Considera la funzione y=k/y. Il grafico di questa funzione è una linea, chiamata in matematica iperbole. Forma generale l'iperbole è mostrata nella figura seguente. (Il grafico mostra una funzione y uguale a k diviso per x, dove k è uguale a uno.)

Si può notare che il grafico è composto da due parti. Queste parti sono chiamate rami dell'iperbole. Vale anche la pena notare che ogni ramo dell'iperbole si avvicina sempre di più agli assi delle coordinate in una delle direzioni. Gli assi delle coordinate in questo caso sono chiamati asintoti.

In generale, tutte le rette che il grafico di una funzione si avvicina all'infinito, ma non raggiunge, sono chiamate asintoti. Un'iperbole, come una parabola, ha assi di simmetria. Per l'iperbole mostrata nella figura sopra, questa è la retta y=x.

Ora affrontiamo due casi generali di iperboli. Il grafico della funzione y = k/x, per k ≠ 0, sarà un'iperbole, i cui rami si trovano o nel primo e nel terzo angolo di coordinata, per k>0, o nel secondo e nel quarto angolo di coordinata, forchetta<0.

Principali proprietà della funzione y = k/x, per k>0

Grafico della funzione y = k/x, per k>0

5. y>0 per x>0; y6. La funzione decresce sia sull'intervallo (-∞;0) che sull'intervallo (0;+∞).

10. L'intervallo della funzione è di due intervalli aperti (-∞;0) e (0;+∞).

Le principali proprietà della funzione y = k/x, per k<0

Grafico della funzione y = k/x, per k<0

1. Il punto (0;0) è il centro di simmetria dell'iperbole.

2. Assi di coordinate - asintoti di un'iperbole.

4. L'ambito della funzione è tutto x, eccetto x=0.

5. y>0 per x0.

6. La funzione aumenta sia sull'intervallo (-∞;0) che sull'intervallo (0;+∞).

7. La funzione non è limitata dal basso o dall'alto.

8. La funzione non ha né i valori più grandi né quelli più piccoli.

9. La funzione è continua sull'intervallo (-∞;0) e sull'intervallo (0;+∞). Ha uno spazio vuoto nel punto x=0.

Le equazioni quadratiche vengono studiate al grado 8, quindi non c'è nulla di complicato qui. La capacità di risolverli è essenziale.

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a , b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.

Prima di studiare metodi risolutivi specifici, notiamo che tutte le equazioni quadratiche possono essere suddivise in tre classi:

1. Non avere radici;
2. Hanno esattamente una radice;
3. Hanno due radici diverse.

Questa è una differenza importante tra equazioni quadratiche e lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa per questo - discriminante.

Discriminante

Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac .

Questa formula deve essere conosciuta a memoria. Da dove viene non è importante ora. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante, puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:

1. Se D< 0, корней нет;
2. Se D = 0, c'è esattamente una radice;
3. Se D > 0, ci saranno due radici.

Nota: il discriminante indica il numero di radici e per niente i loro segni, come per qualche motivo molte persone pensano. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:

Un compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

Scriviamo i coefficienti per la prima equazione e troviamo il discriminante:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Quindi, il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione allo stesso modo:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimane:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Il discriminante è uguale a zero: la radice sarà uno.

Si noti che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.

A proposito, se "riempi la tua mano", dopo un po 'non dovrai più scrivere tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte - in generale, non così tanto.

Le radici di un'equazione quadratica

Passiamo ora alla soluzione. Se il discriminante D > 0, le radici possono essere trovate usando le formule:

Formula di base delle radici equazione quadrata

Quando D = 0, puoi usare una qualsiasi di queste formule: ottieni lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima equazione:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:

Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ un = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'equazione ha di nuovo due radici. Troviamoli

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fine(allineamento)\]

Infine, la terza equazione:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio il primo:

Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso, si verificano errori quando i coefficienti negativi vengono sostituiti nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda letteralmente la formula, dipingi ogni passaggio e sbarazzati degli errori molto presto.

Equazioni quadratiche incomplete

Succede che l'equazione quadratica è in qualche modo diversa da quella data nella definizione. Per esempio:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

È facile vedere che in queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere rispetto a quelle standard: non hanno nemmeno bisogno di calcolare il discriminante. Quindi introduciamo un nuovo concetto:

L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.

Naturalmente, è possibile un caso molto difficile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b \u003d c \u003d 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 \u003d 0. Ovviamente, tale equazione ha un singolo radice: x \u003d 0.

Consideriamo altri casi. Sia b \u003d 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c \u003d 0. Trasformiamola leggermente:

Perché aritmetica Radice quadrata esiste solo da numero non negativo, l'ultima uguaglianza ha senso solo per (−c /a ) ≥ 0. Conclusione:

1. Se un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 soddisfa la disuguaglianza (−c / a ) ≥ 0, ci saranno due radici. La formula è data sopra;
2. Se (−c / a )< 0, корней нет.

Come puoi vedere, il discriminante non era richiesto: nelle equazioni quadratiche incomplete non c'è calcoli complessi. Infatti, non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c / a ) ≥ 0. Basta esprimere il valore di x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno di uguale. Se ci numero positivo ci saranno due radici. Se negativo, non ci saranno affatto radici.

Ora affrontiamo le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. Basta fattorizzare il polinomio:

Togliendo il fattore comune dalla parentesi

Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Ecco da dove vengono le radici. In conclusione, analizzeremo alcune di queste equazioni:

Un compito. Risolvi equazioni quadratiche:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Non ci sono radici, perché il quadrato non può essere uguale a un numero negativo.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

y (x) = ex, la cui derivata è uguale alla funzione stessa.

L'esponente è indicato come , o .

e numero

La base del grado dell'esponente è e numero. esso numero irrazionale. È approssimativamente uguale
e ≈ 2,718281828459045...

Il numero e è determinato attraverso il limite della sequenza. Questo cosiddetto secondo meraviglioso limite:
.

Inoltre, il numero e può essere rappresentato come una serie:
.

Grafico dell'espositore

Grafico esponente, y = e x .

Il grafico mostra l'esponente e nella misura X.
y (x) = ex
Il grafico mostra che l'esponente aumenta in modo monotono.

Formule

Le formule di base sono le stesse di funzione esponenziale con base e.

;
;
;

Espressione di una funzione esponenziale con base arbitraria di grado a attraverso l'esponente:
.

Valori privati

Lascia y (x) = ex. Quindi
.

Proprietà dell'esponente

L'esponente ha le proprietà di una funzione esponenziale in base di grado e > 1 .

Dominio di definizione, insieme di valori

Esponente y (x) = ex definito per tutti x .
Il suo scopo è:
- ∞ < x + ∞ .
Il suo insieme di significati:
0 < y < + ∞ .

Estremi, aumento, diminuzione

L'esponente è una funzione monotonicamente crescente, quindi non ha estremi. Le sue proprietà principali sono presentate nella tabella.

Funzione inversa

Il reciproco dell'esponente è il logaritmo naturale.
;
.

Derivata dell'esponente

Derivato e nella misura Xè uguale a e nella misura X :
.
Derivata dell'ennesimo ordine:
.
Derivazione di formule > > >

Integrante

Numeri complessi

Azioni con numeri complessi effettuato attraverso formule di Eulero:
,
dov'è l'unità immaginaria:
.

Espressioni in termini di funzioni iperboliche

; ;
.

Espressioni in termini di funzioni trigonometriche

; ;
;
.

Espansione della serie di potenze

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

In poche parole, si tratta di verdure cotte in acqua secondo una ricetta speciale. Considererò due componenti iniziali ( insalata di verdure e acqua) e il risultato finale è borscht. Geometricamente, questo può essere rappresentato come un rettangolo in cui un lato denota la lattuga, l'altro lato denota l'acqua. La somma di questi due lati indicherà borscht. La diagonale e l'area di un tale rettangolo "borscht" sono concetti puramente matematici e non vengono mai utilizzati nelle ricette del borscht.

In che modo la lattuga e l'acqua si trasformano in borscht in termini matematici? Come può la somma di due segmenti trasformarsi in trigonometria? Per capirlo, abbiamo bisogno di funzioni di angolo lineare.

Non troverai nulla sulle funzioni dell'angolo lineare nei libri di testo di matematica. Ma senza di loro non ci può essere matematica. Le leggi della matematica, come le leggi della natura, funzionano indipendentemente dalla loro esistenza o meno.

Le funzioni angolari lineari sono le leggi dell'addizione. Guarda come l'algebra si trasforma in geometria e la geometria si trasforma in trigonometria.

È possibile fare a meno delle funzioni angolari lineari? Puoi, perché i matematici riescono ancora senza di loro. Il trucco dei matematici sta nel fatto che ci parlano sempre solo di quei problemi che loro stessi possono risolvere e non ci parlano mai di quei problemi che non possono risolvere. Vedere. Se conosciamo il risultato dell'addizione e un termine, utilizziamo la sottrazione per trovare l'altro termine. Tutto quanto. Non conosciamo altri problemi e non siamo in grado di risolverli. Cosa fare se conosciamo solo il risultato dell'addizione e non conosciamo entrambi i termini? In questo caso, il risultato dell'addizione deve essere scomposto in due termini utilizzando le funzioni angolari lineari. Inoltre, scegliamo noi stessi quale può essere un termine e le funzioni angolari lineari mostrano quale dovrebbe essere il secondo termine affinché il risultato dell'addizione sia esattamente quello di cui abbiamo bisogno. Ci può essere un numero infinito di tali coppie di termini. A Vita di ogni giorno facciamo molto bene senza scomporre la somma, ci basta sottrarre. Ma a ricerca scientifica le leggi della natura, la scomposizione della somma in termini può essere molto utile.

Un'altra legge dell'addizione di cui i matematici non amano parlare (un altro loro trucco) richiede che i termini abbiano la stessa unità di misura. Per lattuga, acqua e borscht, queste possono essere unità di peso, volume, costo o unità di misura.

La figura mostra due livelli di differenza per la matematica. Il primo livello sono le differenze nel campo dei numeri, che sono indicate un, b, c. Questo è ciò che fanno i matematici. Il secondo livello sono le differenze nell'area delle unità di misura, che sono indicate tra parentesi quadre e sono indicate dalla lettera u. Questo è ciò che fanno i fisici. Possiamo comprendere il terzo livello: le differenze nell'ambito degli oggetti descritti. Oggetti diversi possono avere lo stesso numero delle stesse unità di misura. Quanto sia importante, lo possiamo vedere nell'esempio della trigonometria di Borscht. Se aggiungiamo pedici alla stessa designazione di unità di misura per oggetti diversi, possiamo dire esattamente quale valore matematico descrive un particolare oggetto e come cambia nel tempo o in relazione alle nostre azioni. lettera w Segnerò l'acqua con la lettera S Contrassegnerò l'insalata con la lettera B- Borsch. Ecco come sarebbero le funzioni dell'angolo lineare per borscht.

Se prendiamo parte dell'acqua e parte dell'insalata, insieme si trasformeranno in una porzione di borscht. Qui ti suggerisco di prenderti una piccola pausa dal borscht e ricordare la tua infanzia lontana. Ricordi come ci hanno insegnato a mettere insieme coniglietti e anatre? Era necessario trovare quanti animali risulteranno. Che cosa ci è stato insegnato a fare? Ci è stato insegnato a separare le unità dai numeri e ad aggiungere i numeri. Sì, qualsiasi numero può essere aggiunto a qualsiasi altro numero. Questo è un percorso diretto verso l'autismo della matematica moderna: non capiamo cosa, non è chiaro il perché, e capiamo molto male come questo si riferisca alla realtà, a causa dei tre livelli di differenza, i matematici operano solo su uno. Sarà più corretto imparare a passare da un'unità di misura all'altra.

E conigli, anatre e animaletti possono essere contati a pezzi. Un'unità di misura comune per oggetti diversi ci consente di sommarli insieme. Questa è una versione per bambini del problema. Diamo un'occhiata a un problema simile per gli adulti. Cosa ottieni quando aggiungi conigli e denaro? Ci sono due possibili soluzioni qui.

Prima opzione. Determiniamo il valore di mercato dei conigli e lo aggiungiamo alla liquidità disponibile. Abbiamo ottenuto il valore totale della nostra ricchezza in termini di denaro.

Seconda opzione. Puoi aggiungere il numero di coniglietti al numero di banconote che abbiamo. Otterremo la quantità di beni mobili in pezzi.

Come puoi vedere, la stessa legge di addizione ti consente di ottenere risultati diversi. Tutto dipende da cosa esattamente vogliamo sapere.

Ma torniamo al nostro borscht. Ora possiamo vedere cosa succede quando significati diversi angolo di funzioni angolari lineari.

L'angolo è zero. Abbiamo insalata ma niente acqua. Non possiamo cucinare il borsch. Anche l'importo del borscht è zero. Ciò non significa affatto che zero borscht sia uguale a zero acqua. Zero borsch può anche essere a zero insalata (angolo retto).

Per me personalmente, questa è la principale prova matematica del fatto che . Zero non cambia il numero quando viene aggiunto. Questo perché l'addizione stessa è impossibile se c'è un solo termine e manca il secondo termine. Puoi relazionarti a questo come preferisci, ma ricorda: tutte le operazioni matematiche con zero sono state inventate dai matematici stessi, quindi scarta la tua logica e riempi stupidamente le definizioni inventate dai matematici: "la divisione per zero è impossibile", "qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero" , "dietro il punto zero" e altre sciocchezze. Basta ricordare una volta che zero non è un numero, e non ci si chiederà mai se zero sia un numero naturale o meno, perché una domanda del genere perde generalmente ogni significato: come si può considerare un numero ciò che non è un numero . È come chiedere a quale colore attribuire un colore invisibile. Aggiungere zero a un numero è come dipingere con una vernice che non esiste. Hanno agitato un pennello asciutto e hanno detto a tutti che "abbiamo dipinto". Ma divago un po'.

L'angolo è maggiore di zero ma minore di quarantacinque gradi. Abbiamo molta lattuga, ma poca acqua. Di conseguenza, otteniamo uno spesso borscht.

L'angolo è di quarantacinque gradi. Abbiamo dentro importi uguali acqua e insalata. Questo è il borscht perfetto (che i cuochi mi perdonino, è solo matematica).

L'angolo è maggiore di quarantacinque gradi ma inferiore a novanta gradi. Abbiamo molta acqua e poca lattuga. Prendi il borsch liquido.

Angolo retto. Abbiamo acqua. Della lattuga rimangono solo ricordi, mentre continuiamo a misurare l'angolo dalla linea che un tempo segnava la lattuga. Non possiamo cucinare il borsch. La quantità di borscht è zero. In tal caso, aspetta e bevi acqua finché è disponibile)))

Qui. Qualcosa come questo. Posso raccontare altre storie qui che saranno più che appropriate qui.

I due amici avevano le loro azioni nell'affare comune. Dopo l'omicidio di uno di loro, tutto è andato all'altro.

L'emergere della matematica sul nostro pianeta.

Tutte queste storie sono raccontate nel linguaggio della matematica usando funzioni angolari lineari. Un'altra volta ti mostrerò il posto reale di queste funzioni nella struttura della matematica. Nel frattempo, torniamo alla trigonometria di borscht e consideriamo le proiezioni.

Sabato 26 ottobre 2019

Ho visto un video interessante su La fila di Grandi Uno meno uno più uno meno uno - Numberphile. I matematici mentono. Non hanno eseguito un test di uguaglianza nel loro ragionamento.

Questo risuona con il mio ragionamento su .

Diamo un'occhiata più da vicino ai segni che i matematici ci stanno ingannando. All'inizio del ragionamento, i matematici affermano che la somma della sequenza DIPENDE dal fatto che il numero di elementi in essa contenuti sia pari o meno. Questo è un FATTO OGGETTIVAMENTE STABILITO. Cosa succede dopo?

Successivamente, i matematici sottraggono la sequenza dall'unità. A cosa porta questo? Questo porta a un cambiamento nel numero di elementi nella sequenza: un numero pari cambia in un numero dispari, un numero dispari cambia in un numero pari. Dopotutto, abbiamo aggiunto un elemento uguale a uno alla sequenza. Nonostante tutta la somiglianza esterna, la sequenza prima della trasformazione non è uguale alla sequenza dopo la trasformazione. Anche se stiamo parlando di una sequenza infinita, dobbiamo ricordare che una sequenza infinita con un numero dispari di elementi non è uguale a una sequenza infinita con un numero pari di elementi.

Mettendo un segno di uguale tra due sequenze diverse nel numero di elementi, i matematici affermano che la somma della sequenza NON DIPENDE dal numero di elementi nella sequenza, il che contraddice un FATTO OGGETTIVAMENTE STABILITO. Un ulteriore ragionamento sulla somma di una sequenza infinita è falso, perché si basa su una falsa uguaglianza.

Se vedi che i matematici mettono parentesi nel corso delle dimostrazioni, riordinano gli elementi di un'espressione matematica, aggiungono o rimuovono qualcosa, stai molto attento, molto probabilmente stanno cercando di ingannarti. Come i prestigiatori di carte, i matematici distolgono la tua attenzione con varie manipolazioni dell'espressione per darti alla fine un risultato falso. Se non puoi ripetere il trucco con le carte senza conoscere il segreto dell'imbroglio, allora in matematica è tutto molto più semplice: non sospetti nemmeno nulla dell'imbroglio, ma ripetere tutte le manipolazioni con un'espressione matematica ti permette di convincere gli altri del correttezza del risultato, proprio come quando ti hanno convinto.

Domanda del pubblico: E l'infinito (come il numero di elementi nella sequenza S), è pari o dispari? Come puoi cambiare la parità di qualcosa che non ha parità?

L'infinito per i matematici è come il Regno dei cieli per i sacerdoti - nessuno è mai stato lì, ma tutti sanno esattamente come funziona tutto lì))) Sono d'accordo, dopo la morte sarai assolutamente indifferente se hai vissuto un numero pari o dispari di giorni , ma ... Aggiungendo solo un giorno all'inizio della tua vita, otterremo una persona completamente diversa: il suo cognome, nome e patronimico sono esattamente gli stessi, solo la data di nascita è completamente diversa - è nato uno giorno prima di te.

E ora al punto))) Supponiamo che una successione finita che ha parità perda questa parità andando all'infinito. Quindi anche qualsiasi segmento finito di una sequenza infinita deve perdere la parità. Non osserviamo questo. Il fatto che non si possa dire con certezza se il numero di elementi in una sequenza infinita sia pari o dispari non significa affatto che la parità sia scomparsa. La parità, se esiste, non può scomparire nell'infinito senza lasciare traccia, come nella manica di una carta più affilata. C'è un'ottima analogia per questo caso.

Hai mai chiesto a un cuculo seduto in un orologio in quale direzione ruota la lancetta dell'orologio? Per lei, la freccia ruota dentro direzione inversa a quello che chiamiamo "in senso orario". Può sembrare paradossale, ma il senso di rotazione dipende esclusivamente da quale lato osserviamo la rotazione. E così, abbiamo una ruota che gira. Non possiamo dire in quale direzione avvenga la rotazione, poiché possiamo osservarla sia da un lato del piano di rotazione che dall'altro. Possiamo solo testimoniare il fatto che c'è rotazione. Completa analogia con la parità di una successione infinita S.

Ora aggiungiamo una seconda ruota rotante, il cui piano di rotazione è parallelo al piano di rotazione della prima ruota rotante. Non siamo ancora in grado di dire esattamente in quale direzione girano queste ruote, ma possiamo dire con assoluta certezza se entrambe le ruote girano nella stessa direzione o in direzioni opposte. Confronto di due sequenze infinite S e 1-S, ho mostrato con l'aiuto della matematica che queste sequenze hanno parità diversa e mettere un segno di uguale tra di loro è un errore. Personalmente credo nella matematica, non mi fido dei matematici))) A proposito, per comprendere appieno la geometria delle trasformazioni di sequenze infinite, è necessario introdurre il concetto "simultaneità". Questo dovrà essere disegnato.

mercoledì 7 agosto 2019

Concludendo la conversazione su , dobbiamo considerare un insieme infinito. Dato che il concetto di "infinito" agisce sui matematici, come un boa constrictor su un coniglio. L'orrore tremante dell'infinito priva i matematici del buon senso. Ecco un esempio:

La fonte originale si trova. Alfa sta per numero reale. Il segno di uguale nelle espressioni precedenti indica che se aggiungi un numero o un infinito all'infinito, non cambierà nulla, il risultato sarà lo stesso infinito. Se prendiamo come esempio un insieme infinito numeri naturali, gli esempi considerati possono essere presentati nella forma seguente:

Per dimostrare visivamente il loro caso, i matematici hanno escogitato molti metodi diversi. Personalmente, considero tutti questi metodi come le danze degli sciamani con i tamburelli. In sostanza, tutti si riducono al fatto che o alcune stanze non sono occupate e vi si sono sistemati nuovi ospiti, o che alcuni dei visitatori vengono gettati nel corridoio per fare spazio agli ospiti (molto umanamente). Ho presentato il mio punto di vista su tali decisioni sotto forma di una fantastica storia sulla bionda. Su cosa si basa il mio ragionamento? Spostare un numero infinito di visitatori richiede un tempo infinito. Dopo aver lasciato la prima stanza degli ospiti, uno dei visitatori camminerà sempre lungo il corridoio dalla sua stanza alla successiva fino alla fine dei tempi. Naturalmente, il fattore tempo può essere stupidamente ignorato, ma questo sarà già dalla categoria "la legge non è scritta per gli sciocchi". Tutto dipende da quello che stiamo facendo: adeguare la realtà alle teorie matematiche o viceversa.

Che cos'è un "hotel infinito"? Una locanda infinity è una locanda che ha sempre un numero qualsiasi di posti liberi, non importa quante stanze siano occupate. Se tutte le stanze del corridoio infinito "per i visitatori" sono occupate, c'è un altro corridoio infinito con stanze per gli "ospiti". Ci sarà un numero infinito di tali corridoi. Allo stesso tempo, l '"hotel infinito" ha un numero infinito di piani in un numero infinito di edifici su un numero infinito di pianeti in un numero infinito di universi creati da un numero infinito di Dei. I matematici, invece, non sono in grado di allontanarsi dai banali problemi quotidiani: Dio-Allah-Buddha è sempre uno solo, l'hotel è uno, il corridoio è uno solo. Quindi i matematici stanno cercando di destreggiarsi tra i numeri di serie delle camere d'albergo, convincendoci che è possibile "spingere chi non è spinto".

Ti dimostrerò la logica del mio ragionamento usando l'esempio di un insieme infinito di numeri naturali. Per prima cosa devi rispondere a una domanda molto semplice: quanti insiemi di numeri naturali esistono - uno o molti? Non esiste una risposta corretta a questa domanda, poiché noi stessi abbiamo inventato i numeri, non ci sono numeri in Natura. Sì, la Natura sa contare perfettamente, ma per questo usa altri strumenti matematici che non ci sono familiari. Come pensa la Natura, ve lo dirò un'altra volta. Dal momento che abbiamo inventato i numeri, decideremo noi stessi quanti insiemi di numeri naturali esistono. Considera entrambe le opzioni, come si addice a un vero scienziato.

Opzione uno. "Ci sia dato" un unico insieme di numeri naturali, che giace serenamente su uno scaffale. Prendiamo questo set dallo scaffale. Questo è tutto, non ci sono altri numeri naturali rimasti sullo scaffale e non c'è nessun posto dove portarli. Non possiamo aggiungerne uno a questo set, poiché lo abbiamo già. E se lo volessi davvero? Nessun problema. Possiamo prendere un'unità dal set che abbiamo già preso e rimetterla sullo scaffale. Dopodiché, possiamo prendere un'unità dallo scaffale e aggiungerla a ciò che ci è rimasto. Di conseguenza, otteniamo di nuovo un insieme infinito di numeri naturali. Puoi scrivere tutte le nostre manipolazioni in questo modo:

Ho registrato le azioni in sistema algebrico notazione e nel sistema di notazione adottato nella teoria degli insiemi, con un'enumerazione dettagliata degli elementi dell'insieme. Il pedice indica che abbiamo un unico insieme di numeri naturali. Si scopre che l'insieme dei numeri naturali rimarrà invariato solo se ne viene sottratto uno e lo stesso viene aggiunto.

Opzione due. Abbiamo molti diversi insiemi infiniti di numeri naturali sullo scaffale. Sottolineo - DIVERSI, nonostante siano praticamente indistinguibili. Prendiamo uno di questi set. Quindi prendiamo uno da un altro insieme di numeri naturali e lo aggiungiamo all'insieme che abbiamo già preso. Possiamo anche aggiungere due insiemi di numeri naturali. Ecco cosa otteniamo:

I pedici "uno" e "due" indicano che questi elementi appartenevano a insiemi diversi. Sì, se ne aggiungi uno a un insieme infinito, anche il risultato sarà un insieme infinito, ma non sarà lo stesso dell'insieme originale. Se un altro insieme infinito viene aggiunto a un insieme infinito, il risultato è un nuovo insieme infinito costituito dagli elementi dei primi due insiemi.

L'insieme dei numeri naturali viene utilizzato per il conteggio allo stesso modo di un righello per le misurazioni. Ora immagina di aver aggiunto un centimetro al righello. Questa sarà già una riga diversa, non uguale all'originale.

Puoi accettare o meno il mio ragionamento: sono affari tuoi. Ma se ti imbatti in problemi matematici, considera se sei sulla strada del falso ragionamento, calpestato da generazioni di matematici. Dopotutto, le lezioni di matematica, prima di tutto, formano in noi uno stereotipo stabile del pensiero e solo allora ci aggiungono capacità mentali (o viceversa, ci privano del libero pensiero).

pozg.ru

domenica 4 agosto 2019

Stavo scrivendo un poscritto a un articolo su e ho visto questo meraviglioso testo su Wikipedia:

Si legge: "...ricco background teorico la matematica di Babilonia non aveva un carattere olistico e si riduceva a un insieme di tecniche disparate, prive di sistema comune e base di prove.

Oh! Quanto siamo intelligenti e quanto bene riusciamo a vedere i difetti degli altri. È debole per noi guardare alla matematica moderna nello stesso contesto? Parafrasando leggermente il testo sopra, personalmente ho ottenuto quanto segue:

La ricca base teorica della matematica moderna non ha un carattere olistico ed è ridotta a un insieme di sezioni disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove.

Non andrò lontano per confermare le mie parole: ha un linguaggio e convenzioni diverse dal linguaggio e dalle convenzioni di molti altri rami della matematica. Gli stessi nomi in diversi rami della matematica possono avere significati diversi. Voglio dedicare un intero ciclo di pubblicazioni agli errori più evidenti della matematica moderna. A presto.

Sabato 3 agosto 2019

Come dividere un insieme in sottoinsiemi? Per fare ciò, è necessario inserire una nuova unità di misura, che è presente in alcuni elementi dell'insieme selezionato. Considera un esempio.

Possiamo averne molti MA composto da quattro persone. Questo set è formato sulla base di "persone". Designiamo gli elementi di questo set attraverso la lettera un, il pedice con un numero indicherà il numero ordinale di ogni persona in questo set. Introduciamo una nuova unità di misura "caratteristica sessuale" e la indichiamo con la lettera b. Poiché le caratteristiche sessuali sono inerenti a tutte le persone, moltiplichiamo ogni elemento dell'insieme MA sul genere b. Nota che il nostro set "persone" è ora diventato il set "persone con genere". Successivamente, possiamo dividere le caratteristiche sessuali in maschili bm e femminile bw caratteristiche di genere. Ora possiamo applicare un filtro matematico: selezioniamo una di queste caratteristiche sessuali, non importa quale sia maschio o femmina. Se è presente in una persona, lo moltiplichiamo per uno, se non esiste un tale segno, lo moltiplichiamo per zero. E poi applichiamo la solita matematica scolastica. Guarda cosa è successo.

Dopo moltiplicazioni, riduzioni e riarrangiamenti, abbiamo ottenuto due sottoinsiemi: il sottoinsieme maschile bm e un sottoinsieme di donne bw. Approssimativamente allo stesso modo in cui ragionano i matematici quando applicano la teoria degli insiemi nella pratica. Ma non ci lasciano entrare nei dettagli, ma ci danno il risultato finale: "molte persone sono composte da un sottoinsieme di uomini e un sottoinsieme di donne". Naturalmente, potresti avere una domanda, come applicare correttamente la matematica nelle trasformazioni di cui sopra? Oserei assicurarvi che in effetti le trasformazioni sono fatte correttamente, è sufficiente conoscere la giustificazione matematica dell'aritmetica, dell'algebra booleana e di altre sezioni della matematica. Cos'è? Un'altra volta te ne parlerò.

Per quanto riguarda i superinsiemi, è possibile combinare due insiemi in un unico superinsieme scegliendo un'unità di misura presente negli elementi di questi due insiemi.

Come puoi vedere, le unità di misura e la matematica comune fanno della teoria degli insiemi un ricordo del passato. Un segno che non tutto va bene con la teoria degli insiemi è che i matematici hanno inventato un proprio linguaggio e notazioni per la teoria degli insiemi. I matematici fecero quello che facevano una volta gli sciamani. Solo gli sciamani sanno come applicare "correttamente" la loro "conoscenza". Questa "conoscenza" ci insegnano.

In conclusione, voglio mostrarvi come manipolano i matematici
Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga e le sta mille passi dietro. Durante il tempo in cui Achille percorre questa distanza, la tartaruga fa cento passi nella stessa direzione. Quando Achille avrà fatto cento passi, la tartaruga farà altri dieci passi, e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Tutti loro, in un modo o nell'altro, consideravano le aporie di Zenone. Lo shock è stato così forte che " ... le discussioni continuano in questo momento, la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici; nessuno di loro è diventato una soluzione universalmente accettata al problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Tutti capiscono di essere stati ingannati, ma nessuno capisce quale sia l'inganno.

Dal punto di vista della matematica, Zeno nella sua aporia ha mostrato chiaramente il passaggio dal valore a. Questa transizione implica l'applicazione invece delle costanti. Per quanto ho capito, apparato matematico l'uso di unità di misura variabili o non è ancora sviluppato, o non è stato applicato all'aporia di Zenone. L'applicazione della nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, per inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più sorpassare la tartaruga.

Se giriamo la logica a cui siamo abituati, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore al precedente. Se applichiamo il concetto di "infinito" in questa situazione, sarebbe corretto dire "Achille supererà infinitamente rapidamente la tartaruga".

Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a valori reciproci. Nella lingua di Zeno, sembra così:

Nel tempo impiegato da Achille per fare mille passi, la tartaruga fa cento passi nella stessa direzione. Durante l'intervallo di tempo successivo, uguale al primo, Achille farà altri mille passi e la tartaruga farà cento passi. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.

Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma non è soluzione completa I problemi. L'affermazione di Einstein sull'insormontabilità della velocità della luce è molto simile all'aporia di Zenone "Achille e la tartaruga". Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non all'infinito grandi numeri, ma in unità di misura.

Un'altra interessante aporia di Zeno racconta di una freccia volante:

Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è ferma, e poiché è ferma in ogni momento, è sempre ferma.

In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: basti chiarire che in ogni momento la freccia volante si ferma in diversi punti dello spazio, che, in effetti, è il movimento. C'è un altro punto da notare qui. Da una fotografia di un'auto sulla strada, è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare il fatto del movimento dell'auto, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi, ma non possono essere utilizzate per determinare la distanza. Per determinare la distanza dall'auto, hai bisogno di due fotografie scattate contemporaneamente da diversi punti nello spazio, ma non puoi determinare il fatto del movimento da esse (naturalmente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà). Quello che voglio sottolineare in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono due cose diverse che non devono essere confuse in quanto offrono diverse opportunità di esplorazione.
Mostrerò il processo con un esempio. Selezioniamo "solido rosso in un brufolo" - questo è il nostro "tutto". Allo stesso tempo, vediamo che queste cose sono con un inchino, e ci sono senza un inchino. Successivamente, selezioniamo una parte del "tutto" e formiamo un insieme "con un fiocco". Questo è il modo in cui gli sciamani si nutrono legando la loro teoria degli insiemi alla realtà.

Ora facciamo un piccolo trucco. Prendiamo "solido in un brufolo con un fiocco" e uniamo questi "interi" per colore, selezionando gli elementi rossi. Abbiamo molto "rosso". Ora una domanda difficile: i set ricevuti "con un fiocco" e "rosso" sono lo stesso set o due set diversi? Solo gli sciamani conoscono la risposta. Più precisamente, loro stessi non sanno nulla, ma come si suol dire, così sia.

Questo semplice esempio mostra che la teoria degli insiemi è completamente inutile quando si tratta di realtà. Qual è il segreto? Abbiamo formato una serie di "rosso solido brufoloso con un fiocco". La formazione avveniva secondo quattro diverse unità di misura: colore (rosso), forza (solido), rugosità (a dosso), decorazioni (a fiocco). Solo un insieme di unità di misura permette di descrivere adeguatamente oggetti reali nel linguaggio della matematica. Ecco come appare.

La lettera "a" con indici diversi indica diverse unità di misura. Tra parentesi sono evidenziate le unità di misura, secondo le quali il "tutto" viene allocato in fase preliminare. L'unità di misura, in base alla quale è formato l'insieme, viene tolta tra parentesi. L'ultima riga mostra il risultato finale: un elemento del set. Come puoi vedere, se usiamo le unità per formare un insieme, il risultato non dipende dall'ordine delle nostre azioni. E questa è matematica, e non le danze degli sciamani con i tamburelli. Gli sciamani possono “intuitivamente” arrivare allo stesso risultato, argomentandolo con “ovvietà”, perché le unità di misura non sono incluse nel loro arsenale “scientifico”.

Con l'aiuto delle unità di misura, è molto facile romperne uno o combinare più set in un superset. Diamo un'occhiata più da vicino all'algebra di questo processo.

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Per prima cosa, ricordiamo le formule di base dei gradi e le loro proprietà.

Prodotto di un numero un accade su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potenza o equazioni esponenziali - sono equazioni in cui le variabili sono in potenze (o esponenti) e la base è un numero.

Esempi di equazioni esponenziali:

In questo esempio, il numero 6 è la base, è sempre in basso, e la variabile X grado o misura.

Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?

Prendiamo una semplice equazione:

2x = 2 3

Un tale esempio può essere risolto anche nella mente. Si può notare che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Ora vediamo come dovrebbe essere presa questa decisione:

2x = 2 3
x = 3

Per risolvere questa equazione, abbiamo rimosso stessi motivi(cioè, due) e annota ciò che è rimasto, questi sono gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che stavamo cercando.

Ora riassumiamo la nostra soluzione.

Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. Necessità di controllare lo stesso se le basi dell'equazione a destra ea sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi sono le stesse, equiparare grado e risolvere la nuova equazione risultante.

Ora risolviamo alcuni esempi:

Iniziamo in modo semplice.

Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base e uguagliare i loro gradi.

x+2=4 L'equazione più semplice è risultata.
x=4 - 2
x=2
Risposta: x=2

Nell'esempio seguente, puoi vedere che le basi sono diverse, queste sono 3 e 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Per cominciare, trasferiamo i nove sul lato destro, otteniamo:

Ora devi fare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2 . Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otteniamo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ora è chiaro che le basi sui lati sinistro e destro sono le stesse e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle ed eguagliare i gradi.

3x=2x+16 ha ottenuto l'equazione più semplice
3x-2x=16
x=16
Risposta: x=16.

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4

Prima di tutto, guardiamo le basi, le basi sono due e quattro diverse. E dobbiamo essere gli stessi. Trasformiamo la quadrupla secondo la formula (a n) m = a nm .

4x = (2 2)x = 2 2x

E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Aggiungi all'equazione:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Abbiamo fatto un esempio per le stesse ragioni. Ma altri numeri 10 e 24 interferiscono con noi: cosa farne? Se guardi da vicino, puoi vedere che sul lato sinistro ripetiamo 2 2x, ecco la risposta: possiamo mettere 2 2x tra parentesi:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calcoliamo l'espressione tra parentesi:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividiamo l'intera equazione per 6:

Immagina 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 basi sono le stesse, scartale e identifica i gradi.
2x \u003d 2 si è rivelata l'equazione più semplice. Lo dividiamo per 2, otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.

Risolviamo l'equazione:

9 x - 12*3 x +27= 0

Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Le nostre basi sono le stesse, pari a 3. In questo esempio è chiaro che la prima tripla ha un grado doppio (2x) rispetto alla seconda (solo x). In questo caso, puoi decidere metodo di sostituzione. Il numero con il grado più piccolo è sostituito da:

Quindi 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Sostituiamo tutti i gradi con x nell'equazione con t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Otteniamo un'equazione quadratica. Risolviamo attraverso il discriminante, otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Torna a Variabile X.

Prendiamo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Questo è,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo, da t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Risposta: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

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