Luați în considerare o funcție a două variabile:
Deoarece variabilele $x$ și $y$ sunt independente, putem introduce conceptul de derivată parțială pentru o astfel de funcție:
Derivata parțială a funcției $f$ în punctul $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ în raport cu variabila $x$ este limita
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]
În mod similar, putem defini derivata parțială față de variabila $y$ :
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]
Cu alte cuvinte, pentru a găsi derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile, trebuie să fixați toate celelalte variabile, cu excepția celei dorite, și apoi să găsiți derivata obișnuită în raport cu această variabilă dorită.
Din aceasta rezultă tehnica principală de calcul a unor astfel de derivate: pur și simplu luați în considerare că toate variabilele, cu excepția celei date, sunt constante și apoi diferențiați funcția așa cum ați diferenția pe cea „obișnuită” - cu o variabilă. De exemplu:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prim ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$
Evident, derivatele parțiale cu privire la diferite variabile dau răspunsuri diferite - acest lucru este normal. Este mult mai important de înțeles de ce, să zicem, în primul caz, am eliminat cu calm $10y$ de sub semnul derivatului, iar în al doilea caz, am anulat complet primul termen. Toate acestea se datorează faptului că toate literele, cu excepția variabilei prin care se realizează diferențierea, sunt considerate constante: pot fi scoase, „arse” etc.
Ce este o „derivată parțială”?
Astăzi vom vorbi despre funcțiile mai multor variabile și derivatele lor parțiale. În primul rând, ce este o funcție a mai multor variabile? Până acum, am fost obișnuiți să ne gândim la o funcție ca $y\left(x\right)$ sau $t\left(x \right)$, sau orice variabilă și o singură funcție din aceasta. Acum vom avea o funcție și mai multe variabile. Când $y$ și $x$ se schimbă, valoarea funcției se va schimba. De exemplu, dacă $x$ se dublează, valoarea funcției se va modifica, în timp ce dacă $x$ se modifică și $y$ nu se modifică, valoarea funcției se va schimba în același mod.
Desigur, o funcție a mai multor variabile, la fel ca și o funcție a unei variabile, poate fi diferențiată. Cu toate acestea, deoarece există mai multe variabile, este posibil să se diferențieze în funcție de diferite variabile. În acest caz, apar reguli specifice care nu au existat la diferențierea unei variabile.
În primul rând, când luăm în considerare derivata unei funcții a oricărei variabile, trebuie să indicăm care variabilă considerăm derivată - aceasta se numește derivată parțială. De exemplu, avem o funcție a două variabile și o putem calcula atât în $x$ cât și în $y$ - două derivate parțiale ale fiecăreia dintre variabile.
În al doilea rând, de îndată ce am fixat una dintre variabile și începem să calculăm derivata parțială în raport cu aceasta, atunci toate celelalte incluse în această funcție sunt considerate constante. De exemplu, în $z\left(xy \right)$, dacă luăm în considerare derivata parțială față de $x$, atunci oriunde întâlnim $y$, o considerăm constantă și o tratăm exact ca o constantă. În special, la calcularea derivatei unui produs, putem scoate $y$ din paranteză (avem o constantă), iar la calcularea derivatei sumei, dacă obținem undeva derivata unei expresii care conține $y$ și neconținând $x$, atunci derivata acestei expresii va fi egală cu „zero” ca derivată a constantei.
La prima vedere, poate părea că vorbesc despre ceva complex, iar mulți studenți devin confuzi la început. Cu toate acestea, nu există nimic supranatural în derivatele parțiale, iar acum vom vedea acest lucru pe exemplul unor probleme specifice.
Probleme cu radicali și polinoame
Sarcina 1
Pentru a nu pierde timpul în zadar, de la bun început vom începe cu exemple serioase.
Să încep cu următoarea formulă:
Aceasta este valoarea tabelului standard pe care o cunoaștem din cursul standard.
În acest caz, derivata $z$ se calculează după cum urmează:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Să fim din nou, deoarece rădăcina nu este $x$, ci o altă expresie, în acest caz $\frac(y)(x)$, atunci vom folosi mai întâi valoarea tabelului standard și apoi, deoarece rădăcina nu este $ x $ și o altă expresie, trebuie să ne înmulțim derivata cu încă una din această expresie în raport cu aceeași variabilă. Să începem cu următoarele:
\[((\left(\frac(y)(x) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Ne întoarcem la expresia noastră și scriem:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
Practic, asta-i tot. Cu toate acestea, este greșit să o lăsați în această formă: o astfel de construcție este incomod de utilizat pentru calcule ulterioare, așa că să o transformăm puțin:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Răspuns găsit. Acum să ne ocupăm de $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Să scriem separat:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot (((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Acum scriem:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Terminat.
Sarcina #2
Acest exemplu este atât mai simplu, cât și mai complex decât cel precedent. Mai dificil, pentru că sunt mai multe acțiuni, dar mai ușor, pentru că nu există rădăcină și, în plus, funcția este simetrică față de $x$ și $y$, adică. dacă schimbăm $x$ și $y$, formula nu se schimbă. Această observație va simplifica și mai mult calculul derivatei parțiale, i.e. este suficient să calculați unul dintre ele, iar în al doilea doar schimbați $x$ și $y$.
Sa trecem la treaba:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Hai să numărăm:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Cu toate acestea, mulți studenți nu înțeleg o astfel de înregistrare, așa că o scriem astfel:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Astfel, suntem din nou convinși de universalitatea algoritmului derivatei parțiale: indiferent de modul în care le considerăm, dacă toate regulile sunt aplicate corect, răspunsul va fi același.
Acum să ne ocupăm de încă o derivată parțială din formula noastră mare:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Înlocuim expresiile rezultate în formula noastră și obținem:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ dreapta)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\) stânga(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]
$x$ numărat. Și pentru a calcula $y$ din aceeași expresie, să nu executăm aceeași secvență de acțiuni, ci să folosim simetria expresiei noastre originale - pur și simplu înlocuim toți $y$ din expresia noastră originală cu $x$ și invers:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Datorită simetriei, am calculat această expresie mult mai rapid.
Nuanțe ale soluției
Toate funcționează pentru derivate parțiale formule standard, pe care o folosim pentru cele obișnuite, și anume, derivata coeficientului. În acest caz, totuși, apar propriile sale caracteristici specifice: dacă luăm în considerare derivata parțială a lui $x$, atunci când o obținem de la $x$, atunci o considerăm constantă și, prin urmare, derivata sa va fi egală cu " zero".
Ca și în cazul derivatelor obișnuite, câtul (unul și același) poate fi calculat prin mai multe căi diferite. De exemplu, aceeași construcție pe care tocmai am calculat-o poate fi rescrisă după cum urmează:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Cu toate acestea, pe de altă parte, puteți utiliza formula din suma derivată. După cum știm, este egal cu suma derivatelor. De exemplu, să scriem următoarele:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Acum, știind toate acestea, să încercăm să lucrăm cu expresii mai serioase, deoarece derivatele parțiale reale nu se limitează doar la polinoame și rădăcini: există trigonometrie și logaritmi și functie exponentiala. Acum hai să facem asta.
Probleme cu funcțiile trigonometrice și logaritmi
Sarcina 1
Scriem următoarele formule standard:
\[((\left(\sqrt(x) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Înarmați cu aceste cunoștințe, să încercăm să rezolvăm:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Să scriem o variabilă separat:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Înapoi la designul nostru:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Am găsit totul pentru $x$, acum să facem calculele pentru $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Din nou, luați în considerare o expresie:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \dreapta)\]
Revenim la expresia originală și continuăm soluția:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Terminat.
Sarcina #2
Să scriem formula de care avem nevoie:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Acum să numărăm cu $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Găsit de $x$. Numărând cu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Problema rezolvata.
Nuanțe ale soluției
Deci, indiferent de ce funcție luăm o derivată parțială, regulile rămân aceleași, indiferent dacă lucrăm cu trigonometrie, cu rădăcini sau cu logaritmi.
Regulile clasice de lucru cu derivate standard rămân neschimbate, și anume, derivata sumei și diferenței, coeficientul și functie complexa.
Ultima formulă se găsește cel mai adesea în rezolvarea problemelor cu derivate parțiale. Îi întâlnim aproape peste tot. Nu a existat încă o singură sarcină pe care să nu o găsim acolo. Dar indiferent de formula pe care o folosim, mai adăugăm încă o cerință, și anume, caracteristica de a lucra cu derivate parțiale. De îndată ce fixăm o variabilă, toate celelalte sunt constante. În special, dacă luăm în considerare derivata parțială a expresiei $\cos \frac(x)(y)$ față de $y$, atunci $y$ este variabila și $x$ rămâne constant peste tot. Același lucru funcționează și invers. Poate fi scos din semnul derivatei, iar derivata constantei în sine va fi egală cu „zero”.
Toate acestea conduc la faptul că derivatele parțiale ale aceleiași expresii, dar cu privire la diferite variabile, pot arăta complet diferit. De exemplu, luați în considerare următoarele expresii:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Probleme cu funcțiile exponențiale și logaritmii
Sarcina 1
Să începem prin a scrie următoarea formulă:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Cunoscând acest fapt, precum și derivata unei funcții complexe, să încercăm să calculăm. Voi rezolva acum în două moduri diferite. Primul și cel mai evident este derivatul produsului:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Să rezolvăm separat următoarea expresie:
\[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac((((((x)"))_(x))\cdot yx .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Revenim la designul nostru original și continuăm soluția:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\dreapta)\]
Totul, $x$ numărat.
Totuși, așa cum am promis, acum vom încerca să calculăm aceeași derivată parțială într-un mod diferit. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Hai sa o scriem asa:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Drept urmare, am primit exact același răspuns, dar cantitatea de calcule s-a dovedit a fi mai mică. Pentru a face acest lucru, a fost suficient să observăm că atunci când produsul este înmulțit, se pot adăuga exponenții.
Acum să numărăm cu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Să rezolvăm o expresie separat:
\[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Să continuăm soluția construcției noastre originale:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Desigur, aceeași derivată ar putea fi calculată în al doilea mod, răspunsul ar fi același.
Sarcina #2
Să numărăm cu $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Să numărăm o expresie separat:
\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
Să continuăm soluția construcției originale: $$
Iată răspunsul.
Rămâne de găsit prin analogie cu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Să numărăm o expresie separat, ca întotdeauna:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Continuăm soluția structurii principale:
Totul este socotit. După cum puteți vedea, în funcție de ce variabilă este luată pentru diferențiere, răspunsurile sunt complet diferite.
Nuanțe ale soluției
Iată un exemplu viu al modului în care derivata aceleiași funcții poate fi calculată în două moduri diferite. Uite aici:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ stânga(1+\frac(1)(y)\dreapta)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
Atunci când alegeți căi diferite, cantitatea de calcule poate fi diferită, dar răspunsul, dacă totul este făcut corect, va fi același. Acest lucru se aplică atât derivatelor clasice, cât și parțiale. În același timp, vă reamintesc încă o dată: în funcție de ce variabilă este preluată derivata, adică. diferențiere, răspunsul poate fi complet diferit. Uite:
\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
În concluzie, pentru a consolida tot acest material, să încercăm să mai numărăm două exemple.
Probleme cu o funcție trigonometrică și o funcție cu trei variabile
Sarcina 1
Să scriem aceste formule:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Să rezolvăm acum expresia noastră:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Separat, luați în considerare următoarea construcție:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Continuăm să rezolvăm expresia originală:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Acesta este răspunsul final al variabilei private pe $x$. Acum să numărăm cu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Să rezolvăm o expresie separat:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Ne rezolvăm construcția până la capăt:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Sarcina #2
La prima vedere, acest exemplu poate părea destul de complicat, deoarece există trei variabile. De fapt, aceasta este una dintre cele mai ușoare sarcini din tutorialul video de astăzi.
Găsiți după $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Acum să ne ocupăm de $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Am găsit răspunsul.
Acum rămâne de găsit cu $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Am calculat derivata a treia, pe care soluția celei de-a doua probleme este complet finalizată.
Nuanțe ale soluției
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în aceste două exemple. Singurul lucru pe care l-am văzut este că derivata unei funcții complexe este folosită frecvent și, în funcție de derivata parțială pe care o considerăm, obținem răspunsuri diferite.
În ultima sarcină, ni s-a cerut să ne ocupăm de o funcție de trei variabile simultan. Nu este nimic în neregulă cu asta, dar la final ne-am asigurat că toate diferă semnificativ unele de altele.
Puncte cheie
Concluziile finale din tutorialul video de astăzi sunt următoarele:
- Derivatele parțiale sunt considerate în același mod ca și cele obișnuite, în timp ce pentru a calcula derivata parțială față de o variabilă, toate celelalte variabile incluse în această funcție, luăm drept constante.
- Când lucrăm cu derivate parțiale, folosim aceleași formule standard ca și în cazul derivatelor obișnuite: suma, diferența, derivata produsului și coeficientul și, desigur, derivata unei funcții complexe.
Desigur, doar vizionarea acestui tutorial video nu este suficientă pentru a înțelege pe deplin acest subiect, așa că chiar acum pe site-ul meu pentru acest videoclip anume există un set de sarcini dedicate subiectului de astăzi - mergeți, descărcați, rezolvați aceste sarcini și verificați răspunsul. Și după aceea, nicio problemă cu derivatele parțiale, nici la examene, nici pe muncă independentă nu vei. Desigur, aceasta nu este ultima lecție matematica superioara, așa că vizitați site-ul nostru, adăugați VKontakte, abonați-vă la YouTube, puneți like-uri și rămâneți cu noi!
Și nu trebuie să căutați nimic: în articolul nostru separat, am pregătit deja totul, astfel încât să puteți face acest lucru. Acum să vorbim despre derivate parțiale.
Bun venit pe canalul nostru Telegram pentru buletine informative utile și știri actuale pentru studenți.
Funcția a două sau mai multe variabile
Înainte de a vorbi despre derivate parțiale, trebuie să atingem conceptul de funcție a mai multor variabile, fără de care nu are niciun rost o derivată parțială. La școală, suntem obișnuiți să ne ocupăm de funcțiile unei variabile:
Am considerat derivatele unor astfel de funcții înainte. Graficul unei funcții a unei variabile este o dreaptă pe un plan: o dreaptă, o parabolă, o hiperbolă etc.
Dacă adăugăm o altă variabilă? Obțineți o funcție ca aceasta:
Aceasta este o funcție a două variabile independente XȘi y. Graficul unei astfel de funcții este o suprafață în spațiu tridimensional: o sferă, un hiperboloid, un paraboloid sau un alt cal sferic în vid. Funcții derivate parțiale z pentru x și respectiv y, se scriu după cum urmează:
Există, de asemenea, funcții a trei sau mai multe variabile. Adevărat, este imposibil să desenezi un grafic al unei astfel de funcție: acest lucru ar necesita cel puțin spațiu cu patru dimensiuni, care nu poate fi reprezentat.
Derivată parțială de ordinul întâi
Amintiți-vă regula principală:
La calcularea derivatei parțiale față de una dintre variabile, a doua variabilă este luată ca constantă. În caz contrar, regulile de calcul al derivatului nu se modifică.
Adică, derivata parțială nu este în esență diferită de cea obișnuită. Așadar, ține tabelul derivatelor în fața ochilor tăi functii elementareși reguli pentru calcularea derivatelor obișnuite. Să ne uităm la un exemplu pentru a fi destul de clar. Să presupunem că doriți să calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale următoarei funcții:
În primul rând, luăm derivata parțială față de x, considerând y ca un număr obișnuit:
Acum considerăm derivata parțială față de y, luând x ca constantă:
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în asta și succes cu mai mult exemple complexe este doar o chestiune de practică.
Derivată parțială de ordinul doi
Care este derivata parțială de ordinul doi? La fel ca primul. Pentru a găsi derivate parțiale de ordinul doi, trebuie doar să luați derivata derivatei de ordinul întâi. Să revenim la exemplul de mai sus și să calculăm derivatele parțiale de ordinul doi.
După joc:
Derivatele parțiale de ordinul trei și de ordinul superior nu diferă în principiul calculului. Să organizăm regulile:
- La diferențierea față de o variabilă independentă, a doua este considerată constantă.
- Derivata de ordinul doi este derivata de ordinul întâi. Al treilea ordin este derivata celui de-al doilea ordin etc.
Derivate parțiale și diferența totală a unei funcții
O întrebare frecventă în sarcinile practice este găsirea diferenţialului total al unei funcţii. Pentru o funcție de mai multe variabile, diferența totală este definită ca partea liniară principală a micului increment total al funcției în raport cu incrementele argumentelor.
Definiția sună greoaie, dar cu litere totul este mai ușor. Diferenţialul total de ordinul întâi al unei funcţii a mai multor variabile arată astfel:
Știind cum se calculează derivatele parțiale, nu există nicio problemă de a calcula diferența totală.
Derivatele parțiale nu sunt un subiect atât de inutil. De exemplu, ecuațiile diferențiale parțiale de ordinul doi sunt utilizate pe scară largă pentru a descrie matematic realul procese fizice.
Aici am oferit doar o idee generală, superficială, a derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Sunteți interesat de acest subiect sau aveți întrebări specifice? Întrebați-i în comentarii și contactați experții serviciului pentru studenți profesioniști pentru ajutor calificat și rapid în studiile dumneavoastră. Cu noi nu vei ramane singur cu problema!
Fiecare derivată parțială (peste Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile cu o valoare fixă a celeilalte variabile:
(Unde y= const),
(Unde X= const).
Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate din formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, în timp ce se consideră cealaltă variabilă ca o constantă (constant).
Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de minimul de teorie necesar pentru aceasta, dar aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci accesați calculator online cu derivate parțiale .
Dacă este greu să vă concentrați pe urmărirea locului în care se află constanta în funcție, atunci puteți înlocui orice număr din schița de soluție a exemplului în loc de o variabilă cu o valoare fixă - atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca fiind obișnuită. derivata unei functii a unei variabile. Trebuie doar să vă amintiți să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați.
Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate fi găsită în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.
Conceptul de continuitate a unei funcții z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.
Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca
Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține prin incrementarea ambelor argumente).
Lasă funcția z= f(X, y) și punct
Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă a celuilalt argument y, atunci funcția va fi incrementată
numită increment parțial al funcției f(X, y) pe X.
Având în vedere schimbarea funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem de fapt la o funcție a unei variabile.
Dacă există o limită finită
atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este notat cu unul dintre simboluri
(4)
Creșterea parțială este definită în mod similar z pe y:
și derivată parțială f(X, y) pe y:
(6)
Exemplul 1
Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:
(y fix);
Găsim derivata parțială față de variabila „y”:
(X fix).
După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz, este doar un număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) cu variabila prin care găsim parțialul. derivat. Dacă variabila fixă nu este înmulțită cu variabila în raport cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singură, indiferent în ce măsură, ca în cazul unei derivate obișnuite, dispare.
Exemplul 2 Dată o funcție
Găsiți derivate parțiale
(prin x) și (prin y) și calculați-le valorile la punctul DAR (1; 2).
Soluţie. La un fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției de putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):
.
La un fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a constantei:
Acum calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul DAR (1; 2):
Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .
Exemplul 3 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
Soluţie. Într-un singur pas găsim
(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);
(X este fix și este în acest caz un factor la y).
Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .
Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.
Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unuia o anumită valoare u din multi E, apoi u se numeste functie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).
Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.
Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, definite și calculate sub ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.
Exemplul 4 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
.
Soluţie. yȘi z fix:
XȘi z fix:
XȘi y fix:
Găsiți singur derivate parțiale și apoi vedeți soluții
Exemplul 5
Exemplul 6 Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.
Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sens mecanic ca derivată a unei funcții a unei variabile, este rata cu care funcția se modifică în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.
Exemplul 8 cantitatea de curgere P pasagerii căi ferate poate fi exprimat ca o funcție
Unde P- numărul de pasageri, N- numărul de rezidenți ai punctelor corespunzătoare, R- distanta intre puncte.
Derivată parțială a unei funcții P pe R egal cu
arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare pentru același număr de locuitori din puncte.
Derivată parțială P pe N egal cu
arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai așezărilor cu aceeași distanță între puncte.
Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .
Diferenţial complet
Produsul derivatei parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:
Suma diferenţialelor parţiale asupra tuturor variabilelor independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate
(7)
Exemplul 9 Găsiți diferența completă a unei funcții
Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):
O funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui domeniu se numește diferențiabilă în acel domeniu.
Găsiți singur diferența totală și apoi vedeți soluția
La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-o anumită regiune implică continuitatea acesteia în această regiune, dar nu invers.
Să formulăm fără dovezi condiție suficientă diferențiabilitatea funcției.
Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue
într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).
Se poate arăta că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este principala parte liniară a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.
Pentru o funcție a două variabile increment complet funcția are forma
(8)
unde α și β sunt infinitezimale pentru și .
Derivate parțiale de ordin superior
Derivate parțiale și funcții f(X, y) sunt ele însele unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.
Continuând tema noastră preferată analiză matematică- derivate. În acest articol, vom învăța cum să găsim derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile: derivate primare și derivate secunde. Ce trebuie să știi și să poți stăpâni materialul? Nu credeți, dar, în primul rând, trebuie să puteți găsi derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile - la un nivel ridicat sau cel puțin mediu. Dacă este într-adevăr strâns cu ei, atunci începe cu o lecție Cum să găsesc derivatul?În al doilea rând, este foarte important să citiți articolul și să înțelegeți și să rezolvați, dacă nu toate, atunci majoritatea exemplelor. Dacă acest lucru a fost deja făcut, atunci mergeți cu mine cu un mers încrezător, va fi interesant, chiar veți obține plăcere!
Metode și principii de găsire derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile sunt de fapt foarte asemănătoare cu funcțiile derivate parțiale ale două variabile. Funcția a două variabile, vă reamintesc, are forma , unde „x” și „y” sunt variabile independente. Geometric, o funcție a două variabile este o anumită suprafață în spațiul nostru tridimensional.
Funcția a trei variabile are forma , în timp ce variabilele sunt numite independentvariabile sau argumente, variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie. De exemplu: - o funcţie a trei variabile
Și acum puțin despre filme științifico-fantastice și extratereștri. Auzi des despre 4D, 5D, 10D etc. spatii. Prostii sau nu?
La urma urmei, funcția a trei variabile implică faptul că toate lucrurile au loc într-un spațiu cu patru dimensiuni (într-adevăr, există patru variabile). Graficul unei funcții de trei variabile este așa-numitul hipersuprafață. Este imposibil de imaginat, deoarece trăim într-un spațiu tridimensional (lungime/lățime/înălțime). Ca să nu te plictisești de mine, îți propun un test. Voi pune câteva întrebări, iar cei care doresc pot încerca să le răspundă:
- Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii filistei a spațiului (lungime/lățime/înălțime)?
- Este posibil să se construiască un patru-dimensional, cinci-dimensional, etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică să dăm un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră.
Este posibil să călătorești în trecut?
Este posibil să călătorești în viitor?
-Există extratereștrii?
Pentru orice întrebare, puteți alege unul dintre cele patru răspunsuri:
Da / Nu (știința interzice acest lucru) / Știința nu interzice / Nu știu
Cine răspunde corect la toate întrebările, cel mai probabil are ceva ;-)
Voi da treptat răspunsuri la întrebări în timpul lecției, nu sări peste exemple!
De fapt, au zburat. Și acum veștile bune: pentru o functie de trei variabile sunt valabile regulile de diferentiere si tabelul derivatelor. De aceea trebuie să fii bun la gestionarea „obișnuitului” derivate ale funcţiilor o variabilă. Sunt foarte putine diferente!
Exemplul 1
Soluţie: Este ușor de ghicit că pentru o funcție de trei variabile există Trei derivate parțiale de ordinul întâi, care se notează după cum urmează:
Sau - derivată parțială a lui „x”;
sau - derivată parțială în raport cu „y”;
sau - derivată parțială în raport cu „z”.
Notarea cu un accident vascular cerebral este mai folosită, dar compilatorii de colecții, manualele în condițiile sarcinilor sunt foarte pasionați de a folosi doar notații greoaie - așa că nu vă pierdeți! Poate că nu toată lumea știe să citească corect aceste „fracții teribile” cu voce tare. Exemplu: trebuie citit după cum urmează: „de u po de x”.
Să începem cu derivata x: . Când găsim derivata parțială în raport cu , apoi variabilele Și sunt considerate constante (numerele constante).Și derivata oricărei constante, oh, grație, este egală cu zero:
Acordați atenție imediată indicelui - nimeni nu vă interzice să marcați că sunt constante. Este și mai convenabil, recomand ca începătorilor să folosească doar o astfel de înregistrare, există mai puțin risc de confuzie.
(1) Folosim proprietățile liniarității derivatei, în special, scoatem toate constantele din semnul derivatei. Vă rugăm să rețineți că în al doilea termen, constanta nu trebuie eliminată: deoarece „y” este o constantă, atunci este și o constantă. În termen, constanta „obișnuită” 8 și constanta „zet” sunt scoase din semnul derivatului.
(2) Găsim cele mai simple derivate, fără a uita că sunt constante. Apoi, pieptene răspunsul.
Derivată parțială. Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilele Și sunt considerate constante:
(1) Folosim proprietățile liniarității. Și din nou, rețineți că termenii sunt constante, ceea ce înseamnă că nu trebuie scos nimic pentru semnul derivatei.
(2) Găsim derivate, fără a uita că constante. Să simplificăm răspunsul.
Și în sfârșit, derivata parțială. Când găsim derivata parțială față de „z”, atunci variabilele Și sunt considerate constante:
Regula generala evident și fără pretenții: Când găsim derivata parțialăpentru orice variabilă independentă, atunciîncă doi variabilele independente sunt considerate constante.
Când proiectați aceste sarcini, ar trebui să fiți extrem de atenți, în special, nu pot pierde abonamente(care indică pe ce variabilă se face diferențierea). Pierderea indexului va fi o MARE DEFECT. Hmmm…. e amuzant dacă, după o asemenea intimidare, îmi va fi dor de ei pe undeva)
Exemplul 2
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.
Cele două exemple luate în considerare sunt destul de simple și, după ce au rezolvat mai multe probleme similare, chiar și un ceainic se va adapta la reprimarea lor verbală.
Pentru a descărca, să revenim la prima întrebare a testului: Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii filistei a spațiului (lungime/lățime/înălțime)?
Răspuns corect: Știința nu o interzice.. Toate axiomaticile matematice fundamentale, teoremele, aparate matematice bine și consistent lucrează în spațiu de orice dimensiune. Este posibil ca undeva în Univers să existe hipersuprafețe care nu sunt supuse minții noastre, de exemplu, o hipersuprafață cu patru dimensiuni, care este dată de o funcție a trei variabile. Sau poate există hipersuprafețe lângă noi sau chiar suntem chiar în ele, doar viziunea noastră, alte organe de simț, conștiința sunt capabile să perceapă și să cuprindă doar trei dimensiuni.
Să revenim la exemple. Da, dacă cineva este foarte încărcat cu un test, este mai bine să citiți răspunsurile la următoarele întrebări după ce ați învățat cum să găsiți derivatele parțiale ale unei funcții de trei variabile, altfel vă voi scoate tot creierul în cursul articolului =)
Pe lângă cele mai simple Exemple 1,2, în practică există sarcini care pot fi numite un mic puzzle. Astfel de exemple, spre supărarea mea, au căzut din vedere când am creat lecția. Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile. Recuperarea timpului pierdut:
Exemplul 3
Soluţie: Pare a fi „totul este simplu”, dar prima impresie este înșelătoare. Când găsesc derivate parțiale, mulți vor ghici despre zațul de cafea și vor face greșeli.
Să analizăm exemplul în mod consecvent, clar și clar.
Să începem cu derivata parțială față de x. Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabilele sunt considerate constante. Prin urmare, indicele funcției noastre este, de asemenea, o constantă. Pentru manechine, recomand următoarea soluție: pe schiță, schimbați constanta cu un anumit întreg pozitiv, de exemplu, la „cinci”. Rezultatul este o funcție a unei variabile:
sau poți scrie și așa:
Acest putere funcţie cu bază complexă (sinus). De :
Acum amintiți-vă că, astfel:
Pe o copie curată, desigur, soluția ar trebui să fie elaborată astfel:
Găsim derivata parțială față de „y”, acestea sunt considerate constante. Dacă „x” este o constantă, atunci este și o constantă. Pe schiță, facem același truc: înlocuim, de exemplu, cu 3, „Z” - îl vom înlocui cu același „cinci”. Rezultatul este din nou o funcție a unei variabile:
Acest demonstrație funcție cu un exponent complex. De regula de diferențiere a unei funcții complexe:
Acum amintiți-vă de înlocuitorul nostru:
În acest fel:
Pe o copie curată, desigur, designul ar trebui să arate frumos:
Și un caz în oglindă cu o derivată parțială în raport cu „z” (- constante):
Cu ceva experiență, analiza poate fi efectuată mental.
Efectuăm a doua parte a sarcinii - compunem un diferențial de ordinul întâi. Este foarte simplu, prin analogie cu o funcție a două variabile, diferența de ordinul întâi se scrie prin formula:
În acest caz:
Și afaceri atunci. Observ că în problemele practice, diferenţialul total de ordinul I al unei funcţii de trei variabile este necesar să fie compilat mult mai rar decât pentru o funcţie a două variabile.
Un exemplu distractiv pentru o soluție de tip do-it-yourself:
Exemplul 4
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile și faceți o diferență totală de ordinul întâi
Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Dacă aveți dificultăți, utilizați algoritmul considerat „chainikov”, vă va ajuta garantat. Și mai departe sfat util – nu te grabi. Astfel de exemple nu sunt rezolvate rapid nici măcar de mine.
Ne divagăm și analizăm a doua întrebare: Este posibil să construim un patru-dimensional, cinci-dimensional etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică să dăm un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră.
Răspuns corect: da. Și, este foarte ușor. De exemplu, adăugăm o a patra dimensiune la lungime/lățime/înălțime - timp. Popularul spațiu-timp cu patru dimensiuni și binecunoscuta teorie a relativității furate cu grijă de Einstein de la Lobachevsky, Poincaré, Lorentz și Minkowski. Nici toată lumea nu știe. De ce a primit Einstein Premiul Nobel? A fost un scandal teribil în lumea științifică, iar Comitetul Nobel a formulat meritul plagiatorului astfel: „Pentru contribuția generală la dezvoltarea fizicii”. Deci asta este. Marca de gradul C a lui Einstein este pură promovare și PR.
Este ușor să adăugați o a cincea dimensiune spațiului bidimensional considerat, de exemplu: Presiunea atmosferică. Și așa mai departe, așa mai departe, câte dimensiuni ai stabilit în modelul tău - vor fi atât de multe. În sensul larg al cuvântului, trăim într-un spațiu multidimensional.
Să ne uităm la câteva sarcini obișnuite:
Exemplul 5
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi într-un punct
Soluţie: O sarcină din această formulare este adesea întâlnită în practică și implică următoarele două acțiuni:
– trebuie să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi;
– trebuie să calculați valorile derivatelor parțiale de ordinul 1 la punctul .
Noi decidem:
(1) Avem o funcție complexă, iar primul pas este să luăm derivata arc-tangentei. Făcând acest lucru, folosim, de fapt, cu calm formula tabulară pentru derivata arc-tangentei. De regula de diferențiere a unei funcții complexe rezultatul trebuie înmulțit cu derivată funcție internă(investiții): .
(2) Folosim proprietățile liniarității.
(3) Și luăm derivatele rămase, fără a uita că sunt constante.
Conform condiției de atribuire, este necesar să se găsească valoarea derivatei parțiale găsite la punctul . Înlocuiți coordonatele punctului în derivata găsită:
Avantajul acestei sarcini este faptul că alte derivate parțiale se găsesc într-un mod foarte similar:
După cum puteți vedea, șablonul de soluție este aproape același.
Să calculăm valoarea derivatei parțiale găsite în punctul:
Și în sfârșit, derivata față de „z”:
Gata. Soluția ar putea fi formulată și în alt mod: mai întâi, găsiți toate cele trei derivate parțiale și apoi calculați valorile lor în punctul . Dar, mi se pare, metoda de mai sus este mai convenabilă - au găsit doar derivatul parțial și imediat, fără a părăsi casa de marcat, și-au calculat valoarea la un moment dat.
Este interesant de observat că, din punct de vedere geometric, un punct este un punct foarte real al nostru spatiu tridimensional. Valorile funcției, derivatele sunt deja a patra dimensiune și nimeni nu știe unde este localizată geometric. După cum se spune, nimeni nu s-a târât în jurul Universului cu o bandă de măsură, nu a verificat.
De îndată ce tema filozofică a trecut din nou, să luăm în considerare a treia întrebare: Este posibil să călătorești în trecut?
Răspuns corect: Nu. Călătoria în trecut contrazice a doua lege a termodinamicii despre ireversibilitatea proceselor fizice (entropia). Așa că vă rugăm să nu vă scufundați într-o piscină fără apă, evenimentul poate fi redat doar în videoclip =) Înțelepciunea populară a venit cu legea lumească opusă pentru un motiv: „Măsurați de șapte ori, tăiați o dată”. Deși, de fapt, un lucru trist, timpul este unidirecțional și ireversibil, niciunul dintre noi nu va arăta mai tânăr mâine. Și diverse filme științifico-fantastice precum „Terminator” din punct de vedere științific sunt o prostie totală. Este absurd și din punctul de vedere al filosofiei – când Consecința, revenind în trecut, își poate distruge propria Cauză. .
Mai interesant cu derivata cu privire la „z”, deși, este încă aproape la fel:
(1) Scoatem constantele din semnul derivatei.
(2) Aici din nou produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde din variabila „live” „z”. În principiu, puteți folosi formula pentru derivata unui coeficient, dar este mai ușor să mergeți în altă direcție - să găsiți derivata produsului.
(3) O derivată este o derivată tabelară. Al doilea termen conține derivata deja familiară a unei funcții complexe.
Exemplul 9
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Gândiți-vă cum este mai rațional să găsiți una sau alta derivată parțială. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Înainte de a trece la exemplele finale ale lecției și luați în considerare derivate parțiale de ordinul doi funcții a trei variabile, voi încuraja încă o dată pe toată lumea cu a patra întrebare:
Este posibil să călătorești în viitor?
Răspuns corect: Știința nu o interzice.. Paradoxal, nu există nicio lege matematică, fizică, chimică sau de altă natură care să interzică călătoriile în viitor! Pare o prostie? Dar aproape toată lumea în viață a avut o premoniție (și nesusținută de niciun argument logic) că acesta sau altul se va întâmpla. Și s-a întâmplat! De unde au venit informatia? Din viitor? Astfel, filmele fantastice despre călătoriile în viitor și, apropo, predicțiile a tot felul de ghicitori, psihic nu pot fi numite astfel de prostii. Cel puțin, știința nu a respins acest lucru. Totul este posibil! Așa că, când eram la școală, CD-urile și monitoarele cu ecran plat din filme mi s-au părut o fantezie incredibilă.
Cunoscuta comedie „Ivan Vasilyevich își schimbă profesia” este pe jumătate ficțiune (maximum). Nicio lege științifică nu i-a interzis lui Ivan cel Groaznic să fie în viitor, dar este imposibil ca doi ardei să fie în trecut și să îndeplinească îndatoririle unui rege.
Este absolut imposibil să rezolvi probleme fizice sau exemple în matematică fără cunoștințe despre derivată și metode de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?
Sensul geometric și fizic al derivatului
Să existe o funcție f(x) , dat într-un anumit interval (a,b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența valorilor sale x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. Modificarea sau creșterea unei funcții este diferența dintre valorile funcției în două puncte. Definiție derivată:
Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.
Altfel se poate scrie asa:
Ce rost are să găsești o astfel de limită? Dar care:
derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.
sens fizic derivat: derivata în timp a traseului este egală cu viteza mișcării rectilinie.
Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x=f(t) si timpul t . viteza medie pentru o anumită perioadă de timp:
Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:
Prima regulă: scoateți constanta
Constanta poate fi scoasă din semnul derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .
Exemplu. Să calculăm derivata:
Regula a doua: derivata sumei functiilor
Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.
Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.
Aflați derivata unei funcții:
Regula trei: derivata produsului de funcții
Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:
Exemplu: găsiți derivata unei funcții:
Soluţie: 
Aici este important de spus despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.
În exemplul de mai sus, întâlnim expresia:
În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, luăm în considerare mai întâi derivata funcției externe față de argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar însuși față de variabila independentă.
Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții
Formula pentru determinarea derivatei unui cât de două funcții:
Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.
Cu orice întrebare pe acest subiect și alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil control și să vă ocupați de sarcini, chiar dacă nu v-ați mai ocupat niciodată de calculul derivatelor.