Funcția de corelație încrucișată(VKF) este o estimare a proprietăților de corelație între două procese aleatoare și , reprezentată prin observații de teren pe două profile, pe două urme etc.

VKF se calculează cu formula:

(4.7)

Unde n este numărul de puncte din fiecare implementare, adică pentru fiecare profil, traseu etc.

Și - valorile medii ale datelor observate pentru aceste profiluri, urme.

Când valorile medii sunt egale cu zero: formula (4.7) se simplifică

(4.8)

La m=0, valoarea CCF este egală cu produsul valorilor câmpului pentru discretele de observație cu același nume de-a lungul profilelor, urmelor etc.

La , valoarea VKF este egală cu produsul valorilor câmpului deplasat cu un eșantion. În acest caz, vom presupune că deplasarea cu un discret la stânga profilului următor, i.e. , raportat la precedentul, i.e. , corespunde unei părtiniri pozitive, i.e. , iar deplasarea la dreapta corespunde valorii lui .

Întrucât at și at se înmulțesc sensuri diferite câmp, spre deosebire de calculul ACF, atunci VKF nu este o funcție uniformă, adică .

La , valoarea VKF este egală cu produsul valorilor câmpului deja deplasate cu două discrete și așa mai departe.

În practică, CCF normalizat este adesea folosit, definit ca (4.8)

unde și sunt abateri standard ale valorilor câmpului pentru primul și al doilea profil de urmărire.

VKF și-a găsit aplicație în rezolvarea a trei probleme principale de prelucrare a datelor geofizice:

1) Evaluarea proprietăților de corelare ale semnalului în condiția interferenței necorelate între profile, trasee și o ușoară modificare a formei semnalului de la profil la profil (de la cale la cale), care se realizează de obicei în practică, deoarece distanța dintre profile este aleasă astfel încât semnalele să fie corelate între profile, iar interferența, dimpotrivă, ar fi necorelată. În studiile seismice, distanțele geofonelor sunt alese astfel încât undele de zgomot necorelate să nu fie corelate între urmele adiacente. În acest caz, VKF va fi egal cu

acestea. dacă formele de undă coincid, ultima sumă va fi egală cu ACF-ul semnalului.

Prin urmare, CCF estimează mai fiabil proprietățile de corelare ale semnalului în comparație cu ACF.

2) Estimarea loviturii semnalului de la extremele pozitive ale CCF. Extremele VKF pozitive indică prezența unei corelații de semnal între profile, urme, deoarece valoarea argumentului, la care se atinge extremul VKF, corespunde deplasării semnalului pe următorul profil față de poziția acestuia pe cel precedent. Astfel, deplasarea semnalului de la profil la profil este determinată de mărimea extremelor pozitive ale CCF, ceea ce conduce la o estimare a impactului semnalului.

În cazul semnalelor (anomaliilor) diferitelor lovituri, VKF are două sau mai multe extreme pozitive.

Figura 4.2,a prezintă rezultatele observațiilor câmpului fizic pe cinci profiluri și graficele VCF corespunzătoare acestor observații, conform cărora se determină lovitura semnalelor, corespunzătoare deplasării lor cu două discrete de la profil la profil.

În cazul interferenței a două semnale, așa cum se arată în Fig. 4.2, b, două extreme pozitive sunt fixate la și , ceea ce, în plus, la însumarea datelor pe mai multe profiluri în direcția de lovire a semnalului, face posibilă separarea clară. le peste zona de sondaj.

În cele din urmă, o schimbare bruscă a extremei CCF pentru orice pereche de profile în comparație cu extremele perechilor adiacente de profile permite utilizarea CCF pentru a evidenția încălcările în distribuția câmpului, așa cum se arată în Fig. 4.2,c. Defectele cu o lovitură apropiată de lovitura profilurilor de sondaj geofizic sunt de obicei mapate pe baza unei astfel de schimbări a extremei VKF.

La prelucrarea înregistrărilor seismice, construcția CCF între datele urmelor adiacente oferă o estimare a corecțiilor totale statice și cinematice, determinate de abscisa extremului pozitiv al CCF. Cu cunoștințe de cinematică, i.e. caracteristicile de viteză ale secțiunii de timp, nu este dificil să se determine valoarea corecției statice.

Proprietățile funcțiilor de autocorelare

Funcțiile de autocorelare joacă un rol important în reprezentarea proceselor aleatoare și în analiza sistemelor care funcționează cu semnale aleatorii de intrare. Prin urmare, prezentăm câteva proprietăți ale funcțiilor de autocorelare ale proceselor staționare.

1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).

2. R x (t) = R x (-t). Funcția de autocorelare este o funcție pară. Această proprietate de simetrie a graficului unei funcții este extrem de utilă atunci când se calculează funcția de autocorelare, deoarece înseamnă că calculele pot fi făcute numai pentru t pozitiv, iar t negativ poate fi determinat folosind proprietatea de simetrie.

3.½Rx(t)½£ Rx(0). Cea mai mare valoare funcția de autocorelare, de regulă, ia la t = 0.

Exemplu. Într-un proces aleatoriu X(t) = A Coswt, unde A este o variabilă aleatoare cu caracteristicile: M(A) = 0, D(A) = s 2 , găsiți M(X), D(X) și R x (t1,t2).

Decizie. Sa gasim valorea estimatași varianța procesului aleator:

M(X) = M(A Coswt) = Coswt × M(A) = 0,

D (X) \u003d M ((A Coswt-0) 2) \u003d M (A 2) Cos 2 wt \u003d s 2 Cos 2 wt.

Acum să găsim funcția de autocorelare

R x (t 1,t 2) \u003d M (A Coswt 1 × A Coswt 2) \u003d

M(A 2) Coswt 1 × Coswt 2 = s 2 Coswt 1 × Coswt 2 .

Semnalele aleatoare de intrare X(t) și de ieșire Y(t) ale sistemului pot fi considerate ca un proces aleator vectorial bidimensional.Să introducem caracteristicile numerice ale acestui proces.

Așteptările și varianța matematică a unui proces aleator vectorial este definită ca așteptarea și varianța matematică a componentelor sale:

Introducem funcția de corelare a procesului vectorial folosind o matrice de ordinul doi:

unde R xy (t 1 , t 2) este funcția de corelație încrucișată a proceselor aleatoare X(t) și Y(t), definită după cum urmează

Din definiţia funcţiei de corelaţie încrucişată rezultă că

R xy (t 1, t 2) \u003d R yx (t 2, t 1).

Funcția de corelație încrucișată normalizată a două procese aleatoare X(t), Y(t) este funcția

Definiție. Dacă funcția de corelație reciprocă a proceselor aleatoare X(t) și Y(t) este egală cu zero:

atunci procesele aleatoare se numesc necorelate.

Pentru suma proceselor aleatoare X(t) și Y(t), funcția de autocorelare este egală cu

R x + y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R xy (t 1 ,t 2) + R yx (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2) ).

Pentru procesele aleatoare necorelate X(t) și Y(t), funcția de autocorelare a sumei proceselor aleatoare este egală cu suma funcțiilor de autocorelare

R x+y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2),

și, prin urmare, varianța sumei proceselor aleatoare este egală cu suma varianțelor:

D x + y (t) = D x (t) + D y (t).

Dacă unde X 1 (t), ..., X n (t) sunt procese aleatoare necorelate, atunci

Când se efectuează diverse transformări cu procese aleatorii, este adesea convenabil să le scrieți într-o formă complexă.

Un proces aleator complex este un proces aleator al formei

Z(t) = X(t) + i Y(t),

unde X(t) , Y(t) sunt procese aleatoare reale.

Așteptările matematice, funcția de corelare și varianța unui proces aleator complex sunt definite după cum urmează:

M(Z) = M(X) + i M(Y),

unde semnul * denotă conjugarea complexă;

Exemplu. Fie un proces aleator , unde w este o valoare constantă, Aici A și j sunt variabile aleatoare independente și M(A) = m A , D(A) = s 2 , iar j este o variabilă aleatoare distribuită uniform pe intervalul . Determinați așteptarea matematică, funcția de corelare și varianța procesului aleator complex Z(t).

Decizie. Să găsim așteptările matematice:

Folosind distribuția uniformă a variabilei aleatoare j pe intervalul , avem

Funcția de autocorelare a procesului aleator Z(t) este

Prin urmare avem

D z (t 1) \u003d R z (t 1, t 1) \u003d s 2 + m A 2.

Din rezultatele obținute rezultă că procesul aleator Z(t) este staționar în sens larg.

Funcții de corelare reciprocă a semnalelor

Funcția de corelație încrucișată(CCF) a diferitelor semnale (funcția de corelație încrucișată, CCF) descrie atât gradul de similitudine a formei a două semnale, cât și aranjament reciproc unul față de celălalt de-a lungul coordonatei (variabilă independentă). Generalizând formula (6.1) a funcției de autocorelare la două semnale diferite s(t) și u(t), obținem următoarele produs scalar semnale:

B su (t) =s(t) u(t+t) dt. (6,14)

Corelarea reciprocă a semnalelor caracterizează o anumită corelare a fenomenelor şi procese fizice afișate de aceste semnale și poate servi ca măsură a „stabilității” acestei relații în cazul prelucrării separate a semnalelor în diferite dispozitive. Pentru semnalele cu energie finită, CCF este, de asemenea, finit, în timp ce:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

care rezultă din inegalitatea Cauci-Bunyakovsky și independența normelor de semnal de deplasarea coordonatelor.

La modificarea variabilei t = t-t în formula (6.2.1), obținem:

B su (t) \u003d s (t-t) u (t) dt \u003d u (t) s (t-t) dt \u003d B us (-t).

Acest lucru implică faptul că CCF nu satisface condiția de paritate, B su (t) ¹ B su (-t), iar valorile CCF nu trebuie să aibă un maxim la t = 0.

Acest lucru poate fi văzut clar în Fig. 6.6, unde sunt date două semnale identice cu centrele în punctele 0.5 și 1.5. Calculul prin formula (6.14) cu o creștere treptată a valorilor lui t înseamnă deplasări succesive ale semnalului s2(t) spre stânga de-a lungul axei timpului (pentru fiecare valoare a lui s1(t), valorile lui s2 (t+t) sunt luate pentru înmulțirea integranților). La t=0, semnalele sunt ortogonale iar valoarea lui B 12 (t)=0. Maximul B 12 (t) va fi observat atunci când semnalul s2(t) este deplasat spre stânga cu valoarea t=1, la care semnalele s1(t) și s2(t+t) sunt complet combinate.

Orez. 6.6. Semnale și VKF

Aceleași valori ale CCF conform formulelor (6.14) și (6.14") sunt observate la aceeași poziție reciprocă a semnalelor: atunci când semnalul u(t) în raport cu s(t) este deplasat spre dreapta de-a lungul axa ordonatelor și semnalul s(t) printr-un interval t) relativ la semnalul u(t) la stânga, adică B su (t) = B us (-t).

Pe fig. 6.7 prezintă exemple de CCF pentru un semnal dreptunghiular s(t) și două semnale triunghiulare identice u(t) și v(t). Toate semnalele au aceeași durată T, în timp ce semnalul v(t) este deplasat înainte cu intervalul T/2.

Orez. 6.7. Funcții de covarianță încrucișată ale semnalelor

Semnalele s(t) și u(t) sunt aceleași în ceea ce privește locația în timp și aria de „suprapunere” a semnalului este maximă la t=0, care este fixată de funcția B su . În același timp, funcția B su este puternic asimetrică, deoarece cu o formă asimetrică de semnal u(t) pentru o formă simetrică s(t) (față de centrul semnalelor), aria de „suprapunere” a semnalului se modifică diferit în funcție de pe sensul deplasării (semnul lui t cu valoarea t crescând de la zero). Când poziția inițială a semnalului u(t) este deplasată la stânga de-a lungul axei ordonatelor (înaintea semnalului s(t) - semnalul v(t)), forma VKF rămâne neschimbată și se deplasează la dreapta cu aceeași deplasare valoare - funcția B sv din Fig. 6.7. Dacă expresiile funcțiilor din (6.14) sunt schimbate, atunci noua funcție B vs va fi funcția oglindă B sv în raport cu t=0.

Luând în considerare aceste caracteristici, CCF total este calculat, de regulă, separat pentru întârzierile pozitive și negative:

B su (t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t)=u(t)s(t+t)dt. (6,14")

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Foloseste formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

postat pe http://www.allbest.ru/

postat pe http://www.allbest.ru/

funcția de corelare. Funcția de corelare reciprocă. Transformare liniară proces aleatoriu

1. Funcția de corelare

În studiul semnalelor aleatoare este utilizată pe scară largă teoria proceselor aleatorii, bazată pe utilizarea momentelor nu mai mari decât ordinul doi. Această teorie se numește teoria corelației.

Definiție. Funcția de corelație R x (t 1 ,t 2) a procesului aleator X(t) este momentul de corelație al procesului aleator centrat în două secțiuni t = t 1 și t = t 2:

Funcția de corelare are toate proprietățile momentului de corelație. Adesea, în loc de funcția de corelare, se consideră funcția de corelație normalizată x (t 1 ,t 2):

care este adimensional.

În cele ce urmează, vom lua în considerare doar procesele aleatorii centrate. Dacă procesul nu este centrat, atunci acest lucru va fi specificat în mod specific.

Funcția de corelare R x (t 1 ,t 2) a procesului aleator X(t) se mai numește și funcție de autocorelare.

Pentru procesele staționare (în sensul larg și îngust), funcția de autocorelare are forma

R x (t 1 ,t 2) = R x (0, t 2 - t 1) = R x () ,

unde = t 2 - t 1.

De asemenea, puteți defini funcția de autocorelare temporală după cum urmează

unde este implementarea unui proces aleator centrat X(t). Pentru procesele ergodice = R x ().

Mai jos este un grafic tipic al funcției de autocorelare

2. Proprietățile funcțiilor de autocorelare

Funcțiile de autocorelare joacă un rol important în reprezentarea proceselor aleatoare și în analiza sistemelor care funcționează cu semnale aleatorii de intrare. Prin urmare, prezentăm câteva proprietăți ale funcțiilor de autocorelare ale proceselor staționare.

1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).

2. R x () = R x (-). Funcția de autocorelare este o funcție pară. Această proprietate de simetrie a graficului unei funcții este extrem de utilă la calcularea funcției de autocorelare, deoarece înseamnă că calculele pot fi făcute doar pentru cele pozitive, iar pentru cele negative, acestea pot fi determinate folosind proprietatea de simetrie.

3.R x () R x (0). Cea mai mare valoare a funcției de autocorelare, de regulă, ia = 0.

Exemplu. Într-un proces aleatoriu X(t) = A Cost, unde A este o variabilă aleatoare cu caracteristicile: M(A) = 0, D(A) = 2, găsiți M(X), D(X) și R x ( t1, t2).

Decizie. Să găsim așteptările matematice și varianța procesului aleatoriu:

M(X) = M(A Cost) = Cost M(A) = 0,

D (X) \u003d M ((A Cost-0) 2) \u003d M (A 2) Cos 2 t \u003d 2 Cos 2 t.

Acum să găsim funcția de autocorelare

R x (t 1, t 2) \u003d M (A Cost 1 A Cost 2) \u003d

M(A 2) Cost 1 Cost 2 = 2 Cost 1 Cost 2 .

3. Funcția de corelație încrucișată

Semnalele aleatoare de intrare X(t) și de ieșire Y(t) ale sistemului pot fi considerate ca un proces aleator vectorial bidimensional.Să introducem caracteristicile numerice ale acestui proces.

Așteptările și varianța matematică a unui proces aleator vectorial este definită ca așteptarea și varianța matematică a componentelor sale:

Introducem funcția de corelare a procesului vectorial folosind o matrice de ordinul doi:

unde R xy (t 1 , t 2) este funcția de corelație încrucișată a proceselor aleatoare X(t) și Y(t), definită după cum urmează

Din definiţia funcţiei de corelaţie încrucişată rezultă că

R xy (t 1, t 2) \u003d R yx (t 2, t 1).

Funcția de corelație încrucișată normalizată a două procese aleatoare X(t), Y(t) este funcția

Definiție. Dacă funcția de corelație reciprocă a proceselor aleatoare X(t) și Y(t) este egală cu zero:

atunci procesele aleatoare se numesc necorelate.

Pentru suma proceselor aleatoare X(t) și Y(t), funcția de autocorelare este egală cu

R x + y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R xy (t 1 ,t 2) + R yx (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2) ).

Pentru procesele aleatoare necorelate X(t) și Y(t), funcția de autocorelare a sumei proceselor aleatoare este egală cu suma funcțiilor de autocorelare

R x+y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2),

și, prin urmare, varianța sumei proceselor aleatoare este egală cu suma varianțelor:

D x + y (t) = D x (t) + D y (t).

Dacă unde X 1 (t), ..., X n (t) sunt procese aleatoare necorelate, atunci

Când se efectuează diverse transformări cu procese aleatorii, este adesea convenabil să le scrieți într-o formă complexă.

Un proces aleator complex este un proces aleator al formei

Z(t) = X(t) + i Y(t),

unde X(t) , Y(t) sunt procese aleatoare reale.

Așteptările matematice, funcția de corelare și varianța unui proces aleator complex sunt definite după cum urmează:

M(Z) = M(X) + i M(Y),

unde semnul * denotă conjugarea complexă;

Exemplu. Fie un proces aleatoriu, unde este o valoare constantă, Aici A și sunt variabile aleatoare independente și M(A) \u003d m A , D(A) \u003d 2 și este o variabilă aleatoare distribuită uniform pe interval . Determinați așteptarea matematică, funcția de corelare și varianța procesului aleator complex Z(t).

Decizie. Să găsim așteptările matematice:

Folosind distribuția uniformă a unei variabile aleatoare pe intervalul , avem

Funcția de autocorelare a procesului aleator Z(t) este

Prin urmare avem

Dz (t1) = Rz (t1, t1) = 2 + mA2.

Din rezultatele obținute rezultă că procesul aleator Z(t) este staționar în sens larg.

4. Transformare liniarăproces aleatoriu

Când se rezolvă multe probleme practice ale ingineriei radio, este necesar să se determine caracteristicile unui proces aleatoriu la ieșirea unui sistem liniar. Sistemul liniar efectuează operații liniare asupra procesului aleator de intrare. Aceasta înseamnă că dacă un proces aleatoriu X(t) ajunge la intrarea sistemului, atunci la ieșire acest proces este transformat într-un proces aleatoriu.

Y(t) = A ,

unde A este un operator (transformare) cu următoarele proprietăți:

A [ 1 X 1 (t) + 2 X 2 (t)] = 1 A + 2 .

Aici sunt constantele.

Exemple de operatori liniari

Operator de înmulțire cu o funcție non-aleatoare f(t):

Y(t) = A = f(t)X(t).

Să definim așteptarea matematică și funcția de autocorelare a procesului aleator Y(t):

m y (t) = M(Y(t)) = M(f(t) X(t)) = f(t) M(X(t)),

Operator de diferențiere:

Reprezentând derivata ca limită

și aplicând operația de așteptare la părțile din dreapta și din stânga egalității, obținem

Operator de integrare:

Reprezentăm integrala ca o sumă integrală

și aplicați operația de așteptare la această egalitate. Atunci noi avem

Funcția de autocorelare a unui proces aleatoriu este ușor de determinat:

5. Transformată Fourier

Când se analizează diverse sisteme liniare Transformele Fourier și Laplace sunt utilizate pe scară largă, ceea ce face destul de ușor efectuarea calculelor necesare. Motivul principal al acestei simplificări este înlocuirea procedurii de convoluție utilizată în analiza sistemului în domeniul timpului cu operația obișnuită de înmulțire a caracteristicilor și funcțiilor de frecvență utilizate în analiza în domeniul frecvenței.

Să presupunem că avem un semnal (nealeatoriu, care este o funcție de timp) f(t), măsurat în volți. Apoi

Transformata Fourier a semnalului f(t) (uneori transformata Fourier este înțeleasă ca valoare conjugată F*()), care are o dimensiune și determină amplitudinile și fazele relative ale componentelor armonice neamortizate. Astfel, raportul de amplitudine în transformata Fourier caracterizează densitatea distribuției de frecvență a amplitudinilor și, prin urmare, determină distribuția energiei pe spectru. Spectrul oricărui proces oscilator este o funcție care descrie distribuția amplitudinilor armonicilor la frecvențe diferite. Spectrul arată ce fel de oscilații de frecvență predomină într-un proces dat și care este structura sa internă.

A fost dezvoltată o teorie pentru transformarea Fourier, a cărei esență este pe scurt după cum urmează.

Se introduce spațiul L 2 (-,) - spațiul funcțiilor însumabile pătrate, adică astfel de funcții pentru care

Dacă f(t) este un semnal, atunci această condiție înseamnă că puterea acestui semnal este finită.

bani gheata. Pentru fiecare funcție f L 2 (-,) există o limită a mediei funcției

la T și se notează această limită

unde F() L2 (-,). Există și o transformare inversă

Pentru două transformări Fourier

satisface egalitatea Parseval generalizată:

În special, obținem egalitatea obișnuită Parseval

6. Densitatea spectrală a unui proces aleator staționar

Aplicarea directă a transformării Fourier pentru implementarea procesului aleator x(t) nu este aplicabilă, deoarece această transformare nu există. Pentru a utiliza transformata Fourier în analiza unui proces aleator staționar (centrat), este necesar să se modifice implementarea procesului în așa fel încât transformata Fourier să existe pentru fiecare implementare. Un astfel de mod este introducerea unui proces trunchiat X T (t):

Acest proces trunchiat satisface cerința existenței unei transformări Fourier pentru orice implementare, deoarece

Această relație înseamnă că este satisfăcută pentru orice implementare a procesului aleator X T (t). Acum, pentru procesul trunchiat, putem introduce transformata Fourier, adică prin aceasta transformarea Fourier a oricăreia dintre implementările sale:

Scopul celor ce urmează este de a demonstra faptul că, în limita ca T, există, chiar dacă nu există, o transformată Fourier pentru o anumită realizare.

Primul pas al demonstrației este aplicarea egalității lui Parseval:

observa asta

(2)

Să facem acum o medie în timp a părții stângi a egalității (1) pentru a obține puterea medie a procesului aleator

Partea stângă a egalității rezultate este pătratul valorii efective a funcției X T (t). În plus, pentru un proces ergodic la T această valoare se apropie de valoarea pătratului mediu al procesului aleator M(X 2 (t)).

În relația (3) este imposibil să treci la limita la T, deoarece aceasta nu există.

Prin urmare, luăm mai întâi așteptările matematice ale părților din stânga și din dreapta ale acestei egalități

si rescrie-l, regizand T. Apoi

Pentru proces staționar

Prin urmare, obținem raportul

Valoare

se numește densitatea spectrală a procesului aleator. Subliniem că după efectuarea operației de mediere asupra mulțimii realizărilor (asupra ansamblului), este valabilă trecerea la limita la T. Dacă X(t) este o tensiune, atunci ([X] = B), S x () are dimensiunea ) în conformitate cu (4) determină pătratul mediu al acestei tensiuni, i.e.

O interpretare fizică mai vizuală a densității spectrale poate fi dată prin analiza puterii medii. Dacă X(t) este o tensiune sau un curent fluctuant care trece printr-un rezistor de 1 ohm, atunci M(X 2) este puterea medie disipată de acest rezistor.

Densitatea spectrală poate fi interpretată ca puterea medie concentrată într-o lățime de bandă de 1 Hz.

În consecință, densitatea spectrală este adesea denumită spectru de densitate de putere.

Din densitatea spectrală cu două fețe a unui proces aleatoriu, se poate trece la unul unilateral, unde de obicei apare frecvența f. În acest scop, scriem

iar în prima integrală facem o schimbare de variabilă setând = 2f, iar în a doua - = - 2f.

Deoarece, în virtutea relației (2), funcția S x () = S x (-), adică este o funcție pară, atunci

Reprezentăm integrala în această relație ca o sumă integrală

unde D k este varianța procesului aleator asupra armonicii k-a. De aici rezultă că G x (f) = D k /f k este dispersia (puterea) armonicii k-a raportată la banda de frecvență f k , adică densitatea spectrală a dispersiei (puterii) procesului aleator. .

Exemplu. Un proces aleator staționar are o densitate spectrală cu două fețe

Determinați puterea medie de proces disipată de un rezistor de 1 ohm în intervalul de la -4 la 4.

Decizie Putere medie procesul M(X 2 (t)) pentru intervalul specificat este:

funcția de autocorelare proces aleatoriu

În ingineria radio, conceptul de „zgomot alb” este adesea folosit. Prin „zgomot alb” se obișnuiește să se înțeleagă un proces aleator staționar, a cărui densitate spectrală este constantă la toate frecvențele. Termenul „zgomot alb” subliniază în mod figurat analogia cu lumina, în care, în intervalul de frecvență vizibil, intensitatea tuturor componentelor spectrale este aproximativ aceeași. Zgomotul alb este un model matematic al unui proces care nu există cu adevărat în natură, deoarece puterea sa este egală cu infinitul. Cu toate acestea, acesta este un model convenabil pentru descrierea proceselor aleatorii de bandă largă ale sistemelor, în a căror lățime de bandă spectrul poate fi considerat constant.

Prezentat pe Allbest

Documente similare

Construirea și învățarea model matematic proces ergodic staționar aleatoriu cu caracteristici probabilistice: așteptare și varianță. Construirea graficelor dinamicii modificărilor datelor empirice și histogramelor de distribuție pentru toate probele.

lucrare de termen, adăugată 18.03.2012


Dezavantajele transformării Fourier tradiționale. Fereastra, transformarea discretă, funcțiile ferestrei și tipurile acestora. Transformată wavelet continuă, wavelets mamă. Analiza multiscale si descompunerea semnalului in diferite baze ortonormale.

lucrare de termen, adăugată 23.10.2009


Procedura pentru calcularea unui proces aleator constant în sistemul de control. Linearizarea statistică a părții neliniare a sistemului. Calculul așteptărilor matematice, abaterea standard a semnalului de eroare. Rezolvarea ecuațiilor și construirea dependențelor.

test, adaugat 23.02.2012


Determinarea prețului inferior și superior al jocului, dat de matricea de plăți. Jocul are un punct de șa? Rezolvarea unei probleme geometrice de programare liniară. Construirea unui grafic de stare a unui proces aleator. Limitarea probabilităților pentru un sistem dat.

test, adaugat 02.04.2011


Gradul de etanșeitate și natura direcției relației dintre semne. Dependența de corelație liniară a perechilor, analiza corelației-regresie a acesteia. Studiul relației dintre un factor-semn și un rezultat-semn, scara lui Chaddock.

manual de instruire, adăugat 15.11.2010


Funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă „LA-SAU”. Alegerea frecvenței de tăiere pentru LAH-ul dorit și construcția acestuia. Sinteza unei legături corective. Calculul procesului tranzitoriu pentru un sistem de control automat închis, corectat și necorectat.

lucrare de termen, adăugată 12.10.2012


Heteroskedasticitatea unei perturbări aleatorii: cauze și consecințe principale. Teste pentru prezența sau absența heteroscedasticității. Testul de corelare a rangului lui Spearman. Testul Goldfed–Quandt. Testul Glaser. Caracteristicile cantitative ale vectorului perturbator.

rezumat, adăugat la 01.06.2015


Principiile și etapele construirii unui model autoregresiv, principalele sale avantaje. Spectrul procesului autoregresiv, formula pentru găsirea acestuia. Parametri care caracterizează estimarea spectrală a unui proces aleatoriu. Ecuație caracteristică modele autoregresive.

test, adaugat 11.10.2010


caracteristici generaleși procedura de determinare a coeficientului de corelație, metodologia și etapele de evaluare a acestuia. Descrierea funcțiilor de autocorelare. Esența criteriului Durbin-Watson. Exemple de calcule practice folosind macro-ul Excel „Funcția de autocorelare”.

lucrare de termen, adăugată 07.03.2010


Sisteme cu pozitiv și negativ părere. Proprietățile dinamice proprii ale sistemului. Semnal standard formă simplă. Funcția pas de unitate. Programul de tranziție. Valoarea constantei de timp. Păstrarea semnalelor utile.

Așteptările și varianța matematică sunt caracteristici importante ale unui proces aleatoriu, dar nu oferă o idee suficientă despre caracterul pe care îl vor avea implementările individuale ale unui proces aleatoriu. Acest lucru este evident din fig. 9.3, care arată implementarea a două procese aleatorii care sunt complet diferite în structura lor, deși au

aceleași valori ale așteptărilor matematice și ale varianței. Liniile întrerupte din fig. 9.3 arată valorile pentru procesele aleatorii.

Procesul prezentat în fig. 9.3, a, de la o secțiune la alta decurge relativ lin, iar procesul din fig. 9.3, b are o variabilitate puternică de la secțiune la secțiune.De aceea, relația statistică dintre secțiuni în primul caz este mai mare decât în ​​al doilea, dar aceasta nu poate fi stabilită nici prin așteptare matematică, nici prin dispersie.

Pentru a caracteriza într-o oarecare măsură structura internă a unui proces aleatoriu, adică pentru a lua în considerare relația dintre valorile unui proces aleatoriu în diferite momente de timp sau, cu alte cuvinte, pentru a ține cont de gradul de variabilitate a unui proces aleator, este necesar să se introducă conceptul de funcție de corelare (autocorelare) a unui proces aleator.

Funcția de corelare a unui proces aleatoriu se numește o funcție non-aleatoare a două argumente care, pentru fiecare pereche de valori alese arbitrar ale argumentelor (puncte în timp), este egală cu așteptarea matematică a produsului a două variabile aleatoare secțiunile corespunzătoare ale procesului aleatoriu:

unde este densitatea de probabilitate bidimensională; - proces aleator centrat; - așteptarea matematică (valoarea medie) a unui proces aleatoriu.

Diverse procese aleatorii, în funcție de modul în care caracteristicile lor statistice se schimbă în timp, sunt împărțite în staționare și nestaționare. Separați staționaritatea în sens restrâns și staționaritatea în sens larg.

Staționar în sens restrâns un proces aleatoriu este numit dacă funcțiile sale de distribuție n-dimensională și densitatea de probabilitate pentru oricare nu depind de deplasarea tuturor punctelor

De-a lungul axei timpului cu aceeași cantitate, adică

Aceasta înseamnă că două procese au aceleași proprietăți statistice pentru oricare, adică caracteristicile statistice ale unui proces aleator staționar sunt neschimbate în timp.

Un proces aleator staționar este un fel de analog al unui proces constant în sisteme deterministe. Orice proces tranzitoriu nu este staționar.

Staționar în sens larg se numește proces aleatoriu a cărui așteptare matematică este constantă:

iar funcția de corelare depinde de o singură variabilă - diferențele argumentelor, în timp ce funcția de corelație este notă

Procesele care sunt staţionare în sens restrâns sunt în mod necesar staţionare în sens larg; cu toate acestea, inversul nu este adevărat în general.

Conceptul de proces aleator, staționar în sens larg, este introdus atunci când doar așteptarea matematică și funcția de corelare sunt folosite ca caracteristici statistice ale unui proces aleator. Partea din teoria proceselor aleatoare care descrie proprietățile unui proces aleator prin așteptarea sa matematică și funcția de corelare se numește teoria corelației.

Pentru un proces aleatoriu cu legea normală distribuțiile, media și funcția de corelație determină complet densitatea sa de probabilitate n-dimensională.

Prin urmare, pentru procesele aleatoare normale, conceptele de staționaritate în sensul larg și îngust coincid.

Teoria proceselor staționare a fost dezvoltată cel mai pe deplin și face relativ ușor efectuarea de calcule pentru multe cazuri practice. Prin urmare, uneori este recomandabil să se facă ipoteza staționarității și pentru acele cazuri în care procesul aleatoriu, deși non-staționar, nu are timp să modifice caracteristicile statistice ale semnalelor în intervalul de timp considerat al funcționării sistemului. În cele ce urmează, dacă nu se specifică altfel, vom lua în considerare procesele aleatorii care sunt staționare în sens larg.

Când studiem procese aleatoare care sunt staționare în sens larg, ne putem limita la a lua în considerare numai procesele cu o așteptare matematică (valoare medie) egală cu zero, adică, deoarece un proces aleatoriu cu o așteptare matematică diferită de zero este reprezentat ca sumă. a unui proces cu așteptare matematică zero și o valoare constantă (regulată) non-aleatorie egală cu așteptarea acestui proces (vezi § 9.6 de mai jos).

Pentru expresia funcției de corelare

În teoria proceselor aleatorii, sunt utilizate două concepte de valori medii. Primul concept al valorii medii este valoarea medie peste mulțime (sau așteptarea matematică), care este determinată pe baza observației asupra setului de realizare în același timp a proceselor aleatorii. Valoarea medie peste mulțime este de obicei indicată printr-o linie ondulată deasupra expresiei care descrie funcția aleatoare:

În general, valoarea medie a setului este o funcție de timp

O altă noțiune a mediei este media temporală, care este determinată prin observarea unei anumite implementări a unui proces aleatoriu în timp.

un timp suficient de lung T. Valoarea medie în timp este indicată printr-o linie dreaptă deasupra expresiei corespunzătoare functie aleatorieși determinată de formula:

dacă această limită există.

Valoarea medie în timp este în general diferită pentru implementările individuale ale setului care determină procesul aleatoriu. În general, pentru același proces aleatoriu, media stabilită și media de timp sunt diferite. Cu toate acestea, există o clasă de procese aleatoare staționare, numite ergodice, pentru care media peste mulțime este egală cu media în timp, i.e.

Funcția de corelație a unui proces aleator staționar ergodic scade la infinit în modul pt

Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că nu orice proces aleator staționar este ergodic, de exemplu, un proces aleatoriu, a cărui implementare este constantă în timp (Fig. 9.4), este staționar, dar nu ergodic. În acest caz, valorile medii determinate dintr-o implementare și ca urmare a procesării mai multor implementări nu se potrivesc. Unul și același proces aleatoriu în cazul general poate fi ergodic în raport cu unele caracteristici statistice și neergodic în raport cu altele. În cele ce urmează, vom presupune că condițiile de ergodicitate sunt îndeplinite cu privire la toate caracteristicile statistice.

Proprietatea ergodica are o foarte mare valoare practică. Pentru a determina proprietățile statistice ale unor obiecte, dacă este dificil să se efectueze observarea simultană a acestora la un moment în timp ales în mod arbitrar (de exemplu, dacă există un prototip), acesta poate fi înlocuit cu observarea pe termen lung a unui obiect. . Cu alte cuvinte, o implementare separată a aleatoriei ergodice

proces pe un interval de timp infinit determină complet întregul proces aleatoriu cu realizările sale infinite. Strict vorbind, acest fapt stă la baza metodei descrise mai jos pentru determinarea experimentală a funcției de corelare a unui proces aleator staționar dintr-o implementare.

După cum se poate observa din (9.25), funcția de corelație este valoarea medie peste mulțime. Pentru procesele aleatoare ergodice, funcția de corelare poate fi definită ca media de timp a produsului, adică.

unde - orice implementare a unui proces aleatoriu; x este valoarea medie în timp, determinată de (9.28).

Dacă valoarea medie a procesului aleator este zero atunci

Pe baza proprietății ergodicității, se poate varia [vezi. (9.19)] să fie definită ca media în timp a pătratului procesului aleator centrat, i.e.

Comparând expresiile (9.30) și (9.32) la , se poate stabili o legătură foarte importantă între varianță și funcția de corelare - varianța unui proces aleator staționar este egală cu valoarea inițială a funcției de corelare:

Din (9.33) se poate observa că varianța unui proces aleator staționar este constantă și, prin urmare, abaterea standard este, de asemenea, constantă:

Proprietățile statistice ale conexiunii a două procese aleatoare pot fi caracterizate printr-o funcție de corelație încrucișată care pentru fiecare pereche de valori ale argumentelor alese în mod arbitrar este egală cu

Pentru procesele aleatoare ergodice, în loc de (9.35) putem scrie

unde sunt realizările de procese aleatorii staționare, respectiv.

Funcția de corelație reciprocă caracterizează legătura statistică reciprocă a două procese aleatorii în momente diferite de timp, separate între ele printr-un interval de timp. Valoarea caracterizează această relație în același moment în timp.

Din (9.36) rezultă că

Dacă procesele aleatoare nu sunt legate statistic unele de altele și au valori medii egale cu zero, atunci funcția lor de corelație reciprocă pentru toate este egală cu zero. Cu toate acestea, concluzia inversă că, dacă funcția de corelare reciprocă este egală cu zero, atunci procesele sunt independente, se poate face numai în cazuri individuale (în special, pentru procesele cu o lege de distribuție normală), în timp ce legea inversă nu are forță generală. .

Rețineți că funcțiile de corelare pot fi calculate și pentru funcții de timp non-aleatoare (regulate). Cu toate acestea, atunci când se vorbește despre funcția de corelare a unei funcții obișnuite, atunci acesta este pur și simplu rezultatul unui formal

aplicarea la functia regulata a operatiei exprimata prin integrala:

Să prezentăm câteva proprietăți de bază ale funcțiilor de corelație

1. Valoarea inițială a funcției de corelare [vezi. (9.33)] este egală cu varianța procesului aleator:

2. Valoarea funcției de corelare pentru oricare nu poate depăși valoarea sa inițială, adică.

Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare inegalitatea evidentă pe care o implică

Găsim valorile medii în timp din ambele părți ale ultimei inegalități:

Astfel, obținem inegalitatea

3. Funcția de corelare este o funcție pară, adică.

Aceasta rezultă din însăși definiția funcției de corelare. Într-adevăr,

prin urmare, pe grafic, funcția de corelație este întotdeauna simetrică față de axa y.

4. Funcția de corelare a sumei proceselor aleatoare este determinată de expresie

unde sunt funcţiile de corelare reciprocă

Într-adevăr,

5. Funcția de corelare a unei valori constante este egală cu pătratul acestei valori constante (Fig. 9.5, a), ceea ce rezultă din însăși definiția funcției de corelație:

6. Funcția de corelație a unei funcții periodice, de exemplu, este o undă cosinus (Fig. 9-5, 5), adică.

având aceeaşi frecvenţă cu cea independentă de defazarea

Pentru a demonstra acest lucru, observăm că atunci când găsim funcțiile de corelație ale funcțiilor periodice, putem folosi următoarea egalitate:

unde este perioada funcției

Ultima egalitate se obține după înlocuirea integralei cu limite de la -T la T la T cu suma integralelor individuale cu limite de la până la , unde și folosind periodicitatea integranților.

Apoi, având în vedere cele de mai sus, obținem

7. Funcția de corelare a funcției timp, extinsă într-o serie Fourier:

Orez. 9.5 (vezi scanare)

are următoarea formă pe baza celor de mai sus:

8. O funcție de corelație tipică a unui proces aleator staționar are forma prezentată în fig. 9.6. Poate fi aproximat prin următoarea expresie analitică:

Odată cu creșterea, legătura dintre slăbește și funcția de corelare devine mai mică. Pe fig. 9.5, b, c, de exemplu, sunt prezentate două funcții de corelare și două implementări corespunzătoare ale unui proces aleatoriu. Este ușor de observat că funcția de corelare corespunzătoare unui proces aleatoriu cu mai mult structură fină, scade mai repede Cu alte cuvinte, cu cât frecvențele prezente într-un proces aleatoriu sunt mai mari, cu atât mai repede scade funcția de corelație corespunzătoare.

Uneori există funcții de corelație care pot fi aproximate prin expresia analitică

unde este dispersia; - parametru de atenuare; - frecvența de rezonanță.

Funcțiile de corelație de acest tip au, de exemplu, procese aleatorii precum turbulența atmosferică, estomparea semnalului radar, pâlpâirea unghiulară a țintei etc. Expresiile (9.45) și (9.46) sunt adesea folosite pentru a aproxima funcțiile de corelație obținute ca rezultat al prelucrării experimentale a datelor. .

9. Funcția de corelație a unui proces aleator staționar, pe care se suprapune o componentă periodică cu o frecvență, va conține și o componentă periodică de aceeași frecvență.

Această circumstanță poate fi folosită ca una dintre modalitățile de a detecta „periodicitatea ascunsă” în procesele aleatorii, care este posibil să nu fie detectată la prima vedere la înregistrările individuale ale implementării unui proces aleatoriu.

În Fig. 9.7, unde este indicată funcția de corelare corespunzătoare componentei aleatoare. Pentru a dezvălui componenta periodică latentă (o astfel de problemă apare, de exemplu, atunci când un semnal util mic este izolat pe fundalul unui zgomot mare), cel mai bine este să determinați funcția de corelare pentru valori mari atunci când semnalul aleatoriu este deja relativ slab corelat și componenta aleatorie are un efect redus asupra formei funcției de corelare.