SZÖVETSÉGI OKTATÁSI ÜGYNÖKSÉG

ÁLLAMI OKTATÁSI INTÉZMÉNY

SZAKMAI FELSŐOKTATÁS

VOLGOGRÁDI ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM

KAMYSHINSKY TECHNOLÓGIAI INTÉZET (ÁGAZAT)

"ÁLTALÁNOS MŰSZAKI FEJEZET" OSZTÁLY

HANGSÚLYOZZA A KÖZPONTON KÍVÜL

NYÚJTÁS VAGY KOMPRESSZIÓ

Irányelvek

RPK "Politechnika"

Volgográd

2007

UDC 539. 3/.6 (07)

Kísérleti tanulmány feszültségek eloszlása ​​excenteres feszültségben vagy összenyomódásban: Irányelvek / Összeg. , ; Volgográd. állapot tech. un-t. - Volgograd, 2007. - 11 p.

szerint készült munkaprogram az "Anyagok szilárdsága" tudományágban, és a következő területeken tanuló hallgatók segítésére szolgálnak: 140200.

Il. 5. Tab. 2. Bibliográfia: 4 cím.

Lektor: PhD, egyetemi docens

A szerkesztői és kiadói tanács határozata alapján közzéteszik

Volgograd Állami Műszaki Egyetem

Összeállította: Alekszandr Vlagyimirovics Belov, Natalia Georgievna Neumoina

Anatolij Alekszandrovics Polivanov

AZ ELOSZTÁS KÍSÉRLETI VIZSGÁLATA

HANGSÚLYOZZA A KÖZPONTON KÍVÜL

NYÚJTÁS VAGY KOMPRESSZIÓ

Irányelvek

Templan 2007, poz. 18. sz.

Nyomtatásra aláírva Formátum 60×84 1/16.

Papírlap. Ofszetnyomás.

Konv. sütő l. 0,69. Konv. szerk. l. 0,56.

Példányszám 100 példány. Rendelési szám.

Volgograd Állami Műszaki Egyetem

400131 Volgograd, u. őket. , 28.

RPK "Politechnika"

Volgograd Állami Műszaki Egyetem

400131 Volgograd, st. Szovjet, 35.

© Volgogradsky

állapot

műszaki

Egyetem 2007

10. LAB

Téma: Feszültségeloszlás kísérleti vizsgálata excentrikus feszültségben vagy összenyomódásban.

Célkitűzés: Határozza meg tapasztalati úton a normál feszültségek nagyságát a keresztmetszet adott pontjain.

Időtöltés: 2 óra.

1. Rövid elméleti információk

Az egyenes gerenda excentrikus feszültsége (kompressziója) akkor következik be, ha a gerendára ható külső erő a hossztengelyével párhuzamosan irányul, de a gerenda keresztmetszetének súlypontjától bizonyos távolságra hat (1. ábra).

Az excentrikus összenyomás összetett alakváltozás. Megjeleníthető 3 egyszerű deformáció halmazaként (általános eset - lásd 1. ábra) vagy 2 egyszerű deformáció (speciális eset - 2. ábra).

Általános eset

	Excentrikus tömörítés
központi		tiszta kanyar a tengelyről x		nál nél

különleges eset

	Excentrikus tömörítés
központi kompresszió		tiszta axiális hajlítás nál nél

A rúd minden keresztmetszete excentrikus összenyomás alatt egyformán veszélyes.

Három belső erőtényező lép fel egyszerre (általános eset):

hosszanti erő N;

a hajlítási nyomaték Mx;

a hajlítási nyomaték My,

és két belső erőtényező (speciális eset):

hosszanti erő N;

a hajlítási nyomaték MxÉs My.

Ez a belső erőtényező csak a normál feszültségeknek felel meg, amelyek nagysága a következő képletekkel határozható meg:

ahol DE a gerenda keresztmetszete ( m2);

x; Iy ezek a fő központi tehetetlenségi nyomatékok ( m4).

Téglalap alakú szakaszhoz:

nál nél x;

x a távolság a feszültség meghatározásának pontjától a tengelyig nál nél.

Az erők hatásának függetlenségének elve szerint a feszültséget a keresztmetszet bármely pontján az excentrikus összenyomás során a következő képletek határozzák meg:

, (3)

. (4)

És különc feszültséggel:

. (5)

Az egyes kifejezések előtti jel az ellenállás típusától függően kerül kiválasztásra: a „+” jel a feszültségnek, a „-” a kompressziónak felel meg.

A szakasz sarokpontjában a feszültség meghatározásához a következő képletet használjuk:

, (6)

ahol Wx, wy- a keresztmetszet ellenállási nyomatékai a főhöz képest központi tengelyek keresztmetszet tehetetlensége ( m3).

Hengerelt profiloknál: I-gerenda, csatorna stb., az ellenállási nyomatékokat a táblázatokban adjuk meg.

DIV_ADBLOCK127">

Hasonlóképpen meghatározzuk a feszültség előjelét σmu. Ebben az esetben a szakasz a tengely mentén van rögzítve nál nél(lásd 3. c. ábra).

2. Rövid információ a felszerelésről és a mintáról

Tesztséma

Autóval UMM-50.	Autóval R-10.

Az excenteres szakítóvizsgálatot gépen kell elvégezni UMM-50. A minta egy téglalap keresztmetszetű, méretekkel rendelkező acélszalag ban ben´ h = 1,5 ´ 15 cm. Az excenteres összenyomási vizsgálatot szakítógépen végezzük. R-10. A minta egy rövid I-gerenda állvány. Profilszám 12 .

Az ebben a munkában használt gépek leírását a végrehajtási kézikönyv részletesen tartalmazza laboratóriumi munka № 1.

Mérőberendezésként itt nyúlásmérőket és IDC-I készüléket használunk, melynek működési elvét a 3. számú laboratóriumi munkavégzési kézikönyv ismerteti részletesen.

3. Laboratóriumi munkák végzése

3.1. Felkészülés a kísérletre

1. A jegyzőkönyvben rögzítse a munka célját, a vizsgált minták felszerelésére és anyagára vonatkozó információkat.

2. Rajzoljon fel egy vizsgálati sémát, írja be a jegyzőkönyvbe a szükséges mintaméreteket.

3. Határozza meg a szükséges geometriai jellemzőket:

a (2) képletek szerinti téglalaphoz;

egy I-gerenda a választékasztalból.

Határozza meg a távolságokat adott pontokat tengelyhez x. Határozza meg a maximális és minimális érték F erő, valamint a ΔF terhelési lépés értéke. Jegyezze fel a terhelést a táblázat első oszlopába! egy.

(jegyzet: az F erő maximális értékét a feszültségkoncentrációs tényező figyelembevételével a beépítési útlevélből határozzuk meg, azzal a feltétellel, hogy a számított feszültségérték ne haladja meg a mintaanyag folyáshatárát.)

Számítsa ki a belső erőtényezők értékét:

N= F; Mx = F × y.

A vizsgálati sémától függően számítsa ki a normál feszültséget a keresztmetszet jelzett pontjain az (5) vagy (6) képlet segítségével. Írja be a feszültség értékét a táblázat 3. oszlopába! 2.

3.2. kísérleti rész

1. Végezzen tesztet, rögzítve mindhárom nyúlásmérő leolvasását az IDC-I műszer szerint a megadott terhelési értékek mellett.

2. A mérések számának minden erőmérő cellára legalább ötnek kell lennie. Jegyezze fel az adatokat a táblázatba! egy.

3.3. Kísérleti adatok feldolgozása

1. Határozza meg az egyes erőmérő cellák leolvasási értékének növekedését

2. Határozza meg a növekmények átlagos értékét:

https://pandia.ru/text/78/445/images/image021_18.gif" width="121" height="40 src=">.

7. vonjon le következtetéseket a munkából!

10. labor

Téma:

Célkitűzés:

A feszültségek elméleti meghatározása

Feszültségek kísérleti meghatározása

Asztal 1

Betöltés- ka,F , kN	A műszerleolvasások és lépéseik

Elméleti és kísérleti eredmények összehasonlítása

2. táblázat

	Normál feszültség MPa	% eltérés
kísérleti értékek	elméleti értékek
σ én
σ II
σ III

Feszültségdiagramok nulla vonal rajzolásával

következtetéseket

A munkát a tanuló készítette:

tesztkérdések

1. Hogyan érhető el a deformációs excentrikus összenyomás (feszítés)?

2. Milyen egyszerű alakváltozásokból áll az excenteres összenyomás (feszítés) összetett alakváltozása?

3. Milyen belső erőtényezők keletkeznek egy excentrikusan összenyomott gerenda keresztmetszetében?

4. Hogyan határozzák meg értéküket?

5. Az excentrikus összenyomott gerenda melyik szakasza veszélyes?

6. Hogyan határozható meg az egyes belső erőtényezőkből származó feszültségek nagysága a keresztmetszet bármely pontján?

7. Milyen képletekkel határozzuk meg egy négyszögletes metszet tehetetlenségi nyomatékát a fő központi tehetetlenségi tengelyekhez viszonyítva? Mik a mértékegységeik?

8. Hogyan határozható meg a belső erőtényezőkből a feszültség előjele a középponton kívüli feszültségben (kompresszióban)?

9. Milyen hipotézis támasztja alá az excenteres összenyomódásban jelentkező feszültségek meghatározását? Fogalmazd meg.

10. Képlet a feszültségek meghatározására a keresztmetszet bármely pontjában excenteres összenyomás esetén.

BIBLIOGRÁFIA

1. Feodosiev anyagok. M.: MSTU Kiadó, 2000 - 592c.

2. és mások Az anyagok szilárdsága. Kijev: Gimnázium, 1986. - 775p.

3. Stepin anyagok. M.: Felsőiskola, 1988. - 367p.

4. Az anyagok szilárdsága. Laboratóriumi műhely / stb M .: Bustard, 2004. - 352 p.

A hajlításból és a hosszirányú erőkből adódó alakváltozások összeadásának második, gyakorlatilag fontos esete az úgynevezett excentrikus összenyomás vagy feszültség, amelyet pusztán hosszanti erők okoznak. Ez a fajta deformáció akkor érhető el, ha két egyenlő és egymással közvetlenül ellentétes erő hat a rúdra R egyenes vonalban irányítva AA, párhuzamos a rúd tengelyével (3a. ábra). Pont távolság DE a szakasz súlypontjától OA=e hívott különcség .

Tekintsük először az excenteres összenyomás esetét, mint nagyobb gyakorlati jelentőségűnek.

Feladatunk a rúd anyagában a legnagyobb igénybevételek megtalálása és a szilárdság ellenőrzése. A probléma megoldására pontokban alkalmazzuk RÓL RŐL két egyenlő és ellentétes erő R(3b. ábra). Ez nem fogja megzavarni a rúd egészének egyensúlyát, és nem változtatja meg a szakaszok feszültségeit.

Erők R, egyszer áthúzva, axiális összenyomódást okoz, és az erőpárok R, kétszer áthúzva, tiszta hajlítási nyomatékot okoz. A rúd tervezési sémája a 3. c ábrán látható. Mivel a hajlítási párok hatássíkja OA nem eshet egybe a rúd egyik fő tehetetlenségi síkjával, akkor általános esetben a hosszirányú összenyomás és a tiszta ferde hajlítás kombinációja van.

Mivel axiális összenyomás és tiszta hajlítás esetén minden szakaszon azonosak a feszültségek, a szilárdsági vizsgálat bármely szakaszon elvégezhető, legalább C-C (3. b, c ábra).

Dobjuk el a rúd felső részét, és hagyjuk az alsót (3d. ábra). Hagyja a tengelyeket OUÉs Oz a szakasz fő tehetetlenségi tengelyei lesznek.

3. ábra. a) tervezési séma b) terhelések átalakulása c) az adott tervezési séma d) feszültségvizsgálati mechanizmus

Pont koordinátái DE, - az erők hatásvonalának metszéspontjai R metszetsíkkal, - legyen és . Állapodjunk meg a tengelyek pozitív irányainak megválasztásában OUÉs Ozúgy, hogy a lényeg DE az első kvadránsban volt. Akkor pozitívak lesznek.

Annak érdekében, hogy megtaláljuk a kiválasztott szakasz legveszélyesebb pontját, bármely ponton megtaláljuk a normál feszültséget BAN BEN koordinátákkal zÉs nál nél. A C - C szakasz feszültségei az erő által okozott tengelyirányú összenyomás feszültségeinek összege Rés a tiszta ferde hajlításból eredő feszültségek párban a nyomatékkal Újra, ahol . Nyomófeszültségek axiális erőkből R bármely pontban egyenlőek, ahol a rúd keresztmetszete; ami a ferde hajlítást illeti, azt a fősíkok hajlítónyomatékaival helyettesítjük. Hajlítás síkban x Oy a semleges tengely körül Oz pillanatról pillanatra hívják, és pont adják BAN BEN normál nyomófeszültség

Hasonlóképpen, a normál stressz egy ponton BAN BEN a fősíkban való hajlítástól x Oz, amelyet a pillanat okoz, tömörítő lesz, és a képlet fejezi ki.

Az axiális összenyomásból és két lapos hajlításból származó feszültségeket összegezve és a nyomófeszültségeket negatívnak tekintve a következő képletet kapjuk a pontban jelentkező feszültségre BAN BEN:

(1)

Ez a képlet alkalmas a feszültségek kiszámítására a rúd bármely szakaszának bármely pontján, de ahelyett nál nélÉs z a pont főtengelyekhez viszonyított koordinátáit előjelükkel helyettesítsük.

Excentrikus feszültség esetén a normál feszültség minden összetevőjének előjele a pontban BAN BEN fordítva lesz. Ezért ahhoz, hogy mind az excentrikus összenyomásra, mind az excentrikus feszültségre megfelelő feszültségelőjelet kapjunk, a koordináták előjelei mellett szükséges nál nélÉs z, vegye figyelembe az erő előjelét is R; amikor a kifejezés előtt megnyújtjuk

pluszjelnek kell lennie, tömörítéssel - mínuszjelnek.

Az így kapott képlet kissé eltérő formát adhat; vegye ki a szorzót a zárójelből; kapunk:

(2)

Itt és a szakasz tehetetlenségi sugarai vannak a főtengelyekhez viszonyítva (emlékezzünk rá, hogy és ).

A legnagyobb feszültségű pontok megtalálásához választani kell nál nélÉs z hogy elérjük a maximális értéket. Az (1) és (2) képletben szereplő változók az utolsó két kifejezés, amelyek a hajlítás hatását tükrözik. És mivel a hajlítás során a legnagyobb feszültségek a semleges tengelytől legtávolabbi pontokban keletkeznek, itt is, mint a ferde hajlításnál, meg kell találni a semleges tengely helyzetét.

Jelöljük ennek az egyenesnek a pontjainak koordinátáit és -on keresztül; mivel a semleges tengely pontjaiban a normál feszültségek nullával egyenlőek, akkor az értékeket a (2) képletbe behelyettesítve kapjuk:

(3)

Ez lesz a semleges tengely egyenlete. Nyilvánvalóan egy olyan egyenes egyenletét kaptuk, amely nem megy át a szakasz súlypontján.

Ennek a vonalnak a felépítéséhez a legegyszerűbb az általa levágott szakaszok kiszámítása koordinátatengelyek. Jelöljük ezeket a szegmenseket és . A tengelyen elfogott szakasz megtalálása OU, be kell írni a (3) egyenletet

akkor kapjuk:

Ha a és értékek pozitívak, akkor a és szakaszok negatívak lesznek, azaz a semleges tengely a szakasz súlypontjának másik oldalán lesz, mint a pont DE(3d. ábra).

A semleges tengely két részre osztja a szakaszt - összenyomva és nyújtva; a 3d. ábrán a szakasz feszített része árnyékolt. A semleges tengellyel párhuzamos érintőket rajzolva a metszet kontúrjára, két és pontot kapunk, amelyekben a legnagyobb nyomó- és húzófeszültségek lesznek.

Koordináták mérése nál nélÉs z ezeket a pontokat és értékeiket az (1) képletbe behelyettesítve kiszámítjuk a pontokban a legnagyobb feszültségek értékét és:

Ha a rúd anyaga egyformán ellenáll a feszültségnek és a nyomásnak, akkor a szilárdsági feltétel a következő formában jelenik meg:

Kiálló sarkú keresztmetszeteknél, amelyekben mindkét fő tehetetlenségi tengely szimmetriatengely (téglalap, I-gerenda stb.) Ezért a képlet leegyszerűsödik, és van

Ha a rúd anyaga egyenlőtlenül ellenáll a feszültségnek és a nyomásnak, akkor ellenőrizni kell a rúd szilárdságát mind a feszített, mind az összenyomott zónában.

Előfordulhat azonban, hogy még ilyen anyagoknál is elegendő egyetlen szilárdsági vizsgálat. A (4) és (5) képletből látható, hogy a pont helyzete DE az erő alkalmazása és a semleges tengely helyzete összefügg: minél közelebb van a pont DE a szakasz közepére, minél kisebbek az értékek és minél nagyobbak a szegmensek és a . Így a megközelítés pontokat DE a szakasz semleges tengelyének súlypontjához eltávolították tőle és fordítva. Ezért a pont egyes pozícióihoz DE a semleges tengely elhalad kívül szakasz és a teljes szakasz azonos előjelű feszültségeknél fog működni. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben mindig elegendő az anyag szilárdságát a ponton ellenőrizni.

Elemezzünk egy gyakorlatilag fontos esetet, amikor egy téglalap keresztmetszetű rúdra excentrikus erő hat (4. ábra). R azon a ponton DE a szakasz főtengelyén fekszik OU. Különcség OA egyenlő e, szakasz méretei bÉs d. A fent kapott képleteket alkalmazva a következőket kapjuk:

4. ábra. Egy téglalap alakú rúd számítási diagramja.

Feszültség bármely ponton BAN BEN egyenlő

A tengellyel párhuzamos egyenes minden pontjában feszültséget fejt ki Oz, ugyanazok. A semleges tengely helyzetét a szegmensek határozzák meg

A semleges tengely párhuzamos a tengellyel Oz; a legnagyobb húzó- és nyomófeszültségű pontok az 1–1. és a 3–3. oldalon helyezkednek el.

Az és értékeket akkor kapjuk meg, ha helyette helyettesítjük nál nél annak jelentéseit. Azután

28. számú előadás. Metszetmag excenteres összenyomás alatt

A feszültségnek gyengén ellenálló anyagokból (beton) készült rudak tervezésekor nagyon kívánatos annak biztosítása, hogy a teljes szakasz csak összenyomva működjön. Ez az erő alkalmazási pontjának megadása nélkül is elérhető R túl távol kerüljön el a szakasz súlypontjától, ami korlátozza az excentricitás mértékét.

Kívánatos, hogy a tervező előre tudja, hogy a kiválasztott szakaszon milyen excentricitás engedhető meg anélkül, hogy a rúd szakaszaiban különböző előjelű feszültségeket okozna. Itt a koncepció az ún szakasz mag. Ez a kifejezés azt jelöli a szelvény súlypontja körüli bizonyos terület, amelyen belül a P erő alkalmazási pontja elhelyezhető anélkül, hogy a metszetben különböző előjelű feszültségek keletkeznének.

A lényegig DE a mag belsejében helyezkedik el, a semleges tengely nem metszi a szelvény kontúrját, hanem az egész egy a semleges tengely oldalán, ezért csak tömörítésre működik. Pont törlésekor DE a szakasz súlypontjából a semleges tengely megközelíti a kontúrt; a mag határát az határozza meg, hogy mikor helyezkedik el a pont DE ezen a határon a semleges tengely közel kerül a szakaszhoz és érinti azt.

1. ábra. Nyomóerő-helyzet és semleges vonal kombinációi

Így ha a lényeget mozgatjuk DE hogy a semleges tengely gurult a szelvény kontúrja mentén anélkül, hogy azt kereszteznénk, akkor az A pont megkerüli a szakasz magjának határát. Ha a szelvény kontúrján „vályúk” vannak, akkor a semleges tengely a kontúr burkológörbéjén fog gördülni.

A mag körvonalának megszerzéséhez meg kell adni a semleges tengelynek több, a szelvény kontúrját érintő pozíciót, meg kell határozni a szakaszokat és ezekre a helyzetekre, valamint kiszámítani az erőkifejtési koordinátákat és pontokat az ismert képletekkel. függőségek:

ez lesz az atommag kontúrja pontjainak koordinátái és .

Nál nél sokszögű a metszet körvonalának alakja (2. ábra), a semleges tengelyt a sokszög minden oldalával szekvenciálisan kombinálva szakaszonként meghatározzuk a mag határának koordinátáit és pontjait, amelyek ezeknek az oldalaknak felelnek meg.

Amikor a metszetkontúr egyik oldaláról a másikra haladunk, a semleges tengely lesz forog ezeket az oldalakat elválasztó teteje körül; az erő alkalmazási pontja az atommag határa mentén fog mozogni a már kapott pontok között. Határozza meg, hogyan kell az erőnek mozognia R hogy a semleges tengely mindvégig ugyanazon a ponton haladjon át BAN BEN(,) forogna körülötte. A semleges tengely ezen pontjának koordinátáit a semleges tengely ismert egyenletébe (egyenesbe) behelyettesítve kapjuk:

2. ábra. Metszet kernel sokszögű keresztmetszet alakhoz

Így az erő koordinátái és alkalmazási pontjai R csatlakoztatva lineárisan. Nál nél semleges tengely forgása egy állandó B pont körül, az erő alkalmazásának A pontja egyenesen mozog. Vissza, mozgó erő R egyenes vonalban a semleges tengely állandó pont körüli forgása miatt.

A 3. ábra az erőkifejtési pont három helyzetét mutatja ezen az egyenesen, és ennek megfelelően a semleges tengely három helyzetét. Így a metszet kontúrjának sokszögű alakja esetén a mag körvonala a sokszög oldalainak megfelelő pontok között egyenes vonalak szegmenseiből áll.

3. ábra. A szakasz kernel felépítésének dinamikája

Ha a szelvény kontúrját teljesen vagy részben íves vonalak korlátozzák, akkor a maghatár megépítése pontokkal is elvégezhető. Tekintsünk néhány egyszerű példát egy szakasz kernel felépítésére.

Amikor ezt a konstrukciót téglalap keresztmetszetre hajtjuk végre, a kapott képleteket használjuk.

A szakasz kernel határainak meghatározása pont mozgatásakor DE a tengely mentén OU keresse meg azt az értéket, amelynél a semleges tengely felveszi a pozíciót H 1 O 1

4. ábra. kernel felépítése téglalap alakú szakaszhoz.

Ehhez az erőnek az 1 - 2 egyenes mentén kell mozognia. Ugyanígy igazolható, hogy az atommag fennmaradó határai a 2-3, 3-4 és 4-1 egyenesek lesznek.

Így egy téglalap alakú szakasznál a mag egy rombusz lesz, amelynek átlói egyenlőek egy harmad a szakasz megfelelő oldala. Ezért egy téglalap alakú metszet, amikor az erő a fő tengely mentén helyezkedik el, azonos előjelű feszültségeken működik, ha az erő alkalmazási pontja nem haladja meg középső harmada a szakasz oldalai.

5. ábra. A feszültség dinamikája megváltozik, ha az excentricitás megváltozik.

Az 5. ábrán a normálfeszültségek eloszlásának diagramja látható egy téglalap alakú szakaszon, amelynek excentricitása nulla, kisebb, egyenlő és nagyobb, mint a szelvényszélesség egyhatoda.

Vegye figyelembe, hogy minden erőhelyzetben R feszültség a metszet súlypontjában (pont Az ABCD-ről, az I-nyaláb közelében leírták (6a. ábra). Következésképpen az I-nyaláb esetében a mag körvonala rombusz alakú, mint a téglalapnál, de eltérő méretű.

Csatornánál, valamint I-nyalábnál a magkontúr 1., 2., 3., 4. pontja (6b. ábra) megfelel a semleges tengely és a téglalap oldalainak egybeesésének. ABCD.

29. számú előadás. A prizmatikus rúd hajlításának és csavarásának kombinált hatásai

Vizsgáljuk meg ezt a típusú rúddeformációt egy kör (gyűrűs) keresztmetszetű tengely számításának példáján keresztül a hajlítás és a csavarás együttes hatására (1. ábra).

1. ábra. Hajlított és csavart tengely számítási sémája

Excentrikus feszültség A gerenda ilyen típusú terhelését nevezzük, amelyben külső erők a gerenda hossztengelye mentén hatnak, de nem esnek egybe azzal (8.4. ábra). A feszültségek meghatározása az erők hatásától való függetlenség elve alapján történik. Az excentrikus nyújtás egy kombináció axiális feszültségés ferde (különös esetekben - lapos) hajlítás. A normálfeszültségek képlete megkapható az egyes terheléstípusokból származó normálfeszültségek algebrai összegeként:

ahol ; ;

y F , z F– az erőkifejtési pont koordinátái F.

A szakasz veszélyes pontjainak meghatározásához meg kell találni a semleges egyenes (n.l.) helyzetét, mint azoknak a pontoknak a helyét, ahol a feszültségek nullával egyenlőek.

.

n.l. egyenlet. felírható egy egyenes egyenleteként szakaszokban:

ahol És n.l által levágott szegmensek vannak. a koordináta tengelyeken,

, a szakasz fő tehetetlenségi sugarai.

A semleges vonal a keresztmetszetet húzó- és nyomófeszültségű zónákra osztja. A normálfeszültségek diagramja az 1. ábrán látható. 8.4.

Ha a metszet szimmetrikus a főtengelyekre, akkor a szilárdsági feltételt olyan műanyagokra írjuk, amelyekben [ s c] = [s p] = [s], mint

. (8.5)

Törékeny anyagokhoz [ s c]¹[ s p], a szilárdsági állapotot külön kell rögzíteni a szakasz veszélyes pontjára a feszültségi zónában:

és a szakasz veszélyes pontjára a tömörített zónában:

,

ahol z1, y 1És z2, y2- a szakasz semleges vonaltól legtávolabbi pontjainak koordinátái a szakasz feszített 1 és összenyomott 2 zónájában (8.4. ábra).

Nulla vonal tulajdonságai

1. A nulla vonal a teljes szakaszt két zónára osztja - feszültségre és kompresszióra.

2. A nulla egyenes, mivel az x és y koordináták első fokon vannak.

3. A nulla vonal nem megy át az origón (8.4. ábra).

4. Ha az erőkifejtés pontja a szelvény fő központi tehetetlenségén fekszik, akkor a hozzá tartozó nullavonal merőleges erre a tengelyre és átmegy az origó másik oldalán (8.5. ábra).

5. Ha az erő alkalmazási pontja az origóból kilépő sugár mentén mozog, akkor a neki megfelelő nullavonal mögé mozdul (8.6. ábra):

n.l

Rizs. 8.5 ábra. 8.6

a) amikor az erő alkalmazási pontja az origóból kiinduló nyaláb mentén mozog nullától a végtelenig (y F ®∞, z F ®∞), de®0-nál; de z®0. Ennek az esetnek a határállapota: a nulla vonal átmegy az origón (hajlítás);

b) amikor az erő alkalmazási pontja (t. K) az origóból kiinduló nyaláb mentén a végtelentől a nulláig mozog (y F ® 0 és z F ® 0), de y®∞; de z ®∞. Ennek az esetnek a határállapota: a nulla vonal a végtelenségig eltávolítódik, és a test egyszerű nyújtást (kompressziót) tapasztal.

6. Ha az erőkifejtés pontja (K pont) a koordinátatengelyeket metsző egyenes mentén mozog, akkor ebben az esetben a nullavonal egy bizonyos középpont körül fog forogni, amely a K ponttal ellentétes negyedben helyezkedik el.

8.2.3. Szakasz kernel

Egyes anyagok (beton, falazat) nagyon kis húzófeszültséget képesek felvenni, míg mások (például talaj) egyáltalán nem tudnak ellenállni a nyújtásnak. Az ilyen anyagokat olyan szerkezeti elemek gyártására használják, amelyekben nem fordulnak elő húzófeszültségek, és nem használják olyan utasításelemek gyártására, amelyek hajlítást, csavarodást, központi és excentrikus feszültséget tapasztalnak.

Ezekből az anyagokból csak központilag összenyomott elemek készíthetők, amelyekben húzófeszültségek nem lépnek fel, valamint excentrikusan összenyomott elemek is, ha nem alakulnak ki bennük húzófeszültségek. Ez akkor fordul elő, ha a nyomóerő alkalmazási pontja a keresztmetszet valamely középső részének belsejében vagy határán található, amelyet a metszet magjának nevezünk.

Szakasz kernel gerendának nevezzük valamilyen központi területét, amelynek az a tulajdonsága, hogy a bármely pontjában kifejtett erő a gerenda keresztmetszetének minden pontján azonos előjelű feszültségeket okoz, azaz. a nulla vonal nem megy át a gerenda szakaszán.

Ha a nyomóerő alkalmazási pontja a szelvény magján kívül található, akkor a keresztmetszetben nyomó- és húzófeszültségek keletkeznek. Ebben az esetben a nulla vonal keresztezi a gerenda keresztmetszetét.

Ha az erőt a szakasz magjának határán fejtjük ki, akkor a nullavonal érinti a szakasz kontúrját (egy pontban vagy egy vonal mentén); az érintkezési pontban a normálfeszültségek nullával egyenlőek.

Excentrikus számításnál összenyomott rudak, húzófeszültségeket rosszul érzékelő anyagból készült, fontos ismerni a szelvény mag alakját és méreteit. Ez lehetővé teszi feszültségek számítása nélkül annak megállapítását, hogy a gerenda keresztmetszetében keletkeznek-e húzófeszültségek (8.7. ábra).

A definícióból következik, hogy egy szakasz magja egy olyan terület, amely magán a szakaszon belül van.

Törékeny anyagoknál nyomó terhelést kell alkalmazni a szelvény magjában, hogy kizárjuk a szakaszon a húzózónákat (8.7. ábra).

A metszet magjának megalkotásához a nulla vonalat szekvenciálisan össze kell kapcsolni a keresztmetszet kontúrjával úgy, hogy a nulla egyenes ne metszi a metszetet, és ezzel egyidejűleg ki kell számítani a megfelelő pontot

a K nyomóerő alkalmazása -val

Rizs. 8.7 Dinami yFÉs z F a képletek szerint:

; .

Az eredményül kapott erőalkalmazási pontok koordinátákkal y F , z F egyenes vonalakkal kell összekötni. Az eredményül kapott vonallánc által határolt terület lesz a szakasz magja.

A szakasz kernel felépítésének sorrendje

1. Határozza meg a keresztmetszet súlypontjának helyzetét és a fő központi tehetetlenségi tengelyeket, ill. z, valamint a tehetetlenségi sugarak négyzetének értékei én y , i z .

2. Mutassa meg az n.l. összes lehetséges pozícióját a szakasz kontúrjához kapcsolódóan.

3. Az n.l. minden pozíciójára. szegmenseket határozzon meg a yÉs a z, amelyet elvág az y és z fő tehetetlenségi tengelyektől.

4. Az n.l. minden pozíciójára. állítsa be a nyomásközéppont koordinátáit yF, És z F .

5. A kapott nyomásközéppontokat vonalszakaszok kötik össze, amelyeken belül a szakasz magja fog elhelyezkedni.

Torzió hajlítással

Azt a terheléstípust, amelyben a gerendát csavaró és hajlító nyomatékok egyszerre érik, torziós hajlításnak nevezzük.

A számítás során az erők hatásának függetlenségének elvét alkalmazzuk. Határozzuk meg külön a feszültségeket hajlítás és csavarás során (8.8. ábra) .

Keresztmetszetben történő hajlításkor normál feszültségek lépnek fel, amelyek a legkülső szálakban érik el a maximális értéket

.

A keresztmetszet torziója során nyírófeszültségek keletkeznek, amelyek a legnagyobb értéket a szelvény tengelyfelületéhez közeli pontjain érik el.

.

s

t

C

B

x

y

z

Rizs. 8.9

s

s

t

t

Rizs. 8.10

C

x

z

y

M

T

Rizs. 8.8

A normál és a nyírófeszültségek egyszerre érik el maximális értéküket a pontokon TÓL TŐLÉs BAN BEN tengelyszakasz (8.9. ábra). Tekintsük a pont stresszállapotát TÓL TŐL(8.10. ábra). Látható, hogy az elemi paralelepipedon a pont körül kiválasztott TÓL TŐL, síkfeszültségi állapotban van.

Ezért az erő teszteléséhez az egyik szilárdsági hipotézist alkalmazzuk.

Szilárdsági állapot a harmadik szilárdsági hipotézis szerint (a legnagyobb nyírófeszültségek hipotézise)

.

Tekintettel arra, , megkapjuk a tengelyszilárdság feltételét

. (8.6)

Ha a tengely két síkban hajlik, akkor a szilárdsági feltétel az lesz

.

A negyedik (energia) szilárdsági hipotézis felhasználásával

,

csere után sÉs t kapunk

. (8.7)

Kérdések önvizsgálathoz

1. Milyen hajlítást nevezünk ferdének?

2. A hajlítás típusainak milyen kombinációja a ferde hajlítás?

3. Milyen képletekkel határozzuk meg a gerenda keresztmetszete normálfeszültségeit ferde hajlításkor?

4. Hogyan áll a semleges tengely ferde hajlításban?

5. Hogyan határozzák meg a veszélyes pontokat egy ferde hajlítású szakaszon?

6. Hogyan határozzák meg a gerenda tengelypontjainak elmozdulásait ferde hajlítás során?

7. Milyen komplex ellenállást nevezünk excentrikus feszültségnek (vagy kompressziónak)?

8. Milyen képletekkel határozzuk meg a normál feszültségeket a rúd keresztmetszetein excentrikus feszítés és összenyomás során? Milyen formája van ezen feszültségek diagramjának?

9. Hogyan határozható meg a semleges tengely helyzete excentrikus feszültségben és összenyomódásban? Írd le a megfelelő képleteket!

10. Milyen feszültségek keletkeznek a gerenda keresztmetszetében torziós hajlításkor?

11. Hogyan állnak a kerek gerenda veszélyes szakaszai torziós hajlításban?

12. A kör keresztmetszet mely pontjai veszélyesek torziós hajlításkor?

13. Milyen feszültségi állapot lép fel ezeken a pontokon?

A belső erők meghatározásához a gerenda excentrikus feszültségű (összenyomott) keresztmetszetein az adott erőrendszert más erők statikailag egyenértékű rendszerére cseréljük. A Saint-Venant-elv alapján az ilyen csere nem okoz változást az erőhatás helyétől kellően távol eső gerendarészek terhelési és alakváltozási viszonyaiban.

Először átvisszük az erő alkalmazási pontját a tengelyre, és ezen a ponton az erővel egyenlő, de ellentétes irányú erőt alkalmazunk (3.2. ábra). Ahhoz, hogy a tengelyen erő maradjon, a hatásához hozzá kell adni egy két vonallal jelölt erőpár hatását, vagy egy pillanatot. Ezután az erőt átvisszük a metszet súlypontjába, és ezen a ponton az erővel megegyező, de ellentétes irányú erőt fejtünk ki (3.2. ábra). Ahhoz, hogy az erő a súlypontban maradjon, még egy erőpárt, keresztekkel jelölt, vagy egy pillanatot kell hozzáadni a hatásához.

Így a szakaszra excentrikusan kifejtett erő hatása egyenértékű egy központilag kifejtett erő és két külső koncentrált nyomaték együttes hatásával u.

A metszetek módszerével könnyen megállapítható, hogy egy excentrikusan nyújtott (összenyomott) gerenda minden keresztmetszetében a következő belső erőtényezők hatnak: egy hosszirányú erő és két hajlítónyomaték és (3.3. ábra).

A feszültségeket a gerenda keresztmetszetein az erőhatásoktól való függetlenség elve alapján határozzuk meg. Minden belső erőtényezőből normál feszültségek keletkeznek a keresztmetszetekben. A feszültségjeleket az alakváltozások jellegének megfelelően állítjuk be: plusz - feszültség, mínusz - összenyomás. Rendezzük el az egyes belső erőtényezőkből a feszültségjeleket a pontokban, a tengelyek metszéspontjában és a keresztmetszeti kontúrral (3.3. ábra). A hosszirányú erőből minden ponton a szakaszok azonosak és pozitívak; attól a pillanattól kezdve a feszültségponton - plusz, a ponton - mínusz, pontokon és, mert a tengely ebben az esetben a semleges egyenes; attól a pillanattól kezdve a feszültségponton - plusz, a ponton - mínusz, pontokon és, mert a tengely ebben az esetben a semleges egyenes.

A teljes feszültség a pontban koordinátákkal és egyenlő lesz:

A szabad formájú szakasz legterheltebb pontja a semleges vonaltól legtávolabbi pont. Ebben a tekintetben nagy jelentőséggel bírnak a semleges vonal helyzetének meghatározásával kapcsolatos kérdések.

A semleges vonal helyzetének meghatározása

A semleges vonal helyzete a (3.1) képlettel határozható meg, a normál feszültségeket nullával egyenlővé téve

ahol és a semleges egyenesen fekvő pont koordinátái.

Az utolsó kifejezés a forgási sugarak képleteivel konvertálható: és. Azután

A (3.2) egyenlet azt mutatja, hogy a semleges vonal excentrikus feszültségben (kompresszióban) olyan egyenes, amely nem megy át az origón (a keresztmetszet súlypontján).

Húzza ezt a vonalat két ponton keresztül koordinátatengelyek(3.4. ábra). Legyen az 1. pont a tengelyen, akkor a koordinátái az és, a 2. pont pedig a tengelyen, akkor a koordinátái a és (a (3.2) egyenlet alapján).

Ha az erőkifejtési pont (pólus) koordinátái pozitívak, akkor az 1. és 2. pont koordinátái negatívak, és fordítva. Így a pólus és a semleges vonal az origó ellentétes oldalán található.

A semleges vonal helyzetének meghatározása lehetővé teszi a szakasz veszélyes pontjainak azonosítását, pl. pontok, ahol a normál feszültségek lépnek fel legmagasabb értékeket. Ehhez a semleges vonallal párhuzamosan készítsen érintőket a szakasz kontúrjához. Az érintési pontok és veszélyesek lesznek (3.4. ábra).

A veszélyes pontok szilárdsági feltételei annak az anyagnak a tulajdonságaitól függenek, amelyből a gerenda készült. Mivel a rideg anyag húzó- és nyomókörülmények között eltérő tulajdonságokkal rendelkezik - rosszul ellenáll a feszültségnek és jó a nyomásnak, ezért a szilárdsági feltételek két pontra vonatkoznak: ahol a maximális húzó (t.) és maximális nyomófeszültség (t.) hat (3.4. ábra). )

Egy olyan műanyag esetében, amely egyformán ellenáll a feszültségnek és a nyomásnak, egy szilárdsági feltételt kell megadni arra a keresztmetszeti pontra, ahol a normál feszültségek abszolút értékben maximálisak. Esetünkben egy ilyen pont az a pont, ahol azonos előjelű feszültségek hatnak.

Az alapszakasz fogalma

A semleges egyenes építésénél (3.4. ábra) meghatároztuk az 1. és 2. pont koordinátáit, amelyeken keresztül megrajzoltuk.

A semleges egyenesen fekvő pontok koordinátái az erőkifejtési pont (pólus) koordinátákkal való helyzetétől függenek. Ha a póluskoordináták csökkennek, pl. a pólus megközelíti a szakasz súlypontját, majd megnövekednek, i.e. a semleges vonal túlnyúlhat a szakaszon, vagy érintheti a szakasz körvonalát. Ebben az esetben a szakaszon azonos előjelű feszültségek lépnek fel.

Az ilyenkor a keresztmetszetben azonos előjelű feszültségeket okozó hosszirányú erők alkalmazási területét ún. szakasz kernel.

A metszet mag meghatározásának kérdése a legrelevánsabb a rideg anyagból készült, excenteres összenyomásban működő szerkezeti elemeknél, hogy csak a keresztmetszetben nyomófeszültségeket kapjunk, mert A törékeny anyag rosszul ellenáll a húzó deformációnak. Ehhez be kell állítani a semleges vonal számos pozícióját, a kontúr határpontjain keresztül húzva, és ki kell számítani a megfelelő erőkifejtési pontok koordinátáit a (3.5)-ből következő képletek szerint.

Az így kiszámított pontok geometriai elhelyezkedése határozza meg a szelvény magjának körvonalát. ábrán A 3.6 példákat mutat be gyakori alakzatok szekciómagjára.

Tekintsünk egy példát a középponton kívüli feszültség-kompresszió számításaira.

Példa 3.1. Egy = 10 cm széles és = 1 cm vastagságú acélszalag, amely középen = 70 kN erővel van megfeszítve, = 3 cm szélességű réssel rendelkezik (3.6. ábra). Határozza meg a metszet legnagyobb normálfeszültségeit, figyelmen kívül hagyva a feszültségkoncentrációkat! Milyen széles lenne a rés ugyanannyi húzóerő mellett, ha a szalag szélességének közepén helyezkedne el?

Megoldás. Aszimmetrikus rés esetén a gyengített szakasz súlypontja az erő hatásvonaláról jobbra tolódik el, és a középponttól eltérő feszültség lép fel. A súlypont helyzetének meghatározásához () a gyengített szakaszt egy nagy méretű téglalapként ábrázoljuk (I. ábra), amelyből eltávolítunk egy méretekkel rendelkező kis téglalapot (II. ábra). Az eredeti tengelyhez a tengelyt vesszük.

Ebben az esetben a keresztmetszetben két belső erőtényező lép fel: a hosszirányú erő és a hajlítónyomaték.

A veszélyes pont meghatározásához a keresztmetszet oldalsó oldalain helyezzük el a feszültségjeleket (3.6. ábra). A hosszirányú erőből a szelvény minden pontján pozitív (húzó) feszültségek keletkeznek. A hajlítónyomatéktól a tengelytől balra húzófeszültségek (plusz előjel), jobbra pedig nyomófeszültségek (mínusz előjel) lépnek fel.

Így a maximális normálfeszültségek az ún.

ahol a gyengített szakasz területe =7 cm 2;

A gyengített szakasz tehetetlenségi nyomatéka a fő központi tengely körül

Távolság a semleges vonaltól () a legtávolabbi pontig (t.)

Ennek eredményeként a maximális normál feszültségek egyenlőek lesznek

Szimmetrikus résszélesség esetén csak feszültség lép fel

A rudak kiszámítása excenteres nyomó-feszültségben

1. példa

Öntöttvas rövid a rudat hosszanti erő összenyomja F= 600 kN a ponton alkalmazott BAN BEN.

Kívánt:

1. Határozza meg a semleges vonal helyzetét;

2. Számítsa ki a legnagyobb húzó- és legnagyobb nyomófeszültségeket!

Megoldás.

1. Rajzolja meg a szakaszt méretarányosan.

2. Határozza meg a fő központi tengelyek helyzetét! A metszetnek van szimmetriatengelye, tehát a tengely Y azonnal megmutathatjuk.

3. Határozza meg az ábra súlypontjának helyzetét (az ábra két négyzetből áll). Tetszőleges segédkoordináta-rendszert választunk.

x 1 C 1 Y– segédkoordináta-rendszer;

határozza meg a pontok koordinátáit TÓL TŐL 1 és TÓL TŐL 2 a rendszerben x 1 C 1 Y.

DE 1 , DE A 2 az első és a második négyzet területe.

A \u003d A 1 - A 2 az egész ábra területe.

DE 1 = b 2 \u003d 2500 cm 2

TÓL TŐL (x c = 0; nál nél c = -5,89) - a súlypont helyzete a segédkoordináta-rendszerben x 1 C 1 Y.

Tengely x tengelyre merőlegesen rajzoljunk Y ponton keresztül TÓL TŐL.

Mivel a szakasz szimmetrikus, akkor XC Y a fő központi koordinátarendszer.

4. Határozza meg a fő központi tehetetlenségi nyomatékokat és a szelvény fő sugarainak négyzetét!

ahol de 1 \u003d 5,89 cm - a tengelyek közötti távolság xÉs x 1 ;

de 2 \u003d 5,89 + 17,68 \u003d 23,57 - a tengelyek közötti távolság xÉs x 2 .

5. Határozza meg a pont koordinátáit! BAN BEN(erő alkalmazási pontjai) az x fő központi koordinátarendszerben Su-val.

6. Határozza meg a semleges vonal helyzetét.

,

ahol x N, nál nél N - a semleges vonal pontjainak koordinátái.

Ebben a feladatban

A semleges vonal átmegy a ponton ( x N=0;nál nél N = 11,36) párhuzamos a tengellyel x tól től.

7. Ebben a feladatban a rúdra nyomóerő hat, így a normál feszültségeket a keresztmetszet bármely pontjában a képlet határozza meg.

ahol x, y annak a pontnak a koordinátái, ahol a feszültségeket számítják.

8. A legnagyobb nyomófeszültségek a ponton érhetők el BAN BEN. Ez a pont a legtávolabb a semleges vonaltól a tömörítési tartományban.

A legnagyobb húzófeszültségek a pontokon érhetők el NAK NEKÉs Ly K = nál nél L = 23,57 cm.

Válasz: ,

2. példa

Készítsen egy szakasz kernelt.

Megoldás.

1. Határozza meg a metszetmag kontúrjának típusát!

2. Meghatározzuk a kontúron belül kapott sokszög csúcsainak számát (vagyis a rúd metszetének határ érintőinek számát). 6 határ érintő - 6 csúcs.

3. Határozza meg a fő központi tengelyek helyzetét! A szakasznak van egy vízszintes szimmetriatengelye, így a tengely " x Azonnal megmutathatjuk. XOY 0 - segédkoordináta-rendszer (tengely " Y 0 "önkényesen költünk).

A szakasz két egyszerű formából áll (téglalap és négyzet). Határozza meg a súlypontok koordinátáit! TÓL TŐL 1 és TÓL TŐL 2 egy tetszőleges koordináta-rendszerben XOY 0 .

A téglalap súlypontja.

A tér súlypontja.

A téglalap területe.

Négyzet alakú terület.

(mivel TÓL TŐL 1 és TÓL TŐL 2 feküdjön a tengelyen).

A teljes szakasz súlypontja a koordinátarendszerben XOY 0 koordinátákkal rendelkezik TÓL TŐL(0,015; 0). (A rajzon megmutatjuk).

Tengely Y tengelyre merőlegesen rajzoljunk Y 0 a súlyponton keresztül TÓL TŐL.

Mivel a metszet szimmetrikus, a szimmetriatengely és a rá merőleges, a súlyponton átmenő tengely alkotja a fő központi koordináta-rendszert.

X, Y a szakasz fő központi tengelyei.

4. Meghatározzuk a szelvény geometriai jellemzőit a fő központi tengelyekhez viszonyítva.

Kiszámoljuk a fő központi tehetetlenségi nyomatékokat J x és J y .

Egy téglalap fő központi tehetetlenségi nyomatékai.

Négyzet fő központi tehetetlenségi nyomatékai.

(Itt képleteket használtunk a párhuzamos tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok meghatározására. Axiális pillanatok síkmetszet tehetetlensége tetszőleges tengelyek körül x 1 és nál nél 1 párhuzamos a központi tengelyekkel xÉs nál nél, amelyet a képletek határoznak meg

;

ahol de,b– a tengelyek közötti távolság xÉs x 1 , nál nélÉs nál nél 1 , DE- keresztmetszeti terület. az elfogadott x, y– központi tengelyek, azaz a súlyponton átmenő tengelyek TÓL TŐL lapos szakasz).

Számítsa ki a fő tehetetlenségi sugarak négyzetét!

5. Határozza meg a szakasz magjának csúcsait!

Legyen ismert a semleges egyenes helyzete. Meg kell határozni az erőkifejtési pont koordinátáit.

1. Tekintsük a semleges vonal 1 - 1 helyzetét.

Használja a semleges vonal tulajdonságát. Mivel az 1-1 semleges egyenes párhuzamos a tengellyel Y, akkor az erő alkalmazási pontja én 1 van a tengelyen x, azaz nál nél F=0.

x N - a semleges egyenes pontjának abszcissza 1 - 1 (távolság a ponttól TÓL TŐL a semleges vonalhoz 1 - 1).

2. Tekintsük a 2 - 2 semleges egyenes helyzetét.

Vegyünk két pontot a 2-2 semleges egyenesből (jobb olyan pontokat választani, ahol könnyen kiszámíthatja a koordinátákat)

BAN BEN(-0,615; 0,3) és D(-0,015; 0,6)

Helyettesítsd be a pontok koordinátáit! BAN BEN És D a semleges egyenes egyenletbe.

(1)

(2)

Oldjuk meg az (1) - (2) egyenletrendszert!

Az első egyenletből

(3)

(3) helyettesítése (2)

3. Tekintsük a semleges vonal 3 - 3 helyzetét.

Használja a semleges vonal tulajdonságát. Mivel a 3-3 semleges egyenes párhuzamosan fut a tengellyel x, akkor az erő alkalmazási pontja én 3 van a tengelyen Y, azaz x F =0.

nál nél N - a semleges egyenes pontjának ordinátája 3 - 3 (távolság a ponttól TÓL TŐL a semleges vonalhoz 3-3).

4. Tekintsük a semleges vonal 4 - 4 helyzetét.

Használja a semleges vonal tulajdonságát. Mivel a 4-4 semleges egyenes párhuzamosan fut a tengellyel Y, akkor az erő alkalmazási pontja én 4 van a tengelyen x, azaz nál nél F = 0.

Példa3 .

Egy merev rúd két erővel van terhelve - húzó és nyomó (1. ábra). A rúd törékeny anyagból készült, melynek jellemzői és . A rúd keresztmetszete szimmetrikus, alakja és méretei megfelelnek az 1. ábrának. 2.

Kívánt:

1) keresse meg a szilárdsági állapotból a rúd megengedett terhelését, ha a nyomó- és húzóerők aránya

2) építse meg a szakasz magját.

1. ábra 2. ábra

Megoldás.

Egy adott szakaszon a fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetét és a tehetetlenségi nyomatékokat korábban megtaláltuk (lásd a " Geometriai jellemzők lapos szakaszok"). Keressük meg a belső erőket a rúd tetszőleges szakaszában:

A veszélyes pontok helyzetének meghatározásához semleges egyenest szerkesztünk. Semleges egyenes egyenlet ebben a problémában megvan a forma

Innentől a és a tengelyeken találjuk a semleges vonal által levágott szakaszokat. Ha akkor

és ha , akkor

A semleges vonal az ábrán látható. 3.

3. ábra

Rajzoljon érintőket a szakasz kontúrjára, párhuzamosan a semleges vonallal. Az 1. és 1. pont veszélyes ¢ (lásd 3. ábra), a legtávolabb a semleges vonaltól. Törékeny anyagnál veszélyesebb a maximális húzófeszültségű pont, pl. pont 1. Keresse meg a feszültséget ezen a ponton a képletbe behelyettesítéssel 1. pont koordinátái:

Szilárdsági állapot az 1. pontban Or

Itt megtalálhatja a megengedett terhelési értéket (ne felejtse el helyesen helyettesíteni a mértékegységeket. Szorzó előtt F p ebben a példában a mérete cm -2).

Végezetül meg kell győződni arról, hogy az 1. pontban ¢ , amely ebben a példában távolabb van a semleges tengelytől, mint az 1. pont, és amelyben nyomófeszültségek hatnak, a szilárdsági feltétel is teljesül, pl.

Most építsük fel a szakasz kernelt. A rudakat a szakasz külső sarokpontjaira helyezzük. Tekintettel a metszet szimmetriájára, elegendő a pólusokat három pontban elhelyezni: 1, 2 és 3 (lásd 3. ábra). Behelyettesítés képletekre ; a pólusok koordinátáit, a és a tengelyeken semleges vonalakkal levágott szakaszokat találunk. Ha a pólus az 1. pontban van, akkor a koordinátái És

Az 1. pontban lévő pólusnak megfelelő 1–1 semleges vonal az 1. ábrán látható. 3. Hasonlóképpen építjük meg a 2-2 és 3-3 semleges vonalakat, amelyek megfelelnek a 2-es és 3-as pólusnak. Semleges vonal építésekor ügyeljünk arra, hogy az a pólussal ellentétes kvadránsban fusson. ábrán árnyékolt terület. A 3 a szakasz magja. ábra szerinti vezérléshez. A 3. ábra a tehetetlenségi ellipszist mutatja. A szakasz magjának a tehetetlenségi ellipszisben kell lennie, anélkül, hogy bárhol keresztezné.

4. példa

Egy aszimmetrikus szakaszú rudat egy pontban kifejtett erő összenyom DE (1. ábra). A keresztmetszet alakja és méretei az ábrán láthatóak. 2. A rúd anyaga rideg.

Kívánt:

1) keresse meg a megengedett terhelést, amely kielégíti a szilárdsági feltételt;

2) építse meg a szakasz magját.

Megoldás.

Először is meg kell határozni a keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékait és sugarait a fő központi tengelyekhez képest. A probléma megoldásának ezt a részét a "Síkszelvények geometriai jellemzői" című fejezet tartalmazza. ábrán Az 1. ábra a , szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyeit mutatja, amelyek helyzetét korábban megtaláltuk. A központi tengelyek rendszerében Y ,Z(2. ábra) az erőkifejtési pont koordinátái DE , . Számítsa ki a pont koordinátáit! DE a fő központi tengelyek rendszerében a képletek szerint

.

1. ábra 2. ábra

A veszélyes pontok helyzetének meghatározásához a képletekkel semleges egyenest készítünk; . Korábban talált tehetetlenségi sugarak.

Fektessük ezeket a szakaszokat a főtengelyek mentén, és húzzunk egy semleges vonalat a kapott pontokon (lásd 3. ábra).

3. ábra

Veszélyes pontok, pl. a semleges tengelytől legtávolabbi pontok az 1. és 3. pontok lesznek (lásd 3. ábra). Az 1. pontban hat a legnagyobb húzófeszültség. A szilárdsági feltételt ezen a ponton a képlet segítségével írjuk fel :

Helyettesítsük be a szilárdsági feltételbe a főtengelyek 1. veszélyes pontjának koordinátáit, a képletekkel számítva

vagy méretarányos rajzon mérve, Ezután az 1. pontban lévő szilárdsági feltételből megtalálhatja a megengedett terhelési értéket:

.

A megengedett terhelés talált értékéhez meg kell győződni arról, hogy a szilárdsági feltétel a 3. pontban is teljesül, amely a semleges vonaltól távolabb kerül el, és amelyben a nyomófeszültség hat. A 3. pont feszültségének meghatározásához ennek a pontnak a koordinátáit behelyettesítjük a képletbe

.

Ez a feszültség nem haladhatja meg a . Ha a szilárdsági feltétel a maximális nyomófeszültségekkel járó ponton nem teljesül, akkor az ezen a ponton lévő szilárdsági feltételből újra meg kell találni a megengedett terhelés értékét.

Végezetül megszerkesztjük a szakasz magját. A rudakat a szelvény külső sarokpontjaira helyezzük, azaz. az 1, 2, 3, 4, 5 pontokban (lásd 3. ábra). A kör kvadránsának kontúrján elhelyezkedő 4. pontot a következőképpen kaptuk meg. A belső levágása sarokpont, a metszet körvonalához érintő vonalat húzunk (a 3. ábrán szaggatott vonal). A 4. pont az a pont, ahol ez az egyenes érinti a kör kvadránsát. Sorrendben megtaláljuk a pólusoknak megfelelő semleges egyenesek helyzetét a jelzett pontokban, megtalálva a semleges vonalak által levágott szakaszokat a , tengelyeken a képletek szerint; .Például, ha a pólus az 1-es pontban van, akkor behelyettesítve a ; 1. pont koordinátái (), találd meg

Mivel sokkal nagyobb, ez azt jelenti, hogy az 1–1 semleges egyenes gyakorlatilag párhuzamos a tengellyel. A szakaszt skálán ábrázoljuk a tengely mentén, és a tengellyel párhuzamos 1–1 egyenest húzunk (lásd 3. ábra). Hasonlóképpen semleges vonalakat építünk a többi ponton elhelyezkedő pólusoknak megfelelően. A szelvény magja (árnyékolt terület) az ábrán látható. 3. Vegye figyelembe, hogy a 4-4 és 5-5 semleges vonalak közötti szakasz magjának kontúrja egy görbe mentén körvonalazódik, mivel a pólus átmenete a 4. pontból az 5. pontba nem egyenes vonalban történik. ábrán A 3. ábra a korábban megépített szelvény tehetetlenségi ellipszisét is mutatja.

5. példa

Adott keresztmetszetű gerendán egy pontban D a felső végén hosszirányú nyomóerő hat R=300 kN (lásd az ábrát). Meg kell találni a nulla egyenes helyzetét, meg kell határozni a legnagyobb (húzó- és nyomó) feszültségeket és meg kell alkotni a szelvény magját.

Megoldás:

1. A fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása és a keresztmetszeti terület meghatározása

Mivel a gerenda keresztmetszetének (1. ábra) két szimmetriatengelye van, és ezek mindig áthaladnak a szelvény súlypontján és a fő tengelyek, ezért a szelvény fő középtengelyei xés nál nél c egybeesik ezekkel a szimmetriatengelyekkel.

A szakasz súlypontja TÓL TŐL ebben az esetben nem szükséges meghatározni, mivel egybeesik a metszet geometriai középpontjával.

A gerenda keresztmetszete egyenlő:

2. A fő központi tehetetlenségi nyomatékok és a fő tehetetlenségi sugarak meghatározása

A tehetetlenségi nyomatékokat a következő képletek határozzák meg:

Kiszámoljuk a fő tehetetlenségi sugarak négyzetét:

3. A nulla egyenes helyzetének meghatározása

A fő központi tehetetlenségi tengelyen a nulla vonal által levágott szakaszokat a következő képletek határozzák meg:

ahol x p=2,3 cm és y r\u003d 2 cm - az erő alkalmazási pontjának koordinátái R(P pont 11. ábra). Félretéve a szegmenseket, illetve a tengelyeket x sÉs u sés a végükön keresztül egyenes vonalat húzva nulla metszetvonalat kapunk, amelyen a normálfeszültségek egyenlőek nullával (). Az 1. ábrán ezt a vonalat n -n jelöljük.

4. A legnagyobb nyomó- és húzófeszültségek meghatározása és feszültségdiagram készítése

D pont , amelynek koordinátái x D =5,25 cm és nál nél D\u003d 5 cm, a legtávolabb van a nulla vonaltól a szakasz összenyomott zónájában, ezért a legnagyobb nyomófeszültségek ebben fordulnak elő, és a képlet határozza meg

A legnagyobb húzófeszültségek a K pontban jelentkeznek, amelynek koordinátái vannak x k= -5,25 cm, a k= -5 cm.

A kapott értékek alapján elkészítjük a normál feszültségek diagramját (lásd 11. ábra).

5. A szekció kernel felépítése

A metszet magjának megalkotásához, tekintettel arra, hogy a metszet szimmetrikus, vegyük figyelembe az I-I és II-II szakasz körvonalának érintőjének két helyzetét. (lásd az 1. ábrát).

Az I -I érintővel levágott szegmensek a koordinátatengelyeken egyenlők:

A szakasz magjának 1. határpontjának koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

Tangens II-II levágja a szegmenseket = 5,25 cm, = ¥ .

Határpont koordináták 2 :

A szelvény magjának második felének határpontjainak koordinátái nem határozhatók meg, mivel a gerenda szakasza szimmetrikus. Ezt figyelembe véve a III -III és IV -IV érintőknél a határpontok koordinátái 3 És 4 lesz:

= 0; = 15,2× 10 -3 m;

=23,0× 10 -3 m = 0.

Az 1., 2., 3. és 4. pontot egyenes vonalakkal sorba kapcsolva megkapjuk a szelvény magját (1. ábra).

6. példa

Az ábrán jelzett és egy excentrikusan összenyomott oszlophoz tartozó szakaszban határozza meg a legveszélyesebb pontokat és feszültségeket azokban! Nyomóerő F= 200 kN = 20 t ponton alkalmazva A.

Megoldás.

Mivel az X és Y tengely a szimmetria tengelye, ők a fő központi tengelyek.

A legveszélyesebb pontok azok a pontok lesznek, ahol maximum normál feszültség, és ezek a nullavonaltól legtávolabbi pontok. Ezért először meg kell határoznunk a nulla vonal helyzetét. Felírjuk a nulla egyenes egyenletét.

Esetünkben az erőkifejtési pont koordinátái a következők (lásd ábra):

= - 90 mm = - 0,09 m;

= - 60 mm = - 0,06 m.

A és a tehetetlenségi sugarak négyzetei a következők:

itt és - tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok az X és Y fő központi tengelyekre.

Axiális tehetetlenségi nyomatékok meghatározása. A mi rovatunkban a következők lesznek:

M4;

M 4 .

A teljes szakasz területe egyenlő lesz:

M 2,

majd a tehetetlenségi sugarak négyzete:

m 2;

m 2.

A képletek segítségével meghatározzuk azokat a szakaszokat, amelyeket a nulla egyenes a tengelyeken levág xÉs Y:

m;

m.

Tegyük félre ezeket a szakaszokat a koordinátatengelyeken, megkapjuk azokat a pontokat, ahol a nulla egyenes metszi a koordinátatengelyeket. Ezeken a pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk (lásd ábra). Azt látjuk, hogy a legtávolabbi pontok - ez a B pont a negatív feszültségek zónájában és a D pont a pozitív feszültségek zónájában.

Határozzuk meg a feszültségeket ezeken a pontokon:

;

A rajz alapján (lásd ábra) a következőket kapjuk:

= -0,12 m; = -0,03 m.

= –5,39× 10 4 kN / m 2 \u003d - 53,9 MPa.

;

0,12 m; = 0,03 m.

1,86× 10 4 kN / m 2 \u003d 18,6 MPa.

7. példa

Öntöttvas rövidábrán látható keresztmetszetű rudat hosszanti erő összenyomja F ponton alkalmazva DE.

Kívánt:

1) számítsa ki a legnagyobb húzó- és legnagyobb nyomófeszültséget a keresztmetszetben, kifejezve ezen feszültségek nagyságát Fés a szakasz méretei; de= 40 mm, b= 60 mm;

2) keresse meg a megengedett terhelést F adott keresztmetszeti méreteknél és megengedett feszültségeknél az öntöttvasnál a nyomáshoz = 100 MPa és a feszítéshez = 30 MPa.

Megoldás.

Fentebb már említettük, hogy a számítási képletekben a geometriai jellemzőket a fő központi tengelyekhez viszonyítva vettük, ezért meghatározzuk a metszet súlypontját. Tengely x szimmetriatengely, ezért átmegy a súlyponton, ezért csak meg kell találnunk a helyét ezen a tengelyen, osszuk fel a metszetet két komponensre (1 és 2) és válasszunk ki egy segédtengelyt. TÓL TŐL 1 és TÓL TŐL 2 ezekben a tengelyekben.

Lesz TÓL TŐL 1 (0,0); TÓL TŐL 2 (0,04; 0), majd:

m;

Tehát tengelyekben xy 1 a teljes szakasz súlypontjának koordinátái vannak TÓL TŐL (0,0133; 0). Rajzolunk egy tengelyt a metszet súlypontján keresztül Y merőleges a tengelyre X. X tengely és Y és a szakasz fő központi tengelyei lesznek.

Határozzuk meg a nulla egyenes helyzetét.

Az alkalmazási pont koordinátáinak kényszerítése (pontok DE) a következőképpen alakul: \u003d (0,02–0,0133) + 0,04 \u003d 0,0467 m; = 0,06 m;

m 4,

m 4,

ahol = 0,0133 m;

m 2.

m 2, m 2;

és kapjuk le a semleges tengely által levágott szegmenseket az X és Y fő tehetetlenségi tengelyeken:

Tedd félre a tengelyen x, és a tengelyen Yés a kapott pontokon keresztül húzzunk egy nulla vonalat (lásd ábra). Látjuk, hogy a szakasz legtávolabbi pontjai a nullavonaltól - ez a lényeg DE a tömörített zónában és pontban BAN BEN a kiterjesztett zónában. Ezeknek a pontoknak a koordinátái a következők: DE(0,0467; 0,06); BAN BEN(-0,0333; -0,12). Határozzuk meg ezeken a pontokon a feszültségeket, fejezzük ki azokat F.

Pontfeszültség DE nem haladhatja meg a megengedett nyomófeszültséget , és a pont feszültsége BAN BEN nem haladhatja meg a megengedett húzófeszültséget, pl. feltételeknek kell teljesülniük:

, ,

vagy

(de),

(b).

(a):

b) pontból:

Ahhoz, hogy az oszlop feszített és összenyomott zónájában egyidejűleg teljesítsük a szilárdsági feltételt, a kapott kettő közül a kisebbet kell a megengedett terhelésnek vennünk, pl. = 103 kN.

8. példa

Öntöttvas rövidábrán látható téglalap keresztmetszetű rúd hosszanti erő hatására összenyomódik F ponton alkalmazva DE.

Kívánt:

1) számítsa ki a legnagyobb húzó- és legnagyobb nyomófeszültséget a keresztmetszetben, kifejezve ezen feszültségek nagyságát Fés a szakasz méretei;

2) keresse meg a megengedett terhelést F adott keresztmetszeti méreteknél és megengedett feszültségeknél az öntöttvas összenyomásakor és szakító .

Megoldás.

Határozzuk meg a nulla egyenes helyzetét. Ehhez a képleteket használjuk

Az erőkifejtési pont (A pont) koordinátái a következők:

A tehetetlenségi sugarak négyzetét a következő képletek határozzák meg:

Határozza meg azokat a szakaszokat, amelyeket a nulla egyenes levág a tengelyeken xÉs nál nél.

Tedd félre a tengelyen x – x 0 , és a tengelyen nál nél – nál nél 0, és húzz egy nulla vonalat a kapott pontokon n – n(lásd az ábrát). Látjuk, hogy a metszet legtávolabbi pontjai az A pont az összenyomott területen és a B pont a feszített területen. E pontok koordinátái a következők: A (0,04; 0,06), B (–0,04; –0,06). Határozzuk meg ezeken a pontokon a feszültség nagyságát, kifejezve azokat az erővel F:

A feszültség az A pontban nem haladhatja meg a megengedett nyomófeszültséget, a B pontban a feszültség pedig nem haladhatja meg a megengedett húzófeszültséget, azaz. a feltételnek teljesülnie kell

Az első kifejezéstől kezdve az érték F

A terhelés a talált kettő közül a legkisebb, i.e. = 567 kn.

9. példa

ábrán látható keresztmetszetű rövid öntöttvas rúd. de, hosszanti erő hatására összenyomódik P ponton alkalmazva A. Határozza meg a legnagyobb húzó- és legnagyobb nyomófeszültséget a rúd keresztmetszetében, erővel kifejezve Pés keresztmetszeti méretek, cm, cm.. Határozza meg a megengedett terhelést adott megengedett feszültségeknél az anyagra kN / cm 2 nyomó és kN / cm 2 feszültség esetén.

Megoldás.

A rúdra ható erő P az összenyomás mellett a rudat a fő központi tengelyekhez képest meghajlítja xÉs y. A hajlítási nyomatékok rendre egyenlőek:

ahol cm és cm az erőkifejtési pont koordinátái P(pont koordináták A).

Normális feszültségek egy ponton koordinátákkal xÉs yBármi a rúd keresztmetszetét a képlet határozza meg

,

ahol F a terület, és a keresztmetszet forgási sugarai.

1. Határozza meg a rúd keresztmetszetének geometriai jellemzőit!

A rúd keresztmetszete:

A fő központi tehetetlenségi nyomatékokat az alábbiak szerint határozzuk meg.

Tehetetlenségi nyomaték számítása Teljes tengely körüli szakaszt x, osztja fel az egész ábrát egy szélességű és magasságú téglalapra és két szélességű és magasságú téglalapra úgy, hogy a tengely x mindhárom alak központi eleme volt. Azután

.

A teljes szakasz tehetetlenségi nyomatékának kiszámítása a tengely körül y osszuk fel az egész ábrát egy kicsit másképp: egy téglalap szélességgel és magassággal és két téglalap szélességgel és magassággal úgy, hogy most a tengely y mindhárom alak központi eleme volt. Kap

.

A tehetetlenségi sugarak négyzetei:

; .

2. Határozza meg a nulla vonal helyzetét!

A és szegmensek, amelyeket a nulla egyenes választ el a koordinátatengelyektől, egyenlő:

cm ; cm.

Nulla vonal megjelenítése N-Nábrán. b. A nulla vonal a keresztmetszetet két részre osztja, amelyek közül az egyik feszített, a másik pedig összenyomott. 1.ábra, b feszített a rúd keresztmetszete általunk árnyékolt.

3. Számítsa ki a legnagyobbat nyújtás feszültség.

A pontokon fordul elő 6 És 7 , vagyis a nulla egyenestől legtávolabbi pontokban. Ennek a feszültségnek az értéke, például egy pontra számítva 6 egyenlő:

4. Számítsa ki a legnagyobbat összenyomó feszültség.

A pontokon fordul elő 2 És 3 , egyben a legtávolabbi a nulla vonaltól. Ennek a feszültségnek az értéke, például egy pontra számítva 2 , egyenlő:

5. Határozza meg a megengedett terhelést a szakítószilárdság feltételéből:

kN/cm2; kN.

6. Határozza meg a megengedett terhelést a nyomószilárdság feltételéből:

kN/cm2; kN.

a (6) és (7) bekezdésben található két érték közül:

10. példa

Egy rövid oszlop, amelynek keresztmetszete az 1. ábrán látható, hosszanti erő hatására összenyomódik. F= 200 kN ponton alkalmazva NAK NEK. Szakasz méretei a= 40 cm b= 16 cm Az anyag becsült szakítószilárdsága R t = 3 MPa, tömörítéshez R with = 30 MPa .

Kívánt:

1. Keresse meg a nulla egyenes helyzetét!

2. Számítsa ki a legnagyobb nyomó- és húzófeszültségeket, és készítsen feszültségdiagramot! Adjon következtetést az oszlop szilárdságáról!

3. Határozza meg a tervezési teherbírást (tervezési terhelés) F max adott szakaszméretekhez.

4. Szerkessze meg a szakasz magját.

1. ábra

Megoldás.

1. A szakasz súlypontjának koordinátáinak meghatározása.

Az oszlop keresztmetszetének szimmetriatengelye van X s, ezért a súlypont ezen a tengelyen fekszik, és meg kell találni a koordinátát x s a melléktengelyhez képest I o (lásd 1. ábra) az összetett szakaszt három téglalapra osztjuk

2. A szelvény geometriai jellemzői.

A fő kiszámításához központi pillanatok A tehetetlenségi nyomatékok közötti összefüggést használjuk a tengelyek párhuzamos elmozdulásával.

Határozza meg a tehetetlenségi sugarak négyzetét!

erő alkalmazási pont koordinátáit F

3. Nulla vonal pozíciója

Megtalált az általunk rajzolt koordinátatengelyeken levágott szakaszok nulla vonal (lásd 2. ábra).

4. A legnagyobb nyomó- és húzófeszültségek meghatározása. Diagram .

A nulla vonaltól legtávolabbi pontok: BAN BEN(-60; 16)ÉsD(60; -32). Hangsúlyozza ezeket a veszélyes pontokat koordinátákkal x Dan , y Dan nem haladhatja meg a megfelelő tervezési ellenállást

.

Húzófeszültség

Kompresszív stressz

Az oszlop szilárdsága garantált.

A feszültségszámítás eredményei és az ábra szerint. 2 beépített telek .

5. Az oszlop számított teherbírásának kiszámítása Fmax .

Mivel a nyomóerő adott értékénél az oszlop anyagának szilárdsága jelentősen alulhasznosul, a külső terhelés maximális értékét a maximális feszültségek egyenlővé tételével kapjuk meg. s tÉs s c számított ellenállás.

Végül választunk kisebb érték Fmax = 425,8 kN, erőt biztosít a feszített és összenyomott keresztmetszeti zónáknak egyaránt.

2. ábra

6. A szekció kernel felépítése.

A metszet magjának körvonalának meghatározásához figyelembe kell venni a metszet körvonalának érintőinek minden lehetséges helyzetét, és feltételezve, hogy ezek az érintők nulla egyenesek, ki kell számítani a mag határpontjainak koordinátáit a szakasz fő központi tengelyei. Ezután ezeket a pontokat összekapcsolva megkapjuk a szakasz magjának körvonalát.

1-1 érintő: y o = 32 cm,

.

2-2 érintő: , .

3-3 érintő: , .

4-4 érintő: ; ;

; ;

;

.

5-5 érintő: ; .

6-6 érintő: ; ;

11. példa .

Azon a ponton P Téglalap alakú oszlop nyomóereje alkalmazott P(lásd az ábrát). Határozza meg a maximális és minimális normálfeszültséget!

Megoldás.

Az excenteres összenyomás alatti normál feszültséget a következő képlet határozza meg:

A mi feladatunkban

Tehetetlenségi nyomaték, terület ,

Következésképpen

A semleges vonalon. Tehát az egyenlete

A semleges tengelytől legtávolabbi pontok a pontok AÉs B:

azon a ponton AÉs

azon a ponton BÉs

Ha az anyag eltérően ellenáll a feszültségnek és a nyomásnak, akkor két szilárdsági egyenletet kell felállítani:

12. példa.

Határozza meg az ábrán látható gerenda megengedett terhelését, ha a gerenda anyagának tervezési húzó- és nyomószilárdsága egyenlő Radm ,t= 20 MPa; R adm , with= 100 MPa.

Megoldás. A szilárdsági feltételt a gerenda bármely szakaszának legnagyobb igénybevételű pontjaira írjuk, mivel minden szakasz egyformán veszélyes:

Ezt figyelembe véve írjuk át ezeket a feltételeket

és akkor

És

Innen határozzuk meg a megengedett terhelések értékeit.