AGENZIA FEDERALE PER L'ISTRUZIONE

ISTITUTO EDUCATIVO STATALE

ISTRUZIONE PROFESSIONALE SUPERIORE

UNIVERSITÀ TECNICA STATALE DI VOLGOGRAD

ISTITUTO TECNOLOGICO KAMYSHINSKY (FILIALE)

DIPARTIMENTO "DISCIPLINE TECNICHE GENERALI"

SOLLECITAZIONI FUORI CENTRO

ALLUNGAMENTO O COMPRESSIONE

Linee guida

RPK "Politecnico"

Volgograd

2007

UDC 539. 3/.6 (07)

Studio sperimentale della distribuzione delle sollecitazioni in trazione eccentrica o compressione: Linee Guida / Comp. , ; Volgograd. stato tecnico. un-t. - Volgograd, 2007. - 11 p.

Preparato secondo programma di lavoro nella disciplina "Forza dei materiali" e sono destinati ad aiutare gli studenti che studiano nelle seguenti aree: 140200.

I l. 5. Tab. 2. Bibliografia: 4 titoli.

Revisore: PhD, Professore Associato

Pubblicato per decisione del consiglio di redazione ed editoria

Università tecnica statale di Volgograd

Compilato da: Alexander Vladimirovich Belov, Natalia Georgievna Neumoina

Anatoly Aleksandrovic Polivanov

STUDIO SPERIMENTALE DELLA DISTRIBUZIONE

SOLLECITAZIONI FUORI CENTRO

ALLUNGAMENTO O COMPRESSIONE

Linee guida

Templano 2007, pos. n. 18.

Firmato per la stampa Formato 60×84 1/16.

Foglio di carta. Stampa offset.

conv. forno l. 0,69. conv. ed. l. 0,56.

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Università tecnica statale di Volgograd

400131 Volgograd, ave. loro. , 28.

RPK "Politecnico"

Università tecnica statale di Volgograd

400131 Volgograd, st. Sovietico, 35.

© Volgogradskij

stato

tecnico

Università 2007

LABORATORIO #10

Argomento: Studio sperimentale della distribuzione delle sollecitazioni in trazione o compressione eccentrica.

Obbiettivo: Determina empiricamente l'entità delle sollecitazioni normali in determinati punti della sezione trasversale.

Tempo speso: 2 ore.

1. Brevi informazioni teoriche

La tensione eccentrica (compressione) di una trave rettilinea si verifica se la forza esterna applicata alla trave è diretta parallelamente al suo asse longitudinale, ma agisce a una certa distanza dal baricentro della sezione trasversale della trave (Fig. 1).

Compressione eccentrica- deformazione complessa. Può essere rappresentato come un insieme di 3 deformazioni semplici (caso generale - vedi Fig. 1) o 2 deformazioni semplici (caso speciale - vedi Fig. 2).

Caso generale

	Compressione eccentrica


centrale		curva pura circa l'asse X	a

caso speciale

	Compressione eccentrica


compressione centrale		pura flessione assiale a

Tutte le sezioni trasversali di una barra sotto compressione eccentrica sono ugualmente pericolose.

Tre fattori di forza interni sorgono contemporaneamente lì (caso generale):

forza longitudinale N;

il momento flettente MX;

il momento flettente My,

e due fattori di forza interni (caso speciale):

forza longitudinale N;

il momento flettente Mx e My.

Questo fattore di forza interna corrisponde solo a sollecitazioni normali, la cui entità può essere determinata dalle formule:

dove MAè l'area della sezione trasversale della trave ( m2);

X; io sono i principali momenti centrali di inerzia ( m4).

Per una sezione rettangolare:

a X;

Xè la distanza dal punto in cui viene determinata la sollecitazione rispetto all'asse a.

Secondo il principio di indipendenza dell'azione delle forze, la sollecitazione in qualsiasi punto della sezione trasversale durante la compressione eccentrica è determinata dalle formule:

, (3)

. (4)

E con tensione eccentrica:

. (5)

Il segno davanti a ciascun termine viene scelto in base al tipo di resistenza: il segno “+” corrisponde alla tensione, “-” alla compressione.

Per determinare la sollecitazione nel punto d'angolo della sezione, viene utilizzata la formula:

, (6)

dove Wx, wy sono i momenti di resistenza della sezione trasversale rispetto ai principali assi centrali di inerzia della sezione trasversale ( m3).

Per i profili laminati: trave a I, canale, ecc., i momenti di resistenza sono riportati nelle tabelle.

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Allo stesso modo, viene determinato il segno della tensione σmu. In questo caso, la sezione è fissata lungo l'asse a(vedi Fig. 3c).

2. Brevi informazioni su attrezzatura e campione

Schema di prova

In macchina UMM-50.	In macchina R-10.

La prova di trazione eccentrica viene eseguita su una macchina UMM-50. Il campione è un nastro di acciaio di sezione rettangolare con dimensioni in´ h = 1,5 ´ 15 cm. La prova di compressione eccentrica viene eseguita su una macchina per prove di trazione. R-10. Il campione è un rack a trave a I corto. Numero di profilo 12 .

La descrizione delle macchine utilizzate in questo lavoro è data in dettaglio nel manuale per l'esecuzione lavoro di laboratorio № 1.

Come apparecchiature di misurazione, qui vengono utilizzati estensimetri e il dispositivo IDC-I, il cui principio di funzionamento è descritto in dettaglio nel manuale per l'esecuzione del lavoro di laboratorio n. 3.

3. Esecuzione del lavoro di laboratorio

3.1. Preparazione per l'esperimento

1. Registrare nel rapporto lo scopo del lavoro, le informazioni sull'attrezzatura e il materiale dei campioni testati.

2. Disegna uno schema di prova, inserisci le dimensioni del campione richieste nel rapporto.

3. Determinare le caratteristiche geometriche richieste:

per un rettangolo secondo le formule (2);

per un I-beam dalla tabella dell'assortimento.

Determina le distanze da punti dati all'asse X. Determinare i valori massimo e minimo della forza F, nonché il valore del gradino di carico ΔF. Registrare il carico nella prima colonna della tabella. uno.

(Nota: valore massimo la forza F è determinata in base al passaporto di installazione, tenendo conto del fattore di concentrazione delle sollecitazioni, a condizione che il valore di sollecitazione calcolato non debba superare il limite di snervamento del materiale campione.)

Calcola il valore dei fattori di forza interni:

N= F; Mx = F × y.

A seconda dello schema di prova, calcolare la sollecitazione normale nei punti indicati della sezione trasversale utilizzando le formule (5) o (6). Scrivi il valore della tensione nella colonna 3 della tabella. 2.

3.2. parte sperimentale

1. Eseguire una prova, fissando le letture di tutti e tre gli estensimetri secondo lo strumento IDC-I ai valori di carico indicati.

2. Il numero di misurazioni per ciascuna cella di carico deve essere almeno cinque. Registra i dati nella tabella. uno.

3.3. Elaborazione di dati sperimentali

1. Determinare l'incremento delle letture di ciascuna cella di carico

2. Determinare il valore medio degli incrementi:

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7. Trarre conclusioni sul lavoro.

Laboratorio n. 10

Argomento:

Obbiettivo:

Definizione teorica delle sollecitazioni

Determinazione sperimentale delle sollecitazioni

Tabella 1

Carico- ka,F , kN	Letture strumentali e loro incrementi

Confronto tra risultati teorici e sperimentali

Tavolo 2

	Normale stress MPa	% incongruenza
valori sperimentali	valori teorici

σ io
σ II
σ III

Diagrammi di sollecitazione con il disegno di una linea zero

conclusioni

Il lavoro è stato svolto dallo studente:

domande di prova

1. Come ottenere la compressione eccentrica della deformazione (tensione)?

2. In quali semplici deformazioni consiste la complessa deformazione della compressione eccentrica (trazione)?

3. Quali fattori di forza interni si verificano nella sezione trasversale di una trave compressa eccentricamente?

4. Come viene determinato il loro valore?

5. Quale sezione di una trave compressa eccentrica è pericolosa?

6. Come determinare l'entità delle sollecitazioni da ciascuno dei fattori di forza interni in qualsiasi punto della sezione trasversale?

7. Quali formule vengono utilizzate per determinare i momenti di inerzia di una sezione rettangolare rispetto ai principali assi centrali di inerzia? Quali sono le loro unità di misura?

8. Come determinare il segno di sollecitazione dai fattori di forza interni nella tensione decentrata (compressione)?

9. Quale ipotesi sta alla base della determinazione delle sollecitazioni in compressione eccentrica? Formulalo.

10. Formula per determinare le sollecitazioni in qualsiasi punto della sezione trasversale sotto compressione eccentrica.

BIBLIOGRAFIA

1. Materiali Feodosiev. M.: Casa editrice di MSTU, 2000 - 592c.

2. e altri Forza dei materiali. Kiev: scuola di Specializzazione, 1986. - 775 pag.

3. Materiali Stepin. M.: Scuola superiore, 1988. - 367p.

4. Resistenza dei materiali. Laboratorio di laboratorio. /, ecc. M.: Bustard, 2004. - 352 p.

Il secondo caso praticamente importante di somma di deformazioni da flessione e da forze longitudinali è la cosiddetta compressione eccentrica o tensione causata dalle sole forze longitudinali. Questo tipo di deformazione si ottiene quando sullo stelo agiscono due forze uguali e direttamente opposte R diretto in linea retta aa, asse parallelo asta (Fig.3a). Distanza di punti MA dal baricentro della sezione OA=es chiamato eccentricità.

Consideriamo dapprima il caso della compressione eccentrica, come avente maggior significato pratico.

Il nostro compito è trovare le maggiori sollecitazioni nel materiale della canna e verificarne la resistenza. Per risolvere questo problema, applichiamo ai punti o due forze uguali e opposte R(Fig. 3b). Ciò non disturberà l'equilibrio della canna nel suo insieme e non modificherà le sollecitazioni nelle sue sezioni.

Forze R, barrato una volta, causerà la compressione assiale e le coppie di forze R, barrato due volte, causerà momenti flettenti puri. Lo schema di progettazione dell'asta è mostrato in Fig. 3 c. Dal piano d'azione delle coppie di flessione OA può non coincidere con nessuno dei principali piani di inerzia dell'asta, quindi nel caso generale si ha una combinazione di compressione longitudinale e flessione obliqua pura.

Poiché sotto compressione assiale e flessione pura le sollecitazioni sono le stesse in tutte le sezioni, la prova di resistenza può essere eseguita per qualsiasi sezione, almeno C-C (Fig. 3 b, c).

Scartiamo la parte superiore dell'asta e lasciamo quella inferiore (Fig. 3d). Lascia che gli assi UO e Oz saranno i principali assi di inerzia della sezione.

Fig.3. a) schema di progetto b) trasformazione dei carichi c) schema di progetto dato d) meccanismo di studio delle sollecitazioni

Coordinate del punto MA, - punti di intersezione della linea d'azione delle forze R con un piano di sezione, - siano presenti e . Accettiamo di scegliere le direzioni positive degli assi UO e Oz in modo che il punto MA era nel primo quadrante. Allora saranno positivi.

Per trovare il punto più pericoloso nella sezione selezionata, troviamo lo stress normale in qualsiasi punto A con coordinate z e a. Le sollecitazioni nella sezione C - C saranno la somma delle sollecitazioni di compressione assiale da parte della forza R e sollecitazioni da flessione obliqua pura in coppia con momento Rif, dove . Sollecitazioni di compressione da forze assiali R in ogni punto sono uguali, dove è l'area della sezione trasversale dell'asta; per quanto riguarda la flessione obliqua, la sostituiremo con l'azione dei momenti flettenti nei piani principali. Piegatura in piano x Oy attorno all'asse neutro Oz sarà chiamato di momento e darà a punto A normale sollecitazione di compressione

Allo stesso modo, lo stress normale in un punto A dalla flessione nel piano principale x Oz, causato dal momento , sarà compressivo e sarà espresso dalla formula.

Sommando le sollecitazioni da compressione assiale e due curve piatte e considerando le sollecitazioni di compressione come negative, otteniamo la seguente formula per la sollecitazione nel punto A:

(1)

Questa formula è adatta per calcolare le sollecitazioni in qualsiasi punto di qualsiasi sezione dell'asta, ma invece di a e z sostituire le coordinate del punto relativo agli assi principali con i loro segni.

Nel caso di tensione eccentrica, i segni di tutte le componenti della tensione normale nel punto A sarà invertito. Pertanto, per ottenere il corretto segno di sollecitazione sia per la compressione eccentrica che per la tensione eccentrica, è necessario, oltre ai segni delle coordinate a e z, tenere conto anche del segno della forza R; quando allungato prima dell'espressione

dovrebbe essere un segno più, con compressione - un segno meno.

La formula risultante può avere una forma leggermente diversa; togliere il moltiplicatore dalla parentesi; noi abbiamo:

(2)

Ecco e sono i raggi di inerzia della sezione rispetto agli assi principali (ricordiamo che e ).

Per trovare i punti con le sollecitazioni più alte, si dovrebbe scegliere a e z per raggiungere il valore massimo. Le variabili nelle formule (1) e (2) sono gli ultimi due termini che riflettono l'effetto della flessione. E poiché durante la flessione le sollecitazioni maggiori si ottengono nei punti più lontani dall'asse neutro, qui, come nella flessione obliqua, è necessario trovare la posizione dell'asse neutro.

Indichiamo le coordinate dei punti di questa retta attraverso e ; poiché nei punti dell'asse neutro le sollecitazioni normali sono pari a zero, quindi dopo aver sostituito i valori nella formula (2) otteniamo:

(3)

Questa sarà l'equazione dell'asse neutro. Ovviamente abbiamo ottenuto l'equazione di una retta che non passa per il baricentro della sezione.

Per costruire questa linea, il modo più semplice è calcolare i segmenti tagliati da essa assi coordinati. Indichiamo questi segmenti e . Per trovare il segmento intercettato sull'asse UO, è necessario inserire nell'equazione (3)

quindi otteniamo:

Se i valori e sono positivi, i segmenti e saranno negativi, ovvero l'asse neutro si troverà dall'altra parte del baricentro della sezione rispetto al punto MA(Fig. 3d).

L'asse neutro divide la sezione in due parti: compressa e allungata; in Fig. 3d, la parte allungata della sezione è ombreggiata. Disegnando tangenti parallele all'asse neutro al contorno della sezione, otteniamo due punti e , in corrispondenza dei quali ci saranno le maggiori sollecitazioni di compressione e trazione.

Coordinate di misura a e z questi punti e sostituendo i loro valori nella formula (1), calcoliamo i valori delle maggiori sollecitazioni nei punti e :

Se il materiale dell'asta resiste allo stesso modo alla tensione e alla compressione, la condizione di resistenza assume la forma seguente:

Per sezioni trasversali con angoli sporgenti, in cui entrambi gli assi di inerzia principali sono assi di simmetria (rettangolo, trave a I, ecc.) Pertanto, la formula è semplificata e abbiamo

Se il materiale dell'asta resiste in modo disuguale a trazione e compressione, è necessario verificare la resistenza dell'asta sia nella zona tesa che in quella compressa.

Tuttavia, può capitare che anche per tali materiali sia sufficiente una sola prova di resistenza. Dalle formule (4) e (5) si evince che la posizione del punto MA l'applicazione della forza e la posizione dell'asse neutro sono correlate: più il punto è vicino MA al centro della sezione, minori sono i valori e e maggiori sono i segmenti e . Così, con approccio punti MA al baricentro dell'asse neutro della sezione RIMOSSO da lui e viceversa. Pertanto, per alcune posizioni del punto MA l'asse neutro passerà fuori sezione e l'intera sezione lavoreranno per sollecitazioni dello stesso segno. Ovviamente in questo caso è sempre sufficiente verificare nel punto la resistenza del materiale.

Analizziamo un caso praticamente importante in cui una forza eccentrica viene applicata ad un'asta di sezione rettangolare (Fig. 4) R al punto MA sdraiato su asse principale sezioni UO. Eccentricità OAè uguale a e, dimensioni della sezione b e d. Applicando le formule ottenute sopra, abbiamo:

Fig.4. Diagramma di calcolo di una barra di sezione rettangolare.

Tensione in qualsiasi momento Aè uguale a

Sollecita in tutti i punti di una linea parallela all'asse Oz, sono gli stessi. La posizione dell'asse neutro è determinata dai segmenti

L'asse neutro è parallelo all'asse Oz; i punti con le maggiori sollecitazioni di trazione e compressione si trovano sui lati 1–1 e 3–3.

I valori e si otterranno se sostituiamo invece di a i suoi significati. Quindi

Lezione numero 28. Anima della sezione sotto compressione eccentrica

Quando si progettano aste con materiali che resistono scarsamente alla tensione (calcestruzzo), è altamente auspicabile assicurarsi che l'intera sezione funzioni solo in compressione. Ciò può essere ottenuto senza indicare il punto di applicazione della forza R allontanarsi troppo dal baricentro della sezione, limitando la quantità di eccentricità.

È auspicabile che il progettista sappia in anticipo quale eccentricità può essere consentita per il tipo di sezione selezionato senza rischiare di provocare sollecitazioni di segno diverso nelle sezioni dell'asta. Qui il concetto del cosiddetto nucleo di sezione. Questo termine denota una certa area attorno al baricentro della sezione, all'interno della quale è possibile localizzare il punto di applicazione della forza P senza provocare sollecitazioni di segno diverso nella sezione.

Fino al punto MA si trova all'interno del nucleo, l'asse neutro non interseca il contorno della sezione, giace tutto lungo uno lato dell'asse neutro e, quindi, funziona solo per compressione. Quando si elimina un punto MA dal baricentro della sezione, l'asse neutro si avvicinerà al contorno; il confine del nucleo è determinato dal fatto che quando si trova il punto MA a questo confine l'asse neutro si avvicina alla sezione e la tocca.

Fig. 1. Combinazioni di posizione della forza di compressione e linea neutra

Quindi, se spostiamo il punto MA in modo che l'asse neutro lanciato lungo il contorno della sezione senza attraversarlo, quindi il punto A percorrerà il confine del nucleo della sezione. Se il contorno della sezione presenta "avvallamenti", l'asse neutro rotolerà lungo l'inviluppo del contorno.

Per ottenere il profilo del nucleo, è necessario dare all'asse neutro più posizioni tangenti al profilo della sezione, determinare i segmenti e per queste posizioni, e calcolare le coordinate e i punti di applicazione della forza utilizzando le formule derivanti dal noto dipendenze:

queste saranno le coordinate dei punti del contorno del nucleo e .

In poligonale la forma del contorno della sezione (Fig. 2), combinando sequenzialmente l'asse neutro con ciascuno dei lati del poligono, determineremo le coordinate e i punti del confine del nucleo corrispondente a questi lati per segmenti.

Quando ci si sposta da un lato all'altro del contorno della sezione, l'asse neutro sarà ruotare intorno alla parte superiore che separa questi lati; il punto di applicazione della forza si sposterà lungo il confine del nucleo tra i punti già ottenuti. Determina come dovrebbe muoversi la forza R in modo che l'asse neutro passi sempre per lo stesso punto A(,) ruoterebbe attorno ad esso. Sostituendo le coordinate di questo punto dell'asse neutro nell'equazione nota dell'asse neutro (linea), otteniamo:

Fig.2. Kernel di sezione per la forma della sezione trasversale poligonale

Quindi le coordinate ei punti di applicazione della forza R collegato linearmente. In rotazione dell'asse neutro attorno ad un punto B costante, il punto A dell'applicazione della forza si muove in linea retta. Indietro, forza in movimento R in linea retta a causa della rotazione dell'asse neutro attorno a un punto costante.

La figura 3 mostra tre posizioni del punto di applicazione della forza su questa retta e, di conseguenza, tre posizioni dell'asse neutro. Pertanto, con una forma poligonale del contorno della sezione, il contorno del nucleo tra i punti corrispondenti ai lati del poligono sarà costituito da segmenti di linee rette.

Fig.3. Dinamica di costruzione del kernel di sezione

Se il contorno della sezione è completamente o parzialmente limitato da linee curve, la costruzione del confine centrale può essere eseguita per punti. Considerane alcuni semplici esempi costruzione del kernel di sezione.

Quando eseguiamo questa costruzione per una sezione trasversale rettangolare, utilizziamo le formule ottenute.

Per determinare i limiti del kernel di sezione quando si sposta un punto MA lungo l'asse UO trovare il valore al quale l'asse neutro prenderà la posizione H 1 O 1

Fig.4. costruzione di un kernel a sezione rettangolare.

Per fare ciò, la forza deve muoversi lungo la linea retta 1 - 2. Allo stesso modo, si può dimostrare che i restanti confini del nucleo saranno le linee 2-3, 3-4 e 4-1.

Pertanto, per una sezione rettangolare, il nucleo sarà un rombo con diagonali uguali a un terzo lato corrispondente della sezione. Pertanto, una sezione rettangolare, quando la forza si trova lungo l'asse principale, lavora su sollecitazioni dello stesso segno, se il punto di applicazione della forza non va oltre terzo medio lati della sezione.

Fig.5. La dinamica della sollecitazione cambia quando cambia l'eccentricità.

I diagrammi di distribuzione delle sollecitazioni normali su una sezione rettangolare con eccentricità uguale a zero, minore, uguale e maggiore di un sesto della larghezza della sezione sono mostrati in Fig.5.

Si noti che per tutte le posizioni di forza R sollecitazione al baricentro della sezione (punto A proposito di ABCD, descritto vicino alla trave a I (Fig. 6a). Di conseguenza, il profilo del nucleo per una trave a I ha la forma di un rombo, come per un rettangolo, ma con dimensioni diverse.

Per un canale, così come per una trave a I, i punti 1, 2, 3, 4 del profilo centrale (Fig. 6 b) corrispondono alla coincidenza dell'asse neutro con i lati del rettangolo ABCD.

Lezione numero 29. Azioni combinate di flessione e torsione di una barra prismatica

Studiamo questo tipo di deformazione dell'asta utilizzando l'esempio del calcolo di un albero di sezione circolare (anulare) per l'azione combinata di flessione e torsione (Fig. 1).

Fig. 1. Schema di calcolo di un albero piegato e ritorto

Tensione eccentrica Viene chiamato questo tipo di caricamento di una trave, in cui forze esterne agiscono lungo l'asse longitudinale della trave, ma non coincidono con esso (Fig. 8.4). Le sollecitazioni sono determinate utilizzando il principio di indipendenza dell'azione delle forze. La tensione eccentrica è una combinazione di tensione assiale e flessione obliqua (in casi particolari - piatta). La formula per le sollecitazioni normali può essere ottenuta come somma algebrica delle sollecitazioni normali derivanti da ciascun tipo di carico:

dove ; ;

yF, zF– coordinate del punto di applicazione della forza F.

Per determinare i punti pericolosi della sezione, è necessario trovare la posizione della linea neutra (n.l.) come luogo dei punti in cui le sollecitazioni sono pari a zero.

Equazione n.l. può essere scritto come l'equazione di una retta in segmenti:

dove e sono segmenti troncati da n.l. sugli assi delle coordinate,

, sono i principali raggi di inerzia della sezione.

La linea neutra divide la sezione trasversale in zone con sollecitazioni di trazione e compressione. Il diagramma delle sollecitazioni normali è presentato in fig. 8.4.

Se la sezione è simmetrica rispetto agli assi principali, viene scritta la condizione di resistenza per i materiali plastici, in cui [ s c] = [s pag] = [S], come

. (8.5)

Per materiali fragili con [ s c]¹[ s pag], la condizione di resistenza deve essere registrata separatamente per il punto pericoloso della sezione nella zona di tensione:

e per il punto pericoloso del tratto in zona compressa:

dove z1, si 1 e z2, y2- le coordinate dei punti della sezione più distanti dalla linea neutra nelle zone allungate 1 e compresse 2 della sezione (Fig. 8.4).

Proprietà linea zero

1. La linea dello zero divide l'intera sezione in due zone: tensione e compressione.

2. La linea dello zero è diritta, poiché le coordinate xey sono nel primo grado.

3. La linea dello zero non passa per l'origine (Fig. 8.4).

4. Se il punto di applicazione della forza si trova sulla principale inerzia centrale sezione, allora la linea dello zero ad essa corrispondente è perpendicolare a questo asse e passa dall'altra parte dell'origine (Fig. 8.5).

5. Se il punto di applicazione della forza si sposta lungo il raggio che emerge dall'origine, la linea dello zero ad esso corrispondente si sposta dietro di esso (Fig. 8.6):

n.l

Riso. 8.5 Fig. 8.6

a) quando il punto di applicazione della forza si sposta lungo il raggio che emana dall'origine da zero all'infinito (y F ®∞, z F ®∞), un a ®0; un z®0. Lo stato limite di questo caso: la linea dello zero passerà per l'origine (piega);

b) quando il punto di applicazione della forza (t. K) si sposta lungo il raggio che emana dall'origine da infinito a zero (y F ® 0 e z F ® 0), un®∞; un z®∞. Lo stato limite di questo caso: la linea dello zero viene rimossa all'infinito e il corpo sperimenterà un semplice allungamento (compressione).

6. Se il punto di applicazione della forza (punto K) si sposta lungo una retta che interseca gli assi delle coordinate, in questo caso la linea dello zero ruoterà attorno a un certo centro situato nel quadrante opposto rispetto al punto K.

8.2.3. Sezione kernel

Alcuni materiali (calcestruzzo, muratura) possono assorbire sollecitazioni di trazione molto piccole, mentre altri (come il terreno) non possono resistere affatto allo stiramento. Tali materiali vengono utilizzati per la produzione di elementi strutturali in cui non si verificano sollecitazioni di trazione e non vengono utilizzati per la produzione di elementi di istruzione che subiscono flessione, torsione, tensione centrale ed eccentrica.

Da questi materiali possono essere realizzati solo elementi compressi centralmente, in cui non si verificano sollecitazioni di trazione, così come elementi compressi eccentricamente, se in essi non si formano sollecitazioni di trazione. Ciò si verifica quando il punto di applicazione della forza di compressione si trova all'interno o al confine di una regione centrale della sezione trasversale, denominata nucleo della sezione.

Sezione kernel una trave è detta sua qualche area centrale, che ha la proprietà che la forza applicata in uno qualsiasi dei suoi punti provoca sollecitazioni dello stesso segno in tutti i punti della sezione trasversale della trave, ad es. la linea dello zero non passa attraverso la sezione della trave.

Se il punto di applicazione della forza di compressione si trova all'esterno del nucleo della sezione, nella sezione trasversale si verificano sollecitazioni di compressione e trazione. In questo caso, la linea dello zero attraversa la sezione trasversale della trave.

Se la forza viene applicata al limite del nucleo della sezione, la linea dello zero tocca il contorno della sezione (in un punto o lungo una linea); nel punto di contatto, le sollecitazioni normali sono pari a zero.

Quando si calcola in modo eccentrico barre compresse, realizzato con un materiale che percepisce scarsamente le sollecitazioni di trazione, è importante conoscere la forma e le dimensioni dell'anima della sezione. Ciò consente, senza calcolare le sollecitazioni, di stabilire se si verificano sollecitazioni di trazione nella sezione trasversale della trave (Fig. 8.7).

Ne consegue dalla definizione che il kernel di una sezione è un'area che si trova all'interno della sezione stessa.

Per i materiali fragili, è necessario applicare un carico di compressione nel nucleo della sezione per escludere zone di trazione nella sezione (Fig. 8.7).

Per costruire il nucleo della sezione, è necessario combinare in sequenza la linea dello zero con il contorno della sezione trasversale in modo che la linea dello zero non intersechi la sezione e allo stesso tempo calcolare il punto corrispondente

applicazione della forza di compressione K con

Riso. 8,7 dinamo e F e z F secondo le formule:

; .

I punti di applicazione della forza risultanti con le coordinate yF, zF devono essere collegati da linee rette. L'area delimitata dalla polilinea risultante sarà il nucleo della sezione.

La sequenza di costruzione della sezione kernel

1. Determinare la posizione del baricentro della sezione trasversale e i principali assi centrali di inerzia y e z, nonché i valori dei raggi al quadrato di inerzia io y, io z.

2. Mostrare tutte le possibili posizioni del n.l. relative al contorno della sezione.

3. Per ogni posizione di n.l. definire i segmenti Ay e az, tagliato da esso dai principali assi centrali di inerzia yez.

4. Per ogni posizione di n.l. impostare le coordinate del centro di pressione e F, e z F .

5. I centri di pressione ottenuti sono collegati da segmenti di rette, all'interno dei quali si troverà il nucleo della sezione.

Torsione con piega

Il tipo di carico in cui la trave è sottoposta all'azione di momenti torcenti e flettenti contemporaneamente è chiamato flessione con torsione.

Quando calcoliamo, utilizziamo il principio di indipendenza dell'azione delle forze. Determiniamo separatamente le sollecitazioni durante la flessione e la torsione (Fig. 8.8) .

Quando si piega nella sezione trasversale, si verificano sollecitazioni normali, che raggiungono un valore massimo nelle fibre più esterne

Durante la torsione nella sezione trasversale, si verificano sollecitazioni di taglio, che raggiungono il valore più alto nei punti della sezione vicino alla superficie dell'albero

Riso. 8.9

Riso. 8.10

Riso. 8.8

Le sollecitazioni normali e di taglio raggiungono contemporaneamente il loro valore massimo nei punti DA e A sezione dell'albero (Fig. 8.9). Considera lo stato di stress nel punto DA(Fig. 8.10). Si può vedere che il parallelepipedo elementare selezionato attorno al punto DA, è in uno stato di sollecitazione piana.

Pertanto, per testare la forza, applichiamo una delle ipotesi di forza.

Condizione di resistenza secondo la terza ipotesi di resistenza (l'ipotesi delle maggiori sollecitazioni di taglio)

Dato che , , otteniamo la condizione della resistenza dell'albero

. (8.6)

Se l'albero si piega su due piani, la condizione di resistenza sarà

Utilizzando la quarta ipotesi di forza (energia).

dopo la sostituzione S e t noi abbiamo

. (8.7)

Domande per l'autoesame

1. Che tipo di curva è chiamata obliqua?

2. Quale combinazione di tipi di curvatura è una curva obliqua?

3. Quali formule vengono utilizzate per determinare le sollecitazioni normali nelle sezioni trasversali di una trave durante la flessione obliqua?

4. Com'è la posizione dell'asse neutro in flessione obliqua?

5. Come vengono determinati i punti pericolosi in una sezione con flessione obliqua?

6. Come vengono determinati gli spostamenti dei punti dell'asse della trave durante la flessione obliqua?

7. Che tipo di resistenza complessa è chiamata tensione eccentrica (o compressione)?

8. Quali formule vengono utilizzate per determinare le sollecitazioni normali nelle sezioni trasversali dell'asta durante la tensione e la compressione eccentriche? Qual è la forma del diagramma di queste sollecitazioni?

9. Come viene determinata la posizione dell'asse neutro in tensione e compressione eccentrica? Annota le formule corrispondenti.

10. Quali sollecitazioni si verificano nella sezione trasversale della trave durante la flessione con torsione?

11. Come si piegano con torsione le sezioni pericolose di una trave tonda?

12. Quali punti di una sezione circolare sono pericolosi quando si piegano con torsione?

13. Quale stato di stress si verifica in questi punti?

Per determinare le forze interne, nelle sezioni trasversali della trave in tensione eccentrica (compressione), sostituiremo il sistema di forze dato con un sistema di altre forze staticamente equivalente. Sulla base del principio di Saint-Venant, tale sostituzione non causerà modifiche alle condizioni di carico e di deformazione delle parti della trave che sono sufficientemente lontane dal luogo di applicazione delle forze.

Innanzitutto, trasferiamo il punto di applicazione della forza sull'asse e applichiamo a questo punto una forza uguale alla forza, ma diretta in modo opposto (Fig. 3.2). Per lasciare una forza sull'asse, è necessario aggiungere alla sua azione l'azione di una coppia di forze segnate da due linee, o un momento. Successivamente, trasferiamo la forza al baricentro della sezione e a questo punto applichiamo una forza uguale alla forza, ma diretta in modo opposto (Fig. 3.2). Per lasciare la forza al centro di gravità, è necessario aggiungere alla sua azione un'altra coppia di forze, contrassegnate da croci, o un momento.

Pertanto, l'azione di una forza applicata eccentricamente alla sezione è equivalente all'azione combinata di una forza applicata centralmente e di due momenti concentrati esterni u.

Utilizzando il metodo delle sezioni, è facile stabilire che in tutte le sezioni trasversali di una trave tesa eccentricamente (compressa), agiscono i seguenti fattori di forza interni: una forza longitudinale e due momenti flettenti e (Fig. 3.3).

Determiniamo le sollecitazioni nelle sezioni trasversali della trave utilizzando il principio di indipendenza dell'azione delle forze. Da tutti i fattori di forza interni, nelle sezioni trasversali sorgono sollecitazioni normali. I segni di sollecitazione sono impostati in base alla natura delle deformazioni: più - tensione, meno - compressione. Disponiamo i segni di sollecitazione di ciascuno dei fattori di forza interni nei punti, nell'intersezione degli assi e con il contorno della sezione trasversale (Fig. 3.3). Dalla forza longitudinale in tutti i punti, le sezioni sono le stesse e positive; dal momento nel punto di stress - più, nel punto - meno, nei punti e, perché l'asse è in questo caso la linea neutra; dal momento nel punto di stress - più, nel punto - meno, nei punti e, perché l'asse in questo caso è la linea neutra.

piena tensione in un punto con coordinate e, sarà uguale a:

Il punto più caricato in una sezione a forma libera è il punto più lontano dalla linea neutra. per quanto riguarda, Grande importanza acquisire problematiche relative alla determinazione della posizione della linea neutra.

Determinazione della posizione della linea neutra

La posizione della linea neutra può essere determinata utilizzando la formula (3.1), equiparando a zero le sollecitazioni normali

dove e sono le coordinate di un punto che giace sulla linea neutra.

L'ultima espressione può essere convertita utilizzando le formule per i raggi di rotazione: e. Quindi

L'equazione (3.2) mostra che la linea neutra in tensione eccentrica (compressione) è una retta che non passa per l'origine (centro di gravità della sezione trasversale).

Disegna questa linea attraverso due punti assi coordinati(Fig. 3.4). Lascia che il punto 1 si trovi sull'asse, quindi le sue coordinate saranno e, e il punto 2 - sull'asse, quindi le sue coordinate saranno e (in base all'equazione (3.2)).

Se le coordinate del punto di applicazione della forza (polo) sono positive, le coordinate dei punti 1 e 2 sono negative e viceversa. Pertanto, il polo e la linea neutra si trovano ai lati opposti dell'origine.

Determinare la posizione della linea neutra consente di identificare i punti pericolosi nella sezione, ad es. punti in cui prendono le normali sollecitazioni valori più alti. Per fare ciò, costruisci tangenti al contorno della sezione, parallele alla linea neutra. I punti di contatto e saranno pericolosi (Fig. 3.4).

Le condizioni di resistenza per i punti pericolosi dipendono dalle proprietà del materiale di cui è composta la trave. Poiché un materiale fragile ha proprietà diverse in trazione e compressione - resiste male alla trazione e alla compressione, le condizioni di resistenza sono per due punti: dove agiscono le sollecitazioni massime di trazione (t.) e di compressione massima (t.) (Fig. 3.4)

Per un materiale plastico che resiste in egual modo sia alla trazione che alla compressione, viene realizzata una condizione di resistenza per il punto della sezione trasversale in cui le sollecitazioni normali sono massime in valore assoluto. Nel nostro caso, un tale punto è un punto in cui agiscono gli accenti dello stesso segno.

Il concetto di sezione centrale

Durante la costruzione di una linea neutra (Fig. 3.4), sono state determinate le coordinate dei punti 1 e 2, attraverso le quali è stato disegnato

Le coordinate dei punti che giacciono sulla linea neutra dipendono dalla posizione del punto di applicazione della forza (polo) con le coordinate. Se le coordinate polari diminuiscono, ad es. il palo si avvicina al baricentro della sezione, quindi aumentano, cioè la linea neutra può estendersi oltre la sezione o toccare il contorno della sezione. In questo caso, nella sezione si verificheranno sollecitazioni dello stesso segno.

Viene chiamata l'area di applicazione delle forze longitudinali, che in questo caso provocano sollecitazioni dello stesso segno nella sezione trasversale kernel di sezione.

La questione della determinazione del nucleo della sezione è la più rilevante per gli elementi strutturali in materiale friabile operanti in compressione eccentrica, al fine di ottenere solo sollecitazioni di compressione nella sezione trasversale, perché il materiale fragile resiste poco alla deformazione da trazione. Per fare ciò, è necessario impostare un certo numero di posizioni della linea neutra, disegnandola attraverso i punti limite del contorno, e calcolare le coordinate dei corrispondenti punti di applicazione della forza, secondo le formule che seguono da (3.5).

La posizione geometrica dei punti così calcolata determinerà il contorno del nucleo della sezione. Sulla fig. 3.6 mostra esempi di una sezione kernel per forme comuni.

Si consideri un esempio di calcoli per la compressione della tensione fuori centro.

Esempio 3.1. Una striscia di acciaio di larghezza = 10 cm e spessore = 1 cm, tesa centralmente da forze = 70 kN, ha una fessura di larghezza = 3 cm (Fig. 3.6). Determinare le maggiori sollecitazioni normali nella sezione, non tenendo conto delle concentrazioni di sollecitazioni. Quanto sarebbe larga la fenditura per la stessa quantità di forza di trazione se si trovasse a metà della larghezza della striscia?

Soluzione. Con una fessura asimmetrica, il baricentro della sezione indebolita si sposta dalla linea d'azione della forza a destra e si verifica una tensione decentrata. Per determinare la posizione del baricentro (), rappresentiamo la sezione indebolita come un grande rettangolo di dimensioni (figura I) da cui viene rimosso un piccolo rettangolo di dimensioni (figura II). Per l'asse originale, prendiamo l'asse.

In questo caso, nella sezione trasversale sorgono due fattori di forza interni: la forza longitudinale e il momento flettente.

Per determinare il punto pericoloso, posizioniamo i segni di sollecitazione sui lati laterali della sezione trasversale (Fig. 3.6). Dalla forza longitudinale in tutti i punti della sezione, ci sono sollecitazioni positive (di trazione). Dal momento flettente, le sollecitazioni di trazione (segno più) si verificano a sinistra dell'asse e le sollecitazioni di compressione (segno meno) a destra.

Pertanto, le sollecitazioni normali massime sorgono nel cosiddetto.

dov'è l'area della sezione indebolita, pari a =7 cm 2;

Momento d'inerzia della sezione indebolita rispetto all'asse centrale principale

Distanza dalla linea neutra () al punto più distante (t.)

Di conseguenza, le sollecitazioni normali massime saranno uguali a

Con una larghezza della fessura simmetrica, si verifica solo la tensione

Calcolo delle barre in compressione-trazione eccentrica

Esempio 1

Corta in ghisa l'asta è compressa da una forza longitudinale F= 600 kN applicati al punto A.

Necessario:

1. Determinare la posizione della linea neutra;

2. Calcolare le maggiori sollecitazioni di trazione e di compressione.

Soluzione.

1. Disegna la sezione in scala.

2. Determinare la posizione degli assi centrali principali. La sezione ha un asse di simmetria, quindi l'asse Y possiamo mostrartelo adesso.

3. Determina la posizione del baricentro della figura (la figura è composta da due quadrati). Scegliamo un sistema di coordinate ausiliario arbitrario.

x 1 C 1 Y– sistema di coordinate ausiliario;

determinare le coordinate dei punti DA 1 e DA 2 nel sistema x 1 C 1 Y.

MA 1 , MA 2 è l'area rispettivamente del primo e del secondo quadrato.

A \u003d A 1 - A 2è l'area dell'intera figura.

MA 1 = b 2 \u003d 2500 cm 2

DA (X c = 0; a c = -5,89) - la posizione del baricentro nel sistema di coordinate ausiliario x 1 C 1 Y.

Asse X disegnare perpendicolarmente all'asse Y attraverso un punto DA.

Poiché la sezione è simmetrica, quindi XC Yè il principale sistema di coordinate centrale.

4. Determinare i principali momenti d'inerzia centrali ei quadrati dei raggi principali della sezione.

dove un 1 \u003d 5,89 cm - distanza tra gli assi X e X 1 ;

un 2 \u003d 5,89 + 17,68 \u003d 23,57 - distanza tra gli assi X e X 2 .

5. Determinare le coordinate del punto A(punti di applicazione della forza) nel sistema di coordinate centrale principale x con Su con.

6. Determinare la posizione della linea neutra.

dove X N, a N - coordinate dei punti della linea neutra.

In questo compito

La linea neutra passa per il punto ( X N=0;a N = 11.36) parallelo all'asse X Insieme a.

7. In questo problema, una forza di compressione agisce sull'asta, quindi le sollecitazioni normali in qualsiasi punto della sezione trasversale saranno determinate dalla formula

dove x, y sono le coordinate del punto in cui vengono calcolate le sollecitazioni.

8. In quel punto si ottengono le maggiori sollecitazioni di compressione A. Questo è il punto più lontano dalla linea neutra nella regione di compressione.

Le maggiori sollecitazioni di trazione si ottengono nei punti Per e ly K = a L = 23,57 cm.

Risposta: ,

Esempio 2

Costruisci un kernel di sezione.

Soluzione.

1. Determinare il tipo di contorno del nucleo della sezione.

2. Determiniamo il numero di vertici del poligono ottenuto all'interno del contorno (ovvero il numero di tangenti limite alla sezione dell'asta). 6 tangenti limite - 6 vertici.

3. Determinare la posizione degli assi centrali principali. La sezione ha un asse di simmetria orizzontale, quindi l'asse " X Possiamo mostrare subito. XOY 0 - sistema di coordinate ausiliario (asse " Y 0 "spendiamo arbitrariamente).

La sezione è composta da due forme semplici (rettangolo e quadrato). Determina le coordinate dei centri di gravità DA 1 e DA 2 in un sistema di coordinate arbitrario XOY 0 .

Il baricentro del rettangolo.

Il baricentro del quadrato.

L'area del rettangolo.

Zona quadrata.

(perché DA 1 e DA 2 giacciono sull'asse).

Il baricentro dell'intera sezione nel sistema di coordinate XOY 0 ha coordinate DA(0,015; 0). (Mostreremo nel disegno).

Asse Y disegnare perpendicolarmente all'asse Y 0 attraverso il baricentro DA.

Poiché la sezione è simmetrica, l'asse di simmetria e l'asse perpendicolare ad essa, passante per il baricentro, formano il principale sistema di coordinate centrali.

X, Y sono i principali assi centrali della sezione.

4. Si determinano le caratteristiche geometriche della sezione rispetto agli assi centrali principali.

Calcoliamo i principali momenti centrali di inerzia J x e J si.

Principali momenti centrali di inerzia di un rettangolo.

Principali momenti centrali di inerzia di un quadrato.

(Qui sono state utilizzate formule per determinare i momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli. Momenti assiali inerzia di una sezione piana rispetto ad assi arbitrari X 1 e a 1 parallelo agli assi centrali X e a, determinato dalle formule

;

dove un,b– distanza tra gli assi X e X 1 , a e a 1 , MA- area della sezione trasversale. è accettato x, y– assi centrali, ovvero assi passanti per il baricentro DA sezione piatta).

Calcola i quadrati dei principali raggi di inerzia

5. Determinare i vertici del nucleo della sezione.

Si noti la posizione della linea neutra. È necessario determinare le coordinate del punto di applicazione della forza.

1. Considera la posizione della linea neutra 1 - 1.

Usa la proprietà della linea neutra. Poiché la linea neutra 1-1 corre parallela all'asse Y, quindi il punto di applicazione della forza io 1 è sull'asse X, questo è a F=0.

X N - ascissa del punto della linea neutra 1 - 1 (distanza dal punto DA alla linea neutra 1 - 1).

2. Considera la posizione della linea neutra 2 - 2.

Prendi due punti della linea neutra 2 - 2 (è meglio scegliere punti in cui puoi facilmente calcolare le coordinate)

A(-0,615; 0,3) e D(-0,015; 0,6)

Sostituisci le coordinate dei punti A e D nell'equazione della linea neutra.

(1)

(2)

Risolviamo il sistema di equazioni (1) - (2)

Dalla prima equazione

(3)

Sostituisci (3) in (2)

3. Considera la posizione della linea neutra 3 - 3.

Usa la proprietà della linea neutra. Poiché la linea neutra 3 - 3 corre parallela all'asse X, quindi il punto di applicazione della forza io 3 è sull'asse Y, questo è X F =0.

a N - ordinata del punto della linea neutra 3 - 3 (distanza dal punto DA alla linea neutra 3 - 3).

4. Considera la posizione della linea neutra 4 - 4.

Usa la proprietà della linea neutra. Poiché la linea neutra 4 - 4 corre parallela all'asse Y, quindi il punto di applicazione della forza io 4 è sull'asse X, questo è a F = 0.

Esempio3 .

Un'asta rigida è caricata con due forze: trazione e compressione (Fig. 1). L'asta è realizzata in materiale friabile con caratteristiche e . La sezione trasversale dell'asta è simmetrica ed ha la forma e le dimensioni corrispondenti alla Fig. 2.

Necessario:

1) trovare il carico ammissibile sull'asta dalla condizione di resistenza, se il rapporto tra le forze di compressione e di trazione

2) costruire il nucleo della sezione.

Fig.1Fig.2

Soluzione.

La posizione dei principali assi centrali di inerzia e i momenti di inerzia rispetto a questi assi di una determinata sezione sono stati trovati in precedenza (vedi sezione " Caratteristiche geometriche sezioni piatte"). Troviamo le forze interne in una sezione arbitraria dell'asta:

Per determinare la posizione dei punti pericolosi, costruiamo una linea neutra. Equazione della linea neutra in questo problema ha la forma

Da qui troviamo i segmenti tagliati dalla linea neutra sugli assi e . Se poi

e se , allora

La linea neutra è mostrata in fig. 3.

Fig.3

Disegna tangenti al contorno della sezione, parallele alla linea neutra. I punti 1 e 1 sono pericolosi ¢ (vedi Fig. 3), la più distante dalla linea neutra. Per un materiale fragile, il punto con le massime sollecitazioni di trazione è più pericoloso, ad es. punto 1. Trova la tensione a questo punto sostituendola nella formula coordinate punto 1:

Condizione di forza al punto 1 Or

Da qui puoi trovare il valore di carico consentito (non dimenticare di sostituire correttamente le unità di misura. Moltiplicatore prima F p in questo esempio ha la dimensione cm -2).

In conclusione, è necessario assicurarsi che al punto 1 ¢ , che in questo esempio è più distante dall'asse neutro rispetto al punto 1, e in cui agiscono sollecitazioni di compressione, è soddisfatta anche la condizione di resistenza, cioè

Ora costruiamo il kernel della sezione. Posizioniamo i pali nei punti d'angolo esterni della sezione. Data la simmetria della sezione, è sufficiente posizionare i poli in tre punti: 1, 2 e 3 (vedi Fig. 3). Sostituzione in formule; le coordinate dei poli, troviamo i segmenti tagliati da linee neutre sugli assi e . Se il polo è al punto 1, allora le sue coordinate e

La linea neutra 1–1 corrispondente al polo al punto 1 è mostrata in fig. 3. Allo stesso modo, costruiamo le linee neutre 2–2 e 3–3, corrispondenti ai poli 2 e 3. Quando si costruisce una linea neutra, assicurarsi che scorra nel quadrante opposto a quello in cui si trova il polo. L'area ombreggiata in Fig. 3 è il cuore della sezione. Per il controllo in Fig. 3 mostra l'ellisse di inerzia. Il nucleo della sezione deve trovarsi all'interno dell'ellisse di inerzia, senza attraversarlo da nessuna parte.

Esempio 4

Un'asta a sezione asimmetrica è compressa da una forza applicata in un punto MA (Fig. 1). La sezione trasversale ha la forma e le dimensioni mostrate in fig. 2. Il materiale dell'asta è fragile.

Necessario:

1) trovare il carico ammissibile che soddisfi la condizione di resistenza;

2) costruire il nucleo della sezione.

Soluzione.

Innanzitutto è necessario determinare i momenti ei raggi di inerzia della sezione trasversale rispetto agli assi centrali principali. Questa parte della soluzione del problema è riportata nella sezione "Caratteristiche geometriche delle sezioni piane". Sulla fig. 1 mostra i principali assi centrali di inerzia della sezione , , la cui posizione è stata trovata in precedenza. Nel sistema degli assi centrali Y,Z(Fig. 2) coordinate del punto di applicazione della forza MA , . Calcola le coordinate del punto MA nel sistema degli assi centrali principali secondo le formule

Fig.1Fig.2

Per determinare la posizione dei punti pericolosi, costruiremo una linea neutra usando le formule ; . Raggi di inerzia, trovati in precedenza.

Mettiamo questi segmenti lungo gli assi principali e tracciamo una linea neutra attraverso i punti ottenuti (vedi Fig. 3).

Fig.3

Punti pericolosi, ad es. i punti più lontani dall'asse neutro saranno i punti 1 e 3 (vedi Fig. 3). Al punto 1 agisce la maggiore sollecitazione di trazione. Scriviamo la condizione di forza a questo punto usando la formula :

Sostituiamo le coordinate del punto pericoloso 1 negli assi principali nella condizione di resistenza, calcolandole con le formule

o misurando su un disegno disegnato in scala, Quindi, dalla condizione di resistenza al punto 1, puoi trovare il valore di carico consentito:

Per il valore trovato del carico ammissibile, è necessario assicurarsi che la condizione di resistenza sia soddisfatta anche al punto 3, che è ulteriormente allontanato dalla linea neutra e dove agisce la sollecitazione di compressione. Per determinare la tensione al punto 3, sostituiamo le coordinate di questo punto nella formula

Questa tensione non deve superare . Se la condizione di resistenza nel punto con le massime sollecitazioni di compressione non è soddisfatta, è necessario ritrovare il valore del carico ammissibile dalla condizione di resistenza a questo punto.

In conclusione, costruiamo il kernel della sezione. Posizioniamo i pali nei punti d'angolo esterni della sezione, ad es. ai punti 1, 2, 3, 4, 5 (vedi Fig. 3). Il punto 4, posto sul contorno del quadrante del cerchio, è stato ottenuto come segue. Tagliare l'interno punto d'angolo, tracciamo una linea tangente al contorno della sezione (linea tratteggiata in Fig. 3). Il punto 4 è il punto in cui questa linea tocca il quadrante del cerchio. Troviamo sequenzialmente la posizione delle linee neutre corrispondenti ai poli nei punti indicati, trovando i segmenti tagliati dalle linee neutre sugli assi , , secondo le formule ; .Ad esempio, se il polo è al punto 1, sostituire in ; coordinate del punto 1 (), trova

Poiché è molto più grande, ciò significa che la linea neutra 1–1 è praticamente parallela all'asse. Tracciamo il segmento su una scala lungo l'asse e tracciamo una linea retta 1–1 parallela all'asse (vedi Fig. 3). Allo stesso modo, costruiamo linee neutre corrispondenti ai poli situati in altri punti. Il nucleo della sezione (area ombreggiata) è mostrato in fig. 3. Si noti che il contorno del nucleo della sezione tra le linee neutre 4–4 e 5–5 è delineato lungo una curva, poiché il passaggio del polo dal punto 4 al punto 5 non avviene in linea retta. Sulla fig. 3 mostra anche l'ellisse di inerzia della sezione, costruita in precedenza.

Esempio 5

Su una trave di una data sezione trasversale in un punto D all'estremità superiore vi è una forza di compressione longitudinale R=300 kN (vedi figura). È necessario trovare la posizione della linea zero, determinare le maggiori sollecitazioni (di trazione e compressione) e costruire il nucleo della sezione.

Soluzione:

1. Trovare la posizione dei principali assi centrali di inerzia e determinare l'area della sezione trasversale

Poiché la sezione trasversale della trave (Fig. 1) ha due assi di simmetria, e passano sempre per il baricentro della sezione e sono i principali, quindi gli assi centrali principali della sezione X con e a c coinciderà con questi assi di simmetria.

Baricentro della sezione DA in questo caso non è necessario determinare, poiché coincide con il centro geometrico della sezione.

L'area della sezione trasversale della trave è uguale a:

2. Determinazione dei principali momenti d'inerzia centrali e dei principali raggi d'inerzia

I momenti di inerzia sono determinati dalle formule:

Calcoliamo i quadrati dei principali raggi di inerzia:

3. Determinazione della posizione della linea zero

I segmenti tagliati dalla linea zero sui principali assi centrali di inerzia sono determinati dalle formule:

dove x pag=2,3 cm e si r\u003d 2 cm - coordinate del punto di applicazione della forza R(punto P Fig.11). Mettendo da parte i segmenti e rispettivamente sugli assi x s e noi e tracciando una retta attraverso le loro estremità, otteniamo una linea di sezione zero, sulla quale le sollecitazioni normali sono pari a zero (). Nella Figura 1, questa linea è contrassegnata con n -n.

4. Determinazione delle massime sollecitazioni di compressione e trazione e costruzione di un diagramma delle sollecitazioni

Punto D , le cui coordinate X D =5,25 cm e a D\u003d 5 cm, la più distante dalla linea zero nella zona compressa della sezione, pertanto in essa si verificano le maggiori sollecitazioni di compressione e sono determinate dalla formula

Le maggiori sollecitazioni di trazione si verificano nel punto K, che ha coordinate xk= -5,25 cm, a k= -5 cm.

Sulla base dei valori ottenuti e costruiamo un diagramma delle sollecitazioni normali (vedi Fig. 11).

5. Costruzione del kernel di sezione

Per costruire il nucleo della sezione, dato che la sezione è simmetrica, considerare due posizioni della tangente al contorno della sezione I-I e II-II (vedi fig. 1).

Segmenti tagliati dalla tangente I -I sugli assi delle coordinate sono uguali a:

Le coordinate del punto limite 1 del nucleo della sezione sono determinate dalle formule:

La tangente II-II taglia i segmenti = 5,25 cm, = ¥ .

Coordinate del punto di confine 2 :

Le coordinate dei punti di confine della seconda metà del nucleo della sezione potrebbero non essere determinate, poiché la sezione della trave è simmetrica. Tenendo conto di ciò per le tangenti III -III e IV -IV, le coordinate dei punti di confine 3 e 4 sarà:

= 0; = 15,2× 10 -3 m;

=23,0× 10 -3 m = 0.

Collegando i punti 1, 2, 3 e 4 in serie con linee rette, otteniamo il nucleo della sezione (Fig. 1).

Esempio 6

Nella sezione indicata in figura e appartenente a una colonna compressa eccentricamente, determinare i punti e le sollecitazioni più pericolosi in essi. Forza di compressione F= 200 kN = 20 t applicato al punto UN.

Soluzione.

Poiché gli assi X e Y sono gli assi di simmetria, sono gli assi centrali principali.

I punti più pericolosi saranno i punti in cui massimo normale tensione, e questi sono i punti più lontani dalla linea zero. Pertanto, dobbiamo prima determinare la posizione della linea zero. Scriviamo l'equazione della linea zero.

Nel nostro caso, le coordinate del punto di applicazione della forza sono le seguenti (vedi Fig.):

= - 90 mm = - 0,09 m;

= - 60 mm = - 0,06 m.

I quadrati dei raggi di inerzia e sono definiti come segue:

qui e - momenti di inerzia assiali rispetto agli assi centrali principali X e Y.

Determinazione dei momenti d'inerzia assiali. Per la nostra sezione avremo:

M4;

M4.

L'area dell'intera sezione sarà pari a:

M2,

e poi i quadrati dei raggi di inerzia:

m2;

m2.

Usando le formule, determiniamo i segmenti che la linea zero taglia sugli assi X e Y:

Mettiamo da parte questi segmenti sugli assi delle coordinate, otteniamo i punti in cui la linea dello zero incrocia gli assi delle coordinate. Tracciamo una linea retta attraverso questi punti (vedi Fig.). Vediamo che i punti più distanti - questo è il punto B nella zona delle sollecitazioni negative e il punto D nella zona delle sollecitazioni positive.

Determiniamo le sollecitazioni in questi punti:

;

In base al disegno (vedi Fig.) otteniamo:

= - 0,12 m; = - 0,03 m.

= –5,39× 10 4 kN / m 2 \u003d - 53,9 MPa.

;

0,12 m; = 0,03 m.

1,86× 10 4 kN / m 2 \u003d 18,6 MPa.

Esempio 7

Corta in ghisaun'asta la cui sezione trasversale è mostrata in figura è compressa da una forza longitudinale F, applicato al punto MA.

Necessario:

1) calcolare le maggiori sollecitazioni di trazione e di compressione nella sezione trasversale, esprimendo l'entità di queste sollecitazioni attraverso F e dimensioni della sezione; un= 40 mm, b= 60 mm;

2) trovare il carico consentito F a determinate dimensioni della sezione trasversale e sollecitazioni ammissibili per la ghisa per compressione = 100 MPa e per trazione = 30 MPa.

Soluzione.

È stato detto sopra che le caratteristiche geometriche nelle formule di calcolo sono prese rispetto agli assi centrali principali, quindi determineremo il baricentro della sezione. Asse X è un asse di simmetria, e quindi passa per il baricentro, quindi dobbiamo solo trovare la sua posizione su questo asse.Dividiamo la sezione in due componenti (1 e 2) e selezioniamo assi ausiliari. DA 1 e DA 2 in questi assi.

Avrà DA 1 (0,0); DA 2 (0,04; 0), quindi:

Quindi in assi xy 1 il baricentro dell'intera sezione ha coordinate DA (0,0133; 0). Tracciamo un asse attraverso il baricentro della sezione Y perpendicolare all'asse Asse X.X e Y e saranno i principali assi centrali della sezione.

Determiniamo la posizione della linea zero.

Coordinate del punto di applicazione della forza (punti MA) sarà il seguente: \u003d (0,02–0,0133) + 0,04 \u003d 0,0467 m; = 0,06 m;

m 4,

dove = 0,0133 m;

m2.

m2, m2;

e ottenere i segmenti tagliati dall'asse neutro sugli assi principali di inerzia X e Y, rispettivamente:

Mettere da parte sull'asse X, e sull'asse Y e tracciare una linea zero attraverso i punti ottenuti (vedi Fig.). Vediamo che i punti più distanti della sezione dalla linea zero - questo è il punto MA nella zona compressa e nel punto A nella zona estesa. Le coordinate di questi punti sono le seguenti: MA(0,0467; 0,06); A(-0,0333; -0,12). Determiniamo le sollecitazioni in questi punti, esprimendole in termini di F.

Tensione puntuale MA non deve superare la sollecitazione di compressione ammissibile , e la tensione nel punto A non deve superare la tensione di trazione ammissibile, cioè devono essere soddisfatte le condizioni:

, ,

(un),

(b).

Da un):

da (b):

Per soddisfare contemporaneamente la condizione di resistenza sia nella zona tesa che in quella compressa della colonna, dobbiamo prendere come carico ammissibile il minore dei due ricevuti, cioè = 103 kN.

Esempio 8

Corta in ghisa un'asta di sezione rettangolare, mostrata in figura, è compressa da una forza longitudinale F, applicato al punto MA.

Necessario:

1) calcolare le maggiori sollecitazioni di trazione e di compressione nella sezione trasversale, esprimendo l'entità di queste sollecitazioni attraverso F e dimensioni della sezione;

2) trovare il carico consentito F a determinate dimensioni della sezione trasversale e alle sollecitazioni ammissibili per la ghisa in compressione e trazione .

Soluzione.

Determiniamo la posizione della linea zero. Per fare ciò, utilizziamo le formule

Le coordinate del punto di applicazione della forza (punto A) saranno le seguenti:

I quadrati dei raggi di inerzia sono determinati dalle formule:

Determina i segmenti che la linea dello zero taglia sugli assi X e a.

Mettere da parte sull'asse X – X 0 e sull'asse a – a 0 e traccia una linea zero attraverso i punti ottenuti n – n(vedi fig.). Vediamo che i punti più distanti della sezione sono il punto A nell'area compressa e il punto B nell'area allungata. Le coordinate di questi punti sono le seguenti: A (0,04; 0,06), B (–0,04; –0,06). Determiniamo l'entità della sollecitazione in questi punti, esprimendoli in termini di forza F:

La sollecitazione al punto A non deve superare la sollecitazione di compressione ammissibile e la sollecitazione al punto B non deve superare la sollecitazione di trazione ammissibile, cioè la condizione deve essere soddisfatta

Dalla prima espressione, il valore F

Il carico è il più piccolo dei due trovati, cioè = 567 kn.

Esempio 9

Una corta asta di ghisa con la sezione trasversale mostrata in fig. un, è compresso da una forza longitudinale P, applicato al punto UN. Determinare le maggiori sollecitazioni di trazione e di compressione nella sezione trasversale dell'asta, esprimendole in termini di forza P e dimensioni della sezione trasversale, cm, cm Trovare il carico ammissibile a determinate sollecitazioni ammissibili per il materiale per la compressione kN / cm 2 e per la tensione kN / cm 2.

Soluzione.

Forza agente sull'asta P oltre alla compressione, piega l'asta rispetto agli assi centrali principali X e y. I momenti flettenti sono rispettivamente uguali:

dove cm e cm sono le coordinate del punto di applicazione della forza P(coordinate del punto UN).

Sollecitazioni normali ad un certo punto con coordinate X e yqualunque la sezione trasversale dell'asta è determinata dalla formula

dove Fè l'area, e e sono i raggi di rotazione della sezione trasversale.

1. Determinare le caratteristiche geometriche della sezione trasversale dell'asta.

L'area della sezione trasversale dell'asta è:

I principali momenti centrali di inerzia sono determinati come segue.

Calcolo del momento d'inerzia Totale sezione sull'asse X, dividi l'intera figura in un rettangolo con larghezza e altezza e due rettangoli con larghezza e altezza in modo che l'asse X era centrale in tutte queste tre figure. Quindi

Per calcolare il momento d'inerzia dell'intera sezione attorno all'asse y dividiamo l'intera figura in modo leggermente diverso: un rettangolo con larghezza e altezza e due rettangoli con larghezza e altezza in modo che ora l'asse y era centrale in tutte queste tre figure. Ottenere

I quadrati dei raggi di inerzia sono:

; .

2. Determinare la posizione della linea dello zero.

I segmenti e , tagliati dalla linea zero dagli assi delle coordinate, sono uguali a:

centimetro ; centimetro.

Mostra linea zero N-N in fig. b. La linea dello zero divide la sezione trasversale in due regioni, una in tensione e l'altra in compressione. Figura 1, b allungato area della sezione trasversale dell'asta da noi ombreggiato.

3. Calcola il più grande allungamento voltaggio.

Si verifica nei punti 6 e 7 , cioè nei punti più lontani dalla linea zero. Il valore di questa tensione, calcolato, ad esempio, per un punto 6 è uguale a:

4. Calcola il più grande compressivo voltaggio.

Si verifica nei punti 2 e 3 , anche il più lontano dalla linea zero. Il valore di questa tensione, calcolato, ad esempio, per un punto 2 , è uguale a:

5. Determinare il carico ammissibile dalla condizione di resistenza alla trazione:

kN/cm 2 ; kN.

6. Determinare il carico ammissibile dalla condizione di resistenza alla compressione:

kN/cm 2 ; kN.

dei due valori di cui ai commi 6 e 7:

Esempio 10

Una breve colonna, la cui sezione trasversale è mostrata in Fig. 1, è compressa da una forza longitudinale F= 200 kN applicato al punto Per. Dimensioni della sezione a= 40 cm b= 16 cm Resistenza alla trazione stimata del materiale Rt = 3 MPa, per compressione R con = 30 MPa .

Necessario:

1. Trova la posizione della linea dello zero.

2. Calcolare le maggiori sollecitazioni di compressione e trazione e costruire un diagramma delle sollecitazioni. Dai una conclusione sulla forza della colonna.

3. Determinare la capacità portante di progetto (carico di progetto) F max per determinate dimensioni di sezione.

4. Costruisci il nucleo della sezione.

Fig. 1

Soluzione.

1. Determinazione delle coordinate del baricentro della sezione.

La sezione trasversale della colonna ha un asse di simmetria X s, quindi, il baricentro giace su questo asse e per trovare la coordinata x s rispetto all'asse minore Yo (vedi Fig. 1) dividiamo la sezione complessa in tre rettangoli

2. Caratteristiche geometriche della sezione.

Per calcolare i principali momenti di inerzia centrali utilizziamo la relazione tra i momenti di inerzia con traslazione parallela degli assi.

Determina i quadrati dei raggi di inerzia

coordinate del punto di applicazione della forza F

3. Posizione della linea zero

Fondare segmenti tagliati sugli assi delle coordinate che disegniamo linea zero (vedi Fig. 2).

4. Determinazione delle massime sollecitazioni di compressione e trazione. Diagramma .

I punti più lontani dalla linea zero: A(-60; 16)eD(60; -32). Sottolinea in questi punti pericolosi con le coordinate X Dan , y Dan non deve superare la corrispondente resistenza di progetto

Trazione

Sollecitazione di compressione

La robustezza della colonna è garantita.

Secondo i risultati del calcolo delle sollecitazioni e in fig. 2 terreno costruito .

5. Calcolo della capacità portante calcolata della colonna Fmax .

Poiché, a un dato valore della forza di compressione, la resistenza del materiale della colonna è notevolmente sottoutilizzata, troviamo il valore massimo del carico esterno eguagliando le sollecitazioni massime S t e S c resistenza calcolata.

Alla fine scegliamo meno valore Fmax = 425,8 kN, fornendo forza sia alle zone della sezione trasversale allungate che compresse.

Fig.2

6. Costruzione del kernel di sezione.

Per ottenere il profilo del nucleo della sezione, è necessario considerare tutte le possibili posizioni delle tangenti al contorno della sezione e, supponendo che queste tangenti siano rette zero, calcolare le coordinate dei punti di confine del nucleo rispetto a i principali assi centrali della sezione. Collegando poi questi punti, otteniamo il contorno del nucleo della sezione.

Tangente 1-1: si = 32 cm,

Tangente 2-2: , .

Tangente 3-3: , .

Tangente 4-4: ; ;

; ;

;

Tangente 5-5: ; .

Tangente 6-6: ; ;

Esempio 11 .

Al punto P Forza di compressione applicata alla colonna rettangolare P(vedi fig.). Determinare le sollecitazioni normali massime e minime.

Soluzione.

La sollecitazione normale sotto compressione eccentrica è determinata dalla formula:

Nel nostro compito

Momento d'inerzia, area ,

Di conseguenza

Sulla linea neutra. Quindi la sua equazione

I punti più lontani dall'asse neutro sono i punti UN e B:

al punto UN e

al punto B e

Se il materiale resiste a trazione e compressione in modo diverso, è necessario elaborare due equazioni di resistenza:

Esempio 12.

Trovare il carico ammissibile per la trave mostrato in figura, se le resistenze di progetto del materiale della trave per trazione e compressione sono uguali Ramm,t= 20 MPa; R amm , con= 100 MPa.

Soluzione. Scriviamo la condizione di resistenza per i punti più sollecitati di qualsiasi sezione della trave, poiché tutte le sezioni sono ugualmente pericolose:

Riscriviamo queste condizioni, tenendone conto

poi

Da qui determiniamo i valori dei carichi ammessi.