala, zraci koji dolaze iz ovog izvora neće raspršiti, već će se skupiti u uski snop paralelan osi. ogledala. Ova činjenica se koristi u proizvodnji reflektora i lampiona, raznih projektora, čija su ogledala izrađena u obliku paraboloida.

Optičko svojstvo paraboličnog ogledala koje je gore navedeno koristi se u stvaranju zrcalnih teleskopa, raznih instalacija za solarno grijanje i reflektora. Postavljanjem snažnog točkastog izvora svjetlosti u fokus paraboličnog ogledala, dobijamo gust tok reflektovanih zraka paralelan osi ogledala.

Kada parabola rotira oko svoje ose, dobija se figura koja se naziva paraboloid. Ako se unutrašnja površina paraboloida napravi ogledalom i na nju se usmjeri snop zraka, paralelna osa simetrija parabole, tada će se reflektovani zraci skupiti u jednoj tački, koja se zove fokus. U isto vrijeme, ako se izvor svjetlosti postavi u fokus, tada će zraci reflektirani od zrcalne površine paraboloida biti paralelni i neće se raspršiti.

Prvo svojstvo omogućava postizanje visoke temperature u fokusu paraboloida. Prema legendi, ovo svojstvo je koristio starogrčki naučnik Arhimed (287-212 pne). Tokom odbrane Sirakuze u ratu protiv Rimljana izgradio je sistem paraboličkih ogledala, koji je omogućio fokusiranje reflektiranih sunčevih zraka na rimske brodove. Kao rezultat toga, temperatura u žarištima paraboličkih ogledala pokazala se toliko visokom da je na brodovima izbio požar i oni su izgorjeli.

Drugo svojstvo koristi se, na primjer, u proizvodnji reflektora i farova za automobile.

Hiperbola

4. Definicija hiperbole nam daje jednostavan način da je izgradimo u neprekidnom kretanju: uzmimo dvije niti čija je razlika dužina 2a, i pričvrstimo jedan kraj ovih niti na tačke F" i F. Ako druga dva kraja držite zajedno sa rukom i vrhom olovke vozite po nitima, vodeći računa da se konci pritisnu na papir, rastegnuti i dodiruju, počevši od tačke crtanja do spoja krajeva, tačka će nacrtati deo jednog od grane hiperbole (što su veće, duži su niti) (sl.).

Zamijenom uloga tačaka F" i F dobijamo dio druge grane.

Na primjer, na temu "Krivulje 2. reda" možete razmotriti sljedeći problem:

Zadatak. Dvije željezničke stanice A i B su jedna od druge udaljene s km. Do bilo koje tačke M, teret se može dostaviti sa stanice A bilo direktnim drumskim transportom (prva ruta), ili putem željeznica do stanice B, a odatle automobilima (drugi put). Željeznička tarifa (prijevozna cijena od 1 tone po 1 km) je m rubalja, tarifa za drumski prijevoz je n rublja, n > m, tarifa za utovar i istovar je k rubalja. Definišite oblast uticaja zeljeznicka stanica B, odnosno područje u koje je jeftinije isporučiti robu sa stanice A mješovito – željeznicom, a zatim drumskim putem, tj. odrediti lokus tačaka za koje je drugi put isplativiji od prvog.

Rješenje. Označimo AM = r , BM = r , tada je trošak dostave (transport i utovar i istovar) na putu AM jednak nr + k, a trošak isporuke na putu ABM jednak ms + 2k + ng . Tada tačke M, za koje su oba troška jednaka, zadovoljavaju jednačinu nr + k = ms + 2k + ng , ili

ms + k = nr - ng

r - g \u003d \u003d const\u003e O,

dakle, linija koja omeđuje regiju je jedna od grana hiperbole | r - r | = konst. Za sve tačke ravni koje leže na istoj strani tačke A iz ove hiperbole, prvi put je povoljan, a za tačke koje leže na drugoj strani, drugi, pa grana hiperbole ocrtava oblast uticaja stanica B.

Varijanta ovog zadatka.

Dvije željezničke stanice A i B nalaze se na udaljenosti od l km jedna od druge. Teret se može dopremiti do tačke M sa stanice A direktnim drumskim transportom ili železnicom do stanice B, a odatle automobilima (Sl. 49). Istovremeno, željeznička tarifa (cijena prevoza 1 tone po 1 km) iznosi m rubalja, troškovi utovara i istovara k rubalja (po 1 toni), a tarifa za drumski prevoz je n rubalja (n > m). Definirajmo takozvanu zonu uticaja željezničke stanice B, odnosno zonu u koju je jeftinije dopremati robu iz A na mješoviti način: željeznicom pa cestom.

Rješenje. Cijena isporuke 1 tone tereta na AM ruti je r n, gdje je r = AM, a duž ABM rute će biti jednaka 1m + k + r n. Trebamo riješiti dvostruku nejednačinu r n 1m+ k+ r n i odrediti kako su raspoređene tačke na (x, y) ravni, kojima je jeftinije isporučiti robu ili prvim ili drugim putem.

Nađimo jednačinu prave koja čini granicu između ove dvije zone, odnosno lokus tačaka za koje su obje putanje "jednako povoljne":

r n = 1m+ k+ r n

Iz ovog uslova dobijamo r - r = = const.

Dakle, linija razdvajanja je hiperbola. Za sve vanjske tačke ove hiperbole prvi put je povoljan, a za unutrašnje tačke drugi. Dakle, hiperbola će ocrtati zonu uticaja stanice B. Druga grana hiperbole će ocrtati zonu uticaja stanice A (tovar se isporučuje sa stanice B). Nađimo parametre naše hiperbole. Njegova glavna os je 2a = , a udaljenost između žarišta (koja su stanice A i B) u ovom slučaju je 2c = l.

Dakle, uslov za mogućnost ovog problema, određen relacijom a< с, будет

Ovaj zadatak povezuje apstraktno geometrijski koncept hiperbole sa transportnim i ekonomskim problemom.

Željeno mjesto tačaka je skup tačaka koje leže unutar desne grane hiperbole koja sadrži tačku B.

6. Znam " Poljoprivredne mašine» Važne karakteristike performansi traktora koji radi na nagibu, koje pokazuju njegovu stabilnost, su ugao nagiba i ugao kotrljanja.

Radi jednostavnosti, razmotrit ćemo traktor na kotačima. Površina na kojoj traktor radi (barem njen dovoljno mali dio) može se smatrati ravninom (ravninom kretanja). Uzdužna os traktora je projekcija prave linije koja povezuje sredine prednje i stražnje osovine na ravan kretanja. Ugao poprečnog valjka je ugao koji se formira sa horizontalnom ravninom prave linije koja je okomita na uzdužnu osu i koja leži u ravni kretanja.

Prilikom proučavanja teme "Prave i ravni u prostoru" u okviru matematike razmatramo sljedeće zadatke:

a) Odrediti ugao uzdužnog nagiba traktora koji se kreće duž kosine, ako su poznati ugao nagiba i ugao odstupanja putanje traktora od uzdužnog pravca.

b) Granični ugao poprečnog kotrljanja traktora je najveći dozvoljeni ugao nagiba nagiba, preko kojeg traktor može stajati bez prevrtanja. Koje parametre traktora je dovoljno znati da bi se odredio granični ugao kotrljanja; kako ovo pronaći
kutak?

7. Prisutnost pravolinijskih generatricija se koristi u građevinskoj opremi. Osnivač praktične primene ove činjenice je poznati ruski inženjer Vladimir Grigorijevič Šuhov (1853-1939). V. G. Shukhov je izveo konstrukciju jarbola, tornjeva i nosača, sastavljenih od metalnih greda, smještenih duž pravolinijskih generatora jednolisni hiperboloid revolucije. Visoka čvrstoća takvih konstrukcija, u kombinaciji s lakoćom, niskim troškovima proizvodnje i elegancijom, osigurava njihovu široku primjenu u modernoj gradnji.

8. ZAKONI KRETANJA SLOBODNOG KRUTOG TIJELA

Za slobodno telo sve vrste kretanja su podjednako moguće, ali to ne znači da je kretanje slobodnog tijela neuredno, da ne podliježe nikakvim zakonima; naprotiv, translacijsko kretanje krutog tijela, bez obzira na njegov vanjski oblik, ograničeno je zakonom centra mase i svodi se na kretanje jedne tačke, a rotacijsko kretanje na tzv. glavne ose. inercije ili elipsoid inercije. Dakle, štap bačen u slobodan prostor, ili zrno koje izleti iz sortirnice, itd., kreće se naprijed kao jedna tačka (centar mase), a istovremeno rotira oko centra mase. Generalno, kada kretanje napred svako kruto tijelo, bez obzira na oblik, ili složenu mašinu može se zamijeniti jednom tačkom (centrom mase), a rotacijskom elipsoidom inercije , čiji su radijus vektori jednaki --, gdje je / moment inercije ovog tijela u odnosu na ose koje prolaze kroz centar elipsoida.

Ako se moment inercije tijela iz nekog razloga promijeni tokom rotacije, tada će se u skladu s tim promijeniti i brzina rotacije. Na primjer, pri skoku preko glave akrobati se skupljaju u loptu, što uzrokuje smanjenje momenta inercije tijela i povećanje brzine rotacije, što je neophodno za uspjeh skoka. Na isti način, prilikom klizanja, ljudi ispruže ruke u stranu, što povećava moment inercije i smanjuje brzinu rotacije. Na isti način, moment inercije grabulja žetelice oko vertikalne ose je promjenjiv pri rotaciji oko horizontalne ose.

Elipsoid- površina unutra trodimenzionalni prostor, dobijen deformacijom sfere duž tri međusobno okomite ose. Kanonska jednadžba elipsoida u Kartezijanske koordinate, koji se poklapa sa osama deformacije elipsoida: .

Veličine a, b, c nazivaju se poluose elipsoida. Elipsoid se također naziva tijelom, ograničena površinom elipsoid. Elipsoid je jedan od mogućih oblika površina drugog reda.

U slučaju kada par poluosi ima istu dužinu, elipsoid se može dobiti rotacijom elipse oko jedne od njenih osa. Takav elipsoid se naziva elipsoid okretanja ili sferoid.

Elipsoid, preciznije od sfere, odražava idealiziranu površinu Zemlje.

Volumen elipsoida:.

Površina elipsoida okretanja:

Hiperboloid- ovo je tip površine drugog reda u trodimenzionalnom prostoru, date u kartezijanskim koordinatama jednadžbom - (hiperboloid sa jednim listom), gdje su a i b realne poluose, a c imaginarna poluosa; ili - (hiperboloid sa dva lista), gdje su a i b imaginarne poluose, a c je realna polu-osa.

Ako je a = b, tada se takva površina naziva hiperboloidom okretanja. Hiperboloid okretanja sa jednim listom može se dobiti okretanjem hiperbole oko svoje imaginarne ose, a dvolistni - oko realne. Hiperboloid okretanja s dva lista je također i geometrija tačaka P, modula razlike u udaljenostima od kojih do dva date bodove A i B su konstantne: | AP−BP | = konst. U ovom slučaju, A i B se nazivaju žarišta hiperboloida.

Hiperboloid sa jednim listom je dvostruko ravna površina; ako je hiperboloid okretanja, onda se može dobiti rotiranjem prave oko druge prave koja je siječe.

Paraboloid je površinski tip drugog reda. Paraboloid se može okarakterisati kao otvorena, necentralna (tj. ona bez centra simetrije) površina drugog reda.

Kanonske jednadžbe paraboloid u kartezijanskim koordinatama:

· ako a i b imaju isti predznak, tada se paraboloid naziva eliptičnim.

ako a i b drugačiji znak, tada se paraboloid naziva hiperboličnim.

Ako je jedan od koeficijenata jednak nuli, tada se paraboloid naziva parabolički cilindar.

ü je eliptični paraboloid, gdje a i b imaju isti predznak. Površina je opisana familijom paralelnih parabola sa granama usmjerenim prema gore, čiji vrhovi opisuju parabolu, sa granama također usmjerenim prema gore. Ako je a = b onda je eliptični paraboloid površina okretanja nastala rotacijom parabole oko vertikalne ose koja prolazi kroz vrh date parabole.

ü je hiperbolički paraboloid.