FERMAT IL GRANDE TEOREMA - l'affermazione di Pierre Fermat (avvocato francese e matematico part-time) che l'equazione diofantea X n + Y n = Z n, con un esponente n>2, dove n = un intero, non ha soluzioni in numeri interi numeri positivi. Testo dell'autore: "È impossibile scomporre un cubo in due cubi, o un biquadrato in due biquadrati, o in generale una potenza maggiore di due in due potenze con lo stesso esponente."

"Fermat e il suo teorema", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre elaborò questo teorema il 29 marzo 1636. E dopo circa 29 anni, morì. Ma è lì che è iniziato tutto. Dopotutto, un ricco matematico tedesco di nome Wolfskel ha lasciato in eredità centomila marchi a colui che presenta la dimostrazione completa del teorema di Fermat! Ma l'eccitazione attorno al teorema era collegata non solo a questo, ma anche all'eccitazione matematica professionale. Lo stesso Fermat ha fatto capire alla comunità matematica di conoscere la dimostrazione - poco prima della sua morte, nel 1665, ha lasciato la seguente voce a margine del libro Diofanto di Alessandria "Aritmetica": "Ho una dimostrazione molto sorprendente, ma è troppo grande per essere collocato nei campi".

È stato questo suggerimento (più, ovviamente, un premio in denaro) che ha fatto spendere i matematici senza successo anni migliori(Secondo i calcoli degli scienziati americani, solo i matematici professionisti hanno trascorso in totale 543 anni su questo).

Ad un certo punto (nel 1901), il lavoro sul teorema di Fermat acquisì la dubbia fama di "lavoro simile alla ricerca di una macchina a moto perpetuo" (c'era anche un termine dispregiativo - "fermatisti"). E improvvisamente, il 23 giugno 1993, in una conferenza di matematica sulla teoria dei numeri a Cambridge, il professore inglese di matematica dell'Università di Princeton (New Jersey, USA) Andrew Wiles annunciò di aver finalmente dimostrato Fermat!

La dimostrazione, tuttavia, non era solo complicata, ma anche ovviamente erronea, come Wiles è stato sottolineato dai suoi colleghi. Ma il professor Wiles ha sognato per tutta la vita di dimostrare il teorema, quindi non sorprende che nel maggio 1994 abbia presentato alla comunità scientifica una nuova versione migliorata della dimostrazione. Non c'era armonia, bellezza in esso, ed era ancora molto complicato - il fatto che i matematici abbiano analizzato questa dimostrazione per un anno intero (!) Per capire se non è erronea, parla da sé!

Ma alla fine, la dimostrazione di Wiles si è rivelata corretta. Ma i matematici non perdonarono Pierre Fermat per il suo stesso accenno all'aritmetica, e, infatti, iniziarono a considerarlo un bugiardo. In effetti, la prima persona a mettere in dubbio l'integrità morale di Fermat fu lo stesso Andrew Wiles, il quale osservò che "Fermat non avrebbe potuto avere una tale prova. Questa è una prova del ventesimo secolo". Poi, tra gli altri scienziati, l'opinione è diventata più forte che Fermat "non poteva dimostrare il suo teorema in un altro modo, e Fermat non poteva dimostrarlo nel modo in cui è andato Wiles, per ragioni oggettive".

In effetti, Fermat, ovviamente, potrebbe dimostrarlo, e poco dopo questa prova verrà ricreata dagli analisti della New Analytical Encyclopedia. Ma - quali sono queste "ragioni oggettive"?
In realtà, c'è solo una ragione: in quegli anni in cui visse Fermat, non poteva comparire la congettura di Taniyama, su cui Andrew Wiles costruì la sua dimostrazione, perché le funzioni modulari su cui opera la congettura di Taniyama furono scoperte solo alla fine del XIX secolo .

In che modo Wiles stesso ha dimostrato il teorema? La domanda non è oziosa: questo è importante per capire come lo stesso Fermat potrebbe dimostrare il suo teorema. Wiles ha costruito la sua dimostrazione sulla dimostrazione della congettura di Taniyama avanzata nel 1955 dal matematico giapponese di 28 anni Yutaka Taniyama.

La congettura suona così: "ogni curva ellittica corrisponde a una certa forma modulare". Le curve ellittiche, note da tempo, hanno una forma bidimensionale (posizionata su un piano), mentre le funzioni modulari hanno una forma quadridimensionale. Cioè, l'ipotesi di Taniyama combinava concetti completamente diversi: semplici curve piatte e forme quadridimensionali inimmaginabili. Il fatto stesso di collegare nell'ipotesi figure di diverse dimensioni sembrava assurdo agli scienziati, motivo per cui nel 1955 non gli fu data alcuna importanza.

Tuttavia, nell'autunno del 1984, l'"ipotesi di Taniyama" fu improvvisamente ricordata di nuovo, e non solo ricordata, ma la sua possibile dimostrazione era collegata alla dimostrazione del teorema di Fermat! Ciò è stato fatto dal matematico di Saarbrücken Gerhard Frey, che ha detto alla comunità scientifica che "se qualcuno potesse provare la congettura di Taniyama, allora l'ultimo teorema di Fermat sarebbe stato dimostrato".

Cosa ha fatto Frey? Ha convertito l'equazione di Fermat in una cubica, quindi ha richiamato l'attenzione sul fatto che una curva ellittica ottenuta convertendo l'equazione di Fermat in una cubica non può essere modulare. Tuttavia, la congettura di Taniyama affermava che qualsiasi curva ellittica potrebbe essere modulare! Di conseguenza, una curva ellittica costruita dall'equazione di Fermat non può esistere, il che significa che non possono esserci soluzioni intere e il teorema di Fermat, il che significa che è vero. Ebbene, nel 1993 Andrew Wiles ha semplicemente dimostrato la congettura di Taniyama, e quindi il teorema di Fermat.

Tuttavia, il teorema di Fermat può essere dimostrato molto più semplicemente, sulla base della stessa multidimensionalità su cui operarono sia Taniyama che Frey.

Per cominciare, prestiamo attenzione alla condizione stabilita dallo stesso Pierre Fermat - n>2. Perché era necessaria questa condizione? Sì, solo per il fatto che per n=2 il teorema di Pitagora ordinario X 2 +Y 2 =Z 2 diventa un caso speciale del teorema di Fermat, che ha un numero infinito di soluzioni intere - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 e così via. Pertanto, il teorema di Pitagora è un'eccezione al teorema di Fermat.

Ma perché esattamente nel caso di n=2 si verifica tale eccezione? Tutto va a posto se si vede il rapporto tra il grado (n=2) e la dimensione della figura stessa. Il triangolo pitagorico è una figura bidimensionale. Non sorprende che Z (cioè l'ipotenusa) possa essere espresso in termini di gambe (X e Y), che possono essere interi. La dimensione dell'angolo (90) consente di considerare l'ipotenusa come un vettore e le gambe sono vettori situati sugli assi e provenienti dall'origine. Di conseguenza, è possibile esprimere un vettore bidimensionale che non giace su nessuno degli assi in termini di vettori che giacciono su di essi.

Ora, se andiamo alla terza dimensione, e quindi a n=3, per esprimere vettore 3d, non ci saranno sufficienti informazioni sui due vettori, e quindi sarà possibile esprimere Z nell'equazione di Fermat in termini di almeno tre termini (tre vettori giacenti, rispettivamente, sui tre assi del sistema di coordinate).

Se n=4, allora dovrebbero esserci 4 termini, se n=5, allora dovrebbero esserci 5 termini e così via. In questo caso, ci saranno soluzioni complete più che sufficienti. Ad esempio, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 e così via (puoi scegliere altri esempi per n=3, n=4 e così via).

Cosa segue da tutto questo? Ne consegue che il teorema di Fermat in effetti non ha soluzioni intere per n>2 - ma solo perché l'equazione stessa non è corretta! Con lo stesso successo si potrebbe tentare di esprimere il volume di un parallelepipedo in termini di lunghezza dei suoi due spigoli - certo, questo è impossibile (non si troveranno mai soluzioni complete), ma solo perché trovare il volume di un parallelepipedo , è necessario conoscere le lunghezze di tutti e tre i suoi bordi.

Quando è stato chiesto al famoso matematico David Gilbert quale fosse il compito più importante per la scienza ora, ha risposto "prendere una mosca dall'altra parte della luna". Alla domanda ragionevole "Chi ne ha bisogno?" ha risposto così: "Nessuno ne ha bisogno. Ma pensa a quanti compiti importanti e complessi devi risolvere per portarlo a termine".

In altre parole, Fermat (un avvocato in primis!) ha fatto uno spiritoso scherzo legale all'intero mondo matematico, basandosi su una formulazione errata del problema. Egli, infatti, suggerì che i matematici trovassero una risposta perché una mosca non può vivere dall'altra parte della Luna, ea margine di Aritmetica voleva solo scrivere che semplicemente non c'è aria sulla Luna, ad es. non ci possono essere soluzioni intere del suo teorema per n>2 solo perché ogni valore di n deve corrispondere a un certo numero di termini sul lato sinistro della sua equazione.

Ma era solo uno scherzo? Affatto. La genialità di Fermat sta proprio nel fatto che fu proprio lui il primo a vedere il rapporto tra il grado e la dimensione di una figura matematica, cioè, che è assolutamente equivalente, il numero di termini sul lato sinistro dell'equazione. Il significato del suo famoso teorema era proprio quello di non solo spingere mondo matematico sull'idea di questa relazione, ma anche per avviare la prova dell'esistenza di questa relazione - intuitivamente comprensibile, ma non ancora matematicamente comprovata.

Fermat, come nessun altro, ha capito che stabilire una relazione tra oggetti apparentemente diversi è estremamente fruttuoso non solo in matematica, ma anche in qualsiasi scienza. Tale relazione indica un principio profondo alla base di entrambi gli oggetti e che consente una comprensione più profonda di essi.

Ad esempio, inizialmente i fisici consideravano l'elettricità e il magnetismo come fenomeni completamente indipendenti e nel 19° secolo teorici e sperimentatori si resero conto che elettricità e magnetismo erano strettamente correlati. Il risultato è stata una comprensione più profonda sia dell'elettricità che del magnetismo. Correnti elettriche creare campi magnetici e i magneti possono indurre elettricità nei conduttori vicino ai magneti. Ciò ha portato all'invenzione di dinamo e motori elettrici. Alla fine si è scoperto che la luce è il risultato di oscillazioni armoniche coordinate di campi magnetici ed elettrici.

La matematica del tempo di Fermat consisteva in isole di conoscenza in un mare di ignoranza. I geometri hanno studiato le forme su un'isola e i matematici hanno studiato la probabilità e il caso sull'altra isola. Il linguaggio della geometria era molto diverso dal linguaggio della teoria della probabilità e la terminologia algebrica era estranea a coloro che parlavano solo di statistica. Sfortunatamente, la matematica del nostro tempo è costituita all'incirca dalle stesse isole.

Farm è stata la prima a rendersi conto che tutte queste isole sono interconnesse. E il suo famoso teorema - IL GRANDE TEOREMA di Fermat - ne è un'eccellente conferma.

Per interi n maggiori di 2, l'equazione x n + y n = z n non ha soluzioni diverse da zero in numeri naturali.

Probabilmente ricordi dai tuoi giorni di scuola il teorema di Pitagora: il quadrato dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle gambe. Potresti anche ricordare il classico triangolo rettangolo con i lati le cui lunghezze sono correlate come 3: 4: 5. Per questo, il teorema di Pitagora si presenta così:

Questo è un esempio di risoluzione dell'equazione pitagorica generalizzata in numeri interi diversi da zero per n= 2. L'ultimo teorema di Fermat (chiamato anche "L'ultimo teorema di Fermat" e "L'ultimo teorema di Fermat") è l'affermazione che, per i valori n> 2 equazioni della forma x n + si n = zn non hanno soluzioni diverse da zero in numeri naturali.

La storia dell'ultimo teorema di Fermat è molto divertente e istruttiva, e non solo per i matematici. Pierre de Fermat contribuì allo sviluppo di varie aree della matematica, ma la maggior parte della sua eredità scientifica fu pubblicata solo postuma. Il fatto è che la matematica per Fermat era qualcosa come un hobby, non un'occupazione professionale. Corrispondeva con i principali matematici del suo tempo, ma non cercò di pubblicare il suo lavoro. Gli scritti scientifici di Fermat si trovano principalmente sotto forma di corrispondenza privata e appunti frammentari, spesso scritti a margine di vari libri. È ai margini (del secondo volume dell'aritmetica greca antica di Diofanto. - Nota. traduttore) poco dopo la morte del matematico, i discendenti scoprirono la formulazione del famoso teorema e del poscritto:

« Ho trovato una prova davvero meravigliosa di questo, ma questi margini sono troppo stretti per lui.».

Purtroppo, a quanto pare, Fermat non si è mai preso la briga di scrivere la "prova miracolosa" che ha trovato e i discendenti l'hanno cercata senza successo per più di tre secoli. Di tutta la disparata eredità scientifica di Fermat, contenente molte affermazioni sorprendenti, è stato il Grande Teorema a resistere ostinatamente alla soluzione.

Chi non ha raccolto la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, tutto invano! Un altro grande matematico francese, René Descartes (René Descartes, 1596-1650), definì Fermat uno "spaccone", e il matematico inglese John Wallis (John Wallis, 1616-1703) lo definì un "maledetto francese". Lo stesso Fermat, tuttavia, ha lasciato una dimostrazione del suo teorema per il caso n= 4. Con prova per n= 3 fu risolto dal grande matematico svizzero-russo del 18° secolo Leonard Euler (1707–83), dopo di che, non essendo riuscito a trovare prove per n> 4, si offrì scherzosamente di perquisire la casa di Fermat per trovare la chiave delle prove perdute. Nel 19° secolo, nuovi metodi di teoria dei numeri hanno permesso di provare l'affermazione per molti numeri interi entro 200, ma, ancora, non per tutti.

Nel 1908 fu istituito un premio di 100.000 DM per questo compito. Il montepremi fu lasciato in eredità all'industriale tedesco Paul Wolfskehl, che, secondo la leggenda, stava per suicidarsi, ma fu così portato dall'ultimo teorema di Fermat che cambiò idea sulla morte. Con l'avvento delle macchine addizionatrici, e poi dei computer, la barra dei valori n iniziò a salire sempre più in alto - fino a 617 all'inizio della seconda guerra mondiale, fino a 4001 nel 1954, fino a 125.000 nel 1976. Alla fine del 20° secolo, i più potenti computer dei laboratori militari di Los Alamos (New Mexico, USA) sono stati programmati per risolvere il problema di Fermat in background (simile alla modalità screen saver di un personal computer). Pertanto, è stato possibile dimostrare che il teorema è vero per valori incredibilmente grandi x, y, z e n, ma ciò non può servire come una prova rigorosa, poiché uno qualsiasi dei seguenti valori n o terzine numeri naturali potrebbe smentire il teorema nel suo insieme.

Infine, nel 1994, il matematico inglese Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, n. 1953), mentre lavorava a Princeton, pubblicò una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, che, dopo alcune modifiche, fu considerata esaustiva. La dimostrazione occupava più di cento pagine di riviste e si basava sull'uso del moderno apparato di matematica superiore, che non era stato sviluppato nell'era di Fermat. Allora cosa intendeva Fermat lasciando un messaggio a margine del libro che aveva trovato una prova? La maggior parte dei matematici con cui ho parlato su questo argomento ha sottolineato che nel corso dei secoli ci sono state più che sufficienti dimostrazioni errate dell'ultimo teorema di Fermat, e che è probabile che lo stesso Fermat abbia trovato una dimostrazione simile, ma non ha visto l'errore dentro. Tuttavia, è possibile che esista ancora qualche breve ed elegante dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat, che nessuno ha ancora trovato. Solo una cosa si può dire con certezza: oggi sappiamo per certo che il teorema è vero. La maggior parte dei matematici, penso, sarebbero d'accordo senza riserve con Andrew Wiles, che ha osservato sulla sua dimostrazione: "Ora finalmente la mia mente è in pace".

Molti anni fa ho ricevuto una lettera di Tashkent da Valery Muratov, a giudicare dalla calligrafia, un uomo adolescenza, che poi abitava in via Kommunisticheskaya al numero civico 31. Il ragazzo era determinato: "Subito al punto. Quanto mi pagherai per la dimostrazione del teorema di Fermat? Sono soddisfatto di almeno 500 rubli. soldi..."

Un paradosso sorprendente: pochi sanno chi è Fermat, quando ha vissuto e cosa ha fatto. Di più meno persone può anche descrivere il suo grande teorema nei termini più generali. Ma tutti sanno che esiste una specie di teorema di Fermat, per la dimostrazione del quale i matematici di tutto il mondo hanno lottato per più di 300 anni, ma non possono dimostrarlo!

Ci sono molte persone ambiziose, e la stessa consapevolezza che c'è qualcosa che gli altri non possono fare, stimola ulteriormente la loro ambizione. Pertanto, migliaia (!) di dimostrazioni del Grande Teorema sono arrivate e giunte alle accademie, agli istituti scientifici e persino alle redazioni di giornali di tutto il mondo: un record senza precedenti e mai battuto di prestazioni pseudoscientifiche amatoriali. C'è anche un termine: "fermatisti", cioè persone ossessionate dal desiderio di dimostrare il Grande Teorema, che hanno completamente esaurito i matematici professionisti con le richieste di valutare il loro lavoro. Il famoso matematico tedesco Edmund Landau ha persino preparato uno standard, secondo il quale ha risposto: "C'è un errore nella pagina nella tua dimostrazione del teorema di Fermat ...", ei suoi studenti laureati hanno messo per iscritto il numero di pagina. E nell'estate del 1994, i giornali di tutto il mondo riportano qualcosa di completamente sensazionale: Il Grande Teorema è dimostrato!

Allora, chi è Fermat, qual è l'essenza del problema ed è stato davvero risolto? Pierre Fermat è nato nel 1601 nella famiglia di un conciatore, un uomo ricco e rispettato - ha servito come secondo console nella sua città natale di Beaumont - questo è qualcosa come un assistente del sindaco. Pierre ha studiato prima con i monaci francescani, poi presso la Facoltà di Giurisprudenza di Tolosa, dove ha poi praticato l'advocacy. Tuttavia, la gamma di interessi di Fermat andava ben oltre la giurisprudenza. Era particolarmente interessato alla filologia classica, sono noti i suoi commenti sui testi di autori antichi. E la seconda passione è la matematica.

Nel XVII secolo, come del resto per molti anni dopo, non esisteva una tale professione: il matematico. Pertanto, tutti i grandi matematici dell'epoca erano matematici "part-time": René Descartes prestava servizio nell'esercito, Francois Viet era un avvocato, Francesco Cavalieri era un monaco. riviste scientifiche allora non lo era, e il classico della scienza Pierre Fermat non pubblicò una sola opera scientifica durante la sua vita. C'era una cerchia piuttosto ristretta di "dilettanti" che risolvevano per loro vari problemi interessanti e si scrivevano lettere su questo, a volte litigando (come Fermat con Descartes), ma, in fondo, rimasero con la stessa mentalità. Divennero i fondatori della nuova matematica, i seminatori di semi brillanti, da cui iniziò a crescere il possente albero della moderna conoscenza matematica, guadagnando forza e ramificandosi.

Quindi Fermat era lo stesso "dilettante". A Tolosa, dove visse per 34 anni, lo conoscevano tutti, prima di tutto come consigliere della Camera d'inchiesta e avvocato esperto. All'età di 30 anni si sposò, ebbe tre figli e due figlie, a volte fece viaggi di lavoro e durante uno di essi morì improvvisamente all'età di 63 anni. Tutto! La vita di quest'uomo, contemporaneo dei Tre Moschettieri, è sorprendentemente tranquilla e priva di avventure. Le avventure caddero nella parte del suo Grande Teorema. Non parleremo dell'intera eredità matematica di Fermat, ed è difficile parlarne in modo popolare. Credimi sulla parola: questa eredità è grande e varia. L'affermazione che il Grande Teorema sia l'apice del suo lavoro è altamente discutibile. È solo che il destino del Grande Teorema è sorprendentemente interessante, e il vasto mondo di persone non iniziate ai misteri della matematica è sempre stato interessato non al teorema in sé, ma a tutto ciò che lo circonda...

Le radici di tutta questa storia vanno cercate nell'antichità, tanto amata da Fermat. Intorno al 3° secolo visse ad Alessandria il matematico greco Diofanto, uno scienziato che pensava in modo originale, pensando fuori dagli schemi ed esprimendo i suoi pensieri fuori dagli schemi. Dei 13 volumi della sua Aritmetica, ne sono pervenuti solo 6. Proprio quando Fermat aveva 20 anni, uscì una nuova traduzione delle sue opere. Fermat amava molto Diofanto e questi scritti erano il suo libro di riferimento. Sui suoi campi, Fermat scrisse il suo Grande Teorema, che nella sua forma moderna più semplice si presenta così: l'equazione Xn + Yn = Zn non ha soluzione in numeri interi per n - più di 2. (Per n = 2, la soluzione è ovvia : Z2 + 42 = 52 ). Nello stesso luogo, ai margini del volume diofanteo, Fermat aggiunge: "Ho scoperto questa prova davvero meravigliosa, ma questi margini sono troppo stretti per lui".

A prima vista, la piccola cosa è semplice, ma quando altri matematici hanno iniziato a dimostrare questo "semplice" teorema, nessuno ci è riuscito per cento anni. Infine, il grande Leonhard Euler lo dimostrò per n = 4, poi dopo 20 (!) anni - per n = 3. E di nuovo il lavoro si fermò per molti anni. La vittoria successiva spetta al tedesco Peter Dirichlet (1805–1859) e al francese Andrien Legendre (1752–1833), che ammisero che Fermat aveva ragione per n = 5. Poi il francese Gabriel Lamet (1795–1870) fece lo stesso per n = 7. Infine, a metà del secolo scorso, il tedesco Ernst Kummer (1810-1893) dimostrò il Grande Teorema per tutti i valori di n minori o uguali a 100. Inoltre, lo dimostrò usando metodi che potevano non essere noto a Fermat, che rafforzò ulteriormente il velo di mistero attorno al Grande Teorema.

Così, si è scoperto che stavano dimostrando il teorema di Fermat "pezzo per pezzo", ma nessuno era in grado di "completamente". Nuovi tentativi di dimostrazioni portarono solo ad un aumento quantitativo dei valori di n. Tutti capirono che, dopo aver speso un abisso di lavoro, era possibile dimostrare il Grande Teorema per un numero arbitrariamente grande n, ma Fermat parlava di qualsiasi valore di esso maggiore di 2! Era in questa differenza tra "arbitrariamente grande" e "qualsiasi" che si concentrava l'intero significato del problema.

Tuttavia, va notato che i tentativi di dimostrare il teorema di Fermg non erano solo una specie di gioco matematico, la soluzione di un complesso rebus. Nel corso di queste dimostrazioni si aprirono nuovi orizzonti matematici, sorsero e risolvettero problemi che divennero nuovi rami dell'albero matematico. Il grande matematico tedesco David Hilbert (1862-1943) ha citato il Grande Teorema come un esempio di "quale effetto stimolante può avere sulla scienza un problema speciale e apparentemente insignificante". Lo stesso Kummer, lavorando sul teorema di Fermat, dimostrò egli stesso teoremi che costituivano le basi della teoria dei numeri, dell'algebra e della teoria delle funzioni. Quindi dimostrare il Grande Teorema non è uno sport, ma una vera scienza.

Il tempo passò e l'elettronica venne in aiuto di "fsrmatnts" professionisti. Non è stato possibile inventare cervelli elettronici di nuovi metodi, ma hanno preso velocità. Intorno all'inizio degli anni '80, il teorema di Fermat è stato dimostrato con l'aiuto di un computer per n minore o uguale a 5500. Gradualmente, questa cifra è cresciuta fino a 100.000, ma tutti hanno capito che tale "accumulo" era una questione di pura tecnologia, dando niente per la mente o il cuore. Non potevano prendere la fortezza del Grande Teorema "a testa alta" e iniziarono a cercare manovre rotatorie.

A metà degli anni '80, il giovane matematico G. Filettings dimostrò la cosiddetta "congettura di Mordell", che, tra l'altro, era anche "irraggiungibile" da qualsiasi matematico per 61 anni. Sorgeva la speranza che ora, per così dire, "attaccando di fianco", si potesse risolvere anche il teorema di Fermat. Tuttavia, allora non è successo nulla. Nel 1986, il matematico tedesco Gerhard Frei ha proposto un nuovo metodo di dimostrazione in Essesche. Non mi impegno a spiegarlo rigorosamente, ma non in linguaggio matematico, ma in generale umano, suona più o meno così: se siamo convinti che la dimostrazione di qualche altro teorema sia una dimostrazione indiretta, in qualche modo trasformata, del teorema di Fermat, quindi, quindi, dimostreremo il Grande Teorema. Un anno dopo, l'americano Kenneth Ribet di Berkeley dimostrò che Frey aveva ragione e, infatti, una prova poteva essere ridotta a un'altra. Molti matematici hanno seguito questa strada. paesi diversi pace. Abbiamo fatto molto per dimostrare il Grande Teorema di Viktor Aleksandrovich Kolyvanov. Le mura di trecento anni della fortezza inespugnabile tremavano. I matematici si resero conto che non sarebbe durato a lungo.

Nell'estate del 1993, nell'antica Cambridge, presso l'Isaac Newton Institute of Mathematical Sciences, 75 dei più importanti matematici del mondo si sono riuniti per discutere i loro problemi. Tra loro c'era il professore americano Andrew Wiles della Princeton University, un importante specialista in teoria dei numeri. Tutti sapevano che aveva lavorato sul Grande Teorema per molti anni. Wiles fece tre presentazioni e all'ultima, il 23 giugno 1993, proprio alla fine, voltando le spalle alla lavagna, disse con un sorriso:

credo che non continuerò...

All'inizio ci fu un silenzio assoluto, poi un applauso. Quelli seduti in sala erano abbastanza qualificati da capire: l'ultimo teorema di Fermat è dimostrato! In ogni caso, nessuno dei presenti ha riscontrato errori nella prova di cui sopra. Il direttore associato del Newton Institute, Peter Goddard, ha detto ai giornalisti:

“La maggior parte degli esperti non pensava che l'avrebbero scoperto per il resto della loro vita. Questa è una delle più grandi conquiste della matematica del nostro secolo...

Sono passati diversi mesi, non sono seguiti commenti o smentite. È vero, Wiles non ha pubblicato la sua dimostrazione, ma ha solo inviato le cosiddette stampe del suo lavoro a una cerchia molto ristretta di suoi colleghi, il che, naturalmente, impedisce ai matematici di commentare questa sensazione scientifica, e capisco l'accademico Ludwig Dmitrievich Faddeev, chi ha detto:

- Posso dire che la sensazione è avvenuta quando ho visto la prova con i miei occhi.

Faddeev ritiene che la probabilità che Wiles vinca sia molto alta.

"Mio padre, un noto specialista in teoria dei numeri, era, ad esempio, sicuro che il teorema sarebbe stato dimostrato, ma non con mezzi elementari", ha aggiunto.

Un altro nostro accademico, Viktor Pavlovich Maslov, era scettico riguardo alla notizia, e crede che la dimostrazione del Grande Teorema non sia affatto un vero problema matematico. Per quanto riguarda i suoi interessi scientifici, Maslov, presidente del Council for Applied Mathematics, è tutt'altro che "fermatista", e quando dice che la soluzione completa del Grande Teorema è solo di interesse sportivo, lo si può capire. Tuttavia, oserei notare che il concetto di rilevanza in qualsiasi scienza è una variabile. 90 anni fa, probabilmente anche a Rutherford fu detto: "Bene, bene, bene, la teoria del decadimento radioattivo ... E allora? A cosa serve? .."

Il lavoro sulla dimostrazione del Grande Teorema ha già fornito molta matematica, e si può sperare che ne dia di più.

"Quello che ha fatto Wiles sposterà i matematici in altre aree", ha detto Peter Goddard. - Piuttosto, questo non chiude una delle linee di pensiero, ma solleva nuove domande che richiederanno una risposta ...

Il professore dell'Università statale di Mosca Mikhail Ilyich Zelikin mi ha spiegato la situazione attuale in questo modo:

Nessuno vede errori nel lavoro di Wiles. Ma affinché questo lavoro diventi un fatto scientifico, è necessario che diversi rispettabili matematici ripetano indipendentemente questa dimostrazione e ne confermino la correttezza. Questa è una condizione indispensabile per il riconoscimento del lavoro di Wiles da parte della comunità matematica...

Quanto tempo ci vorrà per questo?

Ho posto questa domanda a uno dei nostri maggiori specialisti nel campo della teoria dei numeri, il dottore in scienze fisiche e matematiche Alexei Nikolaevich Parshin.

Andrew Wiles ha molto tempo davanti a sé...

Il fatto è che il 13 settembre 1907, il matematico tedesco P. Wolfskel, che, a differenza della stragrande maggioranza dei matematici, era un uomo ricco, lasciò in eredità 100mila marchi a colui che avrebbe dimostrato il Grande Teorema nei prossimi 100 anni. All'inizio del secolo, l'interesse dell'importo lasciato in eredità andò al tesoro della famosa Università di Getgangent. Questo denaro è stato utilizzato per invitare eminenti matematici a tenere conferenze e condurre lavori scientifici. A quel tempo, David Hilbert, di cui ho già parlato, era presidente della commissione del premio. Non voleva pagare il premio.

“Per fortuna,” disse il grande matematico, “sembra che non abbiamo un matematico, a parte me, che saprebbe svolgere questo compito, ma non oserò mai uccidere l'oca che ci depone uova d'oro. "

Prima della scadenza - 2007, designata da Wolfskel, mancano pochi anni e, mi sembra, un serio pericolo incombe sul "pollo di Hilbert". Ma non si tratta del premio, in realtà. Riguarda la curiosità del pensiero e la perseveranza umana. Hanno combattuto per più di trecento anni, ma lo hanno comunque dimostrato!

E inoltre. Per me, la cosa più interessante di tutta questa storia è: come ha fatto lo stesso Fermat a dimostrare il suo Grande Teorema? Dopotutto, tutti i trucchi matematici di oggi gli erano sconosciuti. E lo ha dimostrato? Del resto c'è una versione che sembrava aver dimostrato, ma lui stesso ha riscontrato un errore, e quindi non ha inviato le dimostrazioni ad altri matematici, ma ha dimenticato di barrare la voce a margine del volume diofanteo. Pertanto, mi sembra che la dimostrazione del Grande Teorema, ovviamente, sia avvenuta, ma il segreto del teorema di Fermat è rimasto, ed è improbabile che lo riveleremo mai...

Forse si sbagliava allora Fermat, ma non si sbagliava quando scriveva: “Forse i posteri mi saranno grati di avergli mostrato che gli antichi non sapevano tutto, e questo può penetrare nella coscienza di coloro che verranno dopo di me. la fiaccola ai suoi figli..."

È improbabile che sia trascorso almeno un anno nella vita della nostra redazione senza che questa ricevesse una buona dozzina di dimostrazioni del teorema di Fermat. Ora, dopo la “vittoria” su di esso, il flusso si è placato, ma non si è prosciugato.

Naturalmente, per non asciugarlo completamente, pubblichiamo questo articolo. E non a mia difesa - che, dicono, è per questo che abbiamo taciuto, noi stessi non siamo ancora maturati per discutere di problemi così complessi.

Ma se l'articolo sembra davvero complicato, guarda subito la fine. Dovrai sentire che le passioni si sono temporaneamente calmate, la scienza non è finita e presto nuove dimostrazioni di nuovi teoremi saranno inviate ai redattori.

Sembra che il XX secolo non sia stato vano. In primo luogo, le persone hanno creato un secondo Sole per un momento facendo esplodere una bomba all'idrogeno. Quindi camminarono sulla luna e alla fine dimostrarono il famigerato teorema di Fermat. Di questi tre miracoli, i primi due sono sulla bocca di tutti, perché hanno causato enormi conseguenze sociali. Al contrario, il terzo miracolo sembra un altro giocattolo scientifico - al pari della teoria della relatività, meccanica quantistica e il teorema di Gödel sull'incompletezza dell'aritmetica. Tuttavia, la relatività e i quanti hanno portato i fisici a bomba all'idrogeno e la ricerca dei matematici ha riempito il nostro mondo di computer. Questa serie di miracoli continuerà nel 21° secolo? È possibile tracciare la connessione tra i prossimi giocattoli scientifici e le rivoluzioni nella nostra vita quotidiana? Questa connessione ci permette di fare previsioni di successo? Proviamo a capirlo usando l'esempio del teorema di Fermat.

Per cominciare, notiamo che è nata molto più tardi del suo termine naturale. Dopotutto, il primo caso speciale del teorema di Fermat è l'equazione di Pitagora X 2 + Y 2 = Z 2 , che mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo. Dopo aver dimostrato questa formula venticinque secoli fa, Pitagora si pose subito la domanda: ci sono molti triangoli in natura in cui sia le gambe che l'ipotenusa hanno una lunghezza intera? Sembra che gli egiziani conoscessero solo uno di questi triangoli - con i lati (3, 4, 5). Ma non è difficile trovare altre opzioni: ad esempio (5, 12, 13) , (7, 24, 25) o (8, 15, 17) . In tutti questi casi la lunghezza dell'ipotenusa ha la forma (A 2 + B 2), dove A e B sono numeri coprimi di diversa parità. In questo caso, le lunghezze delle gambe sono pari a (A 2 - B 2) e 2AB.

Notando queste relazioni, Pitagora dimostrò facilmente che qualsiasi tripla di numeri (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) è una soluzione dell'equazione X 2 + Y 2 \u003d Z 2 e imposta un rettangolo con lunghezze laterali reciprocamente semplici. Si vede anche che il numero di diverse triple di questo tipo è infinito. Ma tutte le soluzioni dell'equazione pitagorica hanno questa forma? Pitagora non fu in grado di provare o smentire tale ipotesi e lasciò questo problema ai posteri senza attirare l'attenzione su di esso. Chi vuole evidenziare i propri fallimenti? Sembra dopo questo il problema degli interi triangoli rettangoli rimase nell'oblio per sette secoli - fino a quando un nuovo genio matematico di nome Diofanto apparve ad Alessandria.

Sappiamo poco di lui, ma è chiaro che non assomigliava per niente a Pitagora. Si sentiva un re in geometria e anche oltre, nella musica, nell'astronomia o nella politica. Il primo collegamento aritmetico tra le lunghezze dei lati di un'armoniosa arpa, il primo modello dell'Universo da sfere concentriche che trasportano pianeti e stelle, con la Terra al centro, ed infine, la prima repubblica degli scienziati nella città italiana di Crotone - queste sono le conquiste personali di Pitagora. Cosa potrebbe opporsi a tali successi Diofanto - un modesto ricercatore del grande Museo, che ha cessato da tempo di essere l'orgoglio della folla cittadina?

Solo una cosa: una migliore comprensione mondo antico numeri, le leggi di cui Pitagora, Euclide e Archimede ebbero appena il tempo di sentire. Si noti che Diofanto non padroneggiava ancora il sistema posizionale di scrittura di grandi numeri, ma sapeva cosa fossero i numeri negativi e probabilmente trascorse molte ore a pensare al motivo per cui il prodotto di due numeri negativi è positivo. Il mondo degli interi fu rivelato per la prima volta a Diofanto come un universo speciale, diverso dal mondo delle stelle, dei segmenti o dei poliedri. L'occupazione principale degli scienziati in questo mondo è risolvere le equazioni, un vero maestro trova tutte le soluzioni possibili e dimostra che non ci sono altre soluzioni. Questo è ciò che fece Diofanto equazione quadrata Pitagora, e poi pensò: almeno una soluzione ha un'equazione cubica simile X 3 + Y 3 = Z 3?

Diofanto non è riuscito a trovare una tale soluzione; anche il suo tentativo di dimostrare che non ci sono soluzioni è andato a buon fine. Pertanto, redigendo i risultati del suo lavoro nel libro "Aritmetica" (fu il primo libro di testo al mondo sulla teoria dei numeri), Diofanto analizzò in dettaglio l'equazione pitagorica, ma non accennò una parola sulle possibili generalizzazioni di questa equazione. Ma poteva: dopotutto, fu Diofanto a proporre per primo la notazione per le potenze degli interi! Ma ahimè: il concetto di "libro dei compiti" era estraneo alla scienza e alla pedagogia elleniche e pubblicare elenchi di problemi irrisolti era considerata un'occupazione indecente (solo Socrate si comportava diversamente). Se non riesci a risolvere il problema, stai zitto! Diofanto tacque e questo silenzio si trascinò per quattordici secoli, fino all'inizio della Nuova Era, quando l'interesse per il processo del pensiero umano fu ripreso.

Chi non fantasticava su nulla a cavallo tra il XVI e il XVII secolo! L'instancabile calcolatore Keplero ha cercato di indovinare la connessione tra le distanze dal Sole ai pianeti. Pitagora fallì. Il successo di Keplero arrivò dopo aver imparato a integrare i polinomi e altre semplici funzioni. Al contrario, il sognatore Cartesio non amava i calcoli lunghi, ma fu lui a presentare per primo tutti i punti del piano o dello spazio come insiemi di numeri. Questo modello audace riduce qualsiasi problema geometrico sulle figure a qualche problema algebrico sulle equazioni - e viceversa. Ad esempio, le soluzioni intere dell'equazione pitagorica corrispondono a punti interi sulla superficie di un cono. La superficie corrispondente all'equazione cubica X 3 + Y 3 = Z 3 sembra più complicata, le sue proprietà geometriche non suggerivano nulla a Pierre Fermat e dovette aprire nuove strade attraverso le terre selvagge degli interi.

Nel 1636 un libro di Diofanto, appena tradotto in latino da un originale greco, cadde nelle mani di un giovane avvocato di Tolosa, sopravvissuto casualmente in qualche archivio bizantino e portato in Italia da uno dei latitanti romani all'epoca dei Turchi rovina. Leggendo un'elegante discussione sull'equazione pitagorica, Fermat pensò: è possibile trovare una soluzione del genere, che consiste in tre numeri quadrati? Non ci sono piccoli numeri di questo tipo: è facile verificarlo per enumerazione. E le grandi decisioni? Senza un computer, Fermat non potrebbe condurre un esperimento numerico. Ma notò che per ogni soluzione "grande" dell'equazione X 4 + Y 4 = Z 4, si può costruire una soluzione più piccola. Quindi la somma delle quarte potenze di due interi non è mai uguale alla stessa potenza del terzo numero! E la somma di due cubi?

Ispirato dal successo per il grado 4, Fermat ha cercato di modificare il "metodo di discesa" per il grado 3 - e ci è riuscito. Si è scoperto che era impossibile comporre due piccoli cubi da quei cubi singoli in cui un grande cubo con una lunghezza intera di un bordo è caduto in pezzi. Il trionfante Fermat fece una breve nota a margine del libro di Diofanto e inviò una lettera a Parigi con un resoconto dettagliato della sua scoperta. Ma non ha ricevuto risposta, anche se di solito i matematici della capitale hanno reagito rapidamente al successo successivo del loro unico collega rivale a Tolosa. Qual è il problema qui?

Molto semplicemente: a metà del 17° secolo, l'aritmetica era passata di moda. I grandi successi degli algebristi italiani del XVI secolo (quando furono risolte le equazioni polinomiali di grado 3 e 4) non divennero l'inizio di una rivoluzione scientifica generale, perché non consentirono di risolvere nuovi brillanti problemi in campi scientifici adiacenti. Ora, se Keplero potesse indovinare le orbite dei pianeti usando pura aritmetica ... Ma ahimè, questo richiedeva un'analisi matematica. Ciò significa che deve essere sviluppato - fino al completo trionfo dei metodi matematici nelle scienze naturali! Ma l'analisi nasce dalla geometria, mentre l'aritmetica rimane un campo di gioco per avvocati oziosi e altri amanti dell'eterna scienza dei numeri e delle figure.

Quindi, i successi aritmetici di Fermat si sono rivelati prematuri e sono rimasti non apprezzati. Non ne fu turbato: per fama di matematico, gli furono rivelati per la prima volta i fatti del calcolo differenziale, della geometria analitica e della teoria della probabilità. Tutte queste scoperte di Fermat entrarono immediatamente nel fondo d'oro della nuova scienza europea, mentre la teoria dei numeri svanì in secondo piano per altri cento anni, finché non fu ripresa da Eulero.

Questo "re dei matematici" del XVIII secolo fu un campione in tutte le applicazioni dell'analisi, ma non trascurò nemmeno l'aritmetica, poiché i nuovi metodi di analisi portavano a fatti inaspettati sui numeri. Chi avrebbe pensato che la somma infinita dei quadrati inversi (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) è uguale a π 2 /6? Chi tra gli Elleni avrebbe potuto prevedere che serie simili avrebbero permesso di provare l'irrazionalità del numero π?

Tali successi costrinsero Eulero a rileggere attentamente i manoscritti superstiti di Fermat (fortunatamente il figlio del grande francese riuscì a pubblicarli). È vero, la dimostrazione del "grande teorema" per il grado 3 non è stata conservata, ma Eulero l'ha facilmente ripristinata semplicemente indicando il "metodo della discesa" e ha immediatamente cercato di trasferire questo metodo al primo grado successivo - 5.

Non c'era! Nel ragionamento di Eulero è apparso numeri complessi, che Fermat è riuscito a non notare (questo è il solito sacco di scopritori). Ma la fattorizzazione di interi complessi è una questione delicata. Persino Eulero non lo capì completamente e mise da parte il "problema Fermat", affrettandosi a completare il suo lavoro principale: il libro di testo "Fondamenti di analisi", che avrebbe dovuto aiutare ogni giovane di talento a stare alla pari con Leibniz e Eulero. La pubblicazione del libro di testo fu completata a San Pietroburgo nel 1770. Ma Eulero non tornò al teorema di Fermat, sicuro che tutto ciò che le sue mani e la sua mente toccavano non sarebbe stato dimenticato dalla nuova giovinezza scientifica.

E così accadde: il francese Adrien Legendre divenne il successore di Eulero nella teoria dei numeri. Alla fine del 18° secolo completò la dimostrazione del teorema di Fermat per il grado 5 - e sebbene fallisse per le grandi potenze prime, compilò un altro libro di testo sulla teoria dei numeri. Possano i suoi giovani lettori superare l'autore allo stesso modo in cui i lettori dei Principi matematici della filosofia naturale hanno superato il grande Newton! Legendre non poteva competere con Newton o Euler, ma c'erano due geni tra i suoi lettori: Carl Gauss ed Evariste Galois.

Una così alta concentrazione di geni fu facilitata dalla Rivoluzione francese, che proclamò il culto statale della Ragione. Dopodiché, ogni scienziato di talento si sentiva come Colombo o Alessandro Magno, in grado di scoprire o conquistare un nuovo mondo. Molti ci sono riusciti, perché nel XIX secolo progresso scientifico e tecnico divenne il motore principale dell'evoluzione dell'umanità e tutti i governanti ragionevoli (a cominciare da Napoleone) ne erano consapevoli.

Gauss aveva un carattere vicino a Colombo. Ma lui (come Newton) non sapeva come affascinare l'immaginazione di governanti o studenti con bei discorsi, e quindi limitava le sue ambizioni alla sfera dei concetti scientifici. Qui poteva fare quello che voleva. Ad esempio, l'antico problema della trisezione di un angolo per qualche motivo non può essere risolto con un compasso e un righello. Con l'aiuto di numeri complessi raffiguranti punti del piano, Gauss traduce questo problema nel linguaggio dell'algebra e ottiene una teoria generale della fattibilità di alcune costruzioni geometriche. Così, allo stesso tempo, apparve una prova rigorosa dell'impossibilità di costruire un 7 o 9 gon regolare con un compasso e un righello, e un tale modo di costruire un 17 gon regolare, che fecero i geometri più saggi dell'Hellas non sognare.

Certo, un tale successo non è vano: bisogna inventare nuovi concetti che riflettano l'essenza della materia. Newton ha introdotto tre di questi concetti: flusso (derivato), fluente (integrale) e serie di potenze. Sono bastati per creare l'analisi matematica e la prima modello scientifico il mondo fisico, compresa la meccanica e l'astronomia. Gauss ha anche introdotto tre nuovi concetti: spazio vettoriale, campo e anello. Ne nacque una nuova algebra, subordinando l'aritmetica greca e la teoria delle funzioni numeriche creata da Newton. Rimaneva da subordinare la logica creata da Aristotele all'algebra: allora sarebbe possibile provare la deducibilità o non derivabilità di eventuali affermazioni scientifiche da questo insieme di assiomi con l'ausilio di calcoli! Ad esempio, il teorema di Fermat deriva dagli assiomi dell'aritmetica o il postulato di Euclide delle rette parallele deriva da altri assiomi della planimetria?

Gauss non ha avuto il tempo di realizzare questo sogno audace, sebbene sia avanzato molto e abbia intuito la possibilità dell'esistenza di algebre esotiche (non commutative). Solo l'audace russo Nikolai Lobachevsky riuscì a costruire la prima geometria non euclidea, e la prima algebra non commutativa (Teoria dei gruppi) fu gestita dal francese Evariste Galois. E solo molto più tardi della morte di Gauss - nel 1872 - il giovane tedesco Felix Klein intuì che la varietà delle possibili geometrie può essere ricondotta in corrispondenza biunivoca con la varietà delle possibili algebre. In poche parole, ogni geometria è definita dal suo gruppo di simmetria, mentre l'algebra generale studia tutti i possibili gruppi e le loro proprietà.

Ma una tale comprensione della geometria e dell'algebra arrivò molto più tardi, e l'assalto al teorema di Fermat riprese durante la vita di Gauss. Egli stesso ha trascurato il teorema di Fermat per principio: non è compito del re risolvere problemi individuali che non rientrano nel brillante teoria scientifica! Ma gli studenti di Gauss, armati della sua nuova algebra e dell'analisi classica di Newton ed Eulero, ragionavano diversamente. In primo luogo, Peter Dirichlet ha dimostrato il teorema di Fermat per il grado 7 utilizzando l'anello di interi complessi generati dalle radici di questo grado di unità. Poi Ernst Kummer ha esteso il metodo Dirichlet a TUTTO gradi semplici(!) - così gli parve avventatamente, e trionfò. Ma presto è arrivata la sbornia: la prova passa in modo impeccabile solo se ogni elemento dell'anello viene scomposto in modo univoco in fattori primi! Per gli interi ordinari, questo fatto era già noto a Euclide, ma solo Gauss ne diede una dimostrazione rigorosa. Ma che dire dei numeri complessi interi?

Secondo il “principio del più grande danno”, può e DEVE verificarsi una fattorizzazione ambigua! Non appena Kummer ha imparato a calcolare il grado di ambiguità con metodi di analisi matematica, ha scoperto questo sporco trucco sul ring per il grado 23. Gauss non ha avuto il tempo di conoscere questa versione esotica dell'algebra commutativa, ma gli studenti di Gauss sono cresciuti al posto di un altro sporco trucco una nuova bellissima Teoria degli Ideali. È vero, questo non ha aiutato molto a risolvere il problema di Fermat: solo la sua complessità naturale è diventata più chiara.

Per tutto il XIX secolo, questo antico idolo ha richiesto sempre più sacrifici ai suoi ammiratori sotto forma di nuove complesse teorie. Non sorprende che all'inizio del 20° secolo i credenti si scoraggiassero e si ribellassero, rifiutando il loro ex idolo. La parola "fermatista" è diventata un termine peggiorativo tra i matematici professionisti. E sebbene fosse stato assegnato un premio considerevole per la dimostrazione completa del teorema di Fermat, i suoi ricorrenti erano per lo più ignoranti sicuri di sé. I più forti matematici di quel tempo - Poincaré e Hilbert - evitarono con aria di sfida questo argomento.

Nel 1900 Hilbert non includeva il teorema di Fermat nell'elenco dei ventitré grandi problemi che la matematica del ventesimo secolo doveva affrontare. Vero, ha incluso nelle loro serie il problema generale della risolvibilità delle equazioni diofantee. Il suggerimento era chiaro: segui l'esempio di Gauss e Galois, crea teorie generali su nuovi oggetti matematici! Poi un bel giorno (ma non prevedibile in anticipo), la vecchia scheggia cadrà da sola.

Così si è comportato il grande romantico Henri Poincaré. Trascurando molti problemi "eterni", per tutta la vita studiò le SIMMETRIE di vari oggetti della matematica o della fisica: sia funzioni di variabile complessa, sia traiettorie di moto di corpi celesti, sia curve algebriche o varietà lisce (si tratta di generalizzazioni multidimensionali di curve linee). Il motivo delle sue azioni era semplice: se due oggetti diversi hanno simmetrie simili, significa che c'è una relazione interna tra loro, che non siamo ancora in grado di comprendere! Ad esempio, ciascuna delle geometrie bidimensionali (Euclide, Lobachevsky o Riemann) ha un proprio gruppo di simmetria, che agisce sul piano. Ma i punti del piano sono numeri complessi: in questo modo l'azione di qualsiasi gruppo geometrico viene trasferito nel mondo sconfinato delle funzioni complesse. È possibile e necessario studiare la più simmetrica di queste funzioni: AUTOMORFA (che sono soggette al gruppo di Euclide) e MODULARE (che sono soggette al gruppo di Lobachevsky)!

Ci sono anche curve ellittiche nel piano. Non hanno nulla a che vedere con l'ellisse, ma sono dati da equazioni della forma Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX e quindi si intersecano con qualsiasi retta in tre punti. Questo fatto ci permette di introdurre la moltiplicazione tra i punti di una curva ellittica - per trasformarla in un gruppo. La struttura algebrica di questo gruppo riflette le proprietà geometriche della curva; forse è determinata unicamente dal suo gruppo? Vale la pena studiare questa domanda, poiché per alcune curve il gruppo di nostro interesse risulta essere modulare, cioè è correlato alla geometria di Lobachevsky ...

Così ragionava Poincaré, seducendo la gioventù matematica d'Europa, ma all'inizio del XX secolo queste tentazioni non portavano a teoremi o ipotesi brillanti. Diverso è risultato con l'appello di Hilbert: studiare le soluzioni generali delle equazioni diofantee con coefficienti interi! Nel 1922, il giovane americano Lewis Mordell collegò molte soluzioni a tale equazione (questo è - spazio vettoriale di una certa dimensione) con il genere geometrico della curva complessa data da questa equazione. Mordell è giunto alla conclusione che se il grado dell'equazione è sufficientemente grande (più di due), allora la dimensione dello spazio della soluzione è espressa in termini di genere della curva, e quindi questa dimensione è FINITA. Al contrario - alla potenza di 2, l'equazione pitagorica ha una famiglia di soluzioni DIMENSIONALI INFINITE!

Naturalmente Mordell vedeva la connessione della sua ipotesi con il teorema di Fermat. Se si scopre che per ogni grado n > 2 lo spazio di intere soluzioni dell'equazione di Fermat è a dimensione finita, ciò aiuterà a dimostrare che tali soluzioni non esistono affatto! Ma Mordell non vedeva alcun modo per dimostrare la sua ipotesi - e sebbene visse una lunga vita, non aspettò la trasformazione di questa ipotesi nel teorema di Faltings. Ciò avvenne nel 1983, in un'epoca completamente diversa, dopo i grandi successi della topologia algebrica delle varietà.

Poincaré ha creato questa scienza come per caso: voleva sapere cosa sono le varietà tridimensionali. Dopotutto, Riemann ha scoperto la struttura di tutte le superfici chiuse e ha ottenuto una risposta molto semplice! Se non esiste una risposta del genere in un caso tridimensionale o multidimensionale, allora è necessario elaborare un sistema di invarianti algebriche della varietà che ne determini la struttura geometrica. È meglio se tali invarianti sono elementi di alcuni gruppi: commutativi o non commutativi.

Per quanto strano possa sembrare, questo progetto audace di Poincaré riuscì: fu realizzato dal 1950 al 1970 grazie all'impegno di moltissimi geometri e algebristi. Fino al 1950 c'era un tranquillo accumulo di vari metodi per classificare le varietà, e dopo questa data sembrava essersi accumulata una massa critica di persone e idee e si era verificata un'esplosione, paragonabile all'invenzione dell'analisi matematica nel XVII secolo. Ma la rivoluzione analitica è durata un secolo e mezzo, biografie creative quattro generazioni di matematici - da Newton e Leibniz a Fourier e Cauchy. Al contrario, la rivoluzione topologica del ventesimo secolo è avvenuta nel giro di vent'anni - grazie a un largo numero suoi membri. Allo stesso tempo, è emersa una grande generazione di giovani matematici sicuri di sé, rimasti improvvisamente senza lavoro nella loro patria storica.

Negli anni Settanta si precipitarono nei campi adiacenti della matematica e della fisica teorica. Molti hanno creato le proprie scuole scientifiche in dozzine di università in Europa e in America. Molti studenti di diverse età e nazionalità, con diverse capacità e inclinazioni, circolano ancora tra questi centri, e tutti vogliono essere famosi per qualche scoperta. Fu in questo pandemonio che la congettura di Mordell e il teorema di Fermat furono finalmente dimostrati.

Tuttavia, la prima rondine, ignara del suo destino, è cresciuta in Giappone negli anni del dopoguerra affamata e disoccupata. Il nome della rondine era Yutaka Taniyama. Nel 1955, questo eroe compì 28 anni e decise (insieme agli amici Goro Shimura e Takauji Tamagawa) di rilanciare la ricerca matematica in Giappone. Da dove cominciare? Certo, con il superamento dell'isolamento dai colleghi stranieri! Così nel 1955 tre giovani giapponesi ospitarono a Tokyo la prima conferenza internazionale sull'algebra e la teoria dei numeri. Apparentemente era più facile farlo in Giappone rieducato dagli americani che in Russia congelata da Stalin...

Tra gli ospiti d'onore c'erano due eroi francesi: Andre Weil e Jean-Pierre Serre. Qui i giapponesi furono molto fortunati: Weil era il capo riconosciuto degli algebristi francesi e un membro del gruppo Bourbaki, e il giovane Serre svolgeva un ruolo simile tra i topologi. In accese discussioni con loro, le teste dei giovani giapponesi si incrinarono, i loro cervelli si sciolsero, ma alla fine si cristallizzarono idee e piani che difficilmente avrebbero potuto nascere in un ambiente diverso.

Un giorno, Taniyama si rivolse a Weil con una domanda sulle curve ellittiche e le funzioni modulari. All'inizio il francese non capiva niente: Taniyama non era un maestro di lingua inglese. Poi l'essenza della questione divenne chiara, ma Taniyama non riuscì a dare alle sue speranze una formulazione esatta. Tutto ciò che Weil poteva rispondere al giovane giapponese era che se fosse stato molto fortunato in termini di ispirazione, allora dalle sue vaghe ipotesi sarebbe nato qualcosa di sensato. Ma mentre la speranza è debole!

Ovviamente, Weil non notò il fuoco celeste nello sguardo di Taniyama. E c'è stato il fuoco: sembra che per un attimo l'indomito pensiero del compianto Poincaré si sia spostato nei giapponesi! Taniyama è arrivato a credere che ogni curva ellittica sia generata da funzioni modulari - più precisamente, è "uniformizzata da una forma modulare". Purtroppo, questa esatta formulazione è nata molto più tardi, nelle conversazioni di Taniyama con il suo amico Shimura. E poi Taniyama si è suicidato in un impeto di depressione... La sua ipotesi è rimasta senza un proprietario: non era chiaro come dimostrarla o dove testarla, e quindi nessuno l'ha presa sul serio per molto tempo. La prima risposta arrivò solo trent'anni dopo, quasi come ai tempi di Fermat!

Il ghiaccio si ruppe nel 1983, quando il ventisettenne tedesco Gerd Faltings annunciò al mondo intero: la congettura di Mordell era stata dimostrata! I matematici stavano in guardia, ma Faltings era un vero tedesco: non c'erano lacune nella sua lunga e complicata dimostrazione. È solo che è giunto il momento, fatti e concetti si sono accumulati - e ora un algebrista di talento, basandosi sui risultati di altri dieci algebristi, è riuscito a risolvere un problema che ha aspettato il maestro per sessant'anni. Questo non è raro nella matematica del 20° secolo. Vale la pena ricordare il problema del continuo secolare nella teoria degli insiemi, le due congetture di Burnside nella teoria dei gruppi o la congettura di Poincaré nella topologia. Infine, nella teoria dei numeri, è giunto il momento di raccogliere i vecchi raccolti ... Quale sarà il prossimo top di una serie di matematici conquistati? Il problema di Eulero, l'ipotesi di Riemann o il teorema di Fermat crolleranno? È bene!

E ora, due anni dopo la rivelazione di Faltings, un altro ispirato matematico è apparso in Germania. Si chiamava Gerhard Frey e affermava qualcosa di strano: che il teorema di Fermat DERIVA dalla congettura di Taniyama! Sfortunatamente, lo stile di Frey nell'esprimere i suoi pensieri ricordava più lo sfortunato Taniyama che il suo chiaro connazionale Faltings. In Germania, nessuno capiva Frey e andò all'estero, nella gloriosa città di Princeton, dove, dopo Einstein, si abituarono a non tali visitatori. Non c'è da stupirsi che Barry Mazur, un topologo versatile, uno degli eroi del recente assalto alle varietà lisce, abbia fatto il suo nido lì. E uno studente è cresciuto accanto a Mazur - Ken Ribet, ugualmente esperto nelle complessità della topologia e dell'algebra, ma ancora senza glorificarsi in alcun modo.

Quando ha ascoltato per la prima volta i discorsi di Frey, Ribet ha deciso che si trattava di una sciocchezza e quasi fantascienza (probabilmente, Weil ha reagito alle rivelazioni di Taniyama allo stesso modo). Ma Ribet non poteva dimenticare questa "fantasia" ea volte ci tornava mentalmente. Sei mesi dopo, Ribet credette che ci fosse qualcosa di sensato nelle fantasie di Frey, e un anno dopo decise che lui stesso avrebbe potuto quasi provare la strana ipotesi di Frey. Ma alcuni "buchi" sono rimasti e Ribet ha deciso di confessare al suo capo Mazur. Ascoltò attentamente lo studente e rispose con calma: “Sì, hai fatto tutto! Qui devi applicare la trasformazione Ф, qui - usa i Lemmi B e K e tutto assumerà una forma impeccabile! Così Ribet fece un salto dall'oscurità all'immortalità, usando una catapulta nella persona di Frey e Mazur. In tutta onestà, tutti loro - insieme al compianto Taniyama - dovrebbero essere considerati dimostrazioni dell'ultimo teorema di Fermat.

Ma ecco il problema: hanno derivato la loro affermazione dall'ipotesi di Taniyama, che di per sé non è stata dimostrata! E se fosse infedele? I matematici sanno da tempo che "tutto segue da una bugia", se l'ipotesi di Taniyama è sbagliata, allora l'impeccabile ragionamento di Ribet è inutile! Abbiamo urgente bisogno di dimostrare (o smentire) la congettura di Taniyama, altrimenti qualcuno come Faltings dimostrerà il teorema di Fermat in un modo diverso. Diventerà un eroe!

È improbabile che sapremo mai quanti algebristi giovani o esperti si siano lanciati sul teorema di Fermat dopo il successo di Faltings o dopo la vittoria di Ribet nel 1986. Tutti loro cercavano di lavorare in segreto, in modo che in caso di fallimento non venissero inseriti nella comunità dei “manichini”-fermatisti. È noto che il più vincente di tutti - Andrew Wiles di Cambridge - ha sentito il sapore della vittoria solo all'inizio del 1993. Questo non tanto piacque quanto spaventò Wiles: e se la sua dimostrazione della congettura di Taniyama mostrasse un errore o una lacuna? Poi la sua reputazione scientifica perì! È necessario annotare con cura la bozza (ma saranno molte decine di pagine!) e rimandarla per sei mesi o un anno, in modo da poterla poi rileggere a sangue freddo e meticolosamente... Ma cosa se qualcuno pubblica la sua prova durante questo periodo? Oh guai...

Eppure Wiles ha escogitato un doppio modo per testare rapidamente la sua dimostrazione. Innanzitutto, devi fidarti di uno dei tuoi amici e colleghi affidabili e raccontargli l'intero corso del ragionamento. Dall'esterno, tutti gli errori sono più visibili! In secondo luogo, è necessario leggere un corso speciale su questo argomento per studenti intelligenti e dottorandi: a queste persone intelligenti non mancherà un solo errore del docente! Basta non dire loro l'obiettivo finale del corso fino all'ultimo momento, altrimenti il ​​mondo intero lo saprà! E, naturalmente, devi cercare un tale pubblico lontano da Cambridge: è meglio non nemmeno in Inghilterra, ma in America ... Cosa potrebbe esserci di meglio della lontana Princeton?

Wiles vi si recò nella primavera del 1993. Il suo amico paziente Niklas Katz, dopo aver ascoltato il lungo rapporto di Wiles, vi trovò una serie di lacune, ma tutte facilmente correggibili. Ma gli studenti laureati di Princeton scapparono presto dal corso speciale di Wiles, non volendo seguire il pensiero stravagante del docente, che li porta non si sa dove. Dopo una tale revisione (non particolarmente approfondita) del suo lavoro, Wiles decise che era giunto il momento di rivelare al mondo un grande miracolo.

Nel giugno 1993 si tenne a Cambridge un'altra conferenza, dedicata alla "teoria di Iwasawa", una sezione popolare della teoria dei numeri. Wiles ha deciso di raccontare la sua dimostrazione della congettura di Taniyama su di essa, senza annunciare il risultato principale fino alla fine. Il rapporto è andato avanti per molto tempo, ma con successo, i giornalisti hanno gradualmente iniziato ad affollarsi, che hanno percepito qualcosa. Infine, il tuono ha colpito: il teorema di Fermat è dimostrato! La gioia generale non è stata offuscata da alcun dubbio: tutto sembra essere chiaro ... Ma due mesi dopo, Katz, dopo aver letto il testo finale di Wiles, ha notato un'altra lacuna in esso. Una certa transizione nel ragionamento si basava sul "sistema Eulero" - ma quello che Wiles ha costruito non era un tale sistema!

Wiles ha controllato il collo di bottiglia e si è reso conto di essersi sbagliato qui. Peggio ancora: non è chiaro come sostituire il ragionamento errato! Questo è stato seguito dai mesi più bui della vita di Wiles. In precedenza, ha sintetizzato liberamente una prova senza precedenti dal materiale a portata di mano. Ora è legato a un compito ristretto e chiaro, senza la certezza che abbia una soluzione e che sarà in grado di trovarla nel prossimo futuro. Di recente, Frey non ha potuto resistere alla stessa lotta - e ora il suo nome è stato oscurato dal nome del fortunato Ribet, anche se l'ipotesi di Frey si è rivelata corretta. E cosa accadrà alla MIA supposizione e al MIO nome?

Questo duro lavoro è durato esattamente un anno. Nel settembre 1994 Wiles era pronto ad ammettere la sconfitta e a lasciare l'ipotesi Taniyama a successori più fortunati. Dopo aver preso una tale decisione, iniziò a rileggere lentamente la sua prova - dall'inizio alla fine, ascoltando il ritmo del ragionamento, rivivendo il piacere di scoperte riuscite. Raggiunto il "maledetto" luogo, Wiles, tuttavia, non sentì mentalmente una nota falsa. Il corso del suo ragionamento era ancora impeccabile e l'errore sorgeva solo nella descrizione VERBALE dell'immagine mentale? Se non c'è un "sistema Eulero" qui, allora cosa è nascosto qui?

Improvvisamente, mi è venuto in mente un semplice pensiero: il "sistema Eulero" non funziona dove è applicabile la teoria di Iwasawa. Perché non applicare direttamente questa teoria, fortunatamente vicina e familiare allo stesso Wiles? E perché non ha provato questo approccio fin dall'inizio, ma si è lasciato trasportare dalla visione di qualcun altro del problema? Wiles non riusciva più a ricordare questi dettagli - e divenne inutile. Ha svolto il ragionamento necessario nell'ambito della teoria di Iwasawa e tutto si è rivelato in mezz'ora! Così - con un ritardo di un anno - l'ultima lacuna nella dimostrazione della congettura di Taniyama è stata colmata. Il testo finale è stato affidato alla mercé di un gruppo di revisori della più famosa rivista di matematica, che un anno dopo hanno dichiarato che ora non ci sono errori. Così, nel 1995, l'ultima congettura di Fermat è morta all'età di trecentosessanta anni, trasformandosi in un teorema collaudato che entrerà inevitabilmente nei libri di teoria dei numeri.

Riassumendo il clamore di tre secoli attorno al teorema di Fermat, dobbiamo trarre una strana conclusione: questa eroica epopea non sarebbe potuta accadere! In effetti, il teorema di Pitagora esprime una connessione semplice e importante tra oggetti naturali visivi: le lunghezze dei segmenti. Ma lo stesso non si può dire del teorema di Fermat. Sembra più una sovrastruttura culturale su un substrato scientifico, una conquista Polo Nord Terra o volo sulla luna. Ricordiamo che entrambe queste imprese furono cantate dagli scrittori molto prima che fossero compiute - nell'antichità, dopo la comparsa degli "Elementi" di Euclide, ma prima della comparsa dell'"Aritmetica" di Diofanto. Quindi, allora c'era un bisogno pubblico di exploit intellettuali di questo tipo - almeno immaginari! In precedenza, gli elleni ne avevano avuto abbastanza delle poesie di Omero, proprio come cento anni prima di Fermat, i francesi ne avevano avuto abbastanza delle passioni religiose. Ma poi le passioni religiose si placarono e la scienza si fermò accanto a loro.

In Russia, tali processi sono iniziati centocinquanta anni fa, quando Turgenev ha messo Yevgeny Bazarov alla pari con Yevgeny Onegin. È vero, lo scrittore Turgenev comprendeva male i motivi delle azioni dello scienziato Bazarov e non osò cantarli, ma ciò fu presto fatto dallo scienziato Ivan Sechenov e dal giornalista illuminato Jules Verne. Una rivoluzione scientifica e tecnologica spontanea ha bisogno di un guscio culturale per penetrare nelle menti della maggior parte delle persone, e qui arriva prima la fantascienza, e poi la letteratura scientifica popolare (compresa la rivista "Knowledge is Power").

Allo stesso tempo, un argomento scientifico specifico non è affatto importante per il grande pubblico e non è molto importante nemmeno per gli eroi-interpreti. Quindi, dopo aver saputo del raggiungimento del Polo Nord da parte di Peary e Cook, Amundsen cambiò immediatamente l'obiettivo della sua spedizione già preparata e presto raggiunse il Polo Sud, davanti a Scott di un mese. Più tardi, la riuscita circumnavigazione della Terra da parte di Yuri Gagarin costrinse il presidente Kennedy a cambiare il precedente obiettivo del programma spaziale americano con uno più costoso ma molto più impressionante: sbarcare uomini sulla luna.

Ancor prima, il perspicace Hilbert, in risposta alla domanda ingenua degli studenti: “La soluzione di cui compito scientifico sarebbe molto utile ora? - ha risposto con una battuta: "Prendi una mosca dall'altra parte della luna!" Alla domanda perplessa: "Perché è necessario?" - seguito da una risposta chiara: “Nessuno ha bisogno di QUESTO! Ma pensa a quelli metodi scientifici e i mezzi tecnici che dovremo sviluppare per risolvere un problema del genere - e quanti altri bei problemi risolveremo lungo la strada!

Questo è esattamente ciò che è successo con il teorema di Fermat. Eulero avrebbe potuto benissimo trascurarlo.

In questo caso, qualche altro problema diventerebbe l'idolo dei matematici, forse anche dalla teoria dei numeri. Ad esempio, il problema di Eratostene: insieme finito o infinito numeri primi-gemelli (come 11 e 13, 17 e 19 e così via)? Oppure il problema di Eulero: ogni numero pari è la somma di due numeri primi? Oppure: esiste una relazione algebrica tra i numeri π ed e? Questi tre problemi non sono stati ancora risolti, anche se nel XX secolo i matematici si sono avvicinati alla comprensione della loro essenza. Ma questo secolo ha anche dato origine a molti problemi nuovi, non meno interessanti, soprattutto all'intersezione della matematica con la fisica e altre branche delle scienze naturali.

Già nel 1900 Hilbert ne individuò uno: creare un sistema completo di assiomi della fisica matematica! Cento anni dopo, questo problema è lungi dall'essere risolto, se non altro perché l'arsenale dei mezzi matematici della fisica è in costante crescita e non tutti hanno una giustificazione rigorosa. Ma dopo il 1970, la fisica teorica si è divisa in due rami. Uno (classico) dai tempi di Newton modella e prevede processi STABILI, l'altro (neonato) sta cercando di formalizzare l'interazione dei processi INSTABILI e le modalità per controllarli. È chiaro che queste due branche della fisica devono essere assiomatizzate separatamente.

Il primo di essi sarà probabilmente affrontato tra venti o cinquant'anni...

E cosa manca alla seconda branca della fisica - quella che è responsabile di tutti i tipi di evoluzione (compresi i frattali stravaganti e gli strani attrattori, l'ecologia delle biocenosi e la teoria della passione di Gumilyov)? Questo difficilmente lo capiremo presto. Ma il culto degli scienziati al nuovo idolo è già diventato un fenomeno di massa. Probabilmente qui si svolgerà un'epopea, paragonabile alla biografia di tre secoli del teorema di Fermat. Così, all'intersezione di diverse scienze, nascono nuovi idoli, simili a quelli religiosi, ma più complessi e dinamici...

Apparentemente, una persona non può rimanere tale senza rovesciare di tanto in tanto i vecchi idoli e senza crearne di nuovi - con dolore e con gioia! Pierre Fermat ha avuto la fortuna di trovarsi in un momento fatidico vicino al punto caldo della nascita di un nuovo idolo - ed è riuscito a lasciare un'impronta della sua personalità sul neonato. Si può invidiare un tale destino, e non è un peccato imitarlo.

Sergej Smirnov
"Sapere è potere"