Izv. universități „PND”, v. 15, nr. 1, 2007 UDC 517,9
ATRACTOR LORENTZ ÎN CURGE DE FORFECARE
A.M. Mukhamedov
În cadrul modelului propus anterior de dinamică haotică a unui mediu continuu, se obține o realizare a regimului tridimensional al fluctuațiilor vitezei curgerii corespunzător unui atractor de tip Lorentz. Soluția este un ansamblu de structuri care determină geometria colectorului stratificat redus la cazul tridimensional, format prin pulsații ale vitezelor medii de curgere. Dinamica atractorului Lorentz în sine se manifestă sub forma unei dependențe de timp a fluctuațiilor de viteză de-a lungul liniilor de curgere ale fluxului mediu.
După cum se știe, unul dintre exemplele clasice de haos determinist, atractorul Lorentz, descoperit ca urmare a cercetărilor hidrodinamice aplicate, nu a fost încă reprodus în mod adecvat în formalismul mecanicii turbulente existente. În lucrările autorului s-a exprimat o ipoteză că soluția hidrodinamică clasică a acestei probleme nu poate fi obținută în principiu și s-a propus o justificare pentru o astfel de concluzie. Sa bazat pe înțelegerea faptului că modelele atractoare ale dinamicii haotice afectează nivelul mezoscopic al mișcării unui mediu continuu și că acest nivel nu este reprezentat în ecuațiile clasice Navier-Stokes. Aceasta a condus la propunerea de a extinde opțiunile de rezolvare a problemei atractorului Lorentz prin includerea explicită a mezostructurilor suplimentare în formalismul matematic al hidrodinamicii, care duc aparatul acestei teorii dincolo de cadrul operațiilor clasice cu ecuațiile Navier-Stokes.
În prezent, regimurile atractoare ale dinamicii mediilor continue sunt construite în cadrul unor modele care sunt abstracții de amploare ale mișcării unui mediu continuu, aproape fără a utiliza conceptul de interacțiuni mecanice ale particulelor mediului între ele. . În unele cazuri, aceste abstracții reflectă proprietățile operatorilor de tip evolutiv care acționează într-o ierarhie de spații Hilbert imbricate. În alte cazuri, ele reflectă dinamica sistemelor cu dimensiuni finite care reproduc schimbări în stările mediului, dar în acest caz, fiecare dintre stări este de fapt reprezentată doar de un punct al varietății de fază corespunzătoare. O astfel de modelare nu corespunde scopului aplicat al hidromecanicii, care necesită reproducerea tuturor structurilor esențiale în mod direct, adică în spațiul ocupat de un mediu continuu. Dacă luăm în considerare argumentele datelor teoretice și experimentale în favoarea
existența unei astfel de reprezentări, atunci reproducerea atractorilor în contextul dinamicii caracteristicilor spațiu-timp ale mediului pare să fie o nevoie urgentă.
În această lucrare, atractorul Lorentz este construit în cadrul dinamicii turbulente propuse în model. Conform acestui model, spațiile de fază ale regimurilor turbulente sunt stratificări ale jeturilor de fluctuații ale cantităților hidrodinamice. Se presupune că geometria fasciculelor fluctuante este a priori arbitrară, determinată de trăsăturile modelate ale regimurilor haotice corespunzătoare. Obiectul principal al modelării este o structură haotică, care este un complex de traiectorii instabile de mișcare a punctelor în mediu. Se presupune că fiecărui regim turbulent stabilit corespunde unei structuri haotice bine definite. În traiectoria unei structuri haotice, acestea au fost identificate cu setul de curbe integrale ale unei distribuții de tip Pfaff neintegrabile (non-holonomice) definite pe un mănunchi de fluctuații ale variabilelor dinamice.
trăsătură caracteristică Modelul propus este modul lui Lagrange de a descrie mișcarea unui mediu, care, în cazul general, nu se reduce la o descriere a mișcării în variabilele lui Euler. În același timp, s-a dovedit că descrierea lui Lagrange este adaptată admirabil pentru a reflecta dinamica sistemelor cu atractori ciudați. În loc de restricțiile rigide ale paradigmei Euler, descrierea lui Lagrange impune condiții mult mai relaxate care servesc la definirea obiectelor geometrice ale distribuțiilor nonholonomice corespunzătoare. O astfel de schimbare în accentul modelării face posibilă reproducerea diverșilor atractori în dinamica fasciculelor de particule în medii continuu.
1. Să stabilim ecuațiile pentru dinamica pulsațiilor regimului trimodal
(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)
unde xk și yz formează mulțimile de coordonate spațiale și dinamice ale stratificării pulsațiilor, iar obiectele mkk(x, yt)(xk și Ar(x, yt)M determină natura interacțiunilor intermodale ale regimului.Aceste obiecte iar ecuația (1) însăși poate fi considerată drept reguli de formare a derivatelor coordonatelor dinamice în raport cu coordonatele spațiale și timp, determinate de evoluția turbulentă reală. sens geometric dintre aceste obiecte este că în mănunchiul de pulsații definesc un obiect de conexiune internă și, respectiv, un câmp vectorial vertical.
Să presupunem că coordonatele dinamice introduse mai sus au semnificația unor fluctuații ale vitezei de curgere a mediului, adică viteza reală a mediului poate fi extinsă în câmpul de viteză al debitului mediu și fluctuații conform formulei
u (x, y) = u0 (x) + y. (2)
Vom lua ecuațiile de echilibru de masă și impuls sub forma ecuației standard de continuitate și a ecuației Navier-Stokes
Chr + udi. (4)
Acest sistem ecuațiile nu este încă completă, deoarece ecuația (4) include presiunea, care este o variabilă termodinamică, a cărei dinamică, în cazul general, depășește sfera cinematicii. Pentru a descrie fluctuațiile de presiune, sunt necesare noi coordonate dinamice, ceea ce crește numărul de grade de libertate necesare pentru a descrie regimul de mișcare turbulent corespunzător. Introducem o nouă variabilă dinamică care are sensul fluctuațiilor de presiune, adică luăm
p(x,y)= po(x) + y4. (cinci)
Astfel, setul inițial de coordonate dinamice necesare pentru afișarea mișcării unui mediu continuu este de patru dimensiuni.
Posibilitatea reducerii la un sistem tridimensional cu dinamică similară cu dinamica sistemului Lorentz constă în faptul că presiunea intră în ecuația (4) sub forma unui gradient. De aici rezultă că reducerea la dinamica tridimensională a fluctuațiilor vitezei poate fi efectuată dacă gradientul de presiune care intră în ecuația (4) conține doar primele trei coordonate dinamice. Pentru a face acest lucru, este suficient să ceri ca în ecuațiile de dinamică pentru a patra coordonată
dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)
coeficienții formelor de conexiune w4(x,yj)dxk au depins doar de primele trei coordonate dinamice. Rețineți că regimul tridimensional se poate dovedi instabil din punctul de vedere al unei descrieri mai complete, care include luarea în considerare a tuturor gradelor de libertate excitate. Cu toate acestea, ne vom restrânge la modelarea tocmai a acestei dinamici posibile a priori.
Să considerăm condițiile impuse de ecuațiile de echilibru (3), (4) asupra expresiilor pentru mărimile necunoscute wk(x,yj)dxk și Ai(x,yj)dt incluse în ecuația dinamică (1). Pentru a face acest lucru, înlocuim (2) și (5) în (3) și (4) și folosim ecuațiile (1) și (6). Pentru a simplifica expresiile rezultate, presupunem că coordonatele spațiale xk sunt carteziene. În acest caz, nu puteți face distincția între superscripte și subindice, ridicându-le și coborându-le după cum este necesar pentru a scrie expresii covariante. Apoi obținem următoarele ecuații pentru coeficienții ecuației (1)
dkuk - wj = 0, (7)
Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (8)
unde se introduce notatia Dj = dj - wk^y.
Pentru cele ce urmează, concretizăm formularea problemei. Vom lua în considerare un regim al cărui câmp de viteză medie descrie curgerea unei simple forfecare
uk = Ax3à\. (nouă)
În plus, facem presupuneri cu privire la geometria spațiului de pulsații fibroase. Presupunem că pachetul este conectat funcție liniarăîn coordonate dinamice, adică w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). În acest caz, din ecuația (8) rezultă imediat că al doilea obiect capătă o structură polinomială în coordonate dinamice. Și anume, câmpul vectorial vertical devine un polinom de ordinul doi în coordonate dinamice, i.e.
Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.
Astfel, funcțiile necunoscute care determină ecuația pentru dinamica pulsațiilor regimului în trei moduri luate în considerare sunt coeficienții waak(x), Ar0(x), Ark(x) și A3k(x), pentru care avem ecuațiile (3) și (4). Rețineți că ecuația (4) se reduce în esență la determinarea coeficienților verticalei câmp vectorial, în timp ce alegerea coeficienților de legătură este limitată doar de ecuația de continuitate (3). Această ecuație lasă un arbitrar considerabil în determinarea coeficienților de conectivitate, lăsând astfel amploarea modelării structurii spațiale a dinamicii fluctuațiilor în concordanță cu debitul mediu ales.
2. Luați în considerare posibilitatea obținerii unui atractor de tip Lorentz în această problemă. În acest scop, în primul rând, vom discuta despre extinderea valorilor reale ale vitezei în viteza medie iar ondulația este aproximativ medie.
Conform semnificației pulsațiilor, media lor în timp ar trebui să fie egală cu zero, adică.
(y)t - 0. (10)
În același timp, pulsațiile sunt definite ca abateri ale valorilor reale ale vitezei de la valoarea medie. Dacă se presupune că debitul mediu este dat, atunci circumstanța notă nu ne permite să alegem ca model ecuația haosului sistem arbitrar ecuații cu dinamică haotică. Pentru ca variabilele sistemului model de ecuații să fie considerate ca pulsații ale mărimilor hidromecanice reale, trebuie îndeplinite condițiile (10). Dacă (10) nu este satisfăcută, atunci aceasta înseamnă existența unei derive nesocotite în dinamica pulsației. În consecință, sistemul model adoptat se dovedește a fi inconsecvent fie cu factorii care acționează luați în considerare, fie cu structura debitului mediu admis.
Mai mult, ecuația (1) este, în cazul general, un sistem de tip Pfaff nu complet integrabil. Proprietatea de neintegrabilitate a acestei ecuații este fundamental importantă, corespunzătoare unei trăsături caracteristice mișcării turbulente. Și anume, în procesul de mișcare, orice formațiuni macroscopice mici turbulente, particule, molii, globule își pierd individualitatea. Această caracteristică este luată în considerare de neintegrabilitatea ecuației (1). În esență, (1) descrie un ansamblu de posibile traiectorii de mișcare ale punctelor unui continuum format dintr-un mediu continuu. Aceste traiectorii sunt definite în pachetul de fluctuații. Proiecțiile lor asupra spațiului ocupat de un mediu continuu determină dinamica dezvoltării fluctuațiilor de-a lungul curbelor spațiale corespunzătoare. Rețineți că acesta din urmă poate fi ales în mod arbitrar, determinând posibilitatea luării în considerare a dinamicii fluctuațiilor de-a lungul oricărei curbe spațiale.
Să luăm în considerare, pentru certitudine, dinamica fluctuațiilor de-a lungul liniilor de curgere ale fluxului mediu. Atunci avem următoarele ecuații dinamice:
xr = u0, (11)
y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)
Înainte de a lua în considerare acest sistem, îl transformăm în variabile adimensionale. Pentru a face acest lucru, în ecuația inițială (4), în loc de coeficientul de vâscozitate, introducem
numărul Reynolds. Apoi eliminați dependența explicită de acest număr prin înlocuire
<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)
Omitând liniuța de subliniere peste variabile, din (12) obținem
y \u003d DiO - și! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)
Să analizăm (13). Rețineți că modelul utilizat presupune o turbulență dezvoltată, adică numărul Reynolds ar trebui considerat suficient de mare. Apoi, dacă mărimile adimensionale au valori de ordinul unității, atunci mărimile dimensionale reale în conformitate cu (13) vor indica scara manifestării dinamicii. În special, din (13) rezultă că scările spațiale se dovedesc a fi mici. Astfel, modelul utilizat trebuie considerat, în primul rând, ca model al proceselor de amestecare turbulente la nivelul mezoscopic de rezoluție a unui mediu continuu.
Să trecem acum la analiza (11) și (12). Este ușor de observat că pentru debitul mediu ales, ecuația (11) are integrale simple. Ecuațiile curente medii corespunzătoare sunt linii drepte paralele cu axa de coordonate x1. Eliminând coordonatele spațiale, din (12) obținem în cazul general un sistem de ecuații diferențiale neautonome. În acest caz, dacă coeficienții de conectivitate și gradientul de presiune nu depind de coordonata x1, atunci sistemul (14) devine autonom, conținând coordonatele spațiale rămase x2 și x3 ca parametri. În acest caz, se deschide o cale reală pentru modelarea directă a dinamicii pulsațiilor cvasi-staționare neomogene spațial. Un exemplu de astfel de simulare va fi dat mai jos.
În încheierea acestui paragraf, observăm că apariția unei distribuții nonholomice dată de sistemul Pfaff (1), (6) este o consecință a presupunerii că în starea de turbulență puternică constantă, clasa posibilelor traiectorii de mișcare ale particulele mediului este o formațiune stabilă. O condiție necesară pentru această nouă stabilitate este cerința pentru instabilitatea traiectoriilor de mișcare a punctelor, care, la rândul său, implică valori mari ale numărului Reynolds. O încercare de a extinde abordarea la valori mici ale numărului Re este nefondată.
3. Să ne întoarcem la construcția unui exemplu în care fluctuațiile vitezei de-a lungul traiectoriilor debitului mediu sunt descrise de un sistem canonic de tip Lorentz. Pentru simplitate, vom presupune că toți coeficienții de conexiune sunt constanți. În acest caz, obținem o dinamică care este omogenă spațial de-a lungul liniilor de curgere ale fluxului mediu, dar, cu toate acestea, de-a lungul liniilor arbitrare nu este omogenă spațial. Vom numi această ipoteză aproximarea cvasi-omogenă.
Sarcina noastră este să dăm ecuației (14) forma sistemului canonic Lorentz. Primul obstacol vizibil în acest sens este incertitudinea identificării coordonatelor dinamice și a variabilelor corespunzătoare
din sistemul canonic. Presupunând că diverse tipuri de mecanisme de interacțiuni intermodale vor face posibilă simularea oricăreia dintre aceste identificări, vom alege următoarea opțiune. Fie structura ecuației (14) să aibă următoarea formă:
y1 = a(-y1 + y2), (15)
y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)
y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)
unde termenul obișnuit este în mod explicit identificat, care, în conformitate cu cele spuse în secțiunea 2, trebuie exclus din expresia pentru pulsații.
x \u003d o (-x + y), y \u003d rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (optsprezece)
Pentru aceasta, presupunem că există medii de timp pentru variabilele sistemului (18). Pe baza invarianței acestui sistem față de transformări
x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)
este firesc să ne așteptăm ca mediile pentru primele două variabile să fie zero. Apoi înlocuirea
x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)
în (18) dă sistemul de ecuații (15) - (17).
În acest sens, observăm că pentru diferite valori ale parametrilor sistemului Lorentz sunt posibile soluții atât cu valori medii zero, cât și non-nule ale primelor două variabile. Având în vedere acest lucru, ne limităm examinarea ulterioară la prima dintre aceste posibilități. În plus, observăm că substituția (20) poate fi efectuată și în cazul în care termenul din a treia expresie (20) nu are semnificația mediei timpului. În acest caz, poate fi necesară o nouă definiție a procedurii de mediere pentru interpretarea ulterioară. În cazul general, o definiție adecvată va necesita o rafinare a scărilor de timp ale fenomenelor luate în considerare. Este clar că astfel de redefiniri vor necesita o analiză mai detaliată atât a datelor inițiale, cât și a variațiilor parametrilor sistemului. Efectul binecunoscut al interacțiunii atractorilor haotici arată cum pot apărea ambiguități în determinarea mediilor pentru variații mici ale parametrilor de mișcare.
Să revenim la considerația noastră. Comparând coeficienții sistemului (15) -(17) și (14), obținem
(DiO - u£dki0 - c/ro) =
(-3]u0 + - dkyu] + u^) =
V -U (g)) (-o
g - (g) -1 0 V 0 0 -y
În plus, din (7) avem
dk u0 = 0, 0.
Luați în considerare (21) și (24). Înlocuind expresia (9), este ușor de observat că (24) este îndeplinită identic, iar (21) se reduce doar la determinarea gradientului mediu de presiune. În acest caz, gradientul se dovedește a fi perpendicular pe viteza medie a curgerii, ceea ce este o consecință a identificării alese a variabilelor sistemului canonic Lorentz și a componentelor de fluctuație a vitezei.
Să ne întoarcem la ecuațiile (23) și (25). Din (23) obținem expresii cu o singură valoare pentru componentele simetrizate în indice ale obiectului conexiune. Partea antisimetrică este determinată din (25) cu oarecare arbitrar. Rezolvarea generală a acestor ecuații este dată de următoarea expresie:
/ ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \
eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)
Să ne întoarcem la ecuația rămasă (22). Această ecuație matriceală este un sistem de 9 ecuații algebrice pătratice
b2 - c(p + /) +
ae - bp + Yur \u003d r - (r),
eb - a/ + o43 = 0,
ae - bp + b + 1021 = o,
C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,
Ec + ab + u43 = 0,
A/ + eb + a - A + u31 = 0,
Ec + ab + u42 = 0,
Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.
Necunoscutele din acesta sunt 6 coeficienți de conectivitate (26), 9 componente ale tensorului de presiune, 1 coeficient care determină valoarea vitezei medii și 3 parametri ai sistemului Lorentz. De aici rezultă că soluția acestui sistem este determinată cu un arbitrar parametric considerabil. În regimul tridimensional luat în considerare, tensorul gradientului de presiune ω > 4r este arbitrar, iar datorită concretizării sale, este posibilă simularea dinamicii dorite pentru orice alegere, prefixată, a coeficienților de conectivitate. Pentru regimurile multidimensionale, componentele tensorului de presiune sunt incluse într-un sistem mai complet de ecuații care ia în considerare dinamica tuturor gradelor de libertate excitate. În acest caz, tensorul de presiune nu mai poate fi arbitrar. În acest sens, este interesant de luat în considerare diferite opțiuni particulare pentru determinarea tensorului de presiune, presupunând că ipotezele rezonabile din punct de vedere fizic ar trebui să-și găsească reprezentările în ecuații mai complete care țin cont de dinamica multidimensională. Vom presupune că tensorul gradientului de presiune este diagonal cu o componentă zero corespunzătoare coordonatei y2. În acest caz, (22) are următoarea soluție analitică exactă:
o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)
K - a t Ka, K - a AK
a = A, b = a - K, c = - - .1, p = -, f = - K, e = - - -. (28)
Luați în considerare soluția rezultată (27), (28). Mărimile A, r, a, y, care determină magnitudinea gradientului de viteză medie a curentului, și trei parametri ai sistemului model Lorentz au rămas arbitrari în acesta. Toate celelalte caracteristici de mișcare sunt exprimate ca funcții ale setului de mărimi de mai sus. Datorită alegerii anumitor valori ale acestor cantități, este posibil să se varieze dinamica fluctuațiilor și folosind formulele (26), (27) pentru a găsi valorile corespunzătoare ale componentelor obiectului de conectivitate. Dacă luăm în considerare faptul că fiecare obiect determină natura interacțiunilor pulsațiilor, atunci devine posibilă variarea diferitelor tipuri de interacțiuni în sine. În special, pentru a varia mărimea componentelor tensorilor de presiune. Trebuie remarcat faptul că, în unele cazuri, aceste componente pot fi transformate identic la zero. O caracteristică a soluțiilor (27), (28) este că se dovedește a fi imposibilă transformarea componentelor tensorilor de presiune la zero, rămânând în același timp în intervalul acelor valori ale parametrilor sistemului pentru care apare dinamica Lorentz. (Cu toate acestea, acest lucru este destul de posibil în regiunea acelor valori ale parametrilor pentru care dinamica pulsației este regulată.)
Să facem niște estimări. Fie parametrii sistemului model să corespundă atractorului Lorentz cu parametrii a = 10, r = 28, y = 8/3. În acest caz, calculele arată că pulsațiile au un timp caracteristic t ~ 0,7. În intervalul de timp calculat b = 0 + 50, valorile pulsațiilor aparțin intervalelor y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 și y3 = -23,2 + 23,7.
Să comparăm valorile absolute ale fluctuațiilor vitezei și gradientul de viteză medie. Din (13) rezultă că pulsațiile se obțin prin împărțirea valorilor relative la numărul l/d, în timp ce gradientul de viteză medie rămâne neschimbat. Să luăm pentru gradientul de viteză o valoare egală cu unitatea în ordinea mărimii
este A ~ 1. Atunci, la valoarea lui Re = 2000, adică la valoarea critică inferioară a lui , pentru pulsații obținem un ordin de mărime egal cu 50% din valoarea gradientului. Pentru cazul lui Re=40000, fluctuațiile vitezei ating doar 10%% din valoarea acceptată a gradientului de viteză medie. Aceasta arată că proporții rezonabile între viteza medie și pulsații pot fi asigurate numai într-un anumit interval de numere Re.
4. Date noi sunt dezvăluite când se ia în considerare mișcarea punctelor din mediu. Pentru dinamica Lorentz în aproximarea cvasi-omogenă, ecuațiile de mișcare a punctelor au forma
r -(z) -l 0 0 0 -Y
Aox3 -A(r - (z))x3
Acest sistem se dovedește a fi liniar cu coeficienți constanți. Soluția sa generală poate fi ușor obținută prin integrare elementară. Prin urmare, notăm doar trăsăturile calitative ale traiectoriilor de mișcare a punctelor. Din ecuația caracteristică pentru vitezele de mișcare, aflăm că există două rădăcini negative și una pozitivă. Astfel, în fiecare punct al spațiului, se disting două direcții de compresiune și una de tracțiune. Aceste caracteristici ale dinamicii sunt caracteristici invariante care pot fi utilizate pentru a clasifica atractorii corespunzători fluxurilor cu aceeași viteză medie.
Așa cum rezultă din soluția generală a sistemului (29) și (30), posibilele deplasări ale punctelor medii în direcții transversale la liniile de curgere medii nu sunt limitate. Și anume, are loc o deplasare regulată în proiecția pe axa x3. În acest caz, punctele, care se deplasează perpendicular pe liniile curentului mediu, cad în regiunea cu viteze mari. În acest caz, numărul Re crește, ceea ce duce la o scădere a mărimii relative a fluctuațiilor. În cadrul aproximării cvasiomogene realizate, acest efect duce la o scădere relativă a fluctuațiilor și, în cele din urmă, la degenerarea lor în fluctuații.
Lista bibliografică
1. Mukhamedov A.M. Modele turbulente: probleme și soluții //17 Congresul IMACS, Lucrarea T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.
2. Mukhamedov A.M. Către o teorie gauge a turbulenței // Chaos, Solitons & Fractals. 2006 Vol. 29. P. 253.
3. Ruelle D., Takens F. Despre natura turbulenței // Commun. Matematică. Fiz. 1971 Vol. 20. P. 167.
4. Babin A.V., Vishik M.I. Atractori ai ecuațiilor de evoluție. M.: Nauka, 1989. 296 p.
5. Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii. om liber. San Francisco, 1982.
6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. Despre natura multifractală a turbulenței complet dezvoltate și a sistemelor haotice // J. Phys. A. 1984. Vol.17. P.3521.
7 Elnaschie M.S. Integralele căii Feynman și teoria E-Infinity din experimentul Gedanken cu două fante // Jurnalul Internațional de Științe Neliniare și Simulari Numerice. 2005 Vol. 6(4). p. 335.
8. Mukhamedov A.M. Regimuri de ansamblu de turbulențe în curgeri forfecare // Buletinul KSTU im. A.N. Tupolev. 2003, nr. 3. S. 36.
9. Yudovici V.I. Asimptotice ale ciclurilor limită ale sistemului Lorentz pentru numere Rayleigh mari // VINITI. 31/07/78. nr. 2611-78.
10. Anishcenko V.S. Oscilații complexe în sisteme simple. M.: Nauka, 1990. 312 p.
11. Loitsyanski L.G. Mecanica lichidelor și gazelor. M.: Nauka, 1987. 840 p.
Universitatea de Stat din Kazan Primit la 23 ianuarie 2006
Universitatea Tehnică revizuită 15.08.2006
ATRACTOR LORENZ ÎN FLUXURI DE SIMPLU SCHIMBĂ
În cadrul unui model dat anterior pentru simularea dinamicii haotice a mediului continuum este reprezentat atractorul Lorenz. Simularea este dată cu ajutorul structurilor care definesc geometria unui fascicul de fibre asociat cu un regim tridimensional al pulsațiilor de viteză. Dinamica Lorenz apare ca dependență de timp a pulsațiilor de-a lungul liniilor fluxului mediu.
Mukhamedov Alfarid Mavievich - s-a născut la Kazan (1953). Absolvent al Facultății de Fizică a Universității de Stat din Kazan în cadrul Departamentului de Gravitație și Teoria Relativității (1976). Doctorand al Departamentului de Mecanică Teoretică și Aplicată, Universitatea Tehnică de Stat din Kazan, numită după V.I. A.N. Tupolev. Autor a 12 lucrări pe această temă, precum și a monografiei „Căutarea științifică și metodologia matematicii” (Kazan: Editura KSTU, 2005, coautor cu G.D. Tarzimanova). Domeniul de interes științific - modele matematice ale dinamicii haotice, geometria varietăților fibroase, metodologia matematicii moderne.
solutia sistemului la r=24,06
solutia sistemului la r=28 — de fapt, acesta este atractorul Lorentz
solutia sistemului la r=100 - modul de auto-oscilații în sistem este vizibil
În problema convecției, modelul apare atunci când viteza curgerii și temperatura sunt extinse în serii Fourier bidimensionale și „tăierea” lor ulterioară cu o precizie a primei și a doua armonici. În plus, sistemul complet redus de ecuații hidrodinamice este scris în aproximarea Boussinesq. Tunderea seriei este justificată într-o anumită măsură, deoarece Soltzman în lucrarea sa a demonstrat absența oricăror caracteristici interesante în comportamentul majorității armonicilor.
Aplicabilitate și conformitate cu realitatea
Să desemnăm semnificația fizică a variabilelor și parametrilor din sistemul de ecuații în raport cu problemele menționate.
- Convecție într-un strat plat. Aici X responsabil pentru viteza de rotație a puțurilor de apă, yȘi z- pentru distribuția temperaturii pe orizontală și pe verticală, r- numărul Rayleigh normalizat, σ - numărul Prandtl (raportul dintre coeficientul de vâscozitate cinematică și coeficientul de difuzivitate termică), b conţine informaţii despre geometria celulei convective.
- Convecție într-o buclă închisă. Aici X- viteza de curgere, y- abaterea temperaturii de la medie într-un punct la 90 ° distanță de punctul de jos al buclei, z- la fel, dar în punctul de jos. Căldura este furnizată în punctul cel mai de jos.
- Rotirea roții cu apă. Se ia în considerare problema unei roți pe janta căreia sunt fixate coșuri cu găuri în fund. Partea superioară a roții simetric un curent continuu de apa curge in jurul axei de rotatie. Sarcina este echivalentă cu cea anterioară, întoarsă „cu susul în jos”, cu înlocuirea temperaturii cu densitatea de distribuție a masei de apă din coșurile de-a lungul marginii.
- laser cu un singur mod. Aici X este amplitudinea undelor din cavitatea laserului, y- polarizare, z- inversarea populației a nivelurilor de energie, bși σ sunt rapoartele dintre coeficienții de inversare și relaxare a câmpului și coeficientul de relaxare a polarizării, r- intensitatea de pompare .
Este de remarcat faptul că, aplicat la problema convecției, modelul Lorentz este o aproximare foarte grosieră, foarte departe de realitate. O corespondență mai mult sau mai puțin adecvată există în regiunea regimurilor regulate, unde soluțiile stabile reflectă calitativ modelul observat experimental al rolelor convective care se rotesc uniform (celule Bénard). Regimul haotic inerent modelului nu descrie convecția turbulentă din cauza tăierii semnificative a seriei trigonometrice originale.
Interesantă este acuratețea semnificativ mai mare a modelului cu unele modificări ale acestuia, care este folosită, în special, pentru a descrie convecția într-un strat supus vibrațiilor în direcția verticală sau efectelor termice variabile. Astfel de modificări ale condițiilor externe conduc la modularea coeficienților din ecuații. În acest caz, componentele Fourier de înaltă frecvență ale temperaturii și vitezei sunt suprimate semnificativ, îmbunătățind acordul dintre modelul Lorentz și sistemul real.
De remarcat este norocul lui Lorenz în alegerea valorii parametrului r (\displaystyle r), deoarece sistemul ajunge la atractorul ciudat doar pentru valori mai mari de 24,74, pentru valori mai mici comportamentul este complet diferit.
Comportamentul soluției sistemului
Să luăm în considerare modificările comportamentului soluției sistemului Lorentz pentru diferite valori ale parametrului r. Ilustrațiile pentru articol arată rezultatele simulării numerice pentru puncte cu coordonatele inițiale (10,10,10) și (-10,-10,10). Modelarea a fost efectuată folosind programul de mai jos, scris în limbajul Fortran, trasând conform tabelelor rezultate - datorită capacităților grafice slabe ale Fortran folosind Compaq Array Viewer.
- r<1 - originea coordonatelor este atractorul, nu există alte puncte stabile.
- 1<r<13,927 - traiectoriile se apropie în spirală (aceasta corespunde prezenței oscilațiilor amortizate) de două puncte, a căror poziție este determinată de formulele:
( x = ± b (r - 1) y = ± b (r - 1) z = r - 1 (\displaystyle (\begin(cases)x=\pm (\sqrt (b(r-1)))\ \y=\pm (\sqrt (b(r-1)))\\z=r-1\end(cases)))
Aceste puncte determină stările regimului de convecție staționară, când în strat se formează o structură de role fluide rotative.
- r≈13,927 - dacă traiectoria părăsește originea, atunci, după ce a făcut o revoluție completă în jurul unuia dintre punctele stabile, se va întoarce înapoi la punctul de plecare - apar două bucle homoclinice. concept traiectorie homoclinicăînseamnă că iese și ajunge în aceeași poziție de echilibru.
- r>13,927 - În funcție de direcție, traiectoria ajunge la unul dintre cele două puncte stabile. Buclele homoclinice renasc în cicluri limită instabile și apare și o familie de traiectorii aranjate complex, care nu este un atractor, ci, dimpotrivă, respinge traiectorii de la sine. Uneori, prin analogie, această structură este numită „repelant ciudat” (ing. a respinge- respinge).
- r≈24,06 - traiectoriile nu mai conduc la puncte stabile, ci se apropie asimptotic de cicluri limită instabile - apare atractorul Lorentz propriu-zis. Cu toate acestea, ambele puncte stabile sunt păstrate până la valori r≈24,74.
Pentru valori mari ale parametrului, traiectoria suferă modificări serioase. Shilnikov și Kaplan au arătat asta pentru foarte mari r sistemul intră în modul de auto-oscilație, iar dacă parametrul este redus, se va observa o tranziție către haos printr-o succesiune de dublari ale perioadei de oscilație.
Semnificația modelului
Modelul Lorenz este un exemplu fizic real de sisteme dinamice cu comportament haotic, spre deosebire de diferitele cartografi construite artificial („dinte de ferăstrău”, „copertă”, transformarea lui Baker, cartografierea Feigenbaum etc.).
Programe care simulează comportamentul sistemului Lorenz
Borland C#include
date = Tabel [ Cu [( N = 1000 , dt = 0,01 , a = 5 , b = 1 + j , c = 1 ), NestList [ Modulul [( x , y , z , x1 , y1 , z1 ), ( x , y , z ) = # ; x1 = x + a (- x + y ) dt ; y1 = y + (b x - y - z x ) dt ; z1 = z + (- c z + x y ) dt ; (x1, y1, z1)] &, (3,051522, 1,582542, 15,62388), N]], (j, 0, 5)]; Graphics3D @ MapIndexed [( Hue [ 0.1 First [ # 2 ]], Point [ # 1 ]) & , data ]
JavaScript și HTML5< html > < body > < canvas height = "500" width = "500" id = "cnv" > < script >var cnv = document . getElementById("cnv"); var cx = cnv . getContext("2d"); var x = 3,051522 , y = 1,582542 , z = 15,62388 , x1 , y1 , z1 ; vardt = 0,0001; var a = 5 , b = 15 , c = 1 ; var h = parseInt(cnv . getAttribute("înălțime" )); var w = parseInt(cnv . getAttribute("width" )); var id = cx . createImageData(w, h); varrd = Math . rundă; var idx = 0 ; i = 1000000; în timp ce (i -- ) ( x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; idx = 4 * (rd (19,3 * (y - x * 0,292893 ) + 320 ) + rd (- 11 * (z + x * 0,292893 ) ) + 392 ) * w );id .data [ idx + 3 ] = 255 ; ) cx . putImageData(id, 0, 0);
abstract
După disciplină: Matematică
„ atractor Lorentz“
atractor Lorentz
solutia sistemului lar =0,3
solutia sistemului lar =1,8
solutia sistemului lar =3,7
solutia sistemului lar =10
solutia sistemului lar =16
solutia sistemului lar =24,06
solutia sistemului lar =28 — de fapt, acesta este atractorul Lorentz
solutia sistemului lar =100 - modul de auto-oscilații în sistem este vizibil
atractor Lorentz (din engleza.a atrage - atrage) este o mulțime invariantă într-un neted tridimensional, care are o anumită structură topologică complexă și este asimptotic stabil, acesta și toate traiectoriile dintr-o vecinătate tind să la (de aici și numele).
Atractorul Lorentz a fost găsit în experimente numerice care investighează comportamentul traiectoriilor unui sistem neliniar:
cu următoarele valori ale parametrilor: σ=10,r =28, b =8/3. Acest sistem a fost introdus pentru prima dată ca primul non-trivial pentru problema apei de mare într-un strat plat, ceea ce a motivat alegerea valorilor lui σ,r Șib , dar apare și în alte întrebări și modele fizice:
convecție într-o buclă închisă;
rotația roții cu apă;
model monomod;
disipativ cu neliniaritate inerțială.
Sistemul hidrodinamic inițial de ecuații:
Unde - viteza de curgere, - temperatura lichidului, - temperatura limitei superioare (pe cea inferioară, ), - densitate, - presiune, - forța gravitației, - respectiv, şi cinematice.
În problema convecției, modelul apare atunci când viteza curgerii și temperatura sunt descompuse în cele bidimensionale și „tăierile” ulterioare ale acestora până la armonicile de prima secundă. În plus, sistemul complet de ecuații dat este scris în . Tăierea rândurilor este justificată într-o anumită măsură, deoarece Soltsman în lucrarea sa a demonstrat absența oricăror caracteristici interesante în comportamentul majorității armonicilor.
Aplicabilitate și conformitate cu realitatea
Să desemnăm sensul fizic al variabilelor și parametrilor din sistemul de ecuații în raport cu problemele menționate.
Convecție într-un strat plat. AiciX responsabil pentru viteza de rotație a puțurilor de apă,y Șiz - pentru distribuția temperaturii pe orizontală și pe verticală,r - normalizat , σ - (raportul dintre coeficientul cinematic și coeficientul ),b conţine informaţii despre geometria celulei convective.
Convecție într-o buclă închisă. AiciX - viteza de curgere,y - abaterea temperaturii de la medie într-un punct la 90 ° distanță de punctul de jos al buclei,z - la fel, dar în punctul de jos. Căldura este furnizată în punctul cel mai de jos.
Rotirea roții cu apă. Se ia în considerare problema unei roți pe janta căreia sunt fixate coșuri cu găuri în fund. Partea superioară a roțiisimetric un curent continuu de apa curge in jurul axei de rotatie. Sarcina este echivalentă cu cea anterioară, întoarsă „cu susul în jos”, cu înlocuirea temperaturii cu densitatea de distribuție a masei de apă din coșurile de-a lungul marginii.
laser cu un singur mod. AiciX - amplitudinea undelor în laser,y - , z - inversarea populației,b și σ sunt rapoartele dintre coeficienții de inversare și câmp și coeficientul de relaxare a polarizării,r - intensitate.
Este de remarcat faptul că, aplicat la problema convecției, modelul Lorentz este o aproximare foarte grosieră, foarte departe de realitate. O corespondență mai mult sau mai puțin adecvată există în regiunea regimurilor regulate, unde soluțiile stabile reflectă calitativ imaginea observată experimental a rolelor convective care se rotesc uniform (). Regimul haotic inerent modelului nu descrie convecția turbulentă din cauza tăierii semnificative a seriei trigonometrice originale.
Interesantă este acuratețea semnificativ mai mare a modelului cu unele modificări ale acestuia, care este folosită, în special, pentru a descrie convecția într-un strat supus vibrațiilor în direcția verticală sau efectelor termice variabile. Astfel de modificări ale condițiilor externe conduc la modularea coeficienților din ecuații. În acest caz, componentele Fourier de înaltă frecvență ale temperaturii și vitezei sunt suprimate semnificativ, îmbunătățind acordul dintre modelul Lorentz și sistemul real.
De remarcat este norocul lui Lorenz în alegerea valorii parametrului , deoarece sistemul vine la numai pentru valori mai mari de 24,74, pentru valori mai mici comportamentul este complet diferit.
Comportamentul soluției sistemului
Să luăm în considerare modificările comportamentului soluției sistemului Lorentz pentru diferite valori ale parametrului r. Ilustrațiile pentru articol arată rezultatele simulării numerice pentru puncte cu coordonatele inițiale (10,10,10) și (-10,-10,10). Modelarea a fost efectuată folosind programul de mai jos, scris în limbaj, trasând conform tabelelor rezultate - datorită capacităților grafice slabe ale Fortran folosind Compaq Array Viewer.
r <1 - originea coordonatelor este atractorul, nu există alte puncte stabile.
1< r <13,927 - traiectoriile se apropie în spirală (aceasta corespunde prezenței oscilațiilor amortizate) de două puncte, a căror poziție este determinată de formulele:
Aceste puncte determină stările regimului de convecție staționară, când în strat se formează o structură de role fluide rotative.
r ≈13,927 - dacă traiectoria părăsește originea, atunci, după ce a făcut o revoluție completă în jurul unuia dintre punctele stabile, se va întoarce înapoi la punctul de plecare - apar două bucle homoclinice. concepttraiectorie homoclinică înseamnă că iese și ajunge în aceeași poziție de echilibru.
r >13,927 - În funcție de direcție, traiectoria ajunge la unul dintre cele două puncte stabile. Buclele homoclinice renasc în cicluri limită instabile și apare și o familie de traiectorii aranjate complex, care nu este un atractor, ci, dimpotrivă, respinge traiectorii de la sine. Uneori, prin analogie, această structură este numită „repelant ciudat” (ing.a respinge - respinge).
r ≈24,06 - traiectoriile nu mai conduc la puncte stabile, ci se apropie asimptotic de cicluri limită instabile - apare atractorul Lorentz propriu-zis. Cu toate acestea, ambele puncte stabile sunt păstrate până la valorir ≈24,74.
Pentru valori mari ale parametrului, traiectoria suferă modificări serioase. Shilnikov și Kaplan au arătat asta pentru foarte marir sistemul intră în modul de auto-oscilație, iar dacă parametrul este redus, se va observa o tranziție către haos printr-o succesiune de dublari ale perioadei de oscilație.
Semnificația modelului
Modelul Lorentz este un exemplu fizic real cu comportament haotic, spre deosebire de diferite mapări construite artificial ( , etc.).
Programe care simulează comportamentul sistemului Lorenz
Borland C
#include
#include
void main()
dublu x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
dublu dt = 0,0001;
int a = 5, b = 15, c = 1;
int gd=DETECTARE, gm;
initgraph(&gd, &gm, „C:\\BORLANDC\\BGI”);
do(
X1 = x + a*(-x+y)*dt;
Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
X=x1; y=y1; z = z1;
Putpixel((int)(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
(int)(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
) în timp ce (!kbhit());
closegraph();
Mathematica
date = tabel[
Cu[(N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1),
NestList și,
(3,051522, 1,582542, 15,62388), N
(j, 0, 5)];
[email protected][(Nuanță], Punct[#1]) și, date]
Borland Pascal
Programul Lorenz;
Utilizează CRT, Graph;
Const
dt = 0,0001;
a = 5;
b = 15;
c = 1;
Var
gd, gm: întreg;
x1, y1, z1, x, y, z: Real;
Începe
gd:=Detecta;
InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");
x:= 3,051522;
y:= 1,582542;
z:= 15,62388;
În timp ce nu este apăsat tasta, Începeți
x1:= x + a*(-x+y)*dt;
y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;
x:= x1;
y:= y1;
z:= z1;
PutPixel(Rotunjit(19,3*(y - x*0,292893) + 320),
Rotunzi (-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);
Sfârșit;
Închide grafic;
ReadKey;
Sfârșit.
FORTRAN
programul LorenzSystem
real,parametru::sigma=10
real,parametru::r=28
real, parametru::b=2,666666
real,parametru::dt=.01
întreg, parametru::n=1000
real x,y,z
open(1,file="result.txt",form="formatted",status="replace",action="write")
x=10.;y=10.;z=10.
doi=1,n,1
x1=x+sigma*(y-x)*dt
y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
z1=z+(x*y-b*z)*dt
x=x1
y=y1
z=z1
scrie (1,*)x,y,z
sfârşitul face
print *,"Terminat"
inchidere(1)
termina programul LorenzSystem
QBASIC/FreeBASIC ("fbc -lang qb")
DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 CA SINGUR
DIM a, b, c CA INTEGER
x = 3,051522: y = 1,582542: z = 15,62388: dt = 0,0001
a=5: b=15: c=1
ECRANUL 12
PRINT „Apăsați Esc pentru a ieși”
CÂND INKEY$<>CHR$(27)
x1 = x + a * (-x + y) * dt
y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
x=x1
y = y1
z = z1
PSET ((19,3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
MERGE ÎNCET
SFÂRȘIT
JavaScript Și HTML5
var cnv = document.getElementById("cnv");
var cx = cnv.getContext("2d");
var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;
vardt = 0,0001;
var a = 5, b = 15, c = 1;
var h = parseInt(cnv.getAttribute(„înălțime”));
var w = parseInt(cnv.getAttribute("width");
var id = cx.createImageData(w, h);
varrd = Math.round;
var idx = 0;
i=1000000; in timp ce eu--) (
x1 = x + a*(-x+y)*dt;
y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
x = x1; y=y1; z = z1;
idx=4*(rd(19,3*(y - x*0,292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0,292893) + 392)*w);
id.data = 255;
cx.putImageData(id, 0, 0);
IDL
PRO Lorenz
n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.
PENTRU i=0.,n-2. DO r=r + [a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0,0001
grafic,19,3*(r[*,1]-r[*,0]*0,292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0,292893)+392.
SFÂRȘIT
Literatură
Kuznetsov S.P. , Cursul 3. Sistemul Lorentz; Curs 4. Dinamica sistemului Lorentz. // - M.: Fizmatlit, 2001.
Saltzman B . Convecția liberă cu amplitudine finită ca problemă de valoare inițială. // Revista de știință atmosferică, Nr. 7, 1962 - p. 329-341.
Lorenz E . Mișcare neperiodică deterministă // Atractori ciudați. - M., 1981. - S. 88-116.
Licență: este gratuit.
Versiune: 1.1.0.0.
adnotare: este prezentat un program de analiză a sistemului Lorentz, care vă permite să observați astfel de stări ale sistemului ca un atractor stabil, doi atractori instabili, un focar, o buclă homoclinică cu focusuri stabile și instabile, un atractor Lorentz, un ciclu limită și un ciclu limită dublat.
Descarca: ZIP (arhiva programului) .
Cuvinte cheie: Atractor Lorentz, sistem Lorentz, studiul sistemului Lorentz de ecuații diferențiale, matlab atractor Lorentz, studiu al sistemului Lorentz, c++ atractor Lorentz, efect fluture, buclă homoclinică, portret de fază Lorentz, portret de fază a sistemului Lorentz, spațiu de fază Lorentz, soluție de sistem Lorentz, Atractor ciudat Lorentz, fluture Lorenz, traiectorie homoclinic, structură homoclinică, soluție haotică, Edward Lorentz.
Sistemul Lorentz este un sistem tridimensional de ecuații diferențiale autonome neliniare. Sistemul dinamic a fost investigat de Edward Lorenz în 1963. Principalul motiv care a generat un asemenea interes pentru sistemul de ecuații Lorentz este comportamentul haotic al acestuia. Sistemul de ecuații se scrie ca
unde q, r, b > 0. Ca urmare a integrării sistemului au fost relevate următoarele regularități.
Pentru r>0 și r<1 система имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Любое начальное состояние приближается к началу координат при t стремящемся к бесконечности (рис.1).
Orez. unu. Atractor stabil, r>0 și r<1
Când r este aproape de 1, are loc o decelerare critică. Când r este mai mare decât 1, are loc prima bifurcare. Originea coordonatelor își pierde stabilitatea și din ea se ramifică doi atractori (Fig. 2), stabili atât global, cât și local.
Orez. 2.Doi atractori stabili, r>1
În cazul r<1,345 точки равновесия представляются узлами (рис.3), а при r>1.345 - focare (Fig. 4).
Orez. 3. Două noduri, r=1,3
Orez. 4. Două focare, r=10
Pe măsură ce r crește la 13,926, două traiectorii instabile care emană de la origine se întorc la origine pe măsură ce t tinde spre infinit și încetează să fie atractori globali.
În cazul lui r=13,927, punctul poate face mișcări oscilatorii dintr-un cartier în altul și înapoi. Acest comportament se numește haos metastabil sau buclă homoclinică (Fig. 5).
Orez. cinci. Bucla homoclinică, r=13,927
Pentru r>13,927, în funcție de direcție, traiectoria ajunge la unul din cele două puncte stabile. Buclele homoclinice renasc în cicluri limită instabile și apare și o familie de traiectorii structurate complex, care nu este un atractor. Există o bifurcare a traiectoriilor homoclinice cu formarea a două cicluri instabile (Fig. 6).
Orez. 6.Două cicluri instabile, r>13,927
Cu o valoare de r=24,06, traiectoriile nu conduc la puncte stabile, ci se apropie asimptotic de cicluri limită instabile - apare atractorul Lorentz propriu-zis (Fig. 7).
Orez. 7.Atractor Lorentz, r=24,06
În cazul lui r>24,06, are loc o altă bifurcare. Cu toate acestea, ambele puncte stabile persistă până la r=24,74.
La r=24,74, are loc o inversare a bifurcației Hopf, când r>24,74 rămâne un „atractor ciudat” (Fig. 8).
Orez. 8.Lorentz atractor ciudat, r>24,74
În cazul creșterii lui r la 100 se observă un regim auto-oscilator (fig. 9).
Orez. nouă.Mod auto-oscilant, r=100
Pe măsură ce r crește la 225, are loc o cascadă de bifurcații de dublare a ciclului (Fig. 10).
Orez. 10.Dublarea ciclului, r=225
Orez. unsprezece.Două soluții periodice asimetrice, r=300
Pentru valori mari ale lui r, există un ciclu simetric în sistem (Fig. 12).
Orez. 12.Ciclu simetric, r=400
Programul „Lorenz - un program pentru studierea sistemului Lorentz”, implementat în mediul de dezvoltare Turbo C ++, vă permite să simulați sistemul Lorenz. Construcția portretelor de fază și a unui grafic al dependenței soluțiilor de timpul t se bazează pe metoda Runge-Kutta de ordinul trei. Interfața programului este prezentată în Figura 13.
Orez. 13.
Modelarea comportamentului sistemului Lorenz folosind programul Lorenz implică următorii pași (Fig. 14):
- determinați coordonatele inițiale (x0,y0,z0);
- setați pasul de integrare h și numărul de iterații i;
- setați valoarea coeficienților q, r, b;
- (opțional) setați indicatorul „Detalii” pentru a obține detaliile soluției;
- apăsați butonul „Calculați”;
- (opțional) faceți dublu clic pe imaginile rezultate pentru a le copia în clipboard.
Orez. paisprezece.
Exemple de modelare a comportamentului sistemului Lorentz prin programul Lorenz sunt prezentate în Fig.15.
Orez. 15.
Literatură
- Arkhangelsky A.Ya. Programare în C++ Builder. – M.: Binom-Press, 2010. – 1304 p.
- Kiryanov D. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. - Sankt Petersburg: BHV-Petersburg, 2012. - 432 p.
- Arnold V.I. Comun ecuatii diferentiale. – M.: MTsNMO, 2012. – 344 p.
Lista de programe
- MassTextReplacer - un program pentru modificarea în masă a fișierelor text ;
- Lorenz - un program pentru studierea sistemului Lorentz;